Ovaj video vodič je kreiran posebno za samostalno istraživanje tema "Krug". Učenici će moći učiti strogo geometrijska definicija krugovi. Nastavnik će detaljno analizirati rješenja nekoliko tipičnih zadataka za konstruiranje kružnice.
Krug je geometrijski lik koji se sastoji od mnogo točaka koje su jednako udaljene od dana točka.
Slika 1 prikazuje krug.
Riža. 1. Opseg
Skraćeni oblik zadane kružnice je Okr (O, r), koji glasi: “Kružnica sa središtem u točki O i polumjerom r.” Točka od koje su ostale točke jednako udaljene naziva se centar krugovi. Segment koji povezuje središte i točku koja leži na krugu naziva se radius. Ako spojite dvije točke koje leže na kružnici, možete nacrtati segment tzv akord. Tetiva koja prolazi središtem kružnice naziva se promjer.
Dakle, postoje sljedeće oznake:
O - središte kruga;
OM = r - polumjer kružnice;
OM = ON = r - polumjeri kružnice;
MN - akord;
AM - promjer;
AM = 2r - odnos polumjera i promjera.
Bilo koje dvije točke sijeku kružnicu na dva luka, na primjer: lukovi NLM i NAM za zadane točke N i M.
Primjer 1: Slika 2 prikazuje krug. Odredite središte, radijus, tetive, promjer i moguće lukove.
Riješenje:
Riža. 2. Crtanje na primjer 1
Definirajmo glavne elemente ovog kruga:
O - središte kruga;
OE = OD = OA = OC - polumjeri kružnice;
EF, BA - akordi;
DC - promjer.
Za sada se prisjetimo definicije kruga. Kružnica je dio ravnine omeđen kružnicom. Potpuno je jasno da je razlika između kruga i kruga sljedeća: krug je linija, a krug je dio ravnine koji je ograničen ovom linijom. Na primjer, slika 3 prikazuje krug.
Riža. 3. Krug
Primjer 2: Na slici je prikazana kružnica promjera AB i CD. Dokažite da su tetive AC i BD jednake. Dokažite da su tetive BC i AD jednake. Dokažite da su kutovi BAD i BCD jednaki.
Riža. 4. Crtanje na primjer 2
Riješenje:
Prvo, otkrijmo da je CO = OD = OB = OA, jer su naznačeni segmenti polumjeri iste kružnice. Ove ćemo tvrdnje dokazati pomoću lanaca trokuta. Na primjer, prema prvom znaku, budući da je OB = OA kao radijus, CO = OD slično, 
poput vertikale. Iz jednakosti trokuta slijedi AC = BD.
Zatim ćemo dokazati da je sličan u smislu prvog znaka. OD = OA, CO = OB kao polumjeri, i 
poput vertikale. Iz jednakosti trokuta slijedi da je AD = BC.
Sljedeće ćemo to dokazati 
prema trećem znaku. BD je zajednička stranica trokuta, AD = CB prema dokazanoj tvrdnji u paragrafu 2, AB = CD kao promjeri kružnice. Iz jednakosti trokuta slijedi da 
.
Q.E.D.
Primjer 3: segment MK je promjer kruga, a RM i RK su jednaki akordi. Nađi kut POM.
Riža. 5. Crtanje na primjer 3
Riješenje:
Po definiciji je jednakokračan jer je RK = RM. Kako su OK - OM polumjeri kružnica, tada je PO središnja povučena na bazu. Prema svojstvu jednakokračnog trokuta, medijan povučen na osnovicu je visina, odnosno visina.
- Portal za pomoć calc.ru ().
- Broj 99. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, prir. Sadovnichego V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.
- Dvije tetive jednake polumjeru povučene su iz točke na danoj kružnici. Pronađite kut između njih.
- Dokažite da svaka zraka koja izlazi iz središta kružnice siječe kružnicu u jednoj točki.
- Dokažite da je promjer kružnice koja prolazi središtem tetive okomit na nju.
Rečenica koja objašnjava značenje pojedinog izraza ili naziva naziva se definicija. Već smo se susreli s definicijama, na primjer, definicija kuta, susjednih kutova, jednakokračnog trokuta itd. Dajmo definiciju još jedne geometrijske figure - kruga.
Definicija
Ova točka se zove centar kruga, a segment koji povezuje središte s bilo kojom točkom na kružnici je polumjer kruga(Slika 77). Iz definicije kruga proizlazi da su svi polumjeri iste duljine.
Riža. 77
Isječak koji spaja dvije točke na kružnici naziva se tetiva. Tetiva koja prolazi središtem kruga naziva se njegovim promjer.
Na slici 78, dužine AB i EF su tetive kružnice, dužina CD je promjer kružnice. Očito je da je promjer kruga dvostruko veći od njegovog polumjera. Središte kruga je središte bilo kojeg promjera.
Riža. 78
Bilo koje dvije točke na kružnici dijele je na dva dijela. Svaki od ovih dijelova naziva se luk kružnice. Na slici 79 ALB i AMB su lukovi omeđeni točkama A i B.
Riža. 79
Da biste nacrtali krug na crtežu, koristite kompas(Slika 80).
Riža. 80
Za crtanje kruga na tlu možete koristiti uže (slika 81).
Riža. 81
Dio ravnine omeđen kružnicom naziva se kružnica (slika 82).
Riža. 82
Konstrukcije sa šestarom i ravnalom
Već smo se pozabavili geometrijske konstrukcije: crtao ravne crte, odlagao segmente jednake podacima, crtao kutove, trokute i druge likove. Istovremeno smo koristili ravnalo, šestar, kutomjer i ugaonik.
Ispada da se mnoge konstrukcije mogu izvesti samo pomoću šestara i ravnala bez podjele mjerila. Stoga se u geometriji posebno izdvajaju oni konstrukcijski zadaci koji se mogu riješiti samo pomoću ova dva alata.
Što možete učiniti s njima? Jasno je da ravnalo omogućuje crtanje proizvoljne ravne crte, kao i konstruiranje ravne crte koja prolazi kroz dvije zadane točke. Koristeći šestar možete nacrtati kružnicu proizvoljnog polumjera, kao i kružnicu sa središtem u određenoj točki i polumjerom jednakim određenom segmentu. Izvođenjem ovih jednostavnih operacija možemo riješiti mnoge zanimljive građevinske probleme:
konstruirati kut jednak zadanom;
kroz zadanu točku povući pravac okomit na zadani pravac;
podijeliti ovaj segment na pola i ostale zadatke.
Počnimo s jednostavnim zadatkom.
Zadatak
Na zadanu zraku, od njenog početka, nacrtajte isječak jednak zadanom.
Riješenje
Prikažimo figure dane u tvrdnji problema: zraku OS i segment AB (slika 83, a). Zatim, koristeći kompas, konstruiramo krug polumjera AB sa središtem O (slika 83, b). Ova kružnica će presijecati zraku OS u nekoj točki D. Isječak OD je traženi.
Riža. 83
Primjeri konstrukcijskih problema
Konstruiranje kuta jednakog zadanom
Zadatak
Od zadane zrake oduzmi kut koji je jednak zadanoj.
Riješenje
Taj kut s vrhom A i poluprava OM prikazani su na slici 84. Potrebno je konstruirati kut jednak kutu A tako da mu se jedna stranica poklapa s polupravom OM.
Riža. 84
Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog radijusa sa središtem u vrhu A zadanog kuta. Ova kružnica siječe stranice kuta u točkama B i C (slika 85, a). Zatim nacrtamo kružnicu istog polumjera sa središtem u ishodištu te zrake OM. Presijeca gredu u točki D (slika 85, b). Nakon toga ćemo konstruirati kružnicu sa središtem D čiji je polumjer jednak BC. Kružnice sa središtima O i D sijeku se u dvije točke. Označimo jednu od tih točaka slovom E. Dokažimo da je kut MOE traženi.
Riža. 85
Promotrimo trokute ABC i ODE. Segmenti AB i AC su polumjeri kruga sa središtem A, a segmenti OD i OE su polumjeri kruga sa središtem O (vidi sliku 85, b). Budući da konstrukcijom ovi krugovi imaju jednaki radijusi, tada je AB = OD, AC = OE. Također po konstrukciji BC = DE.
Stoga je Δ ABC = Δ ODE na tri strane. Dakle, ∠DOE = ∠BAC, tj. konstruirani kut MOE jednak je zadanom kutu A.
Istu konstrukciju možete napraviti na tlu ako umjesto kompasa koristite uže.
Konstruiranje simetrale kuta
Zadatak
Konstruiraj simetralu zadanog kuta.
Riješenje
Ovaj kut BAC prikazan je na slici 86. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog radijusa sa središtem u vrhu A. Ona će sijeći stranice kuta u točkama B i C.
Riža. 86
Zatim nacrtamo dvije kružnice istog polumjera BC sa središtima u točkama B i C (na slici su prikazani samo dijelovi tih kružnica). Presijecat će se u dvije točke, od kojih se barem jedna nalazi unutar kuta. Označimo ga slovom E. Dokažimo da je zraka AE simetrala zadanog kuta BAC.
Promotrimo trokute ACE i ABE. S tri su strane jednaki. Doista, AE je opća strana; AC i AB jednaki su polumjerima iste kružnice; CE = BE po konstrukciji.
Iz jednakosti trokuta ACE i ABE slijedi ∠CAE = ∠BAE, tj. poluprava AE je simetrala zadanog kuta BAC.
Komentar
Je li moguće šestarom i ravnalom podijeliti zadani kut na dva jednaka kuta? Jasno je da je moguće - da biste to učinili, morate nacrtati simetralu ovog kuta.
Taj se kut također može podijeliti na četiri jednaka kuta. Da biste to učinili, trebate ga podijeliti na pola, a zatim svaku polovicu ponovno podijeliti na pola.
Je li moguće šestarom i ravnalom podijeliti zadani kut na tri jednaka kuta? Ovaj zadatak, tzv problemi trisekcije kuta, stoljećima je privlačio pažnju matematičara. Tek u 19. stoljeću dokazano je da je takva konstrukcija nemoguća za proizvoljni kut.
Konstrukcija okomitih linija
Zadatak
Zadana je ravna linija i točka na njoj. Konstruirajte pravac koji prolazi kroz zadanu točku i okomit je na zadani pravac.
Riješenje
Ova ravna crta a i dana točka M koji pripadaju ovom pravcu prikazani su na slici 87.
Riža. 87
Na zrakama ravne linije a, koje izlaze iz točke M, crtamo jednake segmente MA i MB. Zatim konstruiramo dvije kružnice sa središtima A i B polumjera AB. Oni se sijeku u dvije točke: P i Q.
Povucimo ravnu crtu kroz točku M i jednu od tih točaka, na primjer, ravnu crtu MR (vidi sliku 87), i dokažimo da je ta pravac željena, tj. da je okomita na zadanu ravnicu a .
Zapravo, budući da je medijan PM jednakokračnog trokuta RAB ujedno i visina, tada je PM ⊥ a.
Konstruiranje polovišta odsječka
Zadatak
Konstruirajte središte ovog segmenta.
Riješenje
Neka je AB zadani segment. Konstruirajmo dvije kružnice sa središtima A i B polumjera AB. Sjeku se u točkama P i Q. Nacrtajmo ravnu liniju PQ. Točka O sjecišta ovog pravca s dužicom AB je željeno polovište dužice AB.
Naime, trokuti APQ i BPQ jednaki su na tri stranice, stoga je ∠1 =∠2 (slika 89).
Riža. 89
Dakle, dužina PO je simetrala jednakokračnog trokuta ARB, pa je središnja točka O sredina dužine AB.
Zadaci
143. Koji su od isječaka prikazanih na slici 90: a) tetive kružnice; b) promjeri kruga; c) polumjeri kružnice?
Riža. 90
144. Dužci AB i CD su promjeri kružnice. Dokažite: a) da su tetive BD i AC jednake; b) tetive AD i BC su jednake; c) ∠LOŠ = ∠BCD.
145. Isječak MK je promjer kružnice sa središtem O, a MR i RK jednake su tetive te kružnice. Pronađite ∠POM.
146. Dužci AB i CD promjeri su kružnice sa središtem O. Odredi opseg trokuta AOD ako je poznato da je CB = 13 cm, AB = 16 cm.
147. Na kružnici sa središtem O označene su točke A i B tako da je kut AOB pravi kut. Segment BC je promjer kruga. Dokažite da su tetive AB i AC jednake.
148. Na pravoj crti date su dvije točke A i B. Na nastavku poluprave BA A odložimo dužicu BC tako da je BC = 2AB.
149. Dani su pravac a, točka B koja ne leži na njemu i dužina PQ. Konstruiraj točku M na pravcu a tako da je BM = PQ. Ima li problem uvijek rješenje?
150. Dana je kružnica, točka A koja ne leži na njoj i dužina PQ. Konstruiraj točku M na kružnici tako da je AM = PQ. Ima li problem uvijek rješenje?
151. Danci oštar kut VI i XY zraka. Konstruiraj kut YXZ tako da je ∠YXZ = 2∠BAC.
152. Dan je tupi kut AOB. Konstruirajte polupravu OX tako da kutovi HOA i HOB budu jednaki tupi kutovi.
153. Dani su pravac a i točka M koja ne leži na njemu. Konstruirajte pravac koji prolazi točkom M i okomit je na pravac a.
Riješenje
Konstruirajmo kružnicu sa središtem u zadanoj točki M koja siječe zadanu liniju a u dvije točke koje označavamo slovima A i B (slika 91). Zatim ćemo konstruirati dvije kružnice sa središtima A i B koje prolaze točkom M. Te se kružnice sijeku u točki M i još jednoj točki koju ćemo označiti slovom N. Povucimo pravac MN i dokažimo da je taj pravac željeni jedan, tj. okomit je na ravnu liniju a.
Riža. 91
Naime, trokuti AMN i BMN su jednaki na tri strane, pa je ∠1 = ∠2. Slijedi da je dužina MC (C je sjecište pravaca a i MN) simetrala jednakokračnog trokuta AMB, a time i njegova visina. Dakle, MN ⊥ AB, tj. MN ⊥ a.
154. Dan je trokut ABC. Konstruiraj: a) simetralu AK; b) medijan VM; c) visina CH trokuta. 155. Koristeći šestar i ravnalo konstruirajte kut jednak: a) 45°; b) 22°30".
Odgovori na probleme
152. Uputa. Prvo konstruirajte simetralu kuta AOB.
Test br. 4 na temu "Krug"
Provjera teorijskog znanja.
Na ploči: dokazati svojstvo tangente na kružnicu, teorem o upisanom kutu, teorem o odsječcima tetiva koje se sijeku, simetralu okomice na isječak, teorem o kružnicama upisanim i trokutu opisanim.
Razred (frontalni razgovor).
Uzajamni položaj pravca i kruga. Definicija tangente na kružnicu i njezina svojstva. Koji se kut naziva središnjim? Koji se kut naziva upisanim? Što je jednako stupanjska mjera? Četiri divne točke trokuta. Koja se kružnica naziva upisana kružnica? Opisano? Koji se mnogokut naziva opisanim? Upisano? Koja svojstva imaju stranice četverokuta opisanog krugu? Koja svojstva imaju kutovi četverokuta upisanog u krug? Navedite teorem o segmentima tetiva koje se sijeku.
T-1.Upišite prazna mjesta (elipse) kako biste dobili točnu tvrdnju.
OPCIJA 1.
1. Točka jednako udaljena od svih točaka kružnice naziva se njezina....
2. Isječak koji spaja dvije točke na kružnici naziva se njen....
3. Svi polumjeri kruga....
4. Na slici 0(r) je kružnica, AB je tangenta na nju; točka B se zove...
6. Kut između tangente na kružnicu i polumjera povučenog do dodirne točke jednak je....
7. Na slici je AB promjer kružnice, C je točka koja leži na kružnici. Trokut DIA... (vrsta trokuta).
8. Na slici je AB = 2BC, AB je promjer kruga. Kutni CAB je...
9. Na slici se tetive AB i CD sijeku u točki M. Kut ACD jednak je kutu....
10. Na slici O je središte kruga. Luk AmB je 120°. Kut ABC je jednak.
11. Na slici je AK = 24 cm, KB = 9 cm, CK = 12 cm Tada je KD = ...
12*. Na slici je AB = BC = 13 cm, visina BD = 12 cm Tada je VC = ..., KS = ....
OPCIJA 2.
1. Geometrijski lik, čije se sve točke nalaze na istoj udaljenosti od dane točke naziva se ....
2. Tetiva koja prolazi središtem kružnice naziva se....
3. Svi promjeri kruga....
4. Na slici 0(d) je kružnica, B je dodirna točka između pravca AB i kružnice. Pravac AB naziva se... kružnicom.
6. Tangenta na kružnicu i polumjer povučen na točku dodirivanja, ....
7. Na slici je AB tangenta, OA je sekanta koja prolazi središtem kružnice. Trokut OVA... (vrsta trokuta).
8. Na slici OS = CA, AB je tangenta na kružnicu sa središtem O. Kut BAC je jednak....
9. Tetive AB i CD kružnice sijeku se u točki K. Kut ADC jednak je kutu....
10. Na slici O je središte kružnice, kut CBA je 40°. Luk CmB je jednak...
11. Na slici je AM = 15 cm, MB = 4 cm, MC = 3 cm Tada je DM = ... .
12*. Na slici je AB = BC, BD je visina trokuta ABC, BC = 8 cm, KS = 5 cm. Tada je BD = ..., DC = ....
T-2.Odredite jesu li sljedeće tvrdnje točne ili netočne.
OPCIJA 1.
1. Pravac koji s kružnicom ima samo jednu zajedničku točku naziva se tangenta na tu kružnicu.
2. Tangenta na kružnicu okomita je na polumjer povučen u točku dodirivanja.
3. Slika prikazuje krug. Tada je Ð DAC = Ð DBC.
4. Svaki pravac koji prolazi sredinom tetive kružnice okomit je na nju.
5. Zraka dodiruje kružnicu ako s njom ima samo jednu zajedničku točku.
6. Na slici je AB promjer kružnice, Ð 1 = 30°. Tada je r 2 = 60°.
7. Slika prikazuje krug. Tada je Ð DAB = Ð DOB.
8. Na slici O je središte kruga. Ako je ÈVS = 60°, tada je Ð SVA = 60°.
9. Na slici je promjer kruga AB 10 cm, tetiva AC = 8 cm, tada je površina trokuta ABC 24 cm2.
10. Dvije tetive kružnice AB i CD sijeku se u točki O tako da je AO = 16 cm, BO = 9 cm, OD = 24 cm Tada je CO = 6 cm.
jedanaest*. Točka dodirivanja kružnice upisane u jednakokračni trokut dijeli stranicu na segmente od 5 cm i 8 cm, računajući od osnovice. Tada je površina trokuta 60 cm2.
OPCIJA 2.
1. Ravna crta, čija je udaljenost od središta kružnice jednaka polumjeru ove kružnice, tangentna je na nju.
2. Polumjer povučen na točku dodirivanja pravca i kružnice okomit je na taj pravac.
3. Slika prikazuje krug. Tada je Ð DAC = Ð DBC.
5. Isječak dodiruje kružnicu ako s njom ima samo jednu zajedničku točku.
6. Na slici je AB promjer kruga. Tada ako je Ð 2 = 50°, tada je Ð1 = 40°.
7. Slika prikazuje krug. Tada je Ð ABC = ÐAOC.
8. Na slici O je središte kruga. Tada ako je ÐCAB - 60°, tada je È AC = 60°.
9. Na slici je promjer BD kružnice 13 cm, a ako je tetiva BC = 5 cm, tada je površina trokuta CBD 30 cm2.
10. Dvije tetive kružnice AB i CD sijeku se u točki M tako da je MB = 3 cm, MA = 28 cm, CM = 21 cm, tada je MD = 4 cm.
jedanaest*. Diralište kružnice upisane jednakokračnom trokutu dijeli stranicu na odsječke od 4 cm i 6 cm, računajući od vrha. Tada je površina tog trokuta 48 cm2.
T-3.U svakom zadatku između ponuđenih odgovora odredi točan.
OPCIJA 1.
1. Na slici je luk AC 84°. Zašto jednaka kutu ABC na temelju ovog luka?
A) 84°; B) 42°; B) Ne znam.
2. Na slici je kut MRC 88°. Kolika je veličina luka MK na koji se naslanja kut MKK?
A) 88°; B) 176°; B) Ne znam.
3. Iz točke A, koja se nalazi na udaljenosti dva polumjera od središta kružnice, povučena je tangenta AB. Što je kut OAB?
A) 60°; B) 30°; B) Ne znam.
4. Iz točke M kružnice povučene su dvije tetive MA i MB. Tetiva MA obuhvaća luk jednak 80°, a kut AMB jednak je 70°. Odredite luk koji obuhvaća tetiva MB.
A) 210°; B) 140°; B) Ne znam.
5. Na slici je promjer AB kruga 10 cm, tetiva BC = 6 cm.Odredite površinu trokuta ACB.
A) 30 cm2; B) 24 cm2; B) Ne znam.
6. Iz točke K kružnice sa središtem O povučene su dvije međusobno okomite tetive KM i KD. Udaljenost od točke O do tetive KM je 15 cm, a do tetive KD 20 cm.Kolike su duljine tetiva KM i KD7
A) 30 cm i 40 cm; B) 15 cm i 20 cm; B) Ne znam.
7. Dvije tetive AB i CD dijeli točka O u njihovom sjecištu tako da je AO = 9 cm, OB = 6 cm, CO = 3 cm.Kolika je duljina dužine OD7
A) 12 cm; B) 18 cm; B) Ne znam.
8. Iz točke A na kružnicu povučene su tangenta AB i sekanta AC koje prolaze središtem kružnice. Udaljenost od A do kružnice je 4 cm, a promjer kružnice je 12 cm.Kolika je duljina tangente?
A) 8 cm; B) 6 cm; B) Ne znam.
9*. Pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem O i polumjerom 5 cm u točki A. Odredite udaljenost točke B od kružnice ako je duljina tangente 12 cm.
A) 7 cm; B) 8 cm; B) Ne znam.
OPCIJA 2.
1. Na slici je luk AB jednak 164°. Koliki je kut ACB koji obuhvaća taj luk?
A) 168°; B) 82°; B) Ne znam.
2. Na slici je kut ABC 44°. Koliki je luk AC na koji se naslanja kut ABC?
A) 88°; B) 44°; B) Ne znam.
3. Iz točke M, koja se nalazi na udaljenosti dva polumjera od središta kružnice, povučena je tangenta MK. Koliki je kut COM?
A) 60°; B) 30°; B) Ne znam.
4. Iz točke A kružnice povučene su dvije tetive AM i AB. Tetiva AM zahvaća luk jednak 120°, a kut MAB jednak je 80°. Odredite veličinu luka obuhvaćenog tetivom AB.
A) 80°; B) 120°; B) Ne znam.
5. Na slici je promjer kruga AC 13 cm, tetiva AB = 12 cm.Odredite površinu trokuta ACB.
A) 78 cm2; B) 30 cm2; B) Ne znam.
6. Iz točke A kružnice sa središtem O povučene su dvije međusobno okomite tetive AB i AC. Udaljenost od točke O do tetive AB je 40 cm, a do tetive AC 25 cm.Kolike su duljine tetiva AB i AC?
A) 25 cm i 40 cm; B) 50 cm i 80 cm; B) Ne znam.
7. Dvije tetive MK i CD podijeljene su svojom sjecišnom točkom P tako da je MP = 8 cm, PC = 4 cm KR = 16 cm Kolika je duljina isječka PD.
A) 24 cm; B) 32 cm; B) Ne znam.
8. Iz točke M na kružnicu povučene su tangenta MA i sekanta MC koje prolaze središtem kružnice O. Udaljenost od M do središta O je 20 cm, polumjer kružnice je 12 cm. Što je duljina tangente?
A) 16 cm; B) 24 cm; B) Ne znam.
9*. Pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem O i polumjerom 5 cm u točki B. Odredi duljinu tangente ako je udaljenost točke A od kružnice 8 cm.
A) 13 cm; B) 12 cm; B) Ne znam.
Kartice za individualni rad.
kartica 1.
1. Koliko zajedničkih točaka mogu imati pravac i kružnica? Formulirajte svojstvo i znak tangente.
2. Isječak BD - visina jednakokračnog trokuta ABC s osnovicom AC. Na koje dijelove dijeli stranica trokuta kružnica sa središtem B i polumjerom BD ako je AB = cm, BD = 5 cm?
3. Na slici je prikazan pravokutni trokut ABC čije stranice dodiruju kružnicu polumjera 1 cm.Na koje segmente dodirna točka dijeli hipotenuzu trokuta jednaku 5 cm?
kartica 2.
1. Koji kut nazivamo upisanim? Navedite teorem o upisanom kutu.
2. Vrhovi trokuta sa stranicama 2 cm, 5 cm i 6 cm leže na kružnici. Dokažite da niti jedna stranica trokuta nije promjer te kružnice.
3. Na slici je prikazana kružnica sa središtem O, AB je tangenta, a AC je sekanta te kružnice. Odredite kutove trokuta ABC ako je ÈBD=62°.
kartica 3.
1. Navedite teorem o segmentima tetiva koje se sijeku.
2. Tetive KL i MN kružnice sijeku se u točki A. Odredite AK i AL ako je AM=2 dm, AN=6 dm, KL=7 dm.
3. Na slici je prikazana kružnica sa središtem O, AC je promjer, a BC je tangenta na tu kružnicu. Na koje dijelove dijeli odsječak AB točka D ako je AC = 20 cm, BC = 15 cm?
kartica 4.
1. Navedite teorem o kružnici upisanoj u trokut.
2. U zadani pravokutni trokut upiši kružnicu.
3. Osnovica jednakokračnog trokuta je 16 cm, stranica 17 cm.Odredi polumjer kružnice upisane u taj trokut.
Kartica 5.
1. Formulirajte tvrdnju o svojstvu opisanog četverokuta. Je li suprotna tvrdnja istinita?
2. Odredite površinu pravokutnog trapeza opisanog oko kruga ako su stranice tog trapeza 10 cm i 16 cm.
3. Površina četverokuta ABCD opisanog oko kruga polumjera 5 dm jednaka je 90. Odredite stranice CD i AD tog četverokuta ako je AB = 9 dm, BC = 10 dm.
kartica 6.
1. Navedite teorem o opisanoj kružnici trokuta.
2. Konstruiraj kružnicu opisanu oko tog tupokutnog trokuta.
3..jpg" width="115 height=147" height="147">
Križaljka.
Horizontalno: 1. Pravac koji s kružnicom ima dvije zajedničke točke. 2. Preslikavanje ravnine na samu sebe. 3. Dvostruki radijus.
Okomito: 4. Kutna jedinica ili 1/60 minuta. 5. Dio kružnice ograničen s dva radijusa i lukom opsega kružnice. 6. Isječak koji povezuje središte kruga s bilo kojom točkom na krugu. 7. Određivanje točke na kružnici.
Napomena: u izradi su korišteni materijali iz novina “Matematika”.
“Računalni crtež” - Računalna grafika. Otvor. ovo je umjetnikovo oružje. Zadaci: Rezultat lekcije, križaljka “Mlin”. Graviranje. Glavno izražajno sredstvo crteža je linija. Studirao je u Moskovskoj školi slikarstva, zatim u Stroganovskoj školi. Olovka. Ilustracija za knjigu. Integrirana lekcija: umjetnost+ informatika.
“Spremanje crteža” - Koju naredbu trebam odabrati? Predlaže se da sve svoje datoteke pohranite u posebnu mapu "Moji dokumenti". Pomicanje mišem, kopiranje (CTRL), brisanje (DELETE). Praktični rad"Spremanje crteža na vaš tvrdi disk." Za pohranu informacija na računalu koristi se dugotrajna memorija – tvrdi disk.
“Uređivanje slika” - 1. Odaberite željeno područje, odaberite proizvoljno područje 2. Kopirajte. Crtanje kruga, kvadrata, ravne linije. Očisti sliku Odaberi područje za brisanje Izbriši. Krug Kvadrat Ravna linija. Kopiranje. Postavljanje parametara crteža. Izrada i uređivanje crteža. Izrada crteža.
“3D crteži na asfaltu” - Philip Kozlov - prvi ruski Madonnari. Kurt Wenner je u mladosti radio kao ilustrator za NASA-u, gdje je stvarao početne slike budućnosti svemirski brodovi. 3D crteži na asfaltu. Kurt Wenner jedan je od najpoznatijih uličnih umjetnika koji crta 3D crteže na asfaltu običnim bojicama.
„Ravni segment grede” - točka O - početak grede. Točke C i D su krajevi dužine CD. S. Točka. Ravnica, segment, greda. Točka, linija. Ravno. Brojevi - koordinate točaka: Zraka PM. Koordinirati. Imenuj odsječke, pravce i zrake prikazane na slici. Segment OE je jedinični segment, OE=1. Greda FR.
"Opseg" - promjer. Nađi opseg ovog diska. Pronađite područje brojčanika. Opseg. Koliki je promjer Mjeseca? Broj "pi" naziva se Arhimedov broj. Pronađite promjer kotača. Pronađite promjer i površinu arene. Odredite promjer kotača lokomotive. Moskva. Veliki starogrčki matematičar Arhimed.
