Определение 1
Колекцията от всички примитиви дадена функция$y=f(x)$, дефиниран на някакъв интервал, се нарича неопределен интеграл на дадената функция $y=f(x)$. Неопределеният интеграл се обозначава със символа $\int f(x)dx $.
Коментирайте
Дефиниция 2 може да се напише по следния начин:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Не всяка ирационална функция може да изрази интеграла чрез елементарни функции. Повечето от тези интеграли обаче могат да бъдат редуцирани чрез заместване на интеграли на рационални функции, които могат да бъдат изразени чрез елементарни функции.
$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.
аз
При намиране на интеграл от формата $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ трябва да се извърши следното заместване:
С това заместване всяка дробна степен на променливата $x$ се изразява чрез целочислената степен на променливата $t$. В резултат на това подинтегралната функция се трансформира в рационална функция на променливата $t$.
Пример 1
Извършете интеграция:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
Решение:
$k=4$ е общият знаменател на дробите $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.
\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C) \край (масив)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]
II
При намиране на интеграл от формата $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ трябва да извършите следното заместване:
където $k$ е общият знаменател на дробите $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.
В резултат на това заместване подинтегралната функция се трансформира в рационална функция на променливата $t$.
Пример 2
Извършете интеграция:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
Решение:
Нека направим следната замяна:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]
Правейки обратното заместване, получаваме крайния резултат:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]
III
Когато се намери интеграл от формата $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, се извършва така нареченото заместване на Ойлер (едно от три възможни замествания се използва).
Първата смяна на Ойлер
За случая $a>
Като поставим знака "+" преди $\sqrt(a) $, получаваме
Пример 3
Извършете интеграция:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]
Решение:
Нека направим следното заместване (случай $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
Правейки обратното заместване, получаваме крайния резултат:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
Втора смяна на Ойлер
За случая $c>0$ е необходимо да се извърши следната замяна:
Като поставим знака "+" преди $\sqrt(c) $, получаваме
Пример 4
Извършете интеграция:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]
Решение:
Нека направим следната замяна:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ получаваме крайния резултат:
\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1) +x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x +x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end (масив)\]
Третата смяна на Ойлер
Под ирационаленразберете израз, в който независимата променлива %%x%% или полиномът %%P_n(x)%% със степен %%n \in \mathbb(N)%% е под знака радикален(от латински корен- корен), т.е. повдигнати на дробна степен. Някои класове интегранти, които са ирационални по отношение на %%x%%, могат да бъдат намалени чрез промяна на променлива на рационални изразиспрямо новата променлива.
Концепцията за рационална функция на една променлива може да се разшири до няколко аргумента. Ако над всеки аргумент %%u, v, \dotsc, w%%, когато се изчислява стойността на функцията, се предоставят само аритметични операции и повдигане на цяло число, тогава се говори за рационална функция на тези аргументи, която е обикновено се обозначава с %%R (u, v, \ dotsc,w)%%. Самите аргументи на такава функция могат да бъдат функции на независимата променлива %%x%%, включително радикали от формата %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Например рационална функция $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ за %%u = x, v = \sqrt(x)%% и %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% е рационална функция на $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ от %%x%% и радикали %%\sqrt(x)%% и %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, докато функцията %%f(x)%% ще бъде ирационална (алгебрична) функция на една независима променлива %%x%%.
Разгледайте интеграли от формата %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Такива интеграли се рационализират чрез промяна на променливата %%t = \sqrt[n](x)%%, след това %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.
Пример 1
Намерете %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.
Интегрантът на желания аргумент се записва като функция на радикалите от степен %%2%% и %%3%%. Тъй като най-малкото общо кратно на %%2%% и %%3%% е %%6%%, този интеграл е интеграл от тип %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% и може да се рационализира чрез замяна на %%\sqrt(x) = t%%. Тогава %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Следователно $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Да приемем, че %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% и $$ \begin(array)(ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)(z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\надясно) - 6 \ln\наляво|\sqrt(x) + 1\надясно| + C \край (масив) $$
Интегралите от формата %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% са специален случай на линейно-дробни ирационалности, т.е. интеграли от формата %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, където %% ad - bc \neq 0%%, което може да се рационализира чрез промяна на променливата %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, тогава %%x = \dfrac( dt^n - b)(a - ct^n)%%. Тогава $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$
Пример 2
Намерете %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.
Нека вземем %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, тогава %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Следователно, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$
Разгледайте интеграли от формата %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. В най-простите случаи такива интеграли се свеждат до таблични, ако след избиране на пълния квадрат се направи промяна на променливи.
Пример 3
Намерете интеграла %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.
Като се има предвид, че %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, вземаме %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, след това $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \край (масив) $$
В по-сложни случаи, за намиране на интеграли от формата %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%, използваме
Едно гише решение ирационални уравненияне, тъй като техният клас се различава по количество. Статията ще подчертае характерните типове уравнения със заместване, използвайки метода на интегриране.
За да се използва методът на директно интегриране, е необходимо да се изчислят неопределени интеграли от вида ∫ k x + b p d x , където p е рационална дроб, k и b са реални коефициенти.
Пример 1
Намерете и изчислете първообразни функции y = 1 3 x - 1 3 .
Решение
Съгласно правилото за интегриране е необходимо да се приложи формулата ∫ f (k x + b) d x \u003d 1 k F (k x + b) + C, а таблицата на антипроизводните показва, че има готово решение за това функция. Разбираме това
∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C
Отговор:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .
Има случаи, в които можете да използвате метода на подреждане под знака на диференциала. Това се решава чрез принципа за намиране на неопределени интеграли от формата ∫ f "(x) (f (x)) p d x, когато стойността на p се счита за рационална дроб.
Пример 2
Намерете неопределения интеграл ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .
Решение
Обърнете внимание, че d x 3 + 5 x - 7 \u003d x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. След това е необходимо да поставите под диференциалния знак, като използвате таблици на антипроизводни. Получаваме това
∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C
Отговор:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .
Решението на неопределени интеграли осигурява формула от вида ∫ d x x 2 + p x + q, където p и q са реални коефициенти. След това е необходимо да изберете пълен квадрат от под корена. Разбираме това
x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4
Прилагайки формулата, намираща се в таблицата на неопределените интеграли, получаваме:
∫ d x x 2 ± α = log x + x 2 ± α + C
След това се изчислява интегралът:
∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C
Пример 3
Намерете неопределен интеграл от формата ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .
Решение
За да изчислите, трябва да извадите числото 2 и да го поставите пред радикала:
∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2
Направете селекция на пълния квадрат в радикалния израз. Разбираме това
x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16
Тогава получаваме неопределен интеграл от формата
Отговор: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
Интегрирането на ирационални функции се извършва по подобен начин. Приложимо за функции от вида y = 1 - x 2 + p x + q .
Пример 4
Намерете неопределения интеграл ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .
Решение
Първо трябва да извлечете квадрата на знаменателя на израза от под корена.
∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9
Интегралът на таблицата изглежда като ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, тогава получаваме, че ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 + С
Отговор:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .
Процесът на намиране на противопроизводни ирационални функции под формата y \u003d M x + N x 2 + p x + q, където наличните M, N, p, q са реални коефициенти и са подобни на интегрирането на най-простите фракции на трети тип. Тази трансформация има няколко стъпки:
сумиране на диференциала под корена, подчертаване на пълния квадрат на израза под корена, използване на таблични формули.
Пример 5
Намерете първопроизводните функции y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 .
Решение
От условието имаме, че d (x 2 - 3 x + 1) \u003d (2 x - 3) d x и x + 2 \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2, тогава (x + 2) d x \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .
Изчислете интеграла: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C
Отговор:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .
Търсенето на неопределени интеграли на функцията ∫ x m (a + b x n) p d x се извършва чрез метода на заместване.
За решението е необходимо да се въведат нови променливи:
- Когато числото p е цяло число, считаме, че x = z N и N е общият знаменател за m, n.
- Когато m + 1 n е цяло число, тогава a + b x n = z N и N е знаменателят на p.
- Когато m + 1 n + p е цяло число, тогава се изисква a x - n + b = z N и N е знаменателят на p .
Намерете определения интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .
Решение
Получаваме, че ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . От това следва, че m = - 1 , n = 1 , p = - 1 2 , тогава m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 е цяло число. Можете да въведете нова променлива като - 9 + 2 x = z 2 . Необходимо е да изразим x чрез z. На изхода получаваме
9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z
Необходимо е да се извърши заместване в дадения интеграл. Ние имаме това
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2
Отговор:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .
За опростяване на решението на ирационални уравнения се използват основните методи за интегриране.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В този раздел ще разгледаме метод за интегриране на рационални функции. 7.1. Кратка информация за рационалните функции Най-простата рационална функция е полином от ti-та степен, т.е. функция от вида където са реални константи и a0 4 0. Полином Qn(x), чийто коефициент a0 = 1, се нарича редуциран. Реално число b се нарича корен на полинома Qn(z), ако Q„(b) = 0. Известно е, че всеки полином Qn(x) с реални коефициенти се разлага еднозначно на реални множители от вида където p, q са реални коефициенти, а квадратичните множители нямат реални корени и следователно не могат да бъдат разложени на реални линейни множители. Комбинирайки идентични фактори (ако има такива) и приемайки, за простота, полиномът Qn(x) намален, можем да запишем разлагането му на множители във формата където са естествени числа. Тъй като степента на полинома Qn(x) е равна на n, тогава сумата от всички показатели a, /3, ..., A, добавени към удвоената сума на всички показатели u, ..., q, е равна до n: Коренът a на полинома се нарича прост или единичен, ако a = 1, и кратен, ако a > 1; числото а се нарича кратност на корена а. Същото важи и за други корени на полином. Рационална функция f(x) или рационална дроб е отношението на два полинома и се приема, че полиномите Pm(x) и Qn(x) нямат общи множители. Рационалната дроб се нарича правилна, ако степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, т.е. Ако m p, тогава рационалната дроб се нарича неправилна и в този случай, разделяйки числителя на знаменателя според правилото за деление на полиноми, тя може да бъде представена като къде са някои полиноми, а ^^ е правилна рационална дроб. Пример 1. Рационалната дроб е неправилна дроб. Разделяйки с "ъгъл", ще имаме Следователно. Тук. и правилна дроб. Определение. Най-простите (или елементарни) дроби се наричат рационални дроби от следните четири вида: където - реални числа, да се - естествено число, по-голямо или равно на 2, и квадратният трином x2 + px + q няма реални корени, така че -2 _2 неговият дискриминант В алгебрата е доказана следната теорема. Теорема 3. Правилна рационална дроб с реални коефициенти, чийто знаменател Qn(x) има формата, се разлага еднозначно на сбор от прости дроби по правилото Интегриране на рационални функции Кратка информация за рационални функции Интегриране на прости дроби Общ случай Интегриране на ирационални функции Първо заместване на Ойлер Второ заместване на Ойлер Трето заместване на Ойлер В това разширение някои реални константи, някои от които може да са равни на нула. За да се намерят тези константи, дясната страна на равенството (I) се свежда до общ знаменател и след това коефициентите при същите степени на x в числителите на лявата и дясната страна се приравняват. Това дава системата линейни уравнения, от които се намират желаните константи. . Този метод за намиране на неизвестни константи се нарича метод на неопределени коефициенти. Понякога е по-удобно да се приложи друг начин за намиране на неизвестни константи, който се състои в това, че след приравняване на числителите се получава идентичност за x, в която на аргумента x се дават някои стойности, например стойностите от корените, което води до уравнения за намиране на константи. Особено удобно е, ако знаменателят Q„(x) има само реални прости корени. Пример 2. Разлагаме рационална дроб на прости дроби.Тази дроб е правилна. Ние разлагаме знаменателя на множители: Тъй като корените на знаменателя са реални и различни, тогава, въз основа на формула (1), разлагането на дробта на най-простите ще има формата Карайте правилната чест на „това равенство на общ знаменател и приравнявайки числителите и лявата и дясната му части, получаваме тъждеството или Неизвестен коефициент A. 2?, C намираме по два начина. Първи начин. Приравняване на коефициентите при еднакви степени на x, т.в. с (свободен термин), а лявата и дясната част са идентични, получаваме линейна системауравнения за намиране на неизвестни коефициенти A, B, C: Тази система има единствено решение От втория начин. Тъй като корените на знаменателя са разкъсани svv в i 0, получаваме 2 \u003d 2A, от където A * 1; g i 1, получаваме -1 * -B, от където 5 * 1; x i 2, получаваме 2 = 2C. откъдето C» 1 и желаното разширение има формата Знаменателят има два различни двойни корена: x\ \u003d 0 с кратност на кратност 3. Следователно разширяването на тази непроста дроб има формата Намаляване на дясната страна до общ знаменател, намираме или Първият метод. Приравняване на коефициентите при еднакви степени на x в лявата и дясната част на последното тъждество. получаваме линейна система от уравнения.Тази система има уникално решение и желаното разширение ще бъде вторият метод. В получената идентичност, задавайки x = 0, получаваме 1 a A2, или A2 = 1; поле * gay x = -1, получаваме -3 i B), или Bj i -3. При заместване на намерените стойности на коефициентите A\ и B) и идентичността ще приеме формата или Поставяне на x = 0, а след това x = -I. намираме, че = 0, B2 = 0 и. така че B\ \u003d 0. Така отново получаваме Пример 4. Разгънете рационалната дроб 4 в прости дроби Знаменателят на дробта няма реални корени, тъй като функцията x2 + 1 не се превръща в нула за никакви реални стойности на х. Следователно разлагането в прости дроби трябва да има формата От тук получаваме или. Приравнявайки коефициентите при степените на Шинак на x в лявата и дясната част на последното равенство, ще имаме откъде намираме и, следователно, Трябва да се отбележи, че в някои случаи разширенията в прости дроби могат да бъдат получени по-бързо и по-лесно, действайки в по друг начин, без да се използва методът на неопределените коефициенти. Например, за да получите разширението на дробта в пример 3, можете да събирате и изваждате в числителя 3x2 и да извършвате деление, както е посочено по-долу. 7.2. Интегриране на прости дроби Както бе споменато по-горе, всяка неправилна рационална дроб може да бъде представена като сбор от някакъв полином и правилна рационална дроб (§7) и това представяне е уникално. Интегрирането на полином не е трудно, така че разгледайте въпроса за интегрирането на правилна рационална дроб. Тъй като всяка правилна рационална дроб може да бъде представена като сбор от прости дроби, нейното интегриране се свежда до интегриране на прости дроби. Нека сега разгледаме въпроса за тяхната интеграция. III. За да намерим интеграла на най-простата дроб от третия тип, ние избираме пълния квадрат на бинома от квадратния трином: Тъй като вторият член, ние го поставяме равен на a2, където и след това правим заместване. След това, като вземем предвид линейните свойства на интеграла, намираме: Пример 5. Намерете интеграла 4 Интеграндът е най-простата дроб от третия тип, тъй като квадратният трином x1 + Ax + 6 няма реални корени (дискриминантът му е отрицателно: , а числителят е полином от първа степен. Следователно процедираме по следния начин: 1) избираме пълния квадрат в знаменателя 2) правим заместване (тук 3) на * един интеграл За да намерим интеграла на най-простата дроб от четвъртия тип, задаваме, както по-горе, . След това получаваме интеграла от дясната страна, означен с A и го трансформираме по следния начин: Интегрираме интеграла от дясната страна по части, задавайки откъде или Интегриране на рационални функции Кратка информация за рационални функции Интегриране на прости дроби Общ случай Интегриране на ирационални функции Първо заместване на Ойлер Второ заместване на Ойлер Трето заместване Ойлер Получихме така наречената рекурентна формула, която ни позволява да намерим интеграла Jk за всяко k = 2, 3,... . Наистина, интегралът J\ е табличен: приемайки в рекурсивната формула, намираме. Знаейки и приемайки, че A = 3, лесно намираме Jj и т.н. В крайния резултат, замествайки навсякъде вместо t и a техните изрази чрез x и коефициентите p и q, получаваме за началния интеграл израз за него чрез x и дадените числа M, LG, p, q . Пример 8. Намерете интеграла в това означава, че знаменателят няма реални корени, а числителят е полином от 1-ва степен. 1) Избираме пълен квадрат в знаменателя 2) Правим заместване: Интегралът ще приеме формата: Поставяйки в рекурентната формула * = 2, a3 = 1. ще имаме и следователно желаният интеграл е равен на Връщайки се към променливата x, най-накрая получаваме 7,3. Общ случай От резултатите от разд. 1 и 2 на този раздел непосредствено следва важна теорема. Теорема! 4. Неопределен интеграл на всяка рационална функция винаги съществува (на интервали, в които знаменателят на дробта Q„(x) φ 0) и се изразява чрез краен брой елементарни функции, а именно, той е алгебрична сума. , рационални дроби, естествени логаритми и арктангенси. Така че, за да намерите неопределен интеграл от дробно-рационална функция трябва да се действа по следния начин: 1) ако рационалната дроб е неправилна, тогава цялата част се отделя чрез разделяне на числителя на знаменателя, т.е. тази функция се представя като сума от полином и правилна рационална дроб; 2) след това знаменателят на получената правилна дроб се разлага на произведение от линейни и квадратни множители; 3) тази правилна дроб се разлага на сбора от простите дроби; 4) използвайки линейността на интеграла и формулата на т. 2, намираме интегралите на всеки член поотделно. Пример 7. Намерете интеграла M Тъй като знаменателят е полином от трета степен, интегрантът е неправилна дроб. В него отделяме цялата част: Следователно ще имаме. Знаменателят на правилна дроб има phi различни реални корени: и следователно нейното разлагане на прости дроби има формата От тук намираме. Давайки на аргумента x стойности, равни на корените на знаменателя, намираме от тази идентичност, че: Следователно, желаният интеграл ще бъде равен на Пример 8. Намерете интеграла 4 1 с кратност 3, Следователно, разширяването на интегранд на прости дроби има формата. Привеждайки дясната страна на това равенство към общ знаменател и намалявайки двете страни на равенството с този знаменател, получаваме или. Приравняваме коефициентите при едни и същи степени на x в лявата и дясната част на тази идентичност: Оттук намираме. Замествайки намерените стойности на коефициентите в разширението, ще имаме Интегриране, намираме: Пример 9. Намерете интеграла 4 Знаменателят на фракцията няма реални корени. Следователно, разширяването в по-прости дроби на интегранта има формата От тук или Приравняване на коефициентите при същите степени на x в лявата и дясната част на тази идентичност, ще имаме откъде намираме и, следователно, Забележка. В горния пример интегрантът може да бъде представен като сбор от прости дроби по по-прост начин, а именно в числителя на дробта избираме полето в знаменателя и след това извършваме деление член по член: § 8. Интегриране на ирационални функции. Функция от формата, където Pm и u2 са полиноми от степенен тип, съответно, в променливите u12,... се нарича рационална функция в ubu2j... реални константи и Пример 1, Функцията е a рационална функция на променливите r и y, тъй като тя представлява съотношението на полином от трета степен и полином от пета степен, а функцията на тис не е. В случай, че променливите от своя страна са функции на променливата x: тогава функцията ] се нарича рационална функция на функциите от примера. Функцията е рационална функция на r и rvdkvlv Pryaivr 3. Функция на формата не е рационална функция на x и радикала y/r1 + 1, но е рационална функция на функциите Както показват примерите, интегралите на ирационалните функциите не винаги се изразяват чрез елементарни функции. Например интегралите, които често се срещат в приложенията, не са изразени чрез елементарни функции; тези интеграли се наричат съответно елиптични интеграли от първи и втори род. Нека разгледаме тези случаи, когато интегрирането на ирационални функции може да бъде намалено с помощта на някои замествания до интегрирането на рационални функции. 1. Нека се изисква намирането на интеграла, където R(x, y) е рационална функция на своите аргументи x и y; m £ 2 е естествено число; a, b, c, d са реални константи, отговарящи на условието ad - bc ^ O (за ad - be = 0, коефициентите a и b са пропорционални на коефициентите c и d и следователно отношението не зависи от x; следователно в този случай интегралната функция ще бъде рационална функция на променливата x, чието интегриране беше разгледано по-рано). Правим промяна на променливата в този интеграл, като задаваме Оттук изразяваме променливата x чрез нова променлива Имаме x = - рационална функция на t. След това намираме или, след опростяване, Следователно, където L1 (t) е рационална функция от *, тъй като рационалната основа на рационална функция, както и продуктът на рационалните функции, са рационални функции. Можем да интегрираме рационални функции. Нека Тогава желаният интеграл е равен на When. Отидете на интеграла 4 Интеграндът* е рационална функция на. Следователно поставяме t = Тогава Интегриране на рационални функции Кратка информация за рационални функции Интегриране на прости дроби Общ случай Интегриране на ирационални функции Първо заместване на Ойлер Второ заместване на Ойлер Трето заместване на Ойлер Така получаваме Primar 5. Намерете интеграла Общ знаменател дробни показатели степени на x е 12, така че интегрантът може да бъде представен като 1 _ 1_, откъдето може да се види, че той е рационална функция на: Като се има предвид това, задаваме. Следователно, 2. Разгледайте intephs във формата, където подинтегралната функция е такава, че замествайки радикала \/ax2 + bx + c в нея с y, получаваме функцията R(x) y) - рационална по отношение на двата аргумента x и г. Този интеграл се редуцира до интеграла на рационална функция на друга променлива чрез замествания на Ойлер. 8.1. Първото заместване на Ойлер Нека коефициентът a > 0. Задаваме или Оттук намираме x като рационална функция на u, следователно, По този начин посоченото заместване се изразява рационално чрез *. Следователно ще имаме къде Забележка. Първото заместване на Ойлер също може да бъде взето във формата Пример 6. Намерете интеграла, който ще намерим Следователно, ще имаме dx заместване на Ойлер, покажете, че Y 8.2. Второто заместване на Ойлер Нека триномът ax2 + bx + c има различни реални корени R] и x2 (коефициентът може да има произволен знак). В този случай приемаме, че Тъй като получаваме Тъй като x, dxn y / ax2 + be + c са изразени рационално чрез t, тогава първоначалният интеграл се редуцира до интеграла на рационална функция, т.е. където Проблем. Използвайки първото заместване на Ойлер, покажете, че това е рационална функция на t. Пример 7. Намерете интегралната dx M функция ] - x1 има различни реални корени. Следователно прилагаме второто заместване на Ойлер Оттук намираме Заместване на намерените изрази в Given? получаваме 8.3. Третото подсъстояние на Ойлер Нека коефициентът c > 0. Правим промяна на променливата чрез задаване. Обърнете внимание, че за да се намали интегралът до интеграл на рационална функция, първото и второто заместване на Ойлер са достатъчни. Наистина, ако дискриминантът b2 -4ac > 0, тогава корените на квадратния трином ax + bx + c са реални и в този случай се прилага второто заместване на Ойлер. Ако, тогава знакът на тринома ax2 + bx + c съвпада със знака на коефициента a и тъй като триномът трябва да е положителен, тогава a > 0. В този случай се прилага първото заместване на Ойлер. За да се намерят интеграли от посочения по-горе вид, не винаги е целесъобразно да се използват замествания на Ойлер, тъй като за тях могат да бъдат намерени други методи на интегриране, които водят до целта по-бързо. Нека разгледаме някои от тези интеграли. 1. За да се намерят интеграли на формата, се избира десен квадрат от квадрата на тития трином: където След това се прави заместване и се получава, когато коефициентите a и P имат различни знаци или и двата са положителни. Когато, както и когато a > 0, интегралът ще бъде намален до логаритъм, но ако - до арксинус. При. Намерете imtegrel 4 Оттогава. ако приемем, получаваме Prmmar 9. Намерете. Приех x -, ще имаме 2. Интеграл от формата се редуцира до интеграл y от параграф 1, както следва. Като се има предвид, че производната ()" = 2, ние го избираме в числителя: та степен, може да се намери по метода на неопределените коефициенти, който се състои в следното: Да приемем, че равенството е изпълнено Пример 10. Мощни интегрални коефициенти, ние диференцираме двете страни на (1): След това редуцираме дясната страна на равенството (2) до общ знаменател, равен на знаменателя на лявата страна, т.е. y/ax2 + bx + c, намалявайки и двете части на (2), с което , получаваме идентичност, в двете части на която са полиноми от степен n. Приравнявайки коефициентите при еднакви степени на x в лявата и дясната част на (3), получаваме n + 1 уравнения, от които намираме търсените коефициенти j4*(fc = 0,1,2,..., n ) Замествайки техните стойности в дясната страна на (1) и намирайки интеграла + c, получаваме отговора за този интеграл. Пример 11. Намерете интеграла Задаваме Диференцирайки двата костюма на равенство, ще имаме Привеждане на дясната страна към общ знаменател и намаляване на двете страни с него, получаваме идентичността или. Приравнявайки коефициентите при еднакви степени на x, стигаме до система от уравнения, от която намираме = След това намираме интеграла от дясната страна на равенството (4): Следователно, желаният интеграл ще бъде равен на
The онлайн калкулаторслужи за изчисляване на интеграли от ирационални дроби от вида , , .
Позволявам 
е рационална функция на 
Тази функция, а оттам и интегралът от нея, се рационализира чрез заместването x=t r, където r е най-малкото общо кратно на числата r 1 , r 2 ,…, r n . Тогава dx=rt r -1 и интегралът е рационална функция на t. По същия начин, ако интеграндът 
е рационална функция на 
, тогава подинтегралната функция се рационализира чрез заместване, където t е най-малкото общо кратно на числата r 1 , r 2 ,…, r n . След това, замествайки в оригиналния израз, получаваме рационална функция на t.
Пример. Изчисли . Най-малкото общо кратно на 2 и 3 е 6. Затова правим замяната x = t 6 . Тогава dx = 6t 5 dt и 
Интегриране на ирационални функции
Пример #1. Изчислете определения интеграл на ирационална функция:
Решение. Интеграл от вида R(x α1, x α2,..., x αk)dx, където R е рационална функция от x αi, α i =p i /q i са рационални дроби (i = 1,2,.. ., k) , се редуцира до интеграла на рационална функция чрез заместване на x \u003d t q, където q е най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите на дробите a 1 , a 2 ,... и k . В нашия случай a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, така че най-малкото общо кратно на знаменателите им q = LCM (2,3,6) = 6. Промяна на променливата x \u003d t 6 води до интеграла на дробната рационална функция, който се изчислява, както е описано в примера:
