Движението на точка в пространството може да се счита за дадено, ако са известни законите за промяна на нейните три декартови координати x, y, z като функция на времето. Въпреки това, в някои случаи на пространствено движение на материални точки (например в области, ограничени от повърхности с различни форми), използването на уравнения на движение в декартови координати е неудобно, тъй като те стават твърде тромави. В такива случаи можете да изберете други три независими скаларни параметъра $q_1,(\ q)_2,\ \ q_3$, наречени криволинейни или обобщени координати, които също еднозначно определят позицията на точка в пространството.
Скоростта на точката M, когато се задава нейното движение в криволинейни координати, се определя като векторна сума на компонентите на скоростта, успоредни на координатните оси:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\+v_(q_3)\overline(e_3)\]
Проекциите на вектора на скоростта върху съответните координатни оси са: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline(1 ,3)$
Тук $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ е параметърът, наречен i-ти коефициент Lame и е равен на модула на частната производна на радиус-вектора на точката по i-та криволинейна координата, изчислена в дадена точка M. Всеки от векторите $\overline(e_i)$ има посока, съответстваща на посоката на движение на крайната точка на радиус вектора $r_i$ при i-тообобщена координата. Модулът на скоростта в ортогонална криволинейна координатна система може да се изчисли от зависимостта:
В горните формули стойностите на производните и коефициентите на Lame се изчисляват за текущата позиция на точката M в пространството.
Координатите на точка в сферичната координатна система са скаларните параметри r, $(\mathbf \varphi),\ (\mathbf \theta)$, преброени, както е показано на фиг. един.
Фигура 1. Вектор на скоростта в сферични координати
Системата от уравнения на движение на точка в този случай има формата:
\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\]
На фиг. Фигура 1 показва радиус вектора r, изчертан от началото, ъглите $(\mathbf \varphi )$ и $(\mathbf \theta )$, както и координатните линии и осите на разглежданата система в произволна точка M от траекторията. Може да се види, че координатните линии $((\mathbf \varphi ))$ и $((\mathbf \theta ))$ лежат на повърхността на сфера с радиус r. Тази криволинейна координатна система също е ортогонална. Декартови координатиможе да се изрази чрез сферични координати, както следва:
Тогава коефициентите на Ламе: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; проекции на точковата скорост върху осите на сферичната координатна система $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $ и модулът на вектора на скоростта
Ускорение на точка в сферична координатна система
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta ),\]
проекции на ускорението на точка върху осите на сферичната координатна система
\ \
Модул за ускорение $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
Задача 1
Точката се движи по линията на пресичане на сферата и цилиндъра съгласно уравненията: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- сферичнакоординати). Намерете модула и проекциите на скоростта на точка върху осите на сферичната координатна система.
Нека намерим проекциите на вектора на скоростта върху осите на сферичните координати:
Модул на скоростта $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt) )(2)+1)$
Задача 2
Използвайки условието на задача 1, определете модула за ускорение на точката.
Нека намерим проекциите на вектора на ускорението върху осите на сферичните координати:
\ \ \
Модул за ускорение $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
задачи за движение
Използваме уравнение (4) и вземаме неговата производна по отношение на времето
В (8) с единични вектори има проекции на вектора на скоростта върху координатните оси
Проекциите на скоростта върху координатните оси се определят като първи производни по време на съответните координати.
Познавайки проекциите, можете да намерите модула на вектора и неговата посока
,
(10)
Определяне на скоростта по естествен начин
задачи за движение
Нека траекторията материална точкаи закона за изменение на криволинейната координата. Да предположим при T 1 точка имаше 
и координатата с 1, докато T 2 - координата с 2. По време на
координатата е увеличена 
, тогава средната скорост на точката
.
За да намерим скоростта в даден момент от време, преминаваме към границата
,
.
(12)
Векторът на скоростта на точка по естествен начин за определяне на движението се определя като първа производна по време на криволинейната координата.
точково ускорение
Под ускорението на материална точкаразбиране на векторно количество, което характеризира скоростта на промяна на вектора на скоростта на точка по големина и посока във времето.
Ускорение на точка с векторен метод за определяне на движение
Разгледайте точка в две точки във времето T 1
(
) и T 2
(
), тогава 
- увеличение на времето 
- увеличение на скоростта.
вектор 
винаги лежи в равнината на движение и е насочена към вдлъбнатината на траекторията.
П 
един средно точково ускорениепо време на
T
разберете величината
.
(13)
За да намерим ускорението в даден момент от време, преминаваме към границата
,
.
(14)
Ускорението на точка в даден момент се определя като втората производна по време на радиус вектора на точката или първата производна по време на вектора на скоростта.
Векторът на ускорението е разположен в съседната равнина и е насочен към вдлъбнатината на траекторията.
Ускорение на точка с координатния метод за определяне на движение
Нека използваме уравнението на връзката между векторните и координатните методи за определяне на движението
И вземете втората производна от него
,
.
(15)
В уравнение (15) с единични вектори има проекции на вектора на ускорението върху координатните оси
.
(16)
Проекциите на ускорението върху координатните оси се определят като първи производни по време на проекциите на скоростта или като втори производни по време на съответните координати.
Модулът и посоката на вектора на ускорението могат да бъдат намерени от следните изрази
,
(17)
,
,
.
(18)
Ускорение на точка с естествен начин за определяне на движението
П 
Нека точката се движи по криволинейна траектория. Помислете за две от неговите позиции в моменти от време T
(с, М, v) и T 1
(с 1, М 1, v 1).
В този случай ускорението се определя чрез неговите проекции върху осите на естествената координатна система, движеща се заедно с точката М. Осите са насочени, както следва:
М - допирателна, насочена по допирателната към траекторията, към положителната референтна точка на разстоянието,
М н- главната нормала, насочена по нормалата, разположена в съседната равнина, и насочена към вдлъбнатината на траекторията,
М bе бинормал, перпендикулярен на равнината M ни образува дясна тройка с първите оси.
Тъй като векторът на ускорението лежи в съседна равнина, тогава а b = 0. Да намерим проекциите на ускорението върху другите оси.
.
(19)
Нека проектираме (19) върху координатните оси
,
(20)
.
(21)
Начертайте оси през точката M 1 успоредно на осите в точката M и намерете проекциите на скоростта:
където - така нареченият ъгъл на съседство.
Заместете (22) в (20)
.
При T 0 0, cos 1 тогава
.
(23)
Тангенциалното ускорение на точка се определя от първата производна по време на скоростта или втората производна по време на криволинейната координата.
Тангенциалното ускорение характеризира промяната на вектора на скоростта по големина.
Заместете (22) в (21)
.
Умножете числителя и знаменателя по sза да получите известни граници
където 
(първата забележителна граница),
,
,
, където
- радиус на кривина на траекторията.
Замествайки изчислените граници в (24), получаваме
.
(25)
Нормалното ускорение на дадена точка се определя от отношението на квадрата на скоростта към радиуса на кривината на траекторията в дадена точка.
Нормалното ускорение характеризира изменението на вектора на скоростта по посока и винаги е насочено към вдлъбнатината на траекторията.
Накрая получаваме проекциите на ускорението на материалната точка върху осите на естествената координатна система и модула на вектора
,
(26)
.
(27)
Формули за изчисляване на скорост на точка, ускорение, радиус на кривина на траекторията, тангенс, нормала и бинормал по зададени зависимости на координатите от времето. Пример за решаване на задача, в която дадени уравнениядвижение, трябва да определите скоростта и ускорението на точката. Определят се и радиусът на кривината на траекторията, допирателната, нормалната и бинормална.
СъдържаниеВъведение
Изводите от формулите по-долу и представянето на теорията са дадени на страницата “Кинематика на материална точка”. Тук прилагаме основните резултати от тази теория към координатния метод за определяне на движението на материална точка.
Нека имаме фиксирана правоъгълна координатна система с център фиксирана точка. В този случай позицията на точката M се определя еднозначно от нейните координати (x, y, z). Координатен метод за определяне на движение на точка- това е метод, при който се дават зависимостите на координатите от времето. Тоест, дадени са три функции на времето (за триизмерно движение):
Дефиниция на кинематични величини
Познавайки зависимостта на координатите от времето, ние автоматично определяме радиус вектора на материалната точка M по формулата:
,
където са единични вектори (ортове) по посока на осите x, y, z.
Диференцирайки по време, намираме проекциите на скоростта и ускорението върху координатните оси:
;
;
Модули за скорост и ускорение:
;
.
.
Тангенциалното (тангенциалното) ускорение е проекцията на общото ускорение върху посоката на скоростта:
.
Вектор на тангенциално (тангенциално) ускорение:
Нормално ускорение:
.
;
.
Единичен вектор по посока на главната нормала на траекторията:
.
Радиусът на кривината на траекторията:
.
Център на кривината на пътя:
.
.
Пример за решение на проблем
Определяне на скоростта и ускорението на точка по дадените уравнения на нейното движение
Съгласно дадените уравнения на движение на точка, установете вида на нейната траектория и за момента намерете позицията на точката върху траекторията, нейната скорост, пълно, тангенциално и нормално ускорения, както и радиуса на кривината на траекторията.
Уравнения за движение на точка:
, см;
, см.
Решение
Определяне на вида на траекторията
Ние изключваме времето от уравненията на движението. За да направите това, ние ги пренаписваме във формата:
;
.
Нека приложим формулата:
.
;
;
;
.
И така, получихме уравнението на траекторията:
.
Това е уравнението на парабола с връх в точка и ос на симетрия.
Тъй като
, тогава
; или
.
По същия начин получаваме ограничение за координатата:
;
;
Така траекторията на точката е дъгата на параболата
,
намира се в
и .
Изграждаме парабола от точки.
| 0 | 6 |
| 3 | 5,625 |
| 6 | 4,5 |
| 9 | 2,625 |
| 12 | 0 |
Определете позицията на точката във времето.
;
.
Определяне на скоростта на точка
Диференцирайки координатите и по време, намираме компонентите на скоростта.
.
За разграничаване е удобно да се приложи тригонометричната формула:
. Тогава
;
.
Изчисляваме стойностите на компонентите на скоростта в момента:
;
.
Модул за скорост:
.
Определяне на ускорението на точка
Чрез диференциране на компонентите на скоростта и по отношение на времето намираме компонентите на ускорението на точката.
;
.
Изчислете стойностите на компонентите на ускорението в момента:
;
.
Модул за ускоряване:
.
Тангенциалното ускорение е проекцията на пълното ускорение върху посоката на скоростта:
.
Тъй като тогава векторът на тангенциалното ускорение е насочен обратно на скоростта.
Нормално ускорение:
.
Векторът и е насочен към центъра на кривината на траекторията.
Радиусът на кривината на траекторията:
.
Траекторията на точката е дъгата на параболата
;
.
Точкова скорост: .
Точково ускорение: ; ; .
Радиусът на кривината на траекторията: .
Дефиниране на други величини
При решаването на проблема открихме:
вектор и модул на скоростта:
;
;
векторен и пълен модул на ускорение:
;
;
тангенциални и нормални ускорения:
;
;
радиус на кривината на траекторията: .
Нека да определим останалите количества.
Единичен вектор по посока на тангентата на пътя:
.
Вектор на тангенциалното ускорение:
.
Вектор на нормално ускорение:
.
Единичен вектор по посока на главната нормала:
.
Координати на центъра на кривината на траекторията:
.
Нека въведем третата ос на координатната система, перпендикулярна на осите и . В 3D система
;
.
Единичен вектор в бинормална посока:
.
