Степенене, правила, примери. Степен и неговите свойства. Изчерпателно ръководство (2019) Таблица на степенуване на число 2

Защо са необходими дипломи?

Къде ще ви трябват?

Защо трябва да отделите време да ги изучавате?

За да разберете ВСИЧКО ЗА СТЕПЕНИТЕ, прочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степени ще ви доближи до успешното полагане на Единния държавен изпит.

И до прием в университета на вашите мечти!

Да вървим... (Да вървим!)

НАЧАЛНО НИВО

Степенуването е математическа операция точно като събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко човешки езикмного прости примери. Бъдете внимателни. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола има? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да се напише по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това намират начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! но...

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още един по-красив:

Какви други умни трикове за броене са измислили мързеливите математици? точно - повишаване на число на степен.

Повдигане на число на степен

Ако трябва да умножите число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например,. Математиците помнят, че две на пета степен е... И те решават такива проблеми в главите си - по-бързо, лесно и безгрешно.

Всичко, което трябва да направите е запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втора степен? квадратчисла, а третият - куб? Какво означава? Много добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Да започнем с квадрата или втората степен на числото.

Представете си квадратен басейн с размери метър на метър. Басейнът е във вашата дача. Горещо е и много искам да плувам. Но... басейнът няма дъно! Трябва да покриете дъното на басейна с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете долната площ на басейна.

Можете просто да изчислите, като посочите с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако имате плочки метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде сте виждали такива плочки? Плочката най-вероятно ще бъде см на см и тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножете по и ще получите плочки ().

Забелязахте ли, че за да определим площта на дъното на басейна, умножихме едно и също число по себе си? Какво означава? Тъй като умножаваме едно и също число, можем да използваме техниката на „постепенно степенуване“. (Разбира се, когато имате само две числа, все още трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването им на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията , За Единния държавен изпит това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можем да кажем, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас: пребройте колко квадратчета има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото... От едната страна на клетките и от другата също. За да изчислите техния брой, трябва да умножите осем по осем или... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да квадратирате осем. Ще получите клетки. () И така?

Пример от реалния живот #3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъното е с размери метър и дълбочина и се опитайте да изчислите колко кубчета с размери метър на метър ще се поберат във вашия басейн.

Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири...двадесет и две, двадесет и три...Колко получихте? Не сте изгубени? Трудно ли е да броите с пръст? това е! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи и затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите неговата дължина, ширина и височина един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако опростят и това. Сведохме всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... Какво означава това? Това означава, че можете да се възползвате от степента. И така, това, което някога сте преброили с пръста си, те правят с едно действие: три кубчета са равни. Написано е така: .

Всичко, което остава е помнете градусната таблица. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедим окончателно, че дипломите са измислени от отказали се и хитри хора, за да решават житейските си проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот #4

Имате милион рубли. В началото на всяка година, за всеки милион, който правите, правите още един милион. Тоест всеки милион, който имате, се удвоява в началото на всяка година. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръста си“, значи сте много трудолюбив човек и... глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, първата година - две умножено по две... втората година - какво стана, още две, третата година... Стоп! Забелязахте, че числото се умножава по себе си пъти. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който може да брои най-бързо, ще получи тези милиони... Струва си да си припомним силата на числата, не мислите ли?

Пример от реалния живот #5

Имате милион. В началото на всяка година за всеки милион, който направите, печелите още два. Страхотно нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. Така че на четвърта степен е равно на милион. Просто трябва да помниш, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще улесните много живота си. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия... за да не се бъркаме

Така че, първо, нека дефинираме понятията. Смятате ли какво е степенен показател? Много е просто - това е числото, което е "на върха" на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне...

Е, в същото време какво такава основа за степен? Още по-просто - това е числото, което се намира отдолу, в основата.

Ето една рисунка за добра мярка.

Добре в общ изглед, с цел обобщаване и по-добро запомняне... Степен с основа “ ” и показател “ ” се чете като “на степен” и се записва по следния начин:

Степен на число с естествен показател

Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са онези числа, които се използват при броене при изброяване на предмети: едно, две, три... Когато броим предмети, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме: „една трета“ или „нула цяло пет“. Това не са естествени числа. Какви числа мислите, че са това?

Числа като "минус пет", "минус шест", "минус седем" се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. Какво означават отрицателните („минус“) числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.

Всички дроби са рационални числа. Как са възникнали, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци са открили, че им липсва естествени числаза измерване на дължина, тегло, площ и др. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, това е безкрайна десетична дроб. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме концепцията за степен, чийто експонент е естествено число (т.е. цяло число и положително).

1. Всяко число на първа степен е равно на себе си:
2. Да поставиш на квадрат число означава да го умножиш по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение.Повишаването на число на естествена степен означава числото да се умножи по себе си пъти:
.

Свойства на степените

Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ти покажа.

Да видим: какво е това И ?

По дефиниция:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме множители към факторите и резултатът е множители.

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест: , което трябваше да се докаже.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини!
Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

само за произведението на мощностите!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

2. това е всичко та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа

До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.

Но каква трябва да бъде основата?

В правомощията на естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.

Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ? С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, работи.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

успяхте ли

Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 примера за практикуване

Анализ на решението 6 примера

Цялнаричаме естествените числа, противоположните им (т.е. взети със знака " ") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число на нулева степен е равно на едно:

Както винаги, нека се запитаме: защо това е така?

Нека разгледаме някаква степен с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото нещо, каквото беше - . По какво число трябва да умножите, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число на нулева степен е равно на едно.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак ще получиш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. И така, колко от това е вярно? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест сега не можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.

Да продължим. Освен естествени числа и числа, целите числа включват и отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим както миналия път: умножете някакво нормално число по същото число на отрицателна степен:

От тук е лесно да изразите това, което търсите:

Сега нека разширим полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правило:

Число с отрицателна степен е реципрочната стойност на същото число с положителна степен. Но в същото време Базата не може да бъде нула:(защото не можете да разделите по).

Нека обобщим:

Задачи за самостоятелно решаване:

Е, както обикновено, примери за независими решения:

Анализ на проблемите за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на Единния държавен изпит трябва да сте подготвени за всичко! Решете тези примери или анализирайте техните решения, ако не сте успели да ги решите и ще се научите да се справяте лесно с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме диапазона от числа, „подходящи“ като показател.

Сега нека помислим рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа и.

За да разбере какво е "дробна степен", разгледайте фракцията:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега нека си припомним правилото за "степен на степен":

Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.

Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно на.

Тоест коренът на та степен е обратната операция на повдигане на степен: .

Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .

Сега добавяме числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с помощта на правилото мощност към степен:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повишено до дори степен- числото е положително. Тоест, невъзможно е да се извлекат четни корени от отрицателни числа!

Това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за израза?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено под формата на други, редуцируеми дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува, но това са просто два различни записа на едно и също число.

Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но ако запишем индикатора по различен начин, отново ще имаме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнем подобни парадокси, смятаме само положителен основен показател с дробен показател.

Така че ако:

• — естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Степени с рационален показателмного полезно за конвертиране на изрази с корени, например:

5 примера за практикуване

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега идва най-трудната част. Сега ще го разберем степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение

В края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест всички ирационални числа са реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например, степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;

...число на нулева степен- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно число;

...отрицателна цяло число степен- сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест индикаторът не е четен реално число.

Но в училище не мислим за такива трудности; вие ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЧЕ ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научиш да решаваш такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Нека започнем с обичайното правило за повишаване на степен на степен:

НИВО ЗА НАПРЕДНАЛИ

Определяне на степен

Степента е израз на формата: , където:

• — степен база;
• - степенен показател.

Степен с натурален показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)

Ако показателят е положително цяло числономер:

Строителство до нулева степен:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.

Ако показателят е отрицателно цяло числономер:

(защото не можете да разделите по).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• — естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Свойства на степените

За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз получаваме следния продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини. Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за произведение на мощности!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Нека прегрупираме тази работа по следния начин:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно: !

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа.

До този момент сме обсъждали само какво трябва да бъде индикаторстепени. Но каква трябва да бъде основата? В правомощията на естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .

Всъщност можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степени на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ?

С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме - .

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Могат да се формулират следните прости правила:

1. дажестепен, - номер положителен.
2. Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
3. Положително число на каквато и да е степен е положително число.
4. Нула на произволна степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

успяхте ли Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомним това, става ясно, че, което означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението на степените и ги разделяме един на друг, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да разгледаме последното правило, нека решим няколко примера.

Пресметнете изразите:

Решения :

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да я опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви има общо? пъти по множители - на какво ви напомня това? Това не е нищо повече от определение на операция умножение: Там имаше само множители. Тоест, това по дефиниция е степен на число с показател:

Пример:

Степен с ирационален показател

В допълнение към информацията за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните числа).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число на нулева степен е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определен „празно число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен експонент - сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). Това е по-скоро чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число. Но в училище не мислим за такива трудности; вие ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

ОБОБЩЕНИЕ НА РАЗДЕЛА И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз от формата: , където:

Степен с цяло число

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто показател е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степените

Характеристики на степените.

• Отрицателното число е повишено до дажестепен, - номер положителен.
• Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
• Положително число на каквато и да е степен е положително число.
• Нула е равна на всяка степен.
• Всяко число на нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМАТА...

Как ви харесва статията? Напишете по-долу в коментарите дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с използването на свойства на степени.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех на изпитите!

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 899 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях се отваря веднага.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Има много таблици със стойности на степените на естествените числа. Не е възможно да ги изброим всички. Тук ще дадем примери за някои такива таблици и задачи за намиране на стойности от такива таблици.

Таблица на степените на първите естествени числа

Нека първо представим таблица за намиране на степени на естествени числа от $2$ до $12$ по степени от $1$ до $10$ (Таблица 1). Обърнете внимание, че не даваме степени на числото $1$, защото единица на всяка степен ще бъде равна на себе си.

Трябва да намерите стойности от тази таблица, както следва: В първата колона намираме числото, чиято степен ни интересува. Запомнете номера на този ред. След това в първия член намираме експонентата и запомняме намерената колона. Пресечната точка на намерения ред и колона ще ни даде отговора.

Пример 1

Намерете $8^7$

Намираме числото $8$ в първата колона: получаваме 8-ия ред.

Виждаме, че в тяхното пресичане има числото $2097152$. Следователно

Таблици на степени на естествени числа от $1$ до $100$

Таблици с градуси от $1$ до $100$ също са доста популярни. Невъзможно е да се изброят всички, затова ще дадем тук като пример такива таблици за квадрати и кубове на такива естествени числа (Таблица 2 и Таблица 3).

Тези таблици приличат на добре познатите таблици за умножение, така че смятаме, че читателят няма да има затруднения при използването на тези таблици.

Пример 2

а) Намираме тази стойност в таблицата $2$ в таблицата $8$:

b) Намираме тази стойност в таблицата $3$:

Таблица с квадрати на естествени числа от $10$ до $99$

Друга популярна таблица е таблицата с квадрати на числа от $10$ до $99$ (Таблица 4), т.е. всички десетични числа.

Трябва да намерите стойности от тази таблица, както следва: В първата колона намираме броя на десетките от числото, което ни интересува. Запомнете номера на този ред. След това в първия член намираме броя на единиците от интересното число и запомняме намерената колона. Пресечната точка на намерения ред и колона ще ни даде отговора.

Пример 3

Намерете $37^2$

Намираме числото $3$ в първата колона: получаваме 4-тия ред.

Намираме числото $7$ в първия ред: получаваме 8-та колона.

Виждаме, че в тяхното пресичане има числото $1369$. Следователно

Таблицата на степените съдържа стойностите на положителните естествени числа от 1 до 10.

Запис 3 5 се чете „три на пета степен“. В тази нотация числото 3 се нарича основа на степента, числото 5 е експонента, а изразът 3 5 се нарича степен.

За да изтеглите градусната таблица, щракнете върху миниатюрата.

Калкулатор за степен

Каним ви да изпробвате нашия калкулатор на степените, който ще ви помогне да повдигнете всяко число на степен онлайн.

Използването на калкулатора е много просто - въведете числото, което искате да повдигнете на степен, а след това числото - степента и щракнете върху бутона "Изчисли".

Прави впечатление, че нашите онлайн калкулаторправомощията могат да се повишават както до положителни, така и до отрицателни степени. А за извличане на корени има още един калкулатор на сайта.

Как да повдигнем число на степен.

Нека разгледаме процеса на степенуване с пример. Да предположим, че трябва да повдигнем числото 5 на 3-та степен. На езика на математиката 5 е основата, а 3 е степента (или просто степента). И това може да се напише накратко по следния начин:

степенуване

И за да намерим стойността, ще трябва да умножим числото 5 по себе си 3 пъти, т.е.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Съответно, ако искаме да намерим стойността на числото 7 на 5-та степен, трябва да умножим числото 7 само по себе си 5 пъти, т.е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Друго нещо е, когато трябва да увеличите числото на отрицателна степен.

Как да повдигнем на отрицателна степен.

Когато повишавате до отрицателна степен, трябва да използвате просто правило:

как да повдигнем на отрицателна степен

Всичко е много просто - при повдигане на отрицателна степен трябва да разделим едно на основата на степен без знак минус - тоест на положителна степен. И така, за да намерите стойността

Таблица на степените на естествените числа от 1 до 25 по алгебра

Когато решавате различни математически задачи, често се налага да повдигате число на степен, главно от 1 до 10. И за да намерите бързо тези стойности, създадохме таблица на степените по алгебра, която ще публикувам на тази страница.

Първо, нека разгледаме числата от 1 до 6. Резултатите тук не са много големи; можете да ги проверите на обикновен калкулатор.

• 1 и 2 на степен от 1 до 10

Градусна таблица

Таблицата на степените е незаменим инструмент, когато трябва да повдигнете естествено число в рамките на 10 на степен, по-голяма от две. Достатъчно е да отворите таблицата и да намерите числото срещу желаната основа на степента и в колоната с необходимата степен - това ще бъде отговорът на примера. Освен удобната таблица, в долната част на страницата има примери за повдигане на естествени числа на степени до 10. Като изберете необходимата колона със степени на желаното число, можете лесно и просто да намерите решението, тъй като всички степени са подредени във възходящ ред.

Важен нюанс! Таблиците не показват повишаване на нулева степен, тъй като всяко число, повдигнато на нулева степен, е равно на единица: a 0 =1

Таблици за умножение, квадрати и степени

Време е да направим малко математика. Помните ли още колко е, ако две се умножат по две?

Ако някой е забравил, ще бъдат четири. Изглежда, че всеки помни и знае таблицата за умножение, но открих огромен брой заявки към Yandex като „таблица за умножение“ или дори „изтегляне на таблица за умножение“ (!). Именно за тази категория потребители, както и за по-напредналите, които вече се интересуват от квадрати и степени, публикувам всички тези таблици. Можете дори да изтеглите за ваше здраве! Така че:

10 на 2-ра степен + 11 на 2-ра степен + 12 на 2-ра степен + 13 на 2-ра степен + 14 на втора степен/365

Други въпроси от категорията

Помогнете ми да реша, моля)

Прочетете също

решения: 3x(на 2-ра степен)-48= 3(X на 2-ра степен)(x на втора степен)-16)=(X-4)(X+4)

5) три точка пет. 6) девет кома двеста седем хилядни. 2) запишете числото под формата на обикновена дроб: 1)0,3. 2) 0,516. 3) 0,88. 4) 0,01. 5) 0,402. 5) 0,038. 6) 0,609. 7)0,91,8)0,5,9)0,171,10)0,815,11)0,27,12)0,081,13)0,803

Колко е 2 на степен минус 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10?

Колко е 2 на степен минус 1?

Колко е 2 на степен минус 2?

Колко е 2 на степен минус 3?

Колко е 2 на минус 4-та степен?

Колко е 2 на степен минус 5?

Колко е 2 на минус 6-та степен?

Колко е 2 на минус 7-ма степен?

Колко е 2 на степен минус 8?

Колко е 2 на минус 9-та степен?

Колко е 2 на степен минус 10?

Отрицателната степен на n ^(-a) може да се изрази в следната форма 1/n^a.

2 на степен -1 = 1/2, ако е представено като десетичен знак, след това 0,5.

2 на степен - 2 = 1/4, или 0,25.

2 на степен -3= 1/8, или 0,125.

2 на степен -4 = 1/16, или 0,0625.

2 на степен -5 = 1/32, или 0,03125.

2 на степен - 6 = 1/64, или 0,015625.

2 на степен - 7 = 1/128 или 0.

2 на степен -8 = 1/256 или 0.

2 на степен -9 = 1/512 или 0.

2 на степен - 10 = 1/1024 или 0.

Подобни изчисления за други числа можете да намерите тук: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Отрицателната степен на число, на пръв поглед, сложна темапо алгебра.

Всъщност всичко е много просто - извършваме математически изчисления с числото „2“, като използваме алгебрична формула (виж по-горе), където вместо „a“ заместваме числото „2“, а вместо „n“ заместваме силата на числото. Калкулаторът ще помогне значително да намали времето за изчисления.

За съжаление, текстовият редактор на сайта не позволява използването на математически символи за дроби и отрицателни степени. Нека се ограничим до главна буквено-цифрова информация.

Това са простите числени стъпки, до които стигнахме.

Отрицателна степен на число означава, че това число се умножава по себе си толкова пъти, колкото е записано в степента и след това едно се дели на полученото число. За двама:

• (-1) степен е 1/2=0,5;
• (-2) степен е 1/(2 2)=0,25;
• (-3) степен е 1/(2 2 2)=0,125;
• (-4) степен е 1/(2 2 2 2)=0,0625;
• (-5) степен е 1/(2 2 2 2 2)=0,03125;
• (-6) степен е 1/(2 2 2 2 2 2)=0,015625;
• (-7) степен е 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0,078125;
• (-8) степен е 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) степента е 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) степента е 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.

По същество ние просто разделяме всяка предишна стойност на 2.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

Втората степен означава, че цифрата, получена по време на изчисленията, се умножава сама по себе си.

руски език: 15 фрази на тема пролет

Ранна пролет, късна пролет, пролетна зеленина, пролетно слънце, пролетен ден, пролетта дойде, пролетни птици, студена пролет, пролетна трева, пролетен ветрец, пролетен дъжд, пролетни дрехи, пролетни ботуши, пролетта е червена, пролетно пътуване.

Въпрос: 5*4 на втора степен -(33 на втора степен: 11) на 2-ра степен: 81 КАЖЕТЕ ОТГОВОРА С ДЕЙСТВИЕ

5*4 на втора степен -(33 на втора степен: 11) на 2-ра степен: 81 КАЖЕТЕ ОТГОВОРА С ДЕЙСТВИЕ

Отговори:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 Втората степен означава, че числото, което се оказа, че се умножава по себе си по време на изчисленията.

Колко е 10 на степен -2.

1. 10 на степен -2 е същото като 1/10 на степен 2, повдигате 10 на квадрат и получавате 1/100, което е равно на 0,01.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) Тъмно казваш? ..хе (от „Бялото слънце на пустинята“)

10 в -2 означава 1 делено на 10 в 2, т.е. 0,01

0.01 Завършихте обучението си!

10 на втора степен означава 100

10 на 1-ва степен 10

ако степента се намали с единица, тогава резултатът намалява в този случай с 10 пъти, следователно 10 на степен 0 ще бъде 1 (10/10)

10 на степен -1 е 1/10

10 на степен -2 е 1/100 или 0,01

Не разбрах коя степен 2 или -2. ако 2 преди отговора е 100, ако -2 тогава 0,01

100, странно е как мислите, че се оказва 0,01.

Това е 0.01 - отговарям за коректността!! ! А фактът, че са ти написали 100, е ако беше 10 на втора степен, така че дори не трябва да се съмняваш

Всичко това е десет на минус втора степен

Всичко ли е толкова трудно вечер?

Време е да направим малко математика. Помните ли още колко е, ако две се умножат по две?

Ако някой е забравил, ще бъдат четири. Изглежда, че всеки помни и знае таблицата за умножение, но открих огромен брой заявки към Yandex като „таблица за умножение“ или дори „изтегляне на таблица за умножение“ (!). Именно за тази категория потребители, както и за по-напредналите, които вече се интересуват от квадрати и степени, публикувам всички тези таблици. Можете дори да изтеглите за ваше здраве! Така че:

Таблица за умножение

(цели числа от 1 до 20)

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Таблица с квадрати

(цели числа от 1 до 100)

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100	11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400	21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900	31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600	41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500
51 2 = 2601 52 2 = 2704 53 2 = 2809 54 2 = 2916 55 2 = 3025 56 2 = 3136 57 2 = 3249 58 2 = 3364 59 2 = 3481 60 2 = 3600	61 2 = 3721 62 2 = 3844 63 2 = 3969 64 2 = 4096 65 2 = 4225 66 2 = 4356 67 2 = 4489 68 2 = 4624 69 2 = 4761 70 2 = 4900	71 2 = 5041 72 2 = 5184 73 2 = 5329 74 2 = 5476 75 2 = 5625 76 2 = 5776 77 2 = 5929 78 2 = 6084 79 2 = 6241 80 2 = 6400	81 2 = 6561 82 2 = 6724 83 2 = 6889 84 2 = 7056 85 2 = 7225 86 2 = 7396 87 2 = 7569 88 2 = 7744 89 2 = 7921 90 2 = 8100	91 2 = 8281 92 2 = 8464 93 2 = 8649 94 2 = 8836 95 2 = 9025 96 2 = 9216 97 2 = 9409 98 2 = 9604 99 2 = 9801 100 2 = 10000

Градусна таблица

(цели числа от 1 до 10)

1 на степен:

2 на степен:

3 на степен:

4 на степен:

5 на степен:

6 на степен:

7 на степен:

7 10 = 282475249

8 на степен:

8 10 = 1073741824

9 на степен:

9 10 = 3486784401

10 на степен:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

Нека разгледаме поредица от числа, първото от които е равно на 1, а всяко следващо е два пъти по-голямо: 1, 2, 4, 8, 16, ... С помощта на експоненти може да се запише в еквивалентна форма: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, ... Нарича се съвсем очаквано: последователност от степени на две.Изглежда, че в него няма нищо изключително - последователността е като последователност, не по-добра и не по-лоша от другите. Той обаче има много забележителни свойства.

Несъмнено много читатели са го срещали в класическата история за изобретателя на шаха, който поискал от владетеля като награда за първото поле на шахматната дъска едно зърно пшеница, за второто - две, за третото - четири и т.н. на, като през цялото време удвоявате броя на зърната. Ясно е, че общият им брой е равен на

С= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Но тъй като това количество е невероятно голямо и многократно надвишава годишната зърнена реколта по света, се оказа, че мъдрецът е олющил владетеля като пръчка.

Но нека сега си зададем друг въпрос: как да изчислим стойността с най-малко труд С? Собствениците на калкулатор (или освен това на компютър) могат лесно да извършват умножения в обозримо време и след това да добавят получените 64 числа, получавайки отговора: 18 446 744 073 709 551 615. И тъй като обемът на изчисленията е значителен, вероятността от грешка е голяма високо.

По-хитрите могат да забележат в тази последователност геометрична прогресия. Тези, които не са запознати с тази концепция (или тези, които просто са забравили стандартната формула за сумата от геометрична прогресия), могат да използват следното разсъждение. Нека умножим двете страни на равенството (1) по 2. Тъй като, когато степен на две се удвои, неговият показател нараства с 1, получаваме

2С = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Сега от (2) изваждаме (1). От лявата страна, разбира се, се оказва 2 С – С = С. От дясната страна ще има масивнавзаимно унищожаване на почти всички степени на две - от 2 1 до 2 63 включително, и ще остане само 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1.

S= 2 64 – 1.

Е, изразът беше значително опростен и сега, като имате калкулатор, който ви позволява да повдигнете на степен, можете да намерите стойността на това количество без най-малък проблем.

И ако нямате калкулатор, какво трябва да направите? Да умножа 64 двойки в колона? Какво друго липсваше! Опитен инженер или приложен математик, за когото времето е основен фактор, би могъл бързо оценявамотговор, т.е. намерете го приблизително с приемлива точност. По правило в ежедневието (и в повечето естествени науки) грешка от 2–3% е напълно приемлива и ако не надвишава 1%, тогава това е просто страхотно! Оказва се, че можете да изчислите нашите зърна с такава грешка изобщо без калкулатор и само за няколко минути. как? Сега ще видите.

И така, трябва да намерим възможно най-точно произведението на 64 двойки (веднага ще отхвърлим единицата поради нейната незначителност). Нека ги разделим на отделна група от 4 двойки и още 6 групи от по 10 двойки. Произведението от двойки в отделна група е равно на 2 4 = 16. А произведението от 10 двойки във всяка от другите групи е равно на 2 10 = 1024 (вижте, ако се съмнявате!). Но 1024 е около 1000, т.е. 10 3. Ето защо Стрябва да е близо до произведението на числото 16 от 6 числа, всяко от които е равно на 10 3, т.е. S ≈ 16·10 18 (тъй като 18 = 3·6). Вярно е, че грешката тук все още е голяма: в края на краищата, 6 пъти при замяната на 1024 с 1000 сгрешихме 1,024 пъти и общо сбъркахме, както е лесно да се види, 1,024 6 пъти. И какво сега - допълнително да умножа 1,024 шест пъти по себе си? Не, ще се справим! Известно е, че за броя X, което е многократно по-малко от 1, следната приблизителна формула е валидна с висока точност: (1 + х) п ≈ 1 + xn.

Следователно 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 6 = 1,144. Следователно, трябва да умножим числото 16·10 18, което намерихме, по числото 1,144, което води до 18 304 000 000 000 000 000, а това се различава от верния отговор с по-малко от 1%. Това искахме!

В този случай имахме голям късмет: една от степените на две (а именно десетата) се оказа много близка до една от степените на десет (а именно третата). Това ни позволява бързо да оценим стойността на всяка степен на две, не непременно 64-та. Сред правомощията на други числа това е рядко. Например 5 10 се различава от 10 7 също с 1,024 пъти, но... в по-малка степен. Това обаче е едно и също нещо: тъй като 2 10 5 10 = 10 10, тогава колко пъти 2 10 превъзхождащ 10 3, същия брой пъти 5 10 по-малко, отколкото 10 7 .

други интересна функцияна разглежданата последователност е, че всяко естествено число може да бъде конструирано от различнистепени на две и то по единствения начин. Например, за номера на текущата година имаме

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Доказването на тази възможност и уникалност не е трудно. Да започнем с възможности.Да предположим, че трябва да представим определено естествено число като сбор от различни степени на две Н. Първо, нека го запишем като сбор Нединици. Тъй като едно е 2 0, тогава първоначално Нима сума идентиченстепени на две. След това ще започнем да ги комбинираме по двойки. Сумата от две числа, равна на 2 0, е 2 1, така че резултатът е очевидно по-малкоброят членове, равен на 2 1, и евентуално едно число 2 0, ако за него не е намерена двойка. След това комбинираме еднакви членове 2 1 по двойки, получавайки още по-малък брой числа 2 2 (тук също е възможна появата на несдвоена степен на две 2 1). След това отново комбинираме равни членове по двойки и т.н. Рано или късно процесът ще приключи, защото броят на еднаквите степени на две намалява след всяко обединение. Когато стане равно на 1, въпросът е приключил. Остава само да се съберат всички получени несдвоени степени на две - и представлението е готово.

Колкото до доказателството уникалностпредставяния, тогава методът „чрез противоречие“ е много подходящ тук. Нека същото число Нуспя да бъде представен във формата двенабори от различни степени на две, които не съвпадат напълно (т.е. има степени на две, които са включени в едно множество, но не и в друго, и обратно). Първо, нека отхвърлим всички съвпадащи степени на две от двете групи (ако има такива). Ще получите две представяния на едно и също число (по-малко или равно на Н) като сбор от различни степени на две, и Всичкистепени в представителствата различни. Във всяко от представянията, които подчертаваме най-великиятстепен. Поради горното, за две представителства тези степени различни. Наричаме представянето, за което тази степен е по-голяма първи, други - второ. И така, нека в първото представяне най-голямата степен е 2 м, то във втория очевидно не надвишава 2 м–1. Но тъй като (и ние вече се сблъскахме с това по-горе, броейки зърната на шахматната дъска) равенството е вярно

2м = (2м –1 + 2м –2 + ... + 2 0) + 1,

след това 2 м строго повечесборът от всички степени на 2, които не превишават 2 м–1. Поради тази причина най-голямата степен на две, включена в първото представяне, със сигурност е по-голяма от сумата всичкимощности на две, включени във второто представяне. Противоречие!

Всъщност току-що обосновахме възможността за записване на числа двоиченбройна система. Както знаете, той използва само две цифри - нула и единица, като всяко естествено число се записва в двоичната система по уникален начин (например горепосочената 2012 - като 11 111 011 100). Ако номерираме цифрите (двоичните цифри) отдясно наляво, започвайки от нула, тогава числата на онези цифри, в които има единици, ще бъдат точно показателите на степените на двойките, включени в представянето.

По-малко известно е следното свойство на множеството от цели неотрицателни степени на две. Нека произволно поставим знак минус на някои от тях, т.е. да превърнем положителните в отрицателни. Единственото изискване е резултатът както от положителни, така и от отрицателни числа да бъде безкраен брой.Например, можете да поставите знак минус на всяка пета степен на две или например да оставите само числата 2 10, 2 100, 2 1000 положителни и т.н. - има колкото искате опции.

Изненадващо, всякакви цялочислото може (и по единствения начин) да бъде представено като сбор от различните членове на нашата „положително-отрицателна“ последователност. И не е много трудно да се докаже това (например чрез индукция по показатели на степени на двойки). Основната идея на доказателството е наличието на произволно големи абсолютна стойносткакто положителни, така и отрицателни условия. Опитайте сами доказателството.

Интересно е да се наблюдават последните цифри от членовете на последователността от степени на две. Тъй като всяко следващо число в редицата се получава чрез удвояване на предходното, последната цифра на всяко от тях се определя изцяло от последната цифра на предходното число. И тъй като има ограничен брой различни цифри, последователността от последните цифри на степени на две е просто длъженбъдете периодични! Дължината на периода, естествено, не надвишава 10 (тъй като толкова числа използваме), но това е силно надценена стойност. Нека се опитаме да го оценим, без да изписваме самата последователност засега. Ясно е, че последните цифри на всички степени на две, започващи с 2 1, даже. Освен това сред тях не може да има нула - тъй като число, завършващо на нула, се дели на 5, което е невъзможно да се подозира за степен на две. И тъй като има само четири четни цифри без нула, дължината на периода не надвишава 4.

Тестването показва, че това е така и периодичността се появява почти веднага: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - в пълно съответствие с теорията!

Не по-малко успешно е да се оцени дължината на периода на последната двойка цифри на последователност от степени на две. Тъй като всички степени на две, започващи с 2 2, се делят на 4, тогава числата, образувани от последните им две цифри, се делят на 4. Има не повече от 25 двуцифрени числа, делими на 4 (за едноцифрени числа, считаме, че нулата е предпоследната цифра), но от тях трябва да елиминирате пет числа, завършващи на нула: 00, 20, 40, 60 и 80. Така периодът може да съдържа не повече от 25 - 5 = 20 числа. Проверката показва, че това е така, периодът започва с числото 2 2 и съдържа двойки числа: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52 и след това отново 04 и така нататък.

По същия начин може да се докаже, че продължителността на периода на последния мцифрите на последователността от степени на две не надвишават 4 5 м–1 (още повече, че всъщност тя равно на 4·5 м–1, но това е много по-трудно за доказване).

Така че се налагат доста строги ограничения върху последните цифри на правомощията на две. Какво ще кажете за първичисла? Тук положението е почти обратното. Оказва се, че за всякаквинабор от цифри (първата от които не е нула), има степен две, започваща с този набор от цифри. И такива правомощия на две безкрайно много!Например, има безкраен брой степени на две, започващи с цифрите 2012 или, да речем, 3,333,333,333,333,333,333,333.

И ако разгледаме само една много първа цифра от различни степени на две - какви стойности може да приеме? Лесно се проверява, че всички са от 1 до 9 включително (разбира се, сред тях няма нула). Но кои от тях се срещат по-често и кои по-рядко? По някакъв начин не е веднага очевидно защо едно число трябва да се среща по-често от друго. По-задълбочените размишления обаче показват, че не може да се очаква абсолютно еднакво появяване на числата. Наистина, ако първата цифра на която и да е степен на две е 5, 6, 7, 8 или 9, тогава първата цифра на следващата степен на две задължително ще бъде единица!Следователно трябва да има „изкривяване“ поне към единството. Следователно е малко вероятно останалите числа да бъдат „равномерно представени“.

Практиката (а именно директните компютърни изчисления за първите няколко десетки хиляди степени на две) потвърждава нашите подозрения. Ето относителния дял на първите цифри на степените на две, закръглени до 4 знака след десетичната запетая:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Както виждаме, с нарастването на числата тази стойност намалява (и следователно една и съща единица е приблизително 6,5 пъти по-вероятно да бъде първата цифра на степени на две от девет). Колкото и странно да изглежда, почти същото съотношение на числата на първите цифри ще се случи за почти всяка последователност от степени - не само две, но, да речем, три, пет, осем и като цяло почти всекичисла, включително нецели (единствените изключения са някои „специални“ числа). Причините за това са много дълбоки и сложни и за да ги разберете трябва да знаете логаритми. За тези, които са запознати с тях, нека повдигнем завесата: оказва се, че относителната пропорция на степените на две, десетичен запискойто започва с число Е(За Е= 1, 2, ..., 9), е log ( Е+ 1) – дневник ( Е), където lg е т.нар десетичен логаритъм,равно на степента, до която трябва да се повдигне числото 10, за да се получи числото под знака на логаритъма.

Използвайки горепосочената връзка между степените на две и пет, А. Канел открива интересен феномен. Нека изберем няколко числа от поредицата от първите цифри на степени на две (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) договори ги напишете в обратен ред. Оказва се, че тези числа със сигурност ще отговарят също подред, започвайки от определено място, в последователността на първите цифри на степените на пет.

Степените на две също са един вид „генератор“ за производството на добре познати перфектни числа, които са равни на сумата от всички техни делители, без себе си. Например числото 6 има четири делителя: 1, 2, 3 и 6. Нека изхвърлим този, който е равен на самото число 6, остават три делителя, чиято сума е точно 1 + 2 + 3 = 6. Следователно , 6 е перфектно число.

За да получите перфектно число, вземете две последователни степени на две: 2 п–1 и 2 п. Намаляваме най-големия от тях с 1, получаваме 2 п– 1. Оказва се, че ако това е просто число, тогава като го умножим по предишната степен на две, образуваме идеалното число 2 п –1 (2п– 1). Например, когато п= 3 получаваме оригиналните числа 4 и 8. Тъй като 8 – 1 = 7 е просто число, тогава 4·7 = 28 е перфектно число. Освен това по едно време Леонард Ойлер доказа, че всичко дажесъвършените числа имат точно тази форма. Нечетните перфектни числа все още не са открити (и малко хора вярват в тяхното съществуване).

Степените на две са тясно свързани с т.нар Каталонски номера, чиято последователност е 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429... Те често възникват при решаване на различни комбинаторни задачи. Например, по колко начина можете да разделите конвекс п-gon в триъгълници с различни диагонали? Същият Ойлер установи, че тази стойност е равна на ( п– 1) към каталонското число (означаваме го Кн–1), и той също откри това Кн = Кн–1 ·(4 п – 6)/п. Последователността на каталонските числа има много интересни свойства и едно от тях (точно свързано с темата на тази статия) е, че поредните номера на всички нечетни каталонски числа са степени на две!

Степените на две често се срещат в различни задачи, не само в условията, но и в отговорите. Да вземем, например, някога популярния (и все още незабравен) кулата на Ханой. Това е името на играта пъзел, изобретена през 19 век от френския математик Е. Люк. Съдържа три пръчки, едната от които е прикрепена пдискове с дупка в средата на всеки. Диаметрите на всички дискове са различни и са подредени в низходящ ред отдолу нагоре, т.е. най-големият диск е отдолу (виж фигурата). Оказа се като кула от дискове.

Трябва да преместите тази кула на друг прът, като спазвате следните правила: прехвърляйте дисковете стриктно един по един (премахвайки горния диск от всеки прът) и винаги поставяйте само по-малкия диск върху по-големия, но не обратното. Въпросът е: какъв е минималният брой ходове, необходими за това? (Наричаме ход премахването на диск от един прът и поставянето му на друг.) Отговор: равен е на 2 п– 1, което се доказва лесно по индукция.

Нека за пдискове, необходимият минимален брой ходове е равен на X n. Ще намерим X п+1. В процеса на работа рано или късно ще трябва да премахнете най-големия диск от пръта, върху който първоначално са били поставени всички дискове. Тъй като този диск може да се постави само върху празен прът (в противен случай той ще „натисне“ по-малкия диск, което е забранено), тогава всички горни пдисковете първо трябва да бъдат прехвърлени на третия прът. Това ще изисква не по-малко X nсе движи. След това прехвърляме най-големия диск на празен прът - ето още един ход. Накрая, за да го "изцедите" отгоре с по-малки пдискове, отново ще ви трябват не по-малко X nсе движи. така че X n +1 ≥ X n + 1 +Xn = 2X n+ 1. От друга страна, описаните по-горе стъпки показват как можете да се справите със задача 2 X n+ 1 хода. Следователно най-накрая X n +1 =2X n+ 1. Получена е рекурентна връзка, но за да я приведем в „нормален“ вид, все още трябва да намерим X 1. Е, това е толкова просто: X 1 = 1 (просто не може да бъде по-малко!). Въз основа на тези данни не е трудно да се установи това X n = 2п– 1.

Ето още един интересен проблем:

Намерете всички естествени числа, които не могат да бъдат представени като сбор от няколко (поне две) последователни естествени числа.

Нека първо проверим най-малките числа. Ясно е, че числото 1 в тази форма не може да бъде представено. Но всички нечетни числа, които са по-големи от 1, разбира се, могат да бъдат измислени. Всъщност всяко нечетно число, по-голямо от 1, може да бъде записано като 2 к + 1 (к- естествено), което е сумата от две последователни естествени числа: 2 к + 1 = к + (к + 1).

Какво ще кажете за четните числа? Лесно се вижда, че числата 2 и 4 не могат да бъдат представени в необходимата форма. Може би това е вярно за всички четни числа? Уви, следващото четно число опровергава нашето предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Но числото 8 отново не се поддава. Вярно, че следните числа отново се поддават на атаката: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, но 16 отново е невъобразимо.

Е, натрупаната информация ни позволява да направим предварителни заключения. Моля, обърнете внимание: не може да бъде изпратен в посочения формуляр само степени на две. Това вярно ли е за останалите числа? Оказва се, че да! Всъщност, разгледайте сумата от всички естествени числа от мкъм пвключително. Тъй като според условието те са поне две, значи п > м. Както знаете, сумата от последователните членове на една аритметична прогресия (и точно с това имаме работа!) е равна на произведението от полусумата на първия и последния член и техния брой. Половината сума е ( п + м)/2, а броят на числата е п – м+ 1. Следователно сумата е ( п + м)(п – м+ 1)/2. Обърнете внимание, че числителят съдържа два фактора, всеки от които строго повече 1, а паритетът им е различен. Оказва се, че сумата от всички естествени числа от мкъм псе дели включително на нечетно число, по-голямо от 1 и следователно не може да бъде степен на две. Така че сега е ясно защо не беше възможно да се представят степени на две в необходимата форма.

Остава да се уверим в това не степени на двеможете да си представите. Що се отнася до нечетните числа, с тях вече се занимавахме по-горе. Нека вземем всяко четно число, което не е степен на две. Нека най-голямата степен на две, на която се дели, е 2 а (а- естествен). След това, ако числото е разделено на 2 а, вече ще се получи странночисло, по-голямо от 1, което записваме в познатата форма - като 2 к+ 1 (к- също естествен). Това означава, че по принцип нашето четно число, което не е степен на две, е 2 а (2к+ 1). Сега нека разгледаме две опции:

1. 2 а+1 > 2к+ 1. Вземете сбора 2 к+ 1 последователни естествени числа, средноот които е равно на 2 а. Тогава е лесно да се види това най-малкоот които е равно на 2 a–k, а най-голямото е 2 а + к, а най-малкото (и следователно всички останали) е положително, т.е. наистина естествено. Е, сумата, очевидно, е само 2 а(2к + 1).
2. 2 а+1 < 2к+ 1. Вземете сбора 2 а+1 последователни естествени числа. Не може да се посочи тук средночисло, тъй като броят на числата е четен, но посочете няколко средничисла е възможно: нека това са числа кИ к+ 1. Тогава най-малкона всички числа равни к+ 1 – 2а(а също и положително!), а най-голямото е равно на к+ 2а. Сборът им също е 2 а(2к + 1).

Това е. И така, отговорът е: непредставимите числа са степени на две и само те.

И ето още един проблем (предложен за първи път от В. Произволов, но в малко по-различна формулировка):

Градината е оградена с непрекъсната ограда от N дъски. По заповед на леля Поли Том Сойер вароса оградата, но по собствената си система: като се движи през цялото време по посока на часовниковата стрелка, той първо вароса произволна дъска, след това прескача една дъска и варосва следващата, след това прескача две дъски и варосва следващата една, след това прескача три дъски и вароса следващата и така нататък, като всеки път пропуска още една дъска (в този случай някои дъски могат да бъдат варосани няколко пъти - това не притеснява Том).

Том вярва, че при такава схема рано или късно всички дъски ще бъдат варосани, а леля Поли е сигурна, че поне една дъска ще остане небелосана, колкото и да работи Том. За кое N е прав Том и за кое N е права леля Поли?

Описаната система за варосване изглежда доста хаотична, така че първоначално може да изглежда, че за всеки (или почтивсякакви) НВсяка дъска някой ден ще получи своя дял вар, т.е. предимно, Том е прав. Но първото впечатление е измамно, защото всъщност Том е прав само за ценностите Н, които са степени на две. За останалите Нима дъска, която ще остане завинаги небелосана. Доказателството на този факт е доста тромаво (въпреки че по принцип не е трудно). Каним читателя да го направи сам.

Това са те - степени на две. На пръв поглед това е просто като белене на круши, но след като се заровите в него... И тук не сме засегнали всички невероятни и мистериозни свойства на тази последователност, а само онези, които хванаха окото ни. Е, на читателя се дава правото самостоятелно да продължи изследванията в тази област. Те несъмнено ще се окажат ползотворни.

Техният брой е нула).
И не само две, както беше отбелязано по-рано!
Жадните за подробности могат да прочетат статията на В. Болтянски „Често ли степента на две започва с едно?“ (“Квант” № 5, 1978 г.), както и статията на В. Арнолд “Статистика на първите цифри на степените на две и преразпределението на света” (“Квант” № 1, 1998 г.).
Вижте задача M1599 от “Задачник на Квант” (“Квант” № 6, 1997 г.).
В момента има 43 известни перфектни числа, най-голямото от които е 2 30402456 (2 30402457 – 1). Съдържа над 18 милионичисла