В предишни задачи, включващи движение в една посока, движението на телата е започвало едновременно от една и съща точка. Нека разгледаме решаването на задачи за движение в една посока, когато движението на телата започва едновременно, но от различни точки.
Нека велосипедист и пешеходец излязат от точки А и Б, разстоянието между които е 21 км, и се движат в една посока: пешеходецът със скорост 5 км в час, велосипедистът с 12 км в час
12 км в час 5 км в час
А Б
Разстоянието между велосипедист и пешеходец в момента на тяхното движение е 21 км. След час ставно движениев една посока разстоянието между тях ще намалее с 12-5=7 (км). 7 км в час – скорост на приближаване на велосипедист и пешеходец:
А Б
Познавайки скоростта на сближаване на велосипедист и пешеходец, не е трудно да разберете колко километра ще намалее разстоянието между тях след 2 часа или 3 часа движение в една посока.
7*2=14 (km) – разстоянието между велосипедист и пешеходец ще намалее с 14 km за 2 часа;
7*3=21 (km) – разстоянието между велосипедист и пешеходец ще намалее с 21 km за 3 часа.
С всеки изминал час разстоянието между велосипедист и пешеходец намалява. След 3 часа разстоянието между тях става 21-21=0, т.е. велосипедист настига пешеходец:
А Б
В задачите за „наваксване“ се занимаваме със следните количества:
1) разстоянието между точките, от които започва едновременното движение;
2) скорост на приближаване
3) времето от началото на движението до момента, в който едно от движещите се тела настигне другото.
Като знаете стойността на две от тези три величини, можете да намерите стойността на третото количество.
Таблицата съдържа условия и решения на проблеми, които могат да бъдат съставени за велосипедист да „настигне“ пешеходец:
|
Скорост на сближаване на велосипедист и пешеходец в км/ч |
Времето от началото на движението до момента, в който велосипедистът настигне пешеходеца, в часове |
Разстояние от А до Б в км | ||
Нека изразим връзката между тези величини с формулата. Нека означим с разстоянието между точките и, - скоростта на приближаване, времето от момента на излизане до момента, в който едното тяло настигне другото.
В задачите за „наваксване“ скоростта на приближаване най-често не се дава, но може лесно да се намери от данните на задачата.
Задача. Велосипедист и пешеходец тръгнаха едновременно в една посока от две колхози, разстоянието между които беше 24 км. Велосипедистът се е движел със скорост 11 км в час, а пешеходецът е вървял със скорост 5 км в час. Колко часа след тръгването велосипедистът ще настигне пешеходеца?
За да разберете колко време след напускане велосипедистът ще настигне пешеходеца, трябва да разделите разстоянието, което е било между тях в началото на движението, на скоростта на приближаване; скоростта на приближаване е равна на разликата в скоростта на велосипедиста и пешеходеца.
Формула за решение: =24: (11-5);=4.
Отговор. След 4 часа велосипедистът ще настигне пешеходеца. Условията и решенията на обратните задачи са записани в таблицата:
|
Скорост на велосипедист в км/ч |
Скорост на пешеходец в км/ч |
Разстояние между колхозите в км |
Време на час | ||
Всеки от тези проблеми може да бъде решен по други начини, но те ще бъдат ирационални в сравнение с тези решения.
2. СКОРОСТ НА ТЯЛОТО.ПРАВО ЛИНЕЙНО РАВНОМЕРНО ДВИЖЕНИЕ.
Скоросте количествена характеристика на движението на тялото.
Средната скорост- Това физическо количество, равно на съотношението на вектора на движение на точката към периода от време Δt, през който се е случило това движение. Посоката на вектора на средната скорост съвпада с посоката на вектора на преместването. Средната скорост се определя по формулата:
Незабавна скорост, т.е. скоростта в даден момент от времето е физическо количество, равно на границата, към която средната скорост клони с безкрайно намаляване на периода от време Δt:
С други думи, моментна скороств даден момент от времето е съотношението на много малко движение към много кратък период от време, през който това движение се е случило.
Векторът на моментната скорост е насочен тангенциално към траекторията на тялото (фиг. 1.6).
Ориз. 1.6. Вектор на моментната скорост.
В системата SI скоростта се измерва в метри в секунда, т.е. единица скорост се счита за скоростта на такова равномерно праволинейно движение, при което тялото изминава разстояние от един метър за една секунда. Единицата за скорост се обозначава с Госпожица. Скоростта често се измерва в други единици. Например при измерване на скоростта на автомобил, влак и др. Обикновено използваната единица е километри в час:
1 km/h = 1000 m / 3600 s = 1 m / 3,6 s
1 m/s = 3600 km / 1000 h = 3,6 km/h
Добавяне на скорости (може би същият въпрос няма да е задължително в 5).
Скоростите на движение на тялото в различни отправни системи са свързани с класическата закон за добавяне на скорости.
Относителна скорост на тялото фиксирана референтна рамкаравна на сумата от скоростите на тялото в подвижна отправна системаи най-мобилната референтна система спрямо стационарната.
Например пътнически влак се движи по железопътната линия със скорост 60 км/ч. Покрай вагона на този влак върви човек със скорост 5 км/ч. Ако считаме железопътната линия за неподвижна и я вземем за референтна система, тогава скоростта на човек спрямо референтната система (т.е. спрямо железопътна линия), ще бъде равно на сбора от скоростите на влака и човека, т.е
60 + 5 = 65, ако човекът върви в същата посока като влака
60 – 5 = 55, ако човек и влак се движат в различни посоки
Това обаче е вярно само ако човекът и влакът се движат по една и съща линия. Ако човек се движи под ъгъл, тогава той ще трябва да вземе предвид този ъгъл, като помни, че скоростта е векторно количество.
Примерът + Законът за добавяне на изместване е подчертан в червено (мисля, че това не е необходимо да се преподава, но за общо развитие можете да го прочетете)
Сега нека разгледаме описания по-горе пример по-подробно – с подробности и снимки.
Така че в нашия случай това е железопътната линия фиксирана референтна рамка. Влакът, който се движи по този път, е подвижна отправна система. Вагонът, в който се движи човекът, е част от влака.
Скоростта на човек спрямо вагона (спрямо подвижната референтна система) е 5 km/h. Нека го обозначим с буквата H.
Скоростта на влака (и следователно на вагона) спрямо фиксирана отправна система (т.е. спрямо железопътната линия) е 60 km/h. Нека го обозначим с буквата B. С други думи, скоростта на влака е скоростта на движещата се отправна система спрямо неподвижната отправна система.
Скоростта на човек спрямо железопътната линия (спрямо фиксирана референтна система) все още не ни е известна. Нека го обозначим с буквата .
Нека свържем координатната система XOY с неподвижната референтна система (фиг. 1.7) и координатната система X P O P Y P с подвижната референтна система.Сега нека се опитаме да намерим скоростта на човек спрямо стационарната референтна система, т.е. до ж.п.
За кратък период от време Δt се случват следните събития:
Тогава през този период от време движението на човек спрямо железопътната линия е:
Това закон за добавяне на премествания. В нашия пример движението на човек спрямо железопътната линия е равно на сумата от движенията на човека спрямо вагона и на вагона спрямо железопътната линия.
Ориз. 1.7. Законът за добавяне на премествания.
Законът за събиране на преместванията може да бъде написан, както следва:
= Δ H Δt + Δ B Δt
Скоростта на човек спрямо железопътната линия е:
Скорост на човек спрямо каретата:
Δ H = H / Δt
Скорост на автомобила спрямо железопътната линия:
Следователно скоростта на човек спрямо железопътната линия ще бъде равна на:
Това е законътдобавяне на скорост:
Еднообразно движение– това е движение с постоянна скорост, тоест когато скоростта не се променя (v = const) и не се получава ускорение или забавяне (a = 0).
Движение по права линия- това е движение по права линия, т.е. траекторията на праволинейното движение е права линия.
Равномерно праволинейно движение- това е движение, при което тялото извършва равни движения през всякакви равни интервали от време. Например, ако разделим определен интервал от време на интервали от една секунда, тогава при равномерно движение тялото ще се движи на едно и също разстояние за всеки от тези интервали от време.
Скоростта на равномерното праволинейно движение не зависи от времето и във всяка точка от траекторията е насочена по същия начин като движението на тялото. Тоест векторът на преместване съвпада по посока с вектора на скоростта. В този случай средната скорост за всеки период от време е равна на моментната скорост:
Скорост на равномерно праволинейно движениее физическо векторно количество, равно на съотношението на движението на тяло за всеки период от време към стойността на този интервал t:
По този начин скоростта на равномерното праволинейно движение показва колко движение извършва материална точка за единица време.
Движещ сес равномерно линейно движение се определя по формулата:
Изминато разстояниепри линейно движение е равен на модула на преместване. Ако положителната посока на оста OX съвпада с посоката на движение, тогава проекцията на скоростта върху оста OX е равна на големината на скоростта и е положителна:
v x = v, което е v > 0
Проекцията на преместването върху оста OX е равна на:
s = vt = x – x 0
където x 0 е началната координата на тялото, x е крайната координата на тялото (или координатата на тялото по всяко време)
Уравнение на движението, тоест зависимостта на координатите на тялото от времето x = x(t), приема формата:
Ако положителната посока на оста OX е противоположна на посоката на движение на тялото, тогава проекцията на скоростта на тялото върху оста OX е отрицателна, скоростта е по-малка от нула (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид.
§ 1 Формула за едновременно движение
Формули за едновременно движение срещаме при решаване на задачи, включващи едновременно движение. Способността за решаване на определен проблем с движението зависи от няколко фактора. На първо място е необходимо да се разграничат основните видове проблеми.
Проблемите, включващи едновременно движение, условно се разделят на 4 вида: задачи, включващи насрещно движение, задачи, включващи движение в противоположни посоки, задачи за движение при преследване и задачи за движение със закъснение.
Основните компоненти на тези видове задачи са:
изминато разстояние - S, скорост - ʋ, време - t.
Връзката между тях се изразява с формулите:
S = ʋ · t, ʋ = S: t, t = S: ʋ.
В допълнение към гореспоменатите основни компоненти, при решаване на задачи за движение можем да срещнем такива компоненти като: скорост на първия обект - ʋ1, скорост на втория обект - ʋ2, скорост на приближаване - ʋсл., скорост на отдалечаване - ʋud., времето на срещата - tvstr., началното разстояние - S0 и др.
§ 2 Проблеми, свързани с насрещно движение
При решаване на задачи от този тип се използват следните компоненти: скорост на първия обект - ʋ1; скоростта на втория обект е ʋ2; скорост на приближаване - ʋсбл.; време до срещата - калай; пътят (разстоянието), изминат от първия обект - S1; пътят (разстоянието), изминат от втория обект - S2; целият път, изминат от двата обекта, е S.
Връзката между компонентите на проблемите с насрещния трафик се изразява със следните формули:
1. Първоначалното разстояние между обектите може да се изчисли по следните формули: S = ʋsbl. · tвграден или S = S1 + S2;
2. скоростта на приближаване се намира по формулите: ʋsbl. = S: tвграден или ʋsbl. = ʋ1 + ʋ2;
3. Времето за среща се изчислява, както следва:
Два кораба плават един към друг. Скоростта на корабите е 35 км/ч и 28 км/ч. След колко време ще се срещнат, ако разстоянието между тях е 315 км?
ʋ1 = 35 км/ч, ʋ2 = 28 км/ч, S = 315 км, нюанс. =? ч.
За да намерите времето за среща, трябва да знаете първоначалното разстояние и скоростта на приближаване, тъй като калай. = S: ʋsbl. Тъй като разстоянието е известно от условията на задачата, ще намерим скоростта на приближаване. ʋбл. = ʋ1 + ʋ2 = 35 + 28 = 63 км/ч. Сега можем да намерим необходимото време за среща. tвграден = S: ʋsbl = 315: 63 = 5 часа Получихме, че корабите ще се срещнат след 5 часа.
§ 3 Задачи за преследване след движение
При решаване на задачи от този тип се използват следните компоненти: скорост на първия обект - ʋ1; скоростта на втория обект е ʋ2; скорост на приближаване - ʋсбл.; време до срещата - калай; пътят (разстоянието), изминат от първия обект - S1; пътят (разстоянието), изминат от втория обект - S2; първоначалното разстояние между обектите е S.
Диаграмата за задачи от този тип изглежда така:
Връзката между компонентите на задачите за преследване се изразява със следните формули:
1. Първоначалното разстояние между обектите може да се изчисли по следните формули:
S = ʋbl. · tвграден или S = S1 - S2;
2. скоростта на приближаване се намира по формулите: ʋsbl. = S: tвграден или ʋsbl. = ʋ1 - ʋ2;
3. Времето за среща се изчислява, както следва:
tвграден = S: ʋbl., tbl. = S1: ʋ1 или tвграден = S2: ʋ2.
Нека разгледаме приложението на тези формули, използвайки следния проблем като пример.
Тигърът подгонил елена и го настигнал след 7 минути. Какво е първоначалното разстояние между тях, ако скоростта на тигъра е 700 м/мин, а скоростта на елена е 620 м/мин?
ʋ1 = 700 m/min, ʋ2 = 620 m/min, S = ? м, вграден = 7 мин.
За да се намери първоначалното разстояние между тигър и елен, е необходимо да се знае времето на срещата и скоростта на приближаване, тъй като S = калай. · ʋsbl. Тъй като времето на срещата е известно от условията на задачата, ще намерим скоростта на приближаване. ʋбл. = ʋ1 - ʋ2 = 700 - 620 = 80 m/min. Сега можем да намерим необходимото начално разстояние. S =tвграден · ʋsbl = 7 · 80 = 560 м. Установено е, че първоначалното разстояние между тигъра и елена е 560 метра.
§ 4 Задачи, включващи движение в противоположни посоки
При решаване на задачи от този тип се използват следните компоненти: скорост на първия обект - ʋ1; скоростта на втория обект е ʋ2; скорост на отстраняване - ʋstr.; време за пътуване - т.; пътят (разстоянието), изминат от първия обект - S1; пътят (разстоянието), изминат от втория обект - S2; първоначалното разстояние между обектите е S0; разстоянието, което ще бъде между обектите след определено време - S.
Диаграмата за задачи от този тип изглежда така:
Връзката между компонентите на задачите за движение в противоположни посоки се изразява със следните формули:
1. Крайното разстояние между обектите може да се изчисли по следните формули:
S = S0 + ʋud. · tor S = S1 + S2 + S0; и началното разстояние - по формулата: S0 = S - ʋsp. T.
2. Скоростта на премахване се намира с помощта на формулите:
ʋud. = (S1 + S2) : t orʋud. = ʋ1 + ʋ2;
3. Времето за пътуване се изчислява, както следва:
t = (S1 + S2) : ʋud., t = S1: ʋ1 или t = S2: ʋ2.
Нека разгледаме приложението на тези формули, използвайки следния проблем като пример.
Две коли напуснаха паркинга едновременно в противоположни посоки. Скоростта на единия е 70 км/ч, на другия 50 км/ч. Какво ще бъде разстоянието между тях след 4 часа, ако разстоянието между паркингите е 45 км?
ʋ1 = 70 км/ч, ʋ2 = 50 км/ч, S0 = 45 км, S = ? км, t = 4 часа.
За да намерите разстоянието между колите в края на пътуването, трябва да знаете времето за пътуване, началното разстояние и скоростта на отстраняване, тъй като S = ʋstr. · t+ S0 Тъй като времето и началното разстояние са известни от условията на задачата, ще намерим скоростта на изнасяне. ʋud. = ʋ1 + ʋ2 = 70 + 50 = 120 км/ч. Сега можем да намерим необходимото разстояние. S = ʋud. · t+ S0 = 120 · 4 + 45 = 525 км. Установихме, че след 4 часа ще има разстояние от 525 км между колите
§ 5 Задачи, включващи движение със закъснение
При решаване на задачи от този тип се използват следните компоненти: скорост на първия обект - ʋ1; скоростта на втория обект е ʋ2; скорост на отстраняване - ʋstr.; време за пътуване - т.; първоначалното разстояние между обектите е S0; разстоянието, което ще стане между обектите след определено време - S.
Диаграмата за задачи от този тип изглежда така:
Връзката между компонентите на задачите за движение със закъснение се изразява със следните формули:
1. Първоначалното разстояние между обектите може да се изчисли по следната формула: S0 = S - ʋстр. · t; и разстоянието, което ще стане между обектите след определено време е по формулата: S = S0 + ʋsp. T;
2. Степента на отстраняване се намира с помощта на формулите: ʋstr.= (S - S0) : t или ʋsp. = ʋ1 - ʋ2;
3. Времето се изчислява, както следва: t = (S - S0) : ʋсила.
Нека разгледаме приложението на тези формули, използвайки следния проблем като пример:
Две коли напуснаха два града в една посока. Скоростта на първия е 80 км/ч, скоростта на втория е 60 км/ч. След колко часа ще има 700 км между колите, ако разстоянието между градовете е 560 км?
ʋ1 = 80 km/h, ʋ2 = 60 km/h, S = 700 km, S0 = 560 km, t = ? ч.
За да намерите времето, трябва да знаете първоначалното разстояние между обектите, разстоянието в края на пътя и скоростта на отстраняване, тъй като t = (S - S0) : ʋstr. Тъй като и двете разстояния са известни от условията на задачата, нека намерим скоростта на отстраняване. ʋud. = ʋ1 - ʋ2 = 80 - 60 = 20 км/ч. Сега можем да намерим необходимото време. t = (S - S0) : ʋsp = (700 - 560) : 20 = 7h. Получихме, че за 7 часа ще има 700 км между колите.
§ 6 Кратко резюме на темата на урока
При едновременно насрещно движение и движение в преследване разстоянието между два движещи се обекта намалява (докато се срещнат). За единица време тя намалява с ʋsbl., а за цялото време на движение преди срещата ще намалее с началното разстояние S. Това означава, че и в двата случая началното разстояние е равно на скоростта на приближаване, умножена по времето на движение до срещата: S = ʋsbl. · tbl.. Единствената разлика е, че когато има насрещно движение, ʋbl. = ʋ1 + ʋ2, а при движение след ʋсбл. = ʋ1 - ʋ2.
При движение в противоположни посоки и със закъснение разстоянието между обектите се увеличава, така че среща няма да се случи. За единица време се увеличава с ʋsud., а за цялото време на движение ще се увеличи със стойността на произведението ʋsud.· t. Това означава, че и в двата случая разстоянието между обектите в края на пътя е равно на сбора от първоначалното разстояние и произведението ʋstr.·t. S = S0 + ʋстр. · т. Единствената разлика е, че при обратно движение ʋстр. = ʋ1 + ʋ2, а при движение със закъснение ʋstr. = ʋ1 - ʋ2.
Списък на използваната литература:
- Питърсън Л.Г. Математика. 4 клас. Част 2. / Л.Г. Питърсън. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.
- Математика. 4 клас. Насокикъм учебника по математика „Уча се да уча” за 4. клас / Л.Г. Питърсън. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.
- Зак С.М. Всички задачи към учебника по математика за 4 клас на Л.Г. Питърсън и набор от независими и контролни работи. GEF. – М.: УНСС, 2014.
- CD ROM. Математика. 4 клас. Сценарии на уроци към учебника за част 2 Peterson L.G. – М.: Ювента, 2013.
Използвани изображения:
И така, да кажем, че телата ни се движат в една и съща посока. Колко случая според вас може да има за такова състояние? Точно така, две.
Защо е така? Сигурен съм, че след всички примери лесно ще разберете как да изведете тези формули.
Схванах го? Много добре! Време е да решим проблема.
Четвърта задача
Коля отива на работа с кола със скорост км/ч. Колегата Коля Вова кара със скорост км/ч. Коля живее на километри от Вова.
Колко време ще отнеме на Вова да настигне Коля, ако напуснат къщата едновременно?
броихте ли Нека сравним отговорите - оказа се, че Вова ще настигне Коля след час или минути.
Нека сравним нашите решения...
Чертежът изглежда така:
Подобни на вашите? Много добре!
Тъй като задачата пита колко време след като момчетата са се срещнали и са си тръгнали по едно и също време, времето, през което са пътували, ще бъде същото, както и мястото на срещата (на фигурата е обозначено с точка). Когато съставяме уравненията, нека отделим време за.
И така, Вова се добра до мястото на срещата. Коля се запъти към мястото на срещата. Ясно е. Сега нека разгледаме оста на движение.
Да започнем с пътя, по който Коля тръгна. Неговият път () е показан на фигурата като сегмент. В какво се състои пътят на Вова ()? Точно така, от сумата на отсечките и, къде е първоначалното разстояние между момчетата, и е равно на пътя, който е изминал Коля.
Въз основа на тези заключения получаваме уравнението:
Схванах го? Ако не, просто прочетете това уравнение отново и погледнете точките, отбелязани на оста. Рисуването помага, нали?
часове или минути минути.
Надявам се от този пример да разберете колко важна е ролята Браво на рисунката!
И ние плавно продължаваме, или по-скоро, вече сме преминали към следващата точка от нашия алгоритъм - привеждане на всички количества в едно и също измерение.
Правилото на трите "R" - измерение, разумност, изчисление.
Измерение.
Проблемите не винаги дават еднакво измерение за всеки участник в движението (както беше в нашите лесни задачи).
Например, можете да намерите задачи, в които се казва, че телата са се движили за определен брой минути, а скоростта им на движение е посочена в km/h.
Не можем просто да вземем и заместим стойностите във формулата - отговорът ще бъде неправилен. Дори по отношение на мерните единици нашият отговор „се проваля“ на теста за разумност. Сравнете:
Виждаш ли? Когато умножаваме правилно, намаляваме и мерните единици и съответно получаваме разумен и правилен резултат.
Какво се случва, ако не преминем към една система за измерване? Отговорът има странно измерение и резултатът е % неправилен.
Така че, за всеки случай, нека ви напомня за значенията на основните единици за дължина и време.
Единици за дължина:
сантиметър = милиметри
дециметър = сантиметри = милиметри
метър = дециметри = сантиметри = милиметри
километър = метри
Времеви единици:
минута = секунди
час = минути = секунди
ден = часове = минути = секунди
съвет:Когато преобразувате мерни единици, свързани с времето (минути в часове, часове в секунди и т.н.), представете си циферблат на часовник в главата си. С просто око се вижда, че минутите са една четвърт от циферблата, т.е. часа, минутите са една трета от циферблата, т.е. час, а минутата си е час.
А сега една много проста задача:
Маша кара колелото си от дома до селото със скорост км/ч за минути. Какво е разстоянието между къщата за коли и селото?
броихте ли Верният отговор е км.
минути е час, а други минути от час (мислено си представих циферблат на часовник и казах, че минутите са четвърт час), съответно - min = часове.
Разумност.
Разбирате ли, че скоростта на автомобил не може да бъде км/ч, освен ако, разбира се, не говорим за спортна кола? И още повече, че не може да бъде отрицателно, нали? И така, рационалността, това е за какво става въпрос)
Изчисляване.
Вижте дали вашето решение „преминава“ размерите и разумността и едва тогава проверете изчисленията. Логично е - ако има несъответствие с размерността и рационалността, тогава е по-лесно да зачеркнете всичко и да започнете да търсите логически и математически грешки.
„Любов към масите“ или „когато рисуването не е достатъчно“
Проблемите с движението не винаги са толкова прости, колкото сме ги решавали преди. Много често, за да разрешите правилно проблем, трябва не само нарисувайте компетентна картина, но и направете таблицас всички предоставени ни условия.
Първа задача
Велосипедист и мотоциклетист са тръгнали едновременно от точка на точка, като разстоянието между тях е километри. Известно е, че мотоциклетистът изминава повече километра в час от велосипедиста.
Определете скоростта на велосипедиста, ако е известно, че той е пристигнал на точката минути по-късно от мотоциклетиста.
Това е задачата. Съберете се и го прочетете няколко пъти. чел ли си го Започнете да рисувате - права линия, точка, точка, две стрелки...
Като цяло, нарисувайте и сега ще сравним какво имате.
Малко е празно, нали? Да начертаем таблица.
Както си спомняте, всички задачи за движение се състоят от следните компоненти: скорост, време и път. Именно тези колони ще се състоят от всяка таблица в такива проблеми.
Вярно, ще добавим още една колона - Име, за които пишем информация - мотоциклетист и велосипедист.
Посочете също в заглавката измерение, в който ще въведете стойностите там. Помните колко важно е това, нали?
Получихте ли такава маса?
Сега нека анализираме всичко, което имаме, и в същото време да въведем данните в таблицата и фигурата.
Първото нещо, което имаме, е пътя, по който са минали велосипедистът и мотоциклетистът. То е същото и равно на km. Нека го внесем!
Нека вземем скоростта на велосипедиста като, тогава скоростта на мотоциклетиста ще бъде...
Ако с такива променливо решениеАко задачата не работи, няма проблем, ще вземем друга, докато стигнем до победната. Това се случва, най-важното е да не сте нервни!
Масата се промени. Имаме само една незапълнена колона - време. Как да намерим време, когато има път и скорост?
Точно така, разделете разстоянието на скоростта. Въведете това в таблицата.
Сега нашата таблица е попълнена, сега можем да въведем данните в чертежа.
Какво можем да отразим върху него?
Много добре. Скорост на движение на мотоциклетист и велосипедист.
Нека препрочетем задачата отново, погледнете снимката и попълнената таблица.
Какви данни не са отразени в таблицата или фигурата?
вярно Времето, когато мотоциклетистът е пристигнал преди велосипедиста. Знаем, че часовата разлика е минути.
Какво да правим след това? Точно така, преобразувайте даденото ни време от минути в часове, защото скоростта ни е дадена в км/ч.
Магията на формулите: съставяне и решаване на уравнения - манипулации, водещи до единствения верен отговор.
И така, както може би се досещате, сега ще го направим грим уравнението.
Съставяне на уравнението:
Погледнете вашата таблица, последното условие, което не е включено в нея и помислете, връзката между какво и какво можем да поставим в уравнението?
вярно Можем да създадем уравнение въз основа на часовата разлика!
Логично? Велосипедистът е карал повече; ако извадим времето на мотоциклетиста от неговото време, ще получим разликата, която ни е дадена.
Това уравнение е рационално. Ако не знаете какво е това, прочетете темата "".
Привеждаме термините към общ знаменател:
Нека отворим скобите и представим подобни термини: Фу! Схванах го? Опитайте се със следния проблем.
Решение на уравнението:
От това уравнение получаваме следното:
Нека отворим скобите и преместим всичко в лявата страна на уравнението:
Ето! Имаме прост квадратно уравнение. Да решим!
Получихме два възможни отговора. Да видим какво имаме? Точно така, скоростта на велосипедиста.
Нека си припомним правилото „3P“, по-точно „разумност“. Знаеш ли какво искам да кажа? Точно! Скоростта не може да бъде отрицателна, така че нашият отговор е km/h.
Втора задача
Двама колоездачи тръгват едновременно на -километрово каране. Първият караше с един км/ч по-висока скорост от втория и пристигна на финала часове по-рано от втория. Намерете скоростта на колоездача, който дойде втори до финалната линия. Дайте своя отговор в км/ч.
Нека ви напомня алгоритъма за решение:
- Прочетете проблема няколко пъти и разберете всички подробности. Схванах го?
- Започнете да рисувате картина - в каква посока се движат? колко далеч са пътували? Ти ли го нарисува?
- Проверете дали всичките ви величини са с еднаква размерност и започнете да записвате накратко условията на проблема, като направите таблица (помните ли какви графики има?).
- Докато пишете всичко това, помислете за какво да вземете? Избрахте ли? Запишете го в таблицата! Е, сега е просто: съставяме уравнение и го решаваме. Да, и накрая - помнете "3R"!
- Направих ли всичко? Много добре! Разбрах, че скоростта на велосипедиста е km/h.
-"Какъв цвят е твоята кола?" - "Тя е красива!" Верни отговори на зададените въпроси
Нека продължим нашия разговор. И така, каква е скоростта на първия колоездач? км/ч? Наистина се надявам, че сега не кимате „да“!
Прочетете внимателно въпроса: „Каква е скоростта на първиколоездач?
разбираш ли какво имам предвид
Точно! Получено е не винаги отговорът на поставения въпрос!
Прочетете внимателно въпросите - може би след като ги намерите, ще трябва да извършите още някои манипулации, например да добавите км/ч, както в нашата задача.
Още един момент - често в задачите всичко е посочено в часове, а отговорът се иска да бъде изразен в минути или всички данни се дават в км, а отговорът се иска да се изпише в метри.
Гледайте размерите не само по време на самото решение, но и когато записвате отговорите.
Проблеми с кръговото движение
Телата при проблеми могат да се движат не непременно направо, но и в кръг, например велосипедистите могат да карат по кръгла писта. Нека да разгледаме този проблем.
Задача No1
Велосипедист напусна точка по кръговия маршрут. Минути по-късно той все още не се е върнал на пункта и мотоциклетистът напуска пункта след него. Минути след тръгването той за първи път настигна колоездача, а минути след това го настигна и за втори път.
Намерете скоростта на велосипедиста, ако дължината на маршрута е km. Дайте своя отговор в км/ч.
Решение на задача No1
Опитайте се да нарисувате картина за този проблем и да попълните таблица за него. Ето какво получих:
Между срещите велосипедистът измина разстояние, а мотоциклетистът - .
Но в същото време мотоциклетистът кара точно една обиколка повече, както се вижда от фигурата:
Надявам се разбирате, че всъщност не са карали спираловидно - спиралата просто схематично показва, че карат в кръг, като минават няколко пъти по едни и същи точки от маршрута.
Схванах го? Опитайте се да решите сами следните проблеми:
Задачи за самостоятелна работа:
- Два мотоциклета тръгват едновременно в една посока от двете диа-мет-но-про-ти-на-фалшиви точки на кръгов маршрут, чиято дължина е равна на км. След колко минути циклите се изравняват за първи път, ако скоростта на единия е км/ч по-висока от скоростта на другия?хо-хо?
- От една точка по кръгова магистрала, чиято дължина е равна на km, в един момент двама мотоциклетисти в една и съща посока. Скоростта на първия мотоциклет е равна на km/h, като минути след старта той е изпреварвал с една обиколка втория мотоциклет. Намерете скоростта на втория мотоциклет. Дайте своя отговор в км/ч.
Решения на задачи за самостоятелна работа:
- Нека km/h е скоростта на първия мотоциклет, тогава скоростта на втория мотоциклет е равна на km/h. Нека циклите са равни за първи път след няколко часа. За да са равни циклите, по-бързият трябва да ги преодолее от начално разстояние, равно на дължината на маршрута.
Получаваме, че времето е часове = минути.
- Нека скоростта на втория мотоциклет е равна на km/h. За един час първият мотоциклет изминава повече километри от втория, така че получаваме уравнението:
Скоростта на втория мотоциклетист е km/h.
Актуални проблеми
Сега, когато сте отлични в решаването на проблеми „на сушата“, нека се преместим във водата и да разгледаме страшните проблеми, свързани с течението.
Представете си, че имате сал и го спускате в езерото. какво става с него вярно Стои, защото езерото, езерцето, локвата все пак е неподвижна вода.
Текущата скорост в езерото е .
Салът ще се движи само ако започнете да гребете сами. Скоростта, която придобива, ще бъде собствената скорост на сала.Няма значение къде плувате - наляво, надясно, салът ще се движи със скоростта, с която гребете. Ясно е? Логично е.
Сега си представете, че спускате сал по реката, обръщате се, за да вземете въжето..., обръщате се и то... изплува...
Това се случва, защото реката има скорост на течение, който носи вашия сал по посока на течението.
Скоростта му е нула (стоите в шок на брега, а не гребете) - движи се със скоростта на течението.
Схванах го?
След това отговорете на въпроса: „С каква скорост ще се носи салът по реката, ако седите и гребете?“ Мислите ли за това?
Тук има два възможни варианта.
Вариант 1 – пускате се по течението.
И тогава плувате със собствената си скорост + скоростта на течението. Потокът изглежда ви помага да продължите напред.
2-ри вариант - т Вие плувате срещу течението.
Твърд? Точно така, защото течението се опитва да ви „хвърли” назад. Полагате все повече усилия поне да плувате метра, съответно скоростта, с която се движите е равна на вашата собствена скорост - скоростта на течението.
Да кажем, че трябва да преплувате километър. Кога ще изминеш това разстояние по-бързо? Кога ще се оставиш на течението или срещу него?
Нека да решим проблема и да проверим.
Нека добавим към нашия път данни за скоростта на течението - km/h и собствената скорост на сала - km/h. Колко време ще прекарате в движение по и срещу течението?
Разбира се, вие се справихте с тази задача без затруднения! Отнема час по течението и час срещу течението!
Това е цялата същност на задачите при движение с течението.
Нека усложним малко задачата.
Задача No1
Лодка с мотор отне един час, за да пътува от точка до точка, и час, за да се върне.
Намерете скоростта на течението, ако скоростта на лодката в неподвижна вода е km/h
Решение на задача No1
Нека означим разстоянието между точките като, а скоростта на течението като.
| Пътят S | Скорост v, км/ч |
Време t, часа |
|
| A -> B (нагоре) | 3 | ||
| B -> A (надолу) | 2 |
Виждаме, че лодката поема по същия път, съответно:
За какво таксувахме?
Настояща скорост. Тогава това ще е отговорът :)
Скоростта на течението е km/h.
Задача No2
Каякът тръгна от точка до точка, намираща се на км. След като престоя в точка за един час, каякът се върна и се върна в точка c.
Определете (в km/h) собствената скорост на каяка, ако е известно, че скоростта на реката е km/h.
Решение на задача No2
Така че да започваме. Прочетете задачата няколко пъти и начертайте. Мисля, че можете лесно да разрешите това сами.
Всички количества ли са изразени в една и съща форма? Не. Времето ни за почивка е посочено в часове и минути.
Нека преобразуваме това в часове:
час минути = ч.
Сега всички количества са изразени в една форма. Нека започнем да попълваме таблицата и да намерим какво ще приемем.
Нека е собствената скорост на каяка. Тогава скоростта на каяка по течението и срещу течението е равна.
Нека запишем тези данни, както и пътя (както разбирате, той е един и същ) и времето, изразено като път и скорост, в таблица:
| Пътят S | Скорост v, км/ч |
Време t, часа |
|
| Срещу течението | 26 | ||
| С потока | 26 |
Нека изчислим колко време е прекарал каякът в своето пътуване:
Плувала ли е през всичките часове? Да препрочетем задачата.
Не, не всички. Тя имаше един час почивка, така че от часовете изваждаме времето за почивка, което вече сме превърнали в часове:
h каякът наистина изплува.
Нека приведем всички термини към общ знаменател:
Нека отворим скобите и представим подобни термини. След това решаваме полученото квадратно уравнение.
Мисля, че можете да се справите и с това сами. Какъв отговор получи? Имам км/ч.
Обобщаване
НАПРЕДНАЛО НИВО
Двигателни задачи. Примери
Нека помислим примери с решенияза всеки тип задача.
Движейки се по течението
Някои от най-простите задачи са проблеми с речното корабоплаване. Цялата им същност е следната:
- ако се движим с потока, скоростта на течението се добавя към нашата скорост;
- ако се движим срещу течението, скоростта на течението се изважда от нашата скорост.
Пример #1:
Лодката е плавала от точка А до точка Б за часове и обратно за часове. Намерете скоростта на течението, ако скоростта на лодката в неподвижна вода е km/h.
Решение №1:
Нека означим разстоянието между точките като AB, а скоростта на тока като.
Нека поставим всички данни от условието в таблицата:
| Пътят S | Скорост v, км/ч |
Време t, часове | |
| A -> B (нагоре) | AB | 50-х | 5 |
| B -> A (надолу) | AB | 50+x | 3 |
За всеки ред от тази таблица трябва да напишете формулата:
Всъщност не е нужно да пишете уравнения за всеки ред от таблицата. Виждаме, че разстоянието, изминато от лодката напред и назад, е еднакво.
Това означава, че можем да приравним разстоянието. За да направите това, ние използваме веднага формула за разстояние:
Често трябва да използвате формула за време:
Пример #2:
Една лодка изминава разстояние от километри срещу течението един час по-дълго, отколкото по течението. Намерете скоростта на лодката в неподвижна вода, ако скоростта на течението е km/h.
Решение №2:
Нека се опитаме веднага да създадем уравнение. Времето нагоре по течението е с час по-дълго от времето нагоре по течението.
Написано е така:
Сега, вместо всеки път, нека заместим формулата:
Имам обичайното рационално уравнение, нека го решим:
Очевидно скоростта не може да бъде отрицателно число, така че отговорът е km/h.
Относително движение
Ако някои тела се движат едно спрямо друго, често е полезно да се изчисли тяхната относителна скорост. То е равно на:
- сумата от скоростите, ако телата се движат едно към друго;
- разлики в скоростта, ако телата се движат в една и съща посока.
Пример №1
Две коли напуснаха точки А и В едновременно една към друга със скорости km/h и km/h. След колко минути ще се срещнат? Ако разстоянието между точките е km?
I метод на решение:
Относителна скорост на автомобилите km/h. Това означава, че ако седим в първата кола, тя ни изглежда неподвижна, но втората кола се приближава към нас със скорост км/ч. Тъй като разстоянието между колите първоначално е km, времето, необходимо на втората кола да премине първата:
Метод II:
Времето от началото на движението до срещата на автомобилите очевидно е едно и също. Нека го обозначим. След това първата кола кара пътеката, а втората - .
Общо изминаха всички километри. означава,
Други задачи за движение
Пример #1:
Кола напусна точка А към точка Б. В същото време с него тръгва друга кола, която е изминала точно половината път със скорост km/h по-малка от първата, а втората половина е изминала със скорост km/h.
В резултат на това колите пристигнаха в точка Б по едно и също време.
Намерете скоростта на първия автомобил, ако се знае, че е по-голяма от km/h.
Решение №1:
Вляво от знака за равенство записваме времето на първата кола, а вдясно - на втората:
Нека опростим израза от дясната страна:
Нека разделим всеки член на AB:
Резултатът е обикновено рационално уравнение. След като го решим, получаваме два корена:
От тях само един е по-голям.
Отговор: км/ч.
Пример №2
Велосипедист напусна точка А от кръговия маршрут. Минути по-късно той още не се е върнал в точка А, а от точка А го последвал мотоциклетист. Минути след тръгването той за първи път настигна колоездача, а минути след това го настигна и за втори път. Намерете скоростта на велосипедиста, ако дължината на маршрута е km. Дайте своя отговор в км/ч.
Решение:
Тук ще приравним разстоянието.
Нека скоростта на велосипедиста е, а скоростта на мотоциклетиста - . До момента на първата среща велосипедистът е бил на пътя минути, а мотоциклетистът - .
В същото време те изминаха равни разстояния:
Между срещите велосипедистът измина разстояние, а мотоциклетистът - . Но в същото време мотоциклетистът кара точно една обиколка повече, както се вижда от фигурата:
Надявам се разбирате, че те всъщност не са карали по спирала, а спиралата просто показва схематично, че те карат в кръг, преминавайки по няколко пъти през едни и същи точки от маршрута.
Решаваме получените уравнения в системата:
ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
1. Основна формула
2. Относително движение
- Това е сумата от скоростите, ако телата се движат едно срещу друго;
- разлика в скоростта, ако телата се движат в една и съща посока.
3. Движейки се по течението:
- Ако се движим с течението, скоростта на течението се добавя към нашата скорост;
- ако се движим срещу течението, скоростта на течението се изважда от скоростта.
Помогнахме ви да се справите с двигателните проблеми...
Сега е твой ред...
Ако сте прочели внимателно текста и сте решили сами всички примери, сме готови да се обзаложим, че сте разбрали всичко.
И това вече е половината път.
Напишете по-долу в коментарите, разбрахте ли проблемите с движението?
Кои създават най-много трудности?
Разбирате ли, че задачите за „работа“ са почти едно и също нещо?
Пишете ни и успех на изпитите!
