Opća izjava problema: poznate su vjerojatnosti nekih događaja, a potrebno je izračunati vjerojatnosti drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U ovim problemima postoji potreba za operacijama s vjerojatnostima kao što su zbrajanje i množenje vjerojatnosti.
Na primjer, u lovu se ispale dva hica. Događaj A- pogađanje patke prvim udarcem, događaj B- pogodak iz drugog udarca. Zatim zbroj događaja A I B- pogoditi prvim ili drugim hicem ili s dva hica.
Problemi drugačijeg tipa. Zadano je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Trebate pronaći vjerojatnost da će se ili grb pojaviti sva tri puta ili da će se grb pojaviti barem jednom. Ovo je problem množenja vjerojatnosti.
Zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja
Zbrajanje vjerojatnosti koristi se kada je potrebno izračunati vjerojatnost kombinacije ili logičkog zbroja slučajnih događaja.
Zbroj događaja A I B označiti A + B ili A ∪ B. Zbroj dva događaja je događaj koji se dogodi ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B– događaj koji se događa ako i samo ako se događaj dogodio tijekom promatranja A ili događaj B, ili istovremeno A I B.
Ako događaji A I B su međusobno nekonzistentni i njihove su vjerojatnosti dane, tada se vjerojatnost da će se jedan od tih događaja dogoditi kao rezultat jednog pokušaja izračunava korištenjem zbrajanja vjerojatnosti.
Teorem zbrajanja vjerojatnosti. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:
Na primjer, u lovu se ispale dva hica. Događaj A– pogađanje patke prvim hicem, događaj U– pogodak iz drugog udarca, događaj ( A+ U) – pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica. Dakle, ako dva događaja A I U– nespojivi događaji, dakle A+ U– pojavu najmanje jednog od ovih događaja ili dva događaja.
Primjer 1. U kutiji se nalazi 30 kuglica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerojatnost da će obojena (ne bijela) lopta biti podignuta bez gledanja.
Riješenje. Pretpostavimo da je događaj A- “crvena lopta je uzeta”, i događaj U- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj "uzeta obojena (ne bijela) lopta." Nađimo vjerojatnost događaja A:
i događanja U:
Događaji A I U– međusobno nekompatibilne, jer ako se uzme jedna lopta, onda je nemoguće uzeti kuglice različitih boja. Stoga koristimo zbrajanje vjerojatnosti:
Teorem za zbrajanje vjerojatnosti za nekoliko nekompatibilnih događaja. Ako događaji čine potpuni skup događaja, tada je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1:
Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja također je jednak 1:
Suprotni događaji čine potpuni skup događaja, a vjerojatnost potpunog skupa događaja je 1.
Vjerojatnosti suprotnih događaja obično su označene malim slovima str I q. Posebno,
iz čega slijede sljedeće formule za vjerojatnost suprotnih događaja:
Primjer 2. Meta u strelištu je podijeljena u 3 zone. Vjerojatnost da će određeni strijelac pogoditi metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni – 0,23, u trećoj zoni – 0,17. Nađite vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu i vjerojatnost da će strijelac promašiti metu.
Rješenje: Nađite vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu:
Nađimo vjerojatnost da će strijelac promašiti metu:
Složeniji zadaci, u kojima treba koristiti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, nalaze se na stranici "Razni zadaci sa zbrajanjem i množenjem vjerojatnosti".
Zbrajanje vjerojatnosti međusobno istodobnih događaja
Dva slučajna događaja nazivaju se zajedničkim ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom promatranju. Na primjer, prilikom bacanja kocke događaj A Broj 4 smatra se valjanim, a događaj U- ispadanje Parni broj. Budući da je 4 paran broj, dva događaja su kompatibilna. U praksi se javljaju problemi izračunavanja vjerojatnosti nastanka jednog od međusobno istodobnih događaja.
Teorem zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja od kojeg se oduzima vjerojatnost zajedničkog događanja oba događaja, odnosno umnožak vjerojatnosti. Formula za vjerojatnosti zajedničkih događaja ima sljedeći oblik:
Od događaja A I U kompatibilan, događaj A+ U događa ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremu zbrajanja nekompatibilnih događaja izračunavamo na sljedeći način:
Događaj A dogodit će se ako se dogodi jedan od dva nekompatibilna događaja: ili AB. Međutim, vjerojatnost pojave jednog događaja od nekoliko nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svih tih događaja:
Također:
Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobivamo formulu vjerojatnosti zajedničkih događaja:
Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji A I U Može biti:
- međusobno nezavisni;
- međusobno ovisni.
Formula vjerojatnosti za međusobno neovisne događaje:
Formula vjerojatnosti za međusobno ovisne događaje:
Ako događaji A I U nekonzistentni, onda je njihova slučajnost nemoguć slučaj i, prema tome, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerojatnosti za nekompatibilne događaje je:
Primjer 3. U auto utrkama, kada vozite prvi automobil, imate veće šanse za pobjedu, a kada vozite drugi automobil. Pronaći:
- vjerojatnost da će oba automobila pobijediti;
- vjerojatnost da će barem jedan automobil pobijediti;
1) Vjerojatnost da će prvi automobil pobijediti ne ovisi o rezultatu drugog automobila, tako da događaji A(prvi auto pobjeđuje) i U(drugi automobil će pobijediti) – nezavisni događaji. Nađimo vjerojatnost da oba automobila pobijede:
2) Nađite vjerojatnost da će jedan od dva automobila pobijediti:
Složeniji zadaci, u kojima treba koristiti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, nalaze se na stranici "Razni zadaci sa zbrajanjem i množenjem vjerojatnosti".
Riješite sami problem zbrajanja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 4. Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novčiću. Događaj B- gubitak grba na drugom novčiću. Pronađite vjerojatnost događaja C = A + B .
Množenje vjerojatnosti
Množenje vjerojatnosti koristi se kada se mora izračunati vjerojatnost logičkog produkta događaja.
U ovom slučaju slučajni događaji moraju biti neovisni. Za dva događaja kažemo da su međusobno neovisna ako pojava jednog događaja ne utječe na vjerojatnost pojave drugog događaja.
Teorem množenja vjerojatnosti za neovisne događaje. Vjerojatnost istodobne pojave dvaju neovisnih događaja A I U jednaka je umnošku vjerojatnosti tih događaja i izračunava se formulom:
Primjer 5. Novčić se baca tri puta zaredom. Nađite vjerojatnost da će se grb pojaviti sva tri puta.
Riješenje. Vjerojatnost da će se grb pojaviti pri prvom bacanju novčića, drugom i trećem bacanju. Nađimo vjerojatnost da će se grb pojaviti sva tri puta:
Riješite sami zadatke množenja vjerojatnosti i zatim pogledajte rješenje
Primjer 6. Tu je kutija s devet novih teniskih loptica. Za igru se uzimaju tri lopte, koje se nakon igre vraćaju. Kod odabira lopti ne razlikuju se igrane od neigranih lopti. Kolika je vjerojatnost da nakon tri utakmice u kaznenom prostoru neće ostati nijedna neodigrana lopta?
Primjer 7. Na izrezanim karticama abecede ispisana su 32 slova ruske abecede. Pet karata se nasumično izvlače jedna za drugom i stavljaju na stol redoslijedom pojavljivanja. Odredite vjerojatnost da će slova tvoriti riječ "kraj".
Primjer 8. Iz punog špila karata (52 lista) odjednom se vade četiri karte. Odredite vjerojatnost da će sve četiri karte biti različitih boja.
Primjer 9. Isti zadatak kao u primjeru 8, ali se svaka karta nakon uklanjanja vraća u špil.
Složeniji zadaci, u kojima je potrebno koristiti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, kao i izračunati umnožak više događaja, nalaze se na stranici "Razni zadaci sa zbrajanjem i množenjem vjerojatnosti".
Vjerojatnost da će se dogoditi barem jedan od međusobno neovisnih događaja može se izračunati tako da se od 1 oduzme umnožak vjerojatnosti suprotnih događaja, odnosno pomoću formule.
- Vjerojatnost je stupanj (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada postoje razlozi za bilo koji mogući događaj dogodio u stvarnosti, suprotni razlozi prevladavaju, tada se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerojatnim ili nevjerojatnim. Prevladavanje pozitivnih razloga nad negativnima, i obrnuto, može biti različitog stupnja, zbog čega vjerojatnost (i nevjerojatnost) može biti veća ili manja. Stoga se vjerojatnost često procjenjuje na kvalitativnoj razini, osobito u slučajevima kada je koliko-toliko točna kvantitativna procjena nemoguća ili iznimno teška. Moguće su različite gradacije “razina” vjerojatnosti.
Proučavanje vjerojatnosti s matematičkog gledišta čini posebnu disciplinu - teoriju vjerojatnosti. U teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici pojam vjerojatnosti je formaliziran kao numerička karakteristika događaji - mjera vjerojatnosti (ili njezina vrijednost) - mjera na skupu događaja (podskupovi skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti iz
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Značenje
(\displaystyle 1)
Odgovara pouzdanom događaju. Nemogući događaj ima vjerojatnost 0 (obrnuto općenito nije uvijek točno). Ako je vjerojatnost događanja događaja
(\displaystyle p)
Tada je vjerojatnost njegovog nepojavljivanja jednaka
(\displaystyle 1-p)
Konkretno, vjerojatnost
(\displaystyle 1/2)
Označava jednaku vjerojatnost pojavljivanja i nepojavljivanja događaja.
Klasična definicija vjerojatnosti temelji se na konceptu jednake vjerojatnosti ishoda. Vjerojatnost je omjer broja ishoda koji su povoljni za određeni događaj prema ukupnom broju jednako mogućih ishoda. Na primjer, vjerojatnost dobivanja glave ili repa u nasumičnom bacanju novčića je 1/2 ako se pretpostavi da se pojavljuju samo te dvije mogućnosti i da su jednako moguće. Ova klasična "definicija" vjerojatnosti može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti - na primjer, ako se neki događaj može dogoditi s jednakom vjerojatnošću u bilo kojoj točki (broj točaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostora (ravnine), tada je vjerojatnost da će se to dogoditi u nekom dijelu ovog mogućeg područja jednaka omjeru volumena (površine) tog dijela prema volumenu (površini) područja svih mogućih točaka.
Empirijska "definicija" vjerojatnosti povezana je s učestalošću pojavljivanja događaja na temelju činjenice da s dovoljno veliki broj učestalost testiranja treba težiti objektivnom stupnju mogućnosti ovog događaja. U suvremenom prikazu teorije vjerojatnosti, vjerojatnost se definira aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupa. No, poveznica između apstraktne mjere i vjerojatnosti, koja izražava stupanj mogućnosti događanja nekog događaja, jest upravo učestalost njegova opažanja.
Vjerojatnosni opis određenih pojava postao je raširen u moderna znanost, posebice u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sustava, gdje se ni u slučaju klasičnog determinističkog opisa gibanja čestica deterministički opis cjelokupnog sustava čestica ne čini praktično mogućim i primjerenim. U kvantna fizika Sami opisani procesi su probabilističke prirode.
Kada je novčić bačen, možemo reći da će pasti na glavu, ili vjerojatnost ovo je 1/2. Naravno, to ne znači da ako se novčić baci 10 puta, nužno će 5 puta pasti na glavu. Ako je novčić "pošten" i ako se baci mnogo puta, tada će glave polovicu vremena pasti vrlo blizu. Dakle, postoje dvije vrste vjerojatnosti: eksperimentalni I teoretski .
Eksperimentalna i teorijska vjerojatnost
Ako bacite novčić veliki broj puta - recimo 1000 - i izbrojite koliko puta su glave bačene, možemo odrediti vjerojatnost da će glave biti bačene. Ako se glave bace 503 puta, možemo izračunati vjerojatnost da će pasti:
503/1000, odnosno 0,503.
Ovaj eksperimentalni definicija vjerojatnosti. Ova definicija vjerojatnosti dolazi iz promatranja i proučavanja podataka i prilično je uobičajena i vrlo korisna. Evo, na primjer, nekih vjerojatnosti koje su određene eksperimentalno:
1. Vjerojatnost da će žena razviti rak dojke je 1/11.
2. Ako poljubite nekoga tko je prehlađen, tada je vjerojatnost da ćete i vi dobiti prehladu 0,07.
3. Osoba koja je upravo izašla iz zatvora ima 80% šanse da se vrati u zatvor.
Ako uzmemo u obzir bacanje novčića i uzmemo u obzir da je jednako vjerojatno da će doći do heads ili repova, možemo izračunati vjerojatnost dobivanja heads: 1/2. Ovo je teorijska definicija vjerojatnosti. Evo nekih drugih vjerojatnosti koje su teoretski određene pomoću matematike:
1. Ako je u sobi 30 ljudi, vjerojatnost da dvoje od njih imaju isti rođendan (bez godine) je 0,706.
2. Tijekom putovanja upoznate nekoga, a tijekom razgovora otkrijete da imate zajedničkog prijatelja. Tipična reakcija: "Ovo ne može biti!" Zapravo, ova fraza nije prikladna, jer je vjerojatnost takvog događaja prilično visoka - nešto više od 22%.
Stoga se eksperimentalne vjerojatnosti određuju promatranjem i prikupljanjem podataka. Teorijske vjerojatnosti se određuju matematičkim zaključivanjem. Primjeri eksperimentalnih i teorijskih vjerojatnosti, kao što su oni o kojima smo govorili gore, a posebno oni koje ne očekujemo, navode nas na važnost proučavanja vjerojatnosti. Možete pitati: "Što je prava vjerojatnost?" Zapravo, toga nema. Vjerojatnosti unutar određenih granica mogu se odrediti eksperimentalno. One se mogu, ali ne moraju podudarati s vjerojatnostima koje dobivamo teoretski. Postoje situacije u kojima je mnogo lakše odrediti jednu vrstu vjerojatnosti nego drugu. Na primjer, bilo bi dovoljno pronaći vjerojatnost prehlade pomoću teorijske vjerojatnosti.
Izračun eksperimentalnih vjerojatnosti
Razmotrimo prvo eksperimentalnu definiciju vjerojatnosti. Osnovno načelo koje koristimo za izračunavanje takvih vjerojatnosti je sljedeće.
Princip P (eksperimentalno)
Ako se u eksperimentu u kojem se vrši n opažanja situacija ili događaj E pojavi m puta u n opažanja, tada se kaže da je eksperimentalna vjerojatnost događaja P (E) = m/n.
Primjer 1 Sociološko istraživanje. Održan eksperimentalna studija utvrditi broj ljevaka, dešnjaka i osoba čije su obje ruke podjednako razvijene.Rezultati su prikazani na grafikonu.
a) Odredite vjerojatnost da je osoba dešnjak.
b) Odredite vjerojatnost da je osoba ljevak.
c) Odredite vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama.
d) Većina turnira Profesionalne kuglačke udruge ograničena je na 120 igrača. Na temelju podataka iz ovog eksperimenta, koliko bi igrača moglo biti ljevoruko?
Riješenje
a)Broj ljudi koji su dešnjaci je 82, broj ljevorukih je 17, a broj onih koji podjednako tečno govore obje ruke je 1. Ukupan broj opažanja je 100. Dakle, vjerojatnost da je osoba dešnjak je P
P = 82/100, ili 0,82, ili 82%.
b) Vjerojatnost da je osoba ljevak je P, gdje je
P = 17/100, ili 0,17, ili 17%.
c) Vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama je P, gdje je
P = 1/100, ili 0,01, ili 1%.
d) 120 bacača kugle, a iz (b) možemo očekivati da je 17% ljevorukih. Odavde
17% od 120 = 0,17,120 = 20,4,
odnosno možemo očekivati 20-ak igrača koji će biti ljevoruki.
Primjer 2 Kontrola kvalitete
. Za proizvođača je vrlo važno održati kvalitetu svojih proizvoda na visoka razina. Zapravo, tvrtke angažiraju inspektore za kontrolu kvalitete kako bi osigurale ovaj proces. Cilj je proizvesti minimalni mogući broj neispravnih proizvoda. Ali budući da tvrtka proizvodi tisuće proizvoda svaki dan, ne može si priuštiti testiranje svakog proizvoda kako bi se utvrdilo je li neispravan ili ne. Kako bi saznali koliki je postotak proizvoda neispravan, tvrtka testira mnogo manje proizvoda.
USDA zahtijeva da 80% sjemena koje prodaju uzgajivači mora proklijati. Da bi se utvrdila kvaliteta sjemena koje poljoprivredno poduzeće proizvodi, sadi se 500 sjemenki proizvedenih sjemenki. Nakon toga je izračunato da je proklijalo 417 sjemenki.
a) Kolika je vjerojatnost da će sjeme proklijati?
b) Zadovoljava li sjeme državne standarde?
Riješenje a) Znamo da je od 500 sjemenki koje su posađene 417 proklijalo. Vjerojatnost klijanja sjemena P, i
P = 417/500 = 0,834, ili 83,4%.
b) Budući da je postotak proklijalog sjemena premašio 80% prema zahtjevima, sjeme zadovoljava državne standarde.
Primjer 3 Gledanost televizije. Prema statistici, u Sjedinjenim Državama ima 105 500 000 kućanstava s televizorom. Svaki tjedan se prikupljaju i obrađuju podaci o gledanosti programa. U jednom tjednu, 7.815.000 kućanstava gledalo je hit humorističnu seriju "Everybody Loves Raymond" na CBS-u i 8.302.000 kućanstava gledalo je hit seriju "Zakon i red" na NBC-u (Izvor: Nielsen Media Research). Koja je vjerojatnost da je TV u jednom kućanstvu podešen na "Svi vole Raymonda" tijekom određenog tjedna? na "Zakon i red"?
Riješenje Vjerojatnost da je TV u jednom kućanstvu podešen na "Svi vole Raymonda" je P, i
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Šansa da je TV u kućanstvu podešen na Zakon i red je P, i
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ti se postoci nazivaju ocjenama.
Teorijska vjerojatnost
Pretpostavimo da provodimo eksperiment, poput bacanja novčića ili pikada, izvlačenja karte iz špila ili testiranja kvalitete proizvoda na tekućoj traci. Svaki mogući rezultat takvog eksperimenta naziva se Egzodus . Skup svih mogućih ishoda naziva se prostor ishoda . Događaj to je skup ishoda, odnosno podskup prostora ishoda.
Primjer 4 Bacanje pikada. Pretpostavimo da u eksperimentu s bacanjem strelica strelica pogodi metu. Pronađite sve od sljedećeg:
b) Ishodni prostor
Riješenje
a) Ishodi su: pogađanje crnog (B), pogađanje crvenog (R) i pogađanje bijelog (B).
b) Prostor ishoda je (pogađanje crnog, pogađanje crvenog, pogađanje bijelog), što se može napisati jednostavno kao (H, K, B).
Primjer 5 Bacanje kocke.
Kockica je kocka sa šest strana, od kojih svaka ima od jedne do šest točaka. 
Pretpostavimo da bacamo kocku. Pronaći
a) Ishodi
b) Ishodni prostor
Riješenje
a) Ishodi: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ishodni prostor (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Vjerojatnost da se događaj E dogodi označavamo kao P(E). Na primjer, "novčić će pasti na glavu" može se označiti s H. Tada P(H) predstavlja vjerojatnost da će novčić pasti na glavu. Kada svi ishodi eksperimenta imaju istu vjerojatnost pojavljivanja, kaže se da su jednako vjerojatni. Da biste vidjeli razlike između događaja koji su jednako vjerojatni i događaja koji nisu, razmotrite cilj prikazan u nastavku. 
Za metu A, događaji pogađanja crnog, crvenog i bijelog su jednako vjerojatni, budući da su crni, crveni i bijeli sektor isti. Međutim, za metu B zone s tim bojama nisu iste, odnosno njihovo pogađanje nije jednako vjerojatno.
Načelo P (teoretski)
Ako se događaj E može dogoditi na m načina od n mogućih jednako vjerojatnih ishoda iz prostora ishoda S, tada teorijska vjerojatnost
događaja, P(E) je
P(E) = m/n.
Primjer 6 Kolika je vjerojatnost bacanja kockice da dobijete 3?
Riješenje Postoji 6 jednako vjerojatnih ishoda na kocki i postoji samo jedna mogućnost bacanja broja 3. Tada će vjerojatnost P biti P(3) = 1/6.
Primjer 7 Koja je vjerojatnost bacanja parnog broja na kockicu?
Riješenje Događaj je bacanje parnog broja. To se može dogoditi na 3 načina (ako bacite 2, 4 ili 6). Broj jednako vjerojatnih ishoda je 6. Tada je vjerojatnost P(parni) = 3/6, odnosno 1/2.
Koristit ćemo niz primjera koji uključuju standardni špil od 52 karte. Ovaj se špil sastoji od karata prikazanih na donjoj slici. 
Primjer 8 Koja je vjerojatnost izvlačenja asa iz dobro promiješanog špila karata?
Riješenje Postoje 52 ishoda (broj karata u špilu), jednako su vjerojatni (ako je špil dobro promiješan), a postoje 4 načina za izvlačenje asa, pa je prema P principu vjerojatnost
P(izvlačenje asa) = 4/52 ili 1/13.
Primjer 9 Pretpostavimo da bez gledanja izaberemo jednu lopticu iz vreće s 3 crvene i 4 zelene loptice. Kolika je vjerojatnost da odaberete crvenu kuglu?
Riješenje Postoji 7 jednako vjerojatnih ishoda izvlačenja bilo koje kuglice, a budući da je broj načina za izvlačenje crvene kuglice 3, dobivamo
P(odabir crvene lopte) = 3/7.
Sljedeće izjave proizlaze iz načela P.
Svojstva vjerojatnosti
a) Ako se događaj E ne može dogoditi, tada je P(E) = 0.
b) Ako je sigurno da će se događaj E dogoditi tada je P(E) = 1.
c) Vjerojatnost da će se dogoditi događaj E je broj od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Na primjer, u bacanju novčića, slučaj da novčić padne na rub ima nultu vjerojatnost. Vjerojatnost da je novčić glava ili rep ima vjerojatnost 1.
Primjer 10 Pretpostavimo da su 2 karte izvučene iz špila od 52 karte. Koja je vjerojatnost da su oba vrha?
Riješenje Broj n načina za izvlačenje 2 karte iz dobro promiješanog špila od 52 karte je 52 C 2 . Budući da su 13 od 52 karte pikovi, broj načina na koji m mogu izvući 2 pika je 13 C 2 . Zatim,
P (povlačenje 2 vrha) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.
Primjer 11 Pretpostavimo da su 3 osobe nasumično odabrane iz grupe od 6 muškaraca i 4 žene. Koja je vjerojatnost da će 1 muškarac i 2 žene biti odabrani?
Riješenje Broj načina za odabir tri osobe iz grupe od 10 osoba je 10 C 3. Jedan muškarac se može izabrati na 6 C 1 načina, a 2 žene mogu se izabrati na 4 C 2 načina. Prema temeljnom principu brojanja, broj načina za odabir 1 muškarca i 2 žene je 6 C 1. 4 C 2 . Zatim, vjerojatnost da će 1 muškarac i 2 žene biti odabrani je
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.
Primjer 12 Bacanje kocke. Kolika je vjerojatnost bacanja ukupno 8 na dvije kocke?
Riješenje Svaka kocka ima 6 mogućih ishoda. Ishodi se udvostručuju, što znači da postoji 6,6 ili 36 mogućih načina na koje se brojevi na dvije kockice mogu pojaviti. (Bolje je ako su kocke različite, recimo da je jedna crvena, a druga plava - to će pomoći u vizualizaciji rezultata.) 
Parovi brojeva koji zbrojem daju 8 prikazani su na donjoj slici. Postoji 5 mogućih načina da se dobije zbroj jednak 8, stoga je vjerojatnost 5/36.
Znajući da se vjerojatnost može mjeriti, pokušajmo je izraziti brojevima. Postoje tri moguća načina.
Riža. 1.1. Mjerenje vjerojatnosti
VJEROJATNOST ODREĐENA SIMETRIJOM
Postoje situacije u kojima su mogući ishodi jednako vjerojatni. Na primjer, pri jednom bacanju novčića, ako je novčić standardni, vjerojatnost pojavljivanja “glave” ili “repa” je ista, tj. P("glave") = P("repovi"). Budući da su moguća samo dva ishoda, tada je P(“glave”) + P(“repovi”) = 1, dakle, P(“glave”) = P(“repovi”) = 0,5.
U eksperimentima gdje ishodi imaju jednake izglede za pojavu, vjerojatnost događaja E, P (E) jednaka je:
Primjer 1.1. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerojatnost dvije glave i jednog repa?
Prvo, pronađimo sve moguće ishode: Kako bismo bili sigurni da smo pronašli sve moguće opcije, upotrijebit ćemo dijagram stabla (vidi Poglavlje 1, odjeljak 1.3.1).
Dakle, postoji 8 jednako mogućih ishoda, stoga je vjerojatnost za njih 1/8. Događaj E - dvije glave i repa - dogodila su se tri. Zato:
Primjer 1.2. Standardna kocka baca se dvaput. Kolika je vjerojatnost da rezultat bude 9 ili više?
Pronađimo sve moguće ishode.
Tablica 1.2. Ukupan broj bodova dobivenih dvaput bacanjem kocke
Dakle, u 10 od 36 mogućih ishoda zbroj bodova je 9 ili prema tome:
EMPIRIJSKI UTVRĐENA VJEROJATNOST
Primjer s novčićem sa stola. 1.1 jasno prikazuje mehanizam za određivanje vjerojatnosti.
S obzirom na ukupan broj uspješnih eksperimenata, vjerojatnost traženog rezultata izračunava se na sljedeći način:
Omjer je relativna učestalost pojavljivanja određenog rezultata tijekom dovoljno dugog eksperimenta. Vjerojatnost se izračunava ili na temelju podataka izvedenog eksperimenta, na temelju podataka iz prošlosti.
Primjer 1.3. Od pet stotina testiranih električnih žarulja, njih 415 radilo je više od 1000 sati. Na temelju podataka iz ovog eksperimenta možemo zaključiti da je vjerojatnost normalnog rada svjetiljke ove vrste dulje od 1000 sati:
Bilješka. Ispitivanje je po prirodi destruktivno, pa se ne mogu ispitati sve lampe. Kad bi se testirala samo jedna lampa, vjerojatnost bi bila 1 ili 0 (tj. može li trajati 1000 sati ili ne). Stoga je potrebno ponoviti eksperiment.
Primjer 1.4. U tablici 1.3 prikazuje podatke o radnom stažu muškaraca koji rade u poduzeću:
Tablica 1.3. Muško radno iskustvo
Kolika je vjerojatnost da će sljedeća osoba koju tvrtka zaposli raditi najmanje dvije godine:
Riješenje.
Iz tablice je vidljivo da 38 od 100 zaposlenih u tvrtki radi dulje od dvije godine. Empirijska vjerojatnost da će sljedeći zaposlenik ostati u tvrtki dulje od dvije godine je:
Pritom pretpostavljamo da je novi zaposlenik „tipičan i da su uvjeti rada nepromijenjeni.
SUBJEKTIVNA PROCJENA VJEROJATNOSTI
U poslovanju se često javljaju situacije u kojima nema simetrije, a nema ni eksperimentalnih podataka. Stoga je određivanje vjerojatnosti povoljnog ishoda pod utjecajem stajališta i iskustva istraživača subjektivno.
Primjer 1.5.
1. Investicijski stručnjak procjenjuje da je vjerojatnost ostvarivanja dobiti u prve dvije godine 0,6.
2. Prognoza voditelja marketinga: vjerojatnost prodaje 1000 jedinica proizvoda u prvom mjesecu nakon pojavljivanja na tržištu je 0,4.
Vjerojatnost je vrlo laka tema ako se usredotočite na značenje problema, a ne na formule. Ali kako riješiti probleme vjerojatnosti. Prvo, što je vjerojatnost? Ovo je šansa da se dogodi neki događaj. Ako kažemo da je vjerojatnost nekog događaja 50%, što to znači? Da će se ili dogoditi ili se neće dogoditi – jedna je od dvije stvari. Dakle, izračunavanje vrijednosti vjerojatnosti je vrlo jednostavno - potrebno je uzeti broj opcija koje nam odgovaraju i podijeliti s brojem svih mogućih opcija. Na primjer, šansa da dobijete glavu prilikom bacanja novčića je ½. Kako ćemo dobiti ½? Ukupno imamo dvije moguće opcije (glave i repovi), od kojih nam jedna odgovara (repovi), pa dobivamo vjerojatnost ½.
Kao što smo već vidjeli, vjerojatnost se može izraziti i kao postotak i u običnim brojevima. Važno: na Jedinstvenom državnom ispitu morat ćete zapisati svoj odgovor u brojevima, a ne u postocima. Pretpostavlja se da je vjerojatnost u rasponu od 0 (nikada se neće dogoditi) do 1 (sigurno će se dogoditi). Može se reći i da uvijek
Vjerojatnost prikladnih događaja + vjerojatnost neprikladnih događaja = 1
Sada znamo točno kako izračunati vjerojatnost jednog događaja, čak su i takvi zadaci dostupni u FIPI banci, ali jasno je da tu nije kraj. Da bi život bio zabavniji, u problemima vjerojatnosti obično se dogode najmanje dva događaja, a vjerojatnost je potrebno izračunati uzimajući u obzir svaki od njih.
Izračunavamo vjerojatnost svakog događaja posebno, a zatim stavljamo znakove između razlomaka:
1. Ako trebate prvi I drugi događaj, onda pomnožite.
2. Ako trebate prvi ILI drugi događaj, zbrojite ga.
Problemi vjerojatnosti i rješenja
Zadatak 1. Među prirodnim brojevima od 23 do 37 nasumično je odabran jedan broj. Odredite vjerojatnost da nije djeljiv s 5.
Riješenje:
Vjerojatnost je omjer povoljnih opcija prema njihovom ukupnom broju.
U ovom intervalu ima ukupno 15 brojeva. Od njih je samo 3 djeljivo s 5, što znači da 12 nije djeljivo.
Vjerojatnost tada: 
Odgovor: 0,8.
Zadatak 2. Dva učenika iz razreda nasumično su odabrana da dežuraju u kantini. Kolika je vjerojatnost da dežuraju dva dječaka ako je u razredu 7 dječaka i 8 djevojčica?
Riješenje: Vjerojatnost je omjer povoljnih opcija prema njihovom ukupnom broju. U razredu ima 7 dječaka, ovo su povoljne opcije. A ima samo 15 učenika.
Vjerojatnost da je prvi dječak na dužnosti:
Vjerojatnost da je drugi dječak na dužnosti:
Budući da obojica moraju biti dječaci, pomnožimo vjerojatnosti:
Odgovor: 0,2.
Zadatak 3. U zrakoplovu se nalazi 12 sjedala pored izlaza za slučaj opasnosti i 18 sjedala iza pregrada koje odvajaju kabine. Preostala sjedala su nezgodna za visoke putnike. Putnik V. je visok. Nađite vjerojatnost da će prilikom prijave, ako je sjedalo odabrano slučajno, putnik B dobiti udobno sjedalo ako u zrakoplovu ima ukupno 300 sjedala.
Riješenje: Putnik B ima 30 udobnih sjedala (12 + 18 = 30), a ukupno u avionu ima 300 sjedala. Stoga je vjerojatnost da će putnik B dobiti udobno sjedalo 30/300, tj. 0,1.
Zadatak 4. U zbirci matematičkih listića nalazi se samo 25 listića, od kojih 10 sadrži pitanje o nejednakostima.
Nađite vjerojatnost da student neće dobiti pitanje o nejednakostima na nasumično odabranoj ispitnoj listiću.
Riješenje: Od 25 listića, njih 15 ne sadrži pitanje o nejednakostima, pa je vjerojatnost da student neće dobiti pitanje o nejednakostima na slučajno odabranoj ispitnoj listiću 15/25, odnosno 0,6.
Problem 5. U zbirci ulaznica za kemiju nalazi se samo 35 ulaznica, od kojih 7 sadrži pitanje o kiselinama.
Nađite vjerojatnost da student neće dobiti pitanje o kiselinama na nasumično odabranoj ispitnoj listiću.
Riješenje: Od 35 listića, njih 28 ne sadrži pitanje o kiselinama, pa je vjerojatnost da student neće dobiti pitanje o kiselinama na nasumično odabranoj ispitnoj listiću 28/35, odnosno 0,8.
Zadatak 6. U prosjeku, od 500 prodanih vrtnih pumpi, 2 cure. Nađite vjerojatnost da jedna crpka nasumično odabrana za kontrolu ne propušta.
Riješenje: Ako 2 od 500 pumpi cure, tada 498 ne curi. Stoga je vjerojatnost odabira dobre pumpe 498/500, tj. 0,996.
Zadatak 7. Vjerojatnost da će novi usisavač biti popravljen pod jamstvom unutar godinu dana je 0,065. U određenom gradu, od 1000 usisavača prodanih tijekom godine, 70 jedinica primilo je jamstvena radionica.
Koliko se učestalost događaja "popravka u jamstvenom roku" razlikuje od njegove vjerojatnosti u ovom gradu?
Riješenje: Učestalost događaja "jamstvenog popravka" je 70/1000, tj. 0,07. Razlikuje se od predviđene vjerojatnosti za 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).
Zadatak 8. Na gimnastičkom prvenstvu sudjeluje 50 sportaša: 18 iz Rusije, 14 iz Ukrajine, a ostali iz Bjelorusije. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se ždrijebom.
Nađite vjerojatnost da će sportaš koji se prvi natječe biti iz Bjelorusije.
Riješenje: Na prvenstvu ukupno sudjeluje 50 sudionika, a iz Bjelorusije 18 natjecatelja (50 – 18 – 14 = 18).
Vjerojatnost da će sportaš iz Bjelorusije nastupiti prvi je 18 od 50, odnosno 18/50 ili 0,36.
Zadatak 9. Znanstveni skup traje 5 dana. Planirano je ukupno 80 izvješća - prva tri dana imaju po 12 izvješća, ostali su ravnomjerno raspoređeni između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvješća utvrđuje se ždrijebom.
Koja je vjerojatnost da će izvješće profesora M. biti zakazano za posljednji dan konferencije?
Riješenje: U prva tri dana čitat će se 36 izvješća (12 ∙ 3 = 36), za posljednja dva dana planirana su 44 izvješća. Stoga su za zadnji dan planirana 22 izvješća (44:2 = 22). To znači da je vjerojatnost da će izvješće profesora M. biti zakazano za zadnji dan konferencije 22/80, tj. 0,275.
Problem 10.
Prije početka prvog kola šahovskog prvenstva sudionici se ždrijebom nasumično dijele u igraće parove. Na prvenstvu ukupno sudjeluje 26 šahista, među kojima je 14 sudionika iz Rusije, među kojima je i Egor Kosov.
Odredite vjerojatnost da će Egor Kosov u prvom kolu igrati s bilo kojim šahistom iz Rusije?
Riješenje: Egor Kosov u prvom kolu može igrati s 25 šahista (26 – 1 = 25), od kojih je 13 iz Rusije. To znači da je vjerojatnost da će Egor Kosov u prvom kolu igrati s bilo kojim šahistom iz Rusije 13/25, odnosno 0,52.
Problem 11.
Na Svjetskom prvenstvu sudjeluje 16 reprezentacija. Ždrijebom ih je potrebno podijeliti u četiri skupine po četiri tima. U kutiji se nalaze mješovite karte s brojevima grupa: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Kapetani ekipa izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerojatnost da se ruska momčad nađe u drugoj skupini?
Riješenje: Vjerojatnost da se ruski tim nađe u drugoj skupini jednaka je omjeru broja kartona s brojem 2 prema ukupnom broju kartona, odnosno 4/16, odnosno 0,25.
Problem 12. U turističkoj grupi ima 5 osoba. Koristeći ždrijeb, izaberu dvoje ljudi koji moraju otići u selo kupiti hranu. Turist A. želio bi u trgovinu, ali posluša ždrijeb. Kolika je vjerojatnost da će A. otići u trgovinu?
Riješenje: Biraju dva turista od pet. Stoga je vjerojatnost da budete odabrani 2/5, tj. 0,4.
Problem 13. U grupi turista je 30 ljudi. Izbacuju se helikopterom na teško pristupačno područje u nekoliko etapa, po 6 ljudi po letu. Redoslijed kojim helikopter prevozi turiste je slučajan. Nađite vjerojatnost da će turist P. prvi letjeti helikopterom.
Riješenje: Na prvom letu ima 6 sjedala, ukupno 30. Tada je vjerojatnost da će turist letjeti prvim letom helikoptera 6/30, odnosno 0,2.
Problem 14. Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabran prirodni broj od 10 do 19 djeljiv s tri?
Riješenje: Prirodni brojevi od 10 do 19 desetica, od kojih su tri broja djeljiva s 3: 12, 15 i 18. Dakle, željena vjerojatnost je 3/10, tj. 0,3.
Vjerojatnost višestrukih događaja
Zadatak 1. Prije početka odbojkaške utakmice, kapetani momčadi izvlače ždrijeb kako bi odredili koja će momčad započeti utakmicu s loptom. Ekipa “Starter” izmjenjuje se s ekipama “Rotor”, “Motor” i “Strator”. Nađite vjerojatnost da će početnik započeti tek drugu igru.
Riješenje:
Zadovoljni smo sljedećom opcijom: “Stator” ne počinje prvu utakmicu, počinje drugu igru, a ne počinje treću utakmicu. Vjerojatnost takvog razvoja događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog od tih događaja. Vjerojatnost svakog od njih je 0,5, dakle: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Zadatak 2. Za prolazak u sljedeći krug natjecanja nogometna momčad mora osvojiti najmanje 4 boda u dvije utakmice. Ako momčad pobijedi dobiva 3 boda, ako je neriješeno 1 bod, a ako izgubi 0 bodova. Nađite vjerojatnost da tim prođe u sljedeći krug natjecanja. Uzmite u obzir da su u svakoj igri vjerojatnosti pobjede i poraza iste i jednake 0,4.
Riješenje:
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Vjerojatnost nastanka bilo koje od ove 3 opcije jednaka je zbroju vjerojatnosti svake opcije: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Zadatak 3. U razredu je 21 osoba. Među njima su dvije prijateljice: Anya i Nina. Razred je nasumično podijeljen u 7 grupa, po 3 osobe u svakoj. Nađite vjerojatnost da će Anya i Nina biti u istoj skupini.
Riješenje:
Vrsta pitanja: skupna redukcija.
Vjerojatnost da Anya uđe u jednu od grupa je 1. Vjerojatnost da Nina uđe u istu grupu je 2 od 20 (još 2 mjesta u grupi, a ostalo je 20 ljudi). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Zadatak 4. Petya je u džepu imao 4 kovanice rublje i 2 kovanice od dvije rublje. Petja je bez gledanja prebacila oko 3 novčića u drugi džep. Odredite vjerojatnost da su oba novčića od dvije rublje u istom džepu.
Riješenje:
Metoda br. 1
Vrsta zadatka: smanjenje grupe.
Zamislimo da je šest novčića podijeljeno u dvije skupine po tri novčića. Vjerojatnost da će prvi novčić od jedne rublje pasti u jedan od džepova (grupa) = 1.
Vjerojatnost da dva novčića od dvije rublje padnu u isti džep = broj preostalih mjesta u ovom džepu/broj preostalih mjesta u oba džepa = 2/5 = 0,4.
Metoda br. 2
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Zadatak se izvodi na nekoliko načina:
Ako je Petya prebacio tri od četiri kovanice rublje u drugi džep (ali nije prebacio kovanice od dvije rublje), ili ako je prebacio i kovanice od dvije rublje i jednu kovanicu rublje u drugi džep na jedan od tri načina: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Možete to prikazati na dijagramu (Petya ga stavlja u džep 2, pa ćemo izračunati vjerojatnosti u stupcu "džep 2"):
Problem 5. Petja je u džepu imao 2 kovanice od 5 rubalja i 4 kovanice od 10 rubalja. Petja je bez gledanja prebacila oko 3 novčića u drugi džep. Nađite vjerojatnost da su kovanice od pet rubalja sada u različitim džepovima.
Riješenje:
Vrsta zadatka: smanjenje grupe.
Metoda br. 1
Zamislimo da je šest novčića podijeljeno u dvije skupine po tri novčića. Vjerojatnost da će prvi novčić od dvije rublje pasti u jedan od džepova (grupa) = 1. Vjerojatnost da će drugi novčić pasti u drugi džep = broj preostalih mjesta u drugom / prema broju preostalih mjesta u oba džepa = 3/5 = 0,6.
Metoda br. 2
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Zadatak se izvodi na nekoliko načina:
Kako bi kovanice od pet rubalja završile u različitim džepovima, Petja mora iz džepa uzeti jednu kovanicu od pet rubalja i dvije od deset rubalja. To se može učiniti na tri načina: 5, 10, 10; 10, 5, 10 ili 10, 10, 5. To možete prikazati na dijagramu (Petya ga stavlja u džep 2, tako da ćemo izračunati vjerojatnosti u stupcu "džep 2"):
Vjerojatnost nastanka bilo koje od ove 4 opcije jednaka je zbroju vjerojatnosti svake od opcija: 
Zadatak 6. U nasumičnom eksperimentu, simetričan novčić se baca tri puta. Pronađite vjerojatnost da dobijete glave točno dva puta.
Riješenje: Tip pitanja: pronalaženje željenog i stvarnog \ kombiniranje događaja Zadovoljni smo s tri opcije:
Glava - rep - glava;
Orao - orao - repovi;
Repovi - glave - glave;
Vjerojatnost svakog slučaja je 1/2, a svake opcije je 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Zadovoljit ćemo se s prvom, drugom ili trećom opcijom. Stoga zbrojimo njihove vjerojatnosti i dobijemo 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), tj. 0,375.
Zadatak 7. Ako velemajstor A. igra belom, tada on pobjeđuje protiv velemajstora B. s vjerojatnošću 0,5. Ako A. igra crno, tada A. pobjeđuje protiv B. s vjerojatnošću 0,34. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj partiji mijenjaju boju figura. Odredite vjerojatnost da A. pobijedi oba puta.
Riješenje:
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
U svakom slučaju, A. će igrati i bijeli i crni, tako da smo zadovoljni varijantom kada velemajstor A. pobjeđuje igrajući bijelo (vjerojatnost - 0,5) i također igrajući crno (vjerojatnost - 0,34). Stoga trebamo pomnožiti vjerojatnosti ova dva događaja: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Zadatak 8. Vjerojatnost da je baterija neispravna je 0,02. Kupac u trgovini nasumično odabire paket koji sadrži dvije od ovih baterija. Odredite vjerojatnost da su obje baterije dobre.
Riješenje:
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Vjerojatnost da je baterija dobra je 0,98. Kupac treba da i prva i druga baterija budu u dobrom stanju: 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Zadatak 9. Na rock festivalu nastupaju bendovi - po jedan iz svake od prijavljenih zemalja. Redoslijed izvođenja određuje se ždrijebom. Kolika je vjerojatnost da će grupa iz SAD-a nastupiti nakon grupe iz Kanade i nakon grupe iz Kine? Zaokružite rezultat na stotinke.
Riješenje:
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Za odgovor na pitanje nije bitan ukupan broj grupa koje su nastupile na festivalu. Koliko god ih bilo, za ove zemlje postoji 6 načina relativni položaj među govornicima (KIT - Kina, CAN = Kanada):
... SAD, LIMENKA, KIT ...
...SAD, KIT, LIMENKA...
... KIT, USA, CAN ...
... CAN, SAD, KIT ...
... KAN, KIT, SAD ...
...KIT, LIMENKA, SAD...
SAD je iza Kine i Kanade u zadnja dva slučaja. Stoga je vjerojatnost da će grupe biti slučajno raspoređene na ovaj način jednaka:
Komplementarna vjerojatnost
Zadatak 1.
Automatska linija proizvodi baterije. Vjerojatnost da je gotova baterija neispravna je 0,02. Prije pakiranja svaka baterija prolazi kroz kontrolni sustav. Vjerojatnost da će sustav odbaciti neispravnu bateriju je 0,97. Vjerojatnost da će sustav greškom odbiti ispravnu bateriju je 0,05.
Nađite vjerojatnost da će slučajno odabrana baterija biti odbijena.
Riješenje:
Postoje 2 opcije koje nam odgovaraju:
Opcija A: baterija je odbijena, neispravna je;
Opcija B: baterija je neispravna, radi.
Vjerojatnost opcije A: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Vjerojatnost opcije B: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Zadovoljit ćemo se s prvom ili drugom opcijom: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Zadatak 2. Dvije tvornice proizvode ista stakla za automobilska svjetla. Prva tvornica proizvodi 60% ovih naočala, druga - 40%. Prva tvornica proizvodi 3% neispravnog stakla, a druga - 5%. Nađite vjerojatnost da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno.
Riješenje:
Vjerojatnost da je staklo kupljeno u prvoj tvornici i da je neispravno: 0,6 · 0,03 = 0,018.
Vjerojatnost da je staklo kupljeno u drugoj tvornici i da je neispravno: 0,4 · 0,05 = 0,02.
Vjerojatnost da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno je 0,018 + 0,02 = 0,038.
Zadatak 3. U tvornici keramičkog posuđa 10% proizvedenih tanjura je neispravno. Tijekom kontrole kvalitete proizvoda identificira se 80% neispravnih ploča. Preostale ploče su u prodaji. Nađite vjerojatnost da tanjur koji je slučajno odabran pri kupnji nema nedostataka. Zaokružite rezultat na najbližu tisuću.
Riješenje:
Pretpostavimo da u početku imamo x ploča (uostalom, stalno baratamo s postocima, pa nas ništa ne sprječava da operiramo s određenim količinama).
Zatim 0,1x su neispravni tanjuri, a 0,9x normalni tanjuri, koji će odmah stići u trgovinu. Od neispravnih skine se 80%, odnosno 0,08x, a ostane 0,02x koji također ide u trgovinu. Tako će ukupan broj tanjura na policama u trgovini biti: 0,9x + 0,02x = 0,92x. Od toga će 0,9x biti normalno. Sukladno tome, prema formuli, vjerojatnost će biti 0,9x/0,92x ≈ 0,978.
Zadatak 4. Na temelju recenzija kupaca, Igor Igorevich procijenio je pouzdanost dviju internetskih trgovina. Vjerojatnost da će željeni proizvod biti isporučen iz trgovine A je 0,91. Vjerojatnost da će ovaj proizvod biti isporučen iz trgovine B je 0,89. Igor Igorevich naručio je robu iz obje trgovine odjednom. Pod pretpostavkom da internetske trgovine rade neovisno jedna o drugoj, pronađite vjerojatnost da nijedna trgovina neće isporučiti proizvod.
Riješenje. Vjerojatnost da prva trgovina neće isporučiti robu je 1 − 0,91 = 0,09. Vjerojatnost da druga trgovina neće isporučiti robu je 1 − 0,89 = 0,11. Vjerojatnost da se ova dva događaja dogode istovremeno jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog od njih: 0,09 · 0,11 = 0,0099.
Zadatak 5. Kod proizvodnje ležajeva promjera 70 mm, vjerojatnost da će se promjer razlikovati od navedenog za manje od 0,01 mm je 0,961. Odredite vjerojatnost da će slučajni ležaj imati promjer manji od 69,99 mm ili veći od 70,01 mm.
Riješenje: Dana nam je vjerojatnost događaja u kojem će promjer biti između 69,99 mm i 70,01 mm, a jednaka je 0,961. Vjerojatnost svih ostalih opcija možemo pronaći koristeći načelo komplementarne vjerojatnosti: 1 − 0,961 = 0,039.
Zadatak 6. Vjerojatnost da će učenik točno riješiti više od 9 zadataka na ispitu iz povijesti je 0,68. Vjerojatnost da ćete točno riješiti više od 8 zadataka je 0,78. Odredite vjerojatnost točnog rješavanja točno 9 zadataka.
Riješenje: Vjerojatnost da će T. točno riješiti više od 8 problema uključuje vjerojatnost rješavanja točno 9 problema. U isto vrijeme, događaji u kojima O. rješava više od 9 problema nisu nam prikladni. Dakle, oduzimajući od vjerojatnosti rješavanja više od 9 problema vjerojatnost rješavanja više od 8 problema, dobit ćemo vjerojatnost rješavanja samo 9 problema: 0,78 – 0,68 = 0,1.
Zadatak 7. Od okružnog centra do sela svakodnevno vozi autobus. Vjerojatnost da će u ponedjeljak u autobusu biti manje od 21 putnika je 0,88. Vjerojatnost da će biti manje od 12 putnika je 0,66. Nađite vjerojatnost da će broj putnika biti od 12 do 20.
Riješenje. Vjerojatnost da će autobus imati manje od 21 putnika uključuje vjerojatnost da će imati između 12 i 20 putnika. Istovremeno nam nisu primjereni događaji na kojima će biti manje od 12 putnika. Dakle, oduzimanjem druge vjerojatnosti (manje od 12) od prve vjerojatnosti (manje od 21), nalazimo vjerojatnost da će biti od 12 do 20 putnika: 0,88 – 0,66 = 0,22.
Zadatak 8. U Čarobnoj zemlji postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, kad se jednom uspostavi ujutro, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će s vjerojatnošću 0,9 vrijeme sutra biti isto kao danas. 10. travnja vrijeme je u Čarobnoj zemlji lijepo. Odredite vjerojatnost da će 13. travnja u Zemlji vila biti izvrsno vrijeme.
Riješenje:
Zadatak se izvodi u nekoliko opcija ("X" - dobro vrijeme, "O" - izvrsno vrijeme):
Vjerojatnost nastanka bilo koje od ove 4 opcije jednaka je zbroju vjerojatnosti svake opcije: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Zadatak 9. U Čarobnoj zemlji postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, kad se jednom uspostavi ujutro, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će uz vjerojatnost 0,8 vrijeme sutra biti isto kao danas. Danas je 3. srpnja, vrijeme u Čarobnoj zemlji je dobro. Odredite vjerojatnost da će vrijeme biti sjajno u Zemlji bajki 6. srpnja.
Riješenje:
Zadatak se izvodi u nekoliko opcija ("X" - dobro vrijeme, "O" - izvrsno vrijeme):
Vjerojatnost nastanka bilo koje od ove 4 opcije jednaka je zbroju vjerojatnosti svake opcije: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.
