Upisane i opisane kružnice
Za krug se kaže da je upisan u trokut ako dodiruje sve njegove stranice.
Kružnica se naziva opisana oko trokuta ako prolazi kroz sve njegove vrhove.
Teorem 1. Središte kružnice upisane trokutu je sjecište njegovih simetrala.
Teorem 2. Središte kružnice opisane oko trokuta nalazi se u sjecištu simetrala okomitih na stranice trokuta
2.Teoremi (svojstva paralelograma):
· U paralelogramu su suprotne stranice jednake i suprotni kutovi jednaki: , , , .
· Dijagonale paralelograma dijele popola sjecištem: , .
· Kutovi susjedni bilo kojoj stranici zbroje .
· Dijagonale paralelograma dijele ga na dva jednaka trokuta.
· Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica: .
Znakovi paralelograma:
· Ako su nasuprotne stranice četverokuta u parovima paralelne, tada je taj četverokut paralelogram.
· Ako su u četverokutu nasuprotne stranice u parovima jednake, tada je taj četverokut paralelogram.
· Ako su dvije nasuprotne stranice četverokuta jednake i paralelne, tada je četverokut paralelogram.
· Ako su u četverokutu dijagonale, koje se sijeku, sjecištem podijeljene popola, tada je taj četverokut paralelogram.
· Središta stranica proizvoljnog (uključujući nekonveksni ili prostorni) četverokuta su vrhovi Varignon paralelogram.
· Stranice ovog paralelograma paralelne su s odgovarajućim dijagonalama četverokuta. Opseg Varignonovog paralelograma jednak zbroju duljine dijagonala izvornog četverokuta, a površina Varignonovog paralelograma jednaka je polovici površine izvornog četverokuta
3. Trapez- četverokut kojemu su dvije stranice paralelne i dvije stranice nisu paralelne. Paralelne stranice nazivaju se trapezoidne baze, druga dva - strane.
Visina trapeza- udaljenost između pravaca na kojima leže osnovice trapeza, svaka zajednička okomica tih pravaca.
Srednja linija trapeza- segment koji povezuje sredine strana.
Svojstvo trapeza:
Ako je u trapez upisana kružnica, tada je zbroj osnovica jednak zbroju stranica: , a srednja crta polovica zbroja stranica: .
Jednakokračni trapez- trapez čije su stranice jednake. Tada su dijagonale i kutovi na bazi jednaki, .
Oko jednakokračnog trapeza od svih trapeza može se opisati samo kružnica, budući da se oko četverokuta može opisati kružnica samo ako je zbroj nasuprotnih kutova jednak .
U jednakokračnom trapezu udaljenost od vrha jedne osnovice do projekcije suprotnog vrha na pravac koji sadrži tu osnovicu jednaka je središnjici.
Pravokutni trapez- trapez u kojem je jedan od kutova na bazi jednak .
Ako se dvije tetive kružnice sijeku, tada je umnožak odsječaka jedne tetive jednak umnošku odsječaka druge tetive.
Dokaz. Neka je E sjecište tetiva AB i CD (slika 110). Dokažimo da je AE * BE = CE * DE.
Promotrimo trokute ADE i CBE. Kutovi A i C su im jednaki jer su upisani i počivaju na istom luku BD. Iz sličnog razloga je ∠D = ∠B. Dakle, trokuti ADE i CBE su slični (prema drugom kriteriju sličnosti trokuta). Dakle DE/BE = AE/CE, odn
AE * BE = CE * DE.
Teorem je dokazan.
5. Pravokutnik može biti paralelogram, kvadrat ili romb.
1. Nasuprotne stranice pravokutnika imaju jednake duljine, odnosno jednake su:
AB = CD, BC = AD
2. Nasuprotne stranice pravokutnika su paralelne:
3. Susjedne stranice pravokutnika uvijek su okomite:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Sva četiri kuta pravokutnika su ravna:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Zbroj kutova pravokutnika je 360 stupnjeva:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Dijagonale pravokutnika imaju jednake duljine:
7. Zbroj kvadrata dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata stranica:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Svaka dijagonala pravokutnika dijeli pravokutnik na dva jednaka lika, odnosno pravokutna trokuta.
9. Dijagonale pravokutnika sijeku se i dijele na pola u sjecištu:
| AO=BO=CO=DO= | |||
10. Točka sjecišta dijagonala naziva se središtem pravokutnika, a također je i središtem opisane kružnice
11. Dijagonala pravokutnika je promjer opisane kružnice
12. Uvijek možete opisati krug oko pravokutnika, jer je zbroj suprotnih kutova 180 stupnjeva:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Krug se ne može upisati u pravokutnik čija duljina nije jednaka njegovoj širini, jer zbrojevi nasuprotnih stranica nisu međusobno jednaki (krug se može upisati samo u poseban slučaj pravokutnika - kvadrat) .
6. Thalesov teorem
Položimo li nekoliko odsječaka u nizu na jedan od dva pravca i kroz njihove krajeve povučemo paralelne pravce koji sijeku drugi pravac, tada će oni odrezati proporcionalne odsječke na drugom pravcu
Thalesov obrnuti teorem
Ako linije koje sijeku dvije druge linije (paralelne ili ne) odsijecaju segmente koji su jednaki (ili proporcionalni) jedan drugome na objema, počevši od vrha, tada su takve linije paralelne
\[(\Veliki(\tekst(Središnji i upisani kutovi)))\]
Definicije
Središnji kut je kut čiji vrh leži u središtu kružnice.
Upisani kut je kut čiji vrh leži na kružnici.
Mjera stupnja kružnog luka je mjera stupnja središnjeg kuta koji ga spaja.
Teorema
Stupanjska mjera upisanog kuta jednaka je polovici stupnjevne mjere luka na kojem leži.
Dokaz
Dokaz ćemo provesti u dvije faze: prvo ćemo dokazati valjanost tvrdnje za slučaj kada jedna od stranica upisanog kuta sadrži promjer. Neka je točka \(B\) vrh upisanog kuta \(ABC\), a \(BC\) promjer kružnice:
Trokut \(AOB\) je jednakokračan, \(AO = OB\) , \(\kut AOC\) je vanjski, tada \(\kut AOC = \kut OAB + \kut ABO = 2\kut ABC\), gdje \(\kut ABC = 0,5\cdot\kut AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Sada razmotrite proizvoljni upisani kut \(ABC\) . Nacrtajmo promjer kružnice \(BD\) iz vrha upisanog kuta. Dva su moguća slučaja:
1) promjer siječe kut na dva kuta \(\kut ABD, \kut CBD\) (za svaki od njih je teorem točan kao što je gore dokazano, stoga je točan i za izvorni kut, koji je zbroj ovih dva i prema tome jednaka polovici zbroja lukova na koje se oslanjaju, tj jednako pola luk na kojem počiva). Riža. 1.
2) promjer nije prerezao kut na dva kuta, tada imamo još dva nova upisana kuta \(\kut ABD, \kut CBD\), čija stranica sadrži promjer, dakle, za njih vrijedi teorem, tada je vrijedi i za izvorni kut (koji je jednak razlici ta dva kuta, što znači da je jednak polurazlici lukova na koje se oslanjaju, odnosno jednak polovici luka na kojem počiva) . Riža. 2.
Posljedice
1. Upisani kutovi koji spajaju isti luk su jednaki.
2. Upisani kut koji zahvata polukrug je pravi kut.
3. Upisani kut jednak je polovici središnjeg kuta kojeg spaja isti luk.
\[(\Large(\text(Tangenta na krug)))\]
Definicije
Postoje tri vrste relativni položaj pravac i krug:
1) pravac \(a\) siječe kružnicu u dvije točke. Takav se pravac naziva sekantom. U ovom slučaju, udaljenost \(d\) od središta kružnice do ravne crte manja je od polumjera \(R\) kružnice (slika 3).
2) pravac \(b\) siječe krug u jednoj točki. Takav se pravac naziva tangenta, a njihova zajednička točka \(B\) naziva se dodirna točka. U ovom slučaju \(d=R\) (slika 4).
Teorema
1. Tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen u točku dodirivanja.
2. Ako linija prolazi kroz kraj polumjera kružnice i okomita je na taj polumjer, tada je tangenta na kružnicu.
Posljedica
Tangentni segmenti povučeni iz jedne točke na kružnicu su jednaki.
Dokaz
Povucimo dvije tangente \(KA\) i \(KB\) na kružnicu iz točke \(K\):
To znači da su \(OA\perp KA, OB\perp KB\) poput radijusa. Pravokutni trokuti\(\trokut KAO\) i \(\trokut KBO\) jednaki su po kateti i hipotenuzi, dakle \(KA=KB\) .
Posljedica
Središte kružnice \(O\) leži na simetrali kuta \(AKB\) kojeg tvore dvije tangente povučene iz iste točke \(K\).
\[(\Large(\text(Teoremi koji se odnose na kutove)))\]
Teorem o kutu između sekanti
Kut između dviju sekanti povučenih iz iste točke jednak je polurazlici stupnjeva stupnjeva većeg i manjeg luka koje sijeku.
Dokaz
Neka \(M\) bude točka iz koje su povučene dvije sekante kao što je prikazano na slici:
Pokažimo to \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\kut DAB\) je vanjski kut trokuta \(MAD\), dakle \(\kut DAB = \kut DMB + \kut MDA\), gdje \(\kut DMB = \kut DAB - \kut MDA\), ali su kutovi \(\kut DAB\) i \(\kut MDA\) upisani, tada \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), što je i trebalo dokazati.
Teorem o kutu između tetiva koje se sijeku
Kut između dviju tetiva koje se sijeku jednak je polovici zbroja stupnjeva lukova koje oni sijeku: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\desno)\]
Dokaz
\(\kut BMA = \kut CMD\) kao okomiti.
Iz trokuta \(AMD\): \(\kut AMD = 180^\circ - \kut BDA - \kut CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Ali \(\kut AMD = 180^\krug - \kut CMD\), iz čega zaključujemo da \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ osmijeh\preko(CD)).\]
Teorem o kutu između tetive i tangente
Kut između tangente i tetive koja prolazi kroz točku dodirivanja jednak je polovici stupnjeve mjere luka obuhvaćenog tetivom.
Dokaz
Neka pravac \(a\) dodiruje kružnicu u točki \(A\), \(AB\) je tetiva te kružnice, \(O\) je njezino središte. Neka pravac koji sadrži \(OB\) siječe \(a\) u točki \(M\) . Dokažimo to \(\kut BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Označimo \(\kut OAB = \alpha\) . Budući da su \(OA\) i \(OB\) radijusi, tada \(OA = OB\) i \(\kut OBA = \kut OAB = \alfa\). Tako, \(\buildrel\smile\over(AB) = \kut AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Budući da je \(OA\) polumjer povučen na tangentnu točku, tada je \(OA\perp a\), to jest \(\kut OAM = 90^\circ\), dakle, \(\kut BAM = 90^\circ - \kut OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Teorem o lukovima spojenim jednakim tetivama
Jednake tetive spajaju jednake lukove manje od polukrugova.
I obrnuto: jednake lukove spajaju jednake tetive.
Dokaz
1) Neka \(AB=CD\) . Dokažimo da su manje polukružnice luka .
Na tri strane, dakle, \(\kut AOB=\kut COD\) . Ali zbog \(\kut AOB, \kut COD\) - središnji kutovi, oslanjajući se na lukove \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) prema tome, dakle \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Ako \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), To \(\trokut AOB=\trokut COD\) na dvije stranice \(AO=BO=CO=DO\) i kut između njih \(\kut AOB=\kut COD\) . Prema tome, i \(AB=CD\) .
Teorema
Ako radijus raspolavlja tetivu, onda je okomit na nju.
Vrijedi i obrnuto: ako je radijus okomit na tetivu, tada je u točki presjeka prepolovljuje.
Dokaz
1) Neka \(AN=NB\) . Dokažimo da je \(OQ\perp AB\) .
Razmotrite \(\trokut AOB\) : jednakokračan je, jer \(OA=OB\) – polumjeri kružnice. Jer \(ON\) je medijan povučen na bazu, onda je to također i visina, dakle, \(ON\perp AB\) .
2) Neka \(OQ\perp AB\) . Dokažimo da je \(AN=NB\) .
Slično, \(\trokut AOB\) je jednakokračan, \(ON\) je visina, dakle, \(\ON\) je medijan. Prema tome, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Teoremi koji se odnose na duljine segmenata)))\]
Teorem o umnošku odsječaka tetive
Ako se dvije tetive kružnice sijeku, tada je umnožak odsječaka jedne tetive jednak umnošku odsječaka druge tetive.
Dokaz
Neka se tetive \(AB\) i \(CD\) sijeku u točki \(E\) .
Razmotrimo trokute \(ADE\) i \(CBE\) . U tim su trokutima kutovi \(1\) i \(2\) jednaki jer su upisani i počivaju na istom luku \(BD\), a kutovi \(3\) i \(4\) su jednaki kao okomiti. Trokuti \(ADE\) i \(CBE\) su slični (na temelju prvog kriterija sličnosti trokuta).
Zatim \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), odakle \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teorem tangente i sekante
Kvadrat tangente jednak je umnošku sekante i njezinog vanjskog dijela.
Dokaz
Neka tangenta prolazi kroz točku \(M\) i dodiruje kružnicu u točki \(A\) . Neka sekanta prolazi točkom \(M\) i siječe kružnicu u točkama \(B\) i \(C\) tako da je \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Razmotrite trokute \(MBA\) i \(MCA\) : \(\kut M\) je zajednički, \(\kut BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Prema teoremu o kutu između tangente i sekante, \(\kut BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \kut BCA\). Dakle, trokuti \(MBA\) i \(MCA\) slični su pod dva kuta.
Iz sličnosti trokuta \(MBA\) i \(MCA\) imamo: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), što je ekvivalentno \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Posljedica
Umnožak sekante povučene iz točke \(O\) s njezinim vanjskim dijelom ne ovisi o izboru sekante povučene iz točke \(O\) .
Općinska autonomna obrazovna ustanova
Srednja škola br.45
Razvoj lekcije na temu
"Teorem o segmentima tetiva koje se sijeku",
geometrija, 8.r.
prve kategorije
MAOU srednja škola br. 45 u Kaliningradu
Borisova Alla Nikolaevna.
Kaliningrad
2016 – 2017 akademska godina
Obrazovna ustanova - općinska autonomna obrazovna ustanova srednja škola br. 45 grada Kalinjingrada
Stavka - matematika (geometrija)
Klasa – 8
Predmet – "Teorem o segmentima tetiva koje se sijeku"
Edukativno-metodička podrška:
Geometrija, 7 - 9: udžbenik za obrazovne ustanove / L. S. Atanasyan et al., - 17. izdanje, - M.: Obrazovanje, 2015.
Radna bilježnica“Geometrija, 8. razred”, autori L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, Yu.A. Glazkov, I.I. Yudina/ tutorial za učenike općeobrazovnih ustanova/ - M. Prosveshchenie, 2016
Podaci o programima u kojima je izvedena multimedijska komponenta rada - Microsoft Office Power Point 2010
Cilj: upoznati teorem o segmentima tetiva koji se sijeku i razviti vještine njegove primjene u rješavanju problema.
Ciljevi lekcije:
Obrazovni:
usustaviti teorijska znanja o temi: “Središnji i upisani kutovi” i unaprijediti vještine rješavanja problema na ovu temu;
formulirati i dokazati teorem o segmentima tetiva koje se sijeku;
primijeniti teorem pri rješavanju geometrijskih zadataka;
Obrazovni:
razvoj kognitivnog interesa za predmet.
formiranje ključnih i predmetnih kompetencija.
razvoj kreativnih sposobnosti.
razvijati vještine učenika samostalan rad i rad u paru.
Obrazovni:
odgoj kognitivnu aktivnost, kultura komunikacije, odgovornost, samostalno razvijanje vizualne memorije;
njegovati kod učenika samostalnost, znatiželju i svjestan stav prema proučavanju matematike;
opravdanost izbora metoda, sredstava i oblika izobrazbe;
optimizirati učenje kroz razumnu kombinaciju i korelaciju metoda, sredstava i oblika usmjerenih na postizanje visoke rezultate tijekom lekcije.
Oprema i materijali za nastavu : projektor, platno, prezentacija uz nastavu.
Vrsta lekcije: kombinirana.
Struktura lekcije:
1) Učenici su obaviješteni o temi lekcije i ciljevima, naglašava se relevantnost ove teme(slajd br. 1).2) Najavljuje se nastavni plan.
1. Provjerite domaća zadaća.
2. Ponavljanje.
3. Otkrivanje novih znanja.
4. Konsolidacija.
II . Provjera domaće zadaće.
1) tri učenika samostalno dokazuju na pločiteorem o upisanom kutu.
Prvi student – slučaj 1;
Drugi učenik – slučaj 2;
Treći učenik - slučaj 3.
2) Ostali za to vrijeme usmeno rade kako bi ponovili pređeno gradivo.
1. Teorijska anketa (frontalno)(slajd br. 2) .
Dovršite rečenicu:
Kut se zove središnji ako...
Kut se naziva upisanim ako...
Centralni kut se mjeri...
Upisani kut se mjeri...
Upisani kutovi su jednaki ako...
Upisani kut obuhvaćen polukrug...
2. Rješavanje zadataka pomoću gotovih crteža(slajd br. 3) .
U ovom trenutku nastavnik pojedinačno provjerava rješenje domaće zadaće za neke učenike.
Dokaz teorema sluša cijeli razred nakon provjere točnosti rješenja zadataka na gotovim crtežima.
II I. Uvođenje novog gradiva.
1) Raditi u parovima.Riješite zadatak 1 kako biste pripremili učenike za percipiranje novog gradiva(slajd broj 4).
2) Teorem o segmentima tetiva koje se sijeku dokazujemo u obliku zadatka(slajd broj 5).
Pitanja za raspravu(slajd br. 6) :
Što možete reći o kutovima CAB i CDB?
O kutovima A.E.C. I DEB ?
Što su trokuti ACE i DBE?
Koliki je omjer njihovih stranica, koje su odsječci dodirnih tetiva?
Koja se jednakost može napisati iz jednakosti dvaju omjera koristeći osnovno svojstvo proporcije?
Pokušajte formulirati tvrdnju koju ste dokazali. Na ploču iu svoje bilježnice zapišite formulaciju i sažetak dokaza teorema o segmentima tetiva koje se sijeku. Jedna osoba je pozvana na ploču(slajd broj 7).
ja V. Tjelesna minuta.
Jedan učenik dolazi do ploče i predlaže jednostavne vježbe za vrat, ruke i leđa.
V . Konsolidacija proučavanog materijala.
1) Primarna konsolidacija.
1 students komentaromodlučuje№ 667 Na stolu
Riješenje.
1) AVA 1 – pravokutan, budući da je upisani kutA 1 VA počiva na polukrugu.
2) 5 = 3 kako je upisano i počiva na jednom lukuAB 1 .
3) 1 = 90° –5, 4 = 90°–3, ali3 = 5, dakle1= 4.
4) A 1 BB 1 – jednakokračan, dakleBC = B 1 S .
5) Po teoremu o produktu odsječaka tetiva koje se sijeku
AC · A 1 C = BC B 1 S.
6) (cm);
Odgovor:
2) Neovisno rješenje zadaci.
1. 1. grupa učenika („slabi“ učenici). Oni odlučuju samibr. 93, 94 („Radna bilježnica“, autor L.S. Atanasyan, 2015), nastavnik po potrebi savjetuje učenike, analizira rezultate učeničkih zadataka
2. 2. grupa učenika (ostali učenici). Rad na nestandardnom zadatku. Samostalan rad (po potrebi uz pomoć učitelja ili suradnika). Jedan učenik radi na rasklopivoj ploči. Nakon završetka rada međusobna provjera.
Zadatak
.
AkordiAB
ICD
sijeku se u točkiS
, kakve to ima vezeAS:SB = 2:3, DS = 12
cm,SC = 5 cm
, pronaćiAB
.
Riješenje
.
Budući da je omjerAS:SB = 2:3
, zatim neka duljinaAS = 2x, SB = 3x
Prema svojstvu akordaAS ∙ SB = CS ∙ SD
, Zatim
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6x
2
= 60
x
2
= 10
x = √10.
Gdje
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10
Odgovor
:
5√10
VI . Sažetak lekcije, osvrt na aktivnost
Sažimanje lekcije, mobiliziranje učenika da sami procjenjuju svoje aktivnosti;
Dakle, što ste danas naučili na satu?
Što ste danas naučili na satu?
Ocijenite svoju aktivnost za lekciju pomoću sustava od 5 bodova.
Ocjenjivanje lekcije.
VIII . Domaća zadaća
str. 71 (naučiti teoriju),
№ 659, 661, 666 (b, c).
Prvo, shvatimo razliku između kruga i kruga. Da biste vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. To je beskonačan broj točaka na ravnini, koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od jedne središnje točke. Ali, ako se krug sastoji i od unutarnjeg prostora, onda ne pripada krugu. Ispada da je kružnica i kružnica koja je ograničava (kružnica(r)), i bezbroj točaka koje se nalaze unutar kružnice.
Za svaku točku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Duljina segmenta OL jednaka je polumjeru kruga).
Isječak koji spaja dvije točke na kružnici je njen akord.
Tetiva koja prolazi izravno kroz središte kruga je promjer ovaj krug (D). Promjer se može izračunati pomoću formule: D=2R
Opseg izračunava se po formuli: C=2\pi R
Površina kruga: S=\pi R^(2)
Luk kruga naziva se onaj njezin dio koji se nalazi između njegove dvije točke. Ove dvije točke određuju dva kružna luka. Tetiva CD obuhvaća dva luka: CMD i CLD. Identične tetive spajaju jednake lukove.
Središnji kut Kut koji leži između dva radijusa naziva se.
Dužina luka može se pronaći pomoću formule:
- Korištenje stupanjska mjera: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R
Promjer, koji je okomit na tetivu, dijeli tetivu i lukove skupljene njome na pola.
Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u točki N, tada su umnošci odsječaka tetiva odvojenih točkom N međusobno jednaki.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Tangenta na kružnicu
Tangenta na kružnicu Uobičajeno je nazvati ravnu liniju koja ima jednu zajedničku točku s krugom.
Ako pravac ima dvije zajedničke točke, naziva se sječna.
Ako nacrtate radijus na tangentu, on će biti okomit na tangentu na kružnicu.
Povucimo dvije tangente iz ove točke na našu kružnicu. Ispada da će tangentni segmenti biti jednaki jedan drugome, a središte kruga nalazit će se na simetrali kuta s vrhom u ovoj točki.
AC = CB
Sada povucimo tangentu i sekansu na kružnicu iz naše točke. Dobivamo da će kvadrat duljine segmenta tangente biti jednak umnošku cijelog segmenta sekante i njegovog vanjskog dijela.
AC^(2) = CD \cdot BC
Možemo zaključiti: umnožak cijelog odsječka prve sekante i njezina vanjskog dijela jednak je umnošku cijelog odsječka druge sekante i njezina vanjskog dijela.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Kutovi u krugu
Stupnjeve mjere središnjeg kuta i luka na kojem se on oslanja jednake su.
\kut COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Upisani kut je kut čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.
Možete ga izračunati ako znate veličinu luka, budući da je jednaka polovici ovog luka.
\kut AOB = 2 \kut ADB
Na temelju promjera, upisanog kuta, pravog kuta.
\kut CBD = \kut CED = \kut CAD = 90^ (\circ)
Upisani kutovi koji spajaju isti luk su identični.
Upisani kutovi koji počivaju na jednoj tetivi su jednaki ili im je zbroj jednak 180^ (\circ) .
\kut ADB + \kut AKB = 180^ (\circ)
\kut ADB = \kut AEB = \kut AFB
Na istoj kružnici nalaze se vrhovi trokuta s jednakim kutovima i zadanom osnovicom.
Kut s vrhom unutar kružnice koji se nalazi između dviju tetiva identičan je polovici zbroja kutnih vrijednosti lukova kružnice koji se nalaze unutar zadanog i okomitog kuta.
\kut DMC = \kut ADM + \kut DAM = \frac(1)(2) \lijevo (\čaša DmC + \šalica AlB \desno)
Kut s vrhom izvan kruga i koji se nalazi između dvije sekante identičan je polovici razlike u kutnim vrijednostima lukova kruga koji se nalaze unutar kuta.
\kut M = \kut CBD - \kut ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\čaša DmC - \šalica AlB \desno)
Upisani krug
Upisani krug je kružnica tangenta na stranice mnogokuta.
U točki gdje se sijeku simetrale uglova mnogokuta nalazi se njegovo središte.
Kružnica ne može biti upisana u svaki poligon.
Površina poligona s upisanom kružnicom nalazi se po formuli:
S = pr,
p je poluopseg poligona,
r je polumjer upisane kružnice.
Slijedi da je polumjer upisane kružnice jednak:
r = \frac(S)(p)
Zbrojevi duljina nasuprotnih stranica bit će identični ako je kružnica upisana u konveksni četverokut. I obrnuto: krug stane u konveksni četverokut ako su zbrojevi duljina suprotnih stranica jednaki.
AB + DC = AD + BC
U bilo koji od trokuta moguće je upisati krug. Samo jedan jedini. U točki gdje se simetrale sijeku unutarnji kutovi lik, središte ovog upisanog kruga će ležati.
Polumjer upisane kružnice izračunava se po formuli:
r = \frac(S)(p),
gdje je p = \frac(a + b + c)(2)
Circurccircle
Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, onda se takva kružnica obično naziva opisano oko poligona.
U točki sjecišta okomitih simetrala stranica ove figure bit će središte opisane kružnice.
Polumjer se može pronaći izračunavanjem kao polumjer kružnice koja je opisana oko trokuta određenog s bilo koja 3 vrha poligona.
Postoji sljedeći uvjet: krug se može opisati oko četverokuta samo ako je zbroj njegovih suprotnih kutova jednak 180^( \circ) .
\kut A + \kut C = \kut B + \kut D = 180^ (\krug)
Oko svakog trokuta možete opisati krug, i to samo jedan. Središte takve kružnice nalazit će se na mjestu gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.
Polumjer opisane kružnice može se izračunati pomoću formula:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c su duljine stranica trokuta,
S je površina trokuta.
Ptolemejev teorem
Na kraju, razmotrimo Ptolemejev teorem.
Ptolemejev teorem tvrdi da je umnožak dijagonala identičan zbroju umnožaka suprotnih stranica cikličkog četverokuta.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Dio 3. Krugovi
ja. Referentni materijali.
ja. Svojstva tangenti, tetiva i sekanti. Upisani i središnji kutovi.
Krug i krug
1. Ako iz jedne točke koja leži izvan kružnice na nju povučemo dvije tangente, tada
a) duljine odsječaka od zadane točke do dodirnih točaka su jednake;
b) kutovi između svake tangente i sekante koji prolaze središtem kružnice su jednaki.
2. Ako iz jedne točke koja leži izvan kruga na nju povučemo tangentu i sekantu, tada je kvadrat tangente jednak umnošku sekante i njezinog vanjskog dijela
3. Ako se dvije tetive sijeku u jednoj točki, tada je umnožak odsječaka jedne tetive jednak umnošku odsječaka druge.
4. Opseg C=2πR;
5. Duljina luka L =πRn/180˚
6. Površina kruga S=πR 2
7. Sektorsko područje S c=πR 2 n/360
Stupanjska mjera upisanog kuta jednaka je polovici stupnjevne mjere luka na kojem leži.
Teorem 1. Mjera kuta između tangente i tetive koja ima zajedničku točku na kružnici jednaka je polovici stupnjeve mjere luka zatvorenog između njezinih stranica
Teorem 2(o tangenti i sekanti). Ako su tangenta i sekansa povučene iz točke M na kružnicu, tada je kvadrat tangente iz točke M na točku dodirivanja jednak umnošku duljina sekanti od točke M do točaka njezine točke. sjecište s kružnicom.
Teorem 3. Ako se dvije tetive kružnice sijeku, tada je umnožak duljina odsječaka jedne tetive jednak umnošku duljina odsječaka druge tetive, odnosno ako se tetive AB i CD sijeku u točki M, tada je AB MV = CM MD.
Svojstva kružnih akorda:
Promjer okomit na tetivu dijeli je na pola. Obrnuto: promjer koji prolazi kroz sredinu tetive okomit je na nju.
Jednake tetive kružnice jednako su udaljene od središta kružnice. Obrnuto: jednake tetive nalaze se na jednakim udaljenostima od središta kruga.
Lukovi kružnice zatvoreni između paralelnih tetiva su jednaki.
kružnice koje u toj točki imaju zajedničku točku i zajedničku tangentu nazivaju se tangente. Ako se kružnice nalaze s jedne strane zajedničke tangente, zovu se unutrašnje tangente, a ako se nalaze na suprotnim stranama tangente, zovu se vanjska tangenta.
II. Dodatni materijali
Svojstva nekih kutova.
Teorema.
1) Kut (ABC), čiji vrh leži unutar kruga, je poluzbroj dvaju lukova (AC i DE), od kojih je jedan između njegovih stranica, a drugi između produžetaka stranica.
2) kut (ABC), čiji vrh leži izvan kružnice, a stranice se sijeku s kružnicom, je polurazlika dvaju lukova (AC i ED) zatvorenih između njegovih stranica.
Dokaz .
Crtanjem tetive AD (na oba crteža), dobivamo ∆AVD,
u odnosu na koji kut koji se razmatra ABC služi kao vanjska kada joj vrh leži unutar kružnice, a unutarnja kada joj se vrh nalazi izvan kružnice. Dakle, u prvom slučaju: ; u drugom slučaju:
Ali kutovi ADC i DAE, poput upisanih, mjere se polulukovima AC i DE; dakle, kut ABC se mjeri: u prvom slučaju zbrojem: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, koji je jednak 1
/
2
(ﮟ
AC+ﮞ
DE), au drugom slučaju razlika je 1 / 2 ﬞ AC- 1 / 2 ﬞ DE, što je jednako 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE). Teorema. Kut (ACD) koji čine tangenta i tetiva mjeri se polovicom luka koji se nalazi unutar nje. Uzmimo sada opći slučaj kada tetiva CD ne prolazi kroz središte. Nacrtajući zatim promjer CE, imat ćemo: U Proporcionalne linije u krugu Teorema. Ako se tetiva (AB) i promjer (CD) povuku kroz točku (M) uzetu unutar kruga, tada je umnožak odsječaka tetive (AM MB) jednak umnošku odsječaka promjera (MB MC). Dokaz. P AM: MD=MS: MV, odakle AM MV=MD MS. Posljedica. Ako se bilo koji broj tetiva (AB, EF, KL,...) povuče kroz točku (M) uzetu unutar kruga, tada je umnožak segmenata svake tetive konstantan broj za sve tetive, jer za svaku vrpcu ovo umnožak je jednak umnošku odsječaka promjera CD koji prolaze kroz uzetu točku M. Teorema. Ako se iz točke (M) uzete izvan kružnice na nju povuku neka sekansa (MA) i tangenta (MS), tada je umnožak sekante i njezinog vanjskog dijela jednak kvadratu tangente (pretpostavlja se da sekanta je ograničena drugom sjecišnom točkom, a tangenta - dodirnom točkom). Nacrtajmo pomoćne tetive AC i BC; tada dobivamo dva trokuta MAC i MVS (na slici prekrivena crticama), koji su slični jer imaju zajednički kut M, a kutovi MCW i CAB su jednaki, jer je svaki od njih mjeren polovicom luka BC. Uzmimo MA i MC strane u ∆MAS; slične stranke u ∆MVS bit će MC i MV; dakle MA: MS = MS: MV, odakle MA MV = MS 2. Posljedica. Ako se iz točke (M) uzete izvan kruga povuče bilo koji broj sekanti (MA, MD, ME,...), tada je umnožak svake sekante i njenog vanjskog dijela konstantan broj za sve sekante, budući da je za svaku sekantu ovaj umnožak jednak kvadratu tangente (MC 2) povučene iz točke M. III. Uvodni zadaci. Zadatak 1. U Riješenje 1) Polumjer kružnice opisane oko trapeza jednak je polumjeru kružnice opisane oko trokuta čiji su vrhovi bilo koja tri vrha trapeza. Odredi polumjer R kružnice opisane oko trokuta ABD. 2)
ABCD je jednakokračan trapez, dakle A.K. = DOKTOR MEDICINE., K.M. =. U ∆ ABK A.K.
= AB cos A = · cos 60° = . Sredstva, B.K. = AB grijeh A
=
· = . 3) Po teoremu kosinusa u ∆ ABD
BD 2
= AB 2
+ OGLAS 2
– 2AB ·
OGLAS cos A. BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21; 4) S(∆ ABD)
= OGLAS ·
B.K.; S(∆ ABD) = · · 3 = . Zadatak 2. U jednakostraničnom trokutu ABC upisana je kružnica i nacrtan isječak N.M., M
A.C., N
prije Krista, koja ga dodiruje i paralelna je sa stranom AB. Odredi opseg trapeza AMNB, ako je duljina segmenta MN jednako 6. Riješenje. 1 2) MN– tangenta na kružnicu, P– točka kontakta, što znači O.D. = 3) ∆CMN ∾
∆ TAKSI, što znači ∆ CMN– jednakostraničan C.M. = CN = MN = = 6; P. I 3) BN = C.B. – CN = 18 – 6 = 12. 4) P ( AMNB)
= prije podne + MN
+ BN + AB
= 18 + 6 + 12 + 12 = 48. Jednakokračni trapez opisan je oko kružnice čija je srednja crta jednaka 5, a sinus oštrog kuta pri osnovici jednak 0,8. Pronađite površinu trapeza. Riješenje. FP– srednja linija trapeza, što znači prije Krista + OGLAS = 2FP. Zatim AB = CD = FP = 5. ∆ABK– pravokutni, B.K. = AB grijeh A; B.K.= 5 · 0,8 = 4. S( ABCD)
= FP · B.K.= 5 · 4 = 20. Odgovor:
20. Kružnica upisana u trokut ABC dodiruje stranicu BC u točki K, a izvankružnica dodiruje stranicu BC u točki L. Dokažite da je CK=BL=(a+b+c)/2 Dokaz: neka su M i N tangente upisane kružnice sa stranicama AB i BC. Tada je BK+AN=BM+AM=AB, pa je CK+CN= a+b-c. Neka su P i Q dodirne točke vankružnice s produžecima stranica AB i BC. Tada je AP=AB+BP=AB+BL i AQ=AC+CQ=AC+CL. Prema tome AP+AQ=a+b+c. Prema tome, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2. a) Nastavak simetrale kuta B trokuta ABC siječe mu opisanu kružnicu u točki M. O je središte upisane kružnice. O B je središte vankružnice koja dodiruje stranicu AC. Dokažite da točke A, C, O i O B leže na kružnici sa središtem M. D b) Točka O unutar trokuta ABC ima svojstvo da središtima opisanih kružnica trokuta BCO, ACO, ABO prolaze prave AO, BO, CO. Dokažite da je O središte upisane kružnice trokuta ABC IV. Dodatni zadaci broj 1. Kružnica tangenta na hipotenuzu pravokutnog trokuta i produžetke njegovih kateta ima polumjer R. Odredi opseg trokuta R 1) ∆OAH =∆OAF duž katete i hipotenuze =>HA=FA 2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG 3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R broj 2. Točke C i D leže na kružnici promjera AB. AC ∩ BD = P, i AD ∩ BC = Q. Dokažite da su pravci AB i PQ okomiti Dokaz: A broj 3. U paralelogramu ABCD dijagonala AC je veća od dijagonale BD; M je točka na dijagonali AC, BDCM je ciklički četverokut Dokažite da je pravac BD zajednička tangenta na opisane kružnice trokuta ABM i ADM P broj 4. N Prema uvodnom zadatku 4 CM=(AC+CE-AE)/2 i CN=(BC+CE-BE)/2. S obzirom da je AC=BC, dobivamo MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2 broj 5. Duljine stranica trokuta ABC čine aritmetičku progresiju, a a Neka je M polovište stranice AC, N dodirna točka upisane kružnice sa stranicom BC. Tada je BN=r–b (uvodni zadatak 4), dakle BN=AM, jer p=3b/2 prema uvjetu. Osim, V
.Zadaci za samostalno rješavanje
broj 1. Četverokut ABCD ima svojstvo da postoji kružnica upisana u kut BAD i tangenta na produžetke stranica BC i CD. Dokažite da je AB+BC=AD+DC. broj 2. Zajednička unutarnja tangenta na kružnice polumjera R i r siječe njihove zajedničke vanjske tangente u točkama A i B i dodiruje jednu od kružnica u točki C. Dokažite da je AC∙CB=Rr broj 3. U trokutu ABC kut C je pravi kut. Dokažite da je r =(a+b-c)/2 i r c =(a+b+c)/2 broj 4. Dvije se kružnice sijeku u točkama A i B; MN im je zajednička tangenta. Dokažite da pravac AB dijeli dužinu MN popola. broj 5. Nastavci simetrala kutova trokuta ABC sijeku mu opisanu kružnicu u točkama A 1, B 1, C 1. M – sjecište simetrala. Dokaži to: a) MA·MC/MB 1 =2r; b) MA 1 ·MC 1 /MB=R broj 6. Kut koji čine dvije tangente povučene iz jedne točke na kružnici jednak je 23°15`. Izračunajte lukove između tangentnih točaka broj 7. Izračunajte kut koji čine tangenta i tetiva ako tetiva dijeli kružnicu na dva dijela u omjeru 3:7. VI. Kontrolni zadaci. Opcija 1. Točka M nalazi se izvan kružnice sa središtem O. Iz točke M povučene su tri sekante: prva siječe kružnicu u točkama B i A (M-B-A), druga u točkama D i C (M-D-C), a treća siječe kružnicu u točkama B i A (M-B-A). u točkama F i E (M-F-E) i prolazi središtem kružnice, AB = 4, BM = 5, FM = 3. Dokažite da ako je AB = CD onda su kutovi AME i CME jednaki. Nađi polumjer kružnice. Odredi duljinu tangente povučene iz točke M na kružnicu. Nađi kut AEB. opcija 2. AB je promjer kružnice sa središtem O. Tetiva EF siječe promjer u točki K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5. Nađi polumjer kružnice. Odredi udaljenost od središta kružnice do tetive BF. Odredite šiljasti kut između promjera AB i tetive EF. Čemu je jednaka tetiva FM ako je EM paralelna s AB? Opcija 3. U pravokutnom trokutu ABC ( Opcija 4. AB je promjer kruga sa središtem O. Polumjer tog kruga je 4, O 1 je središte OA. Nacrtana je kružnica sa središtem u točki O 1, koja dodiruje veću kružnicu u točki A. Tetiva CD veće kružnice okomita je na AB i siječe AB u točki K. E i F su točke presjeka CD s manji krug (C-E-K-F-D), AK=3. Pronađite akorde AE i AC. Odredite stupanjsku mjeru luka AF i njegovu duljinu. Pronađite površinu dijela manjeg kruga koji je odsječen tetivom EF. Odredi polumjer kružnice opisane trokutu ACE.
Pretpostavimo najprije da tetiva CD prolazi središtem O, tj. da je tetiva promjer. Zatim kut ACD-
ravan i prema tome jednak 90°. Ali polovica luka CmD također je jednaka 90°, budući da cijeli luk CmD, koji čini polukrug, sadrži 180°. To znači da je teorem točan u ovom konkretnom slučaju.
cilj ACE, sastavljen od tangente i promjera, mjeri se, kao što je dokazano, polovicom luka CDE; Kut DCE, kao upisani, mjeri se polovicom luka CnED: jedina razlika u dokazu je u tome što se ovaj kut ne treba smatrati razlikom, već zbrojem pravog kuta ALL i šiljastog kuta ECD.
Povlačenjem dviju pomoćnih tetiva AC i BD dobivamo dva trokuta AMC i MBD (na slici prekrivena crticama), koji su slični jer su im kutovi A i D jednaki, poput upisanih, temeljenih na istom luku BC, kutovima C i B su jednaki, kao što je upisano, na temelju istog luka AD. Iz sličnosti trokuta zaključujemo:
Dokaz.
jednakokračnog trapeza s šiljastim kutom od 60°, bočna stranica jednaka je , a manja osnovica jednaka je . Odredi polumjer kružnice opisane ovom trapezu.
OGLAS
=
.
BD
=
.
)
∆ABC– jednakostraničan, točka O– sjecište medijana (simetrala, visina), što znači CO :
O.D. = 2 :
1.
= OP, Zatim CD= 3 · C.P..
Kako je četverokutu upisana kružnica, dakle prije Krista + OGLAS = AB + CD. Ovaj četverokut je jednakokračni trapez, što znači prije Krista + OGLAS = 2AB.
dokaz: Jer
Dokaz: Neka je P središte opisanog kruga trokuta ACO. Zatim
rješenje: HOGB - kvadrat sa stranicom R
D – promjer => upisani kut ADB=90 o (na temelju promjera)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP je sličan ∆QNA na 2 strane i kut između njih => QN je okomit na AB.
ušće O je sjecište dijagonala AC i VD. Zatim MO ·
OC=BO ·
OD. Dok je OS = OA i VO = VD, tada je MO ·
OA=VO 2 i MO ·
OA=UČINI 2. Ove jednakosti znače da je OB tangenta na opisanu kružnicu trokuta ADM
Na osnovici AB jednakokračnog trokuta ABC uzeta je točka E iu trokute ACE i ABE upisane su kružnice koje dodiruju dužinu CE u točkama M i N. Odredite duljinu dužine MN ako su poznate duljine AE i BE.
