Как да намерите височината, като знаете страната и ъгъла. Намерете най-голямата височина на триъгълника. Свойства на минималната надморска височина на триъгълник

При решаването на различни видове задачи, както от чисто математически, така и от приложен характер (особено в строителството), често е необходимо да се определи стойността на височината на определена геометрична фигура. Как да изчислим тази стойност (височина) в триъгълник?

Ако комбинираме 3 точки по двойки, които не са разположени на една линия, тогава получената фигура ще бъде триъгълник. Височината е частта от права линия от който и да е връх на фигура, която при пресичане с противоположната страна образува ъгъл от 90°.

Намерете височината на скален триъгълник

Нека определим стойността на височината на триъгълник в случай, че фигурата има произволни ъгли и страни.

Формулата на Херон

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, където

p – половината от периметъра на фигурата, h(a) – отсечка от страна a, начертана под прав ъгъл спрямо нея,

p=(a+b+c)/2 – изчисляване на полупериметъра.

Ако има площ на фигурата, можете да използвате връзката h(a)=2S/a, за да определите нейната височина.

Тригонометрични функции

За да определите дължината на сегмент, който образува прав ъгъл при пресичане със страна a, можете да използвате следните отношения: ако са известни страна b и ъгъл γ или страна c и ъгъл β, тогава h(a)=b*sinγ или h(a)=c *sinβ.
Където:
γ – ъгъл между страна b и a,
β е ъгълът между страна c и a.

Връзка с радиус

Ако оригиналният триъгълник е вписан в кръг, можете да използвате радиуса на такъв кръг, за да определите височината. Центърът му се намира в точката, където се пресичат всичките 3 височини (от всеки връх) - ортоцентърът, а разстоянието от него до върха (който и да е) е радиусът.

Тогава h(a)=bc/2R, където:
b, c – 2 други страни на триъгълника,
R е радиусът на окръжността, описваща триъгълника.

Намерете височината в правоъгълен триъгълник

При този вид геометрична фигура 2 страни при пресичане образуват прав ъгъл - 90°. Следователно, ако искате да определите стойността на височината в него, тогава трябва да изчислите или размера на един от краката, или размера на сегмента, образуващ 90 ° с хипотенузата. При обозначаване:
a, b - крака,
c – хипотенуза,
h(c) – перпендикуляр на хипотенузата.
Можете да направите необходимите изчисления, като използвате следните отношения:

  • Питагорова теорема:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, защото S=ab/2, тогава h(c)=ab/c.

  • Тригонометрични функции:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Намерете височината на равнобедрен триъгълник

Тази геометрична фигура се отличава с наличието на две страни с еднакъв размер и трета – основа. За да се определи височината, начертана към третата, отделна страна, на помощ идва Питагоровата теорема. С нотации
настрана,
c – основа,
h(c) е отсечка към c под ъгъл от 90°, тогава h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).


За да решите много геометрични задачи, трябва да намерите височината на дадена фигура. Тези задачи имат практическо значение. При провеждане строителни дейностиопределянето на височината помага да се изчисли необходимото количество материали, както и да се определи колко точно са направени склоновете и отворите. Често, за да създадете модели, трябва да имате представа за свойствата

За много хора, въпреки добрите оценки в училище, когато конструират обикновени геометрични формиВъзниква въпросът как да се намери височината на триъгълник или успоредник. И е най-трудно. Това е така, защото триъгълникът може да бъде остър, тъп, равнобедрен или прав. Всеки от тях има свои собствени правила за изграждане и изчисляване.

Как да намерим височината на триъгълник, в който всички ъгли са остри, графично

Ако всички ъгли на триъгълник са остри (всеки ъгъл в триъгълника е по-малък от 90 градуса), тогава, за да намерите височината, трябва да направите следното.

  1. Използвайки дадените параметри, построяваме триъгълник.
  2. Нека въведем някои обозначения. A, B и C ще бъдат върховете на фигурата. Ъглите, съответстващи на всеки връх, са α, β, γ. Страните срещу тези ъгли са a, b, c.
  3. Надморската височина е перпендикулярът, прекаран от върха на ъгъла към противоположната страна на триъгълника. За да намерим височините на триъгълник, построяваме перпендикуляри: от върха на ъгъл α към страна a, от върха на ъгъл β към страна b и т.н.
  4. Нека означим пресечната точка на височината и страната a като H1, а самата височина като h1. Пресечната точка на височината и страната b ще бъде H2, височината, съответно, h2. За страна c височината ще бъде h3, а пресечната точка ще бъде H3.

Височина в триъгълник с тъп ъгъл

Сега нека да разгледаме как да намерим височината на триъгълник, ако има такъв (повече от 90 градуса). В този случай надморската височина, изтеглена от тъпия ъгъл, ще бъде вътре в триъгълника. Останалите две височини ще бъдат извън триъгълника.

Нека ъглите α и β в нашия триъгълник са остри, а ъгълът γ е тъп. След това, за да се построят височините, идващи от ъглите α и β, е необходимо да се продължат срещу тях страните на триъгълника, за да се начертаят перпендикуляри.

Как да намерите височината на равнобедрен триъгълник

Такава фигура има две равни страни и основа, докато ъглите в основата също са равни един на друг. Това равенство на страни и ъгли улеснява конструирането на височини и тяхното изчисляване.

Първо, нека начертаем самия триъгълник. Нека страните b и c, както и ъглите β, γ са съответно равни.

Сега нека начертаем височината от върха на ъгъл α, като го обозначим с h1. Защото тази височина ще бъде както ъглополовяща, така и медиана.

За основата може да се направи само една конструкция. Например, начертайте медиана - сегмент, свързващ върха на равнобедрен триъгълник и противоположната страна, основата, за да намерите височината и ъглополовящата. И за да изчислите дължината на височината за другите две страни, можете да конструирате само една височина. По този начин, за да определите графично как да изчислите височината на равнобедрен триъгълник, е достатъчно да намерите две от трите височини.

Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

За правоъгълен триъгълник определянето на височините е много по-лесно, отколкото за други. Това се случва, защото самите крака образуват прав ъгъл и следователно са височини.

За да конструирате третата височина, както обикновено, нарисувайте перпендикуляр, свързващ върха прав ъгъли противоположната страна. В резултат на това, за да се създаде триъгълник в този случай, е необходима само една конструкция.

Как да намерим най-голямата или най-малката височина на триъгълник? Колкото по-малка е височината на триъгълника, толкова по-голяма е височината, начертана към него. Тоест най-голямата от надморските височини на триъгълник е тази, начертана към най-късата му страна. - тази, начертана към най-голямата страна на триъгълника.

Да се ​​намери най-голямата височина на триъгълник , Мога площ на триъгълникразделете на дължината на страната, към която е начертана тази височина (т.е. на дължината на най-малката страна на триъгълника).

Съответно d Да се ​​намери най-малката височина на триъгълник Можете да разделите площта на триъгълник на дължината на най-дългата му страна.

Задача 1.

Намерете най-малката височина на триъгълник със страни 7 cm, 8 cm и 9 cm.

дадени:

AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.

Намерете: най-малката височина на триъгълника.

Решение:

Най-малката надморска височина на триъгълник е тази, начертана към най-дългата му страна. Това означава, че трябва да намерим височината AF, начертана към страната BC.

За удобство на нотацията въвеждаме нотацията

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Височината на триъгълник е равна на частното от удвоената площ на триъгълника, разделена на страната, към която е начертана тази височина. може да се намери с помощта на формулата на Heron. Ето защо

Изчисляваме:

Отговор:

Задача 2.

Намерете най-дългата страна на триъгълник със страни 1 cm, 25 cm и 30 cm.

дадени:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Намирам:

най-голямата надморска височина на триъгълник ABC.

Решение:

Най-голямата височина на триъгълник се изтегля към най-късата му страна.

Това означава, че трябва да намерите височината CD, начертана към страната AB.

За удобство нека обозначим

Триъгълници.

Основни понятия.

Триъгълнике фигура, състояща се от три отсечки и три точки, които не лежат на една права линия.

Сегментите се наричат партии, а точките са върхове.

Сума от ъглитриъгълник е 180º.

Височина на триъгълника.

Височина на триъгълник- това е перпендикуляр, изтеглен от върха към противоположната страна.

В остроъгълен триъгълник височината се съдържа в триъгълника (фиг. 1).

IN правоъгълен триъгълниккатетите са височините на триъгълника (фиг. 2).

В тъп триъгълник надморската височина се простира извън триъгълника (фиг. 3).

Свойства на надморската височина на триъгълник:

Симетрала на триъгълник.

Симетрала на триъгълник- това е сегмент, който разделя ъгъла на върха наполовина и свързва върха с точка от противоположната страна (фиг. 5).

Свойства на ъглополовящата:


Медиана на триъгълник.

Медиана на триъгълник- това е сегмент, свързващ върха със средата на противоположната страна (фиг. 9а).


Дължината на медианата може да се изчисли по формулата:

2b 2 + 2° С 2 - а 2
m a 2 = ——————
4

Където m a- медиана, изтеглена настрани А.

В правоъгълен триъгълник медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата:

° С
m c = —
2

Където m c- медиана, начертана към хипотенузата ° С(фиг.9c)

Медианите на триъгълника се пресичат в една точка (в центъра на масата на триъгълника) и се делят от тази точка в съотношение 2:1, като се брои от върха. Тоест отсечката от върха до центъра е два пъти по-голяма от отсечката от центъра до страната на триъгълника (фиг. 9в).

Трите медиани на триъгълника го разделят на шест равни триъгълника.

Средната линия на триъгълника.

Средна линия на триъгълника- това е сегмент, свързващ средите на двете му страни (фиг. 10).

Средната линия на триъгълника е успоредна на третата страна и равна на половината от нея

Външен ъгъл на триъгълник.

Външен ъгълтриъгълник равно на суматадве несъседни вътрешни ъгли(фиг. 11).

Външен ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки несъседен ъгъл.

Правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълнике триъгълник, който има прав ъгъл (фиг. 12).

Страната на правоъгълен триъгълник срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза.

Другите две страни се наричат крака.


Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник.

1) В правоъгълен триъгълник надморската височина, изтеглена от прав ъгъл, образува три подобни триъгълника: ABC, ACH и HCB (фиг. 14a). Съответно ъглите, образувани от височината, са равни на ъгли A и B.

Фиг.14а

Равнобедрен триъгълник.

Равнобедрен триъгълнике триъгълник, чиито две страни са равни (фиг. 13).

Тези равни страни се наричат страни, а третият - базатриъгълник.

В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни. (В нашия триъгълник ъгъл А равен на ъгъл° С).

В равнобедрен триъгълник медианата, начертана към основата, е както ъглополовящата, така и надморската височина на триъгълника.

Равностранен триъгълник.

Равностранен триъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни (фиг. 14).

Свойства на равностранен триъгълник:

Забележителни свойства на триъгълниците.

Триъгълниците имат уникални свойства, които ще ви помогнат успешно да решавате проблеми, включващи тези форми. Някои от тези свойства са посочени по-горе. Но ние ги повтаряме отново, добавяйки към тях няколко други прекрасни функции:

1) В правоъгълен триъгълник с ъгли от 90º, 30º и 60º крака b, разположен срещу ъгъл от 30º, е равно на половината от хипотенузата. Крака повече кракb√3 пъти (фиг. 15 А). Например, ако катет b е 5, тогава хипотенузата ° Сзадължително е равно на 10, а кракът Ае равно на 5√3.

2) В правоъгълен равнобедрен триъгълник с ъгли 90º, 45º и 45º хипотенузата е √2 пъти по-голяма от катета (фиг. 15). b). Например, ако катетите са 5, тогава хипотенузата е 5√2.

3) Средната линия на триъгълника е равна на половината от успоредната страна (фиг. 15 с). Например, ако страната на триъгълник е 10, тогава средната линия, успоредна на него, е 5.

4) В правоъгълен триъгълник медианата, начертана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата (фиг. 9c): m c= s/2.

5) Медианите на триъгълник, пресичащи се в една точка, се делят на тази точка в съотношение 2:1. Тоест сегментът от върха до пресечната точка на медианите е два пъти по-голям от сегмента от пресечната точка на медианите до страната на триъгълника (фиг. 9c)

6) В правоъгълен триъгълник средата на хипотенузата е центърът на описаната окръжност (фиг. 15 д).


Признаци за равенство на триъгълници.

Първи знак за равенство: ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Втори знак за равенство: ако страна и прилежащите й ъгли на един триъгълник са равни на страната и прилежащите й ъгли на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Трети знак за равенство: Ако три страни на един триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Неравенство на триъгълник.

Във всеки триъгълник всяка страна е по-малка от сумата на другите две страни.

Питагорова теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите:

° С 2 = а 2 + b 2 .

Площ на триъгълник.

1) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата страна и надморската височина, начертана към тази страна:

ах
С = ——
2

2) Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на всеки две от страните му и синуса на ъгъла между тях:

1
С = — AB · A.C. · грях А
2

Триъгълник, описан около окръжност.

Окръжност се нарича вписана в триъгълник, ако докосва всичките му страни (фиг. 16 А).


Триъгълник, вписан в окръжност.

Триъгълникът се нарича вписан в окръжност, ако я докосва с всичките си върхове (фиг. 17 а).

Синус, косинус, тангенс, котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник (фиг. 18).

синуситеостър ъгъл х противоположносткатет към хипотенуза.
Означава се по следния начин: гряхх.

Косинусостър ъгъл хна правоъгълен триъгълник е отношението съседенкатет към хипотенуза.
Означава се както следва: cos х.

Допирателнаостър ъгъл х- това е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
Означава се както следва: tgх.

Котангенсостър ъгъл х- това е отношението на съседната страна към противоположната страна.
Означава се както следва: ctgх.

правила:

Крак срещу ъгъла х, равно на произведениетохипотенуза върху sin х:

b = cгрях х

Крак в съседство с ъгъла х, е равно на произведението на хипотенузата и cos х:

a = c cos х

Крак срещу ъгъла х, е равно на произведението на втория крак по tg х:

b = a tg х

Крак в съседство с ъгъла х, е равно на произведението на второто краче по ctg х:

a = b· ctg х.


За всеки остър ъгъл х:

грях (90° - х) = cos х

cos (90° - х) = грях х


Триъгълник) или преминават извън триъгълника при тъп триъгълник.

Енциклопедичен YouTube

    1 / 5

    ✪ МЕДИАНА НА ВИСОЧИНА Бисектрикса на триъгълник 7 клас

    ✪ ъглополовяща, медиана, височина на триъгълник. Геометрия 7 клас

    ✪ 7 клас, урок 17, Медиани, ъглополовящи и височини на триъгълник

    ✪ Медиана, ъглополовяща, надморска височина на триъгълник | Геометрия

    ✪ Как да намерим дължината на ъглополовящата, медианата и височината? | Маниак с мен #031 | Борис Трушин

    субтитри

Свойства на пресечната точка на три височини на триъгълник (ортоцентър)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ стрелка надясно (CA))+(\стрелка надясно (EC))\cdot (\стрелка надясно (AB))=0)

(За да докажете самоличността, трябва да използвате формулите

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (ЕК)))

Точка E трябва да се приеме като пресечна точка на две височини на триъгълника.)

  • Ортоцентъризогонално конюгиран с центъра описана окръжност .
  • Ортоцентърлежи на същата права като центроида, центърът заобиколен кръги център на окръжност от девет точки (вижте правата линия на Ойлер).
  • Ортоцентърна остроъгълен триъгълник е центърът на окръжността, вписана в неговия ортотриъгълник.
  • Центърът на триъгълник, описан от ортоцентъра с върхове в средите на страните на дадения триъгълник. Последният триъгълник се нарича допълнителен към първия триъгълник.
  • Последното свойство може да се формулира по следния начин: Центърът на описаната около триъгълника окръжност служи ортоцентърдопълнителен триъгълник.
  • Точки, симетрични ортоцентърна триъгълник по отношение на страните му лежат върху описаната окръжност.
  • Точки, симетрични ортоцентъртриъгълници спрямо средите на страните също лежат върху описаната окръжност и съвпадат с точки, диаметрално противоположни на съответните върхове.
  • Ако O е центърът на описаната окръжност ΔABC, тогава O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
  • Разстоянието от върха на триъгълника до ортоцентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от центъра на описаната окръжност до срещуположната страна.
  • Всеки сегмент, извлечен от ортоцентърПреди да се пресече с описаната окръжност, тя винаги се разделя наполовина от окръжността на Ойлер. Ортоцентъре хомотетният център на тези две окръжности.
  • Теорема на Хамилтън. Три прави сегмента, свързващи ортоцентъра с върховете на остроъгълен триъгълник, го разделят на три триъгълника, имащи същата окръжност на Ойлер (окръжност от девет точки) като оригиналния остроъгълен триъгълник.
  • Следствия от теоремата на Хамилтън:
    • Три прави сегмента, свързващи ортоцентъра с върховете на остър триъгълник, го разделят на три Триъгълник на Хамилтънимайки равни радиусиописани окръжности.
    • Радиусите на описаните окръжности от три Триъгълници на Хамилтънравен на радиуса на окръжността, описана около първоначалния остроъгълен триъгълник.
  • В остър триъгълник ортоцентърът лежи вътре в триъгълника; в тъп ъгъл - извън триъгълника; в правоъгълна - на върха на прав ъгъл.

Свойства на височините на равнобедрен триъгълник

  • Ако две височини в триъгълник са равни, тогава триъгълникът е равнобедрен (теоремата на Щайнер-Лемус), а третата височина е едновременно медианата и ъглополовящата на ъгъла, от който излиза.
  • Обратното също е вярно: в равнобедрен триъгълник две височини са равни, а третата височина е едновременно медиана и ъглополовяща.
  • В равностранен триъгълник всичките три височини са равни.

Свойства на основите на височини на триъгълник

  • Причинивисочини образуват така наречения ортотриъгълник, който има свои собствени свойства.
  • Окръжността, описана около ортотриъгълник, е окръжността на Ойлер. Тази окръжност също съдържа три среди на страните на триъгълника и три среди на три сегмента, свързващи ортоцентъра с върховете на триъгълника.
  • Друга формулировка на последното свойство:
    • Теорема на Ойлер за окръжност от девет точки. Причинитри височини произволен триъгълник, средните точки на трите му страни ( основите на своя вътрешенмедиани) и средните точки на три сегмента, свързващи върховете му с ортоцентъра, всички лежат на една и съща окръжност (на кръг от девет точки).
  • Теорема. Във всеки триъгълник сегментът, свързващ основаниядве височинитриъгълник, отрязва триъгълник, подобен на дадения.
  • Теорема. В триъгълник сегментът, свързващ основаниядве височинитриъгълници, разположени на две страни антипаралеленна трето лице, с което няма допирни точки. Винаги може да се начертае окръжност през двата му края, както и през двата върха на третата спомената страна.

Други свойства на височините на триъгълника

  • Ако триъгълник универсален (скален), тогава то вътрешниъглополовящата, начертана от всеки връх, лежи между вътрешнимедиана и височина, изтеглени от един и същи връх.
  • Височината на триъгълник е изогонално свързана с диаметъра (радиуса) описана окръжност, изтеглен от същия връх.
  • В остроъгълен триъгълник има две височиниотрежете подобни триъгълници от него.
  • В правоъгълен триъгълник височина, изтеглен от върха на прав ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на първоначалния.

Свойства на минималната надморска височина на триъгълник

Минималната надморска височина на триъгълник има много екстремни свойства. Например:

  • Минималната ортогонална проекция на триъгълник върху прави, лежащи в равнината на триъгълника, има дължина, равна на най-малката от неговите височини.
  • Минималният прав разрез в равнината, през който може да бъде изтеглена твърда триъгълна плоча, трябва да има дължина, равна на най-малката от височините на тази плоча.
  • При непрекъснато движение на две точки по периметъра на триъгълника една към друга, максималното разстояние между тях по време на движението от първата среща до втората не може да бъде по-малко от дължината на най-малката височина на триъгълника.
  • Минималната височина в триъгълник винаги е в рамките на този триъгълник.

Основни взаимоотношения

  • h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
  • h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),)Където S (\displaystyle S)- площ на триъгълник, a (\displaystyle a)- дължината на страната на триъгълника, с която се спуска височината.
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),)Където b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- продукт на страните, R − (\displaystyle R-)радиус на описаната окръжност
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
  • 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Където r (\displaystyle r)- радиус на вписаната окръжност.
  • S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Където S (\displaystyle S)- площ на триъгълник.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1 )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (а))))))))), a (\displaystyle a)- страната на триъгълника, към която се спуска височината h a (\displaystyle h_(a)).
  • Височина на равнобедрен триъгълник, спусната до основата: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ),)
Където c (\displaystyle c)- основа, a (\displaystyle a)- страна.

Теорема за надморската височина на правоъгълен триъгълник

Ако надморската височина в правоъгълен триъгълник ABC е дължина h (\displaystyle h)изтеглен от върха на прав ъгъл, разделя хипотенузата с дължина c (\displaystyle c)на сегменти m (\displaystyle m)И n (\displaystyle n), съответстващ на краката b (\displaystyle b)И a (\displaystyle a), то следните равенства са верни.