Степен с рационален показател

Наборът от рационални числа включва цели и дробни числа.

Определение 1

Степен на число $a$ с цяло число $n$е резултат от умножаването на числото $a$ по себе си $n$ пъти и: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, за $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, за $n

Определение 2

Степен на число $a$ с дробен показател $\frac(m)(n)$се нарича $n$-ти корен от $a$ на степен $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, където $a>0 $, $ n$ е естествено число, $m$ е цяло число.

Определение 3

Степен на нула с дробен показател $\frac(m)(n)$се дефинира по следния начин: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, където $m$ е цяло число, $m>0$, $n$ е естествено номер.

Съществува и друг подход за определяне на степента на число с дробен показател, който показва възможността за съществуване на степен на отрицателно число или отрицателен дробен показател.

Например изразите $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ или $\sqrt((-7)^(-10))$ имат смисъл, следователно и изразите $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ и $(-7)^\frac(-10)(6) $ трябва да има смисъл, докато според дефиницията на степен с показател под формата на дроб с отрицателна основа те не съществуват.

Нека дадем друго определение:

Степен на $a$ с дробен показател $\frac(m)(n)$се нарича $\sqrt[n](a^m)$ в следните случаи:

За всяко реално число $a$, цяло число $m>0$ и нечетно положително цяло число $n$.

Например $13,4^\frac(7)(3)=\sqrt(13,4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8 )$.

За всяко ненулево реално число $a$, цяло число отрицателно $m$ и нечетно $n$.

Например $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt(( -11) ^(-8))$.

За всяко неотрицателно число $a$, положително цяло число $m$ и дори $n$.

Например $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

За всяко положително $a$, цяло число отрицателно $m$ и дори $n$.

Например $13,4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13,4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3 ))$ .

При други условия степента с дробен показател не може да се определи.

Например $(-13,4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13,4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4) = \sqrt((-11)^5)$.

Освен това при прилагането на това определение е важно, че дробен индикатор$\frac(m)(n)$ беше несъкратима дроб.

Сериозността на тази забележка е, че степента на отрицателно число с дробно намален показател, например $\frac(10)(14)$ ще бъде положително число, а степента на същото число с вече намален показател $\frac(5)(7)$ ще бъде отрицателно число.

Например $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$ и $(-1)^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.

По този начин, когато се извърши редукция на дроб $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$, равенството $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^ \ frac(5)(7)$.

Забележка 1

Трябва да се отбележи, че по-често се използва по-удобна и проста първа дефиниция на степента с показател под формата на дроб.

В случай на записване на дробен показател като смесена дроб или десетична дроб, е необходимо да преобразувате показателя във формата на обикновена дроб.

Например $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.

Степен с ирационален и реален показател

ДА СЕ валиденчислата включват рационални и ирационални числа.

Нека анализираме концепцията за степен с ирационален показател, тъй като степен с рационален показател, който разгледахме.

Да разгледаме поредица от приближения на числото $\alpha$, които са рационални числа. Тези. имаме поредица от рационални числа $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, които определят числото $\alpha$ с произволна степен на точност. Ако изчислим степените с тези показатели $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, тогава се оказва, че тези числа са приближения на някакво число $ b$.

Определение 4

Степен $a>0$ с ирационален показател $\alpha$е израз $a^\alpha$, който има стойност, равна на границата на последователността $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, където $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … са последователни десетични приближения на ирационалното число $\alpha$.

Изрази, преобразуване на изрази

Степенен израз (изрази със степен) и тяхното преобразуване

В тази статия ще говорим за трансформиране на изрази със степени. Първо, ще се съсредоточим върху трансформациите, които се извършват с изрази от всякакъв вид, включително изрази на степен, като отваряне на скоби, намаляване на подобни термини. И тогава ще анализираме трансформациите, присъщи конкретно на изразите със степени: работа с основата и показателя, използване на свойствата на степените и т.н.

Навигация в страницата.

Какво представляват мощностните изрази?

Терминът "изрази на мощност" практически не се среща в училищните учебници по математика, но често се появява в колекции от задачи, специално предназначени за подготовка за Единния държавен изпит и OGE, например. След анализиране на задачи, в които се изисква да се извършват каквито и да било действия със степенни изрази, става ясно, че степенните изрази се разбират като изрази, съдържащи степени в своите записи. Следователно за себе си можете да приемете следното определение:

Определение.

Силови изразиса изрази, съдържащи степени.

Да донесем примери за степенни изрази. Освен това ще ги представим според това как протича развитието на възгледите от степен с естествен показател към степен с реален показател.

Както знаете, първо се запознавате със степента на число с естествен показател, на този етап първите най-прости степенни изрази от вида 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.н.

Малко по-късно се изучава степента на число с цяло число, което води до появата на степенни изрази с цели отрицателни степени, като следното: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

В старшите класове отново се връщат към степените. Там се въвежда степен с рационален показател, което води до появата на съответните степенни изрази: , , и така нататък. Накрая се разглеждат степени с ирационални показатели и изрази, които ги съдържат: , .

Въпросът не се ограничава до изброените степенни изрази: по-нататък променливата прониква в експонентата и има например такива изрази 2 x 2 +1 или . И след като се запознаете, започват да се появяват изрази със степени и логаритми, например x 2 lgx −5 x lgx.

И така, разбрахме въпроса какво представляват изразите на мощност. След това ще научим как да ги трансформираме.

Основните видове трансформации на степенни изрази

Със степенни изрази можете да извършите всяка от основните трансформации на идентичност на изрази. Например можете да разширите скоби, да замените числови изрази с техните стойности, да добавите подобни термини и т.н. Естествено, в този случай е необходимо да се следва приетата процедура за извършване на действия. Да дадем примери.

Пример.

Изчислете стойността на степенния израз 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според реда на действията първо изпълняваме действията в скоби. Там, първо, заместваме степента на 4 2 с неговата стойност 16 (вижте, ако е необходимо), и второ, изчисляваме разликата 16−12=4 . Ние имаме 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

В получения израз заместваме степента на 2 3 с неговата стойност 8 , след което изчисляваме произведението 8·4=32 . Това е желаната стойност.

Така, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Отговор:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Пример.

Опростете мощностните изрази 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очевидно този израз съдържа подобни членове 3 · a 4 · b − 7 и 2 · a 4 · b − 7 и можем да ги редуцираме: .

Отговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз със степени като произведение.

Решение.

Справянето със задачата позволява представянето на числото 9 като степен на 3 2 и последващото използване на формулата за съкратено умножение, разликата на квадратите:

Отговор:

Съществуват и редица идентични трансформации, присъщи на изразите на мощност. След това ще ги анализираме.

Работа с основа и експонента

Има степени, в основата и / или индикатора на които не са просто числа или променливи, а някои изрази. Като пример, нека запишем (2+0,3 7) 5−3,7 и (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

При работа с такива изрази е възможно да се замени както изразът в основата на степента, така и изразът в индикатора с идентично равен израз върху DPV на неговите променливи. С други думи, по известните ни правила можем отделно да преобразуваме основата на степента, а отделно – индикатора. Ясно е, че в резултат на това преобразуване се получава израз, който е идентично равен на първоначалния.

Такива трансформации ни позволяват да опростим изрази със способности или да постигнем други цели, от които се нуждаем. Например в израза на степен (2+0,3 7) 5−3,7, споменат по-горе, можете да извършвате операции с числа в основата и степента, което ще ви позволи да отидете на степен 4,1 1,3. И след отваряне на скобите и привеждане на подобни членове в основата на степента (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) получаваме степенен израз на по-проста форма a 2·(x+1 ) .

Използване на Power Properties

Един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени са равенствата, които отразяват . Нека си припомним основните. За всякакви положителни числа a и b и произволни реални числа r и s имат следните свойства на степени:

• a r a s =a r+s;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s.

Обърнете внимание, че за естествени, цели и положителни показатели ограниченията върху числата a и b може да не са толкова строги. Например за естествените числа m и n равенството a m ·a n =a m+n е вярно не само за положителни a , но и за отрицателни, и за a=0 .

В училище основното внимание при трансформирането на силовите изрази е насочено именно към способността да се избере подходящото свойство и да се приложи правилно. В този случай основите на степените обикновено са положителни, което ви позволява да използвате свойствата на степените без ограничения. Същото важи и за трансформацията на изрази, съдържащи променливи в основите на степени - обхватът на приемливите стойности на променливите обикновено е такъв, че базите приемат само положителни стойности върху него, което ви позволява свободно да използвате свойствата от степени. Като цяло трябва постоянно да се питате дали е възможно да приложите някакво свойство на степени в този случай, тъй като неточното използване на свойства може да доведе до стесняване на ODZ и други проблеми. Тези точки са разгледани подробно и с примери в статията трансформация на изрази, използващи свойствата на степените. Тук се ограничаваме до няколко прости примера.

Пример.

Изразете израза a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 като степен с основа a .

Решение.

Първо, трансформираме втория множител (a 2) −3 чрез свойството за повишаване на степен на степен: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. В този случай първоначалният израз за мощност ще приеме формата a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно остава да използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа, която имаме
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Отговор:

a 2,5 (a 2) -3: a -5,5 \u003d a 2.

Свойствата на степента се използват при трансформиране на изрази на степен както отляво надясно, така и отдясно наляво.

Пример.

Намерете стойността на степенния израз.

Решение.

Равенството (a·b) r =a r ·b r , приложено отдясно наляво, ви позволява да преминете от оригиналния израз към произведението на формата и по-нататък. И при умножаване на степени с една и съща основа, показателите се сумират: .

Възможно е да се извърши трансформацията на оригиналния израз по друг начин:

Отговор:

.

Пример.

Даден е степенен израз a 1,5 −a 0,5 −6 , въведете нова променлива t=a 0,5 .

Решение.

Степента a 1.5 може да бъде представена като 0.5 3 и по-нататък въз основа на свойството на степента в степента (a r) s =a r s, приложена отдясно наляво, да го преобразува във формата (a 0.5) 3 . По този начин, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Сега е лесно да се въведе нова променлива t=a 0,5 , получаваме t 3 −t−6 .

Отговор:

t 3 −t−6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Изразите на степен могат да съдържат дроби със степени или да представляват такива дроби. Всяка от основните трансформации на дроби, които са присъщи на всякакъв вид дроби, е напълно приложима за такива дроби. Тоест, дроби, които съдържат степени, могат да бъдат намалени, намалени до нов знаменател, да работят отделно с числителя си и отделно със знаменателя и т.н. За да илюстрирате горните думи, разгледайте решенията на няколко примера.

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

Този израз на мощност е дроб. Нека работим с неговия числител и знаменател. В числителя отваряме скобите и опростяваме получения след това израз, използвайки свойствата на степените, а в знаменателя представяме подобни термини:

И също така променяме знака на знаменателя, като поставяме минус пред дробта: .

Отговор:

.

Намаляването на съдържащите се степени на дроби до нов знаменател се извършва подобно на редуцирането до нов знаменател рационални дроби. В същото време се намира и допълнителен фактор и числителят и знаменателят на дробта се умножават по него. Когато извършвате това действие, си струва да запомните, че намаляването до нов знаменател може да доведе до стесняване на DPV. За да се предотврати това да се случи, е необходимо допълнителният фактор да не изчезва за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример.

Приведете дробите към нов знаменател: а) към знаменателя а, б) към знаменателя.

Решение.

а) В този случай е доста лесно да се разбере какъв допълнителен фактор помага за постигане на желания резултат. Това е фактор a 0,3, тъй като a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Обърнете внимание, че в диапазона от приемливи стойности на променливата a (това е наборът от всички положителни реални числа), степента a 0,3 не изчезва, следователно имаме право да умножим числителя и знаменателя на дадената дроб от този допълнителен фактор:

б) Вглеждайки се по-внимателно в знаменателя, намираме това

и умножаването на този израз по ще даде сумата от кубове и , т.е. И това е новият знаменател, към който трябва да доведем първоначалната дроб.

Така че открихме допълнителен фактор. Изразът не изчезва в диапазона от приемливи стойности на променливите x и y, следователно можем да умножим числителя и знаменателя на фракцията по него:

Отговор:

а) , б) .

Също така няма нищо ново в намаляването на дроби, съдържащи степени: числителят и знаменателят са представени като определен брой множители, а същите множители на числителя и знаменателя са намалени.

Пример.

Намалете дроба: а) , б).

Решение.

а) Първо, числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с числата 30 и 45, което е равно на 15. Освен това, очевидно, можете да намалите с x 0,5 +1 и с . Ето какво имаме:

б) В този случай едни и същи множители в числителя и знаменателя не се виждат веднага. За да ги получите, трябва да извършите предварителни трансформации. В този случай те се състоят в разлагане на знаменателя на множители според формулата за разликата на квадратите:

Отговор:

а)

б) .

Намаляването на дроби до нов знаменател и намаляването на дроби се използва главно за извършване на операции с дроби. Действията се извършват по известни правила. При събиране (изваждане) на дроби те се свеждат до общ знаменател, след което числителите се добавят (изваждат), а знаменателят остава същият. Резултатът е дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите. Делението с дроб е умножение по нейната реципрочна стойност.

Пример.

Следвай стъпките .

Решение.

Първо, изваждаме дробите в скоби. За да направим това, ги привеждаме към общ знаменател, който е , след това извадете числителите:

Сега умножаваме дроби:

Очевидно е възможно намаление със степен x 1/2, след което имаме .

Можете също така да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: .

Отговор:

Пример.

Опростете Power Expression .

Решение.

Очевидно тази дроб може да бъде намалена с (x 2,7 +1) 2, това дава дробта . Ясно е, че трябва да се направи нещо друго със степените на x. За да направите това, ние преобразуваме получената фракция в продукт. Това ни дава възможност да използваме свойството за деление на степени с еднакви бази: . И в края на процеса, от който преминаваме последна работакъм фракцията.

Отговор:

.

И добавяме, че е възможно и в много случаи желателно да се прехвърлят множители с отрицателни показатели от числителя към знаменателя или от знаменателя към числителя чрез промяна на знака на степента. Такива трансформации често опростяват по-нататъшни действия. Например, степенен израз може да бъде заменен с .

Преобразуване на изрази с корени и степени

Често в изрази, в които се изискват някои трансформации, наред със степени с дробни показатели има и корени. За да преобразувате такъв израз в желаната форма, в повечето случаи е достатъчно да преминете само към корени или само към степени. Но тъй като е по-удобно да се работи със степени, те обикновено се преместват от корени към степени. Въпреки това е препоръчително да се извърши такъв преход, когато ODZ на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да имате достъп до модула или да разделите ODZ на няколко интервала (обсъдихме това подробно в член, преход от корени към степени и обратно След запознаване със степента с рационален показател се въвежда степен с ирационален показател, което позволява да се говори за степен с произволен реален показател. На този етап, училището започва да учи експоненциална функция, което аналитично е дадено от степента, в основата на която стои число, а в показателя - променлива. Така се сблъскваме със степенни изрази, съдържащи числа в основата на степента, а в степента - изрази с променливи, и естествено възниква необходимостта да се извършват трансформации на такива изрази.

Трябва да се каже, че трансформацията на изрази от посочения тип обикновено трябва да се извърши при решаването експоненциални уравненияИ експоненциални неравенстваи тези трансформации са доста прости. В по-голямата част от случаите те се основават на свойствата на степента и са насочени най-вече към въвеждане на нова променлива в бъдеще. Уравнението ще ни позволи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Първо, показателите, в чиито показатели се намира сумата на някаква променлива (или израз с променливи) и число, се заменят с продукти. Това се отнася за първия и последния член на израза от лявата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

След това двете страни на равенството се разделят на израза 7 2 x , който приема само положителни стойности на ODZ променливата x за оригиналното уравнение (това е стандартна техника за решаване на уравнения от този вид, не говорим за сега, така че се фокусирайте върху последващите трансформации на изрази със степени):

Сега дробите със степени се анулират, което дава .

И накрая, съотношението на степените с еднакви показатели се заменя със степените на отношенията, което води до уравнението , което е еквивалентно на . Направените трансформации ни позволяват да въведем нова променлива, която редуцира решението на първоначалното експоненциално уравнение до решението на квадратното уравнение

И. В. Бойков, Л. Д. РомановаСборник задачи за подготовка за изпит. Част 1. Пенза 2003 г.

Изразът a n (степен с цяло число) ще бъде дефиниран във всички случаи, с изключение на случая, когато a = 0 и n е по-малко или равно на нула.

Свойства на степента

Основните свойства на степените с цяло число:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n \u003d a (m-n) (с ане е равно на нула);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n * b n;

(a/b) n = (a n)/(b n) (за bне е равно на нула);

a 0 = 1 (когато ане е равно на нула);

Тези свойства ще бъдат валидни за всякакви числа a, b и всякакви цели числа m и n. Заслужава да се отбележи и следното свойство:

Ако m>n, тогава a m > a n, за a>1 и a m

Възможно е да се обобщи понятието степен на число за случаите, когато рационалните числа действат като експоненти. В същото време бих искал всички горни свойства да бъдат изпълнени или поне някои от тях.

Например, ако се изпълни свойството (a m) n = a (m*n), следното равенство ще бъде вярно:

(a (m/n)) n = a m.

Това равенство означава, че числото a (m/n) трябва да бъде n-тият корен на числото a m.

Степента на някакво число a (по-голямо от нула) с рационален показател r = (m/n), където m е някакво цяло число, n е някакво естествено число, по-голямо от едно, се нарича число n√(a m). Въз основа на определението: a (m/n) = n√(a m).

За всички положителни r ще се определи степента на нула. По дефиниция 0 r = 0. Отбелязваме също, че за всяко цяло число, всяко естествено m и n и положително Авярно е следното равенство: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Например: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .

Дефиницията на степен с рационален показател директно предполага факта, че за всяко положително a и всяко рационално r числото a r ще бъде положителен.

Основни свойства на степен с рационален показател

За всякакви рационални числа p, q и всяко a>0 и b>0 са верни следните равенства:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Тези свойства следват от свойствата на корените. Всички тези свойства се доказват по подобен начин, така че се ограничаваме до доказването само на едно от тях, например първото (a p)*(a q) = a (p + q) .

Нека p = m/n и q = k/l, където n, l са някои естествени числа, а m, k са някои цели числа. След това трябва да докажете, че:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Първо, привеждаме дробите m/n k/l към общ знаменател. Получаваме дробите (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Пренаписваме лявата страна на уравнението, като използваме тези обозначения и получаваме:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Видео урокът "Степен с рационален показател" съдържа нагледно учебен материалда преподавам по тази тема. Видеоурокът съдържа информация за концепцията за степен с рационален показател, свойства на такива степени, както и примери, описващи използването на учебен материал за решаване на практически задачи. Задачата на този видео урок е нагледно и ясно да представи учебния материал, да улесни неговото разработване и запомняне от учениците, да формира способността за решаване на проблеми, използвайки изучените понятия.

Основните предимства на видео урока са възможността за извършване на визуални трансформации и изчисления, възможността за използване на анимационни ефекти за подобряване на ефективността на обучението. Гласовият съпровод помага за развитието на правилната математическа реч, а също така дава възможност да се замени обяснението на учителя, освобождавайки го за самостоятелна работа.

Видео урокът започва с представяне на темата. Свързване на изследване нова темас предишния изучен материал се предлага да си припомним, че n √ a иначе се означава с 1/n за естествено n и положително a. Това представяне на n-корена се показва на екрана. Освен това се предлага да се разгледа какво означава изразът a m / n, в който a е положително число, а m / n е някаква дроб. Дефиницията на степента, подчертана в полето, е дадена с рационален показател като a m/n = n √ a m . Отбелязва се, че n може да бъде естествено числои m е цяло число.

След определяне на степента с рационален показател, нейното значение се разкрива чрез примери: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Показан е също пример, в който степента, представена от десетичен знак, се преобразува в обикновена дроб, за да бъде представена като корен: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример с отрицателна стойност на показателя: 3 -1 / 8 \u003d 8 √3 -1.

Отделно се посочва характеристика на конкретен случай, когато основата на степента е нула. Отбелязва се, че тази степен има смисъл само с положителен дробен показател. В този случай стойността му е равна на нула: 0 m/n =0.

Отбелязва се още една особеност на степента с рационален показател - че степента с дробен показател не може да се разглежда с дробен показател. Дадени са примери за неправилно записване на степента: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

По-нататък във видео урока се разглеждат свойствата на степен с рационален показател. Отбелязва се, че свойствата на степен с цяло число ще бъдат валидни и за степен с рационален показател. Предлага се да се припомни списъкът с имоти, които също са валидни в този случай:

1. При умножаване на мощности с еднакви основи, техните показатели се сумират: a p a q \u003d a p + q.
2. Делението на степени с еднакви основи се свежда до степен с дадена основа и разлика в показателите: a p:a q =a p-q .
3. Ако повдигнем степента до определена степен, тогава в резултат получаваме степента с дадената основа и произведението на показателите: (a p) q =a pq .

Всички тези свойства са валидни за степени с рационални показатели p, q и положителна основа a>0. Също така трансформациите на степени остават верни при отваряне на скоби:

1. (ab) p =a p b p - повдигането на произведение от две числа на определена степен с рационален показател се свежда до произведение на числа, всяко от които е повдигнато на дадена степен.
2. (a/b) p =a p /b p - степенуването с рационален показател на дроб се свежда до дроб, чийто числител и знаменател са повдигнати на дадена степен.

Във видеоурока се разглежда решаването на примери, които използват разгледаните свойства на степени с рационален показател. В първия пример се предлага да се намери стойността на израз, който съдържа променливите x на дробна степен: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Въпреки сложността на израза, използвайки свойствата на градусите, той се решава доста просто. Решението на задачата започва с опростяване на израза, което използва правилото за повишаване на степен с рационален показател на степен, както и умножение на степени с една и съща основа. След като заместим дадената стойност x=8 в опростения израз x 1/3 +48, ​​лесно се получава стойността - 50.

Във втория пример се изисква да се намали дроб, чийто числител и знаменател съдържат степени с рационален показател. Използвайки свойствата на степента, ние избираме фактора x 1/3 от разликата, който след това се намалява в числителя и знаменателя, и използвайки формулата за разликата на квадратите, числителят се разлага на фактори, което дава повече намаления на същите множители в числителя и знаменателя. Резултатът от такива трансформации е къса дроб x 1/4 +3.

Видео урокът "Степен с рационален показател" може да се използва вместо учителя да обяснява новата тема на урока. Също така това ръководство съдържа достатъчно информация за самоподготовкастудент. Материалът може да бъде полезен при дистанционно обучение.

MBOU "Sidorskaya

общообразователно училище"

Разработване на план-конспект открит урок

по алгебра в 11 клас на тема:

Подготвен и проведен

учител по математика

Исхакова Е.Ф.

Конспект на открит урок по алгебра в 11 клас.

Предмет : "Степен с рационален показател".

Тип урок : Учене на нов материал

Цели на урока:

Да запознае учениците с концепцията за степен с рационален показател и неговите основни свойства, въз основа на предварително изучен материал (степен с целочислен показател).

Развийте изчислителни умения и способността да преобразувате и сравнявате числа с рационален показател.

Да възпитава математическа грамотност и математически интерес у учениците.

Оборудване : Карти със задачи, презентация на ученик върху степен с целочислен показател, презентация на учител върху степен с рационален показател, лаптоп, мултимедиен проектор, екран.

По време на часовете:

Организиране на времето.

Проверка на усвояването на темата, обхваната от индивидуални карти със задачи.

Задача номер 1.

=2;

Б) = x + 5;

Решете системата ирационални уравнения: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Задача номер 2.

Решете ирационалното уравнение: = - 3;

Б) = х - 2;

Решете система от ирационални уравнения: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Представяне на темата и целите на урока.

Темата на днешния ни урок Степен с рационален показател».

Обяснение на нов материал на примера на вече изучен.

Вече сте запознати с концепцията за степен с цяло число. Кой може да ми помогне да ги запомня?

Повторение с презентация Степен с цяло число».

За произволни числа a , b и произволни цели числа m и n са верни равенствата:

a m * a n = a m + n;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn;

(a b) n = a n * b n;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Днес ще обобщим концепцията за степента на числото и ще осмислим изразите, които имат дробен показател. Нека се запознаем определениестепени с рационален показател (Презентация "Степен с рационален показател"):

Степента на a > 0 с рационален показател r = , Където м е цяло число и н - естествен ( н > 1), наречен номер м .

Така че, по дефиниция, получаваме това = м .

Нека се опитаме да приложим това определение, когато изпълняваме задача.

ПРИМЕР #1

Изразявам като корен на число израза:

а) Б) IN) .

Сега нека се опитаме да приложим това определение в обратен ред

II Изразете израза като степен с рационален показател:

а) 2 Б) IN) 5 .

Степента на 0 е дефинирана само за положителни степени.

0 r= 0 за всеки r> 0.

Използвайки това определение, къщище завършите #428 и #429.

Нека сега покажем, че горната дефиниция на степен с рационален показател запазва основните свойства на степените, които са верни за всеки показател.

За всякакви рационални числа r и s и всякакви положителни a и b равенствата са верни:

1 0 . а r а с =а r+s ;

ПРИМЕР: *

20. a r: a s =a r-s;

ПРИМЕР: :

3 0 . (a r) s = a rs;

ПРИМЕР: ( -2/3

4 0 . ( аб) r = а r b r ; 5 0 . ( = .

ПРИМЕР: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ПРИМЕР за използване на няколко свойства наведнъж: * : .

Физкултминутка.

Сложихме химикалки на бюрото, изправихме гърбовете и сега се протягаме напред, искаме да докоснем дъската. И сега повдигнахме и се наклонихме надясно, наляво, напред, назад. Показаха ми химикалките, а сега ми покажи как могат да танцуват пръстите ти.

Работете върху материала

Отбелязваме още две свойства на степените с рационални показатели:

60 . Позволявам r е рационално число и 0< a < b . Тогда

а r < b rпри r> 0,

а r < b rпри r< 0.

7 0 . За всякакви рационални числаrИ сот неравенство r> сследва това

а r> а rза a > 1,

а r < а rна 0< а < 1.

ПРИМЕР: Сравнете числата:

И ; 2 300 и 3 200 .

Обобщение на урока:

Днес в урока си спомнихме свойствата на степен с цяло число, научихме определението и основните свойства на степен с рационален показател, разгледахме приложението на този теоретичен материал на практика при изпълнение на упражнения. Искам да ви обърна внимание, че темата "Степен с рационален показател" е задължителна в ИЗПОЛЗВАЙТЕ задания. В подготовка домашна работа (№ 428 и № 429