Нека се обърнем към графиката на функцията y = x 3 – 3x 2. Нека разгледаме околността на точката x = 0, т.е. някакъв интервал, съдържащ тази точка. Логично е, че има околност на точката x = 0, така че най-висока стойностфункцията y = x 3 – 3x 2 в тази околност приема точката x = 0. Например, на интервала (-1; 1), функцията приема най-голямата си стойност, равна на 0, в точката x = 0. точката x = 0 се нарича максимална точка на тази функция.
По същия начин точката x = 2 се нарича минимална точка на функцията x 3 – 3x 2, тъй като в тази точка стойността на функцията не е по-голяма от стойността й в друга точка в близост до точката x = 2, за например кварталът (1,5; 2,5).
По този начин максималната точка на функцията f(x) се нарича точка x 0, ако има околност на точката x 0, така че неравенството f(x) ≤ f(x 0) е в сила за всички x от тази околност.
Например точка x 0 = 0 е максималната точка на функцията f(x) = 1 – x 2, тъй като f(0) = 1 и неравенството f(x) ≤ 1 е вярно за всички стойности на x .
Минималната точка на функцията f(x) е точка x 0, ако има такава околност на точката x 0, че неравенството f(x) ≥ f(x 0) е изпълнено за всички x от тази околност.
Например точка x 0 = 2 е минималната точка на функцията f(x) = 3 + (x – 2) 2, тъй като f(2) = 3 и f(x) ≥ 3 за всички x.
Точките на екстремума се наричат минимални и максимални точки.
Нека се обърнем към функцията f(x), която е дефинирана в определена околност на точката x 0 и има производна в тази точка.
Ако x 0 е точката на екстремума на диференцируемата функция f(x), тогава f "(x 0) = 0. Това твърдение се нарича теорема на Ферма.
Теоремата на Ферма има визуален вид геометричен смисъл: в екстремалната точка допирателната е успоредна на оста x и следователно тя наклон
f "(x 0) равно на нула.
Например функцията f(x) = 1 – 3x2 има максимум в точка x0 = 0, нейната производна f "(x) = -2x, f "(0) = 0.
Функцията f(x) = (x – 2) 2 + 3 има минимум в точка x 0 = 2, f "(x) = 2(x – 2), f "(2) = 0.
Обърнете внимание, че ако f "(x 0) = 0, тогава това не е достатъчно, за да се твърди, че x 0 непременно е екстремалната точка на функцията f (x).
Например, ако f(x) = x 3, тогава f "(0) = 0. Точката x = 0 обаче не е екстремна точка, тъй като функцията x 3 нараства по цялата цифрова ос.
Така че точките на екстремум на диференцируемата функция трябва да се търсят само сред корените на уравнението
f "(x) = 0, но коренът на това уравнение не винаги е точка на екстремум.
Стационарни точки са точки, в които производната на функция е нула.
Следователно, за да бъде точката x 0 точка на екстремум, е необходимо тя да бъде стационарна точка.
Нека разгледаме достатъчни условия стационарната точка да бъде точка на екстремум, т.е. условия, при които стационарна точка е точка на минимум или максимум на функция.
Ако производната вляво от неподвижната точка е положителна, а вдясно – отрицателна, т.е. производната променя знака "+" на знака "–", когато преминава през тази точка, тогава тази стационарна точка е максималната точка.
Наистина, в този случай вляво от стационарната точка функцията нараства, а вдясно намалява, т.е. дадена точка– това е максималната точка.
Ако производната промени знака „–” на знака „+” при преминаване през стационарна точка, тогава тази стационарна точка е минимална точка.
Ако производната не променя знака при преминаване през неподвижна точка, т.е. отляво и отдясно на стационарната точка производната е положителна или отрицателна, тогава тази точка не е точка на екстремум.
Нека разгледаме един от проблемите. Намерете точките на екстремума на функцията f(x) = x 4 – 4x 3.
Решение.
1) Намерете производната: f "(x) = 4x 3 – 12x 2 = 4x 2 (x – 3).
2) Намерете стационарни точки: 4x 2 (x – 3) = 0, x 1 = 0, x 2 = 3.
3) Използвайки интервалния метод, установяваме, че производната f "(x) = 4x 2 (x – 3) е положителна за x > 3, отрицателна за x< 0 и при 0 < х < 3.
4) Тъй като при преминаване през точката x 1 = 0 знакът на производната не се променя, тази точка не е точка на екстремум.
5) Производната променя знака „–“ на знака „+“, когато преминава през точката x 2 = 3. Следователно x 2 = 3 е минималната точка.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Както можете да видите, този знак за екстремум на функция изисква съществуването на производна поне до втори ред в точката.
Пример.
Намерете екстремумите на функцията.
Решение.
Нека започнем с домейна на дефиницията: 
Нека разграничим оригиналната функция: 
х=1, тоест това е точка на възможен екстремум. Намираме втората производна на функцията и изчисляваме нейната стойност при х = 1:
Следователно, чрез второто достатъчно условие за екстремум, х=1- максимална точка. Тогава 
- максимална функционалност.
Графична илюстрация.
Отговор:
Третото достатъчно условие за екстремум на функция.
Нека функцията y=f(x)има производни до н-ти ред в -околността на точката и производни до n+1-ти ред в самата точка. Нека бъде.
Пример.
Намерете точките на екстремума на функцията 
.
Решение.
Оригиналната функция е цяла рационална функция; нейната област на дефиниция е целият набор от реални числа.
Нека разграничим функцията: 
Производната отива на нула при 
, следователно това са точки на възможен екстремум. Нека използваме третото достатъчно условие за екстремум.
Намираме второто производно и изчисляваме стойността му в точки на възможен екстремум (ще пропуснем междинните изчисления): 
Следователно, е максималната точка (за третия достатъчен знак за екстремум, който имаме n=1И ).
За да разберете естеството на точките 
намираме третата производна и изчисляваме нейната стойност в тези точки: 
Следователно е инфлексната точка на функцията ( n=2И ).
Остава да се справим с точката. Намираме четвъртата производна и изчисляваме нейната стойност в тази точка: 
Следователно е минималната точка на функцията.
Графична илюстрация.
Отговор:
Максималната точка е минималната точка на функцията.
10. Екстремуми на функция Дефиниция на екстремум
Извиква се функцията y = f(x). повишаване на (намаляващи) в определен интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Ако диференцируемата функция y = f(x) нараства (намалява) на интервал, тогава нейната производна на този интервал f " (x) 0
(f " (x) 0).
Точка х ОНаречен локална максимална точка (минимум) функция f(x), ако има околност на точката х О, за всички точки от които е вярно неравенството f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).
Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.
Екстремни точки
Необходими условия за екстремум. Ако точката х Ое точка на екстремум на функцията f (x), тогава или f " (x o) = 0, или f (x o) не съществува. Такива точки се наричат критичен,а самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.
Първото достатъчно условие.Позволявам х О- критична точка. Ако f "(x) при преминаване през точка х Опроменя знака плюс на минус, след това в точката х Офункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако при преминаване през критичната точка производната не променя знака, тогава в точката х Оняма крайност.
Второ достатъчно условие.Нека функцията f(x) има производна f " (x) в близост до точката х Ои втората производна в самата точка х О. Ако f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка х Ое локалната минимална (максимална) точка на функцията f(x). Ако =0, тогава трябва или да използвате първото достатъчно условие, или да използвате по-високи производни.
На сегмент функцията y = f(x) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.
Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Тъй като f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремумите могат да бъдат само при тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 = 2 производната променя знака си от плюс на минус, то в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 = 3 производната променя знака си от минус към плюс, следователно в точката x 2 = 3 функцията има минимум , След като изчислим стойностите на функцията в точките x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f( 2) = 14 и минимум f(3) = 13.
Дефиниции:
Екстремумизвикване на максималната или минималната стойност на функция върху даден набор.
Екстремна точкае точката, в която се достига максималната или минималната стойност на функцията.
Максимална точкае точката, в която се достига максималната стойност на функцията.
Минимална точкае точката, в която се достига минималната стойност на функцията.
Обяснение.
На фигурата, в близост до точката x = 3, функцията достига максималната си стойност (т.е. в близост до тази конкретна точка няма точка по-висока). В околността на x = 8 тя отново има максимална стойност (отново да уточним: точно в тази околност няма точка по-висока). В тези точки увеличението отстъпва място на намаление. Това са максималните точки:
x max = 3, x max = 8.
В близост до точката x = 5 се достига минималната стойност на функцията (т.е. в близост до x = 5 няма точка отдолу). В този момент намалението отстъпва място на увеличение. Това е минималната точка:
Максималните и минималните точки са екстремни точки на функцията, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.
Критични и стационарни точки на функцията:
Необходимо условие за екстремум:
Достатъчно условие за екстремум:
На сегмент функцията г = f(х) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.
Алгоритъм за изследване на непрекъсната функцияг = f(х) за монотонност и екстремуми:
Можем също така да кажем, че в тези точки посоката на движение на функцията се променя: ако функцията спре да пада и започне да расте, това е точката на минимум, напротив, това е точката на максимум.
Минимумът и максимумът се наричат заедно екстремуми на функцията.
С други думи, всичките пет точки, подчертани в графиката по-горе, са крайности.
Благодарение на това намирането на тези точки не е проблем, дори и да нямате графика на функцията.
внимание!Когато пишат крайностиили максимуми/минимуми означават стойността на функцията, т.е. \(y\). Когато пишат крайни точкиили точки на максимуми/минимуми означават Xs, при които се достигат максимуми/минимуми. Например на фигурата по-горе \(-5\) е минималната точка (или точката на екстремума), а \(1\) е минимумът (или екстремумът).
Как да намерим точките на екстремуми на функция от производната графика (задача за Единен държавен изпит 7)?
Нека намерим заедно броя на точките на екстремум на функция, използвайки производната графика, използвайки пример:
Дадена ни е графика, което означава, че търсим в кои точки на графиката производната е равна на нула. Очевидно това са точките \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) и \(3\). Броят на точките на екстремума на функцията е \(5\).
внимание!Ако е даден график производнафункции, но трябва да намерите екстремни точки на функцията, не броим максимумите и минимумите на производната! Преброяваме точките, в които производната на функцията изчезва (т.е. пресича оста \(x\).
Как да намерите максималните или минималните точки на функция от графиката на производната (задача за единен държавен изпит 7)?
За да отговорите на този въпрос, трябва да запомните още две важни правила:
- Производната е положителна, когато функцията нараства.
- Производната е отрицателна, когато функцията намалява.
Използвайки тези правила, нека намерим минималната и максималната точка на функцията върху производната графика.
Ясно е, че минимумите и максимумите трябва да се търсят сред точките на екстремуми, т.е. сред \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) и \(3\).
За да улесним решаването на задачата, нека първо поставим знаците плюс и минус на фигурата, показващи знака на производната. След това стрелки - показващи нарастващи и намаляващи функции.
Нека започнем с \(-13\): до \(-13\) производната е положителна, т.е. функцията расте, тогава производната е отрицателна, т.е. функцията се срива. Ако си представите това, става ясно, че \(-13\) е максималната точка.
\(-11\): производната е първо положителна и след това отрицателна, което означава, че функцията нараства и след това намалява. Отново се опитайте да начертаете това наум и ще ви стане очевидно, че \(-11\) е минимумът.
\(- 9\): функцията нараства и след това намалява - максимум.
\(-7\): минимум.
\(3\): максимум.
Всичко по-горе може да се обобщи със следните изводи:
- Функцията има максимум, където производната е нула и променя знака от плюс на минус.
- Функцията има минимум, където производната е нула и променя знака от минус на плюс.
Как да намерите точките на максимума и минимума, ако формулата на функцията е известна (12 задача на Единния държавен изпит)?
За да отговорите на този въпрос, трябва да направите същото като в предишния параграф: да намерите къде производната е положителна, къде е отрицателна и къде е нула. За да стане по-ясно, ще напиша алгоритъм с примерно решение:
- Намерете производната на функцията \(f"(x)\).
- Намерете корените на уравнението \(f"(x)=0\).
- Начертайте ос \(x\) и маркирайте върху нея точките, получени в стъпка 2, начертайте с дъги интервалите, на които е разделена оста. Етикет над оста \(f"(x)\) и под оста \(f(x)\).
- Определете знака на производната във всеки интервал (използвайки интервалния метод).
- Поставете знака на производната във всеки интервал (над оста) и използвайте стрелка, за да посочите увеличението (↗) или намалението (↘) на функцията (под оста).
- Определете как се променя знакът на производната при преминаване през точките, получени в стъпка 2:
- ако \(f’(x)\) промени знака от "\(+\)" на "\(-\)", тогава \(x_1\) е максималната точка;
- ако \(f’(x)\) промени знака от "\(-\)" на "\(+\)", тогава \(x_3\) е минималната точка;
- ако \(f’(x)\) не е променил знака, тогава \(x_2\) може да е инфлексна точка.
Всичко! Намерени са максималните и минималните точки.
При изобразяване на точки на оста, в които производната е равна на нула, мащабът може да се пренебрегне. Поведението на функцията може да бъде показано, както е показано на фигурата по-долу. Така ще бъде по-ясно къде е максимумът и къде минимумът.
Пример(ИЗПОЛЗВАНЕ). Намерете максималната точка на функцията \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Намерете производната на функцията: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Нека го приравним към нула и да решим уравнението:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. – 6. Нека да начертаем точките на числовата права и да определим как се променя знакът на производната и как се движи функцията:
Сега е очевидно, че максималната точка е \(-2\).
Отговор. \(-2\).
Екстремалната точка на функция е точката в областта на дефиниране на функцията, в която стойността на функцията приема минимална или максимална стойност. Стойностите на функцията в тези точки се наричат екстремуми (минимум и максимум) на функцията.
Определение. Точка х1 функционална област f(х) е наречен максимална точка на функцията , ако стойността на функцията в тази точка е по-голяма от стойностите на функцията в точки, достатъчно близки до нея, разположени отдясно и отляво на нея (т.е. неравенството е в сила f(х0 ) > f(х 0 + Δ х) х1 максимум.
Определение. Точка х2 функционална област f(х) е наречен минимална точка на функцията, ако стойността на функцията в тази точка е по-малка от стойностите на функцията в точки, достатъчно близки до нея, разположени отдясно и отляво на нея (т.е. неравенството е в сила f(х0 ) < f(х 0 + Δ х) ). В този случай казваме, че функцията има в точката х2 минимум.
Да кажем точка х1 - максимална точка на функцията f(х) . След това в интервала до х1 функцията се увеличава, следователно производната на функцията е по-голяма от нула ( f "(х) > 0 ), и в интервала след х1 функцията намалява, следователно, производна на функцияпо-малко от нула ( f "(х) < 0 ). Тогда в точке х1
Нека приемем също, че точката х2 - минимална точка на функцията f(х) . След това в интервала до х2 функцията е намаляваща и производната на функцията е по-малка от нула ( f "(х) < 0 ), а в интервале после х2 функцията нараства и производната на функцията е по-голяма от нула ( f "(х) > 0 ). В този случай също в точката х2 производната на функцията е нула или не съществува.
Теорема на Ферма (необходим знак за съществуването на екстремум на функция). Ако точката х0 - екстремна точка на функцията f(х), тогава в тази точка производната на функцията е равна на нула ( f "(х) = 0 ) или не съществува.
Определение. Точките, в които производната на дадена функция е нула или не съществува, се наричат критични точки .
Пример 1.Нека разгледаме функцията.
В точката х= 0 производната на функцията е нула, следователно точката х= 0 е критичната точка. Въпреки това, както може да се види на графиката на функцията, тя нараства в цялата област на дефиниция, така че точката х= 0 не е екстремната точка на тази функция.
По този начин условията, че производната на функция в точка е равна на нула или не съществува, са необходими условия за екстремум, но не са достатъчни, тъй като могат да бъдат дадени други примери за функции, за които тези условия са изпълнени, но функцията няма екстремум в съответната точка. Ето защо трябва да има достатъчно доказателства, което позволява да се прецени дали има екстремум в дадена критична точка и какъв е екстремумът – максимален или минимален.
Теорема (първият достатъчен признак за съществуването на екстремум на функция).Критична точка х0 f(х) ако при преминаване през тази точка производната на функцията промени знака и ако знакът се промени от "плюс" на "минус", тогава това е максимална точка, а ако от "минус" на "плюс", тогава това е минимална точка.
Ако е близо до точката х0 , вляво и вдясно от нея, производната запазва знака си, това означава, че функцията или само намалява, или само нараства в определена околност на точката х0 . В този случай в точката х0 няма крайност.
Така, за да определите екстремалните точки на функцията, трябва да направите следното :
- Намерете производната на функцията.
- Приравнете производната на нула и определете критичните точки.
- Мислено или на хартия маркирайте критичните точки на числовата линия и определете знаците на производната на функцията в получените интервали. Ако знакът на производната се промени от "плюс" на "минус", тогава критичната точка е максималната точка, а ако от "минус" на "плюс", тогава минималната точка.
- Изчислете стойността на функцията в точките на екстремума.
Пример 2.Намерете екстремумите на функцията 
.
Решение. Нека намерим производната на функцията:
Нека приравним производната на нула, за да намерим критичните точки:
.
Тъй като за всякакви стойности на "x" знаменателят не е равен на нула, ние приравняваме числителя на нула:
Имам една критична точка х= 3 . Нека определим знака на производната в интервалите, ограничени от тази точка:
в диапазона от минус безкрайност до 3 - знак минус, тоест функцията намалява,
в интервала от 3 до плюс безкрайност има знак плюс, тоест функцията нараства.
Тоест точка х= 3 е минималната точка.
Нека намерим стойността на функцията в минималната точка:
Така се намира екстремната точка на функцията: (3; 0) и тя е минималната точка.
Теорема (вторият достатъчен признак за съществуването на екстремум на функция).Критична точка х0 е екстремната точка на функцията f(х), ако втората производна на функцията в тази точка не е равна на нула ( f ""(х) ≠ 0 ), и ако втората производна е по-голяма от нула ( f ""(х) > 0 ), тогава максималната точка и ако втората производна е по-малка от нула ( f ""(х) < 0 ), то точкой минимума.
Забележка 1. Ако в точката х0 Ако и първата, и втората производни са нулеви, тогава в този момент е невъзможно да се прецени наличието на екстремум въз основа на втория достатъчен критерий. В този случай трябва да използвате първия достатъчен критерий за екстремума на функция.
Забележка 2. Вторият достатъчен критерий за екстремум на функция не е приложим дори когато първата производна не съществува в стационарна точка (тогава втората производна също не съществува). В този случай трябва да използвате и първия достатъчен знак за екстремум на функция.
Локален характер на екстремумите на функцията
От горните дефиниции следва, че екстремумът на функцията е локален по природа - това е най-голямата и най-малката стойност на функцията в сравнение с близките стойности.
Да приемем, че разглеждате приходите си за период от една година. Ако през май сте спечелили 45 000 рубли, а през април 42 000 рубли и през юни 39 000 рубли, тогава приходите от май са максимумът на функцията за печалба в сравнение с близките стойности. Но през октомври сте спечелили 71 000 рубли, през септември 75 000 рубли, а през ноември 74 000 рубли, така че приходите през октомври са минимумът на функцията за печалба в сравнение с близките стойности. И лесно можете да видите, че максимумът сред стойностите на април-май-юни е по-малък от минимума на септември-октомври-ноември.
Най-общо казано, на интервал една функция може да има няколко екстремума и може да се окаже, че някакъв минимум на функцията е по-голям от всеки максимум. И така, за функцията, показана на фигурата по-горе, .
Тоест, не трябва да се мисли, че максимумът и минимумът на функцията са съответно нейните най-големи и най-малки стойности в целия разглеждан сегмент. В максималната точка функцията има най-голяма стойност само в сравнение с онези стойности, които има във всички точки, достатъчно близки до максималната точка, а в минималната точка има най-малка стойност само в сравнение с тези стойности че има във всички точки достатъчно близо до минималната точка.
Следователно можем да изясним горната концепция за екстремни точки на функция и да наречем минималните точки локални минимални точки, а максималните точки локални максимални точки.
Търсим заедно екстремума на функцията
Пример 3.
Решение: Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос. Негова производна 
също съществува на цялата числова ос. Следователно в случая критичните точки са само тези, при които, т.е. , от къде и . Критични точки и разделя цялата област на дефиниране на функцията на три интервала на монотонност: . Нека изберем по една контролна точка във всяка от тях и да намерим знака на производната в тази точка.
За интервала контролната точка може да бъде: намери. Като вземем точка от интервала, получаваме, и вземем точка от интервала, имаме. И така, в интервалите и , и в интервала . Според първия достатъчен критерий за екстремум в точката няма екстремум (тъй като производната запазва знака си в интервала), а в точката функцията има минимум (тъй като производната променя знака от минус на плюс при преминаване през тази точка). Нека намерим съответните стойности на функцията: , a . В интервала функцията намалява, тъй като в този интервал , а в интервала нараства, тъй като в този интервал .
За да изясним конструкцията на графиката, намираме нейните точки на пресичане с координатните оси. Когато получим уравнение, чиито корени са и , т.е. се намират две точки (0; 0) и (4; 0) от графиката на функцията. Използвайки цялата получена информация, изграждаме графика (вижте началото на примера).
За самопроверка по време на изчисления можете да използвате онлайн деривативен калкулатор .
Пример 4.Намерете екстремума на функцията и изградете нейната графика.
Областта на дефиниране на функция е цялата числова ос, с изключение на точката, т.е. .
За да съкратите изследването, можете да използвате факта, че тази функция е четна, тъй като 
. Следователно неговата графика е симетрична спрямо оста Ойи изследването може да се извърши само за интервала.
Намиране на производната 
и критични точки на функцията:
1) 
;
2) 
,
но функцията претърпява прекъсване в тази точка, така че не може да бъде точка на екстремум.
По този начин, дадена функцияима две критични точки: и . Като вземем предвид четността на функцията, ще проверим само точката, използвайки втория достатъчен критерий за екстремум. За да направим това, намираме втората производна 
и определете неговия знак при: получаваме . Тъй като и , това е минималната точка на функцията и 
.
За да получите по-пълна картина на графиката на функция, нека разберем нейното поведение в границите на домейна на дефиниция:
(тук символът показва желанието хдо нула от дясно, и хостава положителен; по подобен начин означава стремеж хдо нула отляво и хостава отрицателна). По този начин, ако , тогава . След това намираме
,
тези. ако , тогава .
Графиката на функцията няма пресечни точки с осите. Картината е в началото на примера.
За самопроверка по време на изчисления можете да използвате онлайн деривативен калкулатор .
Продължаваме заедно да търсим екстремуми на функцията
Пример 8.Намерете екстремумите на функцията.
Решение. Нека намерим областта на дефиниция на функцията. Тъй като неравенството трябва да бъде изпълнено, получаваме от .
Нека намерим първата производна на функцията.
