Уравнение на окръжност с радиус с център в точка. Уравнение на окръжност и права. За да създадете уравнението на кръг, трябва

Тема на урока: Уравнение на окръжност

Цели на урока:

Образователни: Изведете уравнението на кръга, като разгледате решението на този проблем като една от възможностите за прилагане на координатния метод.

Умейте да:

– Разпознайте уравнението на кръг според предложеното уравнение, научете учениците да съставят уравнение на кръг според готов чертеж, изградете кръг според дадено уравнение.

Образователни : Формиране на критично мислене.

Развитие : Развитие на способността да се правят алгоритмични предписания и способността да се действа в съответствие с предложения алгоритъм.

Умейте да:

– Вижте проблема и очертайте начини за разрешаването му.

– Изразете накратко мислите си устно и писмено.

Тип урок: усвояване на нови знания.

Оборудване : компютър, мултимедиен проектор, екран.

План на урока:

1. Въведение- 3 мин.

2. Актуализиране на знанията – 2 мин.

3. Постановка на проблема и неговото решение – 10 мин.

4. Фронтално закрепване на нов материал – 7 мин.

5. Самостоятелна работагрупово – 15 мин.

6. Представяне на работа: дискусия – 5 мин.

7. Обобщение на урока. Домашна работа- 3 мин.

По време на часовете

Целта на този етап: Психологическо настроение на учениците; Включване на всички ученици в образователния процес, създаване на ситуация на успех.

1. Организиране на времето.

3 минути

Момчета! С кръжока се запознахте в 5-ти и 8-ми клас. Какво знаеш за нея?

Вие знаете много и тези данни могат да се използват за решаване на геометрични задачи. Но за решаване на задачи, в които се използва координатният метод, това не е достатъчно.Защо?

Абсолютно прав.

Затова основната цел на днешния урок е да се изведе уравнението на окръжност от геометричните свойства на дадена права и да се използва за решаване на геометрични задачи.

Оставимото на урока ще бъдат думите на централноазиатския енциклопедист Ал-Бируни: „Знанието е най-превъзходното притежание. Всеки се стреми към него, но то не идва от само себе си.”

Запишете темата на урока в тетрадка.

Определение за кръг.

Радиус.

Диаметър.

Акорд. и т.н.

Все още не знаем общ изгледуравнения на окръжност.

Учениците изброяват всичко, което знаят за кръга.

Слайд 2

Слайд 3

Целта на този етап е да се получи представа за качеството на усвояването на материала от учениците и да се определят основните знания.

2. Актуализиране на знанията.

2 минути

При извеждане на уравнението на кръга ще ви трябва вече известната дефиниция на окръжност и формула, която ви позволява да намерите разстоянието между две точки, като използвате техните координати.Нека си припомним тези факти /Pповторение на материала, проучени преди това/:

– Запишете формулата за намиране на координатите на средата на отсечка.

– Запишете формулата за изчисляване на дължината на вектор.

– Запишете формулата за намиране на разстоянието между точките (дължина на сегмента).

Коригиране на записи...

Геометрична загрявка.

Дават се точкиА (-1;7) ИВ (7; 1).

Изчислете координатите на средата на отсечката AB и нейната дължина.

Проверява правилността на изпълнението, коригира изчисленията...

Един ученик е на дъската, а останалите пишат формули в тетрадките.

Извиква се кръг геометрична фигура, състоящ се от всички точки, разположени на дадено разстояние от дадена точка.

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

M(x;y), A(x;y)

Изчислете: C (3; 4)

| AB| = 10

СЪС водят 4

Слайд 5

3. Формиране на нови знания.

12 минути

Цел: формиране на концепцията - уравнение на окръжност.

Реши задачата:

В правоъгълна координатна система е построена окръжност с център A(x;y). M(x; y) - произволна точка от окръжността. Намерете радиуса на окръжността.

Координатите на всяка друга точка ще удовлетворят ли това равенство? Защо?

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението.В резултат на това имаме:

r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² е уравнението на окръжността, където (x; y) е координатите на центъра на окръжността, (x; y) е координатите на произволна точка, разположена върху окръжността, r е радиусът на окръжността.

Реши задачата:

Какво ще бъде уравнението на окръжност с център в началото?

И така, какво трябва да знаете, за да съставите уравнението на окръжност?

Предложете алгоритъм за съставяне на уравнението на окръжност.

Извод: ...запишете го в тетрадката си.

Радиусът е сегмент, свързващ центъра на окръжност с произволна точка, разположена върху окръжността. Следователно r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

Всяка точка от окръжност лежи върху тази окръжност.

Учениците си водят бележки в тетрадките.

(0;0) - координати на центъра на кръга.

x²+y²=r², където r е радиусът на окръжността.

Координати на центъра на окръжността, радиус, всяка точка от окръжността...

Те предлагат алгоритъм...

Запишете алгоритъма в тетрадка.

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Учителят записва равенство на дъската.

Слайд 9

4. Първична консолидация.

23 минути

Мишена:възпроизвеждане от учениците на току-що възприетия материал, за да се предотврати загубата на формирани представи и концепции. Затвърдяване на нови знания, идеи, концепции, базирани на тяхприложения.

СЛЪНЧЕВО управление

Нека приложим придобитите знания за решаване на следните задачи.

Задача: От предложените уравнения назовете числата на тези, които са уравненията на окръжността. И ако уравнението е уравнението на окръжност, тогава назовете координатите на центъра и посочете радиуса.

Не всяко уравнение от втора степен с две променливи определя кръг.

4x²+y²=4-уравнение на елипса.

x²+y²=0-точка.

x²+y²=-4-това уравнение не определя никаква фигура.

Момчета! Какво трябва да знаете, за да напишете уравнението на окръжност?

Реши задачата № 966 стр. 245 (учебник).

Учителят извиква ученика на дъската.

Достатъчни ли са данните, посочени в условието на задачата, за да се състави уравнение на окръжност?

Задача:

Напишете уравнението на окръжност с център в началото и диаметър 8.

Задача : Начертайте кръг.

Центърът има ли координати?

Определете радиуса... и изградете

Проблем на страница 243 (учебник) се анализира устно.

Използвайки плана за решаване на проблема от страница 243, решете проблема:

Напишете уравнението на окръжност с център точка A(3;2), ако окръжността минава през точка B(7;5).

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - уравнение на окръжност; (5;3),r=6.

2) (x-1)²+y²=49 - уравнение на окръжност; (1;0),r=7.

3) x²+y²=7 - уравнение на окръжност;(0;0),r=√7.

4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d уравнение на 2 кръга; (-3;8), r=√2.

5) 4x² + y² \u003d 4 не е уравнение на окръжност.

6) x² + y² = 0- не е уравнение на окръжност.

7) x² + y² = -4- не е уравнение на окръжност.

Знайте координатите на центъра на кръга.

Дължина на радиуса.

Заместете координатите на центъра и дължината на радиуса в общото уравнение на окръжност.

Решете задача No 966 стр. 245 (учебник).

Има достатъчно данни.

Те решават проблема.

Тъй като диаметърът на кръга е два пъти радиуса му, тогава r=8÷2=4. Следователно x²+y²=16.

Извършете изграждането на кръгове

Работа по учебника. Проблем на страница 243.

Дадено е: A (3; 2) - центърът на окръжността; В(7;5)є(А;r)

Намерете: уравнение на окръжност

Решение: r² =(x –x)²+(y –y)²

r² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(x –3)²+(y –2)²=25

Отговор: (x –3)²+(y –2)²=25

Слайд 10-13

Решение типични задачи, произнасяйки решението на висок глас.

Учителят извиква един ученик да напише полученото уравнение.

Върнете се към слайд 9

Обсъждане на план за решаване на този проблем.

Пързалка. 15. Учителят извиква един ученик на дъската, за да реши тази задача.

Слайд 16.

Слайд 17.

5. Обобщение на урока.

5 минути

Рефлексия върху дейностите в урока.

Домашна работа: §3, параграф 91, Контролни въпроси №16,17.

Задачи № 959(б, г, г), 967.

Задача за допълнителна оценка (проблемна задача): Построете окръжност, дадена от уравнението

x²+2x+y²-4y=4.

За какво говорихме в час?

Какво искаше да получиш?

Каква беше целта на урока?

Какви проблеми ни позволява да разрешим нашето „откритие“?

Колко от вас смятат, че са постигнали целта, поставена от учителя в урока 100%, 50%; не постигна целта...?

Класиране.

Запишете домашното.

Учениците отговарят на въпроси, зададени от учителя. Провеждат самоанализ на собствените си дейности.

Учениците трябва да изразят резултата и методите за постигането му с думи.

клас: 8

Целта на урока:въвеждат уравнението на окръжност, учат учениците да съставят уравнение на окръжност по готов чертеж и да конструират окръжност по дадено уравнение.

Оборудване: интерактивна дъска.

План на урока:

1. Организационен момент – 3 мин.
2. Повторение. Организация на умствената дейност – 7 мин.
3. Обяснение на нов материал. Извеждане на уравнение на окръжност – 10 мин.
4. Затвърдяване на изучения материал – 20 мин.
5. Обобщение на урока – 5 мин.

По време на часовете

2. Повторение:

− (Приложение 1 Слайд 2) запишете формулата за намиране на координатите на средата на отсечка;

− (Слайд 3) ЗНапишете формулата за разстоянието между точките (дължината на отсечката).

3. Обяснение на нов материал.

(Слайдове 4 – 6)Дефинирайте уравнението на окръжност. Изведете уравнения на окръжност с център в точка ( А;b) и центриран в началото.

(х – А ) 2 + (при – b ) 2 = Р 2 – уравнение на окръжност с център СЪС (А;b) , радиус Р , х И при – координати на произволна точка от окръжността .

х 2 + y 2 = Р 2 – уравнение на окръжност с център в началото.

(Слайд 7)

За да създадете уравнението на кръг, трябва:

• знаят координатите на центъра;
• знаят дължината на радиуса;
• Заместете координатите на центъра и дължината на радиуса в уравнението на окръжността.

4. Решаване на проблеми.

В задачи No 1 – No 6 съставете уравнения на окръжност по готови чертежи.

(Слайд 14)

№ 7. Попълнете таблицата.

(Слайд 15)

№ 8. Построете кръгове в тетрадката си, дадени от уравненията:

А) ( х – 5) 2 + (при + 3) 2 = 36;
b) (х + 1) 2 + (при– 7) 2 = 7 2 .

(Слайд 16)

№ 9. Намерете координатите на центъра и дължината на радиуса, ако AB– диаметър на кръга.

дадени:		Решение:
		Р	Координати на центъра
1	А(0 ; -6) IN(0 ; 2)	AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 .	А(0; -6) IN(0 ; 2) СЪС(0 ; – 2) – център
2	А(-2 ; 0) IN(4 ; 0)	AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6.	А (-2;0) IN (4 ;0) СЪС(1 ; 0) – център

(Слайд 17)

№ 10. Напишете уравнение за окръжност с център в началото и минаваща през точката ДА СЕ(-12;5).

Решение.

R 2 = Добре 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;

Уравнение на окръжност: x 2 + y 2 = 169 .

(Слайд 18)

№ 11. Напишете уравнение за окръжност, минаваща през началото и с център СЪС(3; - 1).

Решение.

R2= операционна система 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Уравнение на окръжност: ( Х - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(Слайд 19)

№ 12. Напишете уравнение за окръжност с нейния център А(3;2), преминаващ през IN(7;5).

Решение.

1. Център на кръга – А(3;2);
2.Р = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB = 5;
3. Уравнение на окръжност ( х – 3) 2 + (при − 2) 2 = 25.

(Слайд 20)

№ 13. Проверете дали точките лъжат А(1; -1), IN(0;8), СЪС(-3; -1) върху кръга, дадено от уравнението (х + 3) 2 + (при − 4) 2 = 25.

Решение.

аз. Нека заместим координатите на точката А(1; -1) в уравнението на кръг:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенството е грешно, което означава А(1; -1) не лъжевърху окръжността, дадена от уравнението ( х + 3) 2 + (при − 4) 2 = 25.

II. Нека заместим координатите на точката IN(0;8) в уравнението на окръжност:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
IN(0;8)лъжи х + 3) 2 + (при − 4) 2 = 25.

III.Нека заместим координатите на точката СЪС(-3; -1) в уравнението на окръжност:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенството е вярно, което означава СЪС(-3; -1) лъживърху окръжността, дадена от уравнението ( х + 3) 2 + (при − 4) 2 = 25.

Обобщение на урока.

1. Повторете: уравнение на окръжност, уравнение на окръжност с центъра в началото.
2. (Слайд 21)Домашна работа.

Уравнение на права на равнина

Нека първо въведем концепцията за уравнението на права в двумерна координатна система. Нека е построена произволна права $L$ в декартова координатна система (фиг. 1).

Фигура 1. Произволна линия в координатната система

Определение 1

Уравнение с две променливи $x$ и $y$ се нарича уравнение на правата $L$, ако това уравнение е изпълнено от координатите на която и да е точка, принадлежаща на правата $L$, и не е изпълнено от никоя точка, която не принадлежи на правата $L .$

Окръжно уравнение

Нека изведем уравнението на окръжност в декартовата координатна система $xOy$. Нека центърът на окръжността $C$ има координати $(x_0,y_0)$, а радиусът на окръжността е равен на $r$. Нека точка $M$ с координати $(x,y)$ е произволна точка от тази окръжност (фиг. 2).

Фигура 2. Окръжност в декартова координатна система

Разстоянието от центъра на окръжността до точката $M$ се изчислява по следния начин

Но тъй като $M$ лежи върху окръжността, получаваме $CM=r$. Тогава получаваме следното

Уравнение (1) е уравнението на окръжност с център в точка $(x_0,y_0)$ и радиус $r$.

По-специално, ако центърът на окръжността съвпада с началото. Това уравнение на кръг има формата

Уравнение на права линия.

Нека изведем уравнението на правата $l$ в декартовата координатна система $xOy$. Нека точките $A$ и $B$ имат координати съответно $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ и $\(x_2,\ y_2\)$ и точките $A$ и $B$ са избрани така че правата $l$ е перпендикулярна ъглополовяща на отсечката $AB$. Нека изберем произволна точка $M=\(x,y\)$, принадлежаща на правата $l$ (фиг. 3).

Тъй като правата $l$ е перпендикулярна ъглополовяща на отсечката $AB$, то точката $M$ е на равно разстояние от краищата на тази отсечка, т.е. $AM=BM$.

Нека намерим дължините на тези страни, използвайки формулата за разстоянието между точките:

Следователно

Нека означим с $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) ^2 -(y_1)^2$, Откриваме, че уравнението на права линия в декартова координатна система има следващ изглед:

Пример за задача за намиране на уравненията на прави в декартова координатна система

Пример 1

Намерете уравнението на окръжност с център в точка $(2,\ 4)$. Преминаваща през началото на координатите и права линия, успоредна на оста $Ox,$, минаваща през нейния център.

Решение.

Нека първо намерим уравнението на тази окръжност. За да направим това, ще използваме общото уравнение на кръг (изведено по-горе). Тъй като центърът на окръжността лежи в точката $(2,\ 4)$, получаваме

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

Нека намерим радиуса на окръжността като разстоянието от точката $(2,\ 4)$ до точката $(0,0)$

Откриваме, че уравнението на окръжност има формата:

\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]

Нека сега намерим уравнението на окръжност, използвайки специален случай 1. Получаваме

Обиколкае набор от точки в равнината, еднакво отдалечени от дадена точка, наречена център.

Ако точка C е центърът на окръжността, R е нейният радиус и M е произволна точка от окръжността, тогава по дефиницията на окръжност

Равенството (1) е уравнение на окръжнострадиус R с център в точка С.

Нека правоъгълна картезианска системакоординати (фиг. 104) и точка C( А; b) е центърът на окръжност с радиус R. Нека M( Х; при) е произволна точка от тази окръжност.

Тъй като |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), тогава уравнение (1) може да бъде написано, както следва:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(х-а) 2 + (y - b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) се нарича общо уравнениекръгили уравнението на окръжност с радиус R с център в точка ( А; b). Например уравнението

(х - l) 2 + ( г + 3) 2 = 25

е уравнението на окръжност с радиус R = 5 с център в точка (1; -3).

Ако центърът на окръжността съвпада с началото на координатите, тогава уравнение (2) приема формата

х 2 + при 2 = R 2 . (3)

Уравнение (3) се нарича канонично уравнение на окръжност .

Задача 1.Напишете уравнението на окръжност с радиус R = 7 с център в началото.

Чрез директно заместване на стойността на радиуса в уравнение (3) получаваме

х 2 + при 2 = 49.

Задача 2.Напишете уравнението на окръжност с радиус R = 9 с център в точка C(3; -6).

Замествайки стойността на координатите на точка C и стойността на радиуса във формула (2), получаваме

(х - 3) 2 + (при- (-6)) 2 = 81 или ( х - 3) 2 + (при + 6) 2 = 81.

Задача 3.Намерете центъра и радиуса на окръжност

(х + 3) 2 + (при-5) 2 =100.

Сравнявайки това уравнение с общото уравнение на кръг (2), виждаме това А = -3, b= 5, R = 10. Следователно, C(-3; 5), R = 10.

Задача 4.Докажете, че уравнението

х 2 + при 2 + 4х - 2г - 4 = 0

е уравнението на окръжност. Намерете неговия център и радиус.

Нека трансформираме лявата страна на това уравнение:

х 2 + 4х + 4- 4 + при 2 - 2при +1-1-4 = 0

(х + 2) 2 + (при - 1) 2 = 9.

Това уравнение е уравнението на окръжност с център (-2; 1); Радиусът на окръжността е 3.

Задача 5.Напишете уравнението на окръжност с център в точка C(-1; -1), допирателна към правата AB, ако A (2; -1), B(- 1; 3).

Нека напишем уравнението на права AB:

или 4 х + 3г-5 = 0.

Тъй като окръжност докосва дадена линия, радиусът, начертан до точката на контакт, е перпендикулярен на тази права. За да намерите радиуса, трябва да намерите разстоянието от точка C(-1; -1) - центъра на окръжността до права линия 4 х + 3г-5 = 0:

Нека напишем уравнението на търсената окръжност

(х +1) 2 + (г +1) 2 = 144 / 25

Нека е дадена окръжност в правоъгълна координатна система х 2 + при 2 = R 2 . Да разгледаме неговата произволна точка M( Х; при) (фиг. 105).

Нека радиус векторът ОМ> точка M образува ъгъл с големина Tс положителна посока на оста О х, тогава абсцисата и ординатата на точка M се променят в зависимост от T

(0 T x и y през T, намираме

х= Rcos T ; г= R sin T , 0 T

Уравнения (4) се наричат параметрични уравнения на окръжност с център в началото.

Задача 6.Кръгът е даден от уравненията

х= \(\sqrt(3)\)cos T, г= \(\sqrt(3)\)sin T, 0 T

Запишете каноничното уравнение на тази окръжност.

От условието следва х 2 = 3 cos 2 T, при 2 = 3 грях 2 T. Събирайки тези равенства член по член, получаваме

х 2 + при 2 = 3(cos 2 T+ грях 2 T)

или х 2 + при 2 = 3