Разграждане на матрици по ред или колона. Приложение на теоремата на Лаплас за изчисляване на детерминанти от n-ти ред (разгъване на ред или колона). Основни определения и прости свойства

Често в университета има задачи висша математика, при което е необходимо изчислява детерминанта на матрицата. Между другото детерминантата може да бъде само в квадратни матрици. По-долу разглеждаме основните дефиниции на това какви свойства има детерминантата и как да я изчислим правилно.Също така ще покажем подробно решение с помощта на примери.

Какво представлява детерминантата на матрица: изчисляване на детерминантата с помощта на дефиницията

Матрична детерминанта

Вторият ред е числото.

Матричната детерминанта се означава с - (съкратено от латинското наименование на детерминантите), или.

Ако: тогава се оказва

Припомняме още няколко спомагателни определения:

Определение

Подреден набор от числа, който се състои от елементи, се нарича ред на пермутация.

За набор, който съдържа елементи, има факториел (n), който винаги се означава с удивителен знак: . Пермутациите се различават една от друга само по реда си. За да стане по-ясно, нека вземем пример:

Помислете за набор от три елемента (3, 6, 7). Има общо 6 пермутации, тъй като .:

Определение

Инверсия в пермутация на реда е подреден набор от числа (нарича се още биекция), където две от тях образуват вид разстройство. Това е, когато по-голямото от числата в дадена пермутация е разположено отляво на по-малкото число.

По-горе разгледахме пример с инверсия на пермутация, където имаше числа. И така, нека вземем втория ред, където, съдейки по дадените числа, се оказва, че , и , тъй като вторият елемент е по-голям от третия елемент . Да вземем за сравнение шестия ред, където са разположени числата: . Тук има три двойки: , и , тъй като title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Представено от QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Няма да изучаваме самата инверсия, но пермутациите ще ни бъдат много полезни при по-нататъшното разглеждане на темата.

Определение

Детерминанта на матрицата x - число:

е пермутация на числа от 1 до безкрайно число и е броят на инверсиите в пермутацията. Така детерминантата включва термини, които се наричат „термини на детерминантата“.

Можете да изчислите детерминантата на матрица от втори ред, трети и дори четвърти. Също така си струва да се спомене:

Определение

детерминантата на матрицата е число, което е равно на

За да разберем тази формула, ще я опишем по-подробно. Определящо квадратна матрица x е сума, която съдържа членове и всеки член е продукт на определен брой матрични елементи. В същото време всеки продукт има елемент от всеки ред и всяка колона на матрицата.

Може да се появи преди определен член, ако елементите на матрицата в продукта вървят по ред (по номер на ред) и броят на инверсиите в пермутацията на набора от номера на колони е нечетен.

По-горе беше споменато, че детерминантата на матрицата се обозначава с или , т.е. детерминантата често се нарича детерминанта.

И така, обратно към формулата:

От формулата се вижда, че детерминантата на матрица от първи ред е елемент от същата матрица.

Изчисляване на детерминанта на матрица от втори ред

Най-често на практика матричната детерминанта се решава с методи от втори, трети и по-рядко от четвърти ред. Помислете как се изчислява детерминантата на матрица от втори ред:

В матрица от втори ред следва, че факториелът. Преди прилагане на формулата

Необходимо е да се определи какви данни получаваме:

2. пермутации на множества: и ;

3. брой инверсии в пермутация : и , тъй като title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. съответни произведения : и .

Оказва се:

Въз основа на горното получаваме формула за изчисляване на детерминанта на квадратна матрица от втори ред, т.е. x:

Помислете върху конкретен примеркак да изчислим детерминантата на квадратна матрица от втори ред:

Пример

Задача

Изчислете детерминантата на матрицата x:

Решение

И така, получаваме , , , .

За да го разрешите, трябва да използвате разгледаната по-рано формула:

Заменяме числата от примера и намираме:

Отговор

Детерминанта на матрица от втори ред = .

Изчисляване на детерминанта на матрица от трети ред: пример и решение по формулата

Определение

Детерминантата на матрица от трети ред е числото, получено от девет дадени числа, подредени в квадратна таблица,

Детерминантата от трети ред се намира почти по същия начин като детерминантата от втори ред. Единствената разлика е във формулата. Следователно, ако сте добре запознати с формулата, тогава няма да има проблеми с решението.

Помислете за квадратна матрица от трети ред * :

Въз основа на тази матрица разбираме, че съответно факториелът = , което означава, че се получават общите пермутации

За да приложите правилно формулата, трябва да намерите данните:

И така, общите пермутации на множеството:

Броят на инверсиите в пермутацията и съответните продукти = ;

Брой инверсии в пермутация title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Пермутационни инверсии title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; инверсии в пермутация title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; инверсии в пермутация title="(!LANG:Изобразено от QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Сега получаваме:

Така получихме формула за изчисляване на детерминанта на матрица от ред x:

Намиране на матрица от трети ред по правилото на триъгълника (правило на Сарус)

Както бе споменато по-горе, елементите на детерминанта от 3-ти ред са разположени в три реда и три колони. Ако въведем обозначението общ елемент, тогава първият елемент обозначава номера на реда, а вторият елемент от индексите обозначава номера на колоната. Има главни (елементи) и вторични (елементи) диагонали на детерминантата. Членовете от дясната страна се наричат членове на детерминантата).

Може да се види, че всеки член на детерминантата е в схемата само с един елемент във всеки ред и всяка колона.

Можете да изчислите детерминантата, като използвате правилото на правоъгълника, което е показано като диаграма. Детерминантните членове от елементите на главния диагонал са подчертани в червено, както и членовете от елементите, които са на върха на триъгълниците, които имат една страна, са успоредни на главния диагонал (лява диаграма), са взети с Знакът.

Членовете със сини стрелки от елементите на страничния диагонал, както и от елементите, които са във върховете на триъгълници, които имат страни, успоредни на страничния диагонал (дясна диаграма), се вземат със знака.

В следващия пример ще научим как да изчисляваме детерминантата на квадратна матрица от трети ред.

Пример

Задача

Изчислете детерминантата на матрицата от трети ред:

Решение

В този пример:

Ние изчисляваме детерминантата, като използваме формулата или схемата, обсъдена по-горе:

Отговор

Детерминанта на матрица от трети ред =

Основни свойства на матричните детерминанти от трети ред

Въз основа на предишните определения и формули, помислете за основните детерминантни свойства на матрицата.

1. Размерът на детерминантата няма да се промени, когато се заменят съответните редове, колони (такава замяна се нарича транспониране).

Използвайки пример, уверете се, че детерминантата на матрицата е равна на детерминантата на транспонираната матрица:

Спомнете си формулата за изчисляване на детерминантата:

Транспонираме матрицата:

Изчисляваме детерминантата на транспонираната матрица:

Уверихме се, че детерминантата на транспортираната матрица е равна на оригиналната матрица, което показва правилното решение.

2. Знакът на детерминантата ще се промени на противоположния, ако произволни две нейни колони или два реда се сменят в нея.

Да разгледаме един пример:

Дадени са две матрици от трети ред ( x ):

Необходимо е да се покаже, че детерминантите на тези матрици са противоположни.

Решение

В матрицата и в матричните редове са се променили (третият от първия и от първия към третия). Според второто свойство детерминантите на две матрици трябва да се различават по знак. Тоест, едната матрица е положителна, а другата е отрицателна. нека проверим това свойство, като приложим формулата за изчисляване на детерминантата.

Имотът е верен, защото .

3. Детерминантата е равна на нула, ако има еднакви съответни елементи в два реда (колони). Нека детерминантата има еднакви елементи от първата и втората колона:

Разменяйки същите колони, ние, съгласно свойство 2, получаваме нова детерминанта: = . От друга страна, новата детерминанта е същата като оригиналната, тъй като отговорите са същите елементи, т.е. = . От тези равенства получаваме: = .

4. Детерминантата е равна на нула, ако всички елементи на един ред (колона) са нули. Това твърдение произтича от факта, че всеки член на детерминантата съгласно формула (1) има един и само един елемент от всеки ред (колона), който има само нули.

Да разгледаме един пример:

Нека покажем, че матричната детерминанта нула:

Нашата матрица има две еднакви колони (втора и трета), следователно, въз основа на това свойство, детерминантата трябва да е равна на нула. Да проверим:

Наистина детерминантата на матрица с две еднакви колони е нула.

5. Общият фактор на елементите на първия ред (колона) може да бъде изваден от детерминантния знак:

6. Ако елементите на един ред или една колона на детерминантата са пропорционални на съответните елементи на втория ред (колона), тогава такава детерминанта е равна на нула.

Наистина, след свойство 5, коефициентът на пропорционалност може да бъде изваден от знака на детерминантата и тогава може да се използва свойство 3.

7. Ако всеки от елементите на редовете (колоните) на детерминантата е сумата от два члена, то тази детерминанта може да бъде дадена като сума от съответните детерминанти:

За да проверите, достатъчно е да напишете в разширена форма според (1) детерминантата, която е от лявата страна на равенството, след което да групирате отделно членовете, които съдържат елементи и , Всяка от получените групи от членове ще бъде първата и втори детерминанти от дясната страна на равенството, съответно.

8. Стойностите на дефиницията няма да се променят, ако съответните елементи на втория ред (колона), умножени по същото число, се добавят към елемента на един ред или една колона:

Това равенство се получава от свойства 6 и 7.

9. Детерминантата на матрицата , , е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки ред или колона и техните алгебрични допълнения.

Тук под означава алгебричното допълнение на матричния елемент . С помощта на това свойство можете да изчислявате не само матрици от трети ред, но също и матрици от по-високи редове ( x или x ). С други думи, това е рекурсивна формула, която е необходима, за да се изчисли детерминантата на матрица на всяка поръчка. Запомнете го, тъй като често се използва на практика.

Струва си да се каже, че използвайки деветото свойство, можете да изчислите детерминантите на матрици не само от четвърти ред, но и от по-високи редове. В този случай обаче трябва да извършите много изчислителни операции и да бъдете внимателни, тъй като най-малката грешка в знаците ще доведе до неправилно решение. Матриците от по-високи порядки се решават най-удобно по метода на Гаус и ще говорим за това по-късно.

10. Детерминанта на произведението на матрици от един и същи ред е равно на произведениетотехните детерминанти.

Да разгледаме един пример:

Пример

Задача

Уверете се, че детерминантата на двете матрици и е равна на произведението на техните детерминанти. Дадени са две матрици:

Решение

Първо, намираме произведението на детерминантите на две матрици и .

Сега извършваме умножението на двете матрици и по този начин изчисляваме детерминантата:

Отговор

Уверихме се в това

Изчисляване на детерминанта на матрица по метода на Гаус

Матрична детерминантаактуализиран: 22 ноември 2019 г. от: Научни статии.Ru

В хода на решаването на задачи по висша математика много често се налага да изчислява детерминанта на матрицата. Детерминантата на матрица се появява в линейната алгебра, аналитична геометрия, математически анализ и други раздели на висшата математика. По този начин човек просто не може без умението да решава детерминанти. Също така за самопроверка можете да изтеглите безплатно калкулатора на детерминанти, той няма да ви научи как да решавате детерминанти сам, но е много удобен, защото винаги е полезно да знаете правилния отговор предварително!

Няма да давам строго математическо определение на детерминантата и като цяло ще се опитам да минимизирам математическата терминология, това няма да улесни повечето читатели. Целта на тази статия е да ви научи как да решавате детерминанти от втори, трети и четвърти ред. Целият материал е представен в проста и достъпна форма и дори пълен (празен) чайник във висшата математика, след внимателно изучаване на материала, ще може да реши правилно детерминантите.

На практика най-често можете да намерите детерминанта от втори ред, например: , и детерминанта от трети ред, например: .

Детерминанта от четвърти ред също не е антика и ще стигнем до нея в края на урока.

Надявам се всички да разберат следното:Числата вътре в детерминантата живеят сами и за изваждане не може да става дума! Не можете да разменяте номера!

(В частност, възможно е да се извършват по двойки пермутации на редовете или колоните на детерминанта с промяна на неговия знак, но често това не е необходимо - вижте следващия урок Свойства на детерминанта и понижаване на нейния ред)

Следователно, ако е даден детерминант, тогава не пипайте нищо вътре в него!

Нотация: Ако е дадена матрица , тогава неговата детерминанта се означава с . Също така много често детерминантата се обозначава с латинска буква или гръцка.

1)Какво означава да се реши (намери, разкрие) детерминанта?Да изчислиш детерминантата означава да НАМЕРИШ ЧИСЛОТО. Въпросителните знаци в горните примери са напълно обикновени числа.

2) Сега остава да разберем КАК да намеря този номер?За да направите това, трябва да приложите определени правила, формули и алгоритми, които ще бъдат обсъдени сега.

Да започнем с определителя "две" до "две":

ТОВА ТРЯБВА ДА СЕ ЗАПОМНИ, поне за времето на изучаване на висшата математика в университета.

Нека веднага да разгледаме един пример:

Готов. Най-важното е, НЕ ОБЪРКВАЙТЕ ЗНАЦИТЕ.

Детерминанта на матрицата три по триможе да се отвори по 8 начина, 2 от които са прости и 6 са нормални.

Нека започнем с два прости начина

Подобно на детерминантата „две по две“, детерминантата „три по три“ може да бъде разширена с помощта на формулата:

Формулата е дълга и лесно може да се направи грешка поради невнимание. Как да избегнем неудобните грешки? За това е изобретен втори метод за изчисляване на детерминанта, който всъщност съвпада с първия. Нарича се метод на Sarrus или метод на "успоредни ленти".
Долният ред е, че първата и втората колона се приписват отдясно на детерминантата и линиите са внимателно начертани с молив:

Факторите, разположени на "червените" диагонали, се включват във формулата със знак "плюс".
Факторите, разположени на "сините" диагонали, са включени във формулата със знак минус:

Пример:

Сравнете двете решения. Лесно се вижда, че това е СЪЩОТО, само във втория случай факторите на формулата са леко пренаредени и най-важното е, че вероятността да направите грешка е много по-малка.

Сега разгледайте шестте нормални начина за изчисляване на детерминантата

Защо нормално? Тъй като в по-голямата част от случаите детерминантите трябва да бъдат отворени по този начин.

Както можете да видите, детерминантата три по три има три колони и три реда.
Можете да решите детерминантата, като я разширите на всеки ред или на която и да е колона.
Така се оказват 6 начина, като във всички случаи се използват от същия типалгоритъм.

Матрична детерминанта е равно на суматапроизведения на елементи от ред (колона) чрез съответните алгебрични добавки. Страшен? Всичко е много по-просто, ще използваме ненаучен, но разбираем подход, достъпен дори за човек, който е далеч от математиката.

В следващия пример ще разширим детерминантата на първия ред.
За да направим това, имаме нужда от матрица от знаци: . Лесно се вижда, че знаците са разположени шахматно.

внимание! Матрицата от знаци е мое собствено изобретение. Тази концепция не е научна, не е необходимо да се използва при окончателния дизайн на задачите, тя само ви помага да разберете алгоритъма за изчисляване на детерминантата.

Първо ще дам пълното решение. Отново вземаме нашата експериментална детерминанта и извършваме изчисления:

И основният въпрос: КАК да получите това от детерминанта „три по три“:
?

И така, детерминантата „три по три“ се свежда до решаването на три малки детерминанти, или както още се наричат, НЕпълнолетни. Препоръчвам да запомните термина, особено след като е запомнящ се: незначителен - малък.

Веднага след като се избере методът за разширяване на детерминантата на първия ред, явно всичко се върти около него:

Елементите обикновено се разглеждат от ляво на дясно (или отгоре надолу, ако се избере колона)

Хайде, първо се занимаваме с първия елемент на низа, тоест с единицата:

1) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

2) След това пишем самия елемент:

3) МИСЛЕНО задраскайте реда и колоната, в които първият елемент е:

Останалите четири числа образуват определителя "две по две", който се нарича НЕЗНАЧИТЕЛЕНдаден елемент (единица).

Преминаваме към втория елемент на линията.

4) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

5) След това записваме втория елемент:

6) Мислено задраскайте реда и колоната, съдържащи втория елемент:

Е, третият елемент от първия ред. Без оригиналност

7) Изписваме съответния знак от матрицата на знаците:

8) Запишете третия елемент:

9) МИСЛЕНО задраскайте реда и колоната, в които е третият елемент:

Останалите четири числа са записани в малка детерминанта.

Останалите стъпки не са трудни, тъй като вече знаем как да броим детерминантите „две по две“. НЕ БЪРКАЙТЕ ЗНАЦИТЕ!

По същия начин детерминантата може да бъде разширена върху всеки ред или колона.Естествено и в шестте случая отговорът е един и същ.

Детерминантата "четири по четири" може да се изчисли по същия алгоритъм.
В този случай матрицата на знаците ще се увеличи:

В следващия пример разширих детерминантата на четвъртата колона:

А как се случи, опитайте се да разберете сами. Повече информация ще дойде по-късно. Ако някой иска да реши детерминантата докрай, правилният отговор е: 18. За обучение е по-добре детерминантата да се отвори в някоя друга колона или друг ред.

Да практикуваш, да разкриваш, да правиш изчисления е много хубаво и полезно. Но колко време ще отделите за голяма детерминанта? Няма ли по-бърз и надежден начин? Предлагам ви да се запознаете с ефективни методипресмятане на детерминанти във втори урок – Свойства на детерминантата. Намаляване на реда на детерминантата.

БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!

В общия случай правилото за изчисляване на детерминанти от $n$-ти ред е доста тромаво. За детерминанти от втори и трети ред има рационални начини за изчисляването им.

Изчисления на детерминанти от втори ред

За да се изчисли детерминантата на матрицата от втори ред, е необходимо да се извади произведението на елементите на вторичния диагонал от произведението на елементите на главния диагонал:

$$\ляво| \begin(array)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(array)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Пример

Упражнение.Изчислете детерминанта от втори ред $\left| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|$

Решение.$\ляво| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Отговор.$\ляво| \begin(array)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(array)\right|=69$

Методи за изчисляване на детерминанти от трети ред

Има правила за изчисляване на детерминанти от трети ред.

правило на триъгълника

Схематично това правило може да бъде представено по следния начин:

Продуктът на елементите в първата детерминанта, които са свързани с линии, се приема със знак плюс; аналогично за втората детерминанта съответните произведения се вземат със знак минус, т.е.

$$\ляво| \begin(масив)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(array)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Пример

Упражнение.Изчислете $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (масив)\right|$ по метода на триъгълника.

Решение.$\ляво| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (масив)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Отговор.

Правилото на Сарус

Вдясно от определителя се добавят първите две колони и произведенията на елементите по главния диагонал и по успоредните му диагонали се вземат със знак плюс; и произведенията на елементите на вторичния диагонал и диагоналите, успоредни на него, със знак минус:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Пример

Упражнение.Изчислете $\left| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (масив)\right|$ с помощта на правилото на Sarrus.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Отговор.$\ляво| \begin(array)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (масив)\right|=54$

Разширяване на ред или колона на детерминанта

Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите от реда на детерминантата и техните алгебрични допълнения. Обикновено изберете реда/колоната, в която/та има нули. Редът или колоната, върху които се извършва разлагането, ще бъдат обозначени със стрелка.

Пример

Упражнение.Разгънете над първия ред, изчислете детерминантата $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$

Решение.$\ляво| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

Отговор.

Този метод позволява изчисляването на детерминантата да се сведе до изчисляване на детерминанта от по-нисък порядък.

Пример

Упражнение.Изчислете $\left| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|$

Решение.Нека извършим следните трансформации на редовете на детерминанта: от втория ред изваждаме първите четири, а от третия първия ред, умножен по седем, в резултат на това според свойствата на детерминанта получаваме детерминанта равен на дадения.

$$\ляво| \begin(масив)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(масив) \дясно|=\ляво| \begin(масив)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(масив)\right|=$$

$$=\ляво| \begin(array)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ край (масив)\right|=\left| \begin(array)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(масив)\right|=0$$

Детерминантата е нула, защото вторият и третият ред са пропорционални.

Отговор.$\ляво| \begin(array)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(array) \right|=0$

За изчисляване на детерминантите от четвърти ред и по-горе се използва или разширяване в ред / колона, или редукция до триъгълна форма, или използване на теоремата на Лаплас.

Разлагане на детерминантата по отношение на елементите на ред или колона

Пример

Упражнение.Изчислете $\left| \begin(array)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , разширявайки го в елементи на някакъв ред или някаква колона.

Решение.Нека първо извършим елементарни трансформации на редовете на детерминантата, като направим възможно най-много нули в ред или в колона. За да направите това, първо изваждаме девет трети от първия ред, пет трети от втория и три трети от четвъртия, получаваме:

$$\ляво| \begin(масив)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\край (масив)\right|=\left| \begin(масив)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=\ наляво| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|$$

Разширяваме получения детерминант с елементите на първата колона:

$$\ляво| \begin(array)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(array)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ край (масив)\right|+0$$

Полученият детерминант от трети ред също се разширява от елементите на реда и колоната, като преди това са получени нули, например в първата колона. За да направите това, изваждаме два втори реда от първия ред и втория от третия:

$$\ляво| \begin(array)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ край (масив)\right|=\left| \begin(array)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( масив)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(array)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(array)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Отговор.$\ляво| \begin(масив)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\край (масив)\right|=0$

Коментирайте

Последната и предпоследната детерминанти не могат да бъдат изчислени, но веднага се заключава, че са равни на нула, тъй като съдържат пропорционални редове.

Привеждане на детерминантата в триъгълна форма

С помощта на елементарни трансформации по редове или колони детерминантът се редуцира до триъгълна форма, след което стойността му, според свойствата на детерминанта, е равна на произведението на елементите на главния диагонал.

Пример

Упражнение.Изчислете детерминантата $\Delta=\left| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|$, привеждайки го в триъгълна форма.

Решение.Първо правим нули в първата колона под главния диагонал. Всички трансформации ще бъдат по-лесни за изпълнение, ако елементът $a_(11)$ е равен на 1. За да направим това, разменяме първата и втората колона на детерминантата, което според свойствата на детерминантата ще я накара да променете знака на противоположния:

$$\Делта=\наляво| \begin(array)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(array)\right|=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(array)\right|$$

$$\Delta=-\left| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

След това получаваме нули във втората колона на мястото на елементите под главния диагонал. И отново, ако диагоналният елемент е равен на $\pm 1$, тогава изчисленията ще бъдат по-прости. За да направите това, разменяме втория и третия ред (и в същото време променяме на противоположния знак на детерминантата):

$$\Делта=\наляво| \begin(array)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(array)\right|$$

Спомнете си теоремата на Лаплас:
Теорема на Лаплас:

Нека k реда (или k колони) са произволно избрани в детерминанта d от ред n, . Тогава сумата от произведенията на всички минори от k-ти ред, съдържащи се в избраните редове и техните алгебрични допълнения, е равна на детерминантата d.

За да се изчислят детерминантите в общия случай, k се приема равно на 1. Тоест, в детерминанта d от ред n произволно се избира ред (или колона). Тогава сумата от произведенията на всички елементи, съдържащи се в избрания ред (или колона) и техните алгебрични допълнения е равна на детерминантата d.

Пример:
Изчислителна детерминанта

Решение:

Нека изберем произволен ред или колона. По причина, която ще стане ясна малко по-късно, ще ограничим избора си или до третия ред, или до четвъртата колона. И спрете на третия ред.

Нека използваме теоремата на Лаплас.

Първият елемент от избрания ред е 10, той е в третия ред и първата колона. Нека изчислим алгебричното допълнение към него, т.е. намерете детерминантата, получена чрез изтриване на колоната и реда, на които стои този елемент (10), и намерете знака.

"плюс, ако сборът от числата на всички редове и колони, в които се намира второстепенното М, е четен, и минус, ако този сбор е нечетен."
И взехме второстепенното, състоящо се от един единствен елемент 10, който е в първата колона на третия ред.

Така:

Четвъртият член на тази сума е 0, поради което си струва да изберете редове или колони с максимален брой нулеви елементи.

Отговор: -1228

Пример:
Изчислете детерминантата:

Решение:
Нека изберем първата колона, защото два елемента в него са равни на 0. Нека разширим детерминантата в първата колона.

Ние разширяваме всеки от детерминантите от трети ред по отношение на първия и втория ред

Ние разширяваме всяка от детерминантите от втори ред в първата колона

Отговор: 48
коментар:при решаването на този проблем не са използвани формули за изчисляване на детерминантите от 2-ри и 3-ти ред. Използвано е само разширение по ред или колона. Което води до понижаване реда на детерминантите.

Формулиране на проблема

Задачата включва запознаване на потребителя с основните понятия на числените методи, като детерминанта и обратна матрица, и различни начини за тяхното изчисляване. В този теоретичен доклад на прост и достъпен език първо се въвеждат основните понятия и дефиниции, въз основа на които се провеждат по-нататъшни изследвания. Потребителят може да няма специални познания в областта на числените методи и линейната алгебра, но може лесно да използва резултатите от тази работа. За по-голяма яснота е дадена програма за изчисляване на детерминанта на матрицата по няколко метода, написана на езика за програмиране C ++. Програмата се използва като лабораторен стенд за създаване на илюстрации към доклада. Също така се провежда изследване на методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. Безполезността на изчисляването на обратната матрица е доказана, следователно документът предоставя по-оптимални начини за решаване на уравнения, без да го изчислява. Обяснява се защо има толкова много различни методи за изчисляване на детерминанти и обратни матрици и се анализират техните недостатъци. Отчитат се и грешките при изчисляването на детерминантата и се оценява постигнатата точност. В допълнение към руските термини, в работата се използват и техните английски еквиваленти, за да се разбере под какви имена да се търсят числови процедури в библиотеките и какво означават техните параметри.

Основни определения и прости свойства

Определящо

Нека въведем дефиницията на детерминантата на квадратна матрица от произволен ред. Това определение ще рецидивиращ, тоест, за да установите каква е детерминантата на матрицата на реда, трябва вече да знаете какво е детерминантата на матрицата на реда. Обърнете внимание също, че детерминантата съществува само за квадратни матрици.

Детерминантата на квадратна матрица ще бъде означена с или det .

Определение 1. детерминантквадратна матрица извиква се номер на втори ред .

детерминант квадратна матрица от ред , се нарича число

където е детерминантата на подредената матрица, получена от матрицата чрез изтриване на първия ред и колоната с числото .

За по-голяма яснота записваме как можете да изчислите детерминантата на матрица от четвърти ред:

Коментирайте.Действителното изчисляване на детерминантите за матрици над третия ред въз основа на дефиницията се използва в изключителни случаи. По правило изчислението се извършва съгласно други алгоритми, които ще бъдат обсъдени по-късно и които изискват по-малко изчислителна работа.

Коментирайте.В Дефиниция 1 би било по-точно да се каже, че детерминантата е функция, дефинирана върху набора от квадратни матрици и приемаща стойности в набора от числа.

Коментирайте.В литературата вместо термина "детерминанта" се използва и терминът "детерминанта", който има същото значение. От думата "детерминант" се появи обозначението дет.

Нека разгледаме някои свойства на детерминантите, които формулираме под формата на твърдения.

Твърдение 1.При транспониране на матрица детерминантата не се променя, т.е.

Твърдение 2.Детерминантата на произведението на квадратни матрици е равна на произведението на детерминантите на факторите, т.е.

Твърдение 3.Ако два реда в една матрица се разменят, нейният детерминант ще промени знака.

Твърдение 4.Ако една матрица има два еднакви реда, тогава нейният детерминант е нула.

В бъдеще ще трябва да добавяме низове и да умножаваме низ по число. Ние ще изпълняваме тези операции върху редове (колони) по същия начин, както операциите върху матрици на редове (матрици на колони), тоест елемент по елемент. Резултатът ще бъде ред (колона), който по правило не съвпада с редовете на оригиналната матрица. При наличието на операции за добавяне на редове (колони) и умножаването им по число, можем да говорим и за линейни комбинации от редове (колони), тоест суми с числови коефициенти.

Твърдение 5.Ако ред от матрица се умножи по число, тогава неговият детерминант ще бъде умножен по това число.

Твърдение 6.Ако матрицата съдържа нулев ред, тогава нейният детерминант е нула.

Твърдение 7.Ако един от редовете на матрицата е равен на другия, умножен по число (редовете са пропорционални), тогава детерминантата на матрицата е нула.

Твърдение 8.Нека i-тият ред в матрицата изглежда като . Тогава , където матрицата се получава от матрицата чрез замяна на i-тия ред с реда , а матрицата се получава чрез замяна на i-тия ред с реда .

Твърдение 9.Ако един от редовете на матрицата се добави към друг, умножен по число, тогава детерминантата на матрицата няма да се промени.

Твърдение 10.Ако един от редовете на матрицата е линейна комбинация от другите й редове, тогава детерминантата на матрицата е нула.

Определение 2. Алгебрично събиранекъм матричен елемент се нарича число, равно на , където е детерминантата на матрицата, получена от матрицата чрез изтриване на i-тия ред и j-тата колона. Алгебричното допълнение към матричен елемент се означава с .

Пример.Позволявам . Тогава

Коментирайте.Използвайки алгебрични допълнения, дефиницията на 1 детерминанта може да бъде записана по следния начин:

Твърдение 11. Разлагане на детерминантата в произволен низ.

Детерминантата на матрицата удовлетворява формулата

Пример.Изчисли .

Решение.Нека използваме разширението в третия ред, по-изгодно е, защото в третия ред две числа от три са нули. Вземете

Твърдение 12.За квадратна матрица от ред при , имаме връзката .

Твърдение 13.Всички свойства на детерминантата, формулирани за редове (изявления 1 - 11), са валидни и за колони, по-специално, разширяването на детерминантата в j-тата колона е валидно и равенство при .

Твърдение 14.Детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на елементите на главния й диагонал.

Последица.Детерминантата на матрицата на идентичност е равна на едно, .

Заключение.Свойствата, изброени по-горе, позволяват да се намерят детерминанти на матрици от достатъчно високи порядки с относително малко количество изчисления. Алгоритъмът за изчисление е следният.

Алгоритъм за създаване на нули в колона.Нека се изисква да се изчисли детерминантата на реда. Ако , тогава разменете първия ред и всеки друг ред, в който първият елемент не е нула. В резултат на това детерминантата , ще бъде равна на детерминантата на новата матрица с обратен знак. Ако първият елемент на всеки ред е равен на нула, тогава матрицата има нулева колона и според твърдения 1, 13 нейният детерминант е равен на нула.

Така че, ние считаме, че вече в оригиналната матрица. Оставете първия ред непроменен. Нека добавим към втория ред първия ред, умножен по числото . Тогава първият елемент от втория ред ще бъде равен на .

Останалите елементи от новия втори ред ще бъдат означени с , . Детерминантата на новата матрица съгласно твърдение 9 е равна на . Умножете първия ред по числото и го добавете към третия. Първият елемент от новия трети ред ще бъде равен на

Останалите елементи на новия трети ред ще бъдат означени с , . Детерминантата на новата матрица съгласно твърдение 9 е равна на .

Ще продължим процеса на получаване на нули вместо първите елементи на низовете. Накрая умножаваме първия ред по число и го добавяме към последния ред. Резултатът е матрица, означена с , която има формата

и . За да изчислим детерминантата на матрицата, използваме разширението в първата колона

От тогава

Детерминантата на матрицата на поръчката е от дясната страна. Прилагаме към него същия алгоритъм и изчисляването на детерминантата на матрицата ще се сведе до изчисляването на детерминантата на матрицата на реда. Процесът се повтаря, докато достигнем детерминанта от втори ред, която се изчислява по дефиниция.

Ако матрицата няма специфични свойства, тогава не е възможно значително да се намали количеството на изчисленията в сравнение с предложения алгоритъм. Друга добра страна на този алгоритъм е, че е лесно да се напише програма за компютър за изчисляване на детерминантите на матрици от големи поръчки. В стандартните програми за изчисляване на детерминанти този алгоритъм се използва с малки промени, свързани с минимизиране на ефекта от грешки при закръгляване и грешки при въвеждане на данни при компютърни изчисления.

Пример.Изчисляване на детерминанта на матрицата .

Решение.Първият ред остава непроменен. Към втория ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. Към третия ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. Към четвъртия ред добавяме първия, умножен по числото:

Детерминантата не се променя. В резултат на това получаваме

Използвайки същия алгоритъм, изчисляваме детерминантата на матрица от ред 3, която е вдясно. Оставяме първия ред непроменен, към втория ред добавяме първия, умножен по числото :

Към третия ред добавяме първия, умножен по числото :

В резултат на това получаваме

Отговор. .

Коментирайте.Въпреки че в изчисленията са използвани дроби, резултатът е цяло число. Наистина, използвайки свойствата на детерминантите и факта, че оригиналните числа са цели числа, операциите с дроби могат да бъдат избегнати. Но в инженерната практика числата изключително рядко са цели числа. Следователно, като правило, елементите на детерминанта ще бъдат десетични дроби и не е препоръчително да използвате никакви трикове за опростяване на изчисленията.

обратна матрица

Определение 3.Матрицата се нарича обратна матрицаза квадратна матрица, ако .

От дефиницията следва, че обратната матрица ще бъде квадратна матрица от същия ред като матрицата (в противен случай един от продуктите или няма да бъде дефиниран).

обратна матрицаза матрица се обозначава с . Следователно, ако съществува, тогава .

От определението за обратна матрица следва, че матрицата е обратна на матрицата, т.е. Матрици и може да се каже, че са обратни една на друга или взаимно обратни.

Ако детерминантата на матрица е нула, тогава нейната обратна не съществува.

Тъй като за намиране на обратната матрица е важно дали детерминантата на матрицата е равна на нула или не, въвеждаме следните определения.

Определение 4.Нека наречем квадратната матрица изродениили специална матрица, ако и неизродениили неособена матрица, ако .

Изявление.Ако съществува обратна матрица, тя е уникална.

Изявление.Ако квадратната матрица е неизродена, тогава нейната обратна съществува и (1) където са алгебрични добавки към елементите .

Теорема.Обратна матрица за квадратна матрица съществува тогава и само ако матрицата е неособена, обратната матрица е уникална и формула (1) е валидна.

Коментирайте.Особено внимание трябва да се обърне на местата, заети от алгебрични добавки във формулата на обратната матрица: първият индекс показва числото колона, а второто е числото линии, в който трябва да се запише изчисленото алгебрично допълнение.

Пример. .

Решение.Намиране на определителя

Тъй като , тогава матрицата е неизродена и обратната за нея съществува. Намиране на алгебрични добавки:

Съставяме обратната матрица, като поставяме намерените алгебрични добавки така, че първият индекс да съответства на колоната, а вторият на реда: (2)

Получената матрица (2) е отговорът на проблема.

Коментирайте.В предишния пример би било по-точно да напишете отговора така:
(3)

Нотацията (2) обаче е по-компактна и е по-удобно да се извършват допълнителни изчисления, ако има такива, с нея. Следователно записването на отговора във формата (2) е за предпочитане, ако елементите на матриците са цели числа. Обратно, ако елементите на матрицата са десетични знаци, тогава е по-добре да напишете обратната матрица без фактор отпред.

Коментирайте.Когато намирате обратната матрица, трябва да извършите доста изчисления и необичайно правило за подреждане на алгебрични добавки в крайната матрица. Следователно има голям шанс за грешка. За да избегнете грешки, трябва да направите проверка: изчислете произведението на оригиналната матрица с крайната в един или друг ред. Ако резултатът е единична матрица, тогава обратната матрица е намерена правилно. В противен случай трябва да потърсите грешка.

Пример.Намерете обратното на матрица .

Решение. - съществува.

Отговор: .

Заключение.Намирането на обратната матрица по формула (1) изисква твърде много изчисления. За матрици от четвърти ред и по-високи това е неприемливо. Реалният алгоритъм за намиране на обратната матрица ще бъде даден по-късно.