ЪГЛИ В РАВНИНАТА И ТЯХНОТО ИЗМЕРВАНЕ.Фигура в равнина, образувана от два лъча, излизащи от една точка О, се нарича ъгъл . Лъчи О.А.И O.B.се наричат страни на ъгъла, а точката ОГорна част. Ъгъл със страни О.А.И O.B.означен с P AOB.
Ъглите се сравняват, събират, измерват. Те са равни, ако могат да се комбинират чрез преместване. Два ъгъла се наричат съседни (фиг. 1), ако имат общ връх и една страна, а другите две образуват права линия. Най-общо ъгли, които имат общ връх и една обща страна, се наричат съседни (фиг. 2). Ъглите се наричат вертикални (фиг. 3), ако страните на единия са разширения отвъд върха на страните на другия. Вертикални ъглиса равни помежду си. Ъгъл, чиито страни образуват права линия, се нарича разгънат (фиг. 4). Ъгъл, равен на прилежащия му, се нарича прав ъгъл. Ъгъл, по-малък от прав ъгъл, е остър, ъгъл, по-голям от прав ъгъл, но по-малък от прав, е тъп.
Когато две прави, лежащи в една равнина, се пресичат с трета права, се образуват ъгли (фиг. 5). 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7 се наричат съответни; 2 и 5, 3 и 8 – вътрешни едностранни; 1 и 6, 4 и 7 – външни едностранни; 3 и 5, 2 и 8 – вътрешно разположени на кръст; 1 и 7, 4 и 6 – разположени на кръст от външната страна.
Ако гредата O.C.влиза в ъгъла AOB(фиг. 6), тогава по дефиниция се счита, че ъгълът AOC, като ъгъла COB, по-малко от ъгъл AOBи този ъгъл AOB равно на суматаъгли AOCИ COB.Като се вземе всеки конкретен ъгъл като мерна единица, се определя големината на всеки ъгъл, т.е. намерете колко пъти даден единичен ъгъл се вписва в него. Когато измерваме ъгъл, ние изхождаме от две негови свойства, които са подобни на свойствата на дължината на сегмент: 1) величините на равни ъгли са равни, 2) големината на сумата от два ъгъла е равна на сбор от техните величини.
Ако разгледаме ъгли, чийто връх е центърът на окръжността и чиито страни са радиуси, можем да отбележим, че равни ъглииздълбан върху кръг равни дъги, а сборът от ъглите ще съответства на сбора от дъгите, сключени от тях. Следователно размерът на ъгъла е пропорционален на дължината на дъгата, която пресича, а мерните единици могат да бъдат определени, като се посочи каква част от окръжността съставлява съответната дъга.
Обикновено се използват две системи за измерване на ъгли: степенИ радиан.
В градусната система мерната единица е дъга с размери 1/360 от окръжност (обозначена °). Един градус е разделен на 60 минути (обозначени с "), една минута на 60 секунди (обозначени с ""). Шестдесетичността на измерванията напомня за Вавилон, но в историята е имало друга степен. По време на Великия Френската революция(1793 г.) във Франция наред с десетичната (метрична) система от мерки е въведена центезималната (центезимална) система за измерване на ъгли. В него прав ъгъл е разделен на 100 градуса („градуси“), градус на 100 минути, минута на 100 секунди. Тази система се използва най-често при геодезически измервания.
Математиците предпочитат да използват мярката радиан - мерната единица е ъгълът, под който дъгата му се вижда от центъра на кръга, равен на радиуса. Големината на този ъгъл е радиан . Не зависи от радиуса на окръжността и позицията на дъгата върху окръжността. защото от центъра се вижда полукръг под ъгъл 180°, а дължината му е 241 радиуси, след това радиани в 241 пъти по-малко от ъгъла 180°, т.е. един радиан е равен на 180° / 241 :
1 радиан » 57.2958° » 57° 17"45""
Както в радианите, така и в градусите, ъгълът се измерва с единицата ъгъл. Фактът, че името се посочва в един случай (за степен) и се подразбира в друг (за радиан), не играе никаква роля.
Радианната мярка, изразена като съотношението на дължината на дъга, описана от произволен радиус от центъра и затворена между страните на ъгъла, към радиуса на тази дъга, не зависи от избора на единица за дължина. Градусната мярка също не зависи, т.к това също е отношението на две дължини, а именно дължината на дъгата, описана от върха на ъгъла и затворена между неговите страни, към дължината на дъгата, равна на 1/360 от окръжността със същия радиус.
По този начин няма фундаментална разлика между степента и радианова мярка на ъгъл, но въвеждането на радианова мярка позволява много формули да получат по-проста форма.
Връзката между градуса и радианите на най-често срещаните ъгли е дадена в следващата таблица
Направо ъгълът съдържа 90° или 241 /2 радиана Остри лъжи в диапазона от 0 до 90° или от 0 до 241 /2 радиана, глупаво – от 90 до 180° или от 241 /2 до 241 . Правите линии, образуващи прав ъгъл, се наричат перпендикулярни една на друга.
Често е важно да се посочи в каква посока се измерва ъгълът. Ако разгледаме въртенето около върха като мярка за ъгъл ОТНОСНО, превеждащ лъч О.А.на позиция O.B.тогава мярката на ъгъла се счита за положителна, ако въртенето се извършва обратно на часовниковата стрелка, в противен случай ъгълът се счита за отрицателен м. По този начин ъгълът може да бъде всякакъв размер реално число. В тригонометрията такова разглеждане позволява да се изучават тригонометрични функции за всякакви стойности на аргумента.
Ъгълът между две криви, започващи от обща точка, в която всяка крива има определена допирателна, е ъгълът, образуван от тези допирателни. Концепцията за ъгъл се обобщава за различни обекти в пространството (двустенни, плътни и многостенни ъгли.
Ъгъл: ° π rad =
Преобразуване в: радиани градуси 0 - 360° 0 - 2π положително отрицателно Изчисляване
Когато линиите се пресичат, има четири различни области спрямо точката на пресичане.
Тези нови области се наричат ъгли.
Картината показва 4 различни ъгъла, образувани от пресечната точка на правите AB и CD
Ъглите обикновено се измерват в градуси, което се означава като °. Когато даден обект направи пълен кръг, т.е. се движи от точка D през B, C, A и след това обратно към D, тогава се казва, че се е обърнал на 360 градуса (360°). Така че градусът е $\frac(1)(360)$ от кръг.
Ъгли, по-големи от 360 градуса
Говорихме за това, че когато обект прави пълен кръг около точка, той се върти на 360 градуса, но когато обект прави повече от един кръг, той образува ъгъл от повече от 360 градуса. Това е често срещано явление в ежедневието. Колелото обикаля много кръгове, когато колата се движи, тоест образува ъгъл от повече от 360°.
За да разберем броя на циклите (завършени кръгове) при въртене на обект, преброяваме колко пъти трябва да добавим 360 към него, за да получим число, равно или по-малко от даден ъгъл. По същия начин намираме число, което умножаваме по 360, за да получим число, което е по-малко, но най-близо до дадения ъгъл.
Пример 2
1. Намерете броя на кръговете, описани от обект, образуващ ъгъл
а) 380°
б) 770°
в) 1000°
Решение
а) 380 = (1 × 360) + 20
Обектът описва един кръг и 20°
Тъй като $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ кръг
Обектът описва $1\frac(1)(18)$ кръгове.
B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Обектът описва два кръга и 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ кръг
Обектът описва $2\frac(5)(36)$ от кръг
в) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ кръгове
Обектът описва $2\frac(7)(9)$ кръгове
Когато даден обект се върти по посока на часовниковата стрелка, той образува отрицателен ъгъл на въртене, а когато се върти обратно на часовниковата стрелка, той образува положителен ъгъл. До този момент разглеждахме само положителните ъгли.
Във формата на диаграма отрицателен ъгъл може да бъде изобразен, както е показано по-долу. 
Фигурата по-долу показва знака на ъгъла, който се измерва от обща права линия, оста 0 (ос x - ос x) 
Това означава, че ако има отрицателен ъгъл, можем да получим съответен положителен ъгъл.
Например долната част на вертикална линия е 270°. Когато се измерва в отрицателна посока, получаваме -90°. Просто изваждаме 270 от 360. Даден е отрицателен ъгъл, добавяме 360, за да получим съответния положителен ъгъл.
Когато ъгълът е -360°, това означава, че обектът е направил повече от един кръг по посока на часовниковата стрелка.
Пример 3
1. Намерете съответния положителен ъгъл
а) -35°
б) -60°
в) -180°
г) - 670°
2. Намерете съответния отрицателен ъгъл от 80°, 167°, 330° и 1300°.
Решение
1. За да намерим съответния положителен ъгъл, добавяме 360 към стойността на ъгъла.
а) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
б) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
в) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
г) -670°= 360 + (-670) = -310
Това означава един кръг по часовниковата стрелка (360)
360 + (-310) = 50°
Ъгълът е 360 + 50 = 410°
2. За да получим съответния отрицателен ъгъл, изваждаме 360 от стойността на ъгъла.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (една завършена обиколка)
940 - 360 = 580 (втори кръг завършен)
580 - 360 = 220 (трети кръг завършен)
220 - 360 = -140°
Ъгълът е -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Така 1300° = -1220°
радиан
Радианът е ъгълът от центъра на кръг, който обхваща дъга, чиято дължина е равна на радиуса на кръга. Това е мерна единица за ъглова величина. Този ъгъл е приблизително 57,3°.
В повечето случаи това се означава като радвам се.
Така $1 rad \приблизително 57,3^(\circ)$ 
Радиус = r = OA = OB = AB
Ъгъл BOA е равен на един радиан
Тъй като обиколката е дадена като $2\pi r$, тогава има $2\pi$ радиуса в кръга и следователно в целия кръг има $2\pi$ радиана.
Радианите обикновено се изразяват като $\pi$, за да се избегнат десетичните знаци в изчисленията. В повечето книги съкр радвам сене се среща, но читателят трябва да знае, че когато става въпрос за ъгъл, той се посочва в $\pi$ и мерните единици автоматично стават радиани.
$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$
Пример 4
1. Преобразувайте 240°, 45°, 270°, 750° и 390° в радиани с помощта на $\pi$.
Решение
Нека умножим ъглите по $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \пъти \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \пъти \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \пъти \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \пъти \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$
2. Преобразувайте следните ъгли в градуси.
а) $\frac(5)(4)\pi$
б) $3,12\pi$
в) 2,4 радиана
Решение
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3,12\pi = 3,12 \умножено по 180 = 561,6^(\circ)$
в) 1 рад = 57,3°
$2,4 = \frac(2,4 \пъти 57,3)(1) = $137,52
Отрицателни ъгли и ъгли, по-големи от $2\pi$ радиана
За да преобразуваме отрицателен ъгъл в положителен, ние го добавяме към $2\pi$.
За да преобразуваме положителен ъгъл в отрицателен, изваждаме $2\pi$ от него.
Пример 5
1. Преобразувайте $-\frac(3)(4)\pi$ и $-\frac(5)(7)\pi$ в положителни ъгли в радиани.
Решение
Добавете $2\pi$ към ъгъла
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$
$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$
Когато обект се завърти на ъгъл, по-голям от $2\pi$;, той прави повече от един кръг.
За да определим броя на оборотите (кръгове или цикли) в такъв ъгъл, намираме число, умножавайки го по $2\pi$, резултатът е равен или по-малък, но възможно най-близо до това число.
Пример 6
1. Намерете броя на кръговете, преминати от обекта при дадени ъгли
а) $-10\pi$
б) $9\pi$
в) $\frac(7)(2)\pi$
Решение
а) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ предполага един цикъл по посока на часовниковата стрелка, това означава, че
обектът направи 5 цикъла по посока на часовниковата стрелка.
b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ половин цикъл
обектът направи четири и половина цикъла обратно на часовниковата стрелка
в) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ е равно на три четвърти от цикъла $(\frac(1.5\ pi)(2 \pi)=\frac(3)(4))$
обектът е преминал през една и три четвърти от цикъл обратно на часовниковата стрелка
Забележка: Вижте също таблица със стойности на тригонометрични функциидруги ъгли.
Синус, косинус, тангенс на ъгъл 45 градуса (sin 45, cos 45, tg 45)
Таблични стойности на синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусапосочено . По-долу е обяснение на метода и правилността на изчисляване на тези стойности за произволно правоъгълен триъгълник.
45 градуса е π/4 радиана. Формулите за стойностите на косинус, синус и тангенс пи/4 радиана са дадени по-долу (въпреки че са идентични).
това е например тен π/4 = тен 45степени
СТОЙНОСТИ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИТЕ ФУНКЦИИ ПРИ α=45°
Как да изчислим самостоятелно стойностите на sin cos tg 45 градуса?
Нека построим и разгледаме правоъгълен триъгълник ABC, чийто ъгъл ∠ B = 45°. Въз основа на съотношението на страните му изчисляваме стойностите на тригонометричните функции в правоъгълен триъгълник за ъгъл от 45 градуса. Тъй като триъгълникът е правоъгълен, стойностите на функциите синус, косинус и тангенс ще бъдат равни на съотношението на съответните му страни.
Тъй като стойността на функциите синус, косинус и тангенс зависи единствено от степенна мяркаъгъл (или стойност, изразена в радиани), тогава съотношенията, които намерихме, ще бъдат стойностите на функцията на синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градуса.
Според свойствата на правоъгълен триъгълник ъгъл C е прав и е равен на 90 градуса. Първоначално построихме ъгъл B с градусна мярка 45 градуса. Нека намерим стойността на ъгъл А.Тъй като сумата от ъглите на триъгълник е 180 градуса, тогава
∠
A+ ∠
B + ∠
С = 180°
Ъгъл C е прав и е равен на 90 градуса, ъгъл B първоначално дефинирахме като 45 градуса, по този начин:
∠
A = 180° - ∠
С - ∠
B = 180° - 90° - 45° = 45°
Тъй като този триъгълник има два ъгъла, равни един на друг, тогава триъгълникът ABC е правоъгълен и в същото време равнобедрен, в която двата катета са равни един на друг: AC = BC.
Да приемем, че дължината на страните е равна на определено число AC = BC = a. Знаейки дължините на краката, изчисляваме дължината на хипотенузата.
Според Питагоровата теорема: AB 2 = AC 2 + BC 2
Нека заменим дължините AC и BC с променливата a, тогава получаваме:
AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2,
тогава AB=a √ 2.
Като резултат изразихме дължините на всички страниправоъгълен триъгълник с ъгъл 45 градуса през променливата a.
Според свойствата на тригонометричните функции в правоъгълен триъгълник отношението на съответните страни на триъгълника ще бъде равно на стойността на съответните функции. Така за ъгъл α = 45 градуса:
sin α = BC / AB(според дефиницията на синус за правоъгълен триъгълник, това е отношението на срещуположния катет към хипотенузата, BC - катет, AB - хипотенуза)
cos α = AC / AB(според дефиницията на косинус, това е отношението на съседния катет към хипотенузата, AC е катетът, AB е хипотенузата)
tg α = BC / AC(по същия начин, тангентата за ъгъл α ще бъде равна на отношението на противоположната страна към съседната страна)
Вместо да обозначаваме страните, заместваме стойностите на техните дължини чрез променливата a.
Въз основа на това (вижте таблицата със стойности грях 45, cos 45, tg 45) получаваме:
Таблични стойности грях 45, cos 45, tg 45(тоест стойността синус 45, косинус 45 и тангенс 45градуси могат да бъдат изчислени като съотношение на съответните страни на даден триъгълник), ние заместваме стойностите на дължините на страните, изчислени по-горе, във формулите и получаваме резултата на снимката по-долу.
Таблични стойности: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градуса
По този начин:
- тангенсът от 45 градуса е равен на едно
- синус от 45 градуса е равен на косинус от 45 градуса и е равен на корен от две на половина (същото като едно делено на корен от две)
Както може да се види от дадените по-горе изчисления, за изчисляване на стойностите на съответните тригонометрична функцияВажни са не дължините на страните на триъгълника, а тяхното съотношение, което винаги е едно и също за едни и същи ъгли, независимо от размера на конкретния триъгълник.
Синус, косинус и тангенс π/4 радиана
В задачите, предложени за решаване в гимназията и на външния тест / Единния държавен изпит, вместо градусната мярка на ъгъла често се среща указание за неговата големина, измерена в радиани. Мярката за ъгъл, изразена в радиани, се основава на числото pi, което изразява зависимостта на обиколката на кръг от неговия диаметър.
За по-лесно разбиране препоръчвам да запомните прост принцип за преобразуване на градуси в радиани. Диаметърът на окръжност покрива дъга от 180 градуса. Така пи радианът ще бъде равен на 180 градуса. Откъдето е лесно да преобразувате всяка градусна мярка на ъгъл в радиани и обратно.
Нека вземем предвид това 45 градусов ъгъл, изразен в радиани, е равно на (180 / 45 = 4) π/4 (pi по четири). Следователно стойностите, които открихме, са правилни за същата градусна мярка за ъгъл, изразена в радиани:
- тангенс π/4(пи върху четири) е равно на едно
- синус π/4(пи по четири) градуса е равно на косинус π/4градуса и е равно на корен от две по половина
