Upisane i opisane kružnice
Za krug se kaže da je upisan u trokut ako dodiruje sve njegove strane.
Za krug se kaže da je opisan u blizini trokuta ako prolazi kroz sve njegove vrhove.
Teorem 1. Središte kružnice upisane u trokut sjecište je njegovih simetrala.
Teorem 2
2.Teoremi (svojstva paralelograma):
U paralelogramu su suprotne strane jednake, a suprotni kutovi jednaki: , , , .
Dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola: , .
Kutovi uz bilo koju stranu jednaki su u zbroju.
Dijagonale paralelograma dijele ga na dva jednaka trokuta.
Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica: .
Značajke paralelograma:
Ako su suprotne strane četverokuta po paru paralelne, onda je četverokut paralelogram.
· Ako su u četverokutu suprotne strane u paru jednake, onda je ovaj četverokut paralelogram.
Ako su dvije suprotne strane četverokuta jednake i paralelne, onda je četverokut paralelogram.
Ako se u četverokutu dijagonale sijeku, točka presjeka je podijeljena na pola, tada je ovaj četverokut paralelogram.
Posredišta stranica proizvoljnog (uključujući nekonveksni ili prostorni) četverokuta su vrhovi Paralelogram Varignona.
· Stranice ovog paralelograma su paralelne s odgovarajućim dijagonalama četverokuta. Opseg Varignonovog paralelograma jednak je zbroju duljine dijagonala izvornog četverokuta, a površina Varignonovog paralelograma jednaka je polovici površine izvornog četverokuta
3. TrapezČetverokut kojemu su dvije stranice paralelne i dvije stranice nisu paralelne. Paralelne stranice nazivaju se osnovice trapeza, druga dva strane.
Visina trapeza- udaljenost između pravaca na kojima leže osnovice trapeza, svaka zajednička okomica ovih pravaca.
Srednja linija trapeza- segment koji povezuje sredine stranica.
Svojstvo trapeza:
Ako je kružnica upisana u trapez, tada je zbroj baza jednak zbroju stranica: , a srednja crta je polovica zbroja stranica:.
Jednakokraki trapez- trapez čije su stranice jednake. Tada su dijagonale i kutovi na bazi jednaki, .
Od svih trapeza, samo oko jednakokračnog trapeza može se opisati kružnica, budući da se kružnica može opisati oko četverokuta samo ako je zbroj suprotnih kutova .
U jednakokračnom trapezu, udaljenost od vrha jedne baze do projekcije suprotnog vrha na pravac koji sadrži ovu bazu jednaka je središnjoj liniji.
Pravokutni trapez- trapez, u kojem je jedan od kutova na bazi jednak .
Ako se dvije tetive kružnice sijeku, tada je umnožak segmenata jedne tetive jednak umnošku segmenata druge tetive.
Dokaz. Neka je E sjecište tetiva AB i CD (slika 110). Dokažimo da je AE * BE = CE * DE.
Razmotrimo trokute ADE i CBE. Njihovi kutovi A i C jednaki su jer su upisani i naslanjaju se na isti luk BD. Iz sličnog razloga, ∠D = ∠B. Stoga su trokuti ADE i CBE slični (prema drugom kriteriju sličnosti trokuta). Dakle DE/BE = AE/CE, ili
AE * BE = CE * DE.
Teorem je dokazan.
5. Pravokutnik može biti paralelogram, kvadrat ili romb.
1. Suprotne strane pravokutnika imaju istu duljinu, odnosno jednake su:
AB=CD, BC=AD
2. Suprotne strane pravokutnika su paralelne:
3. Susjedne stranice pravokutnika uvijek su okomite:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Sva četiri ugla pravokutnika su ravna:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Zbroj kutova pravokutnika je 360 stupnjeva:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Dijagonale pravokutnika imaju istu duljinu:
7. Zbroj kvadrata dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata stranica:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Svaka dijagonala pravokutnika dijeli pravokutnik na dva identična lika, odnosno pravokutne trokute.
9. Dijagonale pravokutnika sijeku se i dijele na pola u točki presjeka:
| AO=BO=CO=DO= | |||
10. Točka presjeka dijagonala naziva se središtem pravokutnika i također je središte opisane kružnice
11. Dijagonala pravokutnika je promjer opisane kružnice
12. Krug se uvijek može opisati oko pravokutnika, budući da je zbroj suprotnih kutova 180 stupnjeva:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Krug se ne može upisati u pravokutnik čija duljina nije jednaka širini, budući da zbroji suprotnih strana nisu međusobno jednaki (krug se može upisati samo u posebnom slučaju pravokutnika – kvadratu).
6. Talesov teorem
Ako se na jednoj od dvije ravne linije nekoliko segmenata uzastopno položi u stranu i kroz njihove krajeve se povuku paralelne linije koje sijeku drugu ravnu liniju, tada će odsjeći proporcionalne segmente na drugoj ravnoj crti
Inverzni Talesov teorem
Ako linije koje sijeku dvije druge prave (paralelne ili ne) odsijeku jednake (ili proporcionalne) segmente na objema, počevši od vrha, tada su takve linije paralelne
\[(\Veliki(\tekst(središnji i upisani kutovi)))\]
Definicije
Središnji kut je kut čiji vrh leži u središtu kružnice.
Upisani kut je kut čiji vrh leži na kružnici.
Stupanjska mjera luka kružnice je mjera stupnja središnjeg kuta koji leži na njemu.
Teorema
Mjera upisanog kuta je polovina mjere luka koji presječe.
Dokaz
Dokaz ćemo provesti u dvije faze: prvo ćemo dokazati valjanost tvrdnje za slučaj kada jedna od stranica upisanog kuta sadrži promjer. Neka je točka \(B\) vrh upisanog kuta \(ABC\), a \(BC\) promjer kružnice:
Trokut \(AOB\) je jednakokračan, \(AO = OB\) , \(\kut AOC\) je vanjski, tada \(\kut AOC = \kut OAB + \kut ABO = 2\kut ABC\), gdje \(\kut ABC = 0,5\cdot\kut AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Sada razmotrite proizvoljan upisani kut \(ABC\) . Nacrtajte promjer kružnice \(BD\) iz vrha upisanog kuta. Moguća su dva slučaja:
1) promjer presječe kut na dva kuta \(\kut ABD, \ugao CBD\) (za svaki od kojih je teorem istinit kao što je gore dokazano, stoga vrijedi i za izvorni kut, koji je zbroj ovih dva i stoga je jednaka polovici zbroja lukova na koje se oslanjaju, tj pola luk na koji se oslanja). Riža. jedan.
2) promjer nije presjekao kut na dva kuta, tada imamo još dva nova upisana kuta \(\kut ABD, \kut CBD\) čija stranica sadrži promjer, dakle, za njih je tačan teorem, tada je vrijedi i za izvorni kut (koji je jednak razlici ova dva kuta, što znači da je jednak polurazlici lukova na koje počivaju, odnosno jednak je polovici luka na kojem se nalaze odmara). Riža. 2.
Posljedice
1. Upisani kutovi temeljeni na istom luku jednaki su.
2. Upisani kut na temelju polukruga je pravi kut.
3. Upisani kut jednak je polovici središnjeg kuta temeljenog na istom luku.
\[(\Large(\text(Tangenta na kružnicu)))\]
Definicije
Postoje tri vrste relativni položaj ravna linija i krug:
1) pravac \(a\) siječe kružnicu u dvije točke. Takav se pravac naziva sekantom. U ovom slučaju, udaljenost \(d\) od središta kružnice do ravne crte je manja od polumjera \(R\) kružnice (slika 3).
2) pravac \(b\) siječe kružnicu u jednoj točki. Takva ravna crta naziva se tangenta, a njihova zajednička točka \(B\) naziva se tangentna točka. U ovom slučaju \(d=R\) (slika 4).
Teorema
1. Tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen do točke dodira.
2. Ako ravna crta prolazi kraj polumjera kružnice i okomita je na taj polumjer, tada je tangenta na kružnicu.
Posljedica
Segmenti tangenti povučeni iz jedne točke na kružnicu jednaki su.
Dokaz
Nacrtajte dvije tangente \(KA\) i \(KB\) na kružnicu iz točke \(K\):
Dakle \(OA\perp KA, OB\perp KB\) kao polumjeri. Pravokutni trokut \(\trokut KAO\) i \(\trokut KBO\) jednaki su po kraku i hipotenuzi, dakle \(KA=KB\) .
Posljedica
Središte kružnice \(O\) leži na simetrali kuta \(AKB\) kojeg čine dvije tangente povučene iz iste točke \(K\) .
\[(\Large(\text(Teoreme vezane za kutove)))\]
Teorem o kutu između sekanti
Kut između dviju sekanti povučenih iz iste točke jednak je polurazlici mjera stupnjeva većeg i manjeg luka koje su oni izrezali.
Dokaz
Neka je \(M\) točka iz koje se povlače dvije sekante kao što je prikazano na slici:
Pokažimo to \(\ugao DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\ugao DAB\) je vanjski kut trokuta \(MAD\) , tada \(\kut DAB = \kut DMB + \kut MDA\), gdje \(\kut DMB = \kut DAB - \kut MDA\), ali su kutovi \(\kut DAB\) i \(\kut MDA\) upisani, tada \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), što je trebalo dokazati.
Teorem o kutu između tetiva koje se sijeku
Kut između dvije tetive koje se sijeku jednak je polovici zbroja stupnjeva stupnjeva lukova koje seku: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\desno)\]
Dokaz
\(\kut BMA = \kut CMD\) kao okomito.
Iz trokuta \(AMD\): \(\ugao AMD = 180^\circ - \ugao BDA - \ugao CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Ali \(\kut AMD = 180^\circ - \kut CMD\), odakle to zaključujemo \[\ugao CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ osmijeh\preko (CD)).\]
Teorem o kutu između tetive i tangente
Kut između tangente i tetive koja prolazi kroz tangentnu točku jednak je polovici stupnja mjere luka oduzetog tetivom.
Dokaz
Neka pravac \(a\) dodiruje kružnicu u točki \(A\) , \(AB\) bude tetiva ove kružnice, \(O\) njezino središte. Neka pravac koji sadrži \(OB\) siječe \(a\) u točki \(M\) . Dokažimo to \(\kut BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Označite \(\kut OAB = \alpha\) . Budući da su \(OA\) i \(OB\) polumjeri, tada \(OA = OB\) i \(\kut OBA = \kut OAB = \alfa\). Tako, \(\buildrel\smile\over(AB) = \ugao AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Budući da je \(OA\) polumjer povučen do tangentne točke, tada je \(OA\perp a\) , tj. \(\ugao OAM = 90^\circ\) , dakle, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Teorem o lukovima skupljenim jednakim tetivama
Jednaki akordi savijaju jednake lukove, manje polukrugove.
I obrnuto: jednaki lukovi su skupljeni jednakim tetivama.
Dokaz
1) Neka je \(AB=CD\) . Dokažimo da su manji polukrugovi luka .
Na tri strane, dakle \(\kut AOB=\kut COD\) . Ali pošto \(\kut AOB, \kut COD\) - središnji kutovi temeljeni na lukovima \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) odnosno onda \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Ako \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), onda \(\trokut AOB=\trokut COD\) uz dvije stranice \(AO=BO=CO=DO\) i kut između njih \(\kut AOB=\kut COD\) . Prema tome, \(AB=CD\) .
Teorema
Ako polumjer prepolovi tetivu, onda je ona okomita na nju.
Vrijedi i obrnuto: ako je polumjer okomit na tetivu, tada ga presječna točka prepolovi.
Dokaz
1) Neka je \(AN=NB\) . Dokažimo da je \(OQ\perp AB\) .
Razmotrimo \(\trokut AOB\) : jednakokračan je, jer \(OA=OB\) – radijusi kružnice. Jer \(ON\) je medijan povučen prema bazi, tada je to i visina, dakle \(ON\perp AB\) .
2) Neka je \(OQ\perp AB\) . Dokažimo da je \(AN=NB\) .
Slično, \(\trokut AOB\) je jednakokračan, \(ON\) je visina, pa je \(ON\) medijan. Stoga, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Teoreme vezane za duljine segmenata)))\]
Teorem o umnošku odsječaka tetiva
Ako se dvije tetive kružnice sijeku, tada je umnožak segmenata jedne tetive jednak umnošku segmenata druge tetive.
Dokaz
Neka se tetive \(AB\) i \(CD\) sijeku u točki \(E\) .
Razmotrimo trokute \(ADE\) i \(CBE\) . U ovim trokutima kutovi \(1\) i \(2\) su jednaki, jer su upisani i oslanjaju se na isti luk \(BD\) , a kutovi \(3\) i \(4\) jednaki su kao i okomiti. Trokuti \(ADE\) i \(CBE\) su slični (prema kriteriju sličnosti prvog trokuta).
Zatim \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), odakle \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teorem tangente i sekanse
Kvadrat tangentnog segmenta jednak je umnošku sekante i njegovog vanjskog dijela.
Dokaz
Neka tangenta prolazi kroz točku \(M\) i dodirne kružnicu u točki \(A\) . Neka sekansa prolazi točkom \(M\) i siječe kružnicu u točkama \(B\) i \(C\) tako da \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Razmotrimo trokute \(MBA\) i \(MCA\) : \(\ugao M\) je općenito, \(\kut BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Prema teoremu o kutu između tangente i sekante, \(\kut BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \kut BCA\). Dakle, trokuti \(MBA\) i \(MCA\) su slični u dva kuta.
Iz sličnosti trokuta \(MBA\) i \(MCA\) imamo: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), što je ekvivalentno \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Posljedica
Umnožak sekante povučene iz točke \(O\) i njezinog vanjskog dijela ne ovisi o izboru sekante povučene iz točke \(O\) .
Općinska autonomna općeobrazovna ustanova
srednja škola br.45
Izrada lekcije na temu
"Teorem o segmentima siječnih tetiva",
geometrija, 8. razred.
prva kategorija
MAOU srednja škola №45, Kalinjingrad
Borisova Alla Nikolaevna
Kalinjingrad
2016 – 2017 akademska godina
Obrazovna ustanova - općinska autonomna obrazovna ustanova srednja škola br. 45 grada Kalinjingrada
stvar - matematika (geometrija)
Razred – 8
Predmet – "Teorem o segmentima siječnih tetiva"
Edukativno-metodička podrška:
Geometrija, 7 - 9: udžbenik za obrazovne ustanove / L. S. Atanasyan i dr., - 17. izd., - M .: Obrazovanje, 2015.
Radna bilježnica"Geometrija, 8. razred", autori L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, Yu.A. Glazkov, I.I. Yudina/ tutorial za studente obrazovnih ustanova / - M. Obrazovanje, 2016
Podaci o programima u kojima se izvodi multimedijska komponenta rada - Microsoft Office Power Point 2010
Cilj: upoznati teorem o segmentima siječnih tetiva i razviti vještine njegove primjene za rješavanje zadataka.
Ciljevi lekcije:
Obrazovni:
sistematizirati teorijska znanja na temu: “Središnji i upisani kutovi” i unaprijediti vještine rješavanja zadataka na ovu temu;
formulirati i dokazati teorem o segmentima tetiva koje se sijeku;
primijeniti teorem pri rješavanju geometrijskih zadataka;
Razvijanje:
razvoj kognitivnog interesa za predmet.
formiranje ključnih i predmetnih kompetencija.
razvoj kreativnih sposobnosti.
razvijati vještine učenika samostalan rad i rade u parovima.
Obrazovni:
odgoj kognitivna aktivnost, kultura komunikacije, odgovornost, samostalan razvoj vizualne memorije;
odgajati učenike za samostalnost, znatiželju, svjestan odnos prema studiju matematike;
obrazloženje izbora metoda, sredstava i oblika obuke;
optimizirati učenje kroz razumnu kombinaciju i omjer metoda, sredstava i oblika usmjerenih na stjecanje najbolji rezultat tijekom lekcije.
Oprema i materijali za nastavu : projektor, platno, prezentacija koja prati sat.
Vrsta lekcije: kombinirana.
Struktura lekcije:
1) Učenici su upoznati s temom sata i ciljevima, naglašena je važnost ove teme(slajd broj 1).2) Objavljuje se plan nastave.
1. Provjera domaća zadaća.
2. Ponavljanje.
3. Otkrivanje novih znanja.
4. Učvršćivanje.
II . Provjera domaće zadaće.
1) tri učenika se dokazuju na pločiteorem o upisanom kutu.
Prvi učenik - slučaj 1;
Drugi učenik - slučaj 2;
Treći učenik je slučaj 3.
2) Ostali rade u ovom trenutku usmeno kako bi ponovili obrađeno gradivo.
1. Teorijski pregled (frontalni)(slajd broj 2) .
Završi rečenicu:
Kut se naziva središnjim ako...
Ugao se naziva upisanim ako...
Središnji kut se mjeri...
Upisani kut se mjeri...
Upisani kutovi su jednaki ako...
Upisani kut na temelju polukrug...
2. Rješavanje zadataka na gotovim crtežima(slajd broj 3) .
Učitelj u ovom trenutku pojedinačno provjerava rješenje domaće zadaće za neke učenike.
Dokaz teorema sluša cijeli razred nakon provjere točnosti rješenja zadataka na gotovim crtežima.
II I. Uvođenje novog gradiva.
1) Raditi u parovima.Riješite zadatak 1 kako biste učenike pripremili za percepciju novog gradiva(slajd broj 4).
2) Teorem o segmentima siječnih tetiva dokazujemo u obliku problema(slajd broj 5).
Pitanja za raspravu(slajd broj 6) :
Što možete reći o kutovima CAB i CDB?
O kutovima AEC i DEB ?
Što su trokuti ACE i DBE?
Koliki je omjer njihovih stranica, koje su segmenti tangentnih tetiva?
Koja se jednakost može napisati iz jednakosti dvaju omjera koristeći osnovno svojstvo proporcije?
Pokušajte formulirati tvrdnju koju ste dokazali. Na ploču i u bilježnice zapišite formulaciju i sažetak dokaza teorema o segmentima tetiva koje se sijeku. Jedna osoba se poziva u odbor(slajd broj 7).
ja V. Tjelesni odgoj.
Jedan učenik dolazi do ploče i nudi jednostavne vježbe za vrat, ruke i leđa.
V . Učvršćivanje proučenog gradiva.
1) Primarno pričvršćivanje.
1 učenikuz komentiranjeodlučuje№ 667 Na stolu
Odluka.
1) AVA 1 - pravokutni, budući da je upisani kutALI 1 VA počiva na polukrugu.
2) 5 = 3 kako je upisano i temeljeno na jednom lukuAB 1 .
3) 1 = 90° -5, 4 = 90°–3 ali3 = 5, dakle1= 4.
4) ALI 1 BB 1 - dakle jednakokračanprije Krista = B 1 S .
5) Po teoremu o umnošku odsječaka tetiva koje se sijeku
AC A 1 C \u003d prije Krista B 1 S.
6) (cm);
Odgovor:
2) Učini sam rješenje zadataka.
1. 1. grupa učenika („slabi“ učenici). Odlučite samibr. 93, 94 („Radna sveska“, autor L.S. Atanasyan, 2015.), nastavnik, ako je potrebno, savjetuje učenike, analizira rezultate učeničkih zadataka
2. 2. grupa učenika (ostali studenti). Radite na nestandardnom zadatku. Rade samostalno (po potrebi koriste pomoć učitelja ili kolege iz razreda). Jedan učenik radi na preklopnoj dasci. Nakon završetka rada provjera.
Zadatak
.
AkordiAB
iCD
sijeku u točkiS
, na štoAS:SB = 2:3, DS = 12
cm,SC=5cm
, pronaćiAB
.
Odluka
.
Budući da je omjerAS:SB = 2:3
, zatim neka duljinaAS = 2x, SB = 3x
Prema svojstvu akordaAS ∙ SB = CS ∙ SD
, onda
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6x
2
= 60
x
2
= 10
x = √10.
Gdje
AB=AS+SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10
Odgovor
:
5√10
VI . Sažimanje lekcije, refleksija aktivnosti
Sažetak sata, mobiliziranje učenika za samoprocjenu svojih aktivnosti;
Dakle, što ste danas naučili na satu?
Što ste danas naučili na satu?
Ocijenite svoju aktivnost za lekciju sustavom od 5 bodova.
Ocjenjivanje lekcije.
VIII . Domaća zadaća
str. 71 (teorija učenja),
№ 659, 661, 666 (b, c).
Prvo shvatimo razliku između kruga i kruga. Da bismo vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. Ovo je beskonačan broj točaka u ravnini, smještenih na jednakoj udaljenosti od jedne središnje točke. Ali, ako se krug sastoji i od unutarnjeg prostora, onda on ne pripada krugu. Ispada da je kružnica i kružnica koja ga ograničava (o-kružnost (g)nost) i neprebrojiv broj točaka koje se nalaze unutar kružnice.
Za bilo koju točku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Duljina segmenta OL jednaka je polumjeru kružnice).
Odsječak koji spaja dvije točke na kružnici je akord.
Tetiva koja prolazi izravno kroz središte kružnice je promjer ovaj krug (D) . Promjer se može izračunati pomoću formule: D=2R
Opseg izračunato po formuli: C=2\pi R
Područje kruga: S=\pi R^(2)
luk kružnice naziva onaj njegov dio, koji se nalazi između dvije njegove točke. Ove dvije točke definiraju dva luka kružnice. Akord CD savija dva luka: CMD i CLD. Isti akordi savijaju iste lukove.
Središnji kut je kut između dva polumjera.
dužina luka može se pronaći pomoću formule:
- Korištenje mjera stupnja: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R
Promjer koji je okomit na tetivu prepolovi tetivu i lukove koje obuhvaća.
Ako se tetivi AB i CD kružnice sijeku u točki N, tada su umnožak odsječaka tetiva razdvojenih točkom N međusobno jednaki.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Tangenta na kružnicu
Tangenta na kružnicu Uobičajeno je zvati ravnu liniju koja ima jednu zajedničku točku s kružnicom.
Ako pravac ima dvije zajedničke točke, zove se sekanti.
Ako nacrtate polumjer u točki dodira, on će biti okomit na tangentu kružnice.
Nacrtajmo dvije tangente iz ove točke u našu kružnicu. Ispada da će segmenti tangenti biti jednaki jedan drugom, a središte kružnice će se nalaziti na simetrali kuta s vrhom u ovoj točki.
AC=CB
Sada crtamo tangentu i sekansu na kružnicu iz naše točke. Dobivamo da će kvadrat duljine tangentnog segmenta biti jednak umnošku cijelog sekansnog segmenta po njegovom vanjskom dijelu.
AC^(2) = CD \cdot BC
Možemo zaključiti: umnožak cjelobrojnog segmenta prvog sekanta po vanjskom dijelu jednak je umnošku cjelobrojnog segmenta drugog sekanta po vanjskom dijelu.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Kutovi u krugu
Mjere stupnja središnjeg kuta i luka na koji on počiva jednake su.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Upisani kut je kut čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.
Možete ga izračunati znajući veličinu luka, jer je jednaka polovici ovog luka.
\kut AOB = 2 \kut ADB
Temeljeno na promjeru, upisani kut, ravno.
\kut CBD = \kut CED = \kut CAD = 90^ (\circ)
Upisani kutovi koji se naslanjaju na isti luk su identični.
Upisani kutovi temeljeni na istoj tetivi su identični ili je njihov zbroj jednak 180^ (\circ) .
\kut ADB + \kut AKB = 180^ (\circ)
\ugao ADB = \kut AEB = \kut AFB
Na istoj kružnici nalaze se vrhovi trokuta s jednakim kutovima i zadanom bazom.
Kut s vrhom unutar kružnice i smješten između dvije tetive identičan je polovici zbroja kutnih veličina lukova kružnice koji se nalaze unutar zadanog i okomitog kuta.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \desno)
Kut s vrhom izvan kružnice i smješten između dvije sekante identičan je polovici razlike kutnih veličina lukova kružnice koji se nalaze unutar kuta.
\ugao M = \kut CBD - \kut ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\cup DmC - \cup AlB \desno)
Upisana kružnica
Upisana kružnica je kružnica tangentna na stranice poligona.
U točki gdje se sijeku simetrale kutova poligona nalazi se njegovo središte.
Krug ne smije biti upisan u svaki poligon.
Površina poligona s upisanim krugom nalazi se po formuli:
S=pr,
p je poluperimetar poligona,
r je polumjer upisane kružnice.
Iz toga slijedi da je polumjer upisane kružnice:
r = \frac(S)(p)
Zbroji duljina suprotnih strana bit će identični ako je kružnica upisana u konveksni četverokut. I obrnuto: kružnica je upisana u konveksni četverokut ako su zbroji duljina suprotnih strana u njemu identični.
AB+DC=AD+BC
U bilo koji od trokuta moguće je upisati kružnicu. Samo jedan jedini. U točki gdje se simetrale sijeku unutarnji uglovi lik, ležat će središte ove upisane kružnice.
Polumjer upisane kružnice izračunava se po formuli:
r = \frac(S)(p) ,
gdje je p = \frac(a + b + c)(2)
Opisani krug
Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, tada se takva kružnica naziva opisano oko poligona.
U točki presjeka okomitih simetrala stranica ove figure bit će središte opisane kružnice.
Polumjer se može pronaći tako da se izračuna kao polumjer kružnice koja je opisana oko trokuta definiranog s bilo koja 3 vrha poligona.
Postoji sljedeći uvjet: kružnica se može opisati oko četverokuta samo ako je zbroj njegovih suprotnih kutova jednak 180^( \circ) .
\kut A + \kut C = \kut B + \kut D = 180^ (\circ)
U blizini bilo kojeg trokuta moguće je opisati krug, i to jedan i jedini. Središte takve kružnice nalazit će se u točki gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.
Polumjer opisane kružnice može se izračunati po formulama:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c su duljine stranica trokuta,
S je površina trokuta.
Ptolemejev teorem
Konačno, razmotrite Ptolemejev teorem.
Ptolemejev teorem kaže da je umnožak dijagonala identičan zbroju proizvoda suprotnih strana upisanog četverokuta.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
Dio 3. Krugovi
ja. Referentni materijali.
ja. Svojstva tangenti, tetiva i sekanata. Upisani i središnji kutovi.
Krug i krug
1. Ako iz jedne točke koja leži izvan kružnice, nacrtajte dvije tangente na nju, onda
a) duljine odsječaka od zadane točke do dodirnih točaka su jednake;
b) kutovi između svake tangente i sekanse koji prolaze središtem kružnice jednaki su.
2. Ako iz jedne točke koja leži izvan kružnice povučemo tangentu i sekansu na nju, tada je kvadrat tangente jednak umnošku sekansa po vanjskom dijelu
3. Ako se dvije tetive sijeku u jednoj točki, tada je umnožak segmenata jedne tetive jednak umnošku segmenata druge.
4. Opseg S=2πR;
5. Duljina luka L =πRn/180˚
6. Površina kruga S=πR 2
7. Sektorsko područje S c=πR 2 n/360
Mjera upisanog kuta je polovina mjere luka koji presječe.
Teorem 1. Mjera kuta između tangente i tetive koja ima zajedničku točku na kružnici jednaka je polovici stupnja mjere luka zatvorenog između njegovih stranica
Teorem 2(o tangenti i sekansu). Ako se iz točke M u kružnicu povuku tangenta i sekansa, tada je kvadrat odsječka tangente od točke M do točke dodira jednak umnošku duljina odsječaka sekante iz točku M do točaka njezina sjecišta s kružnicom.
Teorem 3. Ako se dvije tetive kružnice sijeku, onda je umnožak duljina segmenata jedne tetive jednak umnošku duljina segmenata druge tetive, odnosno ako se tetive AB i SD sijeku u točki M , zatim AB MV \u003d CM MD.
Svojstva kružnih tetiva:
Promjer okomit na tetivu ga prepolovi. Obrnuto: promjer koji prolazi kroz sredinu tetive okomit je na nju.
Jednake tetive kružnice jednako su udaljene od središta kružnice. Obrnuto, postoje jednake tetive na jednakoj udaljenosti od središta kružnice.
Kružni lukovi zatvoreni između paralelnih tetiva jednaki su.
kružnice koje imaju zajedničku točku i zajedničku tangentu u ovoj točki nazivaju se) tangente.Ako se kružnice nalaze na istoj strani zajedničke tangente, tada se nazivaju unutarnje tangente, a ako su na suprotnim stranama tangente, onda su nazivaju se vanjska tangenta.
II. Dodatni materijali
Svojstva nekih kutova.
Teorema.
1) Kut (ABC), čiji vrh leži unutar kružnice, poluzbroj je dvaju luka (AC i DE), od kojih je jedan zatvoren između njegovih stranica, a drugi između produžetaka stranica.
2) kut (ABC), čiji vrh leži izvan kružnice, a stranice se sijeku s kružnicom, je polurazlika dvaju luka (AC i ED) zatvorenih između njegovih stranica
Dokaz .
Crtajući tetivu AD (na oba crteža), dobivamo ∆ABD,
u odnosu na koji razmatrani kut ABC služi kao vanjski kada mu vrh leži unutar kruga i kao unutarnji kada mu vrh leži izvan kruga. Dakle, u prvom slučaju: ; u drugom slučaju:
Ali kutovi ADC i DAE, kako su upisani, mjere se polulukom AC i DE; stoga se kut ABC mjeri: u prvom slučaju, zbrojem: ½ ﬞ AC + 1/2 ﬞ DE, što je jednako 1
/
2
(ﮟ
AC+ﮞ
DE), a u drugom slučaju razlika je 1/2 ﬞ AC- 1/2 ﬞ DE, što je jednako 1/2 (ﬞ AC- ﬞ DE). Teorema. Kut (ACD) sastavljen od tangente i tetive mjeri se polovicom luka zatvorenog unutar njega. Sada uzmite opći slučaj kada CD akorda ne prolazi kroz središte. Nakon što smo nacrtali promjer CE, imat ćemo: Na Proporcionalne linije u krugu Teorema. Ako se bilo koja tetiva (AB) i promjer (CD) povuku kroz točku (M) uzetu unutar kružnice, tada je umnožak segmenata tetive (AM MB) jednak umnošku segmenata promjera ( MV MC). Dokaz. P AM: MD=MS: MB, odakle AM MB=MD MC. Posljedica. Ako se kroz točku (M) uzetu unutar kružnice povuče bilo koji broj tetiva (AB, EF, KL, ...), tada je umnožak segmenata svakog tetiva konstantan broj za sve tetive, budući da je za svaki kabel ovaj umnožak je jednak umnošku segmenata promjera CD koji prolaze kroz uzetu točku M. Teorema. Ako se iz točke (M) uzete izvan kružnice povuče neka sekansa (MA) i tangenta (MC), tada je umnožak sekante po vanjskom dijelu jednak kvadratu tangente (pretpostavlja se da je sekansa je ograničena drugom presječnom točkom, a tangenta - dodirnom točkom). Nacrtajmo pomoćne akorde AC i BC; tada dobivamo dva trokuta MAC i MBC (na slici prekrivena potezima), koja su slična, jer imaju zajednički kut M, a kutovi MSV i CAB su jednaki, budući da se svaki od njih mjeri polovicom luka BC. Uzmimo stranice MA i MC u ∆MAS; slične strane u ∆MVS bit će MC i MB; dakle MA: MS=MS: MB, odakle MA MB=MS 2 . Posljedica. Ako se iz točke (M) uzete izvan kruga, u nju povuče bilo koji broj sekanti (MA, MD, ME, ...), tada je umnožak svake sekante na njezin vanjski dio stalan broj za sve sekante, budući da je za svaku sekantu umnožak jednak kvadratu tangente (MS 2) povučene iz točke M. III. uvodni zadaci. Zadatak 1. NA Odluka 1) Polumjer kružnice opisane oko trapeza jednak je polumjeru kružnice opisane oko trokuta čiji su vrhovi bilo koja tri vrha trapeza. Nađite polumjer R kružnice opisane oko trokuta ABD. 2)
ABCD jednakokraki trapez, dakle AK = doktor medicine, KM =. U ∆ ABK AK
= AB cos A = · cos 60° = . Sredstva, BK = AB grijeh A
=
· = . 3) Po zakonu kosinusa u ∆ ABD
BD 2
= AB 2
+ OGLAS 2
– 2AB ·
OGLAS cos A. BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 3 = 21 + 9 21 – 3 21 = 7 21; 4) S(∆ ABD)
= OGLAS ·
BK; S(∆ ABD) = · · 3 = . Zadatak 2. U jednakostranični trokut ABC upisuje se krug i crta se odsječak NM, M
AC, N
PRIJE KRISTA, koji je tangentan na njega i paralelan sa stranicom AB. Odredite opseg trapeza AMNB ako je duljina segmenta MN jednako 6. Odluka. 1 2) MN- tangenta na kružnicu, P je točka kontakta, OD = 3) ∆CMN ∾
∆ TAKSI, dakle ∆ CMN- jednakostraničan CM = CN = MN = = 6; P. Kao i 3) BN = CB – CN = 18 – 6 = 12. 4) P ( AMNB)
= prije podne + MN
+ BN + AB
= 18 + 6 + 12 + 12 = 48. U blizini kružnice opisan je jednakokračni trapez čija je srednja linija 5, a sinus oštrog kuta u bazi je 0,8. Pronađite površinu trapeza. Odluka. FP je srednja linija trapeza PRIJE KRISTA + OGLAS = 2FP. Zatim AB = CD = FP = 5. ∆ABK- pravokutni, BK = AB grijeh A; BK= 5 0,8 = 4. S( ABCD)
= FP · BK= 5 4 = 20. Odgovor:
20. Upisana kružnica trokuta ABC dodiruje stranicu BC u točki K, a izvanzakonica dodiruje stranicu BC u točki L. Dokažite da je CK=BL=(a+b+c)/2 Dokaz: neka su M i N dodirne točke upisane kružnice sa stranicama AB i BC. Tada je BK+AN=BM+AM=AB, dakle CK+CN= a+b-c. Neka su P i Q tangente vankružne kružnice s produžecima stranica AB i BC. Tada AP=AB+BP=AB+BL i AQ=AC+CQ=AC+CL. Stoga AP+AQ=a+b+c. Dakle, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2. a) Nastavak simetrale kuta B trokuta ABC siječe opisanu kružnicu u točki M. O je središte upisane kružnice. O V je središte tangente izvan kružnice na stranicu AC. Dokažite da točke A, C, O i O B leže na kružnici sa središtem M. D b) Točka O, koja leži unutar trokuta ABC, ima svojstvo da pravci AO, BO, CO prolaze središtima opisanih kružnica trokuta BCO, ACO, ABO. Dokažite da je O središte upisane kružnice trokuta ABC. IV. Dodatni zadaci broj 1. Krug tangenta na hipotenuzu pravokutnog trokuta i produžetke njegovih krakova ima polumjer R. Nađite opseg trokuta R 1) ∆OAH = ∆OAF duž kraka i hipotenuze =>HA=FA 2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG 3) P ABC=AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R broj 2. Točke C i D leže na kružnici promjera AB. AC ∩ BD = P i AD ∩ BC = Q. Dokažite da su pravci AB i PQ okomiti na Dokaz: A broj 3. U paralelogramu ABCD, dijagonala AC je veća od dijagonale BD; M je točka na dijagonali AC, BDCM je upisani četverokut. Dokažite da je pravac BD zajednička tangenta na opisane kružnice trokuta ABM i ADM P broj 4. H Prema uvodnom zadatku 4, CM=(AC+CE-AE)/2 i CN=(BC+CE-BE)/2. S obzirom da je AC=BC, dobivamo MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2 broj 5. Duljine stranica trokuta ABC čine aritmetičku progresiju, s a Neka je M središte stranice AC, a N tangentna točka upisane kružnice sa stranicom BC. Tada je BN=p–b (uvodni problem 4), pa je BN=AM, jer p=3b/2 prema uvjetu. Osim, V
.Zadaci za samostalno rješavanje
broj 1. Četverokut ABCD ima svojstvo da postoji kružnica upisana u kut BAD i tangenta na produžetke stranica BC i CD. Dokažite da je AB+BC=AD+DC. broj 2. Zajednička unutarnja tangenta na kružnice polumjera R i r siječe njihove zajedničke vanjske tangente u točkama A i B i dodiruje jednu od kružnica u točki C. Dokažite da je AC∙CB=Rr broj 3. U trokutu ABC, kut C je pravi kut. Dokažite da je r =(a+b-c)/2 i r c =(a+b+c)/2 broj 4. Dvije se kružnice sijeku u točkama A i B; MN je zajednička tangenta na njih. Dokazati da pravac AB prepolovi segment MN. broj 5. Produžeci simetrala kutova trokuta ABC sijeku opisanu kružnicu u točkama A 1 , B 1 , C 1 . M je točka presjeka simetrala. Dokaži to: a) MA·MC/MB 1 =2r; b) MA 1 MC 1 /MB=R broj 6. Kut koji čine dvije tangente povučene iz iste točke na kružnici je 23° 15`. Izračunajte lukove zatvorene između tangentnih točaka broj 7. Izračunajte kut koji čine tangenta i tetiva ako tetiva dijeli kružnicu na dva dijela povezana kao 3:7. VI. Kontrolni zadaci. Opcija 1. Točka M je izvan kružnice sa središtem O. Iz točke M su povučene tri sječice: prva siječe kružnicu u točkama B i A (M-B-A), druga u točkama D i C (M-D-C), a treća siječe kružnicu u točke F i E (M-F-E) i prolazi središtem kružnice, AB = 4, BM = 5, FM = 3. Dokažite da ako je AB = CD, onda su kutovi AME i CME jednaki. Pronađite polumjer kružnice. Nađi duljinu tangente povučene iz točke M na kružnicu. Pronađite kut AEB. Opcija 2. AB je promjer kružnice sa središtem O. Tetiva EF siječe promjer u točki K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5. Pronađite polumjer kružnice. Pronađite udaljenost od središta kružnice do tetive BF. Pronađite oštar kut između promjera AB i tetive EF. Kolika je tetiva FM ako je EM paralelna s AB. Opcija 3. U pravokutni trokut ABC ( Opcija 4. AB je promjer kružnice sa središtem O. Polumjer ove kružnice je 4, O 1 je sredina OA. Sa središtem u točki O 1, povučena je kružnica tangentna na veći krug u točki A. Tetiva CD veće kružnice okomita je na AB i siječe AB u točki K. E i F su točke presjeka CD-a s manji krug (C-E-K-F-D), AK=3. Pronađite akorde AE i AC. Nađite stupanjsku mjeru luka AF i njegovu duljinu. Nađite površinu dijela manjeg kruga odsječenog tetivom EF. Pronađite polumjer kružnice opisane oko trokuta ACE.
Pretpostavimo prvo da tetiva CD prolazi središtem O, t.j. da je tetiva promjer. Zatim kut ACD-
ravno i stoga jednako 90°. Ali polovica luka CmD također je jednaka 90°, budući da cijeli luk CmD, koji čini polukrug, sadrži 180°. Dakle, teorem je opravdan u ovom konkretnom slučaju.
glava ACE-a, sastavljena od tangente i promjera, mjeri se, kako je dokazano, polovicom luka CDE-a; Kut DCE, kao upisani, mjeri se s polovicom luka CnED: jedina razlika u dokazu je da ovaj kut ne treba posmatrati kao razliku, već kao zbroj pravog kuta ALL i oštrog kuta ECD .
crtajući dvije pomoćne tetive AC i BD, dobivamo dva trokuta AMC i MBD (na slici prekrivena potezima), koji su slični, jer su im kutovi A i D jednaki, kao što je upisano, na temelju istog luka BC, kutova C i B su jednaki, kao što su upisani, temeljeni na istom luku AD. Iz sličnosti trokuta zaključujemo:
Dokaz.
jednakokraki trapez sa oštrim kutom od 60°, stranica je jednaka, a manja baza je. Pronađite polumjer kružnice opisane oko ovog trapeza.
OGLAS
=
.
BD
=
.
)
∆ABC- jednakostranična, točka O- točka presjeka medijana (simetrale, visine), što znači da CO :
OD = 2 :
1.
=OP, onda CD= 3 CP.
Budući da je kružnica upisana u četverokut, onda PRIJE KRISTA + OGLAS = AB + CD. Ovaj četverokut je jednakokraki trapez, dakle PRIJE KRISTA + OGLAS = 2AB.
dokaz: jer
Dokaz: Neka je P središte opisane kružnice trokuta ACO. Zatim
Rješenje: HOGB - kvadrat sa stranicom R
D – promjer => upisani kut ADB=90 o (na temelju promjera) => QD/QP=QN/QA; ∆QDP je sličan ∆QNA s dvije strane i kut između njih => QN je okomit na AB .
ust O - točka presjeka dijagonala AC i BD. Zatim MO ·
OC=BO ·
OD. Dok je OS = OA i BO = BD, onda MO ·
OA \u003d IN 2 i MO ·
OA=DO 2 . Ove jednakosti znače da je OB tangenta na opisanu kružnicu trokuta ADM
točka E uzeta je u osnovici AB jednakokračnog trokuta ABC, a trokuti ACE i ABE upisani su kružnicama koje dodiruju segment CE u točkama M i N. Nađite duljinu odsječka MN ako su poznate duljine AE i BE.
