ДА СЕ задачи с параметърможе да включва, например, търсенето на решения на линейни и квадратни уравнения в общ изглед, изследване на уравнението за броя на наличните корени в зависимост от стойността на параметъра.
Без да давате подробни определения, разгледайте следните уравнения като примери:
y = kx, където x, y са променливи, k е параметър;
y = kx + b, където x, y са променливи, k и b са параметри;
ax 2 + bx + c = 0, където x са променливи, a, b и c са параметър.
Решаването на уравнение (неравенство, система) с параметър означава, като правило, решаване на безкраен набор от уравнения (неравенства, системи).
Задачите с параметър могат да бъдат разделени на два типа:
а)условието казва: решете уравнението (неравенство, система) - това означава, че за всички стойности на параметъра, намерете всички решения. Ако поне един случай остане неразследван, такова решение не може да се счита за задоволително.
б)изисква се да се посочат възможните стойности на параметъра, при които уравнението (неравенство, система) има определени свойства. Например има едно решение, няма решения, има решения, принадлежащи на интервала и т.н. В такива задачи е необходимо ясно да се посочи при каква стойност на параметъра е изпълнено изискваното условие.
Параметърът, като неизвестно фиксирано число, има някаква специална двойственост. На първо място, трябва да се има предвид, че предполагаемата популярност показва, че параметърът трябва да се възприема като число. Второ, свободата за манипулиране на параметъра е ограничена от неговата неизвестност. Например операции за деление на израз, който съдържа параметър или извличане на корена дори степенот такъв израз изискват предварително проучване. Следователно е необходимо внимание при работа с параметъра.
Например, за да сравните две числа -6a и 3a, трябва да разгледате три случая:
1) -6a ще бъде по-голямо от 3a, ако a е отрицателно число;
2) -6a = 3a в случай, когато a = 0;
3) -6a ще бъде по-малко от 3a, ако a е положително число 0.
Решението ще бъде отговорът.
Нека е дадено уравнението kx = b. Това уравнение е кратка форма за безкраен брой уравнения с една променлива.
При решаването на такива уравнения може да има случаи:
1. Нека k е произволно реално числоне е равно на нула и b е произволно число от R, тогава x = b/k.
2. Нека k = 0 и b ≠ 0, първоначалното уравнение ще приеме формата 0 x = b. Очевидно това уравнение няма решения.
3. Нека k и b са числа, равни на нула, тогава имаме равенството 0 x = 0. Решението му е всяко реално число.
Алгоритъм за решаване на този тип уравнение:
1. Определете „контролните“ стойности на параметъра.
2. Решете първоначалното уравнение за x за стойностите на параметрите, които са определени в първия параграф.
3. Решете първоначалното уравнение за x за стойности на параметри, различни от тези, избрани в първия параграф.
4. Можете да напишете отговора в следната форма:
1) за ... (стойности на параметри), уравнението има корени ...;
2) за ... (стойности на параметър), в уравнението няма корени.
Пример 1.
Решете уравнението с параметъра |6 – x| = а.
Решение.
Лесно се вижда, че a ≥ 0 тук.
Съгласно правилото на модул 6 – x = ±a, изразяваме x:
Отговор: x = 6 ± a, където a ≥ 0.
Пример 2.
Решете уравнението a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 по отношение на променливата x.
Решение.
Нека отворим скобите: aх – а + 2х – 2 = 0
Нека напишем уравнението в стандартна форма: x(a + 2) = a + 2.
Ако изразът a + 2 не е нула, т.е. ако a ≠ -2, имаме решението x = (a + 2) / (a + 2), т.е. х = 1.
Ако a + 2 е равно на нула, т.е. a = -2, тогава имаме истинско равенство 0 x = 0, така че x е всяко реално число.
Отговор: x = 1 за a ≠ -2 и x € R за a = -2.
Пример 3.
Решете уравнението x/a + 1 = a + x по отношение на променливата x.
Решение.
Ако a = 0, тогава преобразуваме уравнението във формата a + x = a 2 + ax или (a – 1)x = -a(a – 1). Последното уравнение за a = 1 има формата 0 x = 0, следователно x е произволно число.
Ако a ≠ 1, тогава последното уравнение ще приеме формата x = -a.
Това решение може да се илюстрира на координатната линия (Фиг. 1)
Отговор: няма решения за a = 0; x – всяко число с a = 1; x = -a за a ≠ 0 и a ≠ 1.
Графичен метод
Нека разгледаме друг начин за решаване на уравнения с параметър - графично. Този метод се използва доста често.
Пример 4.
В зависимост от параметъра a колко корена има уравнението ||x| – 2| = а?
Решение.
За да решим с помощта на графичния метод, изграждаме графики на функциите y = ||x| – 2| и y = a (фиг. 2).
Чертежът ясно показва възможните случаи на местоположението на правата линия y = a и броя на корените във всяка от тях.
Отговор: уравнението няма да има корени, ако a< 0; два корня будет в случае, если a >2 и а = 0; уравнението ще има три корена в случай на a = 2; четири корена - при 0< a < 2.
Пример 5.
При какво е уравнението 2|x| + |x – 1| = a има един корен?
Решение.
Нека изобразим графиките на функциите y = 2|x| + |x – 1| и y = a. За y = 2|x| + |x – 1|, разширявайки модулите по интервалния метод, получаваме:
(-3x + 1, при x< 0,
y = (x + 1, за 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, за x > 1.
На Фигура 3Ясно се вижда, че уравнението ще има един корен само когато a = 1.
Отговор: a = 1.
Пример 6.
Определете броя на решенията на уравнението |x + 1| + |x + 2| = a в зависимост от параметъра a?
Решение.
Графика на функцията y = |x + 1| + |x + 2| ще бъде прекъсната линия. Неговите върхове ще бъдат разположени в точки (-2; 1) и (-1; 1) (Фигура 4).
Отговор: ако параметърът a е по-малък от единица, тогава уравнението няма да има корени; ако a = 1, тогава решението на уравнението е безкраен набор от числа от сегмента [-2; -1]; ако стойностите на параметър a са по-големи от едно, тогава уравнението ще има два корена.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате уравнения с параметър?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
1. Системи линейни уравненияс параметър
Системите от линейни уравнения с параметър се решават чрез същите основни методи като обикновените системи от уравнения: методът на заместване, методът на добавяне на уравнения и графичният метод. Познания по графична интерпретация линейни системиулеснява отговора на въпроса за броя на корените и тяхното съществуване.
Пример 1.
Намерете всички стойности за параметър a, за които системата от уравнения няма решения.
(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.
Решение.
Нека да разгледаме няколко начина за решаване на тази задача.
1 начин.Използваме свойството: системата няма решения, ако отношението на коефициентите пред x е равно на отношението на коефициентите пред y, но не е равно на отношението на свободните членове (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Тогава имаме:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 или система
(и 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.
От първото уравнение a 2 = 4, следователно, като вземем предвид условието, че a ≠ 2, получаваме отговора.
Отговор: a = -2.
Метод 2.Решаваме по метода на заместване.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
След като извадим общия множител y извън скобите в първото уравнение, получаваме:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
Системата няма решения, ако първото уравнение няма решения, т.е
(и 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
Очевидно a = ±2, но като се вземе предвид второто условие, отговорът идва само с отговор минус.
Отговор:а = -2.
Пример 2.
Намерете всички стойности за параметър a, за които системата от уравнения има безкраен брой решения.
(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.
Решение.
Според свойството, ако съотношението на коефициентите на x и y е еднакво и е равно на съотношението на свободните членове на системата, тогава тя има безкраен брой решения (т.е. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Следователно 8/a = a/2 = 2/1. Решавайки всяко от получените уравнения, намираме, че a = 4 е отговорът в този пример.
Отговор:а = 4.
2. Системи рационални уравненияс параметър
Пример 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Решение.
Нека умножим първото уравнение на системата по 2:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
Като извадим второто уравнение от първото, получаваме 5|x| = 4 – а. Това уравнение ще има уникално решение за a = 4. В други случаи това уравнение ще има две решения (за a< 4) или ни одного (при а > 4).
Отговор: a = 4.
Пример 4.
Намерете всички стойности на параметъра a, за които системата от уравнения има уникално решение.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
Решение.
Ще решим тази система с помощта на графичния метод. По този начин графиката на второто уравнение на системата е парабола, повдигната по оста Oy нагоре с един единичен сегмент. Първото уравнение определя набор от прави, успоредни на правата y = -x (снимка 1). От фигурата ясно се вижда, че системата има решение, ако правата y = -x + a е допирателна към параболата в точка с координати (-0.5, 1.25). Замествайки тези координати в уравнението на правата линия вместо x и y, намираме стойността на параметър a: 
1,25 = 0,5 + а;
Отговор: a = 0,75.
Пример 5.
Използвайки метода на заместване, разберете при каква стойност на параметъра a системата има уникално решение.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
Решение.
От първото уравнение изразяваме y и го заместваме във второто:
(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.
Нека редуцираме второто уравнение до формата kx = b, което ще има уникално решение за k ≠ 0. Имаме:
ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
Представяме квадратния трином a 2 + 3a + 2 като произведение от скоби
(a + 2)(a + 1), а отляво изваждаме x извън скоби:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).
Очевидно е, че 2 + 3a не трябва да съществува равно на нула, Ето защо,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, което означава a ≠ 0 и ≠ -3.
Отговор: a ≠ 0; ≠ -3.
Пример 6.
Използвайки метода на графичното решение, определете при каква стойност на параметър a системата има уникално решение.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
Решение.
Въз основа на условието конструираме окръжност с център в началото и радиус от 3 единични сегмента; това е, което се определя от първото уравнение на системата
x 2 + y 2 = 9. Второто уравнение на системата (y = |x| + a) е прекъсната линия. Като се използва фигура 2Разглеждаме всички възможни случаи на местоположението му спрямо кръга. Лесно се вижда, че a = 3. 
Отговор: a = 3.
Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате системи от уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
IN последните годиниНа приемните изпити и на окончателното тестване под формата на Единен държавен изпит се предлагат задачи с параметри. Тези задачи позволяват да се диагностицира нивото на математически и, най-важното, логично мисленекандидати, способност за извършване на изследователска дейност, както и просто познаване на основните раздели училищен курсматематика.
Гледката на параметър като равна променлива се отразява в графичните методи. Всъщност, тъй като параметърът е „равен по права“ на променливата, тогава, естествено, той може да бъде „разпределен“ към собствената си координатна ос. Така възниква координатна равнина. Отказът от традиционния избор на букви за обозначаване на осите определя един от най-ефективните методи за решаване на проблеми с параметри - „метод на площта“. Наред с други методи, използвани при решаване на проблеми с параметри, запознавам моите ученици с графични техники, като обръщам внимание на това как да разпознават „такива“ проблеми и как изглежда процесът на решаване на задача.
Повечето общи признаци, което ще ви помогне да разпознаете задачи, подходящи за разглеждания метод:
Проблем 1. „За какви стойности на параметъра неравенството е валидно за всички?“
Решение. 1).
Нека разширим модулите, като вземем предвид знака на подмодулния израз: 
2). Нека запишем всички системи от получени неравенства:
а) 
б) 
V) 
G) 
3). Нека покажем множеството точки, удовлетворяващи всяка система от неравенства (фиг. 1а).
4). Комбинирайки всички области, показани на фигурата, със засенчване, можете да видите, че неравенството не е удовлетворено от точките, разположени вътре в параболите.
Фигурата показва, че за всяка стойност на параметъра е възможно да се намери област, където има точки, чиито координати удовлетворяват първоначалното неравенство. Неравенството е валидно за всички, ако . Отговор: при.
Разглежданият пример е „отворен проблем“ - можете да разгледате решението на цял клас проблеми, без да променяте израза, разглеждан в примера 
, в който вече са преодолени техническите трудности при начертаването на графики.
Задача. За какви стойности на параметъра уравнението няма решения? Отговор: при.
Задача. За какви стойности на параметъра уравнението има две решения? Запишете и двете намерени решения.
Отговор: тогава 
, 
;
Тогава 
; , Тогава 
, .
Задача. За какви стойности на параметъра уравнението има един корен? Намерете този корен. Отговор: кога кога.
Задача. Решете неравенството.
(„Точките, разположени вътре в параболите, работят“).
, ; , няма решения;
Задача 2. Намерете всички стойности на параметъра А, за всяко от които системата от неравенства 
образува отсечка с дължина 1 на числовата ос.
Решение. Нека пренапишем оригиналната система в тази форма 
Всички решения на тази система (двойки от формата ) образуват определена област, ограничена от параболи 
И 
(Фигура 1).
Очевидно решението на системата от неравенства ще бъде сегмент с дължина 1 при и при . Отговор: ; .
Задача 3. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството 
съдържа числото , а също така съдържа две отсечки с дължина , които нямат общи точки.
Решение. Според значението на неравенството; Нека пренапишем неравенството, като умножим двете страни по (), получаваме неравенството:
, ,
(1)
Неравенство (1) е еквивалентно на комбинацията от две системи:
(фиг. 2).
Очевидно интервалът не може да съдържа сегмент с дължина . Това означава, че в интервала се съдържат две непресичащи се отсечки с дължина.Това е възможно при , т.е. при . Отговор: .
Задача 4. Намерете всички стойности на параметъра, за всяка от които има много решения на неравенството 
съдържа сегмент с дължина 4 и се съдържа в някакъв сегмент с дължина 7.
Решение. Нека извършим еквивалентни трансформации, като вземем предвид, че и .
, ,
; последното неравенство е еквивалентно на комбинацията от две системи:
Нека покажем областите, които съответстват на тези системи (фиг. 3).
1) Когато набор от решения е интервал с дължина по-малка от 4. Когато набор от решения е обединение на два интервала. Само интервал може да съдържа сегмент с дължина 4. Но тогава , и съюзът вече не се съдържа в нито един сегмент с дължина 7. Това означава, че те не отговарят на условието.
2) множеството от решения е интервал. Той съдържа отсечка с дължина 4 само ако дължината му е по-голяма от 4, т.е. при . Той се съдържа в сегмент с дължина 7 само ако дължината му не е по-голяма от 7, т.е. за , тогава . Отговор: .
Задача 5. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството 
съдържа числото 4 и също така съдържа две несвързани отсечки с дължина 4 всяка.
Решение. Според условията. Нека умножим двете страни на неравенството по (). Получаваме еквивалентно неравенство, в което групираме всички членове от лявата страна и го трансформираме в произведение:
, ,
, 
.
От последното неравенство следва:
1) 
2)
Нека покажем областите, които съответстват на тези системи (фиг. 4).
а) При получаваме интервал, който не съдържа числото 4. При получаваме интервал, който също не съдържа числото 4.
б) При получаваме обединението на два интервала. Непресичащите се сегменти с дължина 4 могат да бъдат разположени само в интервала . Това е възможно само ако дължината на интервала е по-голяма от 8, т.е. С тях е изпълнено и друго условие: . Отговор: .
Задача 6. Намерете всички стойности на параметъра, за които наборът от решения на неравенството 
съдържа някакъв сегмент с дължина 2, но не съдържа
няма сегмент с дължина 3.
Решение. Според смисъла на заданието умножаваме двете страни на неравенството по , групираме всички членове от лявата страна на неравенството и го трансформираме в произведение:
, 
. От последното неравенство следва:
1) 
2) 
Нека покажем областта, която съответства на първата система (фиг. 5).
Очевидно условието на задачата е изпълнено, ако 
. Отговор: .
Задача 7. Намерете всички стойности на параметъра, за които множеството от решения на неравенството 1+ 
се съдържа в някакъв сегмент с дължина 1 и в същото време съдържа някакъв сегмент с дължина 0,5.
Решение. 1). Нека посочим ODZ на променливата и параметъра: 
2). Нека пренапишем неравенството във формата
, 
,
(1). Неравенство (1) е еквивалентно на комбинацията от две системи:
1) 
2) 
Като се има предвид ODZ, системните решения изглеждат така:
а) 
б) 
(фиг. 6).
а) 
б)
Нека покажем региона, съответстващ на система a) (фиг. 7).Отговор: .
Задача 8. Шест числа образуват нарастваща аритметична прогресия. Първият, вторият и четвъртият член на тази прогресия са решения на неравенството 
, и останалото
не са решения на това неравенство. Намерете множеството от всички възможни стойности на първия член на такива прогресии.
Решение. I. Намерете всички решения на неравенството
А). ODZ: 
, т.е.
(взехме предвид в решението, че функцията нараства с ).
б). Неравнопоставеност в здравето на децата 
равносилно на неравенство 
, т.е. 
, Какво дава:
1). 
2). 
Очевидно решението на неравенството обслужва много значения 
.
II. Нека илюстрираме втората част от задачата за условията на нарастваща аритметична прогресия с фигурата ( ориз. 8 , където е първият член, е вторият и т.н.). Забележи това:
Или имаме система от линейни неравенства:
Нека го решим графично. Изграждаме прави линии и , както и прави линии
Тогава, .. Първият, вторият и шестият член на тази прогресия са решения на неравенството 
, а останалите не са решения на това неравенство. Намерете множеството от всички възможни стойности на разликата на тази прогресия.
1. Задача.
При какви стойности на параметрите ауравнението ( а - 1)х 2 + 2х + а- 1 = 0 има ли точно един корен?
1. Решение.
При а= 1 уравнението е 2 х= 0 и очевидно има един корен х= 0. Ако а№ 1, тогава това уравнение е квадратно и има един корен за тези стойности на параметрите, при които дискриминантът на квадратния трином е равен на нула. Приравнявайки дискриминанта на нула, получаваме уравнение за параметъра а
4а 2 - 8а= 0, откъдето а= 0 или а = 2.
1. Отговор:уравнението има един корен при аО (0; 1; 2).
2. Задача.
Намерете всички стойности на параметрите а, за което уравнението има два различни корена х 2 +4брадва+8а+3 = 0.
2. Разтвор.
Уравнението х 2 +4брадва+8а+3 = 0 има два различни корена тогава и само ако д =
16а 2 -4(8а+3) > 0. Получаваме (след намаляване с общ множител 4) 4 а 2 -8а-3 > 0, откъдето
2. Отговор:
| а O (-Ґ ; 1 – | Ts 7 2 |
) И (1 + | Ts 7 2 |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно е, че
f 2 (х) = 6х-х 2 -6.
а) Графика на функцията f 1 (х) при а = 1.
б) На каква стойност афункционални графики f 1 (х) И f 2 (х) имат една обща точка?
3. Разтвор.
3.а.Да се трансформираме f 1 (х) по следния начин
Графиката на тази функция при а= 1 е показано на фигурата вдясно.
3.б.Нека веднага да отбележим, че графиките на функциите г =
kx+bИ г = брадва 2 +bx+° С
(а№ 0) се пресичат в една точка тогава и само ако квадратно уравнение kx+b =
брадва 2 +bx+° Сима един корен. Използване на View f 1 от 3.а, нека приравним дискриминанта на уравнението а = 6х-х 2-6 на нула. От уравнение 36-24-4 а= 0 получаваме а= 3. Направете същото с уравнение 2 х-а = 6х-х 2 -6 ще намерим а= 2. Лесно е да се провери дали тези стойности на параметрите отговарят на условията на проблема. Отговор: а= 2 или а = 3.
4. Задача.
Намерете всички стойности а, за които множеството от решения на неравенството х 2 -2брадва-3а i 0 съдържа сегмента.
4. Разтвор.
Първа координата на върха на параболата f(х) =
х 2 -2брадва-3аравна на х 0 =
а. От имоти квадратична функциясъстояние f(х) i 0 на сегмента е еквивалентен на набор от три системи
има точно две решения?
5. Разтвор.
Нека пренапишем това уравнение във формата х 2 + (2а-2)х - 3а+7 = 0. Това е квадратно уравнение, то има точно две решения, ако неговият дискриминант е строго по-голям от нула. Изчислявайки дискриминанта, установяваме, че условието за наличието на точно два корена е изпълнението на неравенството а 2 +а-6 > 0. Решавайки неравенството, намираме а < -3 или а> 2. Първото от неравенствата очевидно е решения в естествени числаняма, а най-малкото естествено решение на второто е числото 3.
5. Отговор: 3.
6. Проблем (10 ключа)
Намерете всички стойности а, за която графиката на функцията или, след очевидни трансформации, а-2 = |
2-а| . Последното уравнение е еквивалентно на неравенството ааз 2.
6. Отговор: аОТНОСНО )
