Понякога в математиката е необходимо да се повиши число до степен, която представлява дроб. Нашата статия ще ви каже как да увеличите число на дробна степен и ще видите, че е много просто.
Дробното число много рядко е цяло число. Често резултатът от такава ерекция може да бъде представен с определена степен на точност. Следователно, ако точността на изчислението не е посочена, тогава се намират онези стойности, които се изчисляват с точност до цели числа, а тези, които имат голям брой цифри след десетичната запетая, остават с корени. Например корен кубичен от седем или корен квадратен от две. Във физиката изчислените стойности на тези корени се закръгляват до стотни, когато не е необходима друга степен на точност.
Алгоритъм за решение
- Преобразуване на дробен индикатор в неправилна или правилна дроб. Частта от неправилната дроб, която е цяло, не си струва да се откроява. Ако дробна степен е представена като цяло число и дробна част, тогава тя трябва да бъде преобразувана в неправилна дроб
- Изчисляваме стойността на степента на дадено число, която е равна на числителя на правилна или неправилна дроб
- Изчисляваме корена на числото, получено в параграф 2, чийто индикатор вземаме знаменателя на нашата дроб
Нека дадем примери за такива изчисления
Освен това за тези изчисления можете да изтеглите калкулатор на компютъра си или да използвате онлайн калкулатори, които са много много в Интернет, например.
Дроба е съотношението на числителя към знаменателя, като знаменателят не трябва да е нула, а числителят може да бъде произволен.
Когато повдигате всяка дроб на произволна степен, трябва отделно да повишите числителя и знаменателя на дроба на тази степен, след което трябва да преброим тези степени и по този начин да получим дроба, повдигната на степен.
Например:
(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49
(2 / 3)^3 = (2 / 3) (2 / 3) (2 / 3) = 2^3 / 3^3
отрицателна степен
Ако имаме работа с отрицателна степен, тогава първо трябва да „обърнем дроба“ и едва след това да я повишим на степен според правилото, написано по-горе.
(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2
Буква степен
Когато работите с буквални стойности като "x" и "y", възлагането в степен следва същото правило, както преди.
Можем също да проверим себе си, като увеличим дроба ½ на 3-та степен, в резултат на което получаваме ½ * ½ * ½ = 1/8, което по същество е същото като
Буквално степенуване x^y
Умножение и деление на дроби със степени
Ако умножим степени със същата основа, тогава самата основа остава същата и събираме степените. Ако разделим степени със същата основа, тогава основата на степента също остава същата, а степените се изваждат.
Това може да се покаже много лесно с пример:
(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31
(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2
Бихме могли да получим същото, ако просто повдигнем знаменателя и числителя поотделно на степен 3 и 4, съответно.
Повишаване на дроб със степен в друга степен
Когато издигаме дроб, която вече е в степен, отново в степен, първо трябва да направим вътрешното степенуване и след това да преминем към външната част на степента. С други думи, можем просто да умножим тези степени и да увеличим дроба до получената степен.
Например:
(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8
Обединяване, корен квадратен
Също така, не трябва да забравяме, че вдигането на абсолютно всяка дроб до нулева степен ще ни даде 1, точно както всяко друго число, когато се повдигне на степен нулаще получим 1.
Обичайният квадратен корен може да бъде представен и като степен на дроб
корен квадратен 3 = 3^(1/2)
Ако имаме работа с квадратен корен, под който има дроб, тогава можем да представим тази дроб, в числителя на която ще има квадратен корен от 2 - градуса (тъй като корен квадратен)
И знаменателят ще съдържа и корен квадратен, т.е. с други думи, ще видим съотношението на два корена, това може да е полезно за решаване на някои проблеми и примери.
Ако повдигнем дроб, която е под корен квадратен, на втора степен, тогава получаваме същата дроб.
Продуктът на две дроби под една и съща степен ще бъде равен на произведението на тези две дроби, всяка от които поотделно ще бъде под своя собствена степен.
Запомнете: не можете да разделите на нула!
Също така, не забравяйте за една много важна забележка за дроб като знаменателят не трябва да е равен на нула. В бъдеще в много уравнения ще използваме това ограничение, наречено ODZ - диапазонът на допустимите стойности
Когато се сравняват две дроби с една и съща основа, но различни степени, по-голямата ще бъде дробът, в която степента ще бъде по-голяма, а по-малката, в която степента ще бъде по-малка, ако не само основите са равни, но и градуса, фракцията се счита за една и съща.
Време е да се запознаете ерекция алгебрична дробдо степен. Това действие с алгебрични дроби, по отношение на степента, се свежда до умножаване на еднакви дроби. В тази статия ще дадем съответното правило и ще разгледаме примери за повишаване на алгебричните дроби до естествени степени.
Навигация в страницата.
Правилото за издигане на алгебрична дроб на степен, неговото доказателство
Преди да говорим за издигане на алгебрична дроб на степен, не е лошо да си спомним какво е произведението на същите фактори, които стоят в основата на степента, и техният брой се определя от индикатора. Например, 2 3 =2 2 2=8 .
И сега нека си спомним правилото за повишаване на степента на обикновена дроб - за това трябва отделно да повишите числителя до посочената степен и отделно знаменателя. Например, . Това правило важи за повдигане на алгебрична дроб до естествена степен.
Повишаване на алгебрична дроб в естествена степендава нова дроб, в чийто числител е определената степен на числителя на първоначалната дроб, а в знаменателя - степента на знаменателя. В буквална форма това правило съответства на равенството , където a и b са произволни полиноми (в частни случаи, мономи или числа), и b е ненулев полином, а n е .
Доказателството на гласното правило за издигане на алгебрична дроб на степен се основава на дефиницията на степен с естествен експонент и на това как сме дефинирали умножението на алгебрични дроби: 
.
Примери, решения
Правилото, получено в предишния параграф, свежда повдигането на алгебрична дроб до степен до повишаване на числителя и знаменателя на оригиналната дроб на тази степен. И тъй като числителят и знаменателят на оригиналната алгебрична дроб са полиноми (в конкретния случай мономи или числа), първоначалната задача се свежда до издигане на полиноми в степен. След извършване на това действие ще се получи нова алгебрична дроб, идентична равна на определената степен на оригиналната алгебрична дроб.
Нека да разгледаме няколко примера.
Пример.
Квадрат на алгебрична дроб.
Решение.
Нека напишем степента. Сега се обръщаме към правилото за издигане на алгебрична дроб на степен, то ни дава равенството 
. Остава да преобразуваме получената дроб във формата на алгебрична дроб чрез повишаване на мономиите в степен. Така 
.
Обикновено при издигане на алгебрична дроб на степен ходът на решението не се обяснява, а решението се записва накратко. Нашият пример отговаря на записа 
.
Отговор:
.
Когато полиномите, особено биномите, са в числителя и / или знаменателя на алгебрична дроб, тогава при издигането й до степен е препоръчително да използвате съответните съкратени формули за умножение.
Пример.
Повдигане на алгебрична дроб 
до втора степен.
Решение.
По правилото за издигане на дроб на степен имаме 
.
За да трансформираме получения израз в числителя, използваме формула на квадрата на разликата, а в знаменателя - формулата на квадрата на сбора от три члена: 
Отговор:
В заключение отбелязваме, че ако повдигнем неприводима алгебрична дроб до естествена степен, тогава резултатът също ще бъде неприводима дроб. Ако първоначалната дроб е отменяема, тогава преди да я повишите на степен, е препоръчително да намалите алгебричната дроб, за да не се извърши намаляването след повишаване на степен.
Библиография.
- алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А.Г.алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидатстващи в техникумите): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
Авторско право от умни студенти
Всички права запазени.
Защитено от закона за авторското право. Никоя част от сайта, включително вътрешни материали и външен дизайн, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.
Урокът ще разгледа по-обобщена версия на умножението на дроби - това е степенуване. Преди всичко ще говорим за естествената степен на дроба и примери, които демонстрират подобни действия с дроби. В началото на урока също ще повторим издигането до естествена степен на целочислени изрази и ще видим как това е полезно за решаване на по-нататъшни примери.
Тема: Алгебрични дроби. Аритметични операции върху алгебрични дроби
Урок: Повишаване на алгебрична дроб на степен
1. Правила за извеждане на дроби и целочислени изрази в естествени степени с елементарни примери
Правилото за повишаване на обикновени и алгебрични дроби до естествени степени:
Можете да направите аналогия със степента на целочислен израз и да запомните какво се има предвид, като го повдигнете на степен:
Пример 1 
.
Както можете да видите от примера, вдигането на дроб на степен е специален случай на умножение на дроби, който беше изучаван в предишния урок.
Пример 2. а), б) 
- минусът изчезва, защото вдигнахме израза на четна степен.
За удобство на работа със степени, припомняме основните правила за повишаване до естествена сила:
- произведение на градуси;
- деление на степени;
Повишаване на степен до степен;
Степента на работата.
Пример 3. - това ни е известно още от темата "Вдигане на степен на целочислени изрази", с изключение на един случай: не съществува.
2. Най-простите примери за издигане на алгебрични дроби в естествени степени
Пример 4. Повишаване на дроб на степен.
Решение. Когато се повиши до равна степен, минусът изчезва:
Пример 5. Повишаване на дроб на степен.
Решение. Сега използваме правилата за повишаване на степен до степен веднага без отделен график:
.
Сега разгледайте комбинираните задачи, в които ще трябва да вдигнем дроби на степен, да ги умножим и разделим.
Пример 6: Извършване на действия.
Решение. 
. След това трябва да направите намаление. Веднъж ще опишем подробно как ще направим това и след това веднага ще посочим резултата по аналогия:. По същия начин (или според правилото за деление на степени). Ние имаме: .
Пример 7: Извършване на действия.
Решение. . Намаляването се извършва по аналогия с примера, разгледан по-рано.
Пример 8: Извършване на действия.
Решение. . В този пример още веднъж описахме процеса на намаляване на степените във дроби по-подробно, за да консолидираме този метод.
3. По-сложни примери за повишаване на алгебричните дроби в естествени степени (като се вземат предвид знаците и с термини в скоби)
Пример 9: Извършване на действия 
.
Решение. В този пример вече ще пропуснем отделното умножение на дроби и веднага ще използваме правилото за тяхното умножение и ще го запишем под един знаменател. В същото време следваме знаците - в този случай дробите се повишават до дори градуси, така че минусите изчезват. Нека направим намаление в края.
Пример 10: Извършване на действия 
.
Решение. В този пример има разделяне на дроби, не забравяйте, че в този случай първата дроб се умножава по втората, но е обърната.
В продължение на разговора за степента на едно число е логично да се заемем с намирането на стойността на степента. Този процес е наречен степенуване. В тази статия просто ще проучим как се извършва възлагането в степен, докато ще се докоснем до всички възможни експоненти - естествени, целочислени, рационални и ирационални. И по традиция ще разгледаме подробно решенията на примери за повишаване на числата в различни степени.
Навигация в страницата.
Какво означава "покачване в степен"?
Нека започнем с обяснението на това, което се нарича степенуване. Ето съответното определение.
Определение.
Експоненцияе да се намери стойността на степента на число.
По този начин намирането на стойността на степента на a с експонента r и повишаването на числото a на степен на r е едно и също нещо. Например, ако задачата е „изчислете стойността на степента (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 на степен 5“.
Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва възлагането в степен.
Повишаване на число в естествена степен
На практика равенството, основано на, обикновено се прилага във формата . Това означава, че при повишаване на числото a на дробна степен m / n първо се извлича коренът от n-та степен от числото a, след което резултатът се повишава до целочислена степен m.
Помислете за решения на примери за повишаване на дробна степен.
Пример.
Изчислете стойността на степента.
Решение.
Показваме две решения.
Първи начин. По дефиниция на степен с дробен показател. Изчисляваме стойността на степента под знака на корена, след което извличаме кубичния корен: 
.
Вторият начин. По дефиниция на степен с дробен показател и въз основа на свойствата на корените, равенствата са верни 
. Сега извадете корена 
Накрая повишаваме до степен на цяло число 
.
Очевидно получените резултати от повишаване на дробна степен съвпадат.
Отговор:
Обърнете внимание, че дробната степен може да се запише като десетична дробили смесено число, в тези случаи трябва да се замени със съответната обикновена дроб, след което да се извърши степенуване.
Пример.
Изчислете (44.89) 2.5 .
Решение.
Пишем експонента под формата на обикновена дроб (ако е необходимо, вижте статията): 
. Сега извършваме повишаване на дробна степен: 
Отговор:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е доста трудоемък процес (особено когато числителят и знаменателят на дробната степен са доста големи числа), който обикновено се извършва с помощта на компютърни технологии.
В заключение на този параграф ще се спрем на конструирането на числото нула на дробна степен. Дадохме следното значение на дробната степен на нула на формата: защото имаме 
, докато нула на степен m/n не е дефинирана. Така че, нула до положителна дробна степен е нула, например, 
. И нула в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изразите и 0 -4,3 нямат смисъл.
Издигане до ирационална сила
Понякога става необходимо да се намери стойността на степента на число с ирационален показател. В този случай за практически цели обикновено е достатъчно да се получи стойността на степента до определен знак. Веднага отбелязваме, че тази стойност се изчислява на практика с помощта на електронно-изчислителна технология, тъй като се повишава до ir рационална степенръчно изисква Голям бройтромави изчисления. Но въпреки това ще опишем в общи линии същността на действията.
За да се получи приблизителна стойност на степента на а с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на степента и се изчислява стойността на степента. Тази стойност е приблизителната стойност на степента на числото a с ирационален показател. Колкото по-точна е десетичната апроксимация на числото първоначално, толкова по-точна ще бъде стойността на степента в края.
Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на степента на 2 1,174367... . Да вземем следната десетична апроксимация на ирационален индикатор: . Сега повишаваме 2 до рационална степен 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈ 2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако вземем по-точна десетична апроксимация на ирационален експонент, например, тогава получаваме по-точна стойност на първоначалната степен: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Библиография.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика zh за 5 клетки. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7 клетки. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 клетки. образователни институции.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Алгебрата и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми).
