Как да намерим сбора на модулите. Модул на числото (абсолютна стойност на числото), определения, примери, свойства. Разбрахте ли всичко? След това продължете да тренирате върху примери

Модулът е едно от онези неща, за които сякаш всички са чували, но в действителност никой не разбира. Затова днес ще има голям урок, посветен на решаването на уравнения с модули.

Веднага ще ви кажа: урокът ще бъде прост. Като цяло модулите като цяло са сравнително проста тема. „Да, разбира се, лесно е! Това кара мозъка ми да експлодира!" - ще кажат много студенти, но всички тези мозъчни счупвания се дължат на факта, че повечето хора имат не знания в главите си, а някакви глупости. И целта на този урок е да превърне глупостите в знания. :)

Малко теория

Така че да тръгваме. Да започнем с най-важното: какво е модул? Нека ви напомня, че модулът на едно число е просто същото число, но взето без знака минус. Това е например $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5\вдясно|=129,5$.

Толкова ли е просто? Да, просто. Тогава какъв е модулът на положително число? Тук е още по-просто: модулът на положително число е равен на самото това число: $\left| 5\вдясно|=5$; $\ляво| 129.5 \right|=129.5$ и т.н.

\[\ляво| -a \дясно|=\ляво| a\right|\]

Друг важен факт: модулът никога не е отрицателен. Каквото и число да вземем – дори положително, дори отрицателно – неговият модул винаги се оказва положителен (или в краен случай нула). Ето защо модулът често се нарича абсолютна стойност на число.

Освен това, ако комбинираме дефиницията на модула за положително и отрицателно число, тогава получаваме глобална дефиниция на модула за всички числа. А именно: модулът на едно число е равен на самото това число, ако числото е положително (или нула), или равен на противоположното число, ако числото е отрицателно. Можете да напишете това като формула:

Има и нулев модул, но винаги е такъв нула. Освен това нулата е единственото число, което няма противоположност.

Така, ако разгледаме функцията $y=\left| x \right|$ и се опитайте да начертаете неговата графика, ще получите такава „шарка“:

Графика на модул и пример за решение на уравнение

От тази снимка веднага можете да видите, че $\left| -m \дясно|=\ляво| m \right|$ и графиката на модула никога не пада под оста x. Но това не е всичко: червената линия маркира правата $y=a$, която с положителен $a$ ни дава два корена едновременно: $((x)_(1))$ и $((x) _(2)) $, но ще говорим за това по-късно. :)

Отвъд чисто алгебрична дефиниция, е геометрична. Да кажем, че има две точки на числовата ос: $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$. В този случай изразът $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ е само разстоянието между посочените точки. Или, ако желаете, дължината на отсечката, свързваща тези точки:

Модулът е разстоянието между точките на числовата ос

От това определение също следва, че модулът винаги е неотрицателен. Но стига дефиниции и теория - да преминем към реални уравнения. :)

Основна формула

Добре, измислихме определението. Но не стана по-лесно. Как да решим уравнения, съдържащи точно този модул?

Спокойно, само спокойно. Да започнем с най-простите неща. Помислете за нещо подобно:

\[\ляво| x\надясно|=3\]

Така че модулът $x$ е 3. На какво може да бъде равно $x$? Е, съдейки по дефиницията, $x=3$ ще ни подхожда добре. Наистина ли:

\[\ляво| 3\надясно|=3\]

Има ли други номера? Капачката сякаш намеква, че има. Например $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, т.е. изискваното равенство е изпълнено.

Така че може би ако търсим, мислим, ще намерим повече числа? Но прекъснете: няма повече числа. Уравнение $\left| x \right|=3$ има само два корена: $x=3$ и $x=-3$.

Сега нека усложним малко задачата. Нека вместо променливата $x$ под знака на модула виси функцията $f\left(x \right)$, а отдясно вместо тройката да поставим произволно число $a$. Получаваме уравнението:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\]

Е, как решавате? Нека ви напомня: $f\left(x \right)$ е произволна функция, $a$ е произволно число. Тези. всякакви! Например:

\[\ляво| 2x+1 \надясно|=5\]

\[\ляво| 10x-5 \right|=-65\]

Нека разгледаме второто уравнение. Веднага можете да кажете за него: той няма корени. Защо? Точно така: защото изисква модулът да е равен на отрицателно число, което никога не се случва, тъй като вече знаем, че модулът винаги е положително число или, в краен случай, нула.

Но с първото уравнение всичко е по-забавно. Има два варианта: или под знака на модула има положителен израз и след това $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, или този израз все още е отрицателен, в който случай $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В първия случай нашето уравнение ще бъде пренаписано като:

\[\ляво| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И изведнъж се оказва, че подмодулният израз $2x+1$ наистина е положителен - той е равен на числото 5. Т.е. можем безопасно да решим това уравнение - полученият корен ще бъде част от отговора:

Тези, които са особено недоверчиви, могат да опитат да заменят намерения корен в оригиналното уравнение и да се уверят, че под модула наистина ще има положително число.

Сега нека да разгледаме случая на израз на отрицателен подмодул:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Стрелка надясно 2x+1=-5\]

Опа! Отново всичко е ясно: приехме, че $2x+1 \lt 0$, и в резултат получихме, че $2x+1=-5$ - наистина, този израз е по-малък от нула. Решаваме полученото уравнение, като вече знаем със сигурност, че намереният корен ще ни подхожда:

Общо отново получихме два отговора: $x=2$ и $x=3$. Да, количеството изчисления се оказа малко повече, отколкото в много простото уравнение $\left| x \right|=3$, но фундаментално нищо не се е променило. Така че може би има някакъв универсален алгоритъм?

Да, такъв алгоритъм съществува. И сега ще го анализираме.

Отървете се от знака на модула

Нека ни е дадено уравнението $\left| f\left(x \right) \right|=a$ и $a\ge 0$ (в противен случай, както вече знаем, няма корени). След това можете да се отървете от знака модул според следното правило:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Така нашето уравнение с модула се разделя на две, но без модула. Това е цялата технология! Нека се опитаме да решим няколко уравнения. Да започнем с това

\[\ляво| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Отделно ще разглеждаме кога има десетка с плюс вдясно и отделно кога е с минус. Ние имаме:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Дясна стрелка 5x=-14\Дясна стрелка x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Имаме два корена: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Цялото решение отне буквално два реда.

Добре, няма въпрос, нека да разгледаме нещо малко по-сериозно:

\[\ляво| 7-5x \right|=13\]

Отново отворете модула с плюс и минус:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Стрелка надясно -5x=-20\Стрелка надясно x=4. \\\край (подравняване)\]

Отново няколко реда - и отговорът е готов! Както казах, няма нищо сложно в модулите. Просто трябва да запомните няколко правила. Затова отиваме по-далеч и продължаваме с наистина по-трудни задачи.

Променлива дясна кутия

Сега разгледайте това уравнение:

\[\ляво| 3x-2 \надясно|=2x\]

Това уравнение е фундаментално различно от всички предишни. как? И фактът, че изразът $2x$ е вдясно от знака за равенство - и не можем да знаем предварително дали е положителен или отрицателен.

Как да бъдем в такъв случай? Първо, трябва да разберем това веднъж завинаги ако дясната страна на уравнението е отрицателна, тогава уравнението няма да има корени- вече знаем, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число.

И второ, ако дясната част все още е положителна (или равна на нула), тогава можете да продължите по абсолютно същия начин, както преди: просто отворете модула отделно със знака плюс и отделно със знака минус.

Така формулираме правило за произволни функции $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

По отношение на нашето уравнение получаваме:

\[\ляво| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Е, можем по някакъв начин да се справим с изискването $2x\ge 0$. В крайна сметка можем глупаво да заместим корените, които получаваме от първото уравнение и да проверим дали неравенството е валидно или не.

Така че нека решим самото уравнение:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Стрелка надясно 3x=0\Стрелка надясно x=0. \\\край (подравняване)\]

Е, кой от тези два корена удовлетворява изискването $2x\ge 0$? Да и двете! Следователно отговорът ще бъде две числа: $x=(4)/(3)\;$ и $x=0$. Това е решението. :)

Подозирам, че някой от учениците вече е започнал да се отегчава? Е, помислете за още по-сложно уравнение:

\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Въпреки че изглежда зло, всъщност това е едно и също уравнение във формата "модул е равно на функция":

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

И се решава по същия начин:

\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ще се занимаваме с неравенството по-късно - някак си е твърде порочно (всъщност просто, но няма да го решаваме). Засега нека да разгледаме получените уравнения. Помислете за първия случай - това е, когато модулът е разширен със знак плюс:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Е, тук е безсмислено, че трябва да съберете всичко отляво, да донесете подобни и да видите какво ще се случи. И ето какво се случва:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\край (подравняване)\]

Като поставим общия множител $((x)^(2))$ извън скобите, получаваме много просто уравнение:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Тук използвахме важно свойство на произведението, в името на което разложихме оригиналния полином: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Сега по същия начин ще се справим с второто уравнение, което се получава чрез разширяване на модула със знак минус:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\наляво(-3x+2 \надясно)=0. \\\край (подравняване)\]

Отново същото нещо: произведението е нула, когато поне един от факторите е нула. Ние имаме:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Е, имаме три корена: $x=0$, $x=1,5$ и $x=(2)/(3)\;$. Е, какво ще влезе в крайния отговор от този набор? За да направите това, не забравяйте, че имаме допълнително ограничение за неравенство:

Как да вземем предвид това изискване? Нека просто заместим намерените корени и проверим дали неравенството е валидно за тези $x$ или не. Ние имаме:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Стрелка надясно x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\край (подравняване)\]

Така коренът $x=1,5$ не ни устройва. И само два корена ще отидат в отговор:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Както можете да видите, дори и в този случай нямаше нищо трудно - уравненията с модули винаги се решават според алгоритъма. Просто трябва да имате добро разбиране на полиномите и неравенствата. Затова преминаваме към по-сложни задачи - вече ще има не един, а два модула.

Уравнения с два модула

Досега сме изучавали само най-простите уравнения - имаше един модул и нещо друго. Изпратихме това „нещо друго“ към друга част от неравенството, далеч от модула, така че накрая всичко да се сведе до уравнение като $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или още по-просто $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Но детска градинакрай - време е да помислите за нещо по-сериозно. Нека започнем с уравнения като това:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Това е уравнение във формата „модуло равен на модула". Фундаментално важен момент е липсата на други условия и фактори: само един модул отляво, още един модул отдясно - и нищо повече.

Сега човек би си помислил, че такива уравнения са по-трудни за решаване от това, което сме изучавали досега. Но не: тези уравнения се решават още по-лесно. Ето формулата:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всичко! Ние просто приравняваме подмодулни изрази, като поставяме пред един от тях знак плюс или минус. И тогава решаваме получените две уравнения - и корените са готови! Без допълнителни ограничения, без неравности и т.н. Всичко е много просто.

Нека се опитаме да разрешим този проблем:

\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\]

Елементарно Уотсън! Отваряне на модулите:

\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Нека разгледаме всеки случай поотделно:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\ляво(2x-7 \дясно)\Дясна стрелка 2x+3=-2x+7. \\\край (подравняване)\]

Първото уравнение няма корени. Защото кога $3=-7$? За какви стойности на $x$? „Какво, по дяволите, е $x$? Накаменен ли си? Изобщо няма $x$“, казвате вие. И ще бъдеш прав. Получихме равенство, което не зависи от променливата $x$, а в същото време самото равенство е неправилно. Затова няма корени.

С второто уравнение всичко е малко по-интересно, но и много, много просто:

Както можете да видите, всичко беше решено буквално в няколко реда - не очаквахме нищо друго от линейно уравнение. :)

В резултат крайният отговор е: $x=1$.

Е, как? Труден? Разбира се, че не. Нека опитаме нещо друго:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Отново имаме уравнение като $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Затова незабавно го пренаписваме, разкривайки знака на модула:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Може би сега някой ще попита: „Ей, какви глупости? Защо плюс-минус е от дясната страна, а не от лявата страна? Спокойно, ще обясня всичко. Наистина, по добър начин, трябваше да пренапишем нашето уравнение, както следва:

След това трябва да отворите скобите, да преместите всички членове в една посока от знака за равенство (тъй като уравнението очевидно ще бъде квадратно и в двата случая) и след това да намерите корените. Но трябва да признаете: когато „плюс-минус“ стои пред три термина (особено когато един от тези термини е квадратен израз), някак си изглежда по-сложно от ситуацията, когато „плюс-минус“ е само пред два условия.

Но нищо не ни пречи да пренапишем оригиналното уравнение, както следва:

Какво стана? Да, нищо особено: просто размених лявата и дясната страна. Една дреболия, която в крайна сметка малко ще опрости живота ни. :)

Като цяло решаваме това уравнение, като разглеждаме опции с плюс и минус:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\край (подравняване)\]

Първото уравнение има корени $x=3$ и $x=1$. Вторият обикновено е точен квадрат:

\[((x)^(2))-2x+1=((\ляво(x-1 \дясно))^(2))\]

Следователно има един корен: $x=1$. Но ние вече получихме този корен по-рано. Така само две числа ще влязат в крайния отговор:

\[((x)_(1))=3;\квадрат ((x)_(2))=1.\]

Мисията е завършена! Можете да го вземете от рафта и да изядете пай. Има 2 от тях, средно. :)

Важна забележка. С еднакви корени различни вариантиразширяването на модула означава, че оригиналните полиноми се разлагат на фактори и сред тези фактори задължително ще има общ. Наистина ли:

\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\край (подравняване)\]

Едно от свойствата на модула: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модулът на продукта е равно на произведениетомодули), така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \надясно|\]

Както виждате, наистина имаме общ фактор. Сега, ако съберете всички модули от едната страна, тогава можете да извадите този множител от скобата:

\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \вдясно|; \\&\ляво| x-1 \дясно|-\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\ляво| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\край (подравняване)\]

Е, сега си спомняме, че произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Така първоначалното уравнение с два модула е сведено до двете най-прости уравнения, за които говорихме в самото начало на урока. Такива уравнения могат да бъдат решени само с няколко реда. :)

Тази забележка може да изглежда ненужно сложна и неприложима на практика. В действителност обаче може да срещнете много по-сложни задачи от тези, които анализираме днес. В тях модулите могат да се комбинират с полиноми, аритметични корени, логаритми и др. И в такива ситуации възможността да се намали общата степен на уравнението, като се постави нещо извън скобата, може да бъде много, много полезно. :)

Сега бих искал да анализирам друго уравнение, което на пръв поглед може да изглежда налудничаво. Много студенти се „придържат“ към него – дори и тези, които смятат, че разбират добре модулите.

Това уравнение обаче е дори по-лесно за решаване от това, което разгледахме по-рано. И ако разберете защо, ще получите още един трик за бързо решаване на уравнения с модули.

Така че уравнението е:

\[\ляво| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Не, това не е печатна грешка: това е плюс между модулите. И трябва да намерим за кой $x$ сумата от два модула е равна на нула. :)

Какъв е проблемът? И проблемът е, че всеки модул е положително число или в краен случай нула. Какво се случва, когато съберете две положителни числа? Очевидно отново положително число:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\край (подравняване)\]

Последният ред може да ви даде представа: единственият случай, когато сумата от модулите е нула, е ако всеки модул е равен на нула:

Кога модулът е равен на нула? Само в един случай - когато изразът на подмодула е равен на нула:

\[((x)^(2))+x-2=0\Дясна стрелка \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Така имаме три точки, в които първият модул е настроен на нула: 0, 1 и −1; както и две точки, в които вторият модул се нулира: −2 и 1. Трябва обаче и двата модула да бъдат нулирани едновременно, така че сред намерените числа трябва да изберем тези, които са включени в двата набора. Очевидно има само едно такова число: $x=1$ - това ще бъде окончателният отговор.

метод на разделяне

Е, вече изпълнихме куп задачи и научихме много трикове. Мислите ли, че това е? Но не! Сега ще разгледаме последната техника - и в същото време най-важната. Ще говорим за разделяне на уравнения с модул. Какво ще се обсъжда? Нека се върнем малко назад и да разгледаме едно просто уравнение. Например това:

\[\ляво| 3x-5\надясно|=5-3x\]

По принцип вече знаем как да решим такова уравнение, защото то е стандартен $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но нека се опитаме да погледнем това уравнение от малко по-различен ъгъл. По-точно, разгледайте израза под знака на модула. Нека ви напомня, че модулът на всяко число може да бъде равен на самото число или може да бъде противоположен на това число:

\[\ляво| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Всъщност тази неяснота е целият проблем: тъй като числото под модула се променя (зависи от променливата), не ни е ясно дали е положително или отрицателно.

Но какво ще стане, ако първоначално изискваме това число да е положително? Например, нека изискаме $3x-5 \gt 0$ - в този случай гарантирано ще получим положително число под знака на модула и можем напълно да се отървем от този модул:

Така нашето уравнение ще се превърне в линейно, което лесно се решава:

Вярно е, че всички тези съображения имат смисъл само при условие $3x-5 \gt 0$ - ние сами въведохме това изискване, за да разкрием недвусмислено модула. Така че нека заместим намереното $x=\frac(5)(3)$ в това условие и да проверим:

Оказва се, че за посочената стойност на $x$ нашето изискване не е изпълнено, защото израз се оказа равен на нула и трябва да е строго по-голям от нула. Тъжно. :(

Но това е добре! В края на краищата има още една опция $3x-5 \lt 0$. Освен това: има и случай $3x-5=0$ - това също трябва да се има предвид, в противен случай решението ще бъде непълно. Така че, разгледайте случая $3x-5 \lt 0$:

Очевидно е, че модулът ще се отвори със знак минус. Но тогава възниква странна ситуация: един и същ израз ще стърчи както отляво, така и отдясно в оригиналното уравнение:

Чудя се за какво такова $x$ изразът $5-3x$ ще е равен на израза $5-3x$? От такива уравнения дори Капитана очевидно би се задавил със слюнка, но знаем, че това уравнение е тъждество, т.е. вярно е за всяка стойност на променливата!

А това означава, че всеки $x$ ще ни подхожда. Имаме обаче ограничение:

С други думи, отговорът няма да бъде едно число, а цял интервал:

И накрая, остава още един случай за разглеждане: $3x-5=0$. Тук всичко е просто: под модула ще има нула, а модулът на нула също е равен на нула (това директно следва от определението):

Но тогава първоначалното уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ще бъде пренаписано по следния начин:

Вече получихме този корен по-горе, когато разгледахме случая $3x-5 \gt 0$. Освен това този корен е решение на уравнението $3x-5=0$ - това е ограничението, което самите ние въведохме, за да анулираме модула. :)

Така, освен с интервала, ще се задоволим и с числото, лежащо в самия край на този интервал:

Комбиниране на корени в уравнения с модул

Общ краен отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Не е много обичайно да видите такива глупости в отговора на доста просто (по същество линейно) уравнение с модул Е, свикнете с това: сложността на модула се крие във факта, че отговорите в такива уравнения могат да бъдат напълно непредвидими.

Много по-важно е нещо друго: току-що демонтирахме универсален алгоритъм за решаване на уравнение с модул! И този алгоритъм се състои от следните стъпки:

Приравнете всеки модул в уравнението на нула. Нека получим някои уравнения;
Решете всички тези уравнения и маркирайте корените на числовата ос. В резултат на това правата линия ще бъде разделена на няколко интервала, на всеки от които всички модули са уникално разширени;
Решете първоначалното уравнение за всеки интервал и комбинирайте отговорите.

Това е всичко! Остава само един въпрос: какво да правим със самите корени, получени на първата стъпка? Да кажем, че имаме два корена: $x=1$ и $x=5$. Те ще разделят числовата линия на 3 части:

Разделяне на числова линия на интервали с помощта на точки

И така, какви са интервалите? Ясно е, че те са три:

Най-ляво: $x \lt 1$ - самата единица не е включена в интервала;
Централна: $1\le x \lt 5$ - тук единица е включена в интервала, но пет не са включени;
Най-десният: $x\ge 5$ — петицата е включена само тук!

Мисля, че вече разбирате модела. Всеки интервал включва левия край и не включва десния край.

На пръв поглед такъв запис може да изглежда неудобен, нелогичен и като цяло някаква лудост. Но повярвайте ми: след малко практика ще откриете, че това е най-надеждният подход и в същото време не пречи на недвусмисленото разкриване на модули. По-добре е да използвате такава схема, отколкото да мислите всеки път: дайте левия / десния край на текущия интервал или го „хвърлете“ на следващия.

Това е мястото, където урокът свършва. Изтегляне на задачи за независимо решение, тренирайте, сравнявайте с отговорите - и ще се видим в следващия урок, който ще бъде посветен на неравенства с модули. :)

Първо дефинираме знака на израза под знака на модула и след това разширяваме модула:

ако стойността на израза е по-голяма от нула, тогава просто го изваждаме от под знака на модула,
ако изразът е по-малък от нула, тогава го изваждаме от под знака на модула, докато променяме знака, както направихме по-рано в примерите.

Е, ще опитаме ли? Нека преценим:

(Забравих, повторете.)

Ако е така, какъв е знакът? Добре, разбира се, !

И следователно разкриваме знака на модула, като променяме знака на израза:

Схванах го? Тогава опитайте сами:

Отговори:

Какви други свойства има модулът?

Ако трябва да умножим числата вътре в знака модул, можем спокойно да умножим модула на тези числа!!!

В математически термини, модулът на произведението на числата е равен на произведението на модулите на тези числа.

Например:

Но какво ще стане, ако трябва да разделим две числа (изрази) под знака модул?

Да, същото като при умножението! Нека го разделим на две отделни числа (изрази) под знака на модула:

при условие че (тъй като не можете да делите на нула).

Струва си да запомните още едно свойство на модула:

Модулът на сбора на числата винаги е по-малък или равен на сбора на модулите на тези числа:

Защо така? Всичко е много просто!

Както помним, модулът винаги е положителен. Но под знака на модула може да има всяко число: както положително, така и отрицателно. Да приемем, че и двете числа и са положителни. Тогава левият израз ще бъде равен на десния израз.

Да разгледаме един пример:

Ако под знака за модул едното число е отрицателно, а другото е положително, левият израз винаги ще бъде по-малък от десния:

Изглежда, че всичко е ясно с това свойство, нека разгледаме още няколко полезни свойства на модула.

Ами ако имаме този израз:

Какво можем да направим с този израз? Не знаем стойността на x, но вече знаем какво означава.

Числото е по-голямо от нула, което означава, че можете просто да напишете:

Така стигнахме до друго свойство, което най-общо може да бъде представено по следния начин:

Какво е значението на този израз:

И така, трябва да дефинираме знака под модула. Необходимо ли е да се дефинира знак тук?

Разбира се, че не, ако помните, че всяко число на квадрат винаги е по-голямо от нула! Ако не си спомняте вижте темата. И какво става? И ето какво:

Страхотно е, нали? Доста удобно. И сега конкретен примерда поправя:

Е, защо да се съмнявам? Да действаме смело!

Разбрахте ли всичко? След това продължете и практикувайте с примери!

1. Намерете стойността на израза if.

2. На кои числа е равен модулът?

3. Намерете значението на изразите:

Ако все още не всичко е ясно и има трудности при вземането на решения, тогава нека да го разберем:

Решение 1:

Така че, нека заместим стойностите в израза

Решение 2:

Както помним, противоположните числа са равни по модул. Това означава, че стойността на модула е равна на две числа: и.

Решение 3:

а)
б)
V)
G)

Хванахте ли всичко? Тогава е време да преминете към нещо по-сложно!

Нека се опитаме да опростим израза

Решение:

И така, помним, че стойността на модула не може да бъде по-малка от нула. Ако числото под знака за модул е положително, тогава можем просто да отхвърлим знака: модулът на числото ще бъде равен на това число.

Но ако под знака за модул стои отрицателно число, тогава стойността на модула е равна на противоположното число (т.е. числото, взето със знака „-“).

За да намерите модула на всеки израз, първо трябва да разберете дали той приема положителна или отрицателна стойност.

Оказва се, стойността на първия израз под модула.

Следователно изразът под знака за модул е отрицателен. Вторият израз под знака за модул винаги е положителен, тъй като събираме две положителни числа.

И така, стойността на първия израз под знака на модула е отрицателна, втората е положителна:

Това означава, че когато разширяваме знака на модула на първия израз, трябва да вземем този израз със знака „-“. Като този:

Във втория случай просто изпускаме знака модул:

Нека опростим този израз в неговата цялост:

Модул на число и неговите свойства (строги определения и доказателства)

определение:

Модул ( абсолютна стойност) числата са самото число ако и числото ако:

Например:

Пример:

Опростете израза.

Решение:

Основни свойства на модула

За всички:

Пример:

Докажете свойство #5.

Доказателство:

Да приемем, че има

Нека повдигнем на квадрат лявата и дясната част на неравенството (това може да се направи, тъй като и двете части на неравенството винаги са неотрицателни):

а това противоречи на определението за модул.

Следователно няма такива, което означава, че за цялото неравенство

Примери за самостоятелно решение:

1) Докажете свойство №6.

2) Опростете израза.

Отговори:

1) Нека използваме свойство № 3: , и тъй като, тогава

За да опростите, трябва да разширите модулите. И за да разширите модулите, трябва да разберете дали изразите под модула са положителни или отрицателни?

а. Нека сравним числата и и:

b. Сега нека сравним:

Добавяме стойностите на модулите:

Абсолютната стойност на число. Накратко за основното.

Модулът (абсолютната стойност) на числото е самото число if и числото if:

Свойства на модула:

Модулът на числото е неотрицателно число: ;
Модулите на противоположни числа са равни: ;
Модулът на произведението на две (или повече) числа е равен на произведението на техните модули: ;
Модулът на частното на две числа е равен на частното на техните модули: ;
Модулът на сбора на числата винаги е по-малък или равен на сбора на модулите на тези числа: ;
Постоянният положителен фактор може да бъде изваден от знака за модул: at;

модулно числосамото това число се нарича, ако е неотрицателно, или същото число с обратен знак, ако е отрицателно.

Например модулът на 5 е 5 и модулът на -5 също е 5.

Тоест, модулът на числото се разбира като абсолютна стойност, абсолютната стойност на това число, без да се взема предвид неговият знак.

Означава се както следва: |5|, | х|, |А| и т.н.

правило:

Обяснение:

|5| = 5
Той се чете така: модулът на числото 5 е 5.

|–5| = –(–5) = 5
Той се чете така: модулът на числото -5 е 5.

|0| = 0
Той се чете така: модулът на нула е нула.

Свойства на модула:

1) Модулът на числото е неотрицателно число:

|А| ≥ 0

2) Модулите на противоположни числа са равни:

|А| = |–А|

3) Квадратът на модула на числото е равен на квадрата на това число:

|А| 2 = a2

4) Модулът на произведението на числата е равен на произведението на модулите на тези числа:

|А · b| = |А| · | b|

6) Модулът на частните числа е равен на отношението на модулите на тези числа:

|А : b| = |А| : |b|

7) Модулът на сумата на числата е по-малък или равен на сумата на техните модули:

|А + b| ≤ |А| + |b|

8) Модулът на разликата на числата е по-малък или равен на сумата от техните модули:

|А – b| ≤ |А| + |b|

9) Модулът на сумата / разликата на числата е по-голям или равен на модула на разликата между техните модули:

|А ± b| ≥ ||А| – |b||

10) От знака на модула може да се извади постоянен положителен фактор:

|м · а| = м · | А|, м >0

11) Степента на числото може да бъде извадена от знака на модула:

|А k | = | А| k, ако k съществува

12) Ако | А| = |b|, тогава а = ± b

Геометричното значение на модула.

Модулът на число е разстоянието от нула до това число.

Например, нека отново вземем числото 5. Разстоянието от 0 до 5 е същото като от 0 до -5 (фиг. 1). А когато за нас е важно да знаем само дължината на отсечката, тогава знакът няма не само смисъл, но и смисъл. Това обаче не е съвсем вярно: ние измерваме разстоянието само с положителни числа - или неотрицателни числа. Нека делението на нашата скала е 1 см. Тогава дължината на сегмента от нула до 5 е 5 см, от нула до -5 също е 5 см.

На практика разстоянието често се измерва не само от нулата - референтна точка може да бъде всяко число (фиг. 2). Но същността на това не се променя. Запис от формата |a – b| изразява разстоянието между точките АИ bна числовата ос.

Пример 1 . Решете уравнение | х – 1| = 3.

Решение .

Значението на уравнението е, че разстоянието между точките хи 1 е равно на 3 (фиг. 2). Следователно от точка 1 броим три деления наляво и три деления надясно - и ясно виждаме и двете стойности х:
х 1 = –2, х 2 = 4.

Можем да изчислим.

│х – 1 = 3
│х – 1 = –3

│х = 3 + 1
│х = –3 + 1

│х = 4
│ х = –2.

Отговор : х 1 = –2; х 2 = 4.

Пример 2 . Намерете модула на израз:

Решение .

Първо разберете дали изразът е положителен или отрицателен. За да направим това, преобразуваме израза така, че да се състои от еднородни числа. Да не търсим корен от 5 - доста е трудно. Нека го направим по-лесно: повдигаме 3 и 10 до корена.След това сравняваме големината на числата, които съставляват разликата:

3 = √9. Следователно, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Виждаме, че първото число е по-малко от второто. Това означава, че изразът е отрицателен, тоест отговорът му е по-малък от нула:

3√5 – 10 < 0.

Но според правилото модулът на отрицателно число е същото число с противоположен знак. Имаме отрицателен израз. Следователно е необходимо да се промени знакът му на противоположния. Обратното на 3√5 - 10 е -(3√5 - 10). Нека отворим скобите в него - и ще получим отговора:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Отговор .

Инструкция

Ако модулът е представен като непрекъсната функция, тогава стойността на неговия аргумент може да бъде положителна или отрицателна: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Модулът е нула, а модулът на всяко положително число е неговият модул. Ако аргументът е отрицателен, тогава след отваряне на скобите знакът му се променя от минус на плюс. Въз основа на това следва заключението, че модулите на противоположното са равни: |-x| = |x| = х.

Модул комплексно числосе намира по формулата: |a| = √b ² + c ² и |a + b| ≤ |a| + |b|. Ако аргументът съдържа положително число като множител, то може да бъде извадено от знака в скоба, например: |4*b| = 4*|b|.

Ако аргументът е представен като комплексно число, тогава за удобство на изчисленията е разрешен редът на членовете на израза, оградени в квадратни скоби: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, защото (2-3) е по-малко от нула.

Аргументът, повдигнат на степен, е едновременно под знака на корен от същия ред - решава се с: √a² = |a| = ±a.

Ако имате задача пред себе си, която не посочва условието за разширяване на модулните скоби, тогава не е необходимо да се отървете от тях - това ще бъде крайният резултат. И ако искате да ги отворите, тогава трябва да посочите знака ±. Например, трябва да намерите стойността на израза √(2 * (4-b)) ². Неговото решение изглежда така: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Тъй като знакът на израза 4-b е неизвестен, той трябва да бъде оставен в скоби. Ако добавите допълнително условие, например |4-b| >

Модулът на нула е равен на нула, а модулът на всяко положително число е равен на себе си. Ако аргументът е отрицателен, тогава след отваряне на скобите знакът му се променя от минус на плюс. Въз основа на това следва заключението, че модулите на противоположните числа са равни: |-x| = |x| = х.

Модулът на комплексно число се намира по формулата: |a| = √b ² + c ² и |a + b| ≤ |a| + |b|. Ако аргументът съдържа положително цяло число като множител, тогава той може да бъде изваден от знака в скоба, например: |4*b| = 4*|b|.

Модулът не може да бъде отрицателен, така че всяко отрицателно число се преобразува в положително: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ако аргументът е представен като комплексно число, тогава за удобство на изчисленията е разрешено да се промени редът на членовете на израза, ограден в квадратни скоби: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, защото (2-3) е по-малко от нула.

По същия начин разликата z 1 - z 2 на комплексните числа z 1 и z 2 съответства на разликата на векторите, съответстващи на числата z 1 и z 2. Модулът на две комплексни числа z 1 и z 2, по дефиниция на модула , е дължината на вектора z 1 - z 2. Нека построим вектор , като сбор от два вектора z 2 и (- z 1). Получаваме вектор, равен на вектора.Следователно има векторна дължина, тоест модулът на разликата на две комплексни числа е разстоянието между точките на комплексната равнина, които съответстват на тези числа.

6. Аргументи на комплексно число. Аргументът на комплексното число z= a + ib е ъгълът между положителната посока на реалната ос и вектора z; стойността на ъгъла се счита за положителна, ако се брои обратно на часовниковата стрелка, и за отрицателна, ако се брои по посока на часовниковата стрелка.

За да обозначите факта, че числото j е аргумент на числото z= a+ ib, напишете j=argz или j=arg (a+ib).

За числото z=0 аргументът не е дефиниран. Следователно, във всички следващи аргументи, свързани с концепцията за аргумент, ние ще приемем, че Обърнете внимание, че чрез посочване на модула и аргумента, едно комплексно число се определя еднозначно; числото z=0 е единственото число, което се определя чрез посочване само на неговия модул.

От друга страна, ако е дадено комплексно число, тогава очевидно модулът на това число винаги е дефиниран еднозначно, за разлика от аргумента, който винаги е дефиниран двусмислено: ако j е някакъв аргумент на числото z, тогава ъгли j + 2pk също са аргументи на числото z.

От дефиницията на тригонометричните функции следва, че ако j=arg (a+ib), тогава има следната система

Пример 4 Колко решения има системата от уравнения

а) Начертайте в една комплексна равнина числата, чиито модули са равни на 3 и 1

намери модул1- аз: .

Обърнете внимание, че няма точка от по-големия кръг

близо до по-малкия на разстояние равно на ,

откъдето следва, че системата няма корени.

При изместване с 3 азсамо една точка от по-малката окръжност, получаваме, че тази точка попада върху

друг кръг.

Тази точка ще бъде решението на системата.

в) Начертайте в една комплексна равнина числата, чиито модули са равни на 1.

Обърнете внимание, че когато само две точки се изместят с една наляво, стигаме до една и съща окръжност, което означава, че тези две числа ще бъдат решенията на системата.

7. Алгебрични и тригонометрични форми на комплексно число. Записването на комплексно число z като a + ib се нарича алгебрична формакомплексно число.

Помислете за други форми на писане на комплексни числа. Нека r е модул и j е един от аргументите на комплексното число z= a+ ib, т.е. r = ,j=arg (a+ib). Тогава от формула (5) следва, че и, следователно,

Записването на комплексно число във формата се нарича негово тригонометрична форма.

За да преминете от алгебричната форма на комплексното число a + ib към тригонометричната, е достатъчно да намерите неговия модул и един от аргументите.

Пример 5 Какъв набор от точки на комплексната равнина е даден от условието

а) Трябва да конструираме точки, които, когато се преместят надолу с ази вдясно с 1 ще се преподава на равно разстояние от произхода, откъде

за да конструираме набор от точки, които отговарят на дадено условие, трябва:

1) изградете набор от точки, еднакво отдалечени от началото на 2

2) преместете го 1 наляво и азнагоре

б) Трябва да изградим точки, които ще бъдат разположени по-близо до точката - азотколкото да 2i ,Тези точки са посочени на фигурата.

в) Това уравнение е еквивалентно на уравнението

Тоест, тези номера ще бъдат премахнати от разстояние

1 надясно. В този случай, ако второто условие е изпълнено, y ще получи ъгъла, показан на фигурата.

Тоест, това ще бъдат точки, отдалечени от началото на координатите с не повече от 1 и в същото време изключвайки числото 0. Като се вземат предвид второто и третото условие, получаваме:

е) За да се построят точки, които отговарят на първото условие, е необходимо да се разместят точките, които са на разстояние 1,

1 надясно. В същото време, като вземем предвид други условия, получаваме

желан набор от точки.

Пример 6 Ще бъдат ли следните изрази тригонометрична форма на число

Тригонометричната форма на записване на число ще бъде само израз a), тъй като само той отговаря на дефиницията на тригонометричната форма на записване на число (и за всички тригонометрични функции ъглите трябва да са равни, а също и ако изчислите стойността на израз, тогава той трябва да е равен).

8. Умножение и деление на комплексни числа в тригонометрична форма. Позволявам

По този начин, модулът и произведението на две комплексни числа е равен на произведението на модулите на множителите, а сумата от аргументите на множителите е аргумент на произведението.

Нека тогава

По този начин, модулът на частното на две комплексни числа е равен на частното на модула на делителя и делителя, а разликата между аргументите на делителя и делителя е аргумент на честото.

9. Степенуване и извличане на корен. Формула (6) за произведението на две комплексни числа може да се обобщи за случая на множители. Използвайки метода на математическата индукция, е лесно да се покаже, че if-аргументите са съответно числа, тогава

От тук като частен случай се получава формула, която дава правилото за повдигане на комплексно число на положителна цяло число:

По този начин, при повдигане на комплексно число на степен с естествен показател, неговият модул се повдига на степен със същия показател и аргументът се умножава по показателя.

Формула (8) се нарича формула на Де Моавър.

Числото се нарича корен на числото w(отбелязано ако

Ако w=0, след това за всякакви нуравнението има едно и само едно решение z= 0.

Нека сега zИ wв тригонометрична форма:

Тогава уравнението ще приеме формата

Две комплексни числа са равни тогава и само ако техните модули са равни и техните аргументи се различават с кратно на 2 стр.следователно

Така всички решения на уравнението са дадени с формулата

Наистина, давам номера квъв формула (9) са цели числа, различни от 0, 1, …, ( н-1), не получаваме други комплексни числа.

Формула (9) се нарича Втората формула на Де Моавър.

По този начин, ако , Тогава съществува точно нстепенни корени нот номера w: всички те се съдържат във формула (9).

По-специално, ако =2, тогава уравнението има два корена:

това означава, че тези корени са симетрични относно произхода.

Също така е лесно да се получи от формула (9), че ако тогава точките, представляващи всички корени на уравнението, са върховете на правилния н-квадрат, вписан в окръжност с център в точка z=0 и радиус .

От горното следва, че символът няма еднозначно значение. Следователно, когато го използвате, трябва ясно да разберете какво се има предвид под това. Например, когато използвате нотация, трябва да се внимава да стане ясно дали това се отнася за двойка комплексни числа азИ -и, или един, и ако един, кой.

Пример 7 Запишете в тригонометрична форма:

б) Тъй като, тогава, откъде.

Тъй като тогава откъде

в) Тъй като, тогава, откъде.

10. Квадратни уравнения. IN училищен курсалгебра, бяха разгледани квадратни уравнения

с реални коефициенти a, b, c.Там беше показано, че ако дискриминантът на уравнение (10) е неотрицателен, тогава решенията на такова уравнение се дават по формулата

Ако , беше казано, че уравнението няма решения.

За да изведем формула (11), използвахме метода за извличане на квадрат от тричлен, последван от разлагане на лявата страна на линейни множители:

от която е получена формула (11). Очевидно всички тези изчисления остават валидни дори когато a, b, cса комплексни числа, а корените на уравнението се намират в набора от комплексни числа.

По този начин в набора от комплексни числа уравнението

винаги е позволено. Ако уравнението има един корен, уравнението има два корена. Във всички случаи е валидна формулата за корените на квадратното уравнение

където се подразбират всички стойности на корена.

Пример 8 реши уравнението

а) Това уравнение е квадратно.

и следователно хИ гзадоволяват системата

и хИ г

забележи това х

Когато получим:

Нека решим уравнението (*): х 4 +15x 2 -16 =0 е квадратно уравнение по отношение на х 2, откъдето

Да се върнем към системата:

б) Това уравнение е квадратно.

Според формулата на корените на квадратното уравнение имаме:

За да определим всички стойности, задаваме