Този видео урок обсъжда свойствата на функциите y =tgx, y = ctgх, показва как да конструирате техните графики.
Видео урокът започва с разглеждане на функцията y =tgх.
Свойствата на функцията са подчертани.
1) Област на функцията y =tgхвсички се наричат реални числа, с изключение на x =π/2 + 2 πk. Тези. няма точки на графиката, които принадлежат на правата x =π/2 и х = -π/2, както и x = 3π/2 и така нататък (със същата периодичност). И така, графиката на функцията y =tgхще се състои от безкраен брой клонове, които ще бъдат разположени в пространствата между правите линии х = - 3π/2 и х = -π/2, х = -π/2 и x = π/2 и така нататък.
2) Функция y =tgхе периодичен, където основният период е π. Това потвърждава равенството tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . Тези равенства са били изучавани по-рано, авторът кани учениците да си ги припомнят, като посочва, че за всяка валидна стойност Tважат равенствата:
tg(t+ π ) = tg tи c tg(t+π ) = ctg t. Следствието от тези равенства е, че ако един клон на графиката на функцията y = tan хмежду редовете х = - π/2 и х= π/2, тогава останалите клонове могат да бъдат получени чрез изместване на този клон по оста x с π, 2π и така нататък.
3) Функция y =tgхе странно, защото . tg (- x) =- tg x.
След това нека да преминем към изграждането на графика на функцията y =tgх. Както следва от описаните по-горе свойства на функцията, функцията y =tgхпериодични и нечетни. Следователно е достатъчно да се построи част от графиката - един клон в един интервал и след това да се използва симетрия за прехвърляне. Авторът предоставя таблица, в която се изчисляват стойностите tgхпри определени стойности хза по-точно чертане. Тези точки са маркирани върху координатната ос и свързани с гладка линия. защото Ако графиката е симетрична по отношение на началото на координатите, тогава се конструира същият клон, симетричен по отношение на началото на координатите. В резултат на това получаваме един клон на графиката y =tgх. След това, използвайки изместване по оста x с π, 2 π и т.н., се получава графика y =tgх.
Графика на функция y =tgхсе нарича тангентоид, а трите клона на графиката, показани на фигурата, са основните клонове на тангентоида.
4) Функция y =tgхна всеки от интервалите (- + ; +) нараства.
5) Функционална графика y =tgхняма ограничения отгоре и отдолу.
6) Функция y =tgхняма най-голяма и най-малка стойност.
7) Функция y =tgхнепрекъснато на всеки интервал (- - π/2+π;π/2+π). Правата линия π/2+π се нарича асимптота на графиката на функцията y =tgх, защото в тези точки графиката на функцията се прекъсва.
8) Набор от функционални стойности y =tgхвсички реални числа се наричат.
По-нататък във видео урока е даден пример: решете уравнението с tgх. За да решим, ще построим 2 графики на функцията прии намерете пресечните точки на тези графики: това е безкраен набор от точки, чиито абсциси се различават с πk. Коренът на това уравнение ще бъде х= π/6 +πk.
Разгледайте графиката на функцията y =ctgх. Една функция може да бъде изобразена по два начина.
Първият метод включва конструиране на графика, подобно на конструирането на графика функции y =tgх. Нека изградим един клон на функционалната графика y = ctgхмежду редовете х= 0u х= π. След това, използвайки симетрия и периодичност, ще изградим други клонове на графиката.
Вторият метод е по-прост. Графика на функция y = сtgxможе да се получи чрез трансформиране на тангентите с помощта на формулата за редукция сtgx = - tg(x +π/2). За да направите това, нека изместим един клон на графиката на функцията y = tgxпо оста x с π/2 надясно. Останалите клонове се получават чрез преместване на този клон по оста x с π, 2π и т.н. Графика на функция y = ctg хсе нарича още тангентоид, а клонът на графиката в интервала (0;π) е главният клон на тангентоида.
ДЕКОДИРАНЕ НА ТЕКСТ:
Ще разгледаме свойствата на функцията y = tan x (y е равно на тангенса x), y = ctg x (y е равно на котангенса x) и ще построим техните графики. Разгледайте функцията y = tgx
Преди да начертаем функцията y = tan x, нека запишем свойствата на тази функция.
СВОЙСТВО 1. Областта на дефиниране на функцията y = tan x е всички реални числа, с изключение на числа от вида x = + πk (x равно на суматапи по две и пи ka).
Това означава, че на графиката на тази функция няма точки, които принадлежат на правата x = (получаваме, ако k = 0 ka е равно на нула) и правата x = (x е равно на минус pi по две) (ние получаваме, ако k = - 1 ka е равно на минус едно), и правата x = (x е равно на три pi по две) (получаваме, ако k = 1 е равно на едно) и т.н. Това означава, че графиката на функцията y = tan x ще се състои от безкраен брой клонове, които ще бъдат разположени в интервалите между прави линии. А именно, в лентата между x = и x =-; в лентата x = - и x = ; в лентата x = и x = и така нататък до безкрайност.
СВОЙСТВО 2. Функцията y = tan x е периодична с основен период π. (Тъй като двойното равенство е вярно
tan(x- π) = tanx = tan (x+π) тангенс от x минус pi е равен на тангенс от x и равен на тангенс от x плюс pi). Разгледахме това равенство, когато изучавахме тангенс и котангенс. Нека му напомним:
За всяка допустима стойност на t са валидни равенствата:
tg (t + π)= tgt
ctg (t + π) = ctgt
От това равенство следва, че като построим клон на графиката на функцията y = tan x в интервала от x = - и x =, получаваме останалите клонове, като изместим построения клон по оста X с π, 2π, и така нататък.
СВОЙСТВО 3. Функцията y = tan x е нечетна функция, тъй като равенството tg (- x) = - tan x е вярно.
Нека начертаем функцията y = tan x
Тъй като тази функция е периодична, състои се от безкраен брой клонове (в лентата между x = и x =, както и в лентата между x = и x = и т.н.) и нечетна, ще построим част от графика точка по точка в интервала от нула до pi с две (), след това използвайте симетрията на произхода и периодичността.
Нека изградим таблица с допирателни стойности за чертане.
Намираме първата точка: знаейки, че при x = 0 tg x = 0(x равно на нула tan x също е нула); следваща точка: при x = tan x = (x равно на pi по шест, тангенс x е равен на корен от три по три); Нека отбележим следните точки: при x = tan x = 1 (x равно на pi по четири tan x е равно на едно) и при x = tg x = (x равно на pi по три tan x е равно на корен квадратен от три). Маркирайте получените точки върху координатната равнина и ги свържете с гладка линия (фиг. 2).
Тъй като графиката на функцията е симетрична по отношение на началото на координатите, ще построим същия клон симетрично по отношение на началото на координатите. (фиг. 3).
И накрая, прилагайки периодичност, получаваме графика на функцията y = tan x.
Построихме клон на графиката на функцията y = tan x в лентата от x = - и x =. Изграждаме останалите клони, като изместваме конструирания клон по оста X с π, 2π и т.н.
Създаденият график се нарича тангентоид.
Частта от тангентоида, показана на фигура 3, се нарича главен клон на тангентоида.
Въз основа на графиката ще запишем още някои свойства на тази функция.
СВОЙСТВО 4. Функцията y = tan x нараства на всеки от интервалите (от минус pi с две плюс pi ka до pi с две плюс pi ka).
СВОЙСТВО 5. Функцията y = tan x не е ограничена нито отгоре, нито отдолу.
СВОЙСТВО 6. Функцията y = tan x няма нито най-големи, нито най-малки стойности.
СВОЙСТВО 7. Функцията y = tan x е непрекъсната във всеки интервал от формата (от минус pi с две плюс pi ka до pi с две плюс pi ka).
Права линия от формата x = + πk (x е равно на сумата от pi върху две и pi ka) е вертикална асимптота на графиката на функцията, тъй като в точки от формата x = + πk функцията страда от прекъсване.
СВОЙСТВО 8. Наборът от стойности на функцията y = tan x са всички реални числа, т.е. (e от eff е равно на интервала от минус безкрайност до плюс безкрайност).
ПРИМЕР 1. Решете уравнението tg x = (тангенс x е равен на корен от три по три).
Решение. Нека построим графики на функциите y = tan x в една координатна система
(y е равно на тангенса от x) и y = (y е равно на корен от три, делено на три).
Получихме безкрайно много пресечни точки, чиито абциси се различават една от друга с πk (pi ka). Тъй като tg x = при x =, тогава абсцисата на пресечната точка на главния клон е равна на (pi по шест).
Записваме всички решения на това уравнение по формулата x = + πk (x е равно на pi по шест плюс pi ka).
Отговор: x = + πk.
Нека построим графика на функцията y = сtg x.
Нека разгледаме два метода на изграждане.
Първи начине подобно на начертаването на функцията y = tan x.
Тъй като тази функция е периодична, състои се от безкраен брой клонове (в лентата между x = 0 и x =π, както и в лентата между x =π и x = 2π и т.н.) и нечетни, ще изградим част от графиката точка по точка в интервала от нула до pi с две (), тогава ще използваме симетрия и периодичност.
Нека използваме таблицата на котангенсните стойности, за да изградим графика.
Маркирайте получените точки върху координатната равнина и ги свържете с гладка линия.
Тъй като графиката на функцията е относително симетрична, ще построим същия клон симетрично.
Нека приложим периодичност и да получим графика на функцията y = сtg x.
Построихме разклонение на графиката на функцията y = сtg x в лентата от x = 0 и x =π. Конструираме останалите клонове, като изместваме конструирания клон по оста x с π, - π, 2π, - 2π и т.н.
Втори начинначертаване на функцията y =сtg x.
Най-лесният начин да получите графика на функцията y =сtg x е да преобразувате тангенса, като използвате формулата за редукция (котангенс x е равен на минус тангенса на сбора от x и pi по две).
В този случай, първо, изместваме клона на графиката на функцията y =tg x по абсцисната ос надясно, получаваме
y = tg (x+) и след това извършваме симетрия на получената графика спрямо абсцисната ос. Резултатът ще бъде разклонение на графиката на функцията y =сtg x (фиг. 4). Познавайки един клон, можем да изградим цялата графика, използвайки периодичността на функцията. Конструираме останалите клонове, като изместваме конструирания клон по оста x с π, 2π и т.н.
Графиката на функцията y =сtg x се нарича още тангентоид, точно както графиката на функцията y =tg x. Клонът, който лежи в интервала от нула до pi, се нарича главен клон на графиката на функцията y = сtg x.
, [−5π/2; −3π/2],. . . - с една дума, на всички сегменти [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], където k Z, и намалява на всички сегменти
[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], където n Z.
Задача 11.6. На кои отсечки функцията y = cos x расте и на кои намалява?
Задача 11.8. Подредете във възходящ ред: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.
§ 12. Графики на тангенс и котангенс
Нека начертаем функцията y = tan x. Първо, нека го конструираме за числа x, принадлежащи на интервала (−π/2; π/2).
Ако x = 0, тогава tan x = 0; когато x нараства от 0 до π/2, tan x също се увеличава - това може да се види, ако погледнете допирателната ос (фиг. 12.1 a). Когато x се доближава до π/2, остава по-малко
Ориз. 12.2. y = тен x.
π/2, стойността на tan x нараства (точка M на фиг. 12.1 a се движи все по-високо и по-високо) и очевидно може да се превърне в произволно голямо положително число. По подобен начин, когато x намалява от 0 до −π/2, tan x става отрицателно число, абсолютна стойносткоето се увеличава с приближаването на x до −π/2. За x = π/2 или −π/2, функцията tan x е недефинирана. Следователно графиката y = tan x за x (−π/2; π/2) изглежда приблизително както на фиг. 12.1 б.
Близо до началото на координатите нашата крива е близо до правата линия y = x x: в крайна сметка за малки остри ъгли е вярно приблизителното равенство tg x ≈ x. Можем да кажем, че правата y = x докосва графиката на функцията y = tan x в началото. В допълнение, кривата на фиг. 12.1 b е симетрична спрямо началото. Това се обяснява с факта, че функцията y = tan x е нечетна, т.е. важи тъждеството tg(−x) = − tan x.
За да начертаете функцията y = tan x за всички x, припомнете си, че tan x е периодична функция с период π. Следователно, за да се получи пълна графика на функцията y = tan x, е необходимо безкрайно много пъти да се повтаря кривата на фиг. 12.1 b, премествайки го по абсцисата до разстояния πn, където n е цяло число. Крайният изглед на графиката на функцията y = tan x е на фиг. 12.2.
Според графиката отново виждаме, че функцията y = tan x
Ориз. 12.3. y = cotg x.
не е дефинирано за x = π/2 + πn, n Z, тоест за тези x, за които cos x = 0. Вертикални линии с уравнения x = π/2, 3π/2,. . . , към които клоновете на подхода на графиката се наричат асимптоти на графиката.
В същата фиг. 12.2 изобразихме решения на уравнението tg x = a.
Нека начертаем функцията y = cot x. Най-лесният начин е да използвате формулата за редукция ctg x = tan(π/2 − x), за да получите тази графика от графиката на функцията y = tan x, като използвате трансформации, подобни на тези, които описахме в предишния параграф. Резултатът е показан на фиг. 12.3
Задача 12.1. Графиката на функцията y = ctg x се получава от графиката на функцията y = tan x като се използва симетрия спрямо определена права. Кое? Има ли други линии с този имот?
Задача 12.2. Как изглежда уравнението на права линия, допирателна към графиката на функцията y = cot x в точка с координати (π/2; 0)?
Задача 12.3. Сравнете числата: а) tg(13π/11) и tg 3,3π; б) tan 9,6π и ctg(−11,3π).
Задача 12.4. Подредете числата във възходящ ред: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.
Задача 12.5. Графика на функциите:
а) y = tan(2x − π/3); |
б) y = 2 cot(π/4 − x). |
Задача 12.6. Графика на функциите: |
|
а) y = arctan x; |
б) y = arcctg x. |
Задача 12.7. Начертайте функцията y = arctan x + arctan(1/x).
§ 13. На какво е равно sin x + cos x?
В този раздел ще се опитаме да разрешим следния проблем: какво е най-много голямо значениеможе да приеме израза sin x+cos x?
Ако сте преброили правилно, трябва да сте установили, че от всички x, включени в тази таблица, най-голямата стойност е sin x + cos x
се получава за x близо до 45◦, или в радианова мярка до π/4.
Ако x = π/4, точната стойност на sin x+cos x е 2. Оказва се, че нашият резултат, получен експериментално, и в
всъщност е вярно: за всички x неравенството sin x + cos x 6 е вярно
2, така че 2 е най-голямата стойност, приета от този израз.
Все още не разполагаме с достатъчно средства, за да докажем това неравенство по най-естествения начин. Засега ще покажем как да го сведем до планиметрична задача.
Ако 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и остър ъгъл x (фиг. 13.1).
Следователно нашата задача се преформулира по следния начин: да докажем, че сумата от дължините на катетите на правоъгълен триъгълник с хипотенуза 1 ще бъде максимална, ако този триъгълник е равнобедрен.
Задача 13.1. Докажете това твърдение.
Тъй като равнобедрен правоъгълен триъгълник с hy-
Потенуза 1, сумата от дължините на краката е равна на 2√, резултатът от тази задача предполага неравенството sin x + cos x 6 2 за всички x, лежащи в интервала (0; π/2). Оттук не е трудно да се заключи, че това неравенство е валидно за всички x като цяло.
Резултатът от задача 13.1 не е верен само за правоъгълни триъгълници.
Задача 13.2. Докажете, че сред всички триъгълници с дадени стойности на страна AC и ъгъл B, най-голямата сума AB + BC ще бъде за равнобедрен триъгълник с основа AC.
Да се върнем към тригонометрията.
Задача 13.3. Използвайки таблицата със синуси от § 3, изградете графика точка по точка на функцията y = sin x + cos x.
Забележка. Не забравяйте, че x трябва да бъде изразено в радиани; За x стойности извън интервала използвайте формулите за намаляване.
Ако сте направили всичко правилно, трябва да имате крива, която прилича на синусоида. По-късно ще видим, че тази крива не е просто подобна, но е синусоида. Също така ще се научим да намираме най-големите стойности на изрази като 3 sin x + 4 cos x (между другото, графиката на функцията y = 3 sin x + 4 cos x също е синусоида!).
С център в точка А.
α е ъгълът, изразен в радиани.
Тангенса ( тен α) - Това тригонометрична функция, в зависимост от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| до дължината на съседния катет |AB| .
Котангенс ( ctg α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .
Допирателна
Където н- цяло.
В западната литература тангенсът се обозначава по следния начин:
.
;
;
.
Графика на функцията тангенс, y = tan x
Котангенс
Където н- цяло.
В западната литература котангенсът се означава по следния начин:
.
Приемат се и следните нотации:
;
;
.
Графика на функцията котангенс, y = ctg x
Свойства на тангенса и котангенса
Периодичност
Функции y = tg xи y = ctg xса периодични с период π.
Паритет
Функциите тангенс и котангенс са нечетни.
Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи
Функциите тангенс и котангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата ( н- цяло).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Обхват и приемственост | ||
| Диапазон от стойности | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Повишаване на | - | |
| Спускане | - | |
| Крайности | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Пресечете точки с ординатната ос, x = 0 | y = 0 | - |
Формули
Изрази, използващи синус и косинус
;
;
;
;
;
Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика
Останалите формули са лесни за получаване, например
Произведение на допирателните
Формула за сбор и разлика на тангенси
Тази таблица представя стойностите на тангенсите и котангенсите за определени стойности на аргумента. 
Изрази, използващи комплексни числа
Изразяване чрез хиперболични функции
;
;
Деривати
; .
.
Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:
.
Извеждане на формули за тангенс >>>; за котангенс >>>
Интеграли
Разширения на сериите
За да получите разширение на тангенса по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциите грях хИ cos xи разделяме тези полиноми един на друг, . Това произвежда следните формули.
В .
при .
Където Bn- Числата на Бернули. Те се определят или от рекурентната връзка:
;
;
Където .
Или според формулата на Лаплас: 
Обратни функции
Обратните функции на тангенса и котангенса са съответно арктангенс и арккотангенс.
Арктангенс, arctg
, Където н- цяло.
Аркотангенс, arcctg
, Където н- цяло.
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Г. Корн, Наръчник по математика за учени и инженери, 2012 г.
