Рангът на матрицата е важен числена характеристика. Най-характерният проблем, изискващ намиране на ранга на матрица, е проверката на съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения. В тази статия ще дадем концепцията за ранга на матрица и ще разгледаме методите за нейното намиране. За по-добро усвояване на материала ще анализираме подробно решенията на няколко примера.
Навигация в страницата.
Определяне на ранга на матрица и необходими допълнителни понятия.
Преди да се изрази дефиницията на ранга на матрица, човек трябва да има добро разбиране на концепцията за минор, а намирането на минорите на матрица предполага способността да се изчисли детерминантата. Затова препоръчваме, ако е необходимо, да си припомните теорията на статията, методите за намиране на матричната детерминанта, свойствата на детерминантата.
Вземете матрица A от порядък . Нека k е малко естествено число, не превишаващо най-малкото от числата m и n , т.е. 
.
Определение.
Малък k-ти редматрица A е детерминантата на квадратната матрица от ред , съставена от елементите на матрицата A, които са в предварително избрани k реда и k колони, като местоположението на елементите на матрицата A се запазва.
С други думи, ако изтрием (p–k) редове и (n–k) колони в матрица A и формираме матрица от останалите елементи, като запазим подредбата на елементите на матрицата A, тогава детерминантата на получената матрица е минор от порядък k на матрица A.
Нека да разгледаме дефиницията на матричен минор, използвайки пример.
Помислете за матрицата 
.
Нека запишем няколко минори от първи ред на тази матрица. Например, ако изберем третия ред и втората колона на матрицата A, тогава нашият избор съответства на минор от първи ред 
. С други думи, за да получим този минор, задраскахме първия и втория ред, както и първата, третата и четвъртата колона от матрицата A и съставихме детерминантата от останалия елемент. Ако изберем първия ред и третата колона на матрицата A, тогава получаваме минор 
.
Нека илюстрираме процедурата за получаване на разглежданите непълнолетни от първи ред 
и 
.
По този начин минори от първи ред на една матрица са самите матрични елементи.
Нека покажем няколко второстепенни от втори ред. Изберете два реда и две колони. Например вземете първия и втория ред и третата и четвъртата колона. С този избор имаме минор от втори ред 
. Този минор може също да се формира чрез изтриване на третия ред, първата и втората колона от матрица A.
Друг минор от втори ред на матрица A е .
Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни лица 
и 
.
Минорите от трети ред на матрицата A могат да бъдат намерени по подобен начин. Тъй като в матрица A има само три реда, ние ги избираме всички. Ако изберем първите три колони за тези редове, тогава получаваме минор от трети ред 
Може да се конструира и чрез изтриване на последната колона на матрицата A.
Друг минор от трети ред е 
получен чрез изтриване на третата колона на матрицата A.
Ето чертеж, показващ конструкцията на тези минори от трети ред 
и 
.
За дадена матрица A няма второстепенни от порядъка, по-висок от третия, тъй като .
Колко минори от k-ти ред на матрицата A от ред съществуват?
Броят на второстепенните от порядъка k може да се изчисли като , където 
и 
- броят на комбинациите съответно от p до k и от n до k.
Как да конструирам всички минори от порядък k на матрица A от порядък p върху n?
Имаме нужда от набор от номера на редове на матрицата и набор от номера на колони. Записва всичко комбинации от p елементи по k(те ще съответстват на избраните редове на матрицата A при конструиране на минор от порядък k). Към всяка комбинация от номера на редове последователно добавяме всички комбинации от n елемента по k номера на колони. Тези набори от комбинации от номера на редове и номера на колони на матрица A ще помогнат да се съставят всички второстепенни от порядък k.
Да вземем пример.
Пример.
Намерете всички минори от втори ред на матрицата.
Решение.
Тъй като редът на оригиналната матрица е 3 на 3, тогава общият брой второстепенни ще бъде 
.
Нека запишем всички комбинации от 3 до 2 числа на ред на матрицата A: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Всички комбинации от номера на колони 3 на 2 са 1, 2; 1, 3 и 2, 3.
Вземете първия и втория ред на матрица А. Избирайки първата и втората колони за тези редове, първата и третата колона, втората и третата колона, получаваме съответно второстепенните 
За първия и третия ред, с подобен избор на колони, имаме 
Остава да добавите първата и втората, първата и третата, втората и третата колони към втория и третия ред: 
И така, всичките девет минори от втория ред на матрицата A са намерени.
Сега можем да преминем към определяне на ранга на матрицата.
Определение.
Ранг на матрицата- това е най-висок порядъкматрица минор, различна от нула.
Рангът на матрица A се означава като Rank(A) . Можете също така да видите обозначенията Rg(A) или Rang(A) .
От дефинициите на ранга на матрица и минор на матрица можем да заключим, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е най-малко един.
Намиране на ранга на матрица по дефиниция.
И така, първият метод за намиране на ранга на матрица е второстепенен метод на изброяване. Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата.
Нека трябва да намерим ранга на матрица A от порядък .
Опишете накратко алгоритъмрешение на този проблем чрез метода на изброяване на непълнолетни.
Ако има поне един матричен елемент, различен от нула, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица (тъй като има второстепенен елемент от първи ред, който не е равен на нула).
След това итерираме през минорите от втори ред. Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако съществува поне един ненулев минор от втори ред, тогава преминаваме към изброяването на минори от трети ред и рангът на матрицата е най-малко равен на две.
По същия начин, ако всички минори от трети ред са нула, тогава рангът на матрицата е две. Ако има поне един ненулев минор от трети ред, тогава рангът на матрицата е най-малко три и преминаваме към изброяването на минорите от четвърти ред.
Обърнете внимание, че рангът на матрица не може да надвишава най-малкото от p и n.
Пример.
Намерете ранга на матрица 
.
Решение.
Тъй като матрицата е ненулева, нейният ранг е не по-малък от единица.
Минор от втори ред 
е различно от нула, следователно рангът на матрицата A е поне две. Преминаваме към изброяването на непълнолетните от трети ред. Всички тях 
неща. 
Всички минори от трети ред са равни на нула. Следователно рангът на матрицата е две.
Отговор:
Ранг(A) = 2 .
Намиране на ранг на матрица по метода на очертаване на минорите.
Има и други методи за намиране на ранга на матрица, които ви позволяват да получите резултата с по-малко изчислителна работа.
Един от тези методи е fringing minor метод.
Да се справим с понятието граничен минор.
Казва се, че второстепенният M ok от (k+1)-ия ред на матрицата A обгражда второстепенния M от ред k на матрицата A, ако матрицата, съответстваща на вторичния M ok, "съдържа" матрицата, съответстваща на второстепенния М .
С други думи, матрицата, съответстваща на граничещия минор M, се получава от матрицата, съответстваща на граничещия минор M ok чрез изтриване на елементите на един ред и една колона.
Например, помислете за матрицата 
и вземете минор от втори ред. Нека запишем всички граничещи второстепенни: 
Методът на граничещите минори е оправдан от следната теорема (представяме нейната формулировка без доказателство).
Теорема.
Ако всички минори, граничещи с минор от k-ти порядък на матрица A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минори от порядък (k + 1) на матрица A са равни на нула.
По този начин, за да се намери рангът на матрица, не е необходимо да се изброят всички второстепенни, които са достатъчно гранични. Броят на минорите, граничещи с минор от k-ти порядък на матрицата A от порядък, се намира по формулата 
. Обърнете внимание, че няма повече минори, граничещи с минор от k-ти порядък на матрицата A, отколкото има (k + 1)-минорни порядък на матрицата A. Ето защо в повечето случаи използването на метода за граничене на непълнолетни е по-изгодно от простото изброяване на всички непълнолетни.
Нека пристъпим към намиране на ранга на матрица по метода на периферните минори. Опишете накратко алгоритъмтози метод.
Ако матрицата A е различна от нула, тогава ние приемаме всеки елемент от матрицата A, който е различен от нула, като минор от първи ред. Ние считаме неговите гранични второстепенни. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един ненулев граничен минор (редът му е равен на две), тогава преминаваме към разглеждане на неговите граничещи минори. Ако всички те са нула, тогава Rank(A) = 2 . Ако поне един граничещ минор е различен от нула (редът му е равен на три), тогава считаме неговите граничещи минори. И така нататък. В резултат на това Rank(A) = k, ако всички граничещи минори от (k + 1)-ия ред на матрицата A са равни на нула, или Rank(A) = min(p, n), ако съществува не- нулев минор, граничещ с минор от ред (min( p, n) – 1) .
Нека анализираме метода на граничещи второстепенни за намиране на ранга на матрица, използвайки пример.
Пример.
Намерете ранга на матрица 
по метода на граничещите непълнолетни.
Решение.
Тъй като елементът a 1 1 от матрицата A е различен от нула, ние го приемаме за минор от първи ред. Нека започнем да търсим граничен минор, различен от нула: 
Намерен е ненулев граничен минор от втори ред. Нека изброим граничните му второстепенни (техните 
неща): 
Всички минори, граничещи с минор от втори ред, са равни на нула, следователно рангът на матрица A е равен на две.
Отговор:
Ранг(A) = 2 .
Пример.
Намерете ранга на матрица 
с помощта на съседни малолетни.
Решение.
Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 1 от матрицата A . Ресни го минор от втори ред 
не е равно на нула. Този минор граничи с минор от трети ред 
. Тъй като тя не е равна на нула и за нея няма граничен минор, рангът на матрицата A е равен на три.
Отговор:
Ранг(A) = 3 .
Намиране на ранга чрез елементарни трансформации на матрицата (по метода на Гаус).
Помислете за друг начин за намиране на ранга на матрица.
Следните матрични трансформации се наричат елементарни:
- пермутация на редовете (или колоните) на матрицата;
- умножение на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, което е различно от нула;
- добавяне към елементите на всеки ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по произволно число k.
Матрица B се нарича еквивалентна на матрица A, ако B се получава от A с помощта на краен брой елементарни трансформации. Еквивалентността на матриците се обозначава със символа "~", т.е. пише се A ~ B.
Намирането на ранга на матрица с помощта на елементарни матрични трансформации се основава на твърдението: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Rank(A) = Rank(B) .
Валидността на това твърдение следва от свойствата на матричната детерминанта:
- Когато редовете (или колоните) на една матрица се пермутират, нейният детерминант променя знака. Ако е равно на нула, тогава при пермутиране на редове (колони) остава нула.
- При умножаване на всички елементи на всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, различно от нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, умножена по k. Ако детерминантата на оригиналната матрица е равна на нула, тогава след умножаване на всички елементи от всеки ред или колона по числото k, детерминантата на получената матрица също ще бъде равна на нула.
- Добавянето към елементите на определен ред (колона) на матрицата на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по определено число k, не променя нейния детерминант.
Същността на метода на елементарните трансформациие да приведем матрицата, чийто ранг трябва да намерим, до трапец (в частен случай, до горен триъгълник), използвайки елементарни трансформации.
За какво е? Рангът на матрици от този вид е много лесен за намиране. Той е равен на броя на редовете, съдържащи поне един ненулев елемент. И тъй като рангът на матрицата не се променя по време на елементарни трансформации, получената стойност ще бъде рангът на оригиналната матрица.
Даваме илюстрации на матрици, една от които трябва да се получи след трансформации. Тяхната форма зависи от реда на матрицата.
Тези илюстрации са шаблони, към които ще трансформираме матрицата A.
Нека опишем алгоритъм на метода.
Да предположим, че трябва да намерим ранга на ненулева матрица A от порядък (p може да бъде равно на n).
Така, . Нека умножим всички елементи от първия ред на матрица A по . В този случай получаваме еквивалентна матрица, обозначаваме я A (1) : 
Към елементите от втория ред на получената матрица A (1) добавяме съответните елементи от първия ред, умножени по . Към елементите от третия ред добавете съответните елементи от първия ред, умножени по . И така нататък до p-тия ред. Получаваме еквивалентна матрица, обозначаваме я A (2): 
Ако всички елементи на получената матрица в редове от втория до p-ия са равни на нула, тогава рангът на тази матрица е равен на единица и следователно рангът на оригиналната матрица е равен на единица .
Ако в редовете от втория до p-тия има поне един ненулев елемент, тогава продължаваме да извършваме трансформации. Освен това действаме по абсолютно същия начин, но само с отбелязаната на фигура (2) част от матрицата A 
Ако , тогава пренареждаме редовете и (или) колоните на матрицата A (2), така че "новият" елемент да стане различен от нула.
Във всяка матрица могат да бъдат свързани два ранга: ранг на ред (ранг на система от редове) и ранг на колона (ранг на система от колони).
Теорема
Рангът на реда на матрицата е равен на ранга на нейната колона.
Ранг на матрицата
Определение
Ранг на матрицата$A$ е рангът на неговата система от редове или колони.
Означава се с $\operatorname(rang) A$
На практика, за да се намери рангът на матрица, се използва следното твърдение: рангът на матрица е равен на броя на ненулевите редове, след като матрицата е била намалена до стъпаловидна форма.
Елементарните трансформации над редове (колони) на матрица не променят нейния ранг.
Рангът на стъпковата матрица е равен на броя на нейните ненулеви редове.
Пример
Упражнение.Намерете ранга на матрица $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $
Решение.Използвайки елементарни трансформации над нейните редове, редуцираме матрицата $A$ до стъпкова форма. За да направите това, първо извадете вторите две от третия ред:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
От втория ред изваждаме четвъртия ред, умножен по 4; от третата - две четвърти:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Добавяме първите пет към втория ред и три трети към третия:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Разменете първия и втория ред:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Отговор.$ \име на оператора (ранг) A=2 $
Метод на малки граници
Друг метод за намиране на ранга на матрица се основава на тази теорема - метод на малки граници. Същността на този метод е да се намерят непълнолетни, като се започне от по-ниски степени и се премине към по-високи. Ако минорът от $n$-ти ред е различен от нула и всички $n+1$-ти минори са равни на нула, тогава рангът на матрицата ще бъде равен на $n$.
Пример
Упражнение.Намерете ранга на матрица $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ с помощта на метода на малки граници.
Решение.Минори от минимален ред са минори от първи ред, които са равни на елементите на матрицата $A$. Да разгледаме, например, второстепенното $ M_(1)=1 \neq 0 $ . разположени в първия ред и първата колона. Ограждайки го с втория ред и втората колона, получаваме второстепенния $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; помислете за друг минор от втори ред, за това ограждаме минора $M_1$ с помощта на втория ред и третата колона, тогава имаме минора $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , тоест рангът на матрицата е поне две. След това разглеждаме минорите от трети ред, които обграждат минора $ M_(2)^(2) $. Има две такива второстепенни: комбинация от третия ред с втората колона или с четвъртата колона. Ние изчисляваме тези второстепенни.
За да работим с концепцията за ранг на матрица, се нуждаем от информация от темата "Алгебрични добавки и минори. Видове минори и алгебрични добавки" . На първо място, това се отнася до термина "минорна матрица", тъй като ние ще определим ранга на матрицата именно чрез минорите.
Ранг на матрицатаназовете максималния ред на неговите минори, сред които има поне един, който не е равен на нула.
Еквивалентни матрициса матрици, чиито рангове са еднакви.
Нека обясним по-подробно. Да предположим, че има поне един сред непълнолетните от втори ред, който е различен от нула. И всички минори, чийто ред е по-висок от две, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 2. Или, например, сред второстепенните от десети ред има поне един, който не е равен на нула. И всички минори, чийто ред е по-висок от 10, са равни на нула. Заключение: рангът на матрицата е 10.
Рангът на матрицата $A$ се означава по следния начин: $\rang A$ или $r(A)$. Рангът на нулевата матрица $O$ е зададен равен на нула, $\rang O=0$. Позволете ми да ви напомня, че за да се образува минорна матрица, е необходимо да се зачеркнат редове и колони, но е невъзможно да се зачеркнат повече редове и колони, отколкото съдържа самата матрица. Например, ако матрицата $F$ има размер $5\times 4$ (т.е. съдържа 5 реда и 4 колони), тогава максималният ред на нейните минори е четири. Вече няма да е възможно да се формират второстепенни от пети ред, тъй като те ще изискват 5 колони (а ние имаме само 4). Това означава, че рангът на матрицата $F$ не може да бъде по-голям от четири, т.е. $\ранг F≤4$.
В по-обща форма горното означава, че ако матрицата съдържа $m$ реда и $n$ колони, тогава нейният ранг не може да надвишава най-малкото от числата $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.
По принцип методът за намирането му следва от самото определение на ранга. Процесът на намиране на ранга на матрица по дефиниция може да бъде схематично представен по следния начин:
Нека обясня тази диаграма по-подробно. Нека започнем да разсъждаваме от самото начало, т.е. с минори от първи ред на някаква матрица $A$.
- Ако всички минори от първи ред (т.е. елементи от матрицата $A$) са равни на нула, тогава $\rang A=0$. Ако сред минорите от първи ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 1$. Преминаваме към проверка на непълнолетни от втори ред.
- Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава $\rang A=1$. Ако сред минори от втори ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 2$. Преминаваме към проверка на непълнолетни от трети ред.
- Ако всички минори от трети ред са равни на нула, тогава $\rang A=2$. Ако сред минори от трети ред има поне един, който не е равен на нула, тогава $\rang A≥ 3$. Да преминем към проверката на непълнолетните от четвърти ред.
- Ако всички минори от четвърти ред са равни на нула, тогава $\rang A=3$. Ако има поне един ненулев минор от четвърти ред, тогава $\rang A≥ 4$. Преминаваме към проверка на непълнолетни от пети ред и т.н.
Какво ни очаква в края на тази процедура? Възможно е сред минори от k-ти ред да има поне един, който е различен от нула, и всички минори от (k + 1)-ти ред ще бъдат равни на нула. Това означава, че k е максималният ред от второстепенни, сред които има поне един, който не е равен на нула, т.е. рангът ще бъде равен на k. Може да има различна ситуация: сред минорите от k-ти ред ще има поне един, който не е равен на нула, а минорите от (k + 1)-ти ред не могат да бъдат образувани. В този случай рангът на матрицата също е равен на k. Накратко казано, редът на последния съставен ненулев минор и ще бъде равен на ранга на матрицата.
Нека да преминем към примери, в които процесът на намиране на ранга на матрица по дефиниция ще бъде ясно илюстриран. Още веднъж подчертавам, че в примерите от тази тема ще намерим ранга на матриците, използвайки само дефиницията на ранга. Други методи (изчисляване на ранга на матрица по метода на граничещите минори, изчисляване на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации) се разглеждат в следващите теми.
Между другото, изобщо не е необходимо да започвате процедурата за намиране на ранга от непълнолетни от най-малък ред, както беше направено в примери № 1 и № 2. Можете веднага да отидете на непълнолетни от по-високи степени (вижте пример № 3).
Пример #1
Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array)\right)$.
Тази матрица е с размер $3\пъти 5$, т.е. съдържа три реда и пет колони. От числата 3 и 5 3 е минимумът, така че рангът на матрицата $A$ е най-много 3, т.е. $\ранг A≤ 3$. И това неравенство е очевидно, тъй като вече не можем да образуваме минори от четвърти ред - те се нуждаят от 4 реда, а ние имаме само 3. Нека да продължим директно към процеса на намиране на ранга на дадена матрица.
Сред минори от първи ред (т.е. сред елементите на матрицата $A$) има ненулеви. Например 5, -3, 2, 7. По принцип не се интересуваме от общия брой на ненулевите елементи. Има поне един ненулев елемент - и това е достатъчно. Тъй като има поне един различен от нула сред минорите от първи ред, заключаваме, че $\rang A≥ 1$ и продължаваме да проверяваме минорите от втори ред.
Нека започнем да изследваме непълнолетни от втори ред. Например, в пресечната точка на редове #1, #2 и колони #1, #4 има елементи от следния минор: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (масив) \right| $. За тази детерминанта всички елементи от втората колона са равни на нула, следователно самата детерминанта е равна на нула, т.е. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (вижте свойство #3 в свойството на детерминанти). Или можете просто да изчислите този детерминант, като използвате формула № 1 от раздела за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Първият минор от втория ред, който проверихме, се оказа равен на нула. Какво пише? Относно необходимостта от допълнителна проверка на непълнолетните от втори ред. Или всички те се оказват нула (и тогава рангът ще бъде равен на 1), или сред тях има поне един минор, който е различен от нула. Нека се опитаме да направим по-добър избор, като напишем минор от втори ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове #1, #2 и колони #1 и #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. Нека намерим стойността на този минор от втори ред:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Този минор не е равен на нула. Извод: сред минори от втори ред има поне един различен от нула. Следователно $\rank A≥ 2$. Необходимо е да се пристъпи към изучаване на непълнолетни от трети ред.
Ако за образуване на минори от трети ред изберем колона № 2 или колона № 4, тогава такива минори ще бъдат равни на нула (защото ще съдържат нулева колона). Остава да се провери само едно второстепенно от третия ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на колони № 1, № 3, № 5 и редове № 1, № 2, № 3. Нека запишем този минор и да намерим стойността му:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
И така, всички минори от трети ред са равни на нула. Последният ненулев минор, който компилирахме, беше от втори ред. Заключение: максималният ред на минори, сред които има поне един различен от нула, е равен на 2. Следователно, $\rang A=2$.
Отговор: $\ранг A=2$.
Пример #2
Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.
Ние имаме квадратна матрицачетвърти ред. Веднага отбелязваме, че рангът на тази матрица не надвишава 4, т.е. $\ранг A≤ 4$. Нека започнем да намираме ранга на една матрица.
Сред минори от първи ред (т.е. сред елементите на матрицата $A$) има поне един, който не е равен на нула, така че $\rang A≥ 1$. Преминаваме към проверка на непълнолетни от втори ред. Например в пресечната точка на редове № 2, № 3 и колони № 1 и № 2 получаваме следния минор от втори ред: $\left| \begin(масив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(масив) \right|$. Нека го изчислим:
$$ \ляво| \begin(масив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(масив) \right|=0-10=-10. $$
Сред минори от втори ред има поне един, който не е равен на нула, така че $\rang A≥ 2$.
Да преминем към непълнолетни от трети ред. Да намерим, например, минор, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове № 1, № 3, № 4 и колони № 1, № 2, № 4:
$$ \ляво | \begin(масив) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(масив) \right|=105-105=0. $$
Тъй като този минор от трети ред се оказа равен на нула, е необходимо да се изследва друг минор от трети ред. Или всички те ще бъдат равни на нула (тогава рангът ще бъде равен на 2), или сред тях ще има поне един, който не е равен на нула (тогава ще започнем да изучаваме второстепенни от четвърти ред). Помислете за минор от трети ред, чиито елементи са разположени в пресечната точка на редове № 2, № 3, № 4 и колони № 2, № 3, № 4:
$$ \ляво| \begin(масив) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(масив) \right|=-28. $$
Има поне един ненулев минор сред минорите от трети ред, така че $\rang A≥ 3$. Да преминем към проверката на непълнолетните от четвърти ред.
Всеки минор от четвърти ред се намира в пресечната точка на четири реда и четири колони на матрицата $A$. С други думи, минорът от четвърти ред е детерминантата на матрицата $A$, тъй като тази матрица съдържа само 4 реда и 4 колони. Детерминантата на тази матрица беше изчислена в пример № 2 от темата "Намаляване на реда на детерминантата. Разлагане на детерминантата в ред (колона)", така че нека просто вземем крайния резултат:
$$ \ляво| \begin(масив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (масив)\right|=86. $$
И така, минорът от четвърти ред не е равен на нула. Вече не можем да образуваме минори от пети ред. Заключение: най-високият ред на второстепенните, сред които има поне един различен от нула, е 4. Резултат: $\rang A=4$.
Отговор: $\ранг A=4$.
Пример #3
Намерете ранга на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( масив)\right)$.
Забележете веднага, че тази матрица съдържа 3 реда и 4 колони, така че $\rang A≤ 3$. В предишните примери започнахме процеса на намиране на ранга, като разгледахме второстепенни от най-малкия (първи) ред. Тук ще се опитаме незабавно да проверим непълнолетните от най-високия възможен порядък. За матрицата $A$ това са минори от трети ред. Да разгледаме минор от трети ред, чиито елементи лежат в пресечната точка на редове № 1, № 2, № 3 и колони № 2, № 3, № 4:
$$ \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(масив) \right|=-8-60-20=-88. $$
И така, най-високият ред на второстепенните, сред които има поне един, който не е равен на нула, е 3. Следователно рангът на матрицата е 3, т.е. $\ранг A=3$.
Отговор: $\ранг A=3$.
Като цяло, намирането на ранга на матрица по дефиниция е, в общия случай, доста времеемка задача. Например, сравнително малка матрица $5\times 4$ има 60 второстепенни лица. И дори ако 59 от тях са равни на нула, тогава 60-то второстепенно може да се окаже различно от нула. След това трябва да изследвате минори от трети ред, от които тази матрица има 40 части. Обикновено се опитват да използват по-малко тромави методи, като метода на граничещите второстепенни или метода на еквивалентните трансформации.
Всякаква матрица Апоръчка m×nможе да се разглежда като колекция мредови вектори или нколонни вектори.
рангматрици Апоръчка m×nе максималният брой линейно независими вектори в колони или вектори в редове.
Ако рангът на матрицата Асе равнява r, тогава е написано:
Намиране на ранга на матрица
Позволявам Аматрица на произволен ред м× н. Да се намери рангът на матрица Априложете към него метода на елиминиране на Гаус.
Имайте предвид, че ако на някакъв етап от елиминирането водещият елемент се окаже равен на нула, тогава разменяме дадения низ с низа, в който водещият елемент е различен от нула. Ако се окаже, че няма такъв ред, преминаваме към следващата колона и т.н.
След движението напред на Гаусовата елиминация получаваме матрица, чиито елементи под главния диагонал са равни на нула. Освен това може да има вектори с нулев ред.
Броят на ненулевите редови вектори ще бъде рангът на матрицата А.
Нека да разгледаме всичко това с прости примери.
Пример 1
Умножавайки първия ред по 4 и добавяйки към втория ред и умножавайки първия ред по 2 и добавяйки към третия ред, имаме:
Умножете втория ред по -1 и го добавете към третия ред:
Имаме два ненулеви реда и следователно рангът на матрицата е 2.
Пример 2
Намерете ранга на следната матрица:
Умножете първия ред по -2 и добавете към втория ред. По същия начин задайте елементите на третия и четвъртия ред на първата колона на нула:
Нека нулираме елементите на третия и четвъртия ред на втората колона, като добавим съответните редове към втория ред, умножени по числото -1.
Редове (колони). Няколко реда (колони) се наричат линейно независими, ако никой от тях не може да бъде изразен линейно чрез други. Рангът на редовата система винаги е равен на ранга на колонната система и това число се нарича ранг на матрицата.
Рангът на матрицата е най-високият от редовете на всички възможни ненулеви второстепенни на тази матрица. Рангът на нулева матрица с произволен размер е нула. Ако всички минори от втори ред са равни на нула, тогава рангът е равен на едно и т.н.
Ранг на матрицата - размерност на изображението dim (im (A)) (\displaystyle \dim(\operatorname (im) (A)))линеен оператор, който съответства на матрицата.
Обикновено рангът на матрицата A (\displaystyle A)означено ранг A (\displaystyle \operatorname (rang) A), r A (\displaystyle \operatorname (r) A), rg A (\displaystyle \operatorname (rg) A)или ранг A (\displaystyle \operatorname (ранг) A). Последният вариант е за на английски език, докато първите два са за немски, френски и редица други езици.
Енциклопедичен YouTube
-
1 / 5
Нека е правоъгълна матрица.
След това, по дефиниция, рангът на матрицата A (\displaystyle A)е:
Теорема (за коректността на дефиницията на ранговете).Нека всички матрични минори A m × n (\displaystyle A_(m\умножено по n))поръчка k (\displaystyle k)са равни на нула ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Тогава ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0)ако съществуват.
Свързани определения
Имоти
- Теорема (на база минор):Позволявам r = ранг A , M r (\displaystyle r=\име на оператор (ранг) A,M_(r))- базис минор на матрицата A (\displaystyle A), тогава:
- Последствия:
- Теорема (за инвариантност на ранга при елементарни трансформации):Нека въведем обозначение за матрици, получени една от друга чрез елементарни трансформации. Тогава е вярно твърдението: Ако A ∼ B (\displaystyle A\sim B), тогава ранговете им са равни.
- Теорема Кронекер - Капели:Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само ако рангът на нейната основна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица. По-специално:
- Броят на основните променливи на системата е равен на ранга на системата.
- Ще бъде дефинирана съвместна система (решението й е уникално), ако рангът на системата е равно на числотовсички негови променливи.
- Неравенство Силвестър:Ако Аи бразмерни матрици m x nи n x k, тогава
Това е частен случай на следното неравенство.
- Неравенство на Фробениус:Ако AB, BC, ABC са добре дефинирани, тогава
Линейна трансформация и ранг на матрицата
Позволявам A (\displaystyle A)- размерна матрица m × n (\displaystyle m\times n)над полето C (\displaystyle C)(или R (\displaystyle R)). Позволявам T (\displaystyle T)е линейна трансформация, съответстваща на A (\displaystyle A)в стандартната основа; означава, че T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Ранг на матрицата A (\displaystyle A) е измерението на диапазона на трансформация T (\displaystyle T).
Методи
Има няколко метода за намиране на ранга на матрица:
- Метод на елементарните преобразувания
- Метод на фрингинг минор
