Математика е символ на мъдростта на науката,
модел на научна строгост и простота,
стандартът за съвършенство и красота в науката.
Руски философ, професор А.В. Волошинов
Неравенства с модул
Най-трудните задачи за решаване в училищната математика са неравенствата, съдържащи променливи под знака на модула. За успешно решениеТакива неравенства изискват добро познаване на свойствата на модула и умения за използването им.
Основни понятия и свойства
Модул ( абсолютна стойност) реално число обозначен с и се определя, както следва:
ДА СЕ прости свойствамодул включва следните отношения:
И .
Забележка, че последните две свойства са валидни за всяка четна степен.
Освен това, ако, къде, тогава и
| Повече ▼ комплексни свойствамодул, които могат ефективно да се използват при решаване на уравнения и неравенства с модули, се формулират чрез следните теореми:
Теорема 1.За всякакви аналитични функцииИ неравенството е вярно.
Теорема 2.Равенство равносилно на неравенство.
Теорема 3.Равенство равносилно на неравенство.
Най-често срещаните неравенства в училищната математика, съдържащи неизвестни променливи под знака на модула, са неравенства от видаи къде някаква положителна константа.
Теорема 4.Неравенство е еквивалентно на двойно неравенство, и решението на неравенствотосе свежда до решаване на набор от неравенстваИ .
Тази теорема е специален случай на теореми 6 и 7.
По-сложни неравенства, съдържащи модул са неравенства от вида, И .
Методите за решаване на такива неравенства могат да бъдат формулирани с помощта на следните три теореми.
Теорема 5.Неравенство е еквивалентна на комбинацията от две системи от неравенства
аз (1)
Доказателство.От тогава
Това предполага валидността на (1).
Теорема 6.Неравенство е еквивалентна на системата от неравенства
Доказателство.защото, след това от неравенствоследва това . При това условие неравенствотои в този случай втората система от неравенства (1) ще се окаже несъстоятелна.
Теоремата е доказана.
Теорема 7.Неравенство е еквивалентно на комбинация от едно неравенство и две системи от неравенства
аз (3)
Доказателство.Тъй като , Тогава неравенството винаги се изпълнява, Ако .
Позволявам , тогава неравенствотоще бъде еквивалентно на неравенство, от което следва набор от две неравенстваИ .
Теоремата е доказана.
Нека разгледаме типични примери за решаване на задачи по темата „Неравенства, съдържащи променливи под знака за модул."
Решаване на неравенства с модул
Най-простият метод за решаване на неравенства с модул е методът, въз основа на разширяване на модула. Този метод е универсален, обаче в общия случай използването му може да доведе до много тромави изчисления. Следователно учениците трябва да познават други (по-ефективни) методи и техники за решаване на такива неравенства. В частност, необходимо е да имате умения за прилагане на теореми, дадени в тази статия.
Пример 1Решете неравенство
. (4)
Решение.Неравенство (4) ще решим по „класическия” метод – методът на разкриване на модули. За целта разделяме числовата осточки и на интервали и разгледайте три случая.
1. Ако , то , , , и неравенството (4) приема форматаили .
Тъй като случаят се разглежда тук, той е решение на неравенство (4).
2. Ако, то от неравенство (4) получавамеили . Тъй като пресичането на интервалиИ празно е, тогава на разглеждания интервал от решения няма неравенство (4).
3. Ако, тогава неравенството (4) приема форматаили . Очевидно е, че също е решение на неравенство (4).
Отговор: , .
Пример 2.Решете неравенство.
Решение.Да приемем, че. защото, тогава даденото неравенство приема форматаили . Защото тогава и от тук следваили .
Въпреки това, следователно или.
Пример 3.Решете неравенство
. (5)
Решение.защото, тогава неравенство (5) е еквивалентно на неравенстватаили . Оттук, съгласно теорема 4, имаме набор от неравенстваИ .
Отговор: , .
Пример 4Решете неравенство
. (6)
Решение.Нека обозначим . Тогава от неравенство (6) получаваме неравенствата , , или .
Оттук, използвайки интервалния метод, получаваме . защото, тогава тук имаме система от неравенства
Решението на първото неравенство от системата (7) е обединението на два интервалаИ , а решението на второто неравенство е двойното неравенство. Това предполага , че решението на системата от неравенства (7) е обединението на два интервалаИ .
Отговор: ,
Пример 5Решете неравенство
. (8)
Решение. Нека трансформираме неравенството (8) по следния начин:
Или .
Използване на интервалния метод, получаваме решение на неравенство (8).
Отговор: .
Забележка. Ако поставим и в условията на теорема 5, получаваме .
Пример 6Решете неравенство
. (9)
Решение. От неравенство (9) следва. Нека трансформираме неравенството (9) по следния начин:
Или
Тъй като , тогава или .
Отговор: .
Пример 7Решете неравенство
. (10)
Решение.Тъй като и , тогава или .
В това отношение и неравенството (10) приема формата
Или
. (11)
От това следва, че или. Тъй като , то неравенството (11) също предполага или .
Отговор: .
Забележка. Ако приложим теорема 1 към лявата страна на неравенството (10), тогава получаваме . От това и неравенството (10) следва, какво или . защото, тогава неравенството (10) приема форматаили .
Пример 8Решете неравенство
. (12)
Решение.От тогава и от неравенство (12) следваили . Въпреки това, следователно или. От тук получаваме или .
Отговор: .
Пример 9Решете неравенство
. (13)
Решение.Съгласно теорема 7 решението на неравенство (13) е или .
Нека бъде сега. В такъв случай и неравенството (13) приема форматаили .
Ако комбинирате интервалитеИ , тогава получаваме решение на неравенство (13) от вида.
Пример 10Решете неравенство
. (14)
Решение.Нека пренапишем неравенство (14) в еквивалентен вид: . Ако приложим теорема 1 към лявата страна на това неравенство, получаваме неравенството .
От тук и от Теорема 1 следва, че неравенството (14) е изпълнено за всякакви стойности.
Отговор: всяко число.
Пример 11.Решете неравенство
. (15)
Решение. Прилагане на теорема 1 към лявата страна на неравенството (15), получаваме . Това и неравенството (15) дават уравнението, който има формата.
Според теорема 3, уравнението равносилно на неравенство. От тук получаваме.
Пример 12.Решете неравенство
. (16)
Решение. От неравенство (16) съгласно теорема 4 получаваме система от неравенства
При решаване на неравенствотоНека използваме теорема 6 и да получим система от неравенстваот което следва.
Помислете за неравенството. Според Теорема 7, получаваме набор от неравенстваИ . Второто неравенство на населението е валидно за всяко реално.
следователно решението на неравенство (16) е.
Пример 13.Решете неравенство
. (17)
Решение.Съгласно теорема 1 можем да напишем
(18)
Като вземем предвид неравенството (17), заключаваме, че и двете неравенства (18) се превръщат в равенства, т.е. има система от уравнения
По теорема 3 тази система от уравнения е еквивалентна на системата от неравенства
или
Пример 14.Решете неравенство
. (19)
Решение.От тогава. Нека умножим двете страни на неравенството (19) по израза , който приема само положителни стойности за всякакви стойности. Тогава получаваме неравенство, което е еквивалентно на неравенство (19), от вида
Оттук получаваме или къде . Тъй като и тогава решението на неравенството (19) еИ .
Отговор: , .
За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на неравенства с модул препоръчваме да се обърнете към учебниците, дадени в списъка с препоръчителна литература.
1. Колекция от задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: методи за решаване и доказване на неравенства. – М.: Lenand / URSS, 2018. – 264 с.
3. Супрун В.П. Математика за гимназисти: нестандартни методи за решаване на задачи. – М.: CD “Либроком” / URSS, 2017. – 296 с.
Имате ли някакви въпроси?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Днес, приятели, няма да има сополи и сантименталности. Вместо това ще ви изпратя, без въпроси, в битка с един от най-страшните противници в курса по алгебра за 8-9 клас.
Да, разбрахте всичко правилно: говорим за неравенства с модул. Ще разгледаме четири основни техники, с които ще се научите да решавате около 90% от подобни проблеми. Какво ще кажете за останалите 10%? Е, ще говорим за тях в отделен урок. :)
Въпреки това, преди да анализирам някоя от техниките, бих искал да ви напомня два факта, които вече трябва да знаете. В противен случай рискувате изобщо да не разберете материала от днешния урок.
Това, което вече трябва да знаете
Captain Obviousness изглежда намеква, че за да решавате неравенства с модул, трябва да знаете две неща:
- Как се решават неравенствата;
- Какво е модул?
Да започнем с втората точка.
Дефиниция на модула
Тук всичко е просто. Има две дефиниции: алгебрична и графична. Като начало - алгебричен:
Определение. Модулът на число $x$ е или самото число, ако е неотрицателно, или противоположното му число, ако оригиналният $x$ все още е отрицателен.
Написано е така:
\[\ляво| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
С прости думи, модулът е „число без минус“. И точно в тази двойственост (на някои места не е нужно да правите нищо с оригиналния номер, но на други ще трябва да премахнете някакъв вид минус) е цялата трудност за начинаещите ученици.
Има ли още геометрична дефиниция. Също така е полезно да се знае, но ще се обърнем към него само в сложни и някои специални случаи, където геометричният подход е по-удобен от алгебричния (спойлер: не днес).
Определение. Нека точка $a$ е отбелязана на числовата ос. След това модулът $\left| x-a \right|$ е разстоянието от точка $x$ до точка $a$ на тази права.
Ако нарисувате картина, ще получите нещо подобно:
Дефиниране на графичен модул По един или друг начин, от дефиницията на модул веднага следва ключово свойство: модулът на числото винаги е неотрицателна величина. Този факт ще бъде червена нишка през целия ни разказ днес.
Решаване на неравенства. Интервален метод
Сега нека да разгледаме неравенствата. Има много от тях, но нашата задача сега е да можем да решим поне най-простия от тях. Тези, които се свеждат до линейни неравенства, както и към интервалния метод.
Имам два големи урока по тази тема (между другото, много, МНОГО полезни - препоръчвам да ги изучавате):
- Интервален метод за неравенства(особено гледайте видеото);
- Дробни рационални неравенства- много обемен урок, но след него изобщо няма да имате въпроси.
Ако знаете всичко това, ако фразата „да преминем от неравенство към уравнение“ не ви кара да имате смътно желание да се ударите в стената, значи сте готови: добре дошли в ада в основната тема на урока. :)
1. Неравенства от формата „Модулът е по-малък от функцията“
Това е един от най-честите проблеми с модулите. Необходимо е да се реши неравенство от вида:
\[\ляво| f\надясно| \ltg\]
Функциите $f$ и $g$ могат да бъдат всякакви, но обикновено са полиноми. Примери за такива неравенства:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \надясно| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\край (подравняване)\]
Всички те могат да бъдат решени буквално в един ред по следната схема:
\[\ляво| f\надясно| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \право.\право)\]
Лесно се вижда, че се отърваваме от модула, но в замяна получаваме двойно неравенство (или, което е същото, система от две неравенства). Но този преход отчита абсолютно всички възможни проблеми: ако числото под модула е положително, методът работи; ако е отрицателен, той все още работи; и дори с най-неадекватната функция на мястото на $f$ или $g$, методът пак ще работи.
Естествено възниква въпросът: не може ли да бъде по-просто? За съжаление не е възможно. Това е целият смисъл на модула.
Но стига с философстването. Нека разрешим няколко проблема:
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| 2x+3 \надясно| \lt x+7\]
Решение. И така, пред нас е класическо неравенство под формата „модулът е по-малък“ - дори няма какво да се трансформира. Ние работим по алгоритъма:
\[\begin(align) & \left| f\надясно| \lt g\Стрелка надясно -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \надясно| \lt x+7\Стрелка надясно -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
Не бързайте да отваряте скобите, предшествани от „минус“: напълно възможно е поради бързината да направите обидна грешка.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Задачата се сведе до две елементарни неравенства. Нека отбележим техните решения на успоредни числови прави:
Пресечна точка на много
Пресечната точка на тези множества ще бъде отговорът.
Отговор: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Решение. Тази задача е малко по-трудна. Първо, нека изолираме модула, като преместим втория член надясно:
\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\наляво(x+1 \надясно)\]
Очевидно отново имаме неравенство от формата „модулът е по-малък“, така че се отърваваме от модула, използвайки вече известния алгоритъм:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Сега внимание: някой ще каже, че съм малко перверзник с всички тези скоби. Но нека ви напомня още веднъж, че основната ни цел е решете правилно неравенството и получете отговора. По-късно, когато усвоите перфектно всичко, описано в този урок, можете сами да го изопачите, както желаете: отваряйте скоби, добавяйте минуси и т.н.
Като начало, просто ще се отървем от двойното минус вляво:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ляво(x+1 \дясно)\]
Сега нека отворим всички скоби в двойното неравенство:
Да преминем към двойното неравенство. Този път изчисленията ще бъдат по-сериозни:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( подравняване)\надясно.\]
И двете неравенства са квадратни и могат да бъдат решени чрез интервалния метод (затова казвам: ако не знаете какво е това, по-добре все още да не се заемате с модули). Нека преминем към уравнението в първото неравенство:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\край (подравняване)\]
Както можете да видите, резултатът беше непълен квадратно уравнение, което може да се реши по елементарен начин. Сега нека разгледаме второто неравенство на системата. Там ще трябва да приложите теоремата на Виета:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\край (подравняване)\]
Отбелязваме получените числа на две успоредни линии (отделно за първото неравенство и отделно за второто):
Отново, тъй като решаваме система от неравенства, ние се интересуваме от пресечната точка на защрихованите множества: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Това е отговорът.
Отговор: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Мисля, че след тези примери схемата на решение е пределно ясна:
- Изолирайте модула, като преместите всички други членове в противоположната страна на неравенството. Така получаваме неравенство от вида $\left| f\надясно| \ltg$.
- Решете това неравенство, като се отървете от модула според описаната по-горе схема. В един момент ще е необходимо да се премине от двойно неравенство към система от два независими израза, всеки от които вече може да бъде решен отделно.
- И накрая, всичко, което остава, е да пресечем решенията на тези два независими израза - и това е всичко, ще получим окончателния отговор.
Подобен алгоритъм съществува за неравенства от следния тип, когато модулът повече функции. Има обаче няколко сериозни „но“. Сега ще говорим за тези „но“.
2. Неравенства от формата „Модулът е по-голям от функцията“
Те изглеждат така:
\[\ляво| f\надясно| \gtg\]
Подобен на предишния? Изглежда. И все пак такива проблеми се решават по съвсем различен начин. Формално схемата е следната:
\[\ляво| f\надясно| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
С други думи, разглеждаме два случая:
- Първо, просто игнорираме модула и решаваме обичайното неравенство;
- След това, по същество, разширяваме модула със знака минус и след това умножаваме двете страни на неравенството по −1, докато имам знака.
В този случай опциите се комбинират с квадратна скоба, т.е. Пред нас е комбинация от две изисквания.
Моля, обърнете внимание отново: следователно това не е система, а цялост в отговора множествата са комбинирани, а не пресичащи се. Това е фундаментална разлика от предишната точка!
Като цяло, много студенти са напълно объркани със съюзите и пресичанията, така че нека разрешим този проблем веднъж завинаги:
- "∪" е знак на съюза. По същество това е стилизирана буква "U", която дойде при нас на английскии е съкращение от „Съюз“, т.е. „Асоциации“.
- „∩“ е знакът за пресичане. Тези глупости не идват отникъде, а просто се появяват като контрапункт на „∪“.
За да направите запомнянето още по-лесно, просто нарисувайте крака към тези знаци, за да направите очила (само не ме обвинявайте сега, че насърчавам наркоманиите и алкохолизма: ако сериозно изучавате този урок, значи вече сте наркоман):
Разлика между пресичане и обединение на множества Преведено на руски това означава следното: съюзът (съвкупността) включва елементи от двете множества, следователно по никакъв начин не е по-малък от всеки от тях; но пресечната точка (системата) включва само тези елементи, които са едновременно както в първото множество, така и във второто. Следователно пресечната точка на множествата никога не е по-голяма от изходните множества.
Значи стана по-ясно? Това е страхотно. Да преминем към практиката.
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| 3x+1 \надясно| \gt 5-4x\]
Решение. Продължаваме по схемата:
\[\ляво| 3x+1 \надясно| \gt 5-4x\дясна стрелка \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ точно.\]
Решаваме всяко неравенство в популацията:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Маркираме всеки получен набор на числовата линия и след това ги комбинираме:
Обединение на комплекти
Съвсем очевидно е, че отговорът ще бъде $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Отговор: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
Решение. Добре? Нищо - всичко е същото. Преминаваме от неравенство с модул към набор от две неравенства:
\[\ляво| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]
Решаваме всяко неравенство. За съжаление, корените там няма да са много добри:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\край (подравняване)\]
Второто неравенство също е малко диво:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\край (подравняване)\]
Сега трябва да маркирате тези числа на две оси - по една ос за всяко неравенство. Трябва обаче да маркирате точките в правилния ред: колкото по-голямо е числото, толкова повече точката се премества надясно.
И тук ни очаква настройка. Ако всичко е ясно с числата $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (членовете в числителя на първия дроб са по-малки от членовете в числителя на втория, така че сумата също е по-малка), с числата $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ също няма да има затруднения (положителното число очевидно е по-отрицателно), тогава с последната двойка всичко не е толкова ясно. Кое е по-голямо: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ или $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Разположението на точките върху числовите оси и всъщност отговорът ще зависи от отговора на този въпрос.
Така че нека сравним:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
Изолирахме корена, получихме неотрицателни числа от двете страни на неравенството, така че имаме право да поставим на квадрат и двете страни:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Мисля, че е безсмислено, че $4\sqrt(13) \gt 3$, така че $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, крайните точки на осите ще бъдат поставени така:
Случай на грозни корени
Нека ви напомня, че решаваме множество, така че отговорът ще бъде обединение, а не пресичане на защриховани множества.
Отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Както можете да видите, нашата схема работи чудесно както за прости, така и за много трудни проблеми. Единствената „слаба точка“ в този подход е, че трябва правилно да сравнявате ирационални числа (и повярвайте ми: това не са само корени). Но отделен (и много сериозен) урок ще бъде посветен на проблемите на сравнението. И продължаваме напред.
3. Неравенства с неотрицателни „опашки“
Сега стигаме до най-интересната част. Това са неравенства от вида:
\[\ляво| f\надясно| \gt\наляво| g\надясно|\]
Най-общо казано, алгоритъмът, за който ще говорим сега, е правилен само за модула. Работи във всички неравенства, където има гарантирани неотрицателни изрази отляво и отдясно:
Какво да правим с тези задачи? Просто запомни:
В неравенства с неотрицателни „опашки“ и двете страни могат да бъдат повдигнати на всяка естествена степен. Няма да има допълнителни ограничения.
На първо място, ще се интересуваме от квадратурата - тя изгаря модули и корени:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\край (подравняване)\]
Просто не бъркайте това с вземане на корен от квадрат:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Безброй грешки бяха направени, когато ученик забрави да инсталира модул! Но това е съвсем различна история (това са, така да се каже, ирационални уравнения), така че няма да навлизаме в това сега. Нека решим по-добре няколко проблема:
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
Решение. Нека веднага да отбележим две неща:
- Това не е строго неравенство. Точките на числовата ос ще бъдат пробити.
- И двете страни на неравенството очевидно са неотрицателни (това е свойство на модула: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Следователно можем да повдигнем на квадрат двете страни на неравенството, за да се отървем от модула и да решим проблема, използвайки обичайния метод на интервала:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]
На последната стъпка измамих малко: промених последователността от членове, като се възползвах от четността на модула (всъщност умножих израза $1-2x$ по −1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ дясно)\дясно)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Решаваме с помощта на интервалния метод. Нека преминем от неравенство към уравнение:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]
Отбелязваме намерените корени на числовата ос. Още веднъж: всички точки са защриховани, защото първоначалното неравенство не е строго!
Отървете се от знака за модул
Нека напомня за тези, които са особено упорити: вземаме знаците от последното неравенство, което беше написано преди да преминем към уравнението. И рисуваме върху площите, изисквани в същото неравенство. В нашия случай това е $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Добре, всичко свърши. Проблемът е решен.
Отговор: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
Решение. Правим всичко по същия начин. Няма да коментирам - просто вижте последователността на действията.
Квадратирайте го:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \десен))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ надясно))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Интервален метод:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Стрелка надясно x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Стрелка надясно D=16-40 \lt 0\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
На числовата ос има само един корен:
Отговорът е цял интервал
Отговор: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Малка забележка за последната задача. Както един от моите ученици точно отбеляза, и двата подмодулни израза в това неравенство са очевидно положителни, така че знакът за модул може да бъде пропуснат без вреда за здравето.
Но това е съвсем друго ниво на мислене и друг подход – условно може да се нарече метод на следствията. За това - в отделен урок. Сега нека преминем към последната част от днешния урок и да разгледаме един универсален алгоритъм, който винаги работи. Дори когато всички предишни подходи бяха безсилни. :)
4. Метод на изброяване на опциите
Ами ако всички тези техники не помогнат? Ако неравенството не може да бъде сведено до неотрицателни опашки, ако е невъзможно да се изолира модулът, ако като цяло има болка, тъга, меланхолия?
Тогава на сцената излиза „тежката артилерия“ на цялата математика – методът на грубата сила. Във връзка с неравенства с модул изглежда така:
- Изпишете всички подмодулни изрази и ги задайте равни на нула;
- Решете получените уравнения и маркирайте намерените корени на една числова ос;
- Правата линия ще бъде разделена на няколко секции, в рамките на които всеки модул има фиксиран знак и следователно се разкрива уникално;
- Решете неравенството на всеки такъв участък (можете отделно да разгледате корените-граници, получени в стъпка 2 - за надеждност). Комбинирайте резултатите - това ще бъде отговорът. :)
И как? слаб? Лесно! Само за дълго време. Да видим на практика:
Задача. Решете неравенството:
\[\ляво| x+2 \надясно| \lt \наляво| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Решение. Тези глупости не се свеждат до неравенства като $\left| f\надясно| \lt g$, $\left| f\надясно| \gt g$ или $\left| f\надясно| \lt \наляво| g \right|$, така че действаме напред.
Изписваме подмодулни изрази, приравняваме ги към нула и намираме корените:
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Стрелка надясно x=1. \\\край (подравняване)\]
Общо имаме два корена, които разделят числовата линия на три секции, в които всеки модул се разкрива уникално:
Разделяне на числовата ос с нули на подмодулни функции
Нека разгледаме всеки раздел поотделно.
1. Нека $x \lt -2$. Тогава и двата подмодулни израза са отрицателни и първоначалното неравенство ще бъде пренаписано, както следва:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]
Имаме доста просто ограничение. Нека го пресечем с първоначалното предположение, че $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Очевидно променливата $x$ не може едновременно да бъде по-малка от −2 и по-голяма от 1,5. В тази област няма решения.
1.1. Нека разгледаме отделно граничния случай: $x=-2$. Нека просто заместим това число в първоначалното неравенство и да проверим: вярно ли е?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\дясно|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
Очевидно е, че веригата от изчисления ни е довела до неправилно неравенство. Следователно първоначалното неравенство също е невярно и $x=-2$ не е включено в отговора.
2. Нека сега $-2 \lt x \lt 1$. Левият модул вече ще се отвори с „плюс“, но десният все още ще се отвори с „минус“. Ние имаме:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\край (подравняване)\]
Отново се пресичаме с първоначалното изискване:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
И отново празен комплектрешения, тъй като няма числа, които да са едновременно по-малки от −2,5 и по-големи от −2.
2.1. И отново специален случай: $x=1$. Заменяме в първоначалното неравенство:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \ляво| 3\надясно| \lt \наляво| 0\дясно|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Стрелка надясно \varnothing . \\\край (подравняване)\]
Подобно на предишния „специален случай“, числото $x=1$ очевидно не е включено в отговора.
3. Последната част от реда: $x \gt 1$. Тук всички модули се отварят със знак плюс:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
И отново пресичаме намереното множество с оригиналното ограничение:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
Най-накрая! Намерихме интервал, който ще бъде отговорът.
Отговор: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
И накрая, една забележка, която може да ви спаси от глупави грешки при решаването на реални проблеми:
Решенията на неравенства с модули обикновено представляват непрекъснати множества на числовата ос - интервали и отсечки. Много по-рядко изолирани точки. И още по-рядко се случва границата на решението (края на сегмента) да съвпада с границата на разглеждания диапазон.
Следователно, ако границите (същите „специални случаи“) не са включени в отговора, тогава областите отляво и отдясно на тези граници почти сигурно няма да бъдат включени в отговора. И обратното: границата, въведена в отговора, което означава, че някои области около нея също ще бъдат отговори.
Имайте това предвид, когато преглеждате вашите решения.
Решаване на неравенства онлайн
Преди да решавате неравенства, трябва да разберете добре как се решават уравнения.
Няма значение дали неравенството е строго () или нестрого (≤, ≥), първата стъпка е да решите уравнението, като замените знака за неравенство с равенство (=).
Нека обясним какво означава да се реши неравенство?
След като изучава уравненията, в главата на ученика се появява следната картина: той трябва да намери стойности на променливата, така че и двете страни на уравнението да вземат същите стойности. С други думи, намерете всички точки, в които е валидно равенството. Всичко е точно!
Когато говорим за неравенства, имаме предвид намиране на интервали (отсечки), на които е валидно неравенството. Ако има две променливи в неравенството, тогава решението вече няма да бъде интервали, а някои области на равнината. Познайте сами какво ще бъде решението на неравенство в три променливи?
Как се решават неравенства?
По универсален начинрешения на неравенства се считат за метода на интервалите (известен още като метод на интервалите), който се състои в определяне на всички интервали, в границите на които ще бъде изпълнено дадено неравенство.
Без да навлизаме в вида на неравенството, в този случай това не е въпросът, трябва да решите съответното уравнение и да определите корените му, последвано от обозначаването на тези решения на числовата ос.
Как правилно да напиша решението на неравенство?
След като определите интервалите за решаване на неравенството, трябва да напишете правилно самото решение. Има важен нюанс - включени ли са границите на интервалите в решението?
Тук всичко е просто. Ако решението на уравнението удовлетворява ODZ и неравенството не е строго, тогава границата на интервала се включва в решението на неравенството. В противен случай не.
Разглеждайки всеки интервал, решението на неравенството може да бъде самият интервал, или полуинтервал (когато една от неговите граници удовлетворява неравенството), или сегмент - интервалът заедно с неговите граници.
Важен момент
Не си мислете, че само интервали, полуинтервали и отсечки могат да решат неравенството. Не, решението може да включва и отделни точки.
Например неравенството |x|≤0 има само едно решение - това е точка 0.
И неравенството |x|
Защо ви е необходим калкулатор за неравенство?
Калкулаторът за неравенства дава правилния краен отговор. В повечето случаи се предоставя илюстрация на числова ос или равнина. Вижда се дали границите на интервалите са включени в решението или не - точките се показват като защриховани или пунктирани.
Благодарение на онлайн калкулаторнеравенства, можете да проверите дали правилно сте намерили корените на уравнението, маркирали сте ги на числовата ос и сте проверили изпълнението на условието за неравенство на интервалите (и границите)?
Ако вашият отговор се различава от отговора на калкулатора, тогава определено трябва да проверите повторно решението си и да идентифицирате грешката.
Колкото повече разбира човек, толкова по-силно е желанието му да разбере
Тома Аквински
Интервалният метод ви позволява да решавате всякакви уравнения, съдържащи модул. Същността на този метод е да се раздели числовата ос на няколко секции (интервали), като оста трябва да бъде разделена от нулите на изразите в модулите. След това във всяка от получените секции всеки подмодулен израз е положителен или отрицателен. Следователно всеки от модулите може да бъде отворен както със знак минус, така и със знак плюс. След тези стъпки всичко, което остава, е да се реши всяко от получените прости уравнения на разглеждания интервал и да се комбинират получените отговори.
Нека да разгледаме този метод, използвайки конкретен пример.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.
1) Да намерим нулите на изразите в модулите. За да направим това, трябва да ги приравним към нула и да решим получените уравнения.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
2) Поставете получените точки в необходимия ред върху координатната линия. Те ще разделят цялата ос на четири секции.
3) Нека на всяка от получените секции да определим знаците на изразите в модулите. За да направите това, ние заместваме в тях произволни числа от интервалите, които ни интересуват. Ако резултатът от изчислението е положително число, тогава поставяме „+“ в таблицата, а ако числото е отрицателно, тогава поставяме „–“. Това може да бъде изобразено така: 
4) Сега ще решим уравнението на всеки от четирите интервала, разкривайки модулите със знаците, които са посочени в таблицата. И така, нека да разгледаме първия интервал:
I интервал (-∞; -3). На него всички модули се отварят със знак „–“. Получаваме следното уравнение:
-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Нека представим подобни членове, като първо отворим скобите в полученото уравнение:
X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6
Полученият отговор не влиза в разглеждания интервал, поради което не е необходимо да го записвате в крайния отговор.
II интервал [-3; -1). На този интервал в таблицата има знаци „–“, „–“, „+“. Точно така отваряме модулите на оригиналното уравнение:
-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Нека опростим, като отворим скобите:
X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Нека представим подобни в полученото уравнение:
х = 6/5. Полученото число не принадлежи на разглеждания интервал, следователно не е коренът на първоначалното уравнение.
III интервал [-1; 2). Разширяваме модулите на оригиналното уравнение със знаците, които се появяват в третата колона на фигурата. Получаваме:
(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Нека се отървем от скобите и преместим членовете, съдържащи променливата x, в лявата страна на уравнението, а тези, които не съдържат x, в десния. Ще има:
x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6
Числото 2 не е включено в разглеждания интервал.
IV интервал)
