Елементарний кут повороту, кутова швидкість
Рисунок 9. Елементарний кут повороту ()
Елементарні (нескінченно малі) повороти розглядають як вектори. Модуль вектор дорівнює кутуповороту, яке напрям збігається з напрямом поступального руху вістря гвинта, головка якого обертається у бік руху точки по колу, т. е. підпорядковується правилу правого гвинта.
Вектор спрямований уздовж осі обертання за правилом правого гвинта, тобто так само, як і вектор (див. рисунок 10).
Малюнок 10.
Малюнок 11
Векторна величина, що визначається першою похідною кута повороту тіла за часом.
Зв'язок модулів лінійної та кутової швидкостей
Малюнок 12
Зв'язок векторів лінійної та кутової швидкостей
Положення даної точки задається радіусом-вектором (проводиться з лежачого на осі обертання початку координат 0). Векторний твір збігається у напрямку з вектором і має рівний модуль
Одиниця кутової швидкості - .
Псевдовектори (аксіальні вектори) - вектори, напрями яких пов'язуються із напрямком обертання (наприклад,). Ці вектори не мають певних точок застосування: вони можуть відкладатися з будь-якої точки на осі обертання.
Рівномірний рух матеріальної точки по колу
Рівномірний рух коло - рух, у якому матеріальна точка (тіло) за рівні проміжки часу проходить рівні довжиною дуги окружности.
Кутова швидкість
: (-- кут повороту).
Період обертання Т - час, протягом якого матеріальна точка робить один повний оборот по колу, тобто повертається на кут.
Оскільки проміжку часу відповідає, то.
Частота обертання - кількість повних оборотів, що здійснюються матеріальною точкою при рівномірному її русі по колу, в одиницю часу.
Малюнок 13
Характерна риса рівномірного руху по колу
Рівномірний рух по колу - окремий випадок криволінійного руху. Рух по колу із швидкістю, постійною за модулем (), є прискореним. Це пов'язано з тим, що з постійному модулі напрям швидкості постійно змінюється.
Прискорення матеріальної точки, що рівномірно рухається по колу
Тангенційна складова прискорення при рівномірному русіточки по колу дорівнює нулю.
Нормальна складова прискорення (відцентрове прискорення) спрямована по радіусу до центру кола (див. рис. 13). У будь-якій точці кола вектор нормального прискорення перпендикулярний вектору швидкості. Прискорення матеріальної точки, що рівномірно рухається по колу в будь-якій її точці, доцентрове.
Кутове прискорення. Зв'язок лінійних та кутових величин
Кутове прискорення - векторна величина, що визначається першою похідною кутової швидкості за часом.
Напрямок вектора кутового прискорення
При обертанні тіла навколо нерухомої осівектор кутового прискорення спрямований вздовж осі обертання у бік вектора елементарного збільшення кутової швидкості.
При прискореному русі вектор сонаправлен вектору, при уповільненому - протиспрямований йому. Вектор - псевдовектор.
Одиниця кутового прискорення - .
Зв'язок лінійних та кутових величин
(-- радіус кола; -- лінійна швидкість; -- тангенціальне прискорення; -- нормальне прискорення; -- кутова швидкість).
Напрям. величина спотвореної кристаліч. грати, обумовл. дисклінацією: кручення - кут повороту частини кристала щодо іншої; клинової зміна кута повороту при зміні порядку осі симетрії. … Довідник технічного перекладача
вектор Франка- спрямована величина спотвореності кристалічних ґрат, обумовлена дисклінацією: кручення кут повороту частини кристала щодо іншої; клинової зміна кута повороту при зміні порядку осі симетрії. Дивись… … Енциклопедичний словникз металургії
Матриця повороту- Перевірити інформацію. Необхідно перевірити точність фактів та достовірність відомостей, викладених у цій статті. На сторінці обговорення мають бути пояснення … Вікіпедія
Керований вектор тяги- Управління вектором тяги (УВТ) реактивного двигуна відхилення реактивного струменя двигуна від напрямку, що відповідає крейсерському режиму. В даний час управління вектором тяги забезпечується, в основному, за рахунок повороту всього сопла.
ГІРОСКОП- навігаційний прилад, основним елементом якого є ротор, що швидко обертається, закріплений так, що вісь його обертання може повертатися. Три ступені свободи (осі можливого обертання) ротора гіроскопа забезпечуються двома рамками. Енциклопедія Кольєра
ФАРАДЕЯ ЕФЕКТ- один із ефектів магнітооптики. Полягає у обертанні площини поляризації лінійно-поляризів. світла, що поширюється у ве вздовж пост. магн. поля, в якому знаходиться це в ст. Відкритий М. Фарадеєм в 1845 і став першим доказом. Фізична енциклопедія
Графічний конвеєр- графічний конвеєр апаратно-програмний комплекс візуалізації тривимірної графіки. 1 Елементи тривимірної сцени 1.1 Апаратні засоби 1.2 Програмні інтерфейси … Вікіпедія
Магнетизм- Класична електродинаміка... Вікіпедія
ГОСТ 22268-76: Геодезія. терміни та визначення- Термінологія ГОСТ 2226876: Геодезія. Терміни та визначення оригінал документа: 114. Абріс Ндп. Шаги D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Outline Field sketch F. Croquis Схематичний креслення ділянки місцевості. Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації
Система орієнтації сонячних батарей- Стиль цієї статті неенциклопедичний чи порушує норми російської мови. Статтю слід виправити відповідно до стилістичних правил Вікіпедії.
КУТОВА ШВИДКІСТЬ- Векторна величина, що характеризує швидкість обертання твердого тіла. При рівномірному обертанні тіла навколо нерухомої осі чисельно його У. с. w=Dj/Dt, де Dj збільшення кута повороту j за проміжок часу Dt, а загальному випадку w=dj/dt. Вектор У.… … Фізична енциклопедія
З лінійними величинами.
Кутове переміщення- Векторна величина, що характеризує зміна кутової координати в процесі її руху.
Кутова швидкість- Векторна фізична величина, Що характеризує швидкість обертання тіла Вектор кутової швидкості за величиною дорівнює куту повороту тіла в одиницю часу:
а спрямований по осі обертання згідно з правилом свердла, тобто, в той бік, в який би вкручувався свердлик з правим різьбленням, якби обертався в ту ж сторону.
Одиниця виміру кутової швидкості, прийнята в системах СІ та СГС) - радіани за секунду. (Примітка: радіан, як і будь-які одиниці виміру кута, – фізично безрозмірний, тому фізична розмірність кутової швидкості – просто). У техніці також використовуються оберти за секунду, набагато рідше - градуси за секунду, гради за секунду. Мабуть, найчастіше в техніці використовують оберти за хвилину - це з тих часів, коли частоту обертання тихохідних парових машин визначали, просто «вручну» підраховуючи кількість обертів за одиницю часу.
Вектор (миттєвої) швидкості будь-якої точки (абсолютно) твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю визначається формулою:
де - радіус-вектор до цієї точки з початку координат, розташованого на осі обертання тіла, а квадратними дужками позначено векторний добуток. Лінійну швидкість (збігається з модулем вектора швидкості) точки на певній відстані (радіусі) r від осі обертання можна вважати так: v = rω. Якщо замість радіанів застосовувати інші одиниці кутів, то двох останніх формулах з'явиться множник, не рівний одиниці.
У разі плоского обертання, тобто коли всі вектори швидкостей точок тіла лежать (завжди) в одній площині (площині обертання), кутова швидкість тіла завжди перпендикулярна цій площині, і по суті - якщо площина обертання свідомо відома - може бути замінена скаляром - проекцією на вісь, ортогональну площину обертання. У цьому випадку кінематика обертання сильно спрощується, однак у загальному випадку кутова швидкість може змінювати згодом напрямок у тривимірному просторі, і така спрощена картина не працює.
Похідна кутова швидкість за часом є кутове прискорення.
Рух із постійним вектором кутової швидкості називається рівномірним обертальним рухом (у цьому випадку кутове прискорення дорівнює нулю).
Кутова швидкість (розглянута як вільний вектор) однакова у всіх інерційних системах відліку, проте в різних інерційних системах відліку може відрізнятися вісь або центр обертання одного й того ж конкретного тіла в той самий момент часу (тобто буде різною «точка докладання» кутової швидкості).
У разі руху однієї єдиної точки в тривимірному просторі можна написати вираз для кутової швидкості цієї точки щодо обраного початку координат:
Де – радіус-вектор точки (з початку координат), – швидкість цієї точки. - Векторний твір, - скалярний твір векторів. Однак ця формула не визначає кутову швидкість однозначно (у випадку єдиної точки можна підібрати й інші вектори, що підходять за визначенням, інакше - довільно - вибравши напрямок осі обертання), а для загального випадку (коли тіло включає більше однієї матеріальної точки) - ця формула не вірна для кутової швидкості всього тіла (оскільки дає різні кожної точки, а при обертанні абсолютно твердого тіла за визначенням кутова швидкість його обертання - єдиний вектор). При всьому цьому, у двовимірному випадку (у разі плоского обертання) ця формула цілком достатня, однозначна і коректна, тому що в цьому окремому випадку напрям осі обертання свідомо однозначно визначено.
У разі рівномірного обертального руху (тобто руху з постійним вектором кутової швидкості) декартові координатиточок обертового так тіла роблять гармонійні коливанняз кутовою (циклічною) частотою, рівною модулювектор кутової швидкості.
При вимірі кутової швидкості в обертах за секунду (про/с), модуль кутової швидкості рівномірного обертального руху збігається з частотою обертання f, виміряною в герцах (Гц)
(Тобто в таких одиницях).
У разі використання звичайної фізичної одиниці кутової швидкості - радіанів на секунду - модуль кутової швидкості пов'язаний із частотою обертання так:
Нарешті, при використанні градусів за секунду зв'язок із частотою обертання буде:
Кутове прискорення- псевдовекторна фізична величина, що характеризує швидкість зміни кутової швидкості твердого тіла.
При обертанні тіла навколо нерухомої осі, кутове прискорення по модулю дорівнює:
Вектор кутового прискорення α спрямований вздовж осі обертання (убік при прискореному обертанні та протилежно при уповільненому).
При обертанні навколо нерухомої точкивектор кутового прискорення визначається як перша похідна від вектора кутової швидкості за часом, тобто
і направлений по дотичній до годограф вектора у відповідній його точці.
Існує зв'язок між тангенціальним та кутовим прискореннями:
де R - радіус кривизни траєкторії точки на даний момент часу. Отже, кутове прискорення одно другий похідної від кута повороту за часом або першої похідної від кутової швидкості за часом. Кутове прискорення вимірюється в рад/сек2.
Кутова швидкість та кутове прискорення
Розглянемо тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі. Тоді окремі точки цього тіла описуватимуть кола різних радіусів, центри яких лежать на осі обертання. Нехай деяка точка рухається по колу радіусу R(Рис. 6). Її положення через проміжок часу D tзадаємо кутом D . Елементарні (нескінченно малі) повороти можна розглядати як вектори (вони позначаються або ) . Модуль вектора дорівнює куту повороту, яке напрям збігається з напрямом поступального руху вістря гвинта, головка якого обертається у бік руху точки по колу, тобто. підкоряється правилу правого гвинта(Рис.6). Вектори, напрями яких пов'язуються з напрямком обертання, називаються псевдовекторамиабо аксіальних векторів.Ці вектори не мають певних точок застосування: вони можуть відкладатися з будь-якої точки осі обертання.
Кутовою швидкістюназивається векторна величина, що дорівнює першій похідній кута повороту тіла за часом:
Вектор спрямований вздовж осі обертання за правилом гвинта, тобто. як і вектор (рис.7). Розмірність кутової швидкості dim w =T - 1 , а її одиниця - радіан за секунду (рад/с).
Лінійна швидкість точки (див. рис. 6)
У векторному вигляді формулу для лінійної швидкості можна написати як векторний добуток:
При цьому модуль векторного твору, за визначенням, дорівнює , а напрямок збігається з напрямком поступального руху правого гвинта при його обертанні від R.
Якщо ( = const, то обертання рівномірне і його можна характеризувати періодом обертання T - часом, протягом якого точка робить один повний оборот, тобто. повертається на кут 2p. Оскільки проміжок часу D t= Tвідповідає = 2p, то = 2p/ T, звідки
Число повних оборотів, що здійснюються тілом при рівномірному його русі по колу, в одиницю часу називається частотою обертання:
Кутовим прискоренням називається векторна величина, що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:
При обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення спрямований вздовж осі обертання у бік елементарного вектора збільшення кутової швидкості. При прискореному русі вектор сонаправлен вектору (рис.8), при уповільненому - протиспрямований йому (рис.9).
Тангенційна складова прискорення
Нормальна складова прискорення
Таким чином, зв'язок між лінійними (довжина шляху s, пройденого точкою по дузі кола радіусу R, лінійна швидкість v,тангенціальне прискорення , нормальне прискорення ) та кутовими величинами (кут повороту j, кутова швидкість w, кутове прискорення e) виражається такими формулами:
У разі рівнозмінного руху точки по колу (e=const)
де w 0 - Початкова кутова швидкість.
Закони Ньютона.
Перший закон Ньютона. Маса. Сила
Динаміка є основним розділом механіки, в її основі лежать три закони Ньютона, сформульовані ним у 1687 р. Закони Ньютона грають виняткову роль у механіці та є (як і всі фізичні закони) узагальненням результатів величезного людського досвіду. Їх розглядають як систему взаємопов'язаних законіві дослідну перевірку піддають не кожен окремий закон, а всю систему в цілому.
Перший закон Ньютона: всяка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного рухудоки вплив з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан. Прагнення тіла зберігати стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху називається інертністю. Тому перший закон Ньютона називають також законом інерції.
Механічне рух щодо, та її характер залежить від системи отсчета. Перший закон Ньютона виконується не у будь-якій системі відліку, а ті системи, стосовно яких він виконується, називаються інерційними системами відліку. Інерційною системою відліку є така система відліку, щодо якої матеріальна точка, вільна від зовнішніх впливів,або спочиває, або рухається рівномірно і прямолінійно. Перший закон Ньютона затверджує існування інерційних систем відліку.
Досвідченим шляхом встановлено, що інерційною можна вважати геліоцентричну (зоряну) систему відліку (початок координат знаходиться в центрі Сонця, а осі здійснені у напрямку певних зірок). Система відліку, пов'язана із Землею, строго кажучи, неінерційна, проте ефекти, зумовлені її неінерціальністю (Земля обертається навколо власної осі та навколо Сонця), при вирішенні багатьох завдань дуже малі, і в цих випадках її можна вважати інерційною.
З досвіду відомо, що за однакових впливів різні тіланеоднаково змінюють швидкість свого руху, тобто, іншими словами, набувають різних прискорень. Прискорення залежить як від величини впливу, а й від властивостей самого тіла (від його маси).
Масатіла - фізична величина, що є однією з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні ( інертна маса) та гравітаційні ( гравітаційна маса) властивості. Нині вважатимуться доведеним, що інертна і гравітаційна маси рівні одна одній (з точністю, щонайменше 10 –12 їх значення).
Щоб описувати впливи, що згадуються у першому законі Ньютона, вводять поняття сили. Під дією сил тіла або змінюють швидкість руху, тобто набувають прискорення (динамічний прояв сил), або деформуються, тобто змінюють свою форму та розміри (статичний прояв сил). У кожний момент часу сила характеризується числовим значенням, напрямом у просторі та точкою програми. Отже, сила- це векторна величина, що є мірою механічного впливу на тіло з боку інших тіл або полів, в результаті якого тіло набуває прискорення або змінює свою форму та розміри.
Другий закон Ньютона
Другий закон Ньютона - основний закон динаміки поступального руху -відповідає питанням, як змінюється механічне рух матеріальної точки (тіла) під впливом прикладених до неї сил.
Якщо розглянути дію різних сил на одне і те ж тіло, то виявляється, що прискорення, яке набуває тіло, завжди прямо пропорційно доданих сил, що діє:
а ~ F (т = const). (6.1)
При дії однієї і тієї ж сили на тіла з різними масами їх прискорення виявляються різними, а саме
а ~ 1 /т (F= const). (6.2)
Використовуючи вирази (6.1) та (6.2) та враховуючи, що сила та прискорення-величини векторні, можемо записати
а = kF/m. (6.3)
Співвідношення (6.3) виражає другий закон Ньютона: прискорення, придбане матеріальної точкою (тілом), що пропорційно викликає його силі, збігається з нею за напрямом і обернено пропорційно масі матеріальної точки (тіла).
У СІ коефіцієнт пропорційності k= 1. Тоді
(6.4)
Враховуючи, що маса матеріальної точки (тіла) у класичній механіці є постійна, у виразі (6.4) її можна внести під знак похідної:
Векторна величина
чисельно рівна добуткумаси матеріальної точки на її швидкість і що має напрямок швидкості, називається імпульсом (кількістю руху)цієї матеріальної точки.
Підставляючи (6.6) у (6.5), отримаємо
Цей вираз - більш загальне формулювання другого закону Ньютона: швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює силі, що діє на неї. Вираз (6.7) називається рівнянням руху матеріальної точки.
Одиниця сили у СІ - Ньютон(Н): 1 Н - сила, яка масі 1 кг повідомляє прискорення 1 м/с 2 у напрямку дії сили:
1 Н = 1 кг×м/с 2.
Другий закон Ньютона справедливий лише в інерційних системах відліку. Перший закон Ньютона можна одержати з другого. Справді, у разі рівності нулю рівнодіючої сил (за відсутності на тіло з боку інших тіл) прискорення (див. (6.3)) також дорівнює нулю. Однак перший закон Ньютонарозглядається як самостійний закон(а не як наслідок другого закону), оскільки саме він затверджує існування інерційних систем відліку, в яких тільки виконується рівняння (6.7).
У механіці велике значення має принцип незалежності дії сил: якщо на матеріальну точку діє одночасно кілька сил, то кожна з цих сил повідомляє матеріальну точку прискорення згідно з другим законом Ньютона, ніби інших сил не було. Відповідно до цього принципу, сили та прискорення можна розкладати на складові, використання яких призводить до суттєвого спрощення вирішення завдань. Наприклад, на рис. 10 діюча сила F= m a розкладена на два компоненти: тангенціальну силу F t (направлена по дотичній до траєкторії) і нормальну силу F n(Спрямована по нормалі до центру кривизни). Використовуючи вирази і , а також , можна записати:
Якщо на матеріальну точку діє одночасно кілька сил, то згідно з принципом незалежності дії сил під F у другому законі Ньютона розуміють результуючу силу.
Третій закон Ньютона
Взаємодія між матеріальними точками (тілами) визначається третім законом Ньютона: будь-яка дія матеріальних точок(Тіл) один на одного носить характер взаємодії; сили, з якими діють одна на одну матеріальні точки, завжди рівні за модулем, протилежно спрямовані і діють вздовж прямої, що з'єднує ці точки:
F 12 = - F 21, (7.1)
де F 12 - сила, що діє першу матеріальну точку з боку другий;
F 21 – сила, що діє на другу матеріальну точку з боку першої. Ці сили додані до різнимматеріальним точкам (тілам), завжди діють парамиі є силами однієї природи.
Третій закон Ньютона дозволяє здійснити перехід від динаміки окремоюматеріальної точки до динаміки системиматеріальних точок. Це випливає з того, що для системи матеріальних точок взаємодія зводиться до сил парної взаємодії між матеріальними точками.
Кути Ейлера, літакові (корабельні) кути.
Традиційно кути Ейлера вводяться в такий спосіб. Перехід з відлікового становища до актуального здійснюється трьома поворотами (рис.4.3):
1. Поворот навколо на кут прецесіїУ цьому перетворюється на становище, (в) .
2. Поворот навколо на кут нутації. При цьому, . (4.10)
4. Поворот навколо на кут власного (чистого) обертання
Для кращого розуміння на рис.4.4 зображений дзига і кути Ейлера, що описують його
Перехід з відлікового становища до актуального можна здійснити трьома поворотами (повернути самостійно!) (рис.4.5):
1. Поворот навколо на кут Рискання, при цьому
2. Поворот навколо на кут тангажу, при цьому (4.12)
3.Поворот на кут крену навколо
Вираз «можна здійснити» невипадкове; неважко зрозуміти, що можливі інші варіанти, наприклад, повороти навколо фіксованих осей
1. Поворот навколо на кут крену(ризикуючи зламати крила)
2. Поворот навколо на кут тангажу(підйом «носа») (4.13)
3. Поворот навколо на кут Рискання
Втім, тотожність (4.12) та (4.13) також необхідно довести.
Запишемо очевидну векторну формулу для вектора положення будь-якої точки (рис.4.6) у матричному вигляді. Знайдемо координати вектора щодо відлікового базису. Розкладемо вектор по актуальному базису та введемо «перенесений» вектор, координати якого у відліковому базисі дорівнюють координатам вектора в актуальному; інакше кажучи, - «повернутий» разом із тілом вектор (Рис.4.6).
| Рис. 4.6. |
Розкладаючи вектори по відлікового базису, отримаємо
Введемо матрицю повороту та стовпці,
Векторна формула у матричному записі має вигляд
1. Матриця повороту є ортогональною, тобто.
Доказом цього твердження є формула (4.9)
Обчислюючи визначник твору (4.15), отримаємо так як у відліковому положенні, то (ортогональні матриці з визначником, рівним (+1), називають власнеортогональними або матрицями повороту). Матриця повороту при множенні на вектори не змінює ні довжин векторів, ні кутів з-поміж них, тобто. справді їх повертає.
2. Матриця повороту має один власний (нерухомий) вектор, який задає вісь повороту. Іншими словами, треба показати, що система рівнянь, де має єдине рішення. Запишемо систему у вигляді (. Визначник цієї однорідної системи дорівнює нулю, так як
отже, система має ненульове рішення. Припустивши, що є два рішення, відразу прийдемо до висновку, що перпендикулярний до них також є рішенням (кути між векторами не змінюються), а це означає, що тобто. повороту немає.
| Рис.4.7 |
Матриця в ортонормованому базисі
має вигляд.
2. Диференціюючи (4.15), отримаємо або, позначивши – матриця спна (англ. to spin - крутити).Отже, матриця спина кососиметрична: . Помножуючи праворуч, отримаємо формулу Пуассона для матриці повороту:
Ми підійшли до найважчого в рамках матричного опису моменту – визначення вектора кутової швидкості.
Можна, зрозуміло, зробити стандартним (див., наприклад, способом і написати: « введемо позначення для елементів кососиметричної матриці S за формулою
Якщо скласти вектор , то результат множення матриці вектор може бути представлений у вигляді векторного твору». У наведеній цитаті – вектор кутової швидкості.
Диференціюючи (4.14), отримаємо матричний запис основної формули кінематики твердого тіла :
Матричний підхід, будучи зручним для обчислень, дуже мало підходить для аналізу та виведення співвідношень; будь-яку формулу, написану векторною і тензорною мовою, легко можна записати в матричному вигляді, а от отримати компактну і виразну формулу для опису будь-якого фізичного явищау матричному вигляді важко.
З іншого боку, слід забувати, що елементи матриці є координатами (компонентами) тензора у якомусь базисі. Сам тензор залежить від вибору базису, яке компоненти залежать. Для безпомилкового запису в матричному вигляді необхідно, щоб усі вектори і тензори, що входять у вираз, були записані в одному базисі, а це не завжди зручно, оскільки різні тензори мають «простий» вигляд у різних базисах, тому потрібно перераховувати матриці за допомогою матриць переходу .
На колі визначається радіусом-вектором $ \ overrightarrow (r) $, проведеним з центру кола. Модуль радіуса-вектора дорівнює радіусукола R (рис. 1).
Рисунок 1. Радіус-вектор, переміщення, шлях і кут повороту під час руху точки по колу
При цьому рух тіла по колу можна однозначно описати за допомогою таких кінематичних характеристик як кут повороту, кутова швидкість і кутове прискорення.
За час ∆t тіло, рухаючись з точки А до точки В, переміщує $\triangle r$, рівне хордіАВ, і проходить шлях, що дорівнює довжині дуги l. Радіус-вектор повертається на кут ∆$\varphi$.
Кут повороту можна характеризувати вектором кутового переміщення $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, модуль якого дорівнює куту повороту ∆$ \varphi $, а напрямок збігається з віссю обертання, причому так, що напрямок повороту відповідає правилу правого гвинта по по відношенню до напрямку вектора $d\overrightarrow((\mathbf \varphi))$.
Вектор $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ називається аксіальним вектором (або псевдо-вектором), тоді як вектор переміщення $\triangle \overrightarrow(r)$ є полярним вектором (до них також відносяться вектори швидкості та прискорення) . Вони відрізняються тим, що полярний вектор крім довжини та напрямку має точку додатка (полюс), а аксіальний вектор має тільки довжину та напрямок (вісь - латиною axis), але не має точки додатка. Вектори такого типу часто використовуються у фізиці. До них, наприклад, відносяться всі вектори, які є векторним творомдвох векторів полярних.
Скалярна фізична величина, чисельно рівна відношенню кута повороту радіуса-вектора до проміжку часу, за який цей поворот стався, називається середньою кутовою швидкістю: t) $. У СІ одиницею кутової швидкості є радіан за секунду $(\frac (рад) (c))$.
Визначення
Кутовою швидкістю обертання називається вектор, чисельно рівний першій похідній кута повороту тіла за часом і спрямований уздовж осі обертання за правилом правого гвинта:
\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\overrightarrow((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]
При рівномірному русі коло кутова швидкість і модуль лінійної швидкості - величини постійні: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.
Враховуючи, що $ triangle \ varphi = frac (l) (R) $, отримуємо формулу зв'язку між лінійною і кутовою швидкістю: $ omega = frac (l) (R triangle t) = frac (v) ( R) $. Кутова швидкість також пов'язана з нормальним прискоренням: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$
При нерівномірному русіпо колу вектор кутової швидкості є векторною функцією від часу $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\left(t\right)t$, де $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ - початкова кутова швидкість, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ - кутове прискорення. У разі рівнозмінного руху, $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$, і $\left|\overrightarrow((\mathbf \omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.
Опишіть рух твердого тіла, що обертається, у випадках, коли кутова швидкість змінюється згідно з графіками 1 і 2, зображеними на рис.2.
Малюнок 2.
Обертання буває у двох напрямках - за годинниковою стрілкою та проти. З напрямком обертання пов'язаний псевдовектор кута повороту та кутової швидкості. Нехай позитивним вважатимемо напрямок обертання за годинниковою стрілкою.
Для руху 1 кутова швидкість зростає, але кутове прискорення $varepsilon $=d$omega $/dt (похідна) зменшується, залишаючись позитивним. Отже, цей рух є прискореним за годинниковою стрілкою з прискоренням, що зменшується за величиною.
Для руху 2 кутова швидкість зменшується, потім досягає в точці перетину з віссю абсцис нуля, а далі стає негативною і зростає модулем. Кутове прискорення негативне і зменшується за модулем. Таким чином, спочатку точка рухалася за годинниковою стрілкою повільно з кутовим прискоренням, що зменшується по модулю, зупинилася і стала обертатися прискорено з прискоренням, що зменшується по модулю.
Знайти радіус R обертового колеса, якщо відомо, що лінійна швидкість $v_1$ точки, що лежить на обіді, в 2,5 рази більша за лінійну швидкість $v_2$ точки, що лежить на відстані $r = 5 см$ ближче до осі колеса.
Малюнок 3.
$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2,5v_2$$ $$R_1 = ?$$
Точки рухаються по концентричних колах, вектора їх кутових швидкостей рівні, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\omega $ , можна записати у скалярній формі:
Відповідь: радіус колеса R = 8,3 см
