Prezentacijska tablica derivacija osnovnih elementarnih funkcija. Derivacije nekih elementarnih funkcija. III. Učvršćivanje stečenog znanja

DERIVACIJA

Općinska obrazovna ustanova Srednesantimirska srednja škola

Ispunio profesor matematike

Singatulova G.Sh.


  • Definicija derivata.
  • Fizičko značenje derivata.
  • .
  • Osnovna pravila razlikovanja.
  • Izvedenica složena funkcija.
  • Primjeri rješavanja zadataka na temu izvodnica.

Definicija derivata

Neka je funkcija y= definirana na nekom intervalu (a, b) f(x). Uzmite bilo koju točku x 0 iz tog intervala i dajte argumentu x u točki x 0 proizvoljni prirast ∆ x tako da točka x 0 + ∆ x pripada tom intervalu. Funkcija će se povećati

Izvedenica funkcije y= f(x) u točki x =x 0 naziva se granica omjera prirasta funkcije ∆y u ovoj točki prema prirastu argumenta ∆x, kada priraštaj argumenta teži nuli.

Geometrijsko značenje izvedenica

Neka funkcija y= f(x) definiran je na nekom intervalu (a, b). Zatim tangens kuta nagiba sekante MR na graf funkcije.

Gdje je  kut nagiba funkcije tangente f(x) u točki (x 0 , f(x 0)).

Kut između krivulja može se definirati kao kut između tangenti povučenih na te krivulje u bilo kojoj točki.

Jednadžba tangente na krivulju:

Fizičko značenje izvedenice 1. Problem određivanja brzine gibanja materijalne čestice

Neka se točka giba po određenom pravcu po zakonu s= s(t), gdje je s prijeđeni put, t vrijeme, a potrebno je pronaći brzinu točke u trenutku t 0 .

Do trenutka t 0 prijeđeni put jednak je s 0 = s(t 0), a do trenutka (t 0 + ∆t) - put s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t ).

Tada će u intervalu ∆t prosječna brzina biti

Što je ∆t manji, prosječna brzina bolje karakterizira kretanje točke u trenutku t 0. Stoga, pod brzina točke u trenutku t 0 treba shvatiti kao granicu prosječne brzine za razdoblje od t 0 do t 0 +∆t, kada je ∆t⇾0, tj.

2. PROBLEM OKO BRZINE KEM REAKCIJE

Neka neka tvar uđe u kemijsku reakciju. Količina te tvari Q mijenja se tijekom reakcije ovisno o vremenu t i funkcija je vremena. Neka se količina tvari promijeni za ∆Q tijekom vremena ∆t, tada će omjer izražavati prosječnu brzinu kemijska reakcija za vrijeme ∆t, i granica ovog omjera

Trenutna brzina kemijske reakcije

vrijeme t.

3. ZADATAK ODREĐIVANJE BRZINE RADIOAKTIVNOG RASPADA

Ako je m masa radioaktivne tvari, a t vrijeme, tada se pojava radioaktivnog raspada u vremenu t, pod uvjetom da se masa radioaktivne tvari smanjuje tijekom vremena, karakterizira funkcijom m = m(t).

Prosječna stopa raspadanja tijekom vremena ∆t izražena je omjerom

i trenutna brzina raspadanja u trenutku t

ALGORITAM za izračunavanje derivacije

Derivacija funkcije y= f(x) može se pronaći pomoću sljedeće sheme:

1. Dajmo argumentu x inkrement ∆x≠0 i pronađimo inkrementiranu vrijednost funkcije y+∆y= f(x+∆x).

2. Nađite priraštaj funkcije ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Stvorite odnos

4. Nađite granicu ovog omjera na ∆x⇾0, tj.

(ako ovo ograničenje postoji).

Osnovna pravila razlikovanja

Neka u=u(x) I v=v(x) – diferencijabilne funkcije u točki x.

1) (u v) = u v

2) (uv) = u v +uv

(cu) = cu

3) , Ako v 0

Derivacija složene funkcije

Teorema. Ako je funkcija diferencijabilna u točki x, a funkcija

je diferencijabilna u odgovarajućoj točki, tada je kompleksna funkcija diferencijabilna u točki x i:

oni. derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na x.

Zadatak 1.

Problem 2 .

Problem 3 .

Problem 4 .

Problem 5 .

Problem 6 .

Problem 7 .

Problem 8 .

Slični dokumenti

    Pojam, limit i kontinuitet funkcije dviju varijabli. Parcijalne derivacije prvog reda, nalaz puni diferencijal. Parcijalne derivacije viših redova i ekstrem funkcije više varijabli. Nužni uvjeti za postojanje ekstrema.

    test, dodan 02.02.2014

    Kutovi i njihovo mjerenje. Podudarnost kutova i nizova brojeva. Geometrijsko značenje trigonometrijske funkcije. Svojstva trigonometrijskih funkcija. Osnovni trigonometrijski identitet i posljedice iz njega. Univerzalna trigonometrijska supstitucija.

    tutorijal, dodan 18.04.2012

    Suština pojma "derivativa". Akceleracija kao druga derivacija funkcije koja opisuje gibanje tijela. Rješavanje problema definicije trenutna brzina kretanje točke u trenutku vremena. Derivat u reakcijama, njegova uloga i mjesto. Opći obrazac formule.

    prezentacija, dodano 22.12.2013

    Kutovi i njihovo mjerenje, trigonometrijske funkcije oštar kut. Svojstva i predznaci trigonometrijskih funkcija. Parne i neparne funkcije. Inverzne trigonometrijske funkcije. Najjednostavnije rješenje trigonometrijske jednadžbe a nejednakosti pomoću formula.

    tutorijal, dodan 30.12.2009

    Izvođenje interpolacije pomoću Newtonovog polinoma. Pročišćavanje vrijednosti korijena na zadanom intervalu u tri iteracije i pronalaženje pogreške izračuna. Primjena Newtonove, Sampsonove i Eulerove metode u rješavanju problema. Izračunavanje derivacije funkcije.

    test, dodan 02.06.2011

    Pojam derivacije, njeno geometrijsko i fizičko značenje, diferencijal. Proučavanje funkcija i crtanje grafova. Rastavljanje na faktore, pojednostavljenje izraza. Rješavanje nejednadžbi, sustava jednadžbi i dokazivanje identiteta. Izračunavanje granica funkcija.

    test, dodan 16.11.2010

    Definicija derivacije funkcije, geometrijsko značenje njezina prirasta. Geometrijsko značenje zadanog odnosa. Fizikalno značenje derivacije funkcije u danoj točki. Broj kojem teži određeni omjer. Analiza primjera izračuna izvedenica.

    prezentacija, dodano 18.12.2014

    Pregled tablice derivacija elementarnih funkcija. Pojam srednjeg argumenta. Pravila diferenciranja složenih funkcija. Metoda prikazivanja putanje točke u obliku promjena u njezinim projekcijama duž osi. Diferenciranje parametarski specificirane funkcije.

    test, dodan 11.08.2009

    Povijesni pregled nastanka trigonometrije kao znanosti od antike do danas. Uvođenje pojma trigonometrijskih funkcija u nastavu algebre i počeci analize po udžbenicima A.G. Mordkovich, M.I. Bashmakova. Rješenja linearnih diferencijalnih jednadžbi.

    diplomski rad, dodan 02.07.2011

    Povijesni pregled nastanka trigonometrije kao znanosti. Razni načini uvođenja pojma trigonometrijskih funkcija. Analiza školskih udžbenika M.I. Bashmakov i A.G. Mordkovich na ovu temu. Perspektive korištenja materijala za nastavu.

Ciljevi lekcije:

  • Obrazovni: upoznati studente s formulama za pronalaženje derivacija elementarnih funkcija; naučiti pronaći derivacije elementarnih funkcija.
  • Obrazovni: razvijati komunikaciju, spoznaju, sposobnost prihvaćanja neovisna odluka, Samo kontrola.
  • Obrazovni: stvaranje uvjeta za situaciju uspjeha, kao rezultat održavanja interesa za predmet, obrazovati kognitivnu aktivnost, komunikacijske vještine, mobilnost, komunikacijske vještine, opća kultura.

Oprema: računala, interaktivna ploča.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak

"Sve je postalo ravnomjerno, svi su spremni za lekciju." Bok dečki. Sjednite.

II. Obnavljanje znanja

Prezentacija “Derivacija nekih elementarnih funkcija”(Prilog 1)

Slajd 1 na ekranu

- Pogledajte dečki sa slajda. Što vidite ovdje?

– Funkcije.

– potencijska, trigonometrijska, logaritamska i eksponencijalna (nazivi funkcija se pojavljuju kada se klikne)

– Kako se te funkcije mogu nazvati jednom riječju?

– elementarni.

- Dobro. Koju granu algebre sada proučavamo? (slajd 2)

– « Derivat i njegova primjena."

– Što već možemo?

– Pronađite izvedenicu funkcija snage, koristiti pravila diferencijacije, pronaći trenutnu brzinu.

– Pogledaj slajd i odredi što još ne znamo? (slajd 3)

– Ne znamo kako pronaći izvode drugih elementarnih funkcija.

– Dakle, koja će biti tema naše lekcije?

– Derivacije nekih elementarnih funkcija.

– Odredite sami svrhu lekcije i pokušajte je formulirati..

– Upoznati formule za nalaženje izvodnica nekih elementarnih funkcija i naučiti ih primjenjivati.

– Otvorite svoje bilježnice i zapišite današnji datum i temu lekcije.

– Danas ćete raditi s listićima za samoprovjeru, oni su ispred vas, u svakoj fazi sata, ocjenjujte svoj rad i stavite ocjenu na listić za samoprovjeru ( Dodatak 2).

– Kako bismo uspješno svladali temu sata, izvodit ćemo vježbe ponavljanja. Molim vas da sjednete za svoja računala, otvorite program MyTest, primite test preko mreže i završite ga.

(Program MyTest se može preuzeti s interneta, slobodno se distribuira, praktičan je za korištenje jer možete sami izraditi bilo koji test, po završetku učenik automatski dobiva ocjenu i rezultat svakog učenika dolazi na računalo nastavnika, djeca vide ove rezultate)

Test.

Unesite točan odgovor.

Opcija 1.

  1. Derivacija funkcije s(t) se zove...
  2. Derivacija zbroja jednaka je...
  3. Pronađite izvod funkcije f(x) = 3x 2 - 5x + 6.
  4. Pronađite izvod funkcije f(x) = -x 2 + 3x + 1.
  5. Pronađite izvod funkcije f(x) = (x - 2) 2 x 3.

opcija 2.

  1. Derivacija funkcije s(t) se zove...
  2. Konstantni množitelj se može tolerirati...
  3. Odredi derivaciju funkcije y = 5x 2 + 6x – 7.
  4. Odredi derivaciju funkcije y = x 2 + x + 1.
  5. Odredi derivaciju funkcije y = (x 2 + 2x)(x - 5).

- Dobro. Na temelju rezultata testa možete vidjeti, a mislim da i shvaćate, da zapravo još uvijek imamo posla.

– Dakle, dečki, rekli smo vam da ćemo se danas upoznati s formulama za pronalaženje derivacija nekih elementarnih funkcija. Pred vama su listići sa zadacima ( Dodatak 3), predlažem da proučite ove zadatke i pokušate samostalno odrediti formule za pronalaženje derivacija nekih elementarnih funkcija. Predlažem da rad radite u paru.

– Dakle, ljudi, vidim da ste to već učinili, idemo analizirati i izvući zaključke.

Očekivani odgovor djece:

Odredite derivaciju funkcije y = sin x.

Vježba 1

Pronađite izvod funkcije

Riješenje:
(x) =cosx +6x+6

Zadatak 2

Pronađite izvod funkcije

Riješenje:

Izlaz: (sinx)’ =__________________

– Nakon analize ovog zadatka i njegovog rješenja možemo reći sljedeće: već znamo kako pronaći izvod potencije i vidimo da je izvod od 3x 2 jednak 6x, izvod od 6x je jednak 6, derivacija konstante je 0, što znači da možemo zaključiti da derivacija odsinx je jednakocosx. Na sličan način možemo izvući ovaj zaključak analizirajući 2. zadatak.

Dečki analiziraju pomoću interaktivne ploče i ističu potrebne informacije na slajdu. Tijekom procesa odgovaranja, nastavnik vrši prilagodbe ako je potrebno. Sličan rad za svaki zadatak. (Slajdovi 5–12).

- Bravo dečki. Sami ste definirali formule za pronalaženje izvodnica nekih elementarnih funkcija. Zapišite sve ove formule u svoje radne bilježnice, pokušajte ih zapamtiti, a ako ne uspije, pogledajte slajd (slajd 13).

III. Učvršćivanje stečenog znanja

– Dakle, već znamo formule za pronalaženje derivacija nekih elementarnih funkcija, naučimo ih primjenjivati ​​pri izvođenju vježbi. I predlažem da to učinite uz pomoć COR testova, sami. Put do testa je na ploči.

Tema: “15. Pravila za izračun izvedenica."

Učenici rješavaju zadatak slijedećim putem: Pravila za izračunavanje derivacije/Kontrola/Zadatak 6, Zadatak 7.

Kao rezultat izvršenja zadatka učenici automatski dobivaju ocjenu, mogu se vratiti na one zadatke koje su pogrešno riješili, otkriti u čemu je pogreška i ispraviti je.

IV. Odraz

– Stavite konačnu ocjenu na svoj list za samoocjenjivanje.

– Jeste li imali problema s rješavanjem vježbi?

– Da. Kako pronaći derivaciju funkcijey =tgx? Danas nismo učili ovu formulu, ali je bio primjer u zadatku.

- Dobro. Oh, što je? tgx?

– Ovo je stavsinx tocosx.

– Formula za pronalaženje izvoda sinx znamo li (Da). Izvedenica cosx? Dakle, kod kuće sami izvedite formulu za pronalaženje izvoda funkcije y =tgx.

V. Sažetak lekcije

Ocjenjivanje rada u nastavi. Usporedite sa samopoštovanjem.

VI. Domaća zadaća

§ 5, br. 53, 54, ind. vježbanje.

I ljudi, imamo još jedno pitanje. Sjećate se, postavili ste mi pitanje: Zašto proučavamo ovu temu? Svima je bilo jasno da su zadaci u kojima se koristi izvedenica u testovima Jedinstvenog državnog ispita, a gdje se još koristi izvedenica? I predložio sam vam da sami pronađete odgovor na ovo pitanje. Jeste li spremni odgovoriti danas? Poslušajte govore učenika.

Samoanaliza lekcije

Razred u kojem se izvodila lekcija je 11. razred. Razina znanja učenika je prosječna. Samo za jednu studenticu, Natalju Orehovu, može se reći da je "jaka"; djevojka će upisati Ruski ekonomski institut, Fakultet za financije i kredit; ostale su osrednje u učenju.

Tip lekcije – učenje novog materijala. Tijekom nastave koristio sam različite oblike i metode, tehnologije aktivnog pristupa. Motivacija se gradila tijekom cijele lekcije. Prilikom obnavljanja znanja, uz pomoć onoga što već znamo i onoga što još ne znamo, dečki su sami odredili temu sata i svatko od njih je za sebe odredio svrhu sata. Za pregled i provjeru domaće zadaće koristila sam program MyTest. Testove je izradila sama, a u zadatke je bilo potrebno unijeti točan odgovor.

Pri proučavanju novog gradiva dečki su radili u parovima, te su analizom i sintezom utvrđene formule za pronalaženje izvodnica nekih elementarnih funkcija.

U fazi konsolidacije koristio sam COR, test višestrukog izbora. Vjerujem da je u početnoj fazi proučavanja ove teme preporučljivo koristiti testove s izborom odgovora; u budućnosti ćemo naučiti primijeniti formule za druge zadatke.

Provedena je refleksija, u radu sam koristila listiće za samoprovjeru, davale su se ocjene i komentirale nastavu. Domaća zadaća, davali su se diferencirano, a neki su učenici dobili individualne zadatke.

Pokušavamo odrediti svrhu proučavanja ove teme u životu.


Pravila diferenciranja TEOREM 1. Diferenciranje zbroja, umnoška i kvocijenta. Ako su funkcije f i g diferencijabilne u točki x, tada su f + g, f g, f /g diferencijabilne u toj točki (ako je g(x) 0) i neka je y = f g. 1) (f(x) + g(x))" = f "(x) + g "(x); 2) (f(x) g(x))" = f "(x)g(x) + f(x)g "(x); Dokaz. Dajmo dokaz svojstva 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g = g (x + x) – g(x) g(x + x)= g(x)+ g. g "(x) f "(x) 0 na x 0 (Zbog nekontinuirane diferencijalne funkcije.)


TEOREM 2. Diferenciranje kompleksne funkcije Neka je funkcija y = f(u) diferencijabilna u točki u 0, y 0 = f(u 0), a funkcija u = (x) diferencijabilna u točki x 0, u 0 = (x 0). Tada je kompleksna funkcija y = f ((x)) diferencijabilna u točki x 0 i f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) ili NAPOMENA: Pravilo za izračunavanje izvodnice složene funkcije primjenjuje se na sastav bilo kojeg konačnog broja funkcija. Na primjer: (f ((g(x))))" = f "((g(x))) "(g(x)) g" (x). Korolar. Ako je f (x) diferencijabilan u točki x i C = const, tada (C f(x))" = C f "(x); (f(x)/C)" = f " (x)/C.


Primjer 1. y = cosx, x R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Pomoću teorema 1 i 2 nalazimo derivacije trigonometrijskih funkcija y = ctgx, x + k, k Z.


TEOREM 3. Diferenciranje inverzne funkcije. Ako je y = f(x) kontinuiran i strogo monoton na intervalu i ima derivaciju f"(x 0), tada je njegova inverzna funkcija x = g(y) diferencijabilna u točki y 0 = f(x 0), i g "( y 0) = 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y y = f(x) x = g(y) Neka je y takav da je y 0 + y (,). Označimo x = g(y 0 + y) – g(y 0). Trebamo dokazati da 0 postoji. Dokaz. Neka f(x) striktno raste za . Neka = f(x 0 -), = f( x 0 +). Tada je na [, ] definirana inverzna funkcija x = g(y), kontinuirana i strogo rastuća, te f(x 0) (,). Ako je y 0, onda je x 0, zbog stroge monotonost funkcije. Dakle, imamo pravo napisati identitet Ako je y, onda x, jer je x = g(y) kontinuiran u točki y 0.


Primjer 2. Odredite derivacije inverznih trigonometrijskih funkcija


0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Tablica izvoda elementarnih funkcija 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2" class="link_thumb"> 8 !} Tablica derivacija elementarnih funkcija 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 4).5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π/2 + πn, n; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12)"> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title=" Tablica izvoda elementarnih funkcija 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Tablica derivacija elementarnih funkcija 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}




Derivacija n-tog reda DEFINICIJA. Neka je f(x) definiran u U (x 0) i neka ima derivaciju f (x) u svakoj točki u ovom intervalu. Ako u točki x 0 postoji derivacija funkcije f (x), tada se ona naziva drugom derivacijom funkcije f (x) u toj točki i označava. Derivacija f (n) (x) bilo kojeg reda n = 1, 2, ... Ako u U (x 0) postoji f (n-1) (x) (u ovom slučaju derivacija nultog reda znači samu funkciju), tada je n = 1, 2, 3 , …. Funkcija koja ima derivacije do uključivo n-tog reda u svakoj točki skupa X naziva se n puta diferencijabilnom na skupu X.


Neka funkcije f(x) i g(x) imaju derivacije n-tog reda u točki x. Tada funkcija AF(x) + Vg(x), gdje su A i V konstante, također ima derivaciju u točki x i (Af(x) + Vg(x)) (n) = AF (n) ( x) + Vg (n)(x). Pri izračunavanju izvedenica bilo kojeg reda često se koriste sljedeće osnovne formule. y = x; y (n) = (-1)... (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... Konkretno, ako je = m N, tada je y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... Konkretno (e x) (n) = e x. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …


Y = ln(x+a); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+a) –n. y = (x +a) –1, y = – (x +a) –2, y = 2(x +a) –3, y (4) = – 2 3(x +a) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· / 2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2 · /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...


N-ta derivacija umnoška dviju funkcija (Leibnizova formula) gdje se ova formula naziva Leibnizova formula. Može se napisati u obliku gdje Neka funkcije f(x) i g(x) imaju derivacije n-tog reda u točki x. Indukcijom možemo dokazati da je (f(x) g(x)) (n) = ?
Primjer 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Primijenimo Leibnizovu formulu, stavljajući u nju f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Zatim