Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
Znamo da su dva pravca paralelna ako su im, kad sijeku treći pravac, odgovarajući kutovi jednaki, ili su unutarnji ili vanjski kutovi koji leže poprečno jednaki, ili je zbroj unutarnjih, odnosno zbroj vanjskih jednostraničkih kutova jednak 2 d. Dokažimo da su i obrnuti teoremi istiniti, naime:
Ako dvije paralelne crte sijeku treća, tada:
1. odgovarajući kutovi su jednaki;
2. unutarnji poprečni kutovi su jednaki;
3. vanjski poprečni kutovi su jednaki;
4. zbroj unutarnjih jednakostraničkih kutova je 2d;
5. Zbroj vanjskih jednakostraničkih kutova je 2d.
Dokažimo, na primjer, da ako su dva paralelna pravca presječena trećim pravcem, onda su odgovarajući kutovi jednaki.
Neka su prave AB i CD paralelne, a MN njihova sekansa (sl.). Dokažimo da su pripadni kutovi 1 i 2 međusobno jednaki.
Pretpostavimo da ∠1 i ∠2 nisu jednaki. Tada je u točki O moguće konstruirati ∠MOK, koji odgovara i jednak je ∠2 (Sl.).
Ali ako je ∠MOK = ∠2, tada će pravac OK biti paralelan s CD.
Utvrdili smo da su kroz točku O povučene dvije prave linije AB i OK, paralelne s ravnom crtom CD. Ali ovo ne može biti.
Došli smo do kontradikcije jer smo pretpostavili da ∠1 i ∠2 nisu jednaki. Dakle, naša pretpostavka nije točna i ∠1 mora biti jednak ∠2, tj. odgovarajući kutovi su jednaki.
Utvrdimo odnose između preostalih kutova. Neka su prave AB i CD paralelne, a MN njihova sekansa (sl.).
Upravo smo dokazali da su u tom slučaju odgovarajući kutovi jednaki. Pretpostavimo da bilo koja dva od njih imaju po 119°. Izračunajmo veličinu svakog od ostalih šest kutova. Na temelju svojstava susjednih i okomiti kutovi dobivamo da će četiri od osam kutova imati 119°, a ostali će imati 61°.
Pokazalo se da su unutarnji i vanjski poprečni kutovi u paru jednaki, a zbroj unutarnjih ili vanjskih jednostraničkih kutova jednak je 180° (ili 2d).
Isto će se dogoditi za bilo koju drugu vrijednost jednakih odgovarajućih kutova.
Korolar 1. Ako je svaki od dva pravca AB i CD paralelan s istim trećim pravcem MN, tada su prva dva pravca međusobno paralelna. .
Zapravo, crtanjem sekante EF (sl.), dobivamo:
a) ∠1 = ∠3, budući da je AB || MN; b) ∠ 2 = ∠3, jer je CO || MN.
To znači da je ∠1 = ∠2, a to su odgovarajući kutovi na pravcima AB i CD i sekanti EF, dakle, pravci AB i CD su paralelni.
Korolar 2. Ako je pravac okomit na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomit i na drugi .
Doista, ako je EF ⊥ AB, tada je ∠1 = d; ako je AB || CD, tada je ∠1 = ∠2.
Stoga je ∠ 2 = d tj. EF ⊥ CD.
Ako pri sijeku dva pravca transverzalom zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova nije jednak 180°, tada pravci nisu paralelni, odnosno sijeku se ako su dovoljno izduženi.
Dokaz. Da se ti pravci ne sijeku, tada bi bili paralelni i tada bi zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova bio jednak 180°, što je u suprotnosti s uvjetom. Teorem je dokazan.
Navedite obrnuti teorem.
3.3. Relativni položaj četiriju ravnih linija.
Proučavali smo različite slučajeve međusobnog položaja dvaju i triju pravaca na ravnini. Sada proučimo relativne položaje četiriju ravnih linija na ravnini. Opišimo različite slučajeve.
A) dvije prave koje se sijeku sijeku dvije druge koje se sijeku:
b) svaki od dva pravca koji se sijeku siječe dva paralelna pravca:
c) dva paralelna pravca sijeku dva paralelna pravca:
d) tri paralelna pravca siječe treći pravac:
e) sve četiri prave su paralelne:
Koje oblike možete vidjeti na ovim slikama? Na primjer, na slici 3.23, lijevo, možete vidjeti lik koji se sastoji od četiri segmenta, od kojih su dva paralelna. Na slici 3.23 vidi se da kada se dvije paralelne crte sijeku s dvije druge paralelne crte dobije se lik u kojem su nasuprotne stranice po paru paralelne i jednake. Dokažimo to.
Lema 1. Kada se dva paralelna pravca sijeku s dva druga paralelna pravca, dobije se lik čije su suprotne stranice paralelne.
Dokaz. Neka linije budu paralelne jedna s drugom a,b a ravne linije međusobno paralelne c,d sijeku se u točkama A,B,C,D(Slika 3.26).
Dokažimo to AB=CD I AD=BC. Nacrtajmo segment AC(Slika 3.27, a). Za početak, dokažimo to AB=CD.
Kutovi Ð ACD i SAB a I b i sekante AC. Kutovi Ð DAC I Ð ACB jednake kao unutarnje poprečno leže s paralelnim crtama c I d i sekante AC.
Na gredu AB odložiti segment AE, jednak segmentu CD(Sl. 3.27, b) .
Kutovi Ð ACD i SA.E. su jednaki, što znači njihove odgovarajuće prečke OGLAS I n.e. su jednaki. To je AE I DC– odgovarajuće prečke kutova R DAC I Ð
ACB, ali su konstrukcijski jednaki, što znači kut Ð
AS jednak kutu R DAC. Ali kut Ð DAC jednak kutu Ð
ACB. To znači da su kutovi jednaki Ð
AS I Ð
ACB, to je poanta E leži na gredi NE. Po građevnoj točki E leži na gredi AB. Ali te se zrake sijeku u jednoj točki U, odnosno bodova U I E podudaraju se i AB=AE=CD.
Dakle, dokazali smo da su segmenti jednaki AB I SD. Segmenti OGLAS I C.B. jednake kao odgovarajuće prečke jednakih kutova. Tvrdnja leme 1 je dokazana.
Korolar 5: Suprotni kutovi figure ABCD su jednaki (Slika 3.27) .
Definicija:
Dva izravna poziva pa-ral-lel-ny-mi, ako se ne križaju (slika 1). Ovo znači: .
Kroz točku koja ne leži na zadanoj pravoj, prolazi samo jedna pravac, paralelna sa zadanom (sl. 2.) .
Posljedice iz aksioma
Posljedica1:
Ako pravac siječe jedan od paralelnih pravaca, tada siječe i drugi.
dano:
.
Dokazati:.
Dokaz:
Razgovarajmo o tome sa suprotne strane. Hajdemo to pretvarati S ne prelazi granicu b(slika 4).
Zatim: (po uvjetu), (po pretpostavci). Odnosno kroz točku M postoje dvije ravne linije ( A I c), paralelni izravni b. A ovo je pro-ti-vo-re-chit ak-sio-me. To znači da je naša pretpostavka netočna. Onda je ravno c poprečno ravno b.
Korolar 2:
Ako su dvije prave paralelne s trećom pravom crtom, onda su one paralelne(Sl. 5) .
dano:.
Dokazati:.
Dokaz:
Razgovarajmo o tome sa suprotne strane. Pretpostavimo da su ravni a I b per-re-se-ka-yut-sya u nekom trenutku M(slika 6).
Na ovaj način, razgovarajmo o tome s ak-si-o-mine: kroz točku M prolaze dvije ravne crte, istovremeno paralelne s trećom pravom crtom.
Zatim, naša pretpostavka je netočna. Zatim .
Teoreme o svojstvima paralelnih pravaca
Teorija 1:
Ako se dvije ravne crte sijeku, tada su kutovi na križu jednaki(slika 7).
dano:.
Dokazati:.
Dokaz:
Razgovarajmo o tome sa suprotne strane. Zamislimo da: .
Zatim od grede MN moguće je postaviti jedan kut ∠ PMN, koji će biti jednak ∠ 2 ( Riža. 7). Ali onda ∠ PMN I ∠ 2 - leže poprečno i jednako. Zatim usmjerite P.M. I b- par-ral-lel-ny. Zatim kroz točku M prolaze dvije ravne, paralelne treće. Naime:
Popričajmo s ak-si-o-moyem. To znači da je naša pretpostavka netočna. To je: .
Posljedica:
Ako je ravna linija per-pen-di-ku-lyar-na jednoj od paralelnih ravnih linija, onda je to per-pen-di-ku-lyar-on i druga.
dano:
Dokazati:
Dokaz:
1. S po-re-se-ka-et A, što znači, i re-se-ka-et direktnu crtu paralelnu s njom, tj b. Zatim S- se-ku-shchaya od-no-she-niyu do A I b.
2. sve dok se pojavljuju na križu ležeći. Zatim . To je .
Theo-re-ma 2:
Ako se dva paralelna pravca sijeku, tada su im odgovarajući kutovi jednaki.
dano:- s-ku-shaya.
Dokazati:(slika 9).
Dokaz:
Ako je , tada iz prethodnog teorema slijedi da su kutovi na križu jednaki. To je .
Ovaj članak govori o paralelnim pravcima i paralelnim pravcima. Prvo se daje definicija paralelnih pravaca u ravnini i prostoru, uvode se oznake, daju se primjeri i grafički prikazi paralelnih pravaca. Zatim se raspravlja o znakovima i uvjetima paralelnosti pravaca. Zaključno su prikazana rješenja tipičnih zadataka dokazivanja paralelnosti pravaca koja su dana određenim jednadžbama pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini iu trodimenzionalnom prostoru.
Navigacija po stranici.
Paralelni pravci – osnovni podaci.
Definicija.
Dva pravca u ravnini nazivaju se paralelno, ako nemaju dodirnih točaka.
Definicija.
Dvije linije u trodimenzionalnom prostoru nazivaju se paralelno, ako leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.
Imajte na umu da je klauzula "ako leže u istoj ravnini" u definiciji paralelnih pravaca u prostoru vrlo važna. Pojasnimo ovo: dvije linije u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničkih točaka i ne leže u istoj ravnini nisu paralelne, već se sijeku.
Evo nekoliko primjera paralelnih pravaca. Suprotni rubovi lista bilježnice leže na paralelnim crtama. Ravne linije duž kojih ravnina zida kuće siječe ravnine stropa i poda su paralelne. Željezničke tračnice na ravnom terenu također se mogu smatrati paralelnim linijama.
Za označavanje paralelnih pravaca koristite simbol “”. Odnosno, ako su pravci a i b paralelni, tada možemo ukratko napisati a b.
Napomena: ako su pravci a i b paralelni, onda možemo reći da je pravac a paralelan s pravcem b, a također i da je pravac b paralelan s pravcem a.
Izrazimo izjavu koja igra važnu ulogu u proučavanju paralelnih pravaca na ravnini: kroz točku koja ne leži na zadanoj liniji prolazi jedina ravna linija paralelna sa zadanom. Ova se tvrdnja prihvaća kao činjenica (ne može se dokazati na temelju poznatih aksioma planimetrije), a naziva se aksiomom paralelnih pravaca.
Za slučaj u prostoru vrijedi teorem: kroz bilo koju točku u prostoru koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi jedna pravac paralelna zadanom. Ovaj se teorem lako dokazuje pomoću gornjeg aksioma paralelnih pravaca (njegov dokaz možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10.-11. razred koji je naveden na kraju članka u popisu literature).
Za slučaj u prostoru vrijedi teorem: kroz bilo koju točku u prostoru koja ne leži na zadanom pravcu, prolazi jedna pravac paralelna zadanom. Ovaj se teorem može lako dokazati pomoću gornjeg aksioma paralelne linije.
Paralelnost pravaca - znakovi i uvjeti paralelnosti.
Oznaka paralelnosti pravaca je dovoljan uvjet da pravci budu paralelni, odnosno uvjet čije ispunjenje jamči da su pravci paralelni. Drugim riječima, ispunjenje ovog uvjeta dovoljno je da se utvrdi činjenica da su pravci paralelni.
Također postoje nužni i dovoljni uvjeti za paralelnost pravaca na ravnini iu trodimenzionalnom prostoru.
Objasnimo značenje fraze “nužan i dovoljan uvjet za paralelne pravce”.
Već smo obradili dovoljan uvjet za paralelne pravce. Što je "nužan uvjet za paralelne pravce"? Iz naziva "potrebno" jasno je da je ispunjenje ovog uvjeta neophodno za paralelne pravce. Drugim riječima, ako nije ispunjen nužni uvjet da pravci budu paralelni, onda pravci nisu paralelni. Tako, nužan i dovoljan uvjet za paralelne pravce je uvjet čije je ispunjenje potrebno i dovoljno za paralelne pravce. To jest, s jedne strane, ovo je znak paralelnosti pravaca, a s druge strane, to je svojstvo koje imaju paralelni pravci.
Prije formuliranja potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelnost pravaca, preporučljivo je podsjetiti se na nekoliko pomoćnih definicija.
Sekantica je pravac koji siječe svaki od dva zadana pravca koji se ne podudaraju.
Kada se dvije ravne linije sijeku transverzalom, nastaje osam nerazvijenih. U formulaciji potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelnost pravaca tzv ležeći poprijeko, odgovarajući I jednostrani kutovi. Pokažimo ih na crtežu.
Teorema.
Ako su dva pravca u ravnini presječena transverzalom, tada je za njihovu paralelnost potrebno i dovoljno da su kutovi koji se sijeku jednaki, ili da su odgovarajući kutovi jednaki, ili da je zbroj jednostraničkih kutova jednak 180. stupnjeva.
Pokažimo grafički ilustraciju ovog potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelnost pravaca u ravnini.
Dokaze ovih uvjeta paralelnosti pravaca možete pronaći u udžbenicima geometrije za 7.-9.
Imajte na umu da se ovi uvjeti mogu koristiti iu trodimenzionalnom prostoru - glavno je da dvije ravne linije i sekanta leže u istoj ravnini.
Evo još nekoliko teorema koji se često koriste za dokazivanje paralelnosti pravaca.
Teorema.
Ako su dva pravca u ravnini paralelna s trećim pravcem, tada su paralelna. Dokaz ovog kriterija slijedi iz aksioma paralelnih pravaca.
Postoji sličan uvjet za paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru.
Teorema.
Ako su dva pravca u prostoru paralelna s trećim pravcem, tada su paralelna. O dokazu ovog kriterija govori se na nastavi geometrije u 10. razredu.
Ilustrirajmo navedene teoreme.
Predstavimo još jedan teorem koji nam omogućuje da dokažemo paralelnost pravaca na ravnini.
Teorema.
Ako su dva pravca u ravnini okomita na treći pravac, tada su paralelna.
Postoji sličan teorem za pravce u prostoru.
Teorema.
Ako su dvije crte u trodimenzionalnom prostoru okomite na istu ravninu, onda su paralelne.
Nacrtajmo slike koje odgovaraju ovim teoremima.
Svi prethodno formulirani teoreme, kriteriji te nužni i dovoljni uvjeti izvrsni su za dokazivanje paralelnosti pravaca metodama geometrije. To jest, da biste dokazali paralelnost dviju zadanih pravaca, morate pokazati da su paralelni s trećim pravcem, ili pokazati jednakost poprečno ležećih kutova, itd. Mnogi slični problemi rješavaju se na nastavi geometrije u Srednja škola. Međutim, treba napomenuti da je u mnogim slučajevima prikladno koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti pravaca na ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru. Formulirajmo potrebne i dovoljne uvjete za paralelnost pravaca koji su navedeni u pravokutnom koordinatnom sustavu.
Paralelnost pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu.
U ovom odlomku članka ćemo formulirati potrebni i dovoljni uvjeti za paralelne pravce u pravokutnom koordinatnom sustavu, ovisno o vrsti jednadžbi koje definiraju te ravne linije, a također prikazujemo detaljna rješenja karakteristični zadaci.
Pođimo od uvjeta paralelnosti dviju ravnina na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy. Njegov dokaz temelji se na definiciji vektora pravca pravca i definiciji vektora normale pravca na ravnini.
Teorema.
Da bi dva pravca koji se ne podudaraju bila paralelna u ravnini, potrebno je i dovoljno da su vektori smjera tih pravaca kolinearni, ili da su normalni vektori tih pravaca kolinearni, ili da je vektor smjera jednog pravca okomit na normalu. vektor druge linije.
Očito se uvjet paralelnosti dvaju pravaca u ravnini svodi na (vektori smjera pravaca ili normalni vektori pravaca) ili na (vektor smjera jednog pravca i vektor normale drugog pravca). Dakle, ako su i vektori smjera pravaca a i b, i 
I 
normalni vektori pravaca a i b, tada će nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca a i b biti napisan kao 
, ili 
, ili , gdje je t neki realni broj. S druge strane, koordinate vodilica i (ili) normalnih vektora linija a i b nalaze se pomoću poznatih jednadžbi linija.
Konkretno, ako pravac a u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy na ravnini definira opću jednadžbu pravca oblika 
, i ravna linija b - 
, onda normalni vektori ovih pravaca imaju koordinate i, respektivno, a uvjet za paralelnost pravaca a i b bit će napisan kao .
Ako pravac a odgovara jednadžbi pravca s kutnim koeficijentom oblika , a pravac b - , tada normalni vektori tih pravaca imaju koordinate i , a uvjet paralelnosti tih pravaca ima oblik 
. Prema tome, ako su pravci na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu paralelni i mogu se specificirati jednadžbama pravaca s kutnim koeficijentima, tada padinama ravne linije će biti jednake. I obrnuto: ako se pravci koji se ne podudaraju na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu mogu odrediti jednadžbama pravca s jednakim kutnim koeficijentima, onda su takvi pravci paralelni.
Ako su pravac a i pravac b u pravokutnom koordinatnom sustavu određeni kanonskim jednadžbama pravca na ravnini oblika 
I 
, ili parametarske jednadžbe pravca na ravnini oblika 
I 
prema tome, vektori smjera ovih pravaca imaju koordinate i , a uvjet paralelnosti pravaca a i b zapisan je kao .
Pogledajmo rješenja za nekoliko primjera.
Primjer.
Jesu li pravci paralelni? 
i ?
Riješenje.
Prepišimo jednadžbu ravne linije u segmentima u obliku opća jednadžba ravno: 
. Sada možemo vidjeti da je to vektor normale pravca , a je vektor normale pravca. Ovi vektori nisu kolinearni, jer takvi ne postoje pravi broj t za koju vrijedi jednakost ( 
). Dakle, nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u ravnini nije zadovoljen, dakle, dani pravci nisu paralelni.
Odgovor:
Ne, linije nisu paralelne.
Primjer.
Jesu li ravne i paralelne?
Riješenje.
Svedimo kanonsku jednadžbu pravca na jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom: . Očito jednadžbe pravaca i nisu iste (u ovom slučaju zadani pravci bi bili isti), a kutni koeficijenti pravaca su jednaki, dakle, izvorni pravci su paralelni.
