По-рано, според програмата, учениците получиха представа за решаването на тригонометрични уравнения, запознаха се с понятията арк косинус и арк синус, примери за решения на уравненията cos t = a и sin t = a. В този видео урок ще разгледаме решението на уравненията tg x = a и ctg x = a.
В началото на изучаването на тази тема разгледайте уравненията tg x = 3 и tg x = - 3. Ако решим уравнението tg x = 3 с помощта на графика, ще видим, че пресечната точка на графиките на функциите y = tg x и y = 3 има безкраен брой решения, където x = x 1 + πk. Стойността x 1 е координатата x на пресечната точка на графиките на функциите y = tg x и y = 3. Авторът въвежда понятието арктангенс: arctg 3 е число, чието tg е 3 и това число принадлежи на интервалът от -π/2 до π/2. Използвайки концепцията за арктангенс, решението на уравнението tan x = 3 може да бъде записано като x = arctan 3 + πk.
По аналогия се решава уравнението tg x \u003d - 3. Според построените графики на функциите y = tg x и y = 3, може да се види, че пресечните точки на графиките и следователно решенията от уравненията, ще бъде x \u003d x 2 + πk. Използвайки дъговата допирателна, решението може да се запише като x = arctan (- 3) + πk. На следващата фигура ще видим, че arctg (- 3) = - arctg 3.
Общата дефиниция на тангенса на дъгата е следната: дъговата тангенс на a е число от интервала от -π / 2 до π / 2, тангенсът на който е a. Тогава решението на уравнението tg x = a е x = arctg a + πk.
Авторът дава пример 1. Намерете решение на израза arctg Нека въведем обозначението: арктангенсът на числото е равен на x, тогава tg x ще бъде равно на даденото число, където x принадлежи на отсечката от -π /2 до π/2. Както в примерите в предишните теми, ще използваме таблица със стойности. Според тази таблица тангенсът на това число съответства на стойността x = π/3. Записваме решението на уравнението на тангенса на дъгата на дадено число, равно на π / 3, π / 3 също принадлежи на интервала от -π / 2 до π / 2.
Пример 2 - Изчислете дъговата тангенс на отрицателно число. Използвайки равенството arctg (- a) = - arctg a, въведете стойността на x. Подобно на пример 2, ние записваме стойността на x, която принадлежи на интервала от -π/2 до π/2. Според таблицата на стойностите намираме, че x = π/3, следователно, -- tg x = - π/3. Отговорът на уравнението е - π/3.
Да разгледаме пример 3. Нека решим уравнението tan x = 1. Нека напишем, че x = arctan 1 + πk. В таблицата стойността на tg 1 съответства на стойността x \u003d π / 4, следователно, arctg 1 \u003d π / 4. Заместете тази стойност в оригиналната формула x и запишете отговора x = π/4 + πk.
Пример 4: изчисляване на tg x = - 4.1. В този случай x = arctg (- 4.1) + πk. Защото не е възможно да се намери стойността на arctg в този случай, отговорът ще изглежда като x = arctg (- 4.1) + πk.
Пример 5 разглежда решението на неравенството tg x > 1. За да го решим, начертаваме графиките на функциите y = tg x и y = 1. Както се вижда на фигурата, тези графики се пресичат в точките x = π /4 + πk. Защото в този случай, tg x > 1, на графиката избираме областта на тангентоида, която е над графиката y = 1, където x принадлежи на интервала от π/4 до π/2. Записваме отговора като π/4 + πk< x < π/2 + πk.
След това разгледайте уравнението ctg x = a. Фигурата показва графики на функции y = ctg x, y = a, y = - a, които имат много пресечни точки. Решенията могат да се запишат като x = x 1 + πk, където x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, където x 2 = arcctg (- a). Отбелязва се, че x 2 \u003d π - x 1. Това означава равенството arcctg (- a) = π - arcctg a. По-нататък се дава дефиницията на котангенса на дъгата: котангенсът на дъгата на a е такова число от интервала от 0 до π, чийто котангенс е равен на a. Решението на уравнението сtg x = a се записва като: x = arcctg a + πk.
В края на видео урока се прави още един важен извод – изразът ctg x = a може да се запише като tg x = 1/a, при условие че a не е равно на нула.
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НА ТЕКСТА:
Помислете за решението на уравненията tg x \u003d 3 и tg x \u003d - 3. Решавайки първото уравнение графично, виждаме, че графиките на функциите y = tg x и y = 3 имат безкрайно много пресечни точки, абсцисите на които записваме във формата
x \u003d x 1 + πk, където x 1 е абсцисата на точката на пресичане на правата y = 3 с основния клон на тангентоида (фиг. 1), за който е измислено обозначението
arctan 3 (дъгова тангенс на три).
Как да разберем arctg 3?
Това е число, чиято тангенс е 3 и това число принадлежи на интервала (-;). Тогава всички корени на уравнението tg x \u003d 3 могат да бъдат записани с формулата x = arctan 3 + πk.
По същия начин решението на уравнението tg x \u003d - 3 може да бъде записано като x = x 2 + πk, където x 2 е абсцисата на точката на пресичане на правата y = 3 с основния клон на тангентоид (фиг. 1), за който обозначението arctg (- 3) (дъга допирателна минус три). Тогава всички корени на уравнението могат да бъдат записани по формулата: x = arctg (-3) + πk. Фигурата показва, че arctg(- 3)= - arctg 3.
Нека формулираме определението на дъговата допирателна. Дъгова тангенс a е такова число от интервала (-;), чиято тангенс е равна на a.
Често се използва равенството: arctg(-a) = -arctg a, което е валидно за всяко a.
Познавайки определението на дъговата допирателна, правим общо заключение за решението на уравнението
tg x \u003d a: уравнението tg x \u003d a има решение x = arctg a + πk.
Помислете за примери.
ПРИМЕР 1. Изчислете arctg.
Решение. Нека arctg = x, тогава tgx = и xϵ (-;). Показване на таблица със стойности Следователно, x =, тъй като tg = и ϵ (- ;).
Така че arctg =.
ПРИМЕР 2 Изчислете арктан (-).
Решение. Използвайки равенството arctg (- a) \u003d - arctg a, пишем:
arctg(-) = - arctg . Нека - arctg = x, след това - tgx = и xϵ (-;). Следователно, x =, тъй като tg = и ϵ (- ;). Покажете таблица със стойности
Така че - arctg=- tgх= - .
ПРИМЕР 3. Решете уравнението tgх = 1.
1. Нека запишем формулата на решението: x = arctg 1 + πk.
2. Намерете стойността на тангенса на дъгата
тъй като tg = . Покажете таблица със стойности
Така че arctg1= .
3. Поставете намерената стойност във формулата за решение:
ПРИМЕР 4. Решете уравнението tgx \u003d - 4.1 (тангенсът x е равен на минус четири точки една десета).
Решение. Нека запишем формулата на решението: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.
Не можем да изчислим стойността на тангенса на дъгата, така че ще оставим решението на уравнението такова, каквото е.
ПРИМЕР 5. Решете неравенството tgх 1.
Решение. Нека го направим графично.
- Нека построим тангентоид
y \u003d tgx и права линия y = 1 (фиг.2). Те се пресичат в точки от вида x = + πk.
2. Изберете интервала на оста x, на който главният клон на тангентоида е разположен над правата линия y = 1, тъй като според условието tgх 1. Това е интервалът (;).
3. Използваме периодичността на функцията.
Свойство 2. y \u003d tg x - периодична функцияс основен период π.
Като вземем предвид периодичността на функцията y = tgx, пишем отговора:
(;). Отговорът може да се запише като двойно неравенство:
Нека да преминем към уравнението ctg x \u003d a. Нека представим графична илюстрация на решението на уравнението за положително и отрицателно a (фиг. 3).
Графики на функции y \u003d ctg x и y = a и
y=ctg x и y=-a
имат безкрайно много общи точки, чиито абциси имат формата:
x = x 1 +, където x 1 е абсцисата на точката на пресичане на правата y = a с основния клон на тангентоида и
x 1 = arcctg a;
x \u003d x 2 +, където x 2 е абсцисата на точката на пресичане на линията
y \u003d - но с главния клон на тангентоида и x 2 \u003d arcсtg (- a).
Имайте предвид, че x 2 = π - x 1. И така, ние записваме важното уравнение:
arcctg (-a) = π - arcctg a.
Нека формулираме определението: котангенсът на дъгата на a е такова число от интервала (0; π), чийто котангенс е равен на a.
Решението на уравнението ctg x \u003d a се записва като: x = arcсtg a +.
Имайте предвид, че уравнението ctg x = a може да бъде преобразувано във формата
tg x = , освен когато a = 0.
В този урок ще продължим изучаването на дъговата тангенс и решението на уравнения от вида tg x = a за всяко a. В началото на урока ще решим уравнението с таблична стойност и ще илюстрираме решението на графиката, а след това на кръга. След това решаваме уравнението tgx = av общ изгледи извличат обща формулаотговор. Нека да илюстрираме изчисленията на графиката и на кръга и да разгледаме различните форми на отговора. В края на урока ще решим няколко задачи с илюстрация на решенията на диаграмата и на кръга.
Тема: Тригонометрични уравнения
Урок: Арктангенс и решаване на уравнението tgx=a (продължение)
1. Тема на урока, въведение
В този урок ще разгледаме решението на уравнението за всяко реално
2. Решение на уравнението tgx=√3
Задача 1. Решете уравнението
Нека намерим решение с помощта на функционални графики 
(Фиг. 1).
Разгледайте интервала На този интервал функцията е монотонна, което означава, че се достига само при една стойност на функцията.
Отговор: 
Нека решим същото уравнение с помощта на числов кръг (фиг. 2).
Отговор: 
3. Решение на уравнението tgx=a в общ вид
Нека решим уравнението в общ вид (фиг. 3).
На интервала уравнението има уникално решение 
Най-малкият положителен период
Нека илюстрираме с числов кръг (фиг. 4).
4. Решаване на проблеми
Задача 2. Решете уравнението
Нека променим променливата
Задача 3. Решете системата:
Решение (фиг. 5):
Следователно в точката стойността е решението на системата е само точката
Отговор: 
Задача 4. Решете уравнението 
Нека решим по метода за промяна на променливата:
Задача 5. Намерете броя на решенията на уравнението на интервала 
Нека решим задачата с помощта на графиката (фиг. 6).
Уравнението има три решения на даден интервал.
Ще илюстрираме с числов кръг (фиг. 7), въпреки че това не е толкова ясно, колкото на графиката.
Отговор: Три решения.
5. Заключение, заключение
Решихме уравнението за всяко реално, използвайки концепцията за дъгова допирателна. В следващия урок ще се запознаем с понятието дъгова допирателна.
Библиография
1. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за образователни институции ( ниво профил) изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Тетрадка за учебни заведения (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математически анализ за 10 клас ( урокза ученици от училища и класове със задълбочено изучаване на математика).-М .: Образование, 1996г.
4. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Задълбочено изследване на алгебрата и математическия анализ.-М.: Образование, 1997.
5. Сборник със задачи по математика за кандидати в технически университети (под редакцията на М.И.Сканави).-М.: Висше училище, 1992г.
6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Алгебричен симулатор.-K.: A. S. K., 1997.
7. Саакян С. М., Голдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебра и началото на анализа (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции). - М.: Образование, 2003.
8. A. P. Karp, Сборник от задачи по алгебра и принципи на анализа: Proc. надбавка за 10-11 клетки. с дълбоко проучване математика.-М.: Образование, 2006.
Домашна работа
Алгебра и началото на анализа, 10 клас (в две части). Тетрадка за учебни заведения (профилно ниво), изд. А. Г. Мордкович. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 22.18, 22.21.
Допълнителни уеб ресурси
1. Математика.
2. Проблеми на интернет портала. ru.
3. Образователен порталда се подготвят за изпити.
За успешно решаване тригонометрични уравненияудобен за използване метод за намаляванекъм вече решени проблеми. Нека да видим каква е същността на този метод?
Във всеки предложен проблем трябва да видите решената по-рано задача и след това, като използвате последователни еквивалентни трансформации, се опитайте да сведете дадения ви проблем до по-прост.
Така че, когато решават тригонометрични уравнения, те обикновено съставят някаква крайна последователност от еквивалентни уравнения, чиято последна връзка е уравнение с очевидно решение. Важно е само да запомните, че ако не се формират уменията за решаване на най-простите тригонометрични уравнения, тогава решаването на по-сложни уравнения ще бъде трудно и неефективно.
Освен това, когато решавате тригонометрични уравнения, никога не трябва да забравяте за възможността за съществуване на няколко решения.
Пример 1. Намерете броя на корените на уравнението cos x = -1/2 на интервала.
Решение:
аз начин.Да построим графиките на функциите y = cos x и y = -1/2 и да намерим броя на общите им точки на интервала (фиг. 1).
Тъй като графиките на функциите имат две общи точки на интервала, уравнението съдържа два корена на този интервал.
II начин.С помощта на тригонометричния кръг (фиг. 2) намираме броя на точките, принадлежащи на интервала, в който cos x = -1/2. Фигурата показва, че уравнението има два корена. 
III начин.Използвайки формулата на корените на тригонометричното уравнение, решаваме уравнението cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k е цяло число (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k е цяло число (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k е цяло число (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k е цяло число (k € Z).
Корените 2π/3 и -2π/3 + 2π принадлежат на интервала, k е цяло число. По този начин уравнението има два корена на даден интервал.
Отговор: 2.
В бъдеще тригонометричните уравнения ще се решават по един от предложените методи, което в много случаи не изключва използването на други методи.
Пример 2. Намерете броя на решенията на уравнението tg (x + π/4) = 1 на интервала [-2π; 2π].
Решение:
Използвайки формулата на корените на тригонометричното уравнение, получаваме:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k е цяло число (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k е цяло число (k € Z);
x = πk, k е цяло число (k € Z);
Интервалът [-2π; 2π] принадлежат към числата -2π; -π; 0; π; 2π. И така, уравнението има пет корена на даден интервал.
Отговор: 5.
Пример 3. Намерете броя на корените на уравнението cos 2 x + sin x cos x = 1 на интервала [-π; π].
Решение:
Тъй като 1 = sin 2 x + cos 2 x (основна тригонометрична идентичност), оригиналното уравнение става:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;
sin x(sin x - cos x) = 0. Произведението е нула, което означава, че поне един от факторите трябва да бъде нула, Ето защо:
sin x = 0 или sin x - cos x \u003d 0.
Тъй като стойността на променливата, при която cos x = 0, не са корените на второто уравнение (синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула по едно и също време), тогава разделяме двете части на второто уравнение по cos x:
sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.
Във второто уравнение използваме факта, че tg x = sin x / cos x, тогава:
sin x = 0 или tg x = 1. Използвайки формули, имаме:
x = πk или x = π/4 + πk, k е цяло число (k € Z).
От първата серия корени до интервала [-π; π] принадлежат към числата -π; 0; π. От втората серия: (π/4 – π) и π/4.
Така петте корена на оригиналното уравнение принадлежат на интервала [-π; π].
Отговор: 5.
Пример 4. Намерете сумата от корените на уравнението tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на интервала [-π; 1.1π].
Решение:
Нека пренапишем уравнението в следната форма:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и направете промяна.
Нека tg x + сtgx = a. Нека квадратираме двете страни на уравнението:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Нека разширим скобите:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .
Тъй като tg x сtgx \u003d 1, тогава tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, което означава
tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.
Сега оригиналното уравнение изглежда така:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Използвайки теоремата на Vieta, получаваме, че a = -1 или a = -2.
Извършвайки обратното заместване, имаме:
tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Нека решим получените уравнения.
tgx + 1/tgx = -1 или tgx + 1/tgx = -2.
Чрез свойството на две взаимно реципрочни числа определяме, че първото уравнение няма корени, а от второто уравнение имаме:
tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k е цяло число (k € Z).
Интервалът [-π; 1,1π] корените принадлежат: -π/4; -π/4 + π. Тяхната сума:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Отговор: π/2.
Пример 5. Намерете средноаритметичната стойност на корените на уравнението sin 3x + sin x = sin 2x на интервала [-π; 0,5π].
Решение:
Използваме формулата sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), тогава
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x и уравнението става
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Изваждаме общия фактор sin 2x от скоби
sin 2x(2cos x - 1) = 0. Нека решим полученото уравнение:
sin 2x = 0 или 2cos x - 1 = 0; 
sin 2x = 0 или cos x = 1/2;
2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k е цяло число (k € Z).
Така имаме корени
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k е цяло число (k ∈ Z).
Интервалът [-π; 0,5π] принадлежат към корените -π; -π/2; 0; π/2 (от първата серия корени); π/3 (от втората серия); -π/3 (от третата серия). Тяхната средна аритметична е:
(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.
Отговор: -π/6.
Пример 6. Намерете броя на корените на уравнението sin x + cos x = 0 на интервала [-1,25π; 2π].
Решение:
Това уравнение е хомогенно уравнение от първа степен. Разделете и двете му части на cosx (стойността на променливата, при която cos x = 0, не са корените на това уравнение, тъй като синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно). Оригиналното уравнение изглежда така:
x = -π/4 + πk, k е цяло число (k € Z).
Разстояние [-1,25π; 2π] имат корени -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).
По този начин три корена на уравнението принадлежат на дадения интервал.
Отговор: 3.
Научете се да правите най-важното - да представите ясно план за решаване на проблема и тогава всяко тригонометрично уравнение ще бъде на вашето рамо.
Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.
Вълново уравнение, частно диференциално уравнение, описващо процеса на разпространение на смущения в определена среда Тихонов А. Н. и Самарски А. А., Уравнения на математическата физика, 3-то изд., М., 1977. - p. 155....
Класификации на хиперболични частни диференциални уравнения
Топлинното уравнение е параболично частно диференциално уравнение, което описва процеса на разпространение на топлина в непрекъсната среда (газ ...
Математически методи, използвани в теорията на масовите системи
Вероятностите на състоянията на системата могат да бъдат намерени от системата от диференциални уравнения на Колмогоров, които се съставят по следното правило: От лявата страна на всяко от тях е производната на вероятността за i-то състояние...
Нестационарно уравнение на Рикати
1. Общото уравнение на Рикати има вида: , (1.1) където P, Q, R са непрекъснати функции на x при промяна на x в интервала. линейно уравнение, когато -уравнението на Бернули...
Основи на научните изследвания и планиране на експерименти в транспорта
Получаваме функционалната зависимост Y = f(X) (регресионно уравнение) с помощта на метода на най-малките квадрати (LSM). Използвайте линейни (Y = a0 + a1X) и квадратични зависимости (Y = a0 + a1X + a2X2) като апроксимиращи функции. Използвайки най-малките квадрати на стойността a0...
Нека поставим полюса на полярната координатна система в началото на правоъгълната координатна система, полярната ос е съвместима с положителната полуос на абсцисата (фиг. 3). Ориз. 3 Да вземем уравнението на права линия в нормална форма: (3.1) - дължината на перпендикуляра ...
Полярна координатна система на равнината
Нека съставим уравнение в полярни координати на окръжност, минаваща през полюса, с център на полярната ос и с радиус R. От правоъгълен триъгълник OAA получаваме OA= OA (фиг. 4)...
Концепции на теорията на извадката. Разпределителни рангове. Корелационен и регресионен анализ
Да се изучават: а) концепцията за сдвоена линейна регресия; б) съставяне на система от нормални уравнения; в) свойства на оценките по метода на най-малките квадрати; г) техника за намиране на уравнение на линейна регресия. Да предположим...
Построяване на решения на диференциални уравнения под формата на степенен ред
Като пример за прилагане на изградената теория, разгледайте уравнението на Бесел: (6.1) Където. единична точка z =0 е редовно. В крайната част на равнината няма други сингулярности. Следователно в уравнение (6.1) дефиниращото уравнение има формата, т.е.
Решение на матрични уравнения
Матричното уравнение XA=B също може да бъде решено по два начина: 1. Изчислете обратна матрицапо някой от известните методи. Тогава решението на матричното уравнение ще изглежда така: 2...
Решение на матрични уравнения
Описаните по-горе методи не са подходящи за решаване на уравнения от вида AX=XB, AX+XB=C. Те също не са подходящи за решаване на уравнения, в които поне един от факторите в неизвестната матрица X е изродена матрица...
Решение на матрични уравнения
Уравнения от вида AX = XA се решават по същия начин, както в предишния случай, тоест елемент по елемент. Решението тук се свежда до намиране на пермутационната матрица. Нека разгледаме по-отблизо един пример. Пример. Намерете всички матрици...
Стационарна работа на диамантова мрежа за опашка
От състоянието може да премине в едно от следните състояния: - поради пристигането на приложението в опашката на първия възел с интензитет; - поради получаването на обработеното в него приложение от първия възел до опашката на третия възел с интензитет при ...
Дъговата тангенс на число е число, чийто синус е a: ако и. Всички корени на уравнението могат да бъдат намерени по формулата: ...
Числени методи за решаване на математически задачи
