Абсолютно невъзможно е да се решават физически задачи или примери по математика без познания за производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия на математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физическо и геометрично значение, как да изчислим производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?
Геометричен и физически смисъл на производната
Нека има функция f(x) , даден в някакъв интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разлика в неговите стойности x-x0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяната или увеличението на функция е разликата между стойностите на функцията в две точки. Дефиниция на производната:
Производната на функция в дадена точка е границата на съотношението на приращението на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.
Иначе може да се напише така:
Какъв е смисълът от намирането на такава граница? Но коя:
производната на функция в дадена точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.
Физическото значение на производната: времевата производна на пътя е равна на скоростта на праволинейното движение.
Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е личен път. x=f(t) и времето T . Средна скорост за определен период от време:
За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:
Правило първо: извадете константата
Константата може да бъде извадена от знака на производната. Освен това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете като правило - ако можете да опростите израза, не забравяйте да го опростите .
Пример. Нека изчислим производната:
Правило второ: производна на сбора от функции
Производната на сбора от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.
Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.
Намерете производната на функция:
Правило трето: производната на произведението на функциите
Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:
Пример: намерете производната на функция:
Решение: 
Тук е важно да се каже за изчисляването на производни на сложни функции. Производната на комплексна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент на производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.
В горния пример срещаме израза:
В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо разглеждаме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.
Четвърто правило: Производната на частното на две функции
Формула за определяне на производната на частно от две функции:
Опитахме се да говорим за деривати за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото звучи, така че бъдете предупредени: често има подводни камъни в примерите, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.
При всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентския сервиз. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния контрол и да се справите със задачи, дори ако никога досега не сте се занимавали с изчисляване на производни.
сложни производни. Логаритмична производна.
Производна на експоненциална функция
Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме разгледания материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също и ще се запознаем с нови трикове и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.
Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намеря производната? Примери за решениекоето ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и решете всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го овладеете, уверено ще разграничите доста сложни функции. Не е желателно да се придържате към позицията „Къде другаде? Да, и това е достатъчно! ”, Тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат на практика.
Да започнем с повторението. На урока Производна на сложна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаването на диференциалното смятане и други раздели на математическия анализ ще трябва да правите диференциация много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисувате примери с големи подробности. Затова ще се упражняваме в устното намиране на производни. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простите сложни функции, например:
Според правилото за диференциране на сложна функция 
:
При изучаване на други теми на matan в бъдеще, такъв подробен запис най-често не се изисква, предполага се, че ученикът може да намери подобни производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: „Каква е производната на тангенса на две х?“. Това трябва да бъде последвано от почти незабавен и учтив отговор: 
.
Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.
Пример 1
Намерете следните производни устно, в една стъпка, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица на производните на елементарни функции(ако вече не си е спомнила). Ако имате някакви затруднения, препоръчвам да прочетете отново урока Производна на сложна функция.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Отговори в края на урока
Сложни производни
След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 прикачени функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще им се сторят сложни, но ако бъдат разбрани (някой страда), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.
Пример 2
Намерете производната на функция 
Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, това е необходимо правоРАЗБЕРЕТЕ ИНВЕСТИЦИИ. В случаите, когато има съмнения, ви напомням за един полезен трик: вземаме например експерименталната стойност "x" и се опитваме (умствено или на чернова) да заменим тази стойност в "ужасния израз".
1) Първо трябва да изчислим израза, така че сборът е най-дълбокото вложение.
2) След това трябва да изчислите логаритъма:
4) След това нарежете на куб косинус:
5) На петата стъпка разликата:
6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен: 
Формула за диференциране на сложни функции 
се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:
Изглежда няма грешка...
(1) Вземаме производната на квадратния корен.
(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото 
(3) Производната на тройката е равна на нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).
(4) Вземаме производната на косинуса.
(5) Вземаме производната на логаритъма.
(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото гнездене.
Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-бруталният пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция, или не разбира.
Следният пример е за самостоятелно решение.
Пример 3
Намерете производната на функция
Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта
Пълно решение и отговор в края на урока.
Време е да преминете към нещо по-компактно и по-красиво.
Не е необичайна ситуация, в която в пример е дадено произведението на не две, а три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?
Пример 4
Намерете производната на функция 
Първо, разглеждаме, но възможно ли е произведението на три функции да се превърне в продукт на две функции? Например, ако имаме два полинома в продукта, тогава бихме могли да отворим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.
В такива случаи е необходимо последователноприлага правилото за продуктова диференциация 
два пъти
Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции: , а за "ve" - логаритъмът:. Защо това може да се направи? Така ли 
- това не е продукт на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:
Сега остава да приложим правилото втори път 
към скоба:
Все още можете да изкривите и да извадите нещо от скобите, но в този случай е по-добре да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да проверите.
Горният пример може да бъде решен по втория начин: 
И двете решения са абсолютно еквивалентни.
Пример 5
Намерете производната на функция
Това е пример за независимо решение, в пробата се решава по първия начин.
Разгледайте подобни примери с дроби.
Пример 6
Намерете производната на функция 
Тук можете да отидете по няколко начина:
или така:
Но решението може да бъде написано по-компактно, ако на първо място използваме правилото за диференциране на частното 
, вземайки за целия числител:
По принцип примерът е решен и ако се остави в този вид, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, но възможно ли е да се опрости отговорът? Привеждаме израза на числителя към общ знаменател и отървете се от триетажната фракция:
Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че има риск от грешка не при намиране на производна, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „да я напомнят“ за производната.
По-прост пример за решение "направи си сам":
Пример 7
Намерете производната на функция
Продължаваме да усвояваме техниките за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато се предлага „ужасен“ логаритъм за диференциране
Пример 8
Намерете производната на функция
Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за диференциране на сложна функция:
Но още първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятна производна от дробна степен, а след това и от дроб.
Ето защо предикак да вземем производната на „фантастичния“ логаритъм, преди това е опростен с помощта на добре познати училищни свойства:
! Ако имате под ръка тетрадка за упражнения, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, нарисувайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.
Самото решение може да бъде формулирано по следния начин:
Нека трансформираме функцията:
Намираме производната: 
Предварителната трансформация на самата функция значително опрости решението. Следователно, когато се предлага подобен логаритъм за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.
И сега няколко прости примера за независимо решение:
Пример 9
Намерете производната на функция 
Пример 10
Намерете производната на функция
Всички трансформации и отговори в края на урока.
логаритмична производна
Ако производната на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи да се организира логаритъмът изкуствено? Мога! И дори необходимо.
Пример 11
Намерете производната на функция 
Подобни примери разгледахме наскоро. Какво да правя? Може последователно да се приложи правилото за диференциране на частното, а след това правилото за диференциране на произведението. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.
Но в теорията и практиката има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги „окачат“ от двете страни:
Забележка
: защото функцията може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: 
, които изчезват в резултат на диференциацията. Въпреки това, настоящият дизайн също е приемлив, където по подразбиране е комплексстойности. Но ако с цялата строгост, тогава и в двата случая е необходимо да се направи резервация, че.
Сега трябва да „разбиете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:
Да започнем с диференциацията.
Завършваме и двете части с щрих:
Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, би трябвало да можете да се справите с него уверено.
Ами лявата страна?
От лявата страна имаме сложна функция. Предвидям въпроса: „Защо, има ли една буква „у“ под логаритъма?“.
Факт е, че тази „една буква у“ - САМА ФУНКЦИЯ Е(ако не е много ясно, вижте статията Производна на имплицитно посочена функция). Следователно логаритъмът е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И ние използваме правилото за диференциране на съставна функция 
:
От лявата страна, като по магия, имаме производно. Освен това, според правилото за пропорция, хвърляме "y" от знаменателя на лявата страна до върха на дясната страна:
И сега си спомняме за каква "игра"-функция говорихме при разграничаването? Нека разгледаме условието: 
Краен отговор: 
Пример 12
Намерете производната на функция
Това е пример "направи си сам". Примерен дизайн на пример от този тип в края на урока.
С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.
Производна на експоненциална функция
Все още не сме обмисляли тази функция. Експоненциалната функция е функция, която има и степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или на всяка лекция:
Как да намерим производната на експоненциална функция?
Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичната производна. Окачваме логаритми от двете страни:
По правило степента се изважда от под логаритъма от дясната страна:
В резултат на това от дясната страна имаме продукт от две функции, които ще бъдат диференцирани според стандартната формула 
.
Намираме производната, за това ограждаме и двете части под черти:
Следващите стъпки са лесни:
накрая: 
Ако някаква трансформация не е напълно ясна, моля, прочетете внимателно обясненията на Пример 11.
В практическите задачи експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания пример от лекция.
Пример 13
Намерете производната на функция
Използваме логаритмичната производна. 
От дясната страна имаме константа и произведение на два фактора - "x" и "логаритъм от логаритъма на x" (друг логаритъм е вложен под логаритъма). При диференциране на константа, както си спомняме, е по-добре веднага да я извадим от знака на производната, за да не пречи; и, разбира се, прилагайте познатото правило 
:
Ако следваме дефиницията, тогава производната на функция в дадена точка е границата на съотношението на увеличение на функцията Δ гкъм нарастването на аргумента Δ х:
Всичко изглежда е ясно. Но опитайте да изчислите по тази формула, да речем, производната на функцията е(х) = х 2 + (2х+ 3) · д хгрях х. Ако направите всичко по дефиниция, тогава след няколко страници изчисления просто ще заспите. Следователно има по-прости и по-ефективни начини.
Като начало отбелязваме, че така наречените елементарни функции могат да бъдат разграничени от цялото разнообразие от функции. Това са относително прости изрази, чиито производни отдавна са изчислени и въведени в таблицата. Такива функции са достатъчно лесни за запомняне, заедно с техните производни.
Производни на елементарни функции
Елементарните функции са всичко изброено по-долу. Производните на тези функции трябва да се знаят наизуст. Освен това не е трудно да ги запомните – затова са елементарни.
И така, производните на елементарните функции:
| име | Функция | Производна |
| Постоянна | е(х) = ° С, ° С ∈ Р | 0 (да, да, нула!) |
| Степен с рационален показател | е(х) = х н | н · х н − 1 |
| Синус | е(х) = грях х | cos х |
| косинус | е(х) = cos х | − грях х(минус синус) |
| Тангента | е(х) = tg х | 1/cos 2 х |
| Котангенс | е(х) = ctg х | − 1/sin2 х |
| естествен логаритъм | е(х) = дневник х | 1/х |
| Произволен логаритъм | е(х) = дневник а х | 1/(хвътрешен а) |
| Експоненциална функция | е(х) = д х | д х(Нищо не се промени) |
Ако елементарна функция се умножи по произволна константа, тогава производната на новата функция също се изчислява лесно:
(° С · е)’ = ° С · е ’.
По принцип константите могат да бъдат извадени от знака на производната. Например:
(2х 3)' = 2 ( х 3)' = 2 3 х 2 = 6х 2 .
Очевидно елементарните функции могат да се добавят една към друга, умножават, разделят и много повече. Така ще се появят нови функции, вече не много елементарни, но и диференциращи се според определени правила. Тези правила са разгледани по-долу.
Производна на сума и разлика
Нека функциите е(х) и ж(х), чиито производни са ни известни. Например, можете да вземете елементарните функции, обсъдени по-горе. След това можете да намерите производната на сбора и разликата на тези функции:
- (е + ж)’ = е ’ + ж ’
- (е − ж)’ = е ’ − ж ’
И така, производната на сбора (разликата) на две функции е равна на сумата (разликата) на производните. Може да има повече термини. Например, ( е + ж + з)’ = е ’ + ж ’ + з ’.
Строго погледнато, в алгебрата няма понятие за "изваждане". Има понятие за "отрицателен елемент". Следователно разликата е − жможе да се пренапише като сума е+ (−1) ж, а след това остава само една формула - производната на сбора.
е(х) = х 2 + sinx; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.
Функция е(х) е сборът от две елементарни функции, така че:
е ’(х) = (х 2+ грях х)’ = (х 2)' + (грех х)’ = 2х+ cosx;
Ние спорим по подобен начин за функцията ж(х). Само че вече има три термина (от гледна точка на алгебрата):
ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).
Отговор:
е ’(х) = 2х+ cosx;
ж ’(х) = 4х · ( х
2 + 1).
Производно на продукт
Математиката е логическа наука, така че много хора вярват, че ако производната на сбора е равна на сумата от производните, тогава производната на продукта стачка"\u003e равен на произведението на производните. Но смокини за вас! Производната на продукта се изчислява по съвсем различна формула. А именно:
(е · ж) ’ = е ’ · ж + е · ж ’
Формулата е проста, но често се забравя. И не само ученици, но и студенти. Резултатът е неправилно решени проблеми.
Задача. Намерете производни на функции: е(х) = х 3 cosx; ж(х) = (х 2 + 7х− 7) · д х .
Функция е(х) е продукт от две елементарни функции, така че всичко е просто:
е ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3)' cos х + х 3 (кос х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (-грях х) = х 2 (3кос х − хгрях х)
Функция ж(х) първият множител е малко по-сложен, но обща схематова не се променя. Очевидно първият множител на функцията ж(х) е полином и неговата производна е производна на сбора. Ние имаме:
ж ’(х) = ((х 2 + 7х− 7) · д х)’ = (х 2 + 7х− 7)' · д х + (х 2 + 7х− 7) ( д х)’ = (2х+ 7) · д х + (х 2 + 7х− 7) · д х = д х(2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · д х = х(х+ 9) · д х .
Отговор:
е ’(х) = х 2 (3кос х − хгрях х);
ж ’(х) = х(х+ 9) · д
х
.
Имайте предвид, че в последната стъпка производната се разлага на множители. Формално това не е необходимо, но повечето производни не се изчисляват сами, а за изследване на функцията. Това означава, че по-нататък производната ще бъде приравнена на нула, ще се открият нейните знаци и т.н. За такъв случай е по-добре изразът да бъде разложен на фактори.
Ако има две функции е(х) и ж(х), и ж(х) ≠ 0 на множеството, което ни интересува, можем да дефинираме нова функция з(х) = е(х)/ж(х). За такава функция можете да намерите и производната:
Не е слаб, нали? Откъде дойде минусът? Защо ж 2? Но така! Това е една от най-сложните формули - не можете да я разберете без бутилка. Затова е по-добре да го изучавате конкретни примери.
Задача. Намерете производни на функции:
В числителя и знаменателя на всяка дроб има елементарни функции, така че всичко, от което се нуждаем, е формулата за производната на частното:
По традиция разделяме числителя на фактори - това значително ще опрости отговора:
Сложната функция не е непременно формула с дължина половин километър. Например, достатъчно е да вземете функцията е(х) = грях хи заменете променливата х, да речем, на х 2+ln х. Оказва се е(х) = грях ( х 2+ln х) е сложна функция. Тя също има производно, но няма да работи да го намери според правилата, обсъдени по-горе.
Как да бъде? В такива случаи замяната на променлива и формулата за производната на сложна функция помагат:
е ’(х) = е ’(T) · T', ако хсе заменя с T(х).
По правило ситуацията с разбирането на тази формула е още по-тъжна, отколкото с производната на частното. Ето защо е по-добре да го обясните с конкретни примери, с подробно описание на всяка стъпка.
Задача. Намерете производни на функции: е(х) = д 2х + 3 ; ж(х) = грях ( х 2+ln х)
Имайте предвид, че ако във функцията е(х) вместо израз 2 х+ 3 ще бъде лесно х, тогава получаваме елементарна функция е(х) = д х. Следователно правим заместване: нека 2 х + 3 = T, е(х) = е(T) = д T. Търсим производната на сложна функция по формулата:
е ’(х) = е ’(T) · T ’ = (д T)’ · T ’ = д T · T ’
А сега - внимание! Извършване на обратна замяна: T = 2х+ 3. Получаваме:
е ’(х) = д T · T ’ = д 2х+ 3 (2 х + 3)’ = д 2х+ 3 2 = 2 д 2х + 3
Сега нека разгледаме функцията ж(х). Очевидно трябва да се смени. х 2+ln х = T. Ние имаме:
ж ’(х) = ж ’(T) · T' = (грях T)’ · T' = cos T · T ’
Обратна подмяна: T = х 2+ln х. Тогава:
ж ’(х) = cos ( х 2+ln х) · ( х 2+ln х)' = cos ( х 2+ln х) · (2 х + 1/х).
Това е всичко! Както се вижда от последния израз, целият проблем е сведен до изчисляване на производната на сбора.
Отговор:
е ’(х) = 2 д
2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/х) cos( х 2+ln х).
Много често в уроците си вместо термина „производна“ използвам думата „инсулт“. Например щрих от сбора е равно на суматаудари. Това по-ясно ли е? Е, това е добре.
По този начин изчисляването на производната се свежда до премахване на тези щрихи според правилата, обсъдени по-горе. Като последен пример, нека се върнем към производната степен с рационален показател:
(х н)’ = н · х н − 1
Малцина знаят това в ролята нможе и да е дробно число. Например коренът е х 0,5 . Но какво ще стане, ако има нещо сложно под корена? Отново ще се окаже сложна функция - те обичат да дават такива конструкции контролна работаи изпити.
Задача. Намерете производната на функция:
Първо, нека пренапишем корена като степен с рационален показател:
е(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .
Сега правим замяна: нека х 2 + 8х − 7 = T. Намираме производната по формулата:
е ’(х) = е ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T−0,5 T ’.
Правим обратна замяна: T = х 2 + 8х− 7. Имаме:
е ’(х) = 0,5 ( х 2 + 8х−7) −0,5 ( х 2 + 8х− 7)' = 0,5 (2 х+ 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .
И накрая, обратно към корените:
Ако ж(х) и е(u) са диференцируеми функции на техните аргументи, съответно в точките хи u= ж(х), тогава комплексната функция също е диференцируема в точката хи се намира по формулата
Типична грешка при решаването на задачи върху производни е автоматичното прехвърляне на правилата за диференциране на прости функции към сложни функции. Ще се научим да избягваме тази грешка.
Пример 2Намерете производната на функция
Грешно решение:изчислете естествения логаритъм на всеки член в скоби и намерете сумата от производните:
Правилното решение:отново определяме къде е "ябълката" и къде е "каймата". Тук естественият логаритъм на израза в скоби е "ябълката", тоест функцията на междинния аргумент u, а изразът в скоби е "мляно месо", тоест междинен аргумент uчрез независима променлива х.
След това (като се използва формула 14 от таблицата на производните)
В много реални задачи изразът с логаритъма е малко по-сложен, поради което има урок
Пример 3Намерете производната на функция
Грешно решение:
Правилното решение.Още веднъж определяме къде е "ябълката" и къде "каймата". Тук косинусът на израза в скоби (формула 7 в таблицата на производните) е "ябълка", той се готви в режим 1, засягайки само него, а изразът в скоби (производната на степента - номер 3 в таблица на производните) е "мляно месо", приготвя се в режим 2, засягайки само него. И както винаги свързваме две производни със знак за продукт. Резултат:
Производната на сложна логаритмична функция е честа задача в тестовете, затова силно препоръчваме да посетите урока „Производна на логаритмична функция“.
Първите примери бяха за сложни функции, в които междинният аргумент над независимата променлива беше проста функция. Но в практическите задачи често се изисква да се намери производната на сложна функция, където междинният аргумент е или сам по себе си сложна функция, или съдържа такава функция. Какво да правим в такива случаи? Намерете производни на такива функции с помощта на таблици и правила за диференциране. Когато се намери производната на междинния аргумент, тя просто се заменя на правилното място във формулата. По-долу са дадени два примера за това как се прави това.
Освен това е полезно да знаете следното. Ако една сложна функция може да бъде представена като верига от три функции
тогава неговата производна трябва да се намери като произведение на производните на всяка от тези функции:
Много от вашите домашни задачи може да изискват да отваряте уроци в нови прозорци. Действия със сили и корении Действия с дроби .
Пример 4Намерете производната на функция
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция, като не забравяме, че в получения продукт от производни, междинният аргумент по отношение на независимата променлива хне се променя:
Изготвяме втория фактор на произведението и прилагаме правилото за диференциране на сумата:
Вторият член е коренът, т.е
Така се получи, че междинният аргумент, който е сумата, съдържа сложна функция като един от термините: степенуването е сложна функция, а това, което се издига до степен, е междинен аргумент от независима променлива х.
Следователно отново прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
Преобразуваме степента на първия фактор в корен и диференцирайки втория фактор, не забравяме, че производната на константата е равна на нула:
Сега можем да намерим производната на междинния аргумент, необходима за изчисляване на производната на комплексната функция, необходима в условието на задачата г:
Пример 5Намерете производната на функция
Първо, използваме правилото за диференциране на сумата:
Получаване на сумата от производните на две сложни функции. Намерете първия:
Тук издигането на синуса до степен е сложна функция, а самият синус е междинен аргумент в независимата променлива х. Следователно, ние използваме правилото за диференциране на сложна функция, по пътя изваждането на множителя от скоби :
Сега намираме втория член от тези, които образуват производната на функцията г:
Тук повдигането на косинус на степен е сложна функция е, а самият косинус е междинен аргумент по отношение на независимата променлива х. Отново използваме правилото за диференциране на сложна функция:
Резултатът е необходимата производна:
Таблица на производните на някои сложни функции
За сложни функции, базирани на правилото за диференциране на сложна функция, формулата за производната на проста функция приема различна форма.
| 1. Сложна производна функция за захранване, където u х |  |
| 2. Производна на корена на израза | |
| 3. Производна на експоненциалната функция |  |
| 4. Специален случай на експоненциалната функция | |
| 5. Производна на логаритмична функция с произволна положителна основа а |  |
| 6. Производна на комплексна логаритмична функция, където uе диференцируема функция на аргумента х | |
| 7. Синусова производна |  |
| 8. Производна на косинус |  |
| 9. Тангентна производна |  |
| 10. Производна на котангенс |  |
| 11. Производна на арксинуса |  |
| 12. Производна на дъга косинус |  |
| 13. Производна на дъгова допирателна |  |
| 14. Производна на обратната допирателна |  |
Този урок е посветен на темата „Диференциране на сложни функции. Задача от практиката за подготовка за Единния държавен изпит по математика. В този урок изучаваме диференцирането на сложни функции. Съставя се таблица на производните на сложна функция. Освен това се разглежда пример за решаване на задача от практиката на подготовка за ЕГЭ по математика.
Тема: Производна
Урок: Диференциране на сложна функция. Задача от практиката за подготовка за изпит по математика
комплексфункциявече сме диференцирали, но аргументът е линейна функция, а именно, ние знаем как да разграничим функцията. Например, . Сега по същия начин ще намерим производни на сложна функция, където вместо линейна функцияможе да е друга функция.
Да започнем с функцията
И така, намерихме производната на синуса на комплексна функция, където аргументът на синуса е квадратична функция.
Ако трябва да намерите стойността на производната в определена точка, тогава тази точка трябва да бъде заместена в намерената производна.
И така, в два примера видяхме как работи правилото диференциациякомплекс функции.
2. 
3. 
. Припомнете си това.
7. 
8. 
.
Така таблицата за диференциране на сложни функции на този етап ще бъде завършена. По-нататък, разбира се, ще бъде обобщено още повече и сега нека да преминем към конкретни проблеми за производната.
В практиката на подготовка за изпит се предлагат следните задачи.
Намерете минимума на функция 
.
ODZ: 
.
Да намерим производната. Припомнете си, че 
.
Нека приравним производната на нула. Точка - е включена в ОДЗ.
Нека намерим интервалите с постоянен знак на производната (интервали на монотонност на функцията) (виж фиг. 1).
Ориз. 1. Интервали на монотонност за функция .
Помислете за точка и разберете дали това е точка на екстремум. Достатъчен признак за екстремум е, че производната променя знака, когато преминава през точка. В този случай производната променя знака, което означава, че е точка на екстремум. Тъй като производната променя знака от "-" на "+", тогава - минималната точка. Намерете стойността на функцията в минималната точка: . Нека начертаем диаграма (виж фиг. 2).
Фиг.2. Екстремум на функцията .
На интервала - функцията намалява, на - функцията се увеличава, точката на екстремум е уникална. Функцията приема най-малката стойност само в точката.
На урока разгледахме диференцирането на сложни функции, съставихме таблица и разгледахме правилата за диференциране на сложна функция, дадохме пример за използване на производна от практиката на подготовка за изпита.
1. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за образователни институции ( ниво профил) изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Тетрадка за учебни заведения (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математически анализ за 10 клас ( урокза ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика).-М .: Образование, 1996г.
4. Галицки М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Задълбочено изучаване на алгебрата и математическия анализ.-М.: Просвещение, 1997г.
5. Сборник със задачи по математика за кандидати в технически университети (под редакцията на М.И.Сканави).-М.: Висше училище, 1992г.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Тренажор по алгебрика.-К.: А.С.К., 1997г.
7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra и началото на анализа. 8-11 клас: Наръчник за училища и класове със задълбочено изучаване на математика (дидактически материали). - М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Голдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебра и началото на анализа (помагало за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции).-М .: Образование, 2003.
9. Karp A.P. Сборник задачи по алгебра и началото на анализа: учеб. надбавка за 10-11 клетки. с дълбоко проучване математика.-М.: Образование, 2006.
10. Глейзър Г.И. История на математиката в училище. 9-10 клас (ръководство за учители).-М.: Просвещение, 1983 г.
Допълнителни уеб ресурси
2. Портал за природни науки ().
правете у дома
№ 42.2, 42.3 (Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Тетрадка за образователни институции (профилно ниво) под редакцията на А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2007.)
