Сред законите за разпределение на дискретни случайни променливи най-често срещаният е биномиалният закон за разпределение. Биномиалното разпределение възниква при следните условия. Нека случайна променлива е броят на случванията на някакво събитие в независими опити; вероятността за възникване в индивидуален опит е равна на . Тази случайна променлива е дискретна случайна променлива, нейните възможни стойности са . Вероятността една случайна променлива да приеме стойност се изчислява с помощта на формулата на Бернули: .
Определение 15.Законът за разпределение на дискретна случайна променлива се нарича биномиален закон за разпределение, ако вероятностите на стойностите на случайната променлива се изчисляват с помощта на формулата на Бернули. Серията за разпространение ще изглежда така:
Нека се уверим, че сумата от вероятностите на различни стойности на случайна променлива е равна на 1. Наистина,
Тъй като тези изчисления доведоха до биномиалната формула на Нютон, следователно законът за разпределение се нарича биномен. Ако една случайна променлива има биномиално разпределение, нейните числени характеристики се намират с помощта на формулите:
(42)
(43)
Пример 15.Има партида от 50 части. Вероятност за дефекти на една част. Нека случайната променлива е броят на дефектните части в дадена партида. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дадена случайна променлива. Решение.Случайната променлива има биномиално разпределение, тъй като вероятността тя да приеме стойност се изчислява с помощта на формулата на Бернули. Тогава неговото математическо очакване се намира по формула (41), а именно, ; намираме дисперсията по формула (42): . Тогава стандартното отклонение ще бъде равно на . Въпрос.Закупени са 200 лотарийни билета, вероятността да спечелите един билет е 0,01. Тогава средният брой лотарийни билети, на които ще се паднат печалбите, е: а) 10; б) 2; в 20; г) 1.
Закон за разпределение на Поасон
При решаването на много практически проблеми трябва да се работи с дискретни случайни променливи, които се подчиняват на закона за разпределение на Поасон. Типични примери за случайна величина с разпределение на Поасон са: броят на повикванията на телефонна централа за определен период от време; броят на отказите на сложното оборудване за време, ако е известно, че отказите са независими един от друг и средно има откази за единица време.Разпределителната серия ще има формата:
Тоест вероятността една случайна променлива да приеме стойност се изчислява с помощта на формулата на Поасон: следователно този закон се нарича закон на разпределение на Поасон. Случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, има следните числени характеристики:
Разпределението на Поасон зависи от един параметър, който е математическото очакване на случайната променлива. Фигура 14 показва обща формаПолигон на разпределение на Поасон за различни стойности на параметъра.
Разпределението на Поасон може да се използва като приближение в случаите, когато точното разпределение на случайната променлива е биномното разпределение, броят на опитите е голям и вероятността събитие да се случи в отделно изпитване е малка, следователно законът за разпределение на Поасон се нарича закон на редките събития. И също така, ако математическото очакване се различава малко от дисперсията, т.е. когато . В това отношение разпределението на Поасон има голям брой различни приложения. Пример 16.Заводът изпраща 500 продукта с добро качество в базата. Вероятността продуктът да бъде повреден при транспортиране е 0,002. Намерете математическото очакване на броя на частите, повредени по време на транспортиране. Решение.Случайната променлива има разпределение на Поасон, следователно . Въпрос.Вероятността символът да бъде изкривен при предаване на съобщение е 0,004. За да бъде средният брой повредени символи равен на 4, трябва да бъдат предадени 100 символа.
– броят на момчетата на 10 новородени.
Абсолютно ясно е, че този брой не е известен предварително и следващите десет родени деца може да включват:
Или момчета - един и единственот изброените опции.
И за да поддържате форма, малко физическо възпитание:
– скок на дължина (в някои единици).
Дори майстор на спорта не може да го предвиди :)
Вашите хипотези обаче?
2) Непрекъсната случайна променлива – приема всичкочислени стойности от някакъв краен или безкраен интервал.
Забележка : В учебна литературапопулярните съкращения DSV и NSV
Първо, нека анализираме дискретната случайна променлива, след това - непрекъснато.
Закон за разпределение на дискретна случайна величина
- Това кореспонденциямежду възможните стойности на това количество и техните вероятности. Най-често законът е написан в таблица: 
Терминът се среща доста често ред
разпространение, но в някои ситуации звучи двусмислено и затова ще се придържам към "закона".
И сега много важен момент: тъй като случайната променлива Задължителноще приеме една от ценностите, тогава се формират съответните събития пълна групаи сумата от вероятностите за тяхното възникване е равна на единица:
или, ако е написано съкратено:
Така например има законът за разпределение на вероятностите за точки, хвърлени на зара следващ изглед:
Без коментари.
Може да останете с впечатлението, че дискретна случайна променлива може да приема само „добри“ цели числа. Нека разсеем илюзията - те могат да бъдат всякакви:
Пример 1
Някои игри имат следния печеливш закон за разпределение: 
...сигурно отдавна си мечтаете за такива задачи :) Ще ви издам една тайна - аз също. Особено след приключване на работата по теория на полето.
Решение: тъй като една случайна променлива може да приеме само една от трите стойности, се формират съответните събития пълна група, което означава, че сумата от техните вероятности е равна на едно: 
Разобличаване на „партизанина”: 
– по този начин вероятността да спечелите конвенционални единици е 0,4.
Контрол: това е, което трябваше да се уверим.
Отговор:
Не е необичайно, когато трябва сами да съставите закон за разпределение. За това те използват класическо определение на вероятността, теореми за умножение/събиране за вероятности за събитияи други чипове тервера:
Пример 2
Кутията съдържа 50 лотарийни билета, сред които 12 са печеливши, като 2 от тях печелят по 1000 рубли, а останалите - по 100 рубли. Съставете закон за разпределение на случайна величина - размера на печалбата, ако един билет е изтеглен на случаен принцип от кутията.
Решение: както забелязахте, стойностите на случайна променлива обикновено се поставят в във възходящ ред. Затова започваме с най-малките печалби, а именно рубли.
Такива билетчета са общо 50 - 12 = 38, а съгл класическа дефиниция:
– вероятността произволно изтеглен билет да бъде губещ.
В други случаи всичко е просто. Вероятността да спечелите рубли е:
Проверка: – и това е особено приятен момент от такива задачи!
Отговор: желания закон за разпределение на печалбите: 
Следваща задача за независимо решение:
Пример 3
Вероятността стрелецът да уцели целта е . Начертайте закон за разпределение на случайна променлива - брой попадения след 2 изстрела.
...Знаех си, че ти липсва :) Да си припомним теореми за умножение и събиране. Решението и отговорът са в края на урока.
Законът за разпределение напълно описва случайна променлива, но на практика може да бъде полезно (а понякога и по-полезно) да знаете само част от нея числови характеристики .
Очакване на дискретна случайна променлива
С прости думи, това е средна очаквана стойносткогато тестването се повтаря многократно. Нека случайната променлива приема стойности с вероятности 
съответно. Тогава математическото очакване на тази случайна променлива е равно на сбор от продуктитевсички негови стойности към съответните вероятности:
или свито: 
Нека изчислим, например, математическото очакване на случайна променлива - броя точки, хвърлени на зара:
Сега нека си припомним нашата хипотетична игра: 
Възниква въпросът: изгодно ли е изобщо да играете тази игра? ...кой има впечатления? Така че не можете да го кажете „на ръце“! Но на този въпрос може лесно да се отговори чрез изчисляване на математическото очакване, по същество - среднопретеглена стойностпо вероятност за печалба:
По този начин, математическото очакване на тази игра губещ.
Не вярвайте на впечатленията си - вярвайте на числата!
Да, тук можете да спечелите 10 или дори 20-30 пъти подред, но в дългосрочен план ни очаква неизбежна гибел. И не бих те посъветвал да играеш такива игри :) Е, може би само за забавление.
От всичко по-горе следва, че математическото очакване вече не е СЛУЧАЙНА стойност.
Творческа задача за самостоятелно изследване:
Пример 4
Г-н X играе европейска рулетка по следната система: той постоянно залага 100 рубли на „червено“. Съставете закон за разпределение на случайна променлива - нейните печалби. Изчислете математическото очакване на печалбите и го закръглете до най-близката копейка. Колко средно аритметичноИграчът губи ли за всеки сто, който е заложил?
справка : Европейската рулетка съдържа 18 червени, 18 черни и 1 зелен сектор („нула“). Ако се появи „червено“, на играча се изплаща двоен залог, в противен случай той отива към приходите на казиното
Има много други системи за рулетка, за които можете да създадете свои собствени вероятностни таблици. Но това е случаят, когато не се нуждаем от закони за разпределение или таблици, защото е установено със сигурност, че математическото очакване на играча ще бъде точно същото. Единственото нещо, което се променя от система на система е
9. Очакване и дисперсия на непрекъснати случайни променливи
Нека непрекъсната случайна променлива хдадена от плътността на разпределение f(х) .
Определение 9.1: Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива х, [ а, b]
вол, Че
коментар:Приема се, че неправилният интеграл се сближава абсолютно, т.е. съществува интеграл 
Определение 9.2: Дисперсия на непрекъсната случайна променлива х, възможни стойности, които принадлежат към сегмента [ а, b] , наречен определен интеграл
Ако е възможно, стойностите принадлежат на цялата ос вол, Че
защото д(х) = М(х 2 ) – [ М(х)] 2 , тогава можете да използвате следните формули за изчисляване на дисперсията:
или
.
коментар:Свойствата на математическото очакване и дисперсията на дискретните случайни променливи се запазват и за непрекъснатите променливи.
Стандартно отклонение на непрекъсната случайна променливасе дефинира подобно на дискретния случай:
.
10. Типични разпределения на непрекъснати случайни променливи
10.1. Равномерно разпределение
Определение 10.1: Разпределение на вероятноститеНаречен униформа, ако в интервала, към който принадлежат всички възможни стойности на случайната променлива, плътността на разпределение остава постоянна.
Пример.Мащаб измерващ инструментзавършил някои звена. Грешката при закръгляване на показанието до най-близкото цяло деление може да се счита за случайна променлива х, което може да приеме, с постоянна плътност на вероятността, всяка стойност между две съседни целочислени деления. По този начин, х има равномерно разпределение.
Нека намерим плътността равномерно разпределение f(х) :
По условие, хне приема стойности извън интервала (а, b), Ето защо f(х)=0 при х аИ х > b.
Нека намерим константа ° Сот условието, че 
. Тогава 
.
Оттук 
.
И така, желаната плътност на вероятността за равномерно разпределение има формата:
Функцията на разпределение на вероятността на еднородна случайна променлива има формата:
За случайна променлива х, равномерно разпределени в интервала ( а, b), вероятността за попадане във всеки интервал ( х 1
,
х 2
), лежащ вътре в интервала ( а, b), е равно на: 
, тоест зависи от дължината на интервала, а не от това къде се намира.
Графиката на равномерното разпределение на плътността изглежда така:
Функцията на разпределение на равномерна случайна променлива има формата:
Пример:Нека намерим математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на непрекъсната случайна променлива х, разпределени равномерно в интервала (а, b).
Решение:Като вземем предвид равномерната плътност на разпределение, получаваме:
Накрая разбираме това
.
Стандартно отклонение 
.
коментар:Например ако х– случайна променлива, разпределена равномерно в интервала (0,1)
, Че 
,
,
.
10.2. Нормално (гаусово) разпределение
Определение 10.2: нормалное вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива, което се описва със следната вероятностна плътност:
, Където 
.
Графика на функция f(х) има следната форма:
Графиката на плътността на нормално разпределение се нарича нормална криваили Гаусова крива.
Нормалното разпределение се определя от два параметъра: 
И 
. Вероятностното значение на тези параметри е следното: има математическо очакване, - стандартното отклонение на нормалното разпределение, т.е. 
И 
.
Графиката на функцията на разпределение на нормална случайна променлива има следния вид:
коментар:
Стандартно нормалноили нормализираннаречено нормално разпределение с параметри 
И 
. Например ако хе нормална стойност с параметри и , тогава 
- стандартна нормална стойност, и 
И 
. Плътността на стандартното нормално разпределение има формата
.
Тази функция е представена в таблица (вижте Приложение 1).
Разпределителна функция 
нормалното разпределение има формата:
.
Функцията на разпределение на стандартното нормално разпределение има формата:
.
коментар:
.
коментар:Вероятност за достигане на стандартна нормална стойност хв интервала (0 ,
х)
може да се намери с помощта на Функция на Лаплас
:
,
И 
.
функция 
таблично (вижте Приложение 2).
Влияние на параметрите на нормалното разпределение върху формата на нормалната крива
Промяната на стойността на параметъра (математическо очакване) не променя формата на нормалната крива, а само води до нейното изместване по оста вол: надясно, ако се увеличава, и наляво, ако намалява:
Максимумът на функцията за плътност на вероятността на нормалното разпределение е равен на 
.
От това следва, че с увеличаване на максималната ордината на нормална крива намалява, а самата крива става по-плоска, т.е. свива се към оста вол; тъй като намалява, нормалната крива става по-"заострена" и се простира в положителната посока на оста Ой:
коментар:За всички стойности на параметрите и областта, ограничена от нормалната крива и ос вол, остава равно на едно.
Вероятност за попадане в даден интервал на нормална случайна променлива
Нека случайната променлива хразпределени по нормалния закон. Тогава вероятността, че хще приеме стойност, принадлежаща на интервала 
, е равно
Нека въведем нова променлива 
Оттук, 
,
Нека намерим нови граници на интеграция. Ако 
Че 
; ако тогава 
Така имаме
Използвайки функцията на Лаплас, получаваме
Пример.Случайна стойност хразпределени по нормалния закон с 
И 
. Намерете вероятността случайната променлива хще приеме стойност, принадлежаща на интервала.
Решение:
От таблицата в Приложение 2 намираме 
Оттук и желаната вероятност
Пример.Намерете математическото очакване на случайна променлива х, която се разпределя по нормалния закон.
Решение:По дефиниция на математическото очакване на непрекъсната случайна променлива,
.
Нека въведем нова променлива Следователно, ,. Като се има предвид, че новите граници на интеграция са равни на старите, получаваме
Първият от членовете е равен на нула (под знака на интеграла функцията е нечетна; границите на интегриране са симетрични спрямо началото). Вторият от членовете е равен на А(Интеграл на Поасон 
).
коментар:При изчисляване на дисперсията на нормална случайна променлива се прави същата промяна на променливите и се прилага формулата за интегриране по части.
Правилото на трите сигми
Нека изчислим вероятността, че отклонението на нормално разпределена случайна променлива хв абсолютна стойност по-малка от три пъти стандартното отклонение:
По този начин същността на правилото на трите сигми е следната: ако случайната променлива е нормално разпределена, тогава абсолютна стойностнеговото отклонение от математическото очакване не надвишава три пъти стандартното отклонение:
На практика правилото на трите сигми се прилага, както следва: ако разпределението на изследваната случайна променлива е неизвестно, но условието, посочено в горното правило, е изпълнено, т.е. има основание да се приеме, че изследваната променлива е нормално разпределени; в противен случай не се разпространява нормално.
10.3. Експоненциално разпределение
Определение 10.3: Експоненциаленсе нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива х, което се описва чрез плътност
Където 
- постоянна положителна стойност.
Графика на функция f(х) има следната форма:
Например времето Tбезотказната работа на компютърна система е случайна променлива с експоненциално разпределение с параметъра λ , чийто физически смисъл е средният брой откази за единица време. Интервалът между последователните пристигания на повиквания към автоматична телефонна централа, интервалът между последователните пристигания на автомобили на стоп линията на кръстовище са примери за индикативни случайни променливи.
Нека намерим функцията на разпределение на експоненциалния закон:
.
Графиката на функцията на експоненциалното разпределение изглежда така:
Пример.Напишете функцията на плътност и разпределение на експоненциалния закон, ако параметърът
Решение.Очевидно желаната плътност на разпределение
при 
;
при 
.
Необходимата функция на разпределение
в ; 
при .
Вероятност за попадане в даден интервал на експоненциално разпределена случайна променлива
Нека намерим вероятността да попаднем в интервала (а, b) непрекъсната случайна променлива х, която се разпределя по експоненциалния закон, дадена от функциятаразпространение
.
Използвайки формулата и като вземем предвид това 
получаваме
Функционални стойности 
намерени от таблицата (Приложение 4).
Пример:Непрекъсната случайна променлива хразпределени по експоненциален закон
в ; при 
. Намерете вероятността, че в резултат на теста хпопада в интервала (0,3;1)
.
Решение.По условие, 
. Тогава X
коментар:Да предположим, че има основания да се приеме, че изучаваната на практика случайна величина има експоненциално разпределение. За да се провери тази хипотеза, се намират оценки на математическото очакване и стандартното отклонение, т.е. намерете средната стойност на извадката и стандартното отклонение на извадката. Математическото очакване и стандартното отклонение на експоненциалното разпределение са равни едно на друго, така че техните оценки трябва да се различават леко. Ако оценките се окажат близки една до друга, тогава данните от наблюдението потвърждават хипотезата за експоненциалното разпределение на изследваната стойност, но ако оценките се различават значително, тогава хипотезата трябва да бъде отхвърлена.
Правилото на трите сигми.
Да заменим ли стойността? във формула (*), получаваме:
И така, с вероятност, произволно близка до единица, можем да заявим, че модулът на отклонение на нормално разпределена случайна променлива от нейното математическо очакване не надвишава три пъти стандартното отклонение.
Централна гранична теорема.
Централната гранична теорема е група от теореми, посветени на установяването на условията, при които възниква нормален закон на разпределение. Сред тези теореми най-важното място принадлежи на теоремата на Ляпунов.
Ако случайната променлива хпредставлява сумата голямо числовзаимно? независими случайни променливи, тоест влиянието на всяка от които върху цялата сума е незначително, тогава случайната променлива хима разпределение, което неограничено се доближава до нормалното разпределение.
Начален и централен момент на непрекъсната случайна променлива, асиметрия и ексцес. Режим и медиана.
В приложни проблеми, например в математическата статистика, когато теоретично се изучават емпирични разпределения, които се различават от нормалното разпределение, има нужда от количествени оценки на тези разлики. За тази цел са въведени специални безразмерни характеристики.
Определение. Режим на непрекъсната случайна променлива (Mo (х)) е неговата най-вероятна стойност, за която вероятността p азили плътността на вероятността f(x) достига максимум.
Определение. Медиана на непрекъсната случайна променлива х (аз(х)) – това е неговата стойност, за която е в сила равенството:
Геометрично, вертикалната линия x = Me (X) разделя площта на фигурата под кривата на две равни части.
В точка X = Me (X), функция на разпределение F (Me (X)) =
Намерете модата Mo, медианата Me и математическото очакване M на случайна променлива X с плътност на вероятността f(x) = 3x 2, за x I [ 0; 1].
Плътността на вероятността f (x) е максимална при x = 1, т.е. f (1) = 3, следователно Mo (X) = 1 на интервала [ 0; 1].
За да намерим медианата, нека означим Me (X) = b.
Тъй като Me (X) удовлетворява условието P (X 3 = .
b 3 = ; b = "0,79
M (X) = =+ 
=
Нека отбележим получените 3 стойности Mo (x), Me (X), M (X) на оста Ox:
Определение. АсиметрияТеоретичното разпределение се нарича отношението на централния момент от трети ред към куба на стандартното отклонение:
Определение. Излишъктеоретичното разпределение е количеството, определено от равенството:
Където ? централен момент от четвърти ред.
За нормално разпределение. При отклонение от нормалното разпределение асиметрията е положителна, ако „дългата“ и по-плоска част от кривата на разпределение е разположена вдясно от точката на оста x, съответстваща на модата; ако тази част от кривата е разположена вляво от модата, тогава асиметрията е отрицателна (фиг. 1, а, б).
Ексцесът характеризира „стръмността“ на покачването на кривата на разпределение в сравнение с нормалната крива: ако ексцесът е положителен, тогава кривата има по-висок и по-остър пик; в случай на отрицателен ексцес, сравняваната крива има по-нисък и по-плосък връх.
Трябва да се има предвид, че при използване на посочените сравнителни характеристики предположенията за еднакви стойности на математическото очакване и дисперсията за нормалното и теоретичното разпределение са референтни.
Пример.Нека дискретната случайна променлива хсе дава от закона за разпределение:
Намерете: асиметрия и ексцес на теоретичното разпределение.
Нека първо намерим математическото очакване на случайната променлива:
След това изчисляваме началните и централните моменти на 2-ри, 3-ти и 4-ти ред и:
Сега, използвайки формулите, намираме необходимите количества:
В този случай „дългата“ част от кривата на разпределение е разположена вдясно от режима, а самата крива е малко по-пикова от нормалната крива със същите стойности на математическото очакване и дисперсията.
Теорема.За произволна случайна променлива хи произволно число
?>0 следните неравенства са верни:
Вероятност за обратното неравенство.
Средната консумация на вода в животновъдна ферма е 1000 литра на ден, като стандартното отклонение на тази случайна променлива не надвишава 200 литра. Оценете вероятността водният поток на фермата за всеки избран ден да не надвишава 2000 L, като използвате неравенството на Чебишев.
Позволявам х– потребление на вода в животновъдна ферма (l).
дисперсия д(х) = . Тъй като границите на интервала са 0 х 2000 са симетрични спрямо математическото очакване М(х) = 1000, тогава за оценка на вероятността от желаното събитие можем да приложим неравенството на Чебишев:
Тоест не по-малко от 0,96.
За биномиалното разпределение неравенството на Чебишев приема формата:
ЗАКОНИ ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА СЛУЧАЙНИТЕ ВЕЛИЧИНИ
ЗАКОНИ ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА СЛУЧАЙНИТЕ ВЕЛИЧИНИ - раздел Математика, ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ И МАТЕМАТИЧЕСКА СТАТИСТИКА Най-често срещаните закони са Равномерни, Нормални и Експоненциални.
Най-често срещаните закони са равномерно, нормално и експоненциално вероятностно разпределение на непрекъснати случайни променливи.
Вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива X се нарича равномерно, ако в интервала (a, b), към който принадлежат всички възможни стойности на X, плътността на разпределението поддържа постоянна стойност (6.1)
Функцията на разпределение има формата:
Нормално е вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива X, чиято плътност има формата:
Вероятността случайната променлива X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (?; ?):
където е функцията на Лаплас и,
Вероятност абсолютната стойност на отклонението да бъде по-малка от положително число?:
По-специално, за a = 0, . (6,7)
Експоненциалното е вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива X, което се описва чрез плътност:
Където? – постоянна положителна стойност.
Функция на разпределение на експоненциалния закон:
Вероятността непрекъсната случайна променлива X да попадне в интервала (a, b), разпределена по експоненциалния закон:
1. Случайната променлива X е равномерно разпределена в интервала (-2;N). Намери си) диференциална функцияслучайна променлива X; б) интегрална функция; в) вероятността случайна променлива да попадне в интервала (-1;); г) математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение на случайната променлива X.
2. Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна величина, равномерно разпределена в интервала: а) (5; 11); б) (-3; 5). Начертайте графики на тези функции.
3. Случайната величина X е равномерно разпределена на интервала (2; 6), като D(x) = 12. Намерете функциите на разпределение на случайната величина X. Начертайте графики на функциите.
4. Случайната променлива X е разпределена по закон правоъгълен триъгълник(фиг. 1) в интервала (0; а). Намерете: а) диференциалната функция на случайната величина X; б) интегрална функция; в) вероятно
вероятност за попадение на случайна променлива
към int(); г) математически
очакване, дисперсия и среден квадрат
Ратично отклонение на произволно
5. Случайната променлива X се разпределя според закона на Симпсън („законът на равнобедрен триъгълник“) (фиг. 2) в интервала (-a; a). Намерете: а) диференциалната функция на вероятностното разпределение на случайната величина X;
б) интегралната функция и построяване на нейната графика; в) вероятността случайна променлива да попадне в интервала (-); г) математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение на случайната променлива X.
6. За изследване на продуктивността на определена порода домашни птици се измерва диаметърът на яйцата. Най-големият напречен диаметър на яйцата е случайна променлива, разпределена по нормален закон със средна стойност 5 см и стандартно отклонение 0,3 см. Намерете вероятността: а) диаметърът на яйце, взето на случаен принцип, да бъде в рамките на диапазон от 4,7 до 6, 2 cm; б) отклонението на диаметъра от средната стойност няма да надвишава 0,6 cm по абсолютна стойност.
7. Теглото на рибата, уловена във водоем, се подчинява на нормалния закон на разпределение със стандартно отклонение 150 g и математическо очакване a = 1000 g. Намерете вероятността теглото на уловената риба да бъде: а) от 900 до 1300 g ; б) не повече от 1500 g; в) не по-малко от 800 g; г) се различават от средното тегло по модул с не повече от 200 g; д) начертайте графика на диференциалната функция на случайната променлива X.
8. Добивът на зимна пшеница върху набор от парцели се разпределя по нормален закон с параметрите: a = 50 c/ha, = 10 c/ha. Определете: а) какъв процент от парцелите ще имат добив над 40 ц/дка; б) процентът на парцелите с добив от 45 до 60 ц/дка.
9. Замърсяването на зърното се измерва с помощта на селективен метод; случайните грешки на измерване се подчиняват на нормалния закон на разпределение със стандартно отклонение от 0,2 g и математическо очакване a = 0. Намерете вероятността от четири независими измервания грешката на поне едно от тях няма да превишава абсолютната стойност 0,3 g.
10. Събраното количество зърно от всеки участък на опитното поле е нормално разпределена случайна величина X, имаща математическо очакване a = 60 kg и стандартно отклонение 1,5 kg. Намерете интервала, в който ще се съдържа стойността X с вероятност 0,9906.Напишете диференциалната функция на тази случайна променлива.
11. С вероятност 0,9973 е установено, че абсолютното отклонение на живото тегло на произволно избрана глава говеда от средното тегло на животното за цялото стадо не надвишава 30 кг. Намерете стандартното отклонение на живото тегло на добитъка, като приемете, че разпределението на добитъка по живо тегло се подчинява на нормалния закон.
12. Добивът на зеленчуци по парцел е нормално разпределена случайна величина с математическо очакване 300 c/ha и стандартно отклонение 30 c/ha. С вероятност от 0,9545 определете границите, в които ще бъде средният добив на зеленчуци в парцелите.
13. Нормално разпределена случайна променлива X се определя от диференциална функция:
Определете: а) вероятността случайна променлива да попадне в интервала
(3; 9); б) модата и медианата на случайната променлива X.
14. Търговска фирма продава подобни продукти от двама производители. Срокът на експлоатация на продуктите е предмет на обичайното законодателство. Средният експлоатационен живот на продуктите от първия производител е 5,5 хиляди часа, а от втория - 6 хиляди часа. Първият производител твърди, че с вероятност от 0,95 експлоатационният живот на първия производител е в диапазона от 5 до 6 хиляди часа, а вторият, с вероятност от 0,9, е в диапазона от 5 до 7 хиляди часа. Кой производител има по-голяма променливост в експлоатационния живот на продуктите.
15. Месечните заплати на служителите на предприятието се разпределят според нормалния закон с математическо очакване a = 10 хиляди рубли. Известно е, че 50% от служителите на предприятието получават заплати от 8 до 12 хиляди рубли. Определете какъв процент от служителите на предприятието имат месечна заплата от 9 до 18 хиляди рубли.
16. Напишете функцията на плътност и разпределение на експоненциалния закон, ако: а) параметър; б) ; V) . Начертайте графики на функции.
17. Случайната променлива X се разпределя по експоненциалния закон и. Намерете вероятността случайната величина X да попадне в интервала: а) (0; 1); б) (2; 4). M(X), D(X), (X).
18. Намерете M(X), D(X), (X) на експоненциалния закон на разпределение на случайната величина X по дадената функция:
19. Тестват се два независимо работещи елемента. Продължителността на безотказната работа на първия има по-разкриващо разпределение от второто. Намерете вероятността за период от 20 часа: а) да работят и двата елемента; б) само един елемент ще се повреди; в) поне един елемент ще се повреди; г) и двата елемента ще се повредят.
20. Вероятността двата независими елемента да работят в рамките на 10 дни е 0,64. Определете функцията за надеждност за всеки елемент, ако функциите са еднакви.
21. Средният брой грешки, които един оператор прави за един час работа е 2. Намерете вероятността за 3 часа работа операторът да направи: а) 4 грешки; б) поне две грешки; в) поне една грешка.
22. Средният брой повиквания, приети от телефонната централа за минута, е три. Намерете вероятността за 2 минути да получите: а) 4 обаждания; б) най-малко три разговора.
23. Случайната променлива X се разпределя според закона на Коши
Непрекъснати случайни променливи
6. Непрекъснати случайни променливи
6.1. Числени характеристикинепрекъснати случайни променливи
Непрекъснато е случайна променлива, която може да приема всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал.
Функцията на разпределение се нарича функцията F (x) ? определяне на вероятността случайната променлива X в резултат на теста да приеме стойност, по-малка от x, т.е.
Свойства на функцията на разпределение:
1. Стойностите на функцията на разпределение принадлежат на сегмента, т.е.
2. F (x) е ненамаляваща функция, т.е. ако , тогава .
· Вероятността случайната променлива X да приеме стойност, съдържаща се в интервала, е равна на:
· Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме една специфична стойност е нула.
Плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива X се нарича функция - първата производна на функцията на разпределение.
Вероятността непрекъсната случайна променлива да попадне в даден интервал:
Намиране на функцията на разпределение с помощта на известна плътност на разпределение:
Свойства на плътността на разпределение
1. Плътността на разпределение е неотрицателна функция:
2. Условие за нормализиране:
Стандартно отклонение
6.2. Равномерно разпределение
Вероятностното разпределение се нарича равномерно, ако в интервала, към който принадлежат всички възможни стойности на случайната променлива, плътността на разпределението остава постоянна.
Плътност на вероятността на равномерно разпределена случайна променлива
Стандартно отклонение
6.3. Нормална дистрибуция
Нормално е вероятностното разпределение на случайна променлива, което се описва от плътността на разпределението
a- математическо очакване
стандартно отклонение
дисперсия
Вероятност за попадане в интервала
Къде е функцията на Лаплас. Тази функция е таблична, т.е. няма нужда да изчислявате интеграла, трябва да използвате таблицата.
Вероятност за отклонение на случайна величина x от математическото очакване
Правилото на трите сигми
Ако една случайна променлива е разпределена нормално, тогава абсолютната стойност на нейното отклонение от математическото очакване не надвишава три пъти стандартното отклонение.
За да бъдем точни, вероятността за надхвърляне на определения интервал е 0,27%
Онлайн калкулатор за вероятност за нормално разпределение
6.4. Експоненциално разпределение
Случайната променлива X се разпределя по експоненциалния закон, ако плътността на разпределението има формата
Стандартно отклонение
Отличителна черта на това разпределение е, че математическото очакване е равно на стандартното отклонение.
Теория на вероятностите. Случайни събития (страница 6)
12. Случайни променливи х 
, Ако , , , .
13. Вероятността за производство на дефектен продукт е 0,0002. Изчислете вероятността инспектор, проверяващ качеството на 5000 продукта, да открие 4 дефектни.
х 
хще приеме стойност, принадлежаща на интервала. Построяване на графики на функции и .
15. Вероятността за безотказна работа на даден елемент се разпределя по експоненциалния закон 
(). Намерете вероятността елементът да работи безотказно в продължение на 50 часа.
16. Устройството се състои от 10 независимо работещи елемента. Вероятност за повреда на всеки елемент във времето Tравно на 0,05. Използвайки неравенството на Чебишев, преценете вероятността абсолютната стойност на разликата между броя на повредените елементи и средния брой (математическо очакване) на отказите във времето Tще бъдат по-малко от две.
17. Три независими изстрела бяха изстреляни в целта (на фиг. 4.1 m, m) без систематична грешка () с очакваното разпространение на попадения m. Намерете вероятността за поне едно попадение в целта.
1. Колко трицифрени числаможеш ли да съставиш числата 0,1,2,3,4,5?
2. Хорът се състои от 10 участника. По колко начина могат да бъдат избрани 6 участника за 3 дни, така че всеки ден да има различен хор?
3. По колко начина може да се раздели тесте от 52 разбъркани карти наполовина, така че едната половина да съдържа три аса?
4. От кутия с жетони с номера от 1 до 40 участниците в тегленето теглят жетони. Определете вероятността номерът на първия жетон, изтеглен на случаен принцип, да не съдържа числото 2.
5. На тестов стенд се тестват 250 устройства при определени условия. Намерете вероятността поне едно от тестваните устройства да се повреди в рамките на един час, ако е известно, че вероятността от повреда в рамките на един час на едно от тези устройства е 0,04 и е еднаква за всички устройства.
6. В пирамидата има 10 пушки, 4 от които са оборудвани с оптичен мерник. Вероятността стрелецът да уцели целта при стрелба с пушка с телескопичен мерник е 0,95; за пушки без оптичен мерник тази вероятност е 0,8. Стрелецът попаднал в целта с произволно взета пушка. Намерете вероятността стрелецът да е стрелял от пушка с телескопичен мерник.
7. Устройството се състои от 10 възела. Надеждност (вероятност за безпроблемна работа във времето Tза всеки възел е равно на . Възлите се провалят независимо един от друг. Намерете вероятността, че във времето T: а) поне един възел ще се повреди; б) точно два възела ще се повредят; в) точно един възел ще се повреди; г) поне два възела ще се повредят.
8. Тества се всеки от 16-те елемента на определено устройство. Вероятността елементът да премине теста е 0,8. Намерете най-вероятния брой елементи, които ще преминат теста.
9. Намерете вероятността събитието А(смяна на предавките) ще се случи 70 пъти на 243-километрова магистрала, ако вероятността за превключване на всеки километър от тази магистрала е 0,25.
10. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Намерете вероятността със 100 изстрела целта да бъде улучена поне 75 пъти и не повече от 90 пъти.
х.
12. Случайни променливи хи независим. Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променлива , Ако , , , .
13. Ръкопис от 1000 страници машинописен текст съдържа 100 печатни грешки. Намерете вероятността страница, взета на случаен принцип, да съдържа точно 2 печатни грешки.
14. Непрекъсната случайна величина хразпределени равномерно с постоянна плътност на вероятността, където 
Намерете 1) параметъра и запишете закона за разпределение; 2) Намерете , ; 3) Намерете вероятността, че хще приеме стойност, принадлежаща на интервала.
15. Продължителността на безотказната работа на елемента има експоненциално разпределение 
(). Намерете вероятността, че T= 24 часа елементът няма да се повреди.
16. Непрекъсната случайна величина хнормално разпределени 
. Намирам , . Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приеме стойността, съдържаща се в интервала.
17. Дадено е вероятностното разпределение на дискретна двумерна случайна променлива:
Намерете закона за разпределение на компонентите хИ ; техните математически очаквания и ; вариации и ; коефициент на корелация.
1. Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 1, 2, 3, 4, 5, ако всяка от тези цифри се използва не повече от веднъж?
2. Дадено нточки, нито 3 от които лежат на една права. Колко прави линии могат да бъдат начертани чрез свързване на точки по двойки?
Колко домино можете да направите, като използвате числата от 0 до 9?
3. Каква е вероятността произволно откъснато листче от нов календар да съответства на първия ден от месеца? (Годината не се счита за високосна).
4. В работилницата има 3 телефона, които работят независимо един от друг.
5. Вероятностите за наемане на работа на всеки от тях са съответно както следва: ; ; . Намерете вероятността поне един телефон да е свободен.
6. Има три еднакви урни. Първата урна съдържа 20 бели топки, втората съдържа 10 бели и 10 черни топки, а третата съдържа 20 черни топки. От произволно избрана урна се тегли бяла топка. Намерете вероятността от първата урна да бъде изтеглена топка.
7. В някои райони през лятото средно 20% от дните са дъждовни. Каква е вероятността през една седмица: а) да има поне един дъждовен ден; б) ще има точно един дъждовен ден; в) броят на дъждовните дни ще бъде не повече от четири; г) няма да има дъждовни дни.
8. Вероятността за нарушаване на точността при монтажа на устройството е 0,32. Определете най-вероятния брой прецизни инструменти в партида от 9 броя.
9. Определете вероятността със 150 изстрела от пушка мишената да бъде поразена 70 пъти, ако вероятността за поразяване на мишената с един изстрел е 0,4.
10. Определете вероятността от 1000 родени деца броят на момчетата да бъде поне 455 и не повече от 555, ако вероятността да се родят момчета е 0,515.
11. Даден е законът за разпределение на дискретна случайна величина х:
Намерете: 1) стойността на вероятността, съответстваща на стойността на ; 2) , , ; 3) разпределителна функция; изградете неговата графика. Конструирайте полигон за разпределение на случайна променлива х.
12. Случайни променливи хи независим. Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променлива , Ако , , , .
13. Вероятността за производство на нестандартна част е 0,004. Намерете вероятността сред 1000 части да има 5 нестандартни.
14. Непрекъсната случайна величина хдаден от функцията на разпределение 
Намерете: 1) функция на плътността; 2) , , ; 3) вероятността, че в резултат на експеримента случайна променлива хще приеме стойност, принадлежаща на интервала. Построяване на графики на функции и .km, km. Определете вероятността от две попадения в целта.
1. Лекторите трябва да присъстват на срещата А, IN, СЪС, д. По колко начина могат да бъдат поставени в списъка с оратори, така че INговори след оратора А?
2. По колко начина могат да се разпределят 14 еднакви топки в 8 кутии?
3. Колко петцифрени числа могат да се съставят от числата от 1 до 9?
4. Студентът се яви на изпита, знаейки само 24 от 32 въпроса в програмата. Изпитващият му зададе 3 въпроса. Намерете вероятността студентът да е отговорил на всички въпроси.
5. До края на деня в магазина са останали 60 дини, включително 50 узрели. Купувачът избира 2 дини. Каква е вероятността и двете дини да са узрели?
6. В група атлети има 20 бегачи, 6 скачачи и 4 хвърлячи на чук. Вероятността бегачът да изпълни стандарта на майстора на спорта е 0,9; скок - 0,8 и хвърляч - 0,75. Определете вероятността произволно извикан спортист да изпълни норматива за майстор на спорта.
7. Вероятността даден нает артикул да бъде върнат в добро състояние е 0,8. Определете вероятността от пет взети неща: а) три да бъдат върнати в добро състояние; б) всичките пет артикула ще бъдат върнати в добро състояние; в) най-малко два артикула ще бъдат върнати в добро състояние.
8. Вероятността за поява на дефект в партида от 500 части е 0,035. Определете най-вероятния брой дефектни части в тази партида.
9. При производството на електрически крушки вероятността за производство на първокласна лампа се приема за 0,64. Определете вероятността от 100 произволно взети електрически лампи 70 да са първи клас.
10. На изследване подлежат 400 рудни проби. Вероятността за промишлено съдържание на метал във всяка проба е една и съща и равна на 0,8. Намерете вероятността броят на пробите с промишлено съдържание на метал да бъде между 290 и 340.
11. Даден е законът за разпределение на дискретна случайна величина X ако X XИ ; 4) разберете дали тези количества са зависими.
1. По колко начина могат да се настанят 8 гости кръгла масатака че двама известни гости да седнат един до друг?
2. Колко различни „думи“ можете да направите, като пренаредите буквите на думата „комбинаторика“?
3. Колко триъгълника има, чиито дължини на страните са една от следните стойности: 4, 5, 6, 7 cm?
4. Пликът съдържа буквите от раздвоената азбука: ОТНОСНО, П, Р, СЪС, T. Буквите се смесват старателно. Определете вероятността, че като извадите тези букви и ги поставите една до друга, ще получите думата „ СПОРТ‘.
5. От първата машина 20% от частите се доставят на монтажа, от втората 30%, от третата - 50% от частите. Първата машина дава средно 0,2% дефекти, втората - 0,3%, третата - 1%. Намерете вероятността част, получена за сглобяване, да е дефектна.
6. Един от тримата стрелци е извикан на огневата линия и произвежда изстрел. Целта е улучена. Вероятността за попадение в целта с един изстрел за първия стрелец е 0,3, за втория - 0,5, за третия - 0,8. Намерете вероятността изстрелът да е произведен от втория стрелец.
7. В работилницата има 6 мотора. За всеки двигател вероятността да е включен в момента е 0,8. Намерете вероятността в момента: а) да са включени 4 двигателя; б) поне един двигател е включен; в) всички двигатели са включени.
8. Телевизорът има 12 лампи. Всеки от тях с вероятност 0,4 може да се повреди по време на гаранционния период. Намерете най-вероятния брой лампи, които се повредят по време на гаранционния период.
9. Вероятността да имате момче е 0,515. Намерете вероятността от 200 родени деца да има равен брой момчета и момичета.
10. Вероятността частта да не е преминала проверката за контрол на качеството ще бъде . Намерете вероятността сред 400 произволно избрани части да има от 70 до 100 части, които не са тествани.
11. Даден е законът за разпределение на дискретна случайна величина х:
- Основни закони на разпределение на случайна променлива Образователна институция „Беларуски държавен департамент по висша математика“ за изучаване на темата „Основни закони на разпределение на случайна променлива“ от студенти от счетоводния факултет на задочно обучение (NISPO) Основни закони на разпределение на случайна променлива [...]
- КАТ глобява Лениногорск Късно държавата ще предприеме мерки за събиране на вашите глоби, ако не сте обжалвали Глобите на КАТ Лениногорск са необходими Легенда. Без документи за регистрация и без задължителна застраховка Гражданска отговорност на автомобилистите ще струва 500 за хипервръзка към тази статия. Длъжностни лица глобяват КАТ Лениногорск [...]
- Обезщетения за жертвите на Чернобил: (3 + 1) или само 3? За гражданите, пострадали в резултат на аварията в Чернобил (наричани по-долу жертви на Чернобил), Закон № 796* установи определени обезщетения и гаранции. По този начин жертвите на Чернобил, класифицирани като категория 1, освен всичко друго, получават преференциално право да останат […]
- Данък вила. Трябва да го знаете. Съпругът ми и аз мислим за лятна къща, където можем да дойдем, да копаем малко в леглата, а вечерта да седим на люлеещ се стол до огъня и да не мислим за нищо. Просто се отпуснете. Знаем от първа ръка, че градинарството не е евтино (оборски тор, торове, разсад), данъци... Какви данъци […]
- Съвет 1: Как да определим закона за разпределение Как да определим закона за разпределение Как да построим диаграма на Парето Как да намерим математическото очакване, ако дисперсията е известна - математически справочник; - обикновен молив; - тетрадка; - химилка. Закон за нормалното разпределение през 2018 г. Съвет 2: Как […]
- 3. СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ. КОНЦЕПЦИЯТА ЗА СЛУЧАЙНА ВЕЛИЧИНА Случайна променлива е величина, която в резултат на тестове, проведени при едни и същи условия, приема различни, най-общо казано, стойности в зависимост от случайни фактори, които не са взети под внимание. Примери за случайни променливи: броят изтеглени точки на […]
- Елиминиране на преминаването Обща площ на обекта, km 2; N пор е броят на засегнатите елементи на обекта (сгради, работилници, конструкции, системи); Ntot е общият брой елементи на обекта. За да определите броя на жертвите, можете да използвате следния израз: където Spor е броят на жертвите при внезапна експлозия; Lс е броят на работниците за даден […]
- Законите на Стефан Болцман за излъчване За реалните тела законът на Стефан-Болцман се изпълнява само качествено, тоест с повишаване на температурата енергийните светимости на всички тела се увеличават. За реални тела обаче зависимостта на енергийната осветеност от температурата вече не се описва с проста връзка (16.7), а […]
