Funkcije stepena s razlomačkim eksponentom. Funkcija snage. Svojstva n-te korijenske funkcije, n je paran broj

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Graf funkcije $f\lijevo(x\desno)=x^(2n)$

Svojstva funkcije potencije s prirodnim neparnim eksponentom

Opseg -- sve realni brojevi.

$f\lijevo(-x\desno)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funkcija je neparna.

$f(x)$ je neprekidan u cijeloj domeni definicije.

Raspon su svi realni brojevi.

$f"\lijevo(x\desno)=\lijevo(x^(2n-1)\desno)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija raste preko cijele domene definicije.

$f\lijevo(x\desno)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\lijevo(x\desno))=(\lijevo(\lijevo(2n-1\desno)\cdot x^(2\lijevo(n-1\desno))\desno))"=2 \lijevo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Graf funkcije $f\lijevo(x\desno)=x^(2n-1)$

Funkcija potencije s cjelobrojnim eksponentom

Prvo, uvedimo koncept stupnja s cjelobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Potencija realnog broja $a$ s cjelobrojnim eksponentom $n$ određena je formulom:

Slika 4.

Razmotrimo sada funkciju potencije s cjelobrojnim eksponentom, njezina svojstva i graf.

Definicija 4

$f\lijevo(x\desno)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija potencije s cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stupanj veći od nule, tada dolazimo do slučaja potencne funkcije s prirodnim eksponentom. Već smo o tome raspravljali gore. Za $n=0$ dobivamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepustit ćemo čitatelju. Preostaje razmotriti svojstva funkcije potencije s negativnim cijelim eksponentom

Svojstva funkcije potencije s negativnim cijelim eksponentom

Domena definicije je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je funkcija parna, ako je neparan, onda je funkcija neparna.

$f(x)$ je neprekidan u cijeloj domeni definicije.

Opseg:

Ako je eksponent paran, tada $(0,+\infty)$; ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Za neparan eksponent, funkcija opada kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ako je eksponent paran, funkcija opada kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \lijevo(-\infty ,0\desno)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijele domene definicije

1. Analiza obrazovna literatura na temu: “Svojstva funkcije snage”

Proučavanje funkcija potencije počinje u 7. razredu, s posebnim slučajevima, i nastavlja se tijekom cijelog tečaja algebre. Do 11. razreda znanja o funkciji moći generaliziraju se, proširuju i sistematiziraju.

Za 9. razred potrebno je napraviti analizu obrazovne literature kako bi se na temelju te analize obrazovne literature izgradio sadržaj didaktičkog priručnika.

Udžbenik: “Algebra. 9. razred.” Mordkovich A. G., Semenov P. V. (Mnemosyne, 2009.)

U udžbeniku se govori o potencijskim funkcijama s cjelobrojnim eksponentom. Teorijski materijal o temi “Potencna funkcija” nalazi se u poglavlju “Numeričke funkcije” u zasebnim paragrafima u kojima se govori o samim funkcijama i njihovim svojstvima i grafovima.

Uključeno predstavljanje materijala dostupnog školarcima veliki broj primjeri s detaljnim i temeljitim rješenjima u 1. dijelu (u udžbeniku), te vježbe za samostalan rad smještena u 2. dio (u zadataknici).

Struktura materijala za učenje:

POGLAVLJE 3. Numeričke funkcije

§12. Funkcije, njihova svojstva i grafovi.

§13. Funkcije, njihova svojstva i grafovi.

§14. Funkcija, njezina svojstva i graf.

Zatim se definiraju funkcije potencije kao funkcije s prirodnim eksponentom (prvo se daju posebni slučajevi funkcija potencije, a zatim se otkriva opća formula). Razmatraju se potencne funkcije s parnim eksponentom, koriste se njihovi grafovi koji kasnije otkrivaju njihova svojstva (raspon vrijednosti i domena definiranja funkcije, parni i neparni, monotonost, neprekidnost, najveći i najmanja vrijednost funkcije, konveksnost). Zatim razmatramo funkcije stepena s neparnim eksponentom, kao i njihove grafove i svojstva.

U § 13 definirane su funkcije potencije s negativnim eksponentima: prvo parne, a zatim neparne. Slično potencijskim funkcijama s prirodnim eksponentom, dani su posebni slučajevi:

Nakon čega se otkriva opća formula, razmatraju se i grafikoni i svojstva

U § 14 uvodi se funkcija

njezina svojstva i graf, kao poseban slučaj funkcije potencije s racionalnim eksponentom n =

Transformacija grafova (simetrija) svodi se na to da je graf parne funkcije simetričan u odnosu na ordinatnu os, a graf neparne funkcije u odnosu na ishodište. Stoga se za stepske funkcije zadana funkcija razmatra na određenoj zraci, konstruira se njezin graf i pomoću simetrije se konstruira graf na cijeloj brojevnoj liniji. Zatim se čita graf, tj. graf ispisuje svojstva funkcije prema shemi:

1) opseg definicije;

2) paran, neparan;

3) monotonija;

4) ograničenje odozdo, odozgo;

5) najmanji i najveća vrijednost funkcije;

6) kontinuitet;

7) raspon vrijednosti;

8) konveksnost.

a) ide u pomoćni koordinatni sustav s ishodištem u točki u kojoj se dobivaju vrijednosti pri x = 0 i y = 0.

b) “veže” funkciju za novi koordinatni sustav.

Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije

Riješenje. Prijeđimo na pomoćni koordinatni sustav s ishodištem u točki (-1;-2) (isprekidane linije na sl. 117) i “povežimo” funkciju za novi koordinatni sustav. Dobivamo traženi graf (sl. 117)

U zadatakniku “Algebra. 9. razred.” uredili Mordkovich A. G. i Semenov P. V. predstavljen je raznolik sustav vježbi. Skup vježbi podijeljen je u dva bloka: prvi sadrži zadatke dviju osnovnih razina: usmeni (poluusmeni) i zadatke srednje težine; drugi blok sadrži zadatke iznadprosječne razine ili povećane težine. Za većinu problema druge i treće razine dani su odgovori. Problematika sadrži veliki broj razne zadatke za konstruiranje grafova raznih vrsta potencijskih funkcija i određivanje svojstava funkcije iz njezina grafa. Na primjer:

Broj 12.10. Grafički nacrtajte funkciju:

Broj 12.15. Riješi jednadžbu grafički

Broj 12.19. Nacrtajte i pročitajte graf funkcije

Nacrtajte i pročitajte graf funkcije

Udžbenik: “Algebra. 9. razred.” Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. (Prosvjetljenje, 2006.)

Ovaj udžbenik namijenjen je i općeobrazovnoj nastavi u kojoj Dodatni materijali a složene zadatke ne treba razmatrati. Ako ima dovoljno sati, ako razred pokazuje interes za matematiku, tada se zbog dodataka na kraju poglavlja udžbenika, kao i bodova i pojedinačnih zadataka sa zvjezdicom, koji su izborni u redovnoj nastavi općeg obrazovanja, moguće proširiti i produbiti sadržaj gradiva koje se uči u obimu predviđenom programom za razrede s produbljenim učenjem matematike. Odnosno, udžbenik se može koristiti iu redovnoj iu nastavi s produbljenim proučavanjem matematike.

Struktura materijala za učenje:

POGLAVLJE II. Stupanj od

§4. Korijenski stupanj

4.1 Svojstva funkcija

4.2 Grafik funkcije

4.3 Pojam korijena stupnja

4.4 Korijeni parnih i neparnih stupnjeva

4.5 Aritmetički korijen

4.6 Svojstva korijena stupnjeva

4.7 *Korijen prirodnog broja

4.8 *Funkcija

Proučavanje teme započinje svojstvima funkcije (na primjeru n = 2 i n = 3) i njezinog grafa. Zatim se istražuje n korijen, aritmetički korijen i svojstva n korijena, kao i njihova primjena na transformaciju izraza. U razredima s produbljenim proučavanjem matematike dodatno se razmatraju sljedeće teme: „Funkcija“, „Eksponent s racionalnim eksponentom i njegova svojstva“.

Tvrdi se da funkcije imaju niz identičnih svojstava (domena definicije, nule funkcije, parnost, neparnost, neprekidnost, intervali monotonosti). Stoga je preporučljivo razmotriti u općem slučaju funkciju gdje je neki prirodni broj, . Definicija grafa funkcije uvodi se kroz definiciju parabole. Odnosno, prema općepoznatoj činjenici da je graf funkcije parabola, onda se taj graf naziva parabola drugog stupnja, graf funkcije se naziva parabola 1. stupnja ili, ukratko, parabola. Svojstva funkcija razmatraju se samo za one koje nisu negativne uz neke dokaze.

Proučavanje crtanja grafova funkcije počinje prikazivanjem grafova funkcija na jednoj koordinatnoj ravnini samo za nenegativne vrijednosti.

Proučavanje funkcije temelji se na prethodno stečenom znanju o aritmetičkom korijenu stupnja. Graf funkcije konstruiran je u Kartezijanski sustav koordinate Za početak razmatramo potencnu funkciju i konstrukciju njezina grafa u koordinatnom sustavu O. Time je dokazano da je graf funkcije dio potencne parabole.

1) Ako je x = 0, tada je y = 0.

2) Ako, onda.

3) Funkcija se povećava.

4) Ako, onda.

5) Funkcija je neprekidna.

Sustav vježbi na temu “Funkcija snage” je raznolik. Sadrži zadatke za obuku, usmene i pismene. Na primjer:

Broj 316. Funkcija dana

Istražite ovu funkciju i nacrtajte je grafički.

Broj 318. Grafički nacrtajte funkciju

Broj 321. U jednom koordinatnom sustavu konstruirajte grafove funkcija

Br. 441. Nacrtajte graf funkcije za:

Br. 442. Nacrtajte graf funkcije za:

Udžbenik: “Algebra. 9. razred." Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Prosvjetljenje, 2009.)

Ovaj udžbenik namijenjen je srednjim školama.

Struktura materijala za učenje:

POGLAVLJE IV. Potencija s racionalnim eksponentom

§9. Funkcija snage

21. Parne i neparne funkcije

22. Funkcija

§10. Korijen n-ti stupanj

23. Određivanje n-tog korijena

24. Svojstva aritmetičkog korijena n-tog stupnja

§jedanaest. Potencija s racionalnim eksponentom i njezina svojstva

25. Određivanje stupnja s razlomačkim eksponentom

26. Svojstva s racionalnim eksponentom

27. Pretvaranje izraza koji sadrže potencije s razlomačkim eksponentima

Proučavanje funkcije snage započinje uvođenjem pojmova parne i neparne funkcije koristeći primjere usporedbe vrijednosti funkcije s dvije suprotne vrijednosti argumenta. Zatim se daje definicija parne i neparne funkcije uz konstrukciju pripadajućih grafova.

Rečeno je da su funkcije snage za = 1, 2 i 3 (tj. funkcije), njihova svojstva i grafovi već proučavani. Zatim se pojašnjavaju svojstva funkcije snage i značajke njenog grafa za bilo koji prirodni broj. Razmotrimo funkcije kada je eksponent n paran broj, tada je n neparan broj. Svojstva se analiziraju pomoću primjera, prema shemi:

1. Opseg definicije;

2. Raspon značenja;

3. Funkcijske nule;

4. Paritet;

5. Neparni paritet;

6. Monotonost funkcije.

Sljedeći odlomak poglavlja posvećen je n-tom korijenu, u kojem se uvodi definicija i raspravlja o svojstvima.

Ponavlja se definicija: kvadratni korijen broja je broj čiji je kvadrat jednak a. Korijen bilo kojeg prirodnog stupnja n definira se na sličan način: n-ti korijen broja a je broj n-ti stupanj koji je jednak a. Da bismo to učinili, prvo razmatramo funkciju potencije s neparnim eksponentom n i njezin graf, koji pokazuje da za bilo koji broj a postoji jedinstvena vrijednost x, čija je n-ta potencija jednaka a. Zatim razmatramo funkciju snage s parnim eksponentom n, i, ako, tada postoje dvije suprotne vrijednosti x, jer postoji jedan takav broj (broj 0), jer za ne postoje takvi brojevi.

Na kraju poglavlja razmatra se stupanj s racionalnim eksponentom i njegova svojstva.

Sustav vježbanja je raznolik. Na primjer:

broj 503. Skicirajte graf funkcije

broj 508. Riješi jednadžbu grafički

broj 513. Pomoću grafa funkcije riješite jednadžbu

broj 580. Grafikirajte funkciju

broj 644. Nacrtajte funkciju f, znajući da je neparna i da se njezina vrijednost može pronaći pomoću formule

broj 643. Grafikirajte funkciju

broj 663. Grafički nacrtajte funkciju. Pomoću grafikona usporedite vrijednosti korijena

broj 669. Grafikirajte funkciju

Udžbenik: “Algebra. 9. razred." Sh.A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov i drugi (Prosvjetljenje, 2009.)

Prilikom proučavanja ove teme posebna se pozornost posvećuje svojstvima funkcija i prikazu tih svojstava na grafovima. Istodobno se razvijaju početne vještine izvođenja jednostavnih transformacija grafova funkcija.

Struktura materijala za učenje:

POGLAVLJE III. Funkcija snage

§12. Funkcijska domena

§13. Rastuće i padajuće funkcije

§14. Parna i neparna funkcija

§15. Funkcija

§16. Nejednadžbe i jednadžbe sa stupnjevima

Glavni cilj ovog poglavlja nije samo upoznati učenike s potencnom funkcijom, već i proširiti poznate informacije o svojstvima funkcije kao cjeline (područje definicije, monotonost, parne i neparne funkcije), razviti sposobnost proučavati funkcije koristeći zadani graf,

Proučavanjem gradiva u ovom poglavlju produbljuje se i značajno proširuje funkcionalno razumijevanje učenika.

U §12 formulirana je definicija funkcije, argumenta i domene definicije funkcije. Podsjeća se na definiciju grafa funkcije i metode za njegovu konstrukciju, uključujući korištenje elementarnih transformacija.

U §13 uvodimo pojam funkcije snage. Primjeri otkrivaju opseg definicije; podsjećaju se definicije rastućih i opadajućih funkcija te daju definicije rastućih i opadajućih funkcija potencije.

Ideja parnih i neparnih funkcija učenicima se daje na vizualnoj razini. Udžbenik govori o dva zadatka u kojima treba konstruirati grafove funkcije i. Proučavaju se svojstva tih funkcija i na temelju simetrije daju pojmovi o parnosti ili neparnosti funkcije.

U §15 učenici stječu razumijevanje funkcije za različite vrijednosti k, uče nacrtati graf funkcije i čitati ga (odnosno, odrediti svojstva funkcije iz njezina grafa). Pomoću funkcije pojašnjava se pojam obrnute proporcionalnosti koji se spominje samo u kolegiju algebre 8. razreda.

Kada se proučava funkcija za k > 0, funkcija se najprije prikazuje kao poseban slučaj funkcije snage: uzimajući u obzir promjene parametra k.

U odjeljku se raspravlja o četiri problema u kojima je potrebno konstruirati grafove funkcija. U zadatku 1, za konstruiranje grafa funkcije, koriste se sva svojstva funkcije proučavana u prethodnim paragrafima. U zadatku 2, pri izradi grafikona funkcija, koristi se već poznato rastezanje grafa funkcije duž apscisne osi za 2 puta. I na temelju ova dva problema formuliraju se svojstva funkcije za i .

U zadatku 4 potrebno je konstruirati graf funkcije (na temelju zadataka 1-2), tj. graf te funkcije može se konstruirati pomicanjem grafa funkcije duž Ox osi udesno za jedan i duž osi Oy dolje za 2 jedinice.

Sustav vježbi predstavlja Različite vrste zadaci: obvezni i dodatni zadaci povećane složenosti.

Među zadacima za konstruiranje grafova funkcija snage mogu se razlikovati sljedeće vježbe:

Broj 164. Konstruirajte graf i pronađite intervale rastućih i padajućih funkcija

broj 166. Nacrtajte graf funkcije at

Broj 171. Konstruirajte graf i pronađite intervale rastućih i padajućih funkcija

Broj 174. Skicirajte graf funkcije

Broj 179. Utvrdite svojstva funkcije i izgradite njezin graf

Broj 180. Grafički nacrtajte funkciju

Broj 191. Grafički nacrtajte funkciju

Broj 218. Utvrdite je li funkcija parna ili neparna

Studenti koji proučavaju gradivo svladavaju pojmove kao što su domena definicije, parne i neparne funkcije, rastuće i opadajuće funkcije na intervalu.

S konceptom rastućih i padajućih funkcija učenici su se susreli u kolegiju algebre u 8. razredu, no tek pri proučavanju ove teme formiraju se definicije ovih pojmova, pa je stoga moguće analitički dokazati porast ili pad određene funkcije na intervalu (međutim, provođenje takvih dokaza nije jedna od potrebnih vještina) . Učenici uče pronaći rastuće intervale funkcije pomoću grafa dotične funkcije.

Pri proučavanju teme ne razmatraju se primjeri potencije s razlomačkim eksponentom, jer se u ovom kolegiju ne uvodi pojam potencije s racionalnim eksponentom.

Prilikom proučavanja svake pojedine funkcije (pa tako i funkcija), učenici će moći nacrtati graf dotične funkcije i na temelju grafa navesti njezina svojstva.

Udžbenik: “Algebra. Dubinska studija. 9. razred.” Mordkovich A. G. (Mnemosyne, 2006.)

Uzeli smo udžbenik za 2006. godinu, jer je ovaj udžbenik, za razliku od kasnijih izdanja, sadržavao temu stupanj s racionalnim eksponentom. Općenito govoreći, trenutno se ova tema obrađuje u srednjoj školi, no u multimedijski priručnik uvrstili smo je kao propedeutičko gradivo.

Knjiga je namijenjena produbljenom proučavanju matematike u 9. razredu Srednja škola. Ovaj udžbenik napisan je na temelju udžbenika za 9. razred za općeobrazovne ustanove (A. G. Mordkovich. Algebra-9). Provodi isti program, ali razlika je u dubljem proučavanju relevantnih pitanja tečaja: jednostavni primjeri zamijenjeni su složenijim i zanimljivijim.

Struktura materijala za učenje:

POGLAVLJE 4. Funkcije snage. Moći i korijeni

§17. Potencija s negativnim cijelim eksponentom

§18. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

§19. Koncept n-ti korijen potencije realnog broja

§20. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

§21. Svojstva n-tog korijena

§22. Pretvaranje izraza koji sadrže radikale

§23. Generalizacija pojma eksponenta

§24. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

U § 18 govorimo o potencijskim funkcijama s cjelobrojnim eksponentom, tj. funkcijama itd. Ovaj dio je podijeljen na paragrafe:

Autor podsjeća da je najjednostavniji slučaj takve funkcije razmatran u 7. razredu - bila je to funkcija. Ovaj odlomak počinje razmatranjem funkcije. Graf je konstruiran i svojstva te funkcije navedena su određenim redoslijedom: 1) domena definiranja; 2) paran, neparan; 3) monotonija; 4) ograničenje odozdo, odozgo; 5) najmanja i najveća vrijednost funkcije; 6) kontinuitet; 7) raspon vrijednosti; 8) konveksnost.

Svojstva su očitana s grafa; sada se predlaže analitički dokazati postojanje niza tih svojstava.

Autor zaključuje da je graf bilo koje potencne funkcije sličan grafu funkcije, samo što su njegove grane usmjerene strmo prema gore i više pritisnute prema x-osi na segmentu te napominje da krivulja dodiruje x-os u točki (0;0).

Na kraju odlomka nalazi se primjer konstruiranja grafa funkcije Konstrukcija: 1) prijelaz u pomoćni koordinatni sustav s početkom u točki (1; -2); 2) iscrtavanje krivulje.

1) Funkcija

Svojstva i graf potencne funkcije s neparnim eksponentom najprije se ispituju na primjeru funkcije čiji je graf kubna parabola.

Autor zaključuje da je graf bilo koje potencne funkcije sličan grafu funkcije, samo što je veći eksponent, to su grane grafa usmjerene strmije prema gore (i prema tome prema dolje) te napominje da krivulja dodiruje x-os u točki (0;0).

Slijedi primjer korištenja grafa funkcije snage za rješavanje jednadžbe.Rješavanje se odvija u 4 faze: 1) razmatraju se dvije funkcije: i; 2) crtanje funkcije; 2) ucrtavanje linearna funkcija; 4) pronaći točku sjecišta i izvršiti provjeru.

2) Funkcija

Riječ je o potencijskim funkcijama s negativnim cijelim eksponentom (parnim). Prvo ćemo pogledati primjer funkcije. Konstruiran je graf i navedena su svojstva ove funkcije. Posebno dokazujemo svojstvo da funkcija opada.

multimedijska vizualna funkcija školska matematika

3) Funkcija

U ovom slučaju razmatramo potencne funkcije s negativnim cijelim eksponentom (neparnim): itd. Autor podsjeća da se jedna takva funkcija već proučavala u 8. razredu - ova. Podsjećaju se njezina svojstva i graf (hiperbola) te se zaključuje da je graf bilo koje funkcije sličan hiperboli.

U § 19 dan je koncept n-tog korijena realnog broja i posebno se napominje da se iz svakog nenegativnog broja može izvući korijen bilo kojeg stupnja (drugog, trećeg, četvrtog itd.), i iz negativnog broja može se izvući korijen bilo kojeg neparnog stupnja.

U § 20 govorimo o funkciji danoj at, te ispitujemo njezin graf i svojstva koristeći određeni primjer (at). Na temelju slike koja prikazuje graf funkcije i grafa funkcije utvrđuje se simetričnost ovih grafova, a potom i analitički potvrđuje.

Ovaj odjeljak također raspravlja o funkciji u slučaju neparnih za bilo koje vrijednosti. Raspravljaju se svojstva ove funkcije i crta se graf.

· ako je paran broj, tada graf funkcije ima oblik prikazan na sl. 1;

· ako je neparan broj, tada graf funkcije ima oblik prikazan na sl. 2.

U § 24 razmatramo funkciju oblika - bilo koji realni broj (ograničavamo se na slučajeve racionalnog eksponenta).

1. Ako je prirodan broj, onda dobivamo funkciju (grafika i svojstva su poznati)

2. Ako, tada dobivamo funkciju, t j . U slučaju parnog, graf ima oblik prikazan na sl. 3a, u slučaju neparnog, graf ima oblik prikazan na sl. 3b

riža.

3. Ako, odnosno, govorimo o funkciji, onda je to funkcija gdje

Situacija je približno ista za bilo koju funkciju snage oblika, gdje je:

1. - nepravi razlomak (brojnik je veći od nazivnika). Njegov graf je krivulja slična grani parabole. Što je veći indikator, to je "strmija" ova krivulja usmjerena prema gore. Konstruira se graf i daju se svojstva.

2. - pravi razlomak () (§ 20). Konstruira se graf i daju se svojstva.

Konstruira se graf i daju se svojstva.

U zadatakniku “Algebra. Dubinska studija. 9. razred.” Zavich L.I., Ryazanovsky A.R. predstavlja raznolik sustav vježbi. Složenost zadataka raste kako se povećava njihov redni broj. Zadatnica sadrži veliki broj različitih vježbi o konstruiranju grafova raznih vrsta funkcija snage, proučavanju i primjeni njezinih svojstava.

Na primjer:

Broj 17.05. Graditi grafove funkcija na jednom crtežu

Funkcije grafikona

Broj 17.35. Grafikirajte funkciju

te pomoću grafa označite intervale njegove monotonosti, točke ekstrema, ekstreme i broj njegovih nula.

Grafički nacrtajte funkcije:

Broj 19.01. Graditi grafove funkcija na jednom crtežu

Broj 19.04. Funkcije grafikona

Broj 19.22. Iscrtajte grafove i provedite istraživanje funkcija

Broj 21.01. Konstruirajte grafove funkcija na jednom crtežu, za i, za i navedite svojstva funkcije: a) domena definicije D(y); b) skup vrijednosti E(y); c) nule funkcije; d) intervali monotonije; e) intervali konveksnosti; f) točke ekstrema; g) krajnosti; h) par ili nepar; i) najveća i najmanja vrijednost.

Broj 21.03. Nacrtajte i istražite sljedeće funkcije

Broj 21.11. Graditi grafove funkcija na jednom crtežu

na segmentu

Broj 21.17. Funkcije grafikona

Broj 25.01. Konstruirajte skice grafova sljedećih parova funkcija na istom crtežu

Broj 25.05. Nacrtajte grafove funkcija i opišite njihova svojstva

Broj 25.06. Konstruirajte grafove funkcija na susjednim crtežima

Broj 25.18. Funkcije grafikona

Broj 25.30. Funkcije grafikona

Analiza obrazovne literature omogućuje nam da izvučemo neke zaključke

S obzirom na standard glavnog opće obrazovanje u matematici vidimo što učenici trebaju naučiti sljedeće vrste funkcija snage:

Posebni slučajevi (izravna, obrnuta proporcionalnost, kvadratna funkcija),

S prirodnim indikatorom,

S cijelim indikatorom

S pozitivnim racionalnim eksponentom,

S racionalnim pokazateljem,

S iracionalnim pokazateljem,

S valjanim indikatorom.

Važnu ulogu u ovoj temi igra formiranje slike grafova funkcija. Učenici također trebaju znati: odrediti svojstva funkcije iz njezina grafa; opisivati ​​svojstva proučavanih funkcija, graditi njihove grafove. Razmatranje standarda omogućuje nam da zaključimo da je tema "Funkcija moći" uključena u obvezni minimum znanja, vještina i sposobnosti učenika i stoga je naša pozornost posve opravdana.

Kako bismo razvili jake vještine o funkciji snage, potrebno je proučiti metodologiju teme “Svojstva funkcije snage”, na koju prelazimo.

2. Metodološke osnove za proučavanje teme “Svojstva funkcije snage” u školi

Funkcija snage pripada klasi elementarnih funkcija.

Svrha njezina proučavanja nije samo upoznati učenike s potencnom funkcijom, već i proširiti znanje o svojstvima funkcija općenito.

Pri proučavanju teme “Funkcija snage” uglavnom se koriste analitičkom i grafičkom metodom proučavanja funkcija. U slučajevima kada je analitičko istraživanje teško razumljivo studentima, koriste se grafičke metode, ali one ne mogu poslužiti kao dokaz.

Učenici izvode veliki broj grafički radovi, pritom pazeći ne samo na točnost i preciznost njihove provedbe, već i na racionalne tehnike konstruiranja grafikona.

Moguće je razviti jake vještine u konstruiranju i čitanju grafova funkcija snage i osigurati da svaki učenik može samostalno obavljati osnovne tipove zadataka samo ako učenici odrade dovoljan broj vježbi.

Na primjer, u časopisu “Matematika u školi” Lopatina, L.V. nudi sljedeću lekciju radionice:

Sat-radionica ima za cilj stjecanje znanja kroz vlastiti rad. To je glavni lajtmotiv razvojne pedagogije. Tema "Funkcija snage" vrlo je prikladna za kreativni rad cijele klase, budući da je funkcija potencije (, gdje je bilo koji racionalni broj) zapravo skup funkcija koje imaju različita svojstva ovisno o eksponentu.

Raspravu o tim svojstvima najbolje je organizirati u grupama. Da biste to učinili, preporučljivo je podijeliti razred u šest grupa.

Prije svega, učitelj treba zamisliti redoslijed rada u "radionici":

Faza I - indukcija - pozivanje na prethodno iskustvo;

III faza - praznina - trenutak kada učenici moraju shvatiti da postoje praznine u njihovom znanju koje sami moraju popuniti;

IV stadij – refleksija – određivanje stupnja asimilacije.

Opišimo detaljnije svaku od faza lekcije.

I stadij - indukcija. Učitelj podsjeća da je razred već proučavao funkcije, njihova svojstva i grafove. Te se funkcije općenito mogu specificirati formulom: , gdje je - neki cijeli broj. Takva funkcija se naziva funkcija snage. Razred dobiva sljedeći zadatak: navesti pitanja na koja trebamo odgovoriti dok učimo novu značajku.

Razred raspravlja o ovim pitanjima u grupama, a zatim se sva pitanja iz grupa skupljaju u jednu listu:

· Koja svojstva ima ova funkcija?

· Kakav je njezin raspored?

· U kojim situacijama se koristi?

Počnimo s odgovorom na posljednje pitanje. Navedimo primjere nekoliko situacija u kojima se pojavljuje funkcija snage.

Tri učenika naizmjenično dolaze do ploče i izrađuju poruke pripremljene kod kuće.

Prvi učenik razmatra funkciju gdje je površina presjeka promjera žice. Učenici će primijetiti da je ova funkcija snage zapravo kvadratna funkcija, ali s ograničenjima vrijednosti argumenta.

Drugi učenik govori o tome da se privlačna sila između dva tijela s masama izražava formulom. Ovo je funkcija udaljenosti između tih tijela. U razredu će se naći učenik koji će primijetiti da smo funkciju ovog tipa već iscrtali, iako je nismo posebno proučavali.

Treći učenik analizira udaljenost horizonta od promatrača: . Ovo je funkcija visine na koju je promatrač podignut iznad razine mora. Ako sama djeca to nisu primijetila, onda učitelj treba naglasiti da se ovdje vrijednost ne može neograničeno povećavati. Doista, bez obzira na to koliko visoko je promatrač uzdignut, on ne može vidjeti više nego što dopuštaju mogućnosti njegova vida i konveksnost globusa. Ovaj primjer je posebno indikativan, jer nam omogućuje da procijenimo prikladnost ograničenja vrijednosti funkcije. Ovdje moramo nametnuti neka ograničenja na vrijednosti funkcije, iako se vrijednosti, teoretski govoreći, mogu neograničeno povećavati.

II faza - rasprava o temi. Učenicima se daje malo vremena da analiziraju svojstva jedne od funkcija snage koju su odabrali. Glavni problem ovdje je izbor funkcije. Jedna skupina nastoji pojednostaviti problem, ograničavajući se na funkciju tipa koja je dobro poznata svim studentima. Druga grupa čini svoj posao previše kompliciranim usredotočujući se na funkciju vrste ili, možda, oboje zajedno, iako opći pristup pitanju učenicima još nije jasan.

Na kraju, postoje skupine koje su odabrale funkcije čiji su grafovi već ranije razmatrani, iako na njima nije stavljen potreban naglasak.

Prva skupina promatrala je funkciju vrste; zabilježio domenu njegove definicije: i nultu vrijednost funkcije pri. Dečki su se posebno fokusirali na činjenicu da se funkcija povećava kroz cijelu domenu definicije. Identificirali smo intervale u kojima je funkcija veća ili manja od nule. Govornici su istaknuli kako je ova funkcija čudna i nema ni najveću ni najmanju vrijednost.

Jedan učenik iz ove grupe govori razredu i govori o rezultatima istraživanja grupe.

Druga grupa odabrala je značajku koju treba razmotriti. Dečki su primijetili da će sada morati isključiti broj 0 iz domene definicije funkcije, tj. . Za razliku od prethodne, ova funkcija nema nule. Ali, kao i ona gore razmotrena, ova funkcija je pozitivna na i negativna na. Smanjuje se kroz cijelu domenu definicije.

Predstavnik ove skupine ističe razlike između funkcija i.

Još dva učenika govore o funkcijama.

Tijekom svojih prezentacija, svi izlagači moraju prikazati grafove funkcija o kojima se govori.

U vrijeme III fazi sata, učenici moraju sažeti svoje znanje. I to moraju učiniti sami, iznenađeni raznolikošću razmatranih funkcija. “Zašto im je dano jedno ime ako ih ima toliko i da su različiti?” - pitanje je koje bi si studenti trebali postaviti. Zadatak nastavnika je tiho dovesti učenike do ovog pitanja. Dolazi trenutak takozvanog jaza, kada dečki moraju shvatiti manjkavosti svog znanja, njegovu ograničenost ili nepotpunost. Doista, jedna od razmatranih funkcija ima nule, a druga ne. Jedan se povećava u cijeloj domeni definicije, drugi se povećava i smanjuje. Kakvu karakterizaciju trebamo dati cijeloj funkciji moći da ona pokrije što više posebnih slučajeva?

U potrazi za odgovorom na ovo pitanje, jedan od momaka na kraju pogodi da se tip funkcije potencije može zgodno povezati s parnošću ili neparnošću eksponenta.

Sada je prikladno ponovno zadati grupama da rasprave o svojstvima funkcija

gdje - neparan;

gdje -- čak;

gdje -- neparan;

gdje je parno.

Još jednom bilježimo plan istraživanja funkcije:

Navedite opseg definicije.

Odredite je li funkcija parna ili neparna (ili primijetite da nije ni parna ni neparna).

1. Pronađite nule funkcije, ako ih ima.

2. Označite intervale stalnosti predznaka.

3. Odredite intervale rasta i opadanja.

4. Navedite najveću ili najmanju vrijednost funkcije.

Na kraju se učenicima prezentiraju grafovi razmatranih funkcija = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ovi grafovi su izvode predstavnici svake skupine.

Sada, zajedno s razredom, gradimo grafove funkcije, gdje prirodni broj i.

Primljeno na znanje opća svojina ovih funkcija: obje imaju domenu definicije – interval. Oboje nisu ni parni ni neparni. Oba su veća od nule.

Ali te funkcije također imaju razlike. Dečki ih nazivaju posebno: funkcija vrste raste u domeni definiranja, a funkcija vrste opada u istoj domeni. Funkcija oblika ima nultu vrijednost na, a funkcija oblika i nema nula.

Na IV stupnju učenici se moraju uključiti u refleksiju, tj. utvrđivanje stupnja ovladanosti gradivom. Cijeli razred dobiva sljedeći zadatak prema sl. 3.

Na sl. 3, a-h, shematski su prikazani grafovi funkcija danih formulama

Odredite koja formula s ovog popisa približno odgovara svakoj od grafikoni a-z.

U časopisu “Matematika u školi” Petrova, N.P. nudi projekt “Proučavanje svojstava funkcija snage korištenjem Excela”:

Obrazovni projekt opisan u članku na temu „Proučavanje svojstava funkcija pomoću proračunskih tablica programa Excel“ proveli su učitelji matematike i informatike naše gimnazije u 9. razredu, a osmišljen je za pet sati.

Cilj projekta bio je omogućiti studentima samostalnost i inicijativu u učenju nova tema te primjenu prethodno proučenog gradiva u praksi.

Tijekom projekta učenici devetih razreda morali su pokazati:

· sposobnost ispravnog formuliranja ciljeva projekta;

· sposobnost analize informacija i donošenja zaključaka;

· sposobnost pravilne interpretacije dobivenih rezultata i njihove primjene u praksi.

Studenti su se suočili sa zadatkom ispitati ponašanje grafova funkcija pomoću programa Excel, a potom na temelju dobivenih podataka opisati svojstva funkcija.

Prema rezultatima projekta učenici devetih razreda morali su učiti opći oblik grafove funkcija te naučiti graditi i “čitati” te grafove, kao i grafički rješavati jednadžbe oblika = f(x).

Imajte na umu da je rad na ovom projektu osmišljen kako bi promicao razvoj sposobnosti školaraca da uspoređuju, razlikuju opći znakovi te razlike u grafovima funkcije snage pri različitim vrijednostima.

Ovdje je korak po korak opis projekta.

Faza I. Priprema (faza traženja)

Buđenje interesa učenika za temu projekta događa se tijekom razgovora. Od učenika se traži da rješavaju jednadžbe njima poznatim metodama

Ispostavilo se da dečki mogu riješiti jednadžbu na dva načina: analitički i grafički, jednadžbu - grafički. Teško im je riješiti preostale jednadžbe, ali da su upoznati s grafovima funkcija, riješili bi zadatak grafički.

Rezultat razgovora je formulacija problemskog pitanja: kako izgledaju grafovi funkcija i gdje? Nakon toga utvrđuju se pravci daljnjeg rada i formuliraju zadaci:

1. Pomoću Excela saznajte kako izgleda graf funkcije kada je n paran i opišite svojstva te funkcije.

2. Pomoću Excela saznajte kako izgleda graf funkcije kada je n neparan i opišite svojstva te funkcije.

3. Pomoću Excela saznajte kako izgleda graf funkcije kada je n paran i opišite svojstva te funkcije.

4. Pomoću Excela saznajte kako izgleda graf funkcije kada je n neparan i opišite svojstva te funkcije.

Zatim se razred dijeli na radne skupine. Nastavnik poziva učenike da se samostalno podijele u četiri skupine (po izboru) i izaberu voditelja u svakoj skupini. Kada se grupe formiraju, biraju jedno od područja rada u projektu (prema gore navedenim zadacima).

Stadij II. Planiranje (analitička faza)

Nastavnik pomaže skupinama u izradi plana rada za rješavanje odabranog problema i preporučuje izvore informacija. Učenici samostalno raspoređuju uloge u skupinama. Okvirna raspodjela uloga u grupi prikazana je u sljedećoj tablici. Broj učenika u grupi ovisi o broju učenika u razredu.

U istoj fazi raspravlja se o obrascu za prezentaciju rezultata rada. U ovom slučaju odabrana je računalna prezentacija u PowerPointu.

Stadij III. Istraživanje (praktična faza)

Učenici izvršavaju zadatke prema predviđenom planu rada. Nastavnik prati njihove aktivnosti i po potrebi savjetuje učenike.

Kao primjer, uzmimo plan rada grupe br.

1. Iscrtavanje grafova funkcija u Excelu.

2. Usporedba grafova, formulacija varijanti preporuka za konstruiranje grafa funkcije za prirodni paran broj.

3. Određivanje svojstava funkcije iz grafa.

4. Analiza primjera praktična aplikacija funkcijska grafika.

Na temelju istraživanja učenici zaključuju da su grafovi funkcija oblika za prirodno parno n krivulje slične paraboli te daju preporuke za konstruiranje grafa: treba voditi računa da je graf simetričan u odnosu na os Oy, pa dovoljno je napraviti tablicu vrijednosti funkcije za pozitivne vrijednosti argumenta X.

Osim toga, u ovoj se fazi stvara opća prezentacijska skripta koja će se usavršavati kako projekt napreduje. U ovoj skripti se posebno određuje broj slajdova, svrha svakog od njih i glavni objekti koji se trebaju postaviti na slajdove.

Faze IV i V. Obrana projekta, ocjena rezultata (faze prezentacije i kontrole)

Obrana projekata (u grupama) je zadnja od predviđenih sati.

Predstavimo sada raspored sati za rad na ovom projektu i sadržaj svake lekcije.

1. lekcija (matematika)

· Izjava problema projekta. Određivanje područja rada, formuliranje ciljeva projekta.

· Podjela na radne grupe, izbor voditelja u grupama.

· Izrada plana rada za rješavanje postavljenih zadataka, raspodjela uloga u grupama, odabir oblika za prezentaciju rezultata.

2. lekcija (informatika)

· Razgovarajte o svrsi Excel proračunskih tablica.

· Ponavljanje konstrukcije grafova različitih funkcija u Excelu.

· Iscrtavanje grafova proučavanih funkcija u Excelu. Analiza primljenih informacija, izvođenje zaključaka.

Lekcija 3 (matematika)

· Konstrukcija i “čitanje” grafova funkcija i

· Rješavanje jednadžbi oblika gdje grafički.

· Izrada skripte za prezentaciju.

Lekcija 4 (informatika)

· Ponavljanje svrhe i načela rada programa Power Point.

· Izrada prezentacije.

Lekcija 5 (matematika)

· Zaštita projekta.

Dajemo i opći plan lekcije za obranu projekta.

1. Organizacijski trenutak.

2. Motivacija za primjenu znanja kroz identificiranje problema.

Učiteljev uvodni govor

U današnjoj lekciji glavni predmet proučavanja su funkcije i, gdje, njihova svojstva i grafovi. Već znate kako riješiti jednadžbe prvog stupnja (linearne) i drugog stupnja (kvadratne) pomoću formule korijena. Za jednadžbe 3. stupnja također postoje posebne formule za korijene, ali su one vrlo glomazne i rijetko se koriste u praksi. Za jednadžbe čiji je stupanj veći od trećeg, opće formule nema korijena. Postavlja se problem: kako se takve jednadžbe mogu riješiti? Ispada, ako ne analitički, onda grafički. A kako biste koristili grafičku metodu za rješavanje jednadžbi oblika i, morate biti u stanju izgraditi grafove funkcija i, gdje.

Četiri skupine proučavale su grafove ovih funkcija. Sada će nas svaki od njih upoznati s rezultatima obavljenog rada.

3. Grupni nastupi.

Prezentacija (obrana) projekta svake skupine, odgovori na pitanja protivnika.

4. Samoprocjena i procjena svake izvedbe od strane drugih grupa (na skali od pet stupnjeva).

Navodimo glavne kriterije ocjenjivanja:

· usklađenost sadržaja s navedenom temom, točnost, cjelovitost izlaganja;

· bez grešaka;

· dizajn (dizajn): u kojoj mjeri izgled slajda zadovoljava estetske zahtjeve;

· Je li tekst lak za čitanje? odgovara li slika sadržaju i sl.;

· uvjerljivost, argumentiranost govora; govorna pismenost, poznavanje terminologije;

· cjelovitost odgovora na pitanja.

Posebno se procjenjuje interakcija u grupi: komunikacijske vještine, poštovanje i pažnja prema drugim sudionicima, aktivnost.

Izračunava se ukupan broj osvojenih bodova i ocjena ocjene (aritmetička sredina bodova); Na temelju njih se daje ocjena za sudjelovanje u projektu.

5. Rasprava o doprinosu svakog studenta projektu i ocjenjivanju.

6. Sažimanje (refleksija).

7. Završne riječi nastavnika

Tijekom projektne aktivnosti na ovoj ste temi odgovorili na pitanje što su grafovi funkcija i i dali preporuke za njihovu konstrukciju. Sada možete riješiti neke jednadžbe oblika i grafički. Zahvaljujemo svim studentima na kreativnom i plodonosnom radu kojim su pridonijeli ostvarenju ciljeva projekta.

S obzirom na gore navedeno, u našem smo se priručniku pokušali osvrnuti sistemski pristup proučavanju funkcija snage. Kako bismo umanjili poteškoće pri radu s računalom, pokušali smo napraviti praktičnu i prirodnu navigaciju i uzeti u obzir zahtjeve za didaktičkim softverom.

Jeste li upoznati s funkcijama y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage tj. funkcije y=x str, gdje je p zadani realni broj. Svojstva i graf potencije značajno ovise o svojstvima potencije s realnim eksponentom, a posebno o vrijednostima za koje x I str stupanj ima smisla x str. Prijeđimo na slično razmatranje različitih slučajeva ovisno o eksponentu str.

Indeks p=2n-parni prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x 2n, Gdje n- prirodni broj, ima sljedeće

Svojstva:

domena definicije - svi realni brojevi, tj. skup R;

skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;

funkcija y=x 2nčak, jer x 2n =(-x) 2n

funkcija je opadajuća na intervalu x<0 i raste na intervalu x>0.

Graf funkcije y=x 2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x 4 .

2. Indikator p=2n-1- neparan prirodan broj U ovom slučaju funkcija potencije y=x 2n-1, gdje je prirodni broj, ima sljedeća svojstva:

domena definiranja - skup R;

skup vrijednosti - skup R;

funkcija y=x 2n-1čudno jer (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Graf funkcije y=x2n-1 ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x3.

3.Pokazatelj p=-2n, Gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x -2n =1/x 2n ima sljedeća svojstva:

skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;

funkcija y =1/x 2nčak, jer 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

funkcija raste na intervalu x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Graf funkcije y =1/x 2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y =1/x 2 .

4. Indikator p=-(2n-1), Gdje n- prirodni broj. U ovom slučaju, funkcija snage y=x -(2n-1) ima sljedeća svojstva:

domena definicije - skup R, osim x=0;

skup vrijednosti - skup R, osim y=0;

funkcija y=x -(2n-1)čudno jer (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

funkcija je opadajuća na intervalima x<0 I x>0.

Graf funkcije y=x -(2n-1) ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=1/x 3 .

1. Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.

Obrnuto trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafove.Inverzne trigonometrijske funkcije (kružne funkcije, lučne funkcije) - matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

1. arcsin funkcija

Graf funkcije .

Arksinus brojevima m ova vrijednost kuta se zove x, za koji

Funkcija je kontinuirana i ograničena duž cijele brojevne crte. Funkcija je u strogom porastu.

1. [Uredi]Svojstva funkcije arcsin

1. [Uredi]Dohvaćanje funkcije arcsin

S obzirom na funkciju Throughout its whole domena definicije slučajno je po komadu monoton, i, prema tome, inverzna korespondencija nije funkcija. Stoga ćemo razmotriti segment na kojem ona striktno raste i poprima sve vrijednosti raspon vrijednosti- . Budući da za funkciju na intervalu svaka vrijednost argumenta odgovara jednoj vrijednosti funkcije, tada na tom intervalu postoji inverzna funkcija čiji je graf simetričan grafu funkcije na odsječku u odnosu na ravnu liniju