Prilikom izvođenja prve formule tablice, poći ćemo od definicije funkcije izvoda u točki. Uzmimo gdje x– bilo koji pravi broj, to je, x– bilo koji broj iz domene definiranosti funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na : 
Treba napomenuti da se pod graničnim znakom dobiva izraz koji nije nesigurnost nule podijeljene s nulom, budući da brojnik ne sadrži infinitezimalnu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije uvijek je nula.
Tako, izvod konstantne funkcijejednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.
Derivacija funkcije potencije.
Izvodna formula funkcija snage izgleda kao 
, gdje je eksponent str– bilo koji realni broj.
Dokažimo najprije formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, …
Koristit ćemo se definicijom derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta: 
Da bismo pojednostavili izraz u brojniku, okrećemo se Newtonovoj binomnoj formuli: 
Stoga, 
Ovo dokazuje formulu za derivaciju potencije za prirodni eksponent.
Derivacija eksponencijalne funkcije.
Predstavljamo izvođenje formule derivata na temelju definicije:
Došli smo u neizvjesnost. Kako bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu, a na . Zatim . U prošlom prijelazu koristili smo formulu za prijelaz na novu logaritamsku bazu.
Zamijenimo u izvornu granicu: 
Ako se prisjetimo druge izvanredne granice, dolazimo do formule za derivaciju eksponencijalne funkcije: 
Derivacija logaritamske funkcije.
Dokažimo formulu za izvod logaritamske funkcije za sve x iz domene definicije i sve važeće vrijednosti baze a logaritam Po definiciji derivata imamo: 
Kao što ste primijetili, tijekom dokaza transformacije su provedene korištenjem svojstava logaritma. Jednakost 
je istinito zbog druge značajne granice.
Derivacije trigonometrijskih funkcija.
Da bismo izveli formule za derivacije trigonometrijskih funkcija, morat ćemo se prisjetiti nekih trigonometrijskih formula, kao i prve značajne granice.
Po definiciji derivacije za sinusnu funkciju imamo 
.
Upotrijebimo formulu razlike sinusa: 
Ostaje da se okrenemo prvoj značajnoj granici: 
Dakle, izvod funkcije grijeh x Tamo je cos x.
Formula za derivaciju kosinusa dokazuje se na potpuno isti način. 
Prema tome, izvod funkcije cos x Tamo je – grijeh x.
Izvest ćemo formule za tablicu derivacija za tangens i kotangens koristeći provjerena pravila diferenciranja (derivacija razlomka). 
Derivacije hiperboličkih funkcija.
Pravila diferenciranja i formula za derivaciju eksponencijalne funkcije iz tablice derivacija omogućuju nam izvođenje formula za derivacije hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. 
Derivacija inverzne funkcije.
Da ne bude zabune tijekom izlaganja, označimo u indeksu argument funkcije po kojoj se vrši diferenciranje, odnosno to je derivacija funkcije f(x) Po x.
Sada formulirajmo pravilo za pronalaženje derivacije inverzne funkcije.
Neka funkcije y = f(x) I x = g(y) međusobno inverzni, definirani na intervalima i redom. Ako u točki postoji konačna derivacija funkcije različita od nule f(x), tada u točki postoji konačna derivacija inverzne funkcije g (y), i 
. U drugom postu 
.
Ovo se pravilo može preformulirati za bilo koje x iz intervala , tada dobivamo 
.
Provjerimo valjanost ovih formula.
Nađimo inverznu funkciju za prirodni logaritam 
(Ovdje g je funkcija, i x- argument). Nakon što smo riješili ovu jednadžbu za x, dobivamo (ovdje x je funkcija, i g– njezin argument). To je, 
a međusobno inverzne funkcije.
Iz tablice izvedenica vidimo da 
I 
.
Uvjerimo se da nas formule za pronalaženje izvodnica inverzne funkcije vode do istih rezultata: 
Kao što vidite, dobili smo iste rezultate kao u tablici izvedenica.
Sada imamo znanje za dokazivanje formula za derivacije inverznih trigonometrijskih funkcija.
Počnimo s izvodom arcsinusa.
. Zatim pomoću formule za derivaciju inverzne funkcije dobivamo
Ostaje samo provesti transformacije.
Budući da je raspon arksinusa interval 
, To 
(vidi dio o osnovnim elementarnim funkcijama, njihovim svojstvima i grafovima). Stoga ga ne razmatramo.
Stoga, 
. Područje definiranja arcsinusne derivacije je interval (-1;
1)
.
Za arc kosinus, sve se radi na potpuno isti način: 
Nađimo derivaciju arktangensa.
Za inverznu funkciju je 
.
Izrazimo arktangens u terminima arkosinusa kako bismo pojednostavili dobiveni izraz.
Neka arctgx = z, Zatim 
Stoga, 
Derivacija ark kotangensa nalazi se na sličan način: 
y = u v ,
u kojoj su baza u i eksponent v neke funkcije varijable x:
u = u (x); v = v (x).
Ova se funkcija također naziva eksponencijalni ili .
Imajte na umu da se potencijska eksponencijalna funkcija može prikazati u eksponencijalnom obliku:
.
Stoga se i zove složena eksponencijalna funkcija.
Derivacija potencne eksponencijalne funkcije
Računanje pomoću logaritamske derivacije
Nađimo derivaciju eksponencijalne potencije
(2)
,
gdje su i funkcije varijable.
Da bismo to učinili, logaritmiramo jednadžbu (2), koristeći svojstvo logaritma:
.
Diferenciraj s obzirom na varijablu x:
(3)
.
Prijavljujemo se pravila za razlikovanje složenih funkcija i radi:
;
.
Zamjenjujemo u (3):
.
Odavde
.
Dakle, pronašli smo derivaciju eksponencijalne funkcije snage:
(1)
.
Ako je eksponent konstantan, onda je . Tada je derivacija jednaka derivaciji složene funkcije snage:
.
Ako je baza stupnja konstantna, tada . Tada je derivacija jednaka derivaciji kompleksne eksponencijalne funkcije:
.
Kada su i funkcije od x, tada je derivacija potencije-eksponencijalne funkcije jednaka zbroju derivacija kompleksne potencije i eksponencijalne funkcije.
Izračunavanje derivacije redukcijom na složenu eksponencijalnu funkciju
Nađimo sada derivaciju eksponencijalne funkcije stepena
(2)
,
predstavljajući to kao složenu eksponencijalnu funkciju:
(4)
.
Razlikujmo proizvod:
.
Primjenjujemo pravilo za pronalaženje izvoda složene funkcije:
.
I opet smo dobili formulu (1).
Primjer 1
Pronađite derivaciju sljedeće funkcije:
.
Računamo pomoću logaritamske derivacije. Logaritmirajmo originalnu funkciju:
(A1.1) .
Iz tablice izvedenica nalazimo:
;
.
Koristeći formulu derivata proizvoda, imamo:
.
Razlikujemo (A1.1):
.
Jer
,
Da
.
Složene izvedenice. Logaritamska derivacija.
Derivacija potencne eksponencijalne funkcije
Nastavljamo poboljšavati našu tehniku razlikovanja. U ovoj lekciji ćemo učvrstiti pređeno gradivo, pogledati složenije izvode, a također se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebice s logaritamskim izvodom.
Oni čitatelji koji imaju nisku razinu pripreme trebali bi se obratiti članku Kako pronaći izvedenicu? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivacija složene funkcije, razumjeti i riješiti svi primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća, a nakon što je savladate sigurno ćete dovoljno razlikovati složene funkcije. Nepoželjno je zauzeti stav “Gdje drugdje? Da, dosta je”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnog testovi a često se susreću u praksi.
Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivacija složene funkcije Pogledali smo brojne primjere s detaljnim komentarima. Tijekom proučavanja diferencijalnog računa i drugih odjeljaka matematička analiza– morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) detaljno opisivati primjere. Stoga ćemo usmeno vježbati pronalaženje izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:
Prema pravilu diferenciranja složenih funkcija 
:
Kod budućeg proučavanja drugih matanskih tema najčešće se ne zahtijeva takav detaljan zapis; pretpostavlja se da učenik zna pronaći takve izvedenice na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutro zazvonio telefon i ugodan glas upitao: "Kolika je derivacija tangensa dva X-a?" Ovo bi trebao biti popraćen gotovo trenutnim i pristojnim odgovorom: 
.
Prvi primjer bit će odmah namijenjen neovisna odluka.
Primjer 1
Pronađi usmeno, jednom radnjom, sljedeće izvedenice, npr.: . Za dovršenje zadatka trebate samo koristiti tablica izvodnica elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem ponovno čitanje lekcije Derivacija složene funkcije.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Odgovori na kraju lekcije
Složene izvedenice
Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje strašni. Sljedeća dva primjera mogu se nekome činiti kompliciranima, ali ako ih razumijete (netko će patiti), onda će vam se gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu činiti kao dječja šala.
Primjer 2
Pronađite izvod funkcije 
Kao što je već navedeno, pri pronalaženju izvoda složene funkcije, prije svega, potrebno je Pravo RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) zamijeniti tu vrijednost u "užasan izraz".
1) Prvo moramo izračunati izraz, što znači da je zbroj najdublje uloženje.
2) Zatim morate izračunati logaritam:
4) Zatim kubirajte kosinus:
5) U petom koraku razlika je:
6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen: 
Formula za diferenciranje složene funkcije 
primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema najunutarnjoj. Mi odlučujemo:
Čini se da nema grešaka...
(1) Izvadite kvadratni korijen.
(2) Derivaciju razlike uzimamo pomoću pravila 
(3) Derivacija trojke je nula. U drugom članu uzimamo izvod stupnja (kocke).
(4) Uzmite derivaciju kosinusa.
(5) Uzmite derivaciju logaritma.
(6) I na kraju, uzimamo izvod najdublje uklopljenosti.
Možda se čini preteškim, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da sličnu stvar vole dati na ispitu kako bi provjerili razumije li student kako pronaći izvod složene funkcije ili ne razumije.
Sljedeći primjer trebate riješiti sami.
Primjer 3
Pronađite izvod funkcije
Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda
Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Vrijeme je da prijeđemo na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje umnožak ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?
Primjer 4
Pronađite izvod funkcije 
Prvo gledamo, je li moguće umnožak tri funkcije pretvoriti u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u umnošku, mogli bismo otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.
U takvim slučajevima potrebno je sekvencijalno primijeniti pravilo razlikovanja proizvoda 
dvaput
Trik je u tome što s "y" označavamo umnožak dviju funkcija: , a s "ve" označavamo logaritam: . Zašto se to može učiniti? Je li stvarno 
– ovo nije produkt dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:
Sada ostaje primijeniti pravilo drugi put 
u zagradu:
Također možete biti uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor točno u ovom obliku - lakše ćete ga provjeriti.
Razmatrani primjer može se riješiti na drugi način: 
Oba rješenja su apsolutno jednaka.
Primjer 5
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer za nezavisno rješenje; u uzorku je riješeno prvom metodom.
Pogledajmo slične primjere s razlomcima.
Primjer 6
Pronađite izvod funkcije 
Postoji nekoliko načina na koje možete doći ovdje:
Ili ovako:
No rješenje će biti kompaktnije napisano ako prvo upotrijebimo pravilo diferenciranja kvocijenta 
, uzimajući za cijeli brojnik:
U principu, primjer je riješen, a ako ostane takav, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli može li se odgovor pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i riješimo se trokatnice frakcije:
Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od pogreške ne pri pronalaženju derivata, već tijekom banalnih školskih transformacija. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica “dosjeti pameti”.
Jednostavniji primjer za samostalno rješavanje:
Primjer 7
Pronađite izvod funkcije
Nastavljamo svladavati metode pronalaženja derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "užasan" logaritam
Primjer 8
Pronađite izvod funkcije
Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:
Ali već prvi korak vas odmah baci u malodušnost - morate uzeti neugodnu izvedenicu iz razlomka, a zatim i iz razlomka.
Zato prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, najprije se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:
! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule izravno tamo. Ako nemate bilježnicu, prepišite ih na list papira, budući da će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.
Samo rješenje može se napisati otprilike ovako:
Transformirajmo funkciju:
Pronalaženje derivata: 
Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se za diferencijaciju predlaže sličan logaritam, uvijek ga je preporučljivo "raščlaniti".
A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:
Primjer 9
Pronađite izvod funkcije 
Primjer 10
Pronađite izvod funkcije
Sve transformacije i odgovori su na kraju lekcije.
Logaritamska derivacija
Ako je derivat logaritama tako slatka glazba, onda se postavlja pitanje: je li moguće u nekim slučajevima organizirati logaritam umjetno? Limenka! Pa čak i neophodno.
Primjer 11
Pronađite izvod funkcije 
Nedavno smo pogledali slične primjere. Što uraditi? Možete redom primijeniti pravilo diferenciranja kvocijenta, a zatim pravilo diferenciranja umnoška. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete golemu trokatnicu, s kojom uopće ne želite imati posla.
Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamska derivacija. Logaritmi se mogu organizirati umjetno tako da se "objese" s obje strane:
Bilješka
: jer funkcija može imati negativne vrijednosti, onda, općenito govoreći, trebate koristiti module: 
, koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, prihvatljiv je i trenutni dizajn, koji je prema zadanim postavkama uzet u obzir kompleks značenja. Ali ako u svoj strogosti, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu da.
Sada morate "rastaviti" logaritam desne strane što je više moguće (formule pred vašim očima?). Opisat ću ovaj proces vrlo detaljno:
Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod prajmom:
Izvedenica desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste se s njom sigurno snaći.
Što je s lijevom stranom?
Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, postoji li jedno slovo "Y" ispod logaritma?"
Činjenica je da ova "igra jednog slova" - SAM JE FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivacija implicitno navedene funkcije). Stoga je logaritam vanjska funkcija, a "y" je unutarnja funkcija. I koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije 
:
Na lijevoj strani, kao čarolijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:
A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tijekom diferencijacije? Pogledajmo stanje: 
Konačan odgovor: 
Primjer 12
Pronađite izvod funkcije
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ogledni dizajn primjera ove vrste nalazi se na kraju lekcije.
Pomoću logaritamske derivacije bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su funkcije tamo jednostavnije, a možda uporaba logaritamske derivacije nije baš opravdana.
Derivacija potencne eksponencijalne funkcije
Ovu funkciju još nismo razmatrali. Power-eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stupanj i baza ovise o "x". Klasičan primjer koji će vam se dati u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:
Kako pronaći derivaciju eksponencijalne funkcije?
Potrebno je koristiti tehniku o kojoj smo upravo govorili - logaritamsku derivaciju. Objesimo logaritme s obje strane:
U pravilu se na desnoj strani stupanj vadi ispod logaritma:
Kao rezultat, na desnoj strani imamo produkt dviju funkcija, koje ćemo razlikovati prema standardnoj formuli 
.
Pronalazimo izvedenicu, prilažemo oba dijela ispod crte:
Daljnje radnje su jednostavne:
Konačno: 
Ako neka pretvorba nije posve jasna, molimo ponovno pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.
U praktičnim zadacima potencna eksponencijalna funkcija uvijek će biti kompliciranija od razmatranog primjera predavanja.
Primjer 13
Pronađite izvod funkcije
Koristimo logaritamsku derivaciju. 
Na desnoj strani imamo konstantu i umnožak dva faktora - “x” i “logaritam logaritma x” (još jedan logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Kod razlikovanja, kao što se sjećamo, bolje je konstantu odmah premjestiti iz predznaka izvoda da ne smeta; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo 
:
Ovim video zapisom započinjem dugi niz lekcija o izvedenicama. Ova se lekcija sastoji od nekoliko dijelova.
Najprije ću vam reći što su uopće izvedenice i kako ih brojati, ali ne sofisticiranim akademskim jezikom, nego onako kako ja to razumijem i kako to objašnjavam svojim studentima. Drugo, razmotrit ćemo najjednostavnije pravilo za rješavanje zadataka u kojima ćemo tražiti derivacije zbroja, derivacije razlike i derivacije potencije.
Pogledat ćemo složenije kombinirane primjere iz kojih ćete posebno naučiti da slične zadatke, koji sadrži korijene i čak razlomke, može se riješiti pomoću formule za derivaciju potencije. Osim toga, naravno, bit će puno problema i primjera rješenja različitih razina složenosti.
Općenito, u početku sam namjeravao snimiti kratki 5-minutni video, ali možete vidjeti kako je ispalo. Dakle, dosta teksta - bacimo se na posao.
Što je derivat?
Dakle, krenimo izdaleka. Prije mnogo godina, kada je drveće bilo zelenije i život zabavniji, matematičari su razmišljali o ovome: razmislite jednostavna funkcija, dano njegovim grafom, nazovimo ga $y=f\lijevo(x \desno)$. Naravno, graf ne postoji sam za sebe, pa je potrebno nacrtati $x$ osi kao i $y$ os. Odaberimo sada bilo koju točku na ovom grafikonu, apsolutno bilo koju. Nazovimo apscisu $((x)_(1))$, ordinata će, kao što pretpostavljate, biti $f\lijevo(((x)_(1)) \desno)$.
Pogledajmo drugu točku na istom grafikonu. Nije bitno koji, glavno je da se razlikuje od originala. Ona, opet, ima apscisu, nazovimo je $((x)_(2))$, a također i ordinatu - $f\lijevo(((x)_(2)) \desno)$.
Dakle, imamo dvije točke: one imaju različite apscise i, prema tome, različite vrijednosti funkcije, iako ovo drugo nije nužno. Ali ono što je stvarno važno je da znamo iz tečaja planimetrije: kroz dvije točke možete nacrtati ravnu liniju i, štoviše, samo jednu. Pa izvedimo to.
Sada povucimo ravnu liniju kroz prvu od njih, paralelnu s osi apscise. Dobivamo pravokutni trokut. Nazovimo ga $ABC$, pravi kut $C$. Ovaj trokut ima jedno vrlo zanimljivo svojstvo: činjenica je da kut $\alpha $, zapravo, jednak kutu, ispod koje se pravac $AB$ siječe s nastavkom osi apscisa. Prosudite sami:
- pravac $AC$ konstrukcijski je paralelan s osi $Ox$,
- linija $AB$ siječe $AC$ pod $\alpha $,
- stoga $AB$ siječe $Ox$ pod istim $\alpha $.
Što možemo reći o $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ništa konkretno, osim da je u trokutu $ABC$ omjer kraka $BC$ i kraka $AC$ jednak tangensu upravo tog kuta. Pa zapišimo:
Naravno, $AC$ se u ovom slučaju lako izračunava:
Isto tako za $BC$:
Drugim riječima, možemo napisati sljedeće:
\[\imeoperatora(tg)\tekst( )\!\!\alpha\!\!\tekst( )=\frac(f\lijevo(((x)_(2)) \desno)-f\lijevo( ((x)_(1)) \desno))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Sada kada smo sve to riješili, vratimo se našem grafikonu i pogledajmo novu točku $B$. Idemo izbrisati stare vrijednosti i uzeti $B$ negdje bliže $((x)_(1))$. Označimo opet njegovu apscisu s $((x)_(2))$, a ordinatu s $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Pogledajmo ponovno naš mali trokut $ABC$ i $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ unutar njega. Sasvim je očito da će to biti sasvim drugi kut, tangenta će također biti drugačija jer su se duljine odsječaka $AC$ i $BC$ značajno promijenile, ali se formula za tangens kuta nije nimalo promijenila - ovo je još uvijek odnos između promjene funkcije i promjene argumenta.
Konačno, nastavljamo pomicati $B$ bliže izvornoj točki $A$, kao rezultat toga trokut će postati još manji, a ravna crta koja sadrži segment $AB$ sve će više i više izgledati kao tangenta na grafikonu funkcija.
Kao rezultat toga, ako nastavimo približavati točke jedna drugoj, tj. smanjimo udaljenost na nulu, tada će se ravna linija $AB$ doista pretvoriti u tangentu na grafikon u danoj točki, a $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ transformirat će se iz elementa pravilnog trokuta u kut između tangente na graf i pozitivnog smjera $Ox$ osi.
I ovdje glatko prelazimo na definiciju $f$, naime, derivacija funkcije u točki $((x)_(1))$ je tangens kuta $\alpha $ između tangente na graf u točki $((x)_( 1))$ i pozitivnom smjeru osi $Ox$:
\[(f)"\lijevo(((x)_(1)) \desno)=\imeoperatora(tg)\tekst( )\!\!\alfa\!\!\tekst( )\]
Vraćajući se našem grafu, treba primijetiti da se bilo koja točka na grafu može odabrati kao $((x)_(1))$. Na primjer, s istim uspjehom mogli bismo ukloniti crtu na točki prikazanoj na slici.
Nazovimo kut između tangente i pozitivnog smjera osi $\beta$. Prema tome, $f$ u $((x)_(2))$ bit će jednako tangensu ovog kuta $\beta $.
\[(f)"\lijevo(((x)_(2)) \desno)=tg\tekst( )\!\!\beta\!\!\tekst( )\]
Svaka točka na grafu će imati svoju tangentu, a time i svoju vrijednost funkcije. U svakom od ovih slučajeva, osim točke u kojoj tražimo derivaciju razlike ili zbroja, odnosno derivaciju potencne funkcije, potrebno je uzeti još jednu točku koja se nalazi na određenoj udaljenosti od nje, a zatim usmjeriti ovaj pokažite na izvorni i, naravno, saznajte kako će u tom procesu Takvo kretanje promijeniti tangens kuta nagiba.
Derivacija funkcije potencije
Nažalost, takva definicija nam nikako ne odgovara. Sve ove formule, slike, kutovi ne daju nam ni najmanju ideju kako izračunati stvarnu derivaciju u stvarnim problemima. Stoga, odstupimo malo od formalne definicije i razmotrimo učinkovitije formule i tehnike s kojima već možete riješiti stvarne probleme.
Počnimo s najjednostavnijim konstrukcijama, naime s funkcijama oblika $y=((x)^(n))$, tj. funkcije snage. U ovom slučaju možemo napisati sljedeće: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Drugim riječima, stupanj koji je bio u eksponentu prikazan je u prednjem množitelju, a sam eksponent se umanjuje za jedinicu Na primjer:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
Evo još jedne opcije:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]
Koristeći ova jednostavna pravila, pokušajmo ukloniti dodir sljedećih primjera:
Tako dobivamo:
\[((\lijevo(((x)^(6)) \desno))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Sada riješimo drugi izraz:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Naravno, radilo se o vrlo jednostavnim zadacima. Međutim, pravi problemi su složeniji i nisu ograničeni samo na stupnjeve funkcije.
Dakle, pravilo br. 1 - ako je funkcija predstavljena u obliku druge dvije, onda je derivacija ove sume jednaka sumi derivacija:
\[((\lijevo(f+g \desno))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
Slično, derivacija razlike dviju funkcija jednaka je razlici derivacija:
\[((\lijevo(f-g \desno))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\lijevo(((x)^(2))+x \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\ prost ))+((\lijevo(x \desno))^(\prim ))=2x+1\]
Osim toga, postoji još jedno važno pravilo: ako nekom $f$ prethodi konstanta $c$, kojom se ta funkcija množi, tada se $f$ cijele ove konstrukcije izračunava na sljedeći način:
\[((\lijevo(c\cdot f \desno))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\lijevo(3((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\ prosti ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Na kraju, još jedno vrlo važno pravilo: u zadacima često postoji zaseban pojam koji uopće ne sadrži $x$. Na primjer, to možemo primijetiti u našim izrazima danas. Derivacija konstante, odnosno broja koji ni na koji način ne ovisi o $x$, uvijek je jednaka nuli i uopće nije važno čemu je jednaka konstanta $c$:
\[((\lijevo(c \desno))^(\prime ))=0\]
Primjer rješenja:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Ponovno ključne točke:
- Derivacija zbroja dviju funkcija uvijek je jednaka zbroju derivacija: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- Iz sličnih razloga, derivacija razlike dviju funkcija jednaka je razlici dviju derivacija: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Ako funkcija ima konstantan faktor, tada se ta konstanta može uzeti kao znak izvedenice: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
- Ako je cijela funkcija konstanta, tada je njezin izvod uvijek nula: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Da vidimo kako to sve dalje funkcionira pravi primjeri. Tako:
Zapisujemo:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\lijevo (((x)^(5)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(3((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]
U ovom primjeru vidimo i derivaciju zbroja i derivaciju razlike. Ukupno, izvod je jednak $5((x)^(4))-6x$.
Prijeđimo na drugu funkciju:
Zapišimo rješenje:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]
Ovdje smo pronašli odgovor.
Prijeđimo na treću funkciju - ona je ozbiljnija:
\[\begin(align)& ((\lijevo(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \desno)) ^(\prime ))=((\lijevo(2((x)^(3)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(3((x)^(2)) \desno ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))-3((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Našli smo odgovor.
Prijeđimo na posljednji izraz - najsloženiji i najduži:
Dakle, smatramo:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\lijevo(6((x)^(7)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(14((x)^(3)) \desno))^(\prime )) +((\lijevo(4x \desno))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]
Ali rješenje tu nije kraj, jer se od nas traži ne samo da uklonimo hod, već da izračunamo njegovu vrijednost u određenoj točki, pa zamijenimo −1 umjesto $x$ u izrazu:
\[(y)"\lijevo(-1 \desno)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Idemo dalje i prijeđimo na još složenije i zanimljivi primjeri. Činjenica je da formula za rješavanje derivacije potencije $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ima još širi opseg nego što se obično vjeruje. Uz njegovu pomoć možete rješavati primjere s razlomcima, korijenima itd. To ćemo sada učiniti.
Za početak, zapišimo još jednom formulu koja će nam pomoći da nađemo derivaciju funkcije potencije:
A sada pažnja: do sada smo smatrali samo $n$ cijeli brojevi, međutim, ništa nas ne sprječava da razmotrimo razlomke, pa čak i negativne brojeve. Na primjer, možemo napisati sljedeće:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\ prosti ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(2))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]
Ništa komplicirano, pa da vidimo kako će nam ova formula pomoći pri rješavanju složenijih problema. Dakle, primjer:
Zapišimo rješenje:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime )) \\& ((\ lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^( \prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(3))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(4))) \desno))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]
Vratimo se našem primjeru i napišimo:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Ovo je tako teška odluka.
Prijeđimo na drugi primjer - postoje samo dva pojma, ali svaki od njih sadrži i klasični stupanj i korijene.
Sada ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije snage, koja osim toga sadrži korijen:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\lijevo(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \desno))^(\prime ))= \\& =(( \lijevo(((x)^(3+\frac(2)(3))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\lijevo(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
Oba člana su izračunata, ostaje samo da zapišemo konačni odgovor:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Našli smo odgovor.
Derivacija razlomka preko potencije
No mogućnosti formule za rješavanje derivacije potencne funkcije tu ne prestaju. Činjenica je da uz njegovu pomoć možete izračunati ne samo primjere s korijenima, već i s razlomcima. Upravo je to rijetka prilika koja uvelike pojednostavljuje rješavanje ovakvih primjera, ali je često zanemaruju ne samo učenici, već i nastavnici.
Dakle, sada ćemo pokušati kombinirati dvije formule odjednom. S jedne strane, klasična derivacija funkcije snage
\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
S druge strane, znamo da se izraz oblika $\frac(1)(((x)^(n)))$ može predstaviti kao $((x)^(-n))$. Stoga,
\[\lijevo(\frac(1)(((x)^(n))) \desno)"=((\lijevo(((x)^(-n)) \desno))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\lijevo(\frac(1)(x) \desno))^(\prime ))=\lijevo(((x)^(-1)) \desno)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
Dakle, derivacije jednostavnih razlomaka, gdje je brojnik konstanta, a nazivnik stupanj, također se izračunavaju pomoću klasične formule. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi.
Dakle, prva funkcija:
\[((\lijevo(\frac(1)(((x)^(2))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(-2)) \ desno))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
Prvi primjer je riješen, idemo na drugi:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))= \ \& =((\lijevo(\frac(7)(4((x)^(4))) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\lijevo(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\lijevo(\frac(1)(((x)^(4))) \desno))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\lijevo(((x)^(-4)) \desno))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \lijevo(-4 \desno) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\lijevo(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3))) \desno) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\lijevo( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ lijevo(3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ završi (poravnaj)\]...
Sada skupljamo sve te pojmove u jednu formulu:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Dobili smo odgovor.
Međutim, prije nego što krenem dalje, želio bih vam skrenuti pozornost na oblik pisanja samih izvornih izraza: u prvom izrazu smo napisali $f\left(x \right)=...$, u drugom: $y =...$ Mnogi se učenici izgube kad vide različite oblike zapisa. Koja je razlika između $f\lijevo(x \desno)$ i $y$? Ništa zapravo. To su samo različiti unosi s istim značenjem. Samo što kada kažemo $f\lijevo(x \desno)$, prije svega govorimo o funkciji, a kada govorimo o $y$, najčešće mislimo na graf funkcije. Inače, radi se o istoj stvari, tj. izvedenica se u oba slučaja smatra istom.
Složeni problemi s izvedenicama
Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko složenih kombiniranih problema koji koriste sve što smo danas razmatrali. Sadrže korijene, razlomke i zbrojeve. Međutim, ovi će primjeri biti složeni samo u današnjem video vodiču, jer će vas doista složene derivacijske funkcije čekati naprijed.
Dakle, završni dio današnje video lekcije, koji se sastoji od dva kombinirana zadatka. Počnimo s prvim od njih:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3))) \desno))^(\prime ))=((\ lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Derivacija funkcije jednaka je:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]
Prvi primjer je riješen. Razmotrimo drugi problem:
U drugom primjeru postupamo slično:
\[((\lijevo(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]
Izračunajmo svaki član zasebno:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ lijevo(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\lijevo(((x)^(-1\frac(3)(4))) \desno))^( \prime ))= \\& =4\cdot \lijevo(-1\frac(3)(4) \desno)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \lijevo(-\frac(7)(4) \desno)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Svi termini su izračunati. Sada se vraćamo na izvornu formulu i zbrajamo sva tri člana. Dobijamo da će konačni odgovor biti ovakav:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
I to je sve. Ovo je bila naša prva lekcija. U sljedećim lekcijama obradit ćemo više složeni dizajni, a također saznajte zašto su uopće potrebne izvedenice.
