kuboidan
Kuboid je pravi kvadar u kojem su sva lica pravokutnici.
Dovoljno je pogledati oko sebe, pa ćemo vidjeti da predmeti oko nas imaju oblik sličan paralelepipedu. Mogu se razlikovati u boji, imati puno dodatnih detalja, ali ako se te suptilnosti odbace, onda možemo reći da, na primjer, ormar, kutija itd., imaju približno isti oblik.
S konceptom kuboidan sastajemo se skoro svaki dan! Pogledaj oko sebe i reci mi gdje vidiš pravokutne kutije? Pogledajte knjigu, jer je upravo takvog oblika! Cigle imaju isti oblik, Kutija šibica, blok drva, pa čak i trenutno ste unutar kocka, jer je učionica najsvjetlija interpretacija ovoga geometrijski lik.
Vježba: Koje primjere paralelepipeda možete navesti?
Pogledajmo pobliže kvadar. I što vidimo?
Prvo, vidimo da je ovaj lik formiran od šest pravokutnika, koji su lica kvadra;
Drugo, kvadar ima osam vrhova i dvanaest bridova. Rubovi kvadra su stranice njegovih strana, a vrhovi kvadra su vrhovi strana.
Vježba:
1. Kako se zove svako od lica pravokutnog paralelepipeda? 2. Zahvaljujući kojim se parametrima može mjeriti paralelogram? 3. Definirajte suprotna lica.
Vrste paralelepipeda
Ali paralelepipedi nisu samo pravokutni, već mogu biti i ravni i nagnuti, a ravne se dijele na pravokutne, nepravokutne i kocke.
Zadatak: Pogledaj sliku i reci koji su paralelepipedi na njoj prikazani. Po čemu se kocka razlikuje od kocke?
Svojstva kvadra
Pravokutni paralelepiped ima niz važnih svojstava:
Prvo, kvadrat dijagonale ove geometrijske figure jednak je zbroju kvadrata njegova tri glavna parametra: visine, širine i duljine.
Drugo, sve njegove četiri dijagonale su apsolutno identične.
Treće, ako su sva tri parametra paralelepipeda jednaka, to jest, duljina, širina i visina su jednake, tada se takav paralelepiped naziva kocka, a sve će njegove strane biti jednake istom kvadratu.
Vježbajte
1. Ima li pravokutni paralelepiped jednake strane? Ako postoje, onda ih pokažite na slici. 2. Od kojih se geometrijskih oblika sastoje lica pravokutnog paralelepipeda? 3. Kakav je raspored jednakih lica međusobno? 4. Imenuj broj parova jednakih lica ove figure. 5. Pronađite rubove u kvadru koji označavaju njegovu duljinu, širinu, visinu. Koliko ste izbrojali?
Zadatak
Kako bi lijepo uredila rođendanski poklon za svoju majku, Tanya je uzela kutiju u obliku pravokutnog paralelepipeda. Veličina ove kutije je 25cm*35cm*45cm. Kako bi ovaj paket bio lijep, Tanya ga je odlučila prekriti prekrasnim papirom, čija je cijena 3 grivne po 1 dm2. Koliko novca trebate potrošiti na papir za zamatanje?
Jeste li znali da je slavni iluzionist David Blaine, u sklopu eksperimenta, proveo 44 dana u staklenoj kutiji obješenoj iznad Temze. Ova 44 dana nije jeo, već je samo pio vodu. U svojoj dobrovoljnoj kaznionici David je uzeo samo pribor za pisanje, jastuk i madrac te rupčiće.
U ovoj lekciji svi će moći proučiti temu "Pravokutna kutija". Na početku lekcije ponovit ćemo što su proizvoljan i ravan paralelepiped, prisjetiti se svojstva njihovih suprotnih strana i dijagonala paralelepipeda. Zatim ćemo razmotriti što je kockast i razmotriti njegova glavna svojstva.
Tema: Okomitost pravaca i ravnina
Lekcija: Kuboid
Površina se sastoji od dva jednaki paralelogrami ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, naziva se paralelopiped(Sl. 1).
Riža. 1 paralelepiped
To jest: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), oni leže u paralelnim ravninama tako da su bočni bridovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelni. Tako se ploha sastavljena od paralelograma zove paralelopiped.
Dakle, površina paralelepipeda je zbroj svih paralelograma koji čine paralelopiped.
1. Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.
(cifre su jednake, odnosno mogu se kombinirati preklapanjem)
Na primjer:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (budući da su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (budući da su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne strane paralelepipeda).
2. Dijagonale paralelepipeda sijeku se u jednoj točki i dijele tu točku.
Dijagonale paralelepipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sijeku se u jednoj točki O, a svaka je dijagonala podijeljena na pola tom točkom (slika 2).
Riža. 2 Dijagonale paralelepipeda sijeku i sijeku presjecišnu točku.
3. Postoje tri četvorke jednakih i paralelnih bridova paralelepipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definicija. Paralelepiped se naziva ravnim ako su mu bočni bridovi okomiti na osnovice.
Neka bočni brid AA 1 bude okomit na bazu (slika 3). To znači da je pravac AA 1 okomit na prave AD i AB, koji leže u ravnini baze. I, stoga, pravokutnici leže u bočnim stranama. A baze su proizvoljni paralelogrami. Označimo, ∠BAD = φ, kut φ može biti bilo koji.
Riža. 3 Desni okvir
Dakle, desna kutija je kutija u kojoj su bočni rubovi okomiti na baze kutije.
Definicija. Paralelepiped se naziva pravokutnim, ako su mu bočni rubovi okomiti na bazu. Osnove su pravokutnici.
Paralelepiped AVSDA 1 V 1 S 1 D 1 je pravokutni (slika 4) ako:
1. AA 1 ⊥ ABCD (bočni brid je okomit na ravninu baze, odnosno ravni paralelepiped).
2. ∠BAD = 90°, tj. baza je pravokutnik.
Riža. 4 Kuboid
Pravokutni okvir ima sva svojstva proizvoljnog okvira. Ali postoje dodatna svojstva koja proizlaze iz definicije kvadra.
Tako, kuboidan je paralelepiped čiji su bočni bridovi okomiti na bazu. Osnova kvadra je pravokutnik.
1. U kvadaru svih šest lica su pravokutnici.
ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su po definiciji pravokutnici.
2. Bočna rebra su okomita na bazu. To znači da su sve bočne strane kvadra pravokutnici.
3. svi diedralni kutovi pravokutnih paralelepipednih ravnih linija.
Razmotrimo, na primjer, diedralni kut pravokutnog paralelepipeda s bridom AB, tj. diedralni kut između ravnina ABB 1 i ABC.
AB je brid, točka A 1 leži u jednoj ravnini - u ravnini ABB 1, a točka D u drugoj - u ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedralni kut također može označiti na sljedeći način: ∠A 1 AVD.
Uzmite točku A na rubu AB. AA 1 je okomita na brid AB u ravnini ABB-1, AD je okomita na brid AB u ravnini ABC. Dakle, ∠A 1 AD je linearni kut zadanog diedralnog kuta. ∠A 1 AD \u003d 90 °, što znači da je diedralni kut na rubu AB 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Slično se dokazuje da su svaki diedralni kutovi pravokutnog paralelepipeda pravi.
Kvadrat dijagonale kvadra jednak je zbroju kvadrati svoje tri dimenzije.
Bilješka. Duljine triju bridova koji izlaze iz istog vrha kvadra su mjere kvadra. Ponekad se nazivaju dužina, širina, visina.
Zadano: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokutni paralelepiped (slika 5).
Dokaži: .
Riža. 5 Kuboid
Dokaz:
Pravac CC 1 okomit je na ravninu ABC, a time i na pravac AC. Dakle, trokut CC 1 A je pravokutni trokut. Prema Pitagorinoj teoremi:
Razmotrimo pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:
Ali BC i AD su suprotne strane pravokutnika. Dakle BC = AD. Zatim:
Kao , a , onda. Budući da je CC 1 = AA 1, ono što je trebalo dokazati.
Dijagonale pravokutnog paralelepipeda su jednake.
Označimo dimenzije paralelepipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Postoji nekoliko vrsta paralelepipeda:
· kuboidan je paralelepiped sa svim licima - pravokutnika;
Ravni paralelepiped je paralelepiped s 4 bočne strane - paralelograma;
· Kosa kutija je kutija čije bočne strane nisu okomite na osnovice.
Glavni elementi
Dvije strane paralelepipeda koje nemaju zajednički brid nazivaju se suprotne, a one koje imaju zajednički brid nazivaju se susjedne. Dva vrha paralelepipeda koji ne pripadaju istom licu nazivaju se suprotnim. segment linije, spajanje suprotnih vrhova naziva se dijagonala paralelopiped. Zovu se duljine triju bridova kvadra koji imaju zajednički vrh mjerenja.
Svojstva
· Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
Svaki segment s krajevima koji pripadaju površini paralelepipeda i koji prolaze kroz sredinu njegove dijagonale podijeljen je na pola; posebno se sve dijagonale paralelepipeda sijeku u jednoj točki i dijele je popola.
Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake.
Kvadrat duljine dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije
Osnovne formule
Desni paralelepiped
· Bočna površina S b \u003d R o * h, gdje je R o opseg baze, h je visina
· Ukupna površina S p \u003d S b + 2S o, gdje je S o površina baze
· Volumen V=S o *h
kuboidan
· Bočna površina S b \u003d 2c (a + b), gdje su a, b stranice baze, c je bočni rub pravokutnog paralelepipeda
· Ukupna površina S p \u003d 2 (ab + bc + ac)
· Volumen V=abc, gdje su a, b, c dimenzije kvadra.
· Bočna površina S=6*h 2 , gdje je h visina ruba kocke
34. Tetraedar je pravilan poliedar, ima 4 lica koja su pravilni trokuti. Vrhovi na tetraedru 4 , konvergira svakom vrhu 3 rebra, ali ukupna rebra 6 . Tetraedar je također piramida.
Trokuti koji čine tetraedar nazivaju se lica (AOC, OSV, ACB, AOB), njihove strane --- rubovi (AO, OC, OB), i vrhovi --- vrhovi (A, B, C, O) tetraedar. Zovu se dva brida tetraedra koji nemaju zajedničkih vrhova suprotan... Ponekad se izdvoji i nazove jedno od lica tetraedra osnovu, i još tri --- bočna lica.
Tetraedar se zove pravo ako su mu sva lica jednakostranični trokuti. U isto vrijeme, pravilni tetraedar i pravilna trokutasta piramida nisu ista stvar.
Na pravilni tetraedar svi diedarski kutovi na bridovima i svi trokuti u vrhovima su jednaki.
35. Ispravna prizma
Prizma je poliedar u kojem dva lica (baze) leže u paralelnim ravninama, a svi bridovi izvan ovih ploha međusobno su paralelni. Površine osim baza nazivaju se bočne strane, a njihovi rubovi nazivaju se bočni bridovi. Svi su bočni bridovi međusobno jednaki kao paralelni segmenti omeđeni s dvije paralelne ravnine. Sve bočne strane prizme su paralelogrami. Odgovarajuće stranice baza prizme jednake su i paralelne. Zove se ravna prizma, u kojoj je bočni rub okomit na ravninu baze, ostale prizme se nazivaju nagnute. Osnova pravilne prizme je pravilan mnogokut. U takvoj prizmi sva lica su jednaki pravokutnici.
Površina prizme sastoji se od dvije baze i bočne površine. Visina prizme je segment koji je zajednička okomita na ravnine u kojima leže osnovice prizme. Visina prizme je udaljenost H između osnovnih ravnina.
Bočna površina S b prizma naziva se zbroj površina njezinih bočnih strana. Puna površina S n prizme naziva se zbroj površina svih njezinih strana. S n = S b + 2 S,gdje S je površina baze prizme, S b – bočna površina.
36. Poliedar koji ima jedno lice, tzv osnovu, je poligon,
a druga lica su trokuti sa zajedničkim vrhom, zove se piramida
.
Lica koja nisu baza nazivaju se strana.
Zajednički vrh bočnih strana naziva se vrh piramide.
Rubovi koji spajaju vrh piramide s vrhom baze nazivaju se strana.
Visina piramide
naziva se okomica povučena od vrha piramide do njezine baze.
Piramida se zove ispravno, ako mu je baza pravilan mnogokut i njegova visina prolazi središtem baze.
apotema bočna strana pravilne piramide naziva se visina ove površine, povučena s vrha piramide.
Ravnina paralelna s bazom piramide odsijeca je u sličnu piramidu i krnje piramide.
Svojstva pravilnih piramida
- Bočni bridovi pravilne piramide su jednaki.
- Bočne strane pravilne piramide - ravnopravan prijatelj ostali jednakokračni trokuti.
Ako su svi bočni bridovi jednaki, onda
Visina se projicira u središte opisane kružnice;
bočna rebra tvore jednake kutove s baznom ravninom.
Ako su bočne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod jednim kutom, onda
Visina se projicira na središte upisane kružnice;
visine bočnih strana su jednake;
Površina bočne površine jednaka je polovici umnoška opsega baze i visine bočne površine
37. Funkcija y=f(x), gdje x pripada skupu prirodni brojevi, naziva se funkcija prirodnog argumenta ili numeričkog niza. Označite ga y=f(n), ili (y n)
Sekvence se mogu specificirati na razne načine, verbalno, ovako se specificira niz primarni brojevi:
2, 3, 5, 7, 11 itd
Smatra se da je niz zadan analitički ako je dana formula njegovog n-tog člana:
1, 4, 9, 16, …, n2, …
2) y n = C. Takav niz nazivamo stalan ili stacionaran. Na primjer:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) y n \u003d 2 n. Na primjer,
2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2n , …
Za niz se kaže da je omeđen odozgo ako su svi njegovi članovi najviše neki broj. Drugim riječima, niz se može nazvati ograničenim ako postoji takav broj M da je nejednakost y n manja ili jednaka M. Broj M naziva se gornja granica niza. Na primjer, niz: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; ograničeno odozgo.
Slično, može se reći da je niz omeđen odozdo ako su svi njegovi članovi veći od nekog broja. Ako je niz omeđen i odozgo i odozdo, kaže se da je omeđen.
Za niz se kaže da se povećava ako je svaki sljedeći član veći od prethodnog.
Niz se naziva opadajućim ako je svaki sljedeći član manji od prethodnog. Rastući i opadajući nizovi definirani su jednim pojmom – monotoni nizovi.
Razmotrimo dva niza:
1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …
Ako članove ovog niza prikažemo na realnoj liniji, primijetit ćemo da se u drugom slučaju članovi niza skupljaju oko jedne točke, au prvom slučaju to nije slučaj. U takvim slučajevima kažemo da se niz y n divergira, a niz x n konvergira.
Broj b naziva se granica niza y n ako bilo koje unaprijed odabrano susjedstvo točke b sadrži sve članove niza, počevši od nekog broja.
U ovom slučaju možemo napisati:
Ako je modulo kvocijent progresije manji od jedan, tada je granica ovog niza, kako x teži beskonačnosti, jednaka nuli.
Ako se niz konvergira, onda samo do jedne granice
Ako se niz konvergira, onda je ograničen.
Weierstrassov teorem: Ako niz konvergira monotono, onda je omeđen.
Granica stacionarnog niza jednaka je bilo kojem članu niza.
Svojstva:
1) Granica zbroja jednaka je zbroju granica
2) Granica proizvoda jednaka je umnošku granica
3) Granica kvocijenta jednaka je količniku granica
4) Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka granice
Pitanje 38
zbroj beskonačne geometrijske progresije
Geometrijska progresija- niz brojeva b 1 , b 2 , b 3 ,.. (članovi progresije), u kojem se svaki sljedeći broj, počevši od drugog, dobije od prethodnog množenjem s određenim brojem q ( nazivnik progresije), gdje je b 1 ≠0, q ≠0.
Zbroj beskonačne geometrijske progresije je granični broj do kojeg konvergira niz progresije.
Drugim riječima, bez obzira koliko je duga geometrijska progresija, zbroj njenih članova nije veći od određenog broja i praktički je jednak ovom broju. Zove se zbroj geometrijske progresije.
Nema svaka geometrijska progresija takav granični zbroj. Može biti samo u takvoj progresiji čiji je nazivnik razlomak manji od 1.
Često studenti ogorčeno pitaju: "Kako će mi to biti korisno u životu?". Na bilo koju temu svakog predmeta. Tema o volumenu paralelepipeda nije iznimka. I ovdje je jednostavno moguće reći: "Dobro će doći."
Kako, na primjer, saznati hoće li paket stati u poštanski sandučić? Naravno, možete odabrati pravu metodom pokušaja i pogreške. Što ako ne postoji takva mogućnost? Tada će izračuni doći u pomoć. Poznavajući kapacitet kutije, možete izračunati volumen paketa (barem približno) i odgovoriti na pitanje.
Paralelepiped i njegove vrste
Ako doslovno prevedemo njegovo ime s starogrčkog, ispada da je to lik koji se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje takve ekvivalentne definicije paralelepipeda:
- prizma s bazom u obliku paralelograma;
- poliedar, čije je svako lice paralelogram.
Njegove se vrste razlikuju ovisno o tome koja figura leži u njegovoj bazi i kako su usmjerena bočna rebra. Općenito se govori o kosi paralelepipedčija su baza i sva lica paralelogrami. Ako bočne strane prethodnog pogleda postanu pravokutnici, tada će ga već trebati pozvati direktno. I na pravokutan a baza također ima kutove od 90º.
Štoviše, u geometriji pokušavaju prikazati potonje na takav način da je vidljivo da su svi rubovi paralelni. Ovdje se, inače, uočava glavna razlika između matematičara i umjetnika. Za potonje je važno prenijeti tijelo u skladu sa zakonom perspektive. I u ovom slučaju, paralelnost rubova je potpuno nevidljiva.
O uvedenom zapisu
U sljedećim formulama vrijede oznake navedene u tablici.
Formule za kosi okvir
Prvi i drugi za područja:
Treći je za izračunavanje volumena kutije:
Budući da je baza paralelogram, da biste izračunali njegovu površinu, morat ćete koristiti odgovarajuće izraze.
Formule za kvadar
Slično prvom paragrafu - dvije formule za područja:
I još jedan za volumen:
Prvi zadatak
Stanje. Zadan je pravokutni paralelepiped čiji volumen treba pronaći. Poznata je dijagonala - 18 cm - i činjenica da tvori kutove od 30 i 45 stupnjeva s ravninom bočne strane i bočnim rubom.
Odluka. Da biste odgovorili na pitanje problema, trebate saznati sve stranice u tri pravokutna trokuta. Oni će dati potrebne vrijednosti rubova za koje morate izračunati volumen.
Prvo morate shvatiti gdje je kut od 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha iz kojeg je nacrtana glavna dijagonala paralelograma. Kut između njih bit će ono što vam treba.
Prvi trokut, koji će dati jednu od stranica baze, bit će sljedeći. Sadrži željenu stranu i dvije nacrtane dijagonale. Pravokutnog je oblika. Sada trebate koristiti omjer suprotne noge (bazna strana) i hipotenuze (dijagonala). On je jednak sinusu od 30º. tj nepoznata strana baze će se definirati kao dijagonala pomnožena sa sinusom od 30º ili ½. Neka bude označeno slovom "a".
Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i rub s kojim tvori 45º. Također je pravokutna, a opet možete koristiti omjer kateta i hipotenuze. Drugim riječima, bočni rub prema dijagonali. Jednako je kosinsu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao umnožak dijagonale i kosinusa od 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
U istom trokutu morate pronaći drugu nogu. To je potrebno kako bi se zatim izračunala treća nepoznanica - "in". Neka bude označeno slovom "x". Lako je izračunati pomoću Pitagorine teoreme:
x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) = 9 √ 2 (cm).
Sada moramo razmotriti još jedan pravokutni trokut. Sadrži već poznate strane "c", "x" i onu koju treba izbrojati, "c":
c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Sve tri veličine su poznate. Možete koristiti formulu za volumen i izračunati je:
V \u003d 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Odgovor: volumen paralelepipeda je 729√2 cm 3 .
Drugi zadatak
Stanje. Nađi volumen paralelepipeda. Poznaje stranice paralelograma koji leži na bazi, 3 i 6 cm, kao i njegov oštri kut - 45º. Bočno rebro ima nagib prema bazi od 30º i jednako je 4 cm.
Odluka. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelepipeda. Ali obje su količine u njemu nepoznate.
Područje baze, odnosno paralelograma, odredit će se formulom u kojoj trebate pomnožiti poznate stranice i sinus oštrog kuta između njih.
S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 = 9 √2 (cm 2).
Druga nepoznanica je visina. Može se izvući iz bilo kojeg od četiri vrha iznad baze. Može se pronaći iz pravokutnog trokuta, u kojem je visina kateta, a bočni rub hipotenuza. U ovom slučaju, kut od 30º leži nasuprot nepoznatoj visini. Dakle, možete koristiti omjer kateta i hipotenuze.
n \u003d 4 * sin 30º = 4 * 1/2 \u003d 2.
Sada su sve vrijednosti poznate i možete izračunati volumen:
V \u003d 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Odgovor: volumen je 18 √2 cm 3 .
Treći zadatak
Stanje. Nađi volumen paralelepipeda ako je poznato da je pravac. Stranice njegove baze čine paralelogram i jednake su 2 i 3 cm. Oštri kut između njih je 60º. Manja dijagonala paralelepipeda jednaka je većoj dijagonali baze.
Odluka. Kako bismo saznali volumen paralelepipeda, koristimo formulu s površinom baze i visinom. Obje količine su nepoznate, ali ih je lako izračunati. Prva je visina.
Budući da je manja dijagonala paralelepipeda iste veličine kao i veća baza, možemo ih označiti istim slovom d. Najveći kut paralelograma je 120º, jer sa oštrim tvori 180º. Neka druga dijagonala baze bude označena slovom "x". Sada, za dvije dijagonale baze, kosinusni teoremi se mogu napisati:
d 2 \u003d a 2 + u 2 - 2av cos 120º,
x 2 \u003d a 2 + u 2 - 2ab cos 60º.
Pronalaženje vrijednosti bez kvadrata nema smisla, jer će se tada ponovno podići na drugi stepen. Nakon zamjene podataka, ispada:
d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,
x 2 \u003d a 2 + u 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Sada će visina, koja je ujedno i bočni rub paralelepipeda, biti krak u trokutu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijela, a drugi krak bit će "x". Pitagorin teorem možete napisati:
n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
Dakle: n = √12 = 2√3 (cm).
Sada je druga nepoznata veličina površina baze. Može se izračunati pomoću formule spomenute u drugom zadatku.
S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 = 3 √3 (cm 2).
Kombinirajući sve u formulu volumena, dobivamo:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Odgovor: V \u003d 18 cm 3.
Četvrti zadatak
Stanje. Potrebno je saznati volumen paralelepipeda koji ispunjava sljedeće uvjete: baza je kvadrat sa stranicom od 5 cm; bočne strane su rombovi; jedan od vrhova iznad baze jednako je udaljen od svih vrhova koji leže u bazi.
Odluka. Prvo se morate pozabaviti stanjem. Uz prvi paragraf o kvadratu nema pitanja. Drugi, o rombovima, jasno daje do znanja da je paralelepiped nagnut. Štoviše, svi su njegovi rubovi jednaki 5 cm, budući da su stranice romba iste. A iz treće postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dvije koje leže na bočnim stranama, a posljednja je unutar paralelepipeda. A te su dijagonale jednake rubu, odnosno imaju i duljinu od 5 cm.
Da biste odredili volumen, trebat će vam formula napisana za nagnuti paralelepiped. Opet, u njemu nema poznatih količina. Međutim, površinu baze je lako izračunati jer je kvadrat.
S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).
Malo teži je slučaj s visinom. To će biti u tri figure: paralelepipedu, četverokutnoj piramidi i jednakokračnom trokutu. Treba iskoristiti posljednju okolnost.
Budući da je visina, to je noga u pravokutni trokut. Hipotenuza u njemu bit će poznati brid, a drugi krak jednak je polovici dijagonale kvadrata (visina je također medijan). A dijagonalu baze je lako pronaći:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
Visinu će trebati izračunati kao razliku drugog stupnja ruba i kvadrata polovice dijagonale i ne zaboravite izvaditi kvadratni korijen:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V \u003d 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Odgovor: 62,5 √2 (cm 3).
U ovoj lekciji definirat ćemo okvir, razgovarati o njegovoj strukturi i njegovim elementima (dijagonale kutije, stranice kutije i njihova svojstva). Također razmotrite svojstva lica i dijagonala paralelograma. Dalje ćemo riješiti tipičan zadatak konstruirati presjek u paralelepipedu.
Tema: Paralelizam pravaca i ravnina
Lekcija: Paralelepiped. Svojstva lica i dijagonala kutije
U ovoj lekciji dat ćemo definiciju paralelepipeda, raspravljati o njegovoj strukturi, svojstvima i njegovim elementima (stranice, dijagonale).
Paralelepiped se formira pomoću dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 koji se nalaze u paralelnim ravninama. Oznaka: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ili AD 1 (sl. 1.).
2. Festival pedagoških ideja "Otvoreni sat" ()
1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova (osnovni i razine profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i dopunjeno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 str.: ilustr.
Zadaci 10, 11, 12 stranica 50
2. Konstruiraj presjek pravokutnog paralelepipeda ABCDA1B1C1D1 ravnina koja prolazi kroz točke
a) A, C, B1
b) B1, D1 a sredina rebra AA1.
3. Rub kocke jednak je a. Konstruirajte presjek kocke s ravninom koja prolazi središtem triju bridova koji izlaze iz istog vrha i izračunajte njezin opseg i površinu.
4. Koje se brojke mogu dobiti kao rezultat presjeka paralelepipeda ravninom?
