Ovaj video vodič je kreiran posebno za samostalno istraživanje tema "Okrug". Učenici će moći naučiti geometrijska definicija krugovima. Učitelj će detaljno analizirati rješenje nekoliko tipičnih zadataka za građenje kruga.
Krug je geometrijski lik koji se sastoji od skupa točaka koje su jednako udaljene od zadanu točku.
Slika 1 prikazuje krug.
Riža. 1. Krug
Skraćena oznaka za danu kružnicu je Okr (O, r), koja glasi: "Kružnica sa središtem u točki O i polumjerom r." Točka od koje su sve ostale točke jednako udaljene naziva se centar krugovima. Odsječak koji povezuje središte i točku na kružnici naziva se radius. Ako spojite dvije točke na kružnici, možete nacrtati segment koji se zove akord. Tetiva koja prolazi središtem kružnice naziva se promjer.
Dakle, postoje sljedeće oznake:
O - središte kruga;
OM = r - polumjer kružnice;
OM = ON = r - polumjeri kružnice;
MN - akord;
AM - promjer;
AM = 2r - odnos polumjera i promjera.
Bilo koje dvije točke sijeku kružnicu u dva luka, na primjer: lukovi NLM i NAM za zadane točke N i M.
Primjer 1: Slika 2 prikazuje krug. Odredite središte, polumjer, tetive, promjer i moguće lukove.
Odluka:
Riža. 2. Crtež na primjer 1
Definirajmo glavne elemente ovog kruga:
O - središte kruga;
OE = OD = OA = OC - radijusi kružnice;
EF, BA - akordi;
DC - promjer.
Za sada se prisjetimo definicije kruga. Krug je dio ravnine omeđen kružnicom. Sasvim je jasno da je razlika između kružnice i kružnice sljedeća: kružnica je pravac, a kružnica je dio ravnine koju ta linija ograničava. Na primjer, slika 3 prikazuje krug.
Riža. 3. Krug
Primjer 2: Na slici je prikazana kružnica promjera AB i CD. Dokažite da su tetivi AC i BD jednaki. Dokažite da su tetivi BC i AD jednaki. Dokažite da su kutovi BAD i BCD jednaki.
Riža. 4. Crtež na primjer 2
Odluka:
Prvo, otkrijmo da je CO \u003d OD \u003d OB \u003d OA, budući da su naznačeni segmenti polumjeri iste kružnice. Ove ćemo tvrdnje dokazati lancima trokuta. Na primjer, prema prvoj osobini, budući da je OB = OA kao radijusi, CO = OD slično, 
kao okomito. Iz jednakosti trokuta slijedi da je AC \u003d BD.
Zatim dokazujemo da je slično u prvom kriteriju. OD = OA, CO = OB kao polumjeri, i 
kao okomito. Iz jednakosti trokuta slijedi da je AD = BC.
Dalje ćemo to dokazati 
na trećem znaku. BD je zajednička stranica trokuta, AD = CB prema dokazanoj tvrdnji iz stavka 2, AB = CD kao promjeri kružnice. Iz jednakosti trokuta slijedi da 
.
Q.E.D.
Primjer 3: segment MK je promjer kružnice, a PM i RK su jednaki akordi. Pronađite kut ROM.
Riža. 5. Crtež na primjer 3
Odluka:
Po definiciji, jednakokračan, budući da je RK = RM. Budući da su OK - OM polumjeri kružnica, onda je RO medijan povučen prema bazi. Prema svojstvu jednakokračnog trokuta, medijan povučen bazi je visina, respektivno.
- Referentni portal calc.ru ().
- br. 99. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrija 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolova, ur. Sadovnichy V.A. - M.: Obrazovanje, 2010.
- Iz točke ove kružnice povučene su dvije tetive jednake polumjeru. Pronađite kut između njih.
- Dokažite da bilo koja zraka koja izlazi iz središta kružnice siječe kružnicu u jednoj točki.
- Dokažite da je promjer kružnice koja prolazi središtem tetive okomit na nju.
Zove se rečenica koja objašnjava značenje određenog izraza ili imena definicija. Već smo se susreli s definicijama, na primjer, s definicijom kuta, susjednih kutova, jednakokračnog trokuta itd. Dajmo definiciju drugog geometrijskog lika - kružnice.
Definicija
Ova točka se zove središte kruga, a segment koji povezuje središte s bilo kojom točkom kružnice je polumjer kruga(Sl. 77). Iz definicije kružnice proizlazi da su svi polumjeri jednake duljine.
Riža. 77
Odsječak koji spaja dvije točke na kružnici naziva se njegova tetiva. Tetiva koja prolazi središtem kružnice naziva se njezina promjer.
Na slici 78, segmenti AB i EF su tetive kružnice, segment CD je promjer kružnice. Očito, promjer kružnice je dvostruko veći od polumjera. Središte kružnice je središte bilo kojeg promjera.
Riža. 78
Bilo koje dvije točke na kružnici dijele ga na dva dijela. Svaki od ovih dijelova naziva se luk kružnice. Na slici 79, ALB i AMB su lukovi omeđeni točkama A i B.
Riža. 79
Za prikaz kruga na crtežu koristite kompas(Sl. 80).
Riža. 80
Za crtanje kruga na tlu možete koristiti uže (slika 81).
Riža. 81
Dio ravnine omeđen kružnicom naziva se kružnica (slika 82).
Riža. 82
Konstrukcije s šestarom i ravnalom
Već smo se pozabavili geometrijske konstrukcije: nacrtati ravne linije, odvojiti segmente jednake podacima, nacrtati kutove, trokute i druge figure. Istodobno smo koristili ravnalo, šestar, kutomjer, kvadrat za crtanje.
Pokazalo se da se mnoge konstrukcije mogu izvesti samo pomoću šestara i ravnala bez podjela mjerila. Stoga se u geometriji posebno izdvajaju oni zadaci konstrukcije koji se rješavaju samo pomoću ova dva alata.
Što se može učiniti s njima? Jasno je da ravnalo omogućuje crtanje proizvoljnog pravca, kao i konstruiranje pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Koristeći šestar, možete nacrtati krug proizvoljnog polumjera, kao i krug sa središtem u danoj točki i polumjerom jednakim danom segmentu. Izvođenjem ovih jednostavnih operacija možemo riješiti mnoge zanimljive građevinske probleme:
konstruirati kut jednak zadanom;
kroz zadanu točku povući pravac okomit na zadanu liniju;
podijeliti ovaj segment na pola i ostale zadatke.
Počnimo s jednostavnim zadatkom.
Zadatak
Na zadanoj zraki od njenog početka odvojite segment jednak zadanom.
Odluka
Oslikajmo figure dane u uvjetu zadatka: zraka OS i segment AB (slika 83, a). Zatim šestarom konstruiramo kružnicu polumjera AB sa središtem O (slika 83, b). Ta će kružnica presjeći zraku OS u nekoj točki D. Odsječak OD je traženi.
Riža. 83
Primjeri građevinskih zadataka
Konstruiranje kuta jednakog zadanom
Zadatak
Od zadane zrake odvojimo kut jednak zadanom.
Odluka
Taj kut s vrhom A i zrakom OM prikazani su na slici 84. Potrebno je konstruirati kut jednak kutu A, tako da mu se jedna strana podudara sa zrakom OM.
Riža. 84
Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog polumjera sa središtem u vrhu A zadanog kuta. Ova kružnica siječe stranice kuta u točkama B i C (slika 85, a). Zatim nacrtamo kružnicu istog polumjera sa središtem na početku zadane zrake OM. Presijeca gredu u točki D (slika 85, b). Nakon toga konstruiramo kružnicu sa središtem D, čiji je polumjer jednak BC. Kružnice sa središtima O i D sijeku se u dvije točke. Označimo jednu od tih točaka slovom E. Dokažimo da je kut MOE traženi.
Riža. 85
Razmotrimo trokute ABC i ODE. Segmenti AB i AC polumjeri su kružnice sa središtem A, a segmenti OD i OE su polumjeri kružnice sa središtem O (vidi sliku 85, b). Budući da po konstrukciji ovi krugovi imaju jednaki polumjeri, tada je AB = OD, AC = OE. Također, po konstrukciji, BC = DE.
Prema tome, Δ ABC = Δ ODE na tri strane. Dakle, ∠DOE = ∠BAC, tj. konstruirani kut MOE jednak je zadanom kutu A.
Istu konstrukciju možemo izvesti i na tlu, ako umjesto šestara koristimo uže.
Konstruiranje simetrale kuta
Zadatak
Konstruiraj simetralu zadanog kuta.
Odluka
Taj kut BAC prikazan je na slici 86. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog polumjera sa središtem u vrhu A. Presijecat će stranice kuta u točkama B i C.
Riža. 86
Zatim nacrtamo dvije kružnice istog polumjera BC sa središtima u točkama B i C (na slici su prikazani samo dijelovi tih kružnica). Oni se sijeku u dvije točke, od kojih barem jedna leži unutar kuta. Označavamo ga slovom E. Dokažimo da je zraka AE simetrala zadanog kuta BAC.
Razmotrimo trokute ACE i ABE. Jednaki su s tri strane. Doista, AE je zajednička strana; AC i AB jednaki su polumjerima iste kružnice; CE = BE po konstrukciji.
Iz jednakosti trokuta ACE i ABE slijedi da je ∠CAE = ∠BAE, tj. zraka AE je simetrala zadanog kuta BAC.
Komentar
Može li se dati kut podijeliti na dva jednaka kuta koristeći šestar i ravnalicu? Jasno je da je to moguće - za to morate nacrtati simetralu ovog kuta.
Ovaj kut se također može podijeliti na četiri jednaka kuta. Da biste to učinili, morate ga podijeliti na pola, a zatim svaku polovicu ponovno podijeliti na pola.
Je li moguće dati kut podijeliti na tri jednaka kuta koristeći šestar i ravnalicu? Ovaj zadatak, tzv problemi s trisekcijom kuta, privlači pažnju matematičara već dugi niz stoljeća. Tek u 19. stoljeću dokazano je da je takva konstrukcija nemoguća za proizvoljan kut.
Konstrukcija okomitih linija
Zadatak
Zadana pravac i točka na njoj. Konstruiraj pravac koji prolazi kroz zadanu točku i okomit na zadani pravac.
Odluka
Ovaj redak a i zadanu točku M koji pripada ovoj liniji prikazan je na slici 87.
Riža. 87
Na zrakama ravne a, koja izlazi iz točke M, odvajamo jednake segmente MA i MB. Zatim konstruiramo dvije kružnice sa središtima A i B polumjera AB. Oni se sijeku u dvije točke: P i Q.
Povučemo pravac kroz točku M i jednu od tih točaka, na primjer, pravac MP (vidi sliku 87), i dokažimo da je ta pravaca željena, odnosno da je okomita na zadani pravac a .
Doista, budući da je medijan PM jednakokračnog trokuta PAB također visina, onda je PM ⊥ a.
Konstrukcija sredine segmenta
Zadatak
Konstruirajte sredinu ovog segmenta.
Odluka
Neka je AB zadani segment. Konstruiramo dvije kružnice sa središtima A i B polumjera AB. Oni se sijeku u točkama P i Q. Nacrtajte pravac PQ. Točka O sjecišta ovog pravca sa segmentom AB je željena sredina segmenta AB.
Doista, trokuti APQ i BPQ jednaki su po tri strane, pa je ∠1 = ∠2 (slika 89).
Riža. 89
Posljedično, odsječak RO je simetrala jednakokračnog trokuta ARV, a time i medijan, odnosno točka O središte segmenta AB.
Zadaci
143. Koji su od isječaka prikazanih na slici 90: a) tetive kružnice; b) promjere kružnice; c) polumjeri kružnice?
Riža. 90
144. Odsječci AB i CD su promjeri kružnice. Dokazati da su: a) tetivi BD i AC jednaki; b) akordi AD i BC su jednaki; c) ∠BAD = ∠BCD.
145. Odsječak MK je promjer kružnice sa središtem O, a MR i RK su jednake tetive te kružnice. Pronađite ∠POM.
146. Segmenti AB i CD promjeri su kružnice sa središtem O. Nađi opseg trokuta AOD, ako je poznato da je CB = 13 cm, AB = 16 cm.
147. Točke A i B označene su na kružnici sa središtem O tako da je kut AOB pravi. Segment BC je promjer kružnice. Dokažite da su tetivi AB i AC jednaki.
148. Dvije točke A i B dane su na ravnoj crti. Na nastavku grede BA odvojite segment BC tako da je BC \u003d 2AB.
149. Zadani su pravac a, točka B koja ne leži na njemu i odsječak PQ. Konstruiraj točku M na pravcu a tako da je BM = PQ. Ima li problem uvijek rješenje?
150. Zadana je kružnica, točka A koja ne leži na njoj i odsječak PQ. Konstruiraj točku M na kružnici tako da je AM = PQ. Ima li problem uvijek rješenje?
151. Danci oštar kut VI i snop XY. Konstruirajte kut YXZ tako da je ∠YXZ = 2∠BAC.
152. Zadan je tupi kut AOB. Konstruirajte zraku OX tako da kutovi XOA i XOB budu jednaki tupi kutovi.
153. Zadani su pravac a i točka M koja ne leži na njemu. Konstruiraj pravac koji prolazi točkom M i okomit na pravac a.
Odluka
Konstruirajmo kružnicu sa središtem u zadanoj točki M, sijekući zadanu ravnu liniju a u dvije točke, koje označavamo slovima A i B (slika 91.). Zatim konstruiramo dvije kružnice sa središtima A i B koje prolaze točkom M. Te se kružnice sijeku u točki M i u još jednoj točki koju označavamo slovom N. Nacrtajmo pravac MN i dokažemo da je ta prava željena jedan, tj. okomita je na pravu a.
Riža. 91
Doista, trokuti AMN i BMN su jednaki po tri strane, pa je ∠1 = ∠2. Iz toga slijedi da je odsječak MC (C je točka presjeka pravaca a i MN) simetrala jednakokračnog trokuta AMB, a time i visina. Dakle, MN ⊥ AB, tj. MN ⊥ a.
154. Zadan je trokut ABC. Konstruirajte: a) simetralu AK; b) VM medijan; c) visina CH trokuta. 155. Koristeći šestar i ravnalo konstruiraj kut jednak: a) 45°; b) 22°30".
Odgovori na zadatke
152. Uputa. Najprije konstruirajte simetralu kuta AOB.
Test br. 4 na temu "Okrug"
Provjera teorijskog znanja.
Kod ploče: dokazati svojstvo tangente na kružnicu, teorem o upisanom kutu, o segmentima tetiva koje se sijeku, o okomitoj simetrali na segment, o kružnici upisanoj u trokut i opisanoj oko trokuta.
Razred (frontalni razgovor).
Međusobni raspored ravne i kružnice. Definicija tangente na kružnicu i njezino svojstvo. Koliki je središnji kut? Što je upisani kut? Što mu je jednako mjera stupnja? Četiri divne točke trokuta. Koji se krug naziva upisanim? opisano? Koji se mnogokut naziva opisanim? Upisano? Koje osobine imaju stranice četverokuta upisanog u kružnicu? Koje svojstvo imaju uglovi četverokuta upisanog u kružnicu? Formulirajte teorem o segmentima tetiva koje se sijeku.
T-1. Popunite praznine (trenutke) kako biste dobili točnu tvrdnju.
OPCIJA 1.
1. Točka jednako udaljena od svih točaka kružnice naziva se njezinim ....
2. Odsječak koji spaja dvije točke kružnice zove se njegov ....
3. Svi polumjeri kružnice....
4. Na slici je 0(r) kružnica, AB je tangenta na nju; Točka B se zove...
6. Kut između tangente na kružnicu i polumjera povučenog do točke dodira je ....
7. Na slici je AB promjer kružnice, C je točka koja leži na kružnici. Trokut DIA... (vrsta trokuta).
8. Na slici, AB \u003d 2BC, AB je promjer kruga. Kut CAB je....
9. Na slici se tetive AB i CD sijeku u točki M. Kut ACD jednak je kutu ....
10. Na slici O - središte kruga. Luk AmB je 120°. Kut ABC je jednak.
11. Na slici je AK = 24 cm, KB = 9 cm, CK = 12 cm. Tada je KD = ...
12*. Na slici je AB = BC = 13 cm, visina BD = 12 cm Tada je VC = ..., KS = ... .
OPCIJA 2.
1. Geometrijski lik, čije se sve točke nalaze na istoj udaljenosti od određene točke, naziva se ....
2. Tetiva koja prolazi središtem kružnice naziva se ....
3. Svi promjeri kruga....
4. Na slici 0 (d) je kružnica, B je dodirna točka između ravne crte AB i kružnice. Pravac AB naziva se ... kružnicom.
6. Tangenta na kružnicu i polumjer povučen do točke dodira, ....
7. Na slici je AB tangenta, OA je sekansa koja prolazi središtem kružnice. Trokut OVA ... (vrsta trokuta).
8. Na slici OS \u003d CA, AB je tangenta na kružnicu sa središtem O. Kut BAC je ....
9. Tetive AB i CD kružnice sijeku se u točki K. Kut ADC jednak je kutu ....
10. Na slici je O središte kružnice, kut CBA je 40°. Luk CmB jednak je....
11. Na slici AM = 15 cm, MB = 4 cm, MC = 3 cm Tada je DM = ... .
12*. Na slici, AB \u003d BC, BD je visina trokuta ABC, BK \u003d 8 cm, KS \u003d 5 cm. Zatim BD \u003d ..., DC \u003d ....
T-2. Utvrdite jesu li sljedeće tvrdnje točne ili netočne.
OPCIJA 1.
1. Pravac koji ima samo jednu zajedničku točku s kružnicom naziva se tangenta na ovu kružnicu.
2. Tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen do točke dodira.
3. Slika prikazuje krug. Tada je l DAC = l DBC.
4. Svaki pravac koji prolazi središtem tetive kružnice okomit je na nju.
5. Zraka dodiruje kružnicu ako s njom ima samo jednu zajedničku točku.
6. Na slici AB je promjer kružnice, R 1 = 30°. Tada je l 2 = 60°.
7. Slika prikazuje krug. Tada je l DAB = l DOB.
8. Na slici je O središte kružnice. Ako je RVS = 60°, tada je R SVA = 60°.
9. Na slici je promjer AB kruga 10 cm, tetiva AC = 8 cm. Tada je površina trokuta ABC 24 cm2.
10. Dvije tetive kružnice AB i CD sijeku se u točki O tako da je AO = 16 cm, BO = 9 cm, OD = 24 cm. Tada je CO = 6 cm.
jedanaest*. Dodirna točka kružnice upisane u jednakokračni trokut dijeli bočnu stranu na segmente od 5 cm i 8 cm, računajući od baze. Tada je površina trokuta 60 cm2.
OPCIJA 2.
1. Ravna crta, udaljenost do koje je od središta kružnice jednaka polumjeru ove kružnice, tangenta je na nju.
2. Polumjer povučen do točke dodira između pravca i kružnice okomit je na ovaj pravac.
3. Slika prikazuje krug. Tada je l DAC = l DBC.
5. Segment dodiruje kružnicu ako s njim ima samo jednu zajedničku točku.
6. Na slici je AB promjer kružnice. Tada ako je l 2 = 50°, onda je l1 = 40°.
7. Slika prikazuje krug. Tada je R ABC = RAOC.
8. Na slici je O središte kružnice. Tada ako je ÐCAB - 60°, onda je È AC = 60°.
9. Na slici je promjer BD kružnice 13 cm. Tada ako je tetiva BC = 5 cm, tada je površina trokuta CBD 30 cm2.
10. Dvije tetive kružnice AB i CD sijeku se u točki M tako da je MB = 3 cm, MA = 28 cm, CM = 21 cm. Tada je MD = 4 cm.
jedanaest*. Dodirna točka kružnice upisane u jednakokračni trokut dijeli bočnu stranu na segmente 4 cm i 6 cm, računajući od vrha. Tada je površina ovog trokuta 48 cm2.
T-3.U svakom zadatku postavite točan odgovor između ponuđenih.
OPCIJA 1.
1. Na slici je izmjenični luk 84 °. Što jednak je kutu ABC na temelju ovog luka?
A) 84°; B) 42°; B) Ne znam.
2. Na slici je kut MRK 88°. Čemu je jednak luk MK na kojem se temelji kut MRK?
A) 88°; B) 176°; B) Ne znam.
3. Iz točke A, koja se nalazi na udaljenosti od dva polumjera od središta kružnice, povučena je tangenta AB. Što je kut OAB?
A) 60°; B) 30°; B) Ne znam.
4. Iz točke M kružnice povučene su dvije tetive MA i MB. Tetiva MA savija luk jednak 80°, a kut AMB jednak je 70°. Odredi luk oduzet tetivom MB.
A) 210°; B) 140°; B) Ne znam.
5. Na slici je promjer AB kružnice 10 cm, tetiva BC = 6 cm. Nađi površinu trokuta ACB.
A) 30 cm2; B) 24 cm2; B) Ne znam.
6. Iz točke K kružnice sa središtem O povučene su dvije međusobno okomite tetive KM i KD. Udaljenost od točke O do KM tetive je 15 cm, a do KD tetive je 20 cm Kolike su duljine tetive KM i KD7
A) 30 cm i 40 cm; B) 15 cm i 20 cm; B) Ne znam.
7. Dvije tetive AB i CD točkom O njihova presjeka podijeljene su tako da AO = 9 cm, OB = 6 cm, CO = 3 cm. Kolika je duljina segmenta OD7
A) 12 cm; B) 18 cm; B) Ne znam.
8. Iz točke A u kružnicu povučene su tangenta AB i sekansa AC koja prolazi središtem kružnice. Udaljenost od A do kružnice je 4 cm, a promjer kružnice 12 cm Kolika je duljina tangente?
A) 8 cm; B) 6 cm; B) Ne znam.
devet*. Pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem O i polumjerom 5 cm u točki A. Pronađite udaljenost od točke B do kružnice ako je duljina tangente 12 cm.
A) 7 cm; B) 8 cm; B) Ne znam.
OPCIJA 2.
1. Na slici je luk AB 164°. Koliki je kut ACB na temelju ovog luka?
A) 168°; B) 82°; B) Ne znam.
2. Na slici je kut ABC 44°. Koliki je luk AC na kojem se temelji kut ABC?
A) 88°; B) 44°; B) Ne znam.
3. Iz točke M, koja se nalazi na udaljenosti od dva polumjera od središta kružnice, povučena je tangenta MK. Što je kut KOM?
A) 60°; B) 30°; B) Ne znam.
4. Iz točke A kružnice povučene su dvije tetive AM i AB. Tetiva AM savija luk jednak 120°, a kut MAB jednak je 80°. Odredite veličinu luka oduzetog tetivom AB.
A) 80°; B) 120°; B) Ne znam.
5. Na slici je promjer AC kružnice 13 cm, tetiva AB = 12 cm.Nađi površinu trokuta ACB.
A) 78 cm2; B) 30 cm2; B) Ne znam.
6. Iz točke A kružnice sa središtem O povučene su dvije međusobno okomite tetive AB i AC. Udaljenost od točke O do tetive AB je 40 cm, a do tetive AC 25 cm.Kolike su duljine tetiva AB i AC?
A) 25 cm i 40 cm; B) 50 cm i 80 cm; B) Ne znam.
7. Dvije tetive MK i CD podijeljene su točkom P njihova presjeka tako da je MP = 8 cm, PC = 4 cm KP = 16 cm Kolika je duljina odsječka PD.
A) 24 cm; B) 32 cm; B) Ne znam.
8. Iz točke M u kružnicu povučeni su tangenta MA i sekantica MC koja prolazi središtem kružnice O. Udaljenost od M do središta O je 20 cm, polumjer kružnice je 12 cm. duljina tangente?
A) 16 cm; B) 24 cm; B) Ne znam.
devet*. Pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem O i polumjerom 5 cm u točki B. Nađite duljinu tangente ako je udaljenost od točke A do kružnice 8 cm.
A) 13 cm; B) 12 cm; B) Ne znam.
Karte za individualni rad.
Kartica 1.
1. Koliko zajedničkih točaka mogu imati pravac i kružnica? Formulirajte svojstvo i znak tangente.
2. Odsječak BD je visina jednakokračnog trokuta ABC s bazom AC. Na koje dijelove krug sa središtem B i polumjerom BD dijeli bočnu stranu trokuta ako je AB \u003d cm, BD \u003d 5 cm?
3. Na slici je prikazan pravokutni trokut ABC čije stranice dodiruju kružnicu polumjera 1 cm Na koje segmente dodirna točka dijeli hipotenuzu trokuta, jednaku 5 cm?
Kartica 2.
1. Koliki je upisani kut? Navedite teorem o upisanom kutu.
2. Vrhovi trokuta sa stranicama 2 cm, 5 cm i 6 cm leže na kružnici. Dokažite da niti jedna od stranica trokuta nije promjer ove kružnice.
3. Slika prikazuje kružnicu sa središtem O, AB je tangenta, a AC je sekansa ove kružnice. Nađite kutove trokuta ABC ako je ÈBD=62°.
Kartica 3.
1. Formulirajte teorem o segmentima tetiva koje se sijeku.
2. Tetive KL i MN kružnice sijeku se u točki A. Nađi AK i AL ako je AM=2 dm, AN=6 dm, KL=7 dm.
3. Slika prikazuje kružnicu sa središtem O, AC je promjer, a BC je tangenta na ovu kružnicu. Koji su dijelovi segmenta AB podijeljeni točkom D, ako je AC=20 cm, BC=15 cm?
Kartica 4.
1. Formulirajte teorem o kružnici upisanoj u trokut.
2. U zadani pravokutni trokut upiši kružnicu.
3. Osnovica jednakokračnog trokuta je 16 cm, stranica je 17 cm. Pronađite polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.
Kartica 5.
1. Formulirajte tvrdnju o svojstvu opisanog četverokuta. Je li obrnuto točno?
2. Nađi površinu pravokutnog trapeza opisanog oko kružnice ako su stranice tog trapeza 10 cm i 16 cm.
3. Površina četverokuta ABCD opisanog oko kružnice polumjera 5 dm je 90. Nađite stranice CD i AD ovog četverokuta ako je AB=9 dm, BC=10 dm.
Kartica 6.
1. Formulirajte teorem o kružnici opisanoj oko trokuta.
2. Konstruirajte kružnicu opisanu oko zadanog tupokutnog trokuta.
3..jpg" width="115 height=147" height="147">
Križaljka.
vodoravno: 1. Pravac koji ima dvije zajedničke točke s kružnicom. 2. Preslikavanje ravnine na samu sebe. 3. Dvostruki radijus.
okomito: 4. Jedinica kuta ili 1/60 minute. 5. Dio kružnice omeđen s dva polumjera i lukom kružnice. 6. Segment koji povezuje središte kružnice s bilo kojom točkom na kružnici. 7. Definicija kružne točke.
Napomena: u izradi su korišteni materijali iz novina "Matematika".
"Računalni crtež" - Računalna grafika. Otvor. ovdje je umjetnikovo oružje. Zadaci: Rezultat lekcije križaljke "Mlin". Graviranje. Glavno izražajno sredstvo crtanja je linija. Studirao je u Moskovskoj slikarskoj školi, zatim u Stroganovskoj školi. Olovka. Ilustracija za knjigu. Integrirana lekcija: umjetnost+ informatika.
"Spremanje crteža" - Koju naredbu odabrati? Predlaže se da se sve vaše datoteke pohrane u posebnu mapu "Moji dokumenti". Pomicanje mišem, kopiranje (CTRL), brisanje (DELETE). Praktični rad"Spremi crtež na tvrdi disk." Za pohranu informacija na računalu koristi se dugotrajna memorija - tvrdi disk.
"Uređivanje slika" - 1. Odaberite željeni odabir područja proizvoljnog područja 2. Kopirajte. Crtanje kruga, kvadrata, ravne linije. Slika clear Odaberite područje za brisanje Izbriši. Krug Kvadrat Ravna linija. Kopirati. Postavite opcije crtanja. Izrada i uređivanje crteža. Izrada crteža.
"3d crteži na asfaltu" - Filip Kozlov - prvi ruski madonari. Kao mladić, Kurt Wenner radio je kao ilustrator za NASA-u, gdje je stvarao početne slike budućnosti svemirski brodovi. 3d crteži na asfaltu. Kurt Wenner jedan je od najpoznatijih uličnih umjetnika koji obične bojice crta 3D crteže na asfaltu.
"Ray line segment" - Točka O - početak zraka. Točke C i D su krajevi segmenta SD. S. točka. Ravna linija, segment, greda. Točka, segment. Ravno. Brojevi - koordinate točaka: Greda PM. Koordinirati. Imenujte segmente, crte i zrake prikazane na slici. Segment OE - pojedinačni segment, OE=1. Greda FR.
"Okrug" - Promjer. Pronađite opseg ovog diska. Pronađite područje brojčanika. Opseg. Koliki je promjer mjeseca. Broj "pi" naziva se Arhimedov broj. Pronađite promjer kotača. Pronađite promjer i površinu arene. Pronađite promjer kotača lokomotive. Moskva. Veliki starogrčki matematičar Arhimed.
