Opći opis problema: vjerojatnosti nekih događaja su poznate, ali je potrebno izračunati vjerojatnosti drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U tim problemima postoji potreba za takvim operacijama nad vjerojatnostima kao što su zbrajanje i množenje vjerojatnosti.
Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj A- pogoditi patku iz prvog hica, događaj B- pogodio iz drugog hica. Zatim zbroj događaja A i B- pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica.
Zadaci drugačijeg tipa. Zadano je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Potrebno je pronaći vjerojatnost da će ili sva tri puta ispasti grb, ili da će grb ispasti barem jednom. Ovo je problem množenja.
Zbrajanje vjerojatnosti nespojivih događaja
Zbrajanje vjerojatnosti koristi se kada je potrebno izračunati vjerojatnost kombinacije ili logičkog zbroja slučajnih događaja.
Zbroj događaja A i B odrediti A + B ili A ∪ B. Zbroj dvaju događaja je događaj koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B- događaj koji se događa ako i samo ako se događaj dogodi tijekom promatranja A ili događaj B, ili u isto vrijeme A i B.
Ako događaji A i B su međusobno nedosljedni i njihove su vjerojatnosti dane, vjerojatnost da će se jedan od tih događaja dogoditi kao rezultat jednog ispitivanja izračunava se zbrajanjem vjerojatnosti.
Teorem zbrajanja vjerojatnosti. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti ovih događaja:
Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj ALI– pogoditi patku iz prvog hica, događaj NA– pogodak iz drugog udarca, događaj ( ALI+ NA) - pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica. Dakle, ako dva događaja ALI i NA dakle su nespojljivi događaji ALI+ NA- pojava barem jednog od ovih događaja ili dva događaja.
Primjer 1 Kutija sadrži 30 loptica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerojatnost da se kuglica u boji (ne bijela) uzme bez gledanja.
Riješenje. Pretpostavimo da je događaj ALI– “crvena lopta je uzeta”, i događaj NA- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj "uzeta je obojena (ne bijela) lopta". Pronađite vjerojatnost događaja ALI:
i događaji NA:
Razvoj ALI i NA- međusobno nespojive, jer ako se uzme jedna lopta, ne mogu se uzeti loptice različitih boja. Stoga koristimo zbrajanje vjerojatnosti:
Teorem zbrajanja vjerojatnosti za nekoliko nespojivih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, tada je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1:
Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja također je jednak 1:
Suprotni događaji čine potpuni skup događaja, a vjerojatnost kompletnog skupa događaja je 1.
Vjerojatnosti suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima. str i q. Posebno,
iz čega slijede sljedeće formule za vjerojatnost suprotnih događaja:
Primjer 2 Meta na ploči je podijeljena u 3 zone. Vjerojatnost da će određeni strijelac pucati u metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Pronađite vjerojatnost da strijelac pogodi metu i vjerojatnost da strijelac promaši metu.
Rješenje: Pronađite vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu:
Pronađite vjerojatnost da strijelac promaši metu:
Teži zadaci u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .
Zbrajanje vjerojatnosti zajedničkih događaja
Kaže se da su dva slučajna događaja zajednička ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom opažanju. Na primjer, kada bacate kocku, događaj ALI smatra se pojava broja 4, a događaj NA- ispuštanje paran broj. Budući da je broj 4 Parni broj, dva događaja su kompatibilna. U praksi postoje zadaci za izračunavanje vjerojatnosti nastanka jednog od međusobno zajedničkih događaja.
Teorem zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja, od čega se oduzima vjerojatnost zajedničkog nastupa oba događaja, odnosno umnožak vjerojatnosti. Formula za vjerojatnosti zajedničkih događaja je sljedeća:
Jer događaji ALI i NA kompatibilan, događaj ALI+ NA nastaje ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremu zbrajanja nespojivih događaja računamo na sljedeći način:
Događaj ALI nastaje ako se dogodi jedan od dva nespojiva događaja: ili AB. Međutim, vjerojatnost nastanka jednog događaja iz nekoliko nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svih ovih događaja:
Slično:
Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobivamo formulu vjerojatnosti za zajedničke događaje:
Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji ALI i NA Može biti:
- međusobno neovisni;
- međusobno ovisni.
Formula vjerojatnosti za međusobno neovisne događaje:
Formula vjerojatnosti za međusobno ovisne događaje:
Ako događaji ALI i NA su nedosljedni, onda je njihova podudarnost nemoguć slučaj i, stoga, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerojatnosti za nekompatibilne događaje je sljedeća:
Primjer 3 U auto utrkama, kada vozite u prvom automobilu, vjerojatnost pobjede, kada vozite u drugom automobilu. Pronaći:
- vjerojatnost da će oba automobila pobijediti;
- vjerojatnost da će barem jedan automobil pobijediti;
1) Vjerojatnost da će prvi automobil pobijediti ne ovisi o rezultatu drugog automobila, dakle o događajima ALI(prvi auto pobjeđuje) i NA(drugi automobil pobjeđuje) - neovisni događaji. Pronađite vjerojatnost da oba auta pobijede:
2) Pronađite vjerojatnost da će jedan od dva automobila pobijediti:
Teži zadaci u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .
Sami riješite problem zbrajanja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 4 Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novcu. Događaj B- gubitak grba na drugom novcu. Pronađite vjerojatnost događaja C = A + B .
Množenje vjerojatnosti
Umnožavanje vjerojatnosti koristi se kada treba izračunati vjerojatnost logičnog produkta događaja.
U ovom slučaju, slučajni događaji moraju biti neovisni. Za dva događaja se kaže da su međusobno neovisna ako pojava jednog događaja ne utječe na vjerojatnost nastanka drugog događaja.
Teorem množenja vjerojatnosti za nezavisne događaje. Vjerojatnost istodobne pojave dva neovisna događaja ALI i NA jednak je umnošku vjerojatnosti tih događaja i izračunava se po formuli:
Primjer 5 Novčić se baca tri puta zaredom. Nađite vjerojatnost da će grb sva tri puta ispasti.
Riješenje. Vjerojatnost da će grb pasti pri prvom bacanju novčića, drugi put i treći put. Nađite vjerojatnost da će grb ispasti sva tri puta:
Zadatke za množenje vjerojatnosti riješite sami, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 6 Tu je kutija s devet novih teniskih loptica. Za igru se uzimaju tri lopte, nakon igre se vraćaju. Prilikom odabira lopti ne razlikuju odigrane i neigrani lopte. Kolika je vjerojatnost da nakon tri utakmice u petercu neće biti neodigranih lopti?
Primjer 7 32 slova ruske abecede ispisana su na izrezanim karticama abecede. Pet karata se izvlače nasumično, jedna za drugom, i stavljaju na stol redoslijedom kojim se pojavljuju. Pronađite vjerojatnost da će slova tvoriti riječ "kraj".
Primjer 8 Iz punog špila karata (52 lista) vade se četiri karte odjednom. Pronađite vjerojatnost da su sve četiri ove karte iste boje.
Primjer 9 Isti problem kao u primjeru 8, ali se svaka karta nakon izvlačenja vraća u špil.
Složeniji zadaci, u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, kao i izračunati umnožak nekoliko događaja, na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .
Vjerojatnost da će se dogoditi barem jedan od međusobno neovisnih događaja može se izračunati oduzimanjem umnoška vjerojatnosti suprotnih događaja od 1, odnosno po formuli.
- Vjerojatnost - stupanj (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj stvarno dogodi nadmašuju suprotne razloge, tada se taj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerojatnim ili nevjerojatnim. Prevlast pozitivnih osnova nad negativnim, i obrnuto, može biti u različitim stupnjevima, zbog čega je vjerojatnost (i nevjerojatnost) veća ili manja. Stoga se vjerojatnost često procjenjuje na kvalitativnoj razini, osobito u slučajevima kada je manje ili više točna kvantitativna procjena nemoguća ili iznimno teška. Moguće su različite gradacije "razina" vjerojatnosti.
Proučavanje vjerojatnosti s matematičke točke gledišta posebna je disciplina – teorija vjerojatnosti. U teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici pojam vjerojatnosti je formaliziran kao brojčana karakteristika događaji - mjera vjerojatnosti (ili njezina vrijednost) - mjera za skup događaja (podskupovi skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti iz
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Značenje
(\displaystyle 1)
Odgovara određeni događaj. Nemogući događaj ima vjerojatnost 0 (obrnuto općenito nije uvijek točno). Ako je vjerojatnost da se neki događaj dogodi
(\displaystyle p)
Tada je vjerojatnost da se ne pojavi jednaka
(\displaystyle 1-p)
Konkretno, vjerojatnost
(\displaystyle 1/2)
Označava jednaku vjerojatnost nastanka i nenastupanja događaja.
Klasična definicija vjerojatnosti temelji se na konceptu jednake vjerojatnosti ishoda. Vjerojatnost je omjer broja ishoda koji pogoduju određenom događaju i ukupnog broja jednako vjerojatnih ishoda. Na primjer, vjerojatnost dobivanja "glava" ili "repa" u nasumičnom bacanju novčića je 1/2, ako se pretpostavi da se pojavljuju samo ove dvije mogućnosti i da su jednako vjerojatne. Ova klasična "definicija" vjerojatnosti može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti - na primjer, ako se događaj može dogoditi s jednakom vjerojatnošću u bilo kojoj točki (broj točaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostora (ravnine), tada je vjerojatnost da će se to dogoditi u nekom dijelu ovog dopuštenog područja jednaka omjeru volumena (površine) ovog dijela prema volumenu (površini) površine svih mogućih točaka .
Empirijska "definicija" vjerojatnosti povezana je s učestalošću pojavljivanja događaja, temeljena na činjenici da bi kod dovoljno velikog broja pokušaja učestalost trebala težiti objektivnom stupnju mogućnosti tog događaja. U suvremenom prikazu teorije vjerojatnosti, vjerojatnost se definira aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupa. Međutim, veza između apstraktne mjere i vjerojatnosti, koja izražava stupanj mogućnosti nekog događaja, je upravo učestalost njegova promatranja.
Vjerojatnostni opis određenih pojava postao je raširen u moderna znanost, posebice u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sustava, gdje ni u slučaju klasičnog determinističkog opisa gibanja čestica deterministički opis cjelokupnog sustava čestica nije praktički moguć i prikladan. NA kvantna fizika sami opisani procesi su vjerojatnosne prirode.
Kada se baci novčić, može se reći da će sletjeti glavom gore, ili vjerojatnost od toga je 1/2. Naravno, to ne znači da ako se novčić baci 10 puta, nužno će 5 puta pasti na glavu. Ako je novčić "pošten" i ako se baci mnogo puta, tada će se glave u pola vremena približiti vrlo blizu. Dakle, postoje dvije vrste vjerojatnosti: eksperimentalni i teorijski .
Eksperimentalna i teorijska vjerojatnost
Ako bacimo novčić velik broj puta - recimo 1000 - i izbrojimo koliko puta će se iskrsnuti, možemo odrediti vjerojatnost da će se iskrsnuti. Ako se glave pojave 503 puta, možemo izračunati vjerojatnost da će se pojaviti:
503/1000 ili 0,503.
to eksperimentalni definicija vjerojatnosti. Ova definicija vjerojatnosti proizlazi iz promatranja i proučavanja podataka i prilično je uobičajena i vrlo korisna. Na primjer, evo nekih vjerojatnosti koje su eksperimentalno određene:
1. Šansa da žena oboli od raka dojke je 1/11.
2. Ako poljubite nekoga tko je prehlađen, tada je vjerojatnost da ćete i vi dobiti prehladu 0,07.
3. Osoba koja je upravo izašla iz zatvora ima 80% šanse da se vrati u zatvor.
Ako uzmemo u obzir bacanje novčića i uzmemo u obzir da je jednaka vjerojatnost da će se pojaviti glava ili rep, možemo izračunati vjerojatnost ispadanja novčića: 1 / 2. Ovo je teorijska definicija vjerojatnosti. Evo još nekih vjerojatnosti koje su teoretski određene matematikom:
1. Ako je u sobi 30 osoba, vjerojatnost da dvoje od njih imaju isti rođendan (bez godine) je 0,706.
2. Tijekom putovanja upoznate nekoga i tijekom razgovora otkrijete da imate zajedničkog poznanika. Tipična reakcija: "To ne može biti!" Zapravo, ova fraza ne odgovara, jer je vjerojatnost takvog događaja prilično visoka - nešto više od 22%.
Stoga se eksperimentalna vjerojatnost utvrđuje promatranjem i prikupljanjem podataka. Teorijske se vjerojatnosti određuju matematičkim obrazloženjem. Primjeri eksperimentalnih i teoretskih vjerojatnosti, poput onih o kojima smo gore govorili, a posebno onih koje ne očekujemo, dovode nas do važnosti proučavanja vjerojatnosti. Možete pitati: "Što je prava vjerojatnost?" Zapravo, nema je. Eksperimentalno je moguće odrediti vjerojatnosti u određenim granicama. One se mogu ili ne moraju podudarati s vjerojatnostima koje dobivamo teoretski. Postoje situacije u kojima je mnogo lakše definirati jednu vrstu vjerojatnosti nego drugu. Na primjer, bilo bi dovoljno pronaći vjerojatnost prehlade pomoću teorijske vjerojatnosti.
Proračun eksperimentalnih vjerojatnosti
Razmotrimo prvo eksperimentalnu definiciju vjerojatnosti. Osnovni princip koji koristimo za izračun takvih vjerojatnosti je sljedeći.
Princip P (eksperimentalno)
Ako se u eksperimentu u kojem se vrši n opažanja situacija ili događaj E dogodi m puta u n opažanja, tada se kaže da je eksperimentalna vjerojatnost događaja P (E) = m/n.
Primjer 1 Sociološko istraživanje. Održan pilot studija kako bi se odredio broj ljevorukih, dešnjaka i osoba s jednakim razvojem obje ruke Rezultati su prikazani na grafikonu.
a) Odredite vjerojatnost da je osoba dešnjak.
b) Odredite vjerojatnost da je osoba ljevoruk.
c) Odredite vjerojatnost da osoba jednako tečno rukuje objema rukama.
d) Većina PBA turnira ima 120 igrača. Na temelju ovog eksperimenta, koliko igrača može biti ljevoruk?
Riješenje
a) Broj ljudi koji su dešnjaci je 82, broj ljevaka je 17, a broj onih koji jednako tečno drže obje ruke je 1. Ukupan broj zapažanja je 100. Dakle, vjerojatnost da je osoba dešnjak je P
P = 82/100, ili 0,82, ili 82%.
b) Vjerojatnost da je osoba ljevoruk je P, gdje je
P = 17/100 ili 0,17 ili 17%.
c) Vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama je P, gdje je
P = 1/100 ili 0,01 ili 1%.
d) 120 kuglača i od (b) možemo očekivati 17% ljevorukih. Odavde
17% od 120 = 0,17,120 = 20,4,
odnosno možemo očekivati 20-ak igrača koji će biti ljevoruki.
Primjer 2 Kontrola kvalitete
. Za proizvođača je vrlo važno zadržati kvalitetu svojih proizvoda visoka razina. Zapravo, tvrtke angažiraju inspektore za kontrolu kvalitete kako bi osigurali ovaj proces. Cilj je osloboditi minimalan mogući broj neispravnih proizvoda. No budući da tvrtka proizvodi tisuće artikala svaki dan, ne može si priuštiti da pregleda svaki predmet kako bi utvrdila je li neispravan ili ne. Kako bi saznali koji je postotak proizvoda neispravan, tvrtka testira mnogo manje proizvoda.
USDA zahtijeva da 80% sjemena koje uzgajivači prodaju klija. Za utvrđivanje kvalitete sjemena koje poljoprivredno poduzeće proizvodi, sadi se 500 sjemenki od proizvedenih. Nakon toga je izračunato da je proklijalo 417 sjemenki.
a) Kolika je vjerojatnost da će sjeme proklijati?
b) Da li sjeme zadovoljava državne standarde?
Riješenje a) Znamo da je od 500 zasađenih sjemenki niknulo 417. Vjerojatnost klijanja sjemena P, i
P = 417/500 = 0,834, odnosno 83,4%.
b) Budući da je postotak proklijalog sjemena premašio 80% na zahtjev, sjeme zadovoljava državne standarde.
Primjer 3 TV ocjene. Prema statistikama, u Sjedinjenim Državama postoji 105.500.000 TV kućanstava. Svaki tjedan prikupljaju se i obrađuju informacije o gledanju programa. Unutar jednog tjedna, 7.815.000 kućanstava slušalo je CBS-ovu hit humorističku seriju Everybody Loves Raymonda, a 8.302.000 kućanstava gledalo je NBC-jev hit Zakon i red (Izvor: Nielsen Media Research). Kolika je vjerojatnost da je TV u jednom domu podešen na "Svi vole Raymonda" tijekom određenog tjedna? na "Zakon i red"?
Riješenje Vjerojatnost da je TV u jednom kućanstvu postavljen na "Svi vole Raymonda" je P, i
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Mogućnost da je TV u kućanstvu postavljen na "Zakon i red" je P, i
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ti se postoci nazivaju ocjenama.
teorijska vjerojatnost
Pretpostavimo da radimo eksperiment, kao što je bacanje novčića ili strelice, izvlačenje karte iz špila ili testiranje kvalitete proizvoda na montažnoj traci. Svaki mogući ishod takvog eksperimenta naziva se Izlazak . Zove se skup svih mogućih ishoda prostor ishoda . Događaj to je skup ishoda, odnosno podskup prostora ishoda.
Primjer 4 Bacanje pikado. Pretpostavimo da u eksperimentu "bacanje strelica" strelica pogodi metu. Pronađite svako od sljedećeg:
b) Prostor ishoda
Riješenje
a) Ishodi su: pogoditi crno (H), pogoditi crveno (K) i pogoditi bijelo (B).
b) Postoji prostor ishoda (pogodi crno, pogodi crveno, pogodi bijelo), koji se može napisati jednostavno kao (B, R, B).
Primjer 5 Bacanje kocke.
Kocka je kocka sa šest strana, od kojih svaka ima jednu do šest točaka. 
Pretpostavimo da bacamo kocku. Pronaći
a) Ishodi
b) Prostor ishoda
Riješenje
a) Ishodi: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Prostor ishoda (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Vjerojatnost da se dogodi događaj E označavamo kao P(E). Na primjer, "novčić će pasti na rep" može se označiti s H. Tada je P(H) vjerojatnost da će novčić sletjeti na rep. Kada svi ishodi eksperimenta imaju istu vjerojatnost da će se dogoditi, kaže se da su jednako vjerojatni. Da biste vidjeli razliku između događaja koji su jednako vjerojatni i događaja koji nisu jednako vjerojatni, razmotrite cilj prikazan u nastavku. 
Za cilj A, crni, crveni i bijeli pogoci su jednako vjerojatni, budući da su crni, crveni i bijeli sektori isti. Međutim, za metu B zone s tim bojama nisu iste, odnosno pogoditi ih nije jednako vjerojatno.
Načelo P (teorijsko)
Ako se događaj E može dogoditi na m načina od n mogućih jednako vjerojatnih ishoda iz prostora ishoda S, tada teorijska vjerojatnost
događaj, P(E) je
P(E) = m/n.
Primjer 6 Kolika je vjerojatnost bacanja 3 bacanjem kocke?
Riješenje Postoji 6 jednako vjerojatnih ishoda na kocki i postoji samo jedna mogućnost bacanja broja 3. Tada će vjerojatnost P biti P(3) = 1/6.
Primjer 7 Kolika je vjerojatnost bacanja parnog broja na kockicu?
Riješenje Događaj je bacanje parnog broja. To se može dogoditi na 3 načina (ako bacite 2, 4 ili 6). Broj jednakovjerojatnih ishoda je 6. Tada je vjerojatnost P(parna) = 3/6, odnosno 1/2.
Koristit ćemo niz primjera koji se odnose na standardni špil od 52 karte. Takav špil se sastoji od karata prikazanih na donjoj slici. 
Primjer 8 Kolika je vjerojatnost izvlačenja asa iz dobro promiješanog špila karata?
Riješenje Postoje 52 ishoda (broj karata u špilu), jednako su vjerojatni (ako je špil dobro pomiješan), a postoje 4 načina za izvlačenje asa, pa je prema P principu vjerojatnost
P (izvlačenje asa) = 4/52 ili 1/13.
Primjer 9 Pretpostavimo da izaberemo ne gledajući jedan kliker iz vrećice od 3 crvena klikera i 4 zelena klikera. Kolika je vjerojatnost odabira crvene lopte?
Riješenje Postoji 7 jednako vjerojatnih ishoda za dobivanje bilo koje lopte, a budući da je broj načina za izvlačenje crvene kuglice 3, dobivamo
P(odabir crvene kuglice) = 3/7.
Sljedeće tvrdnje su rezultati P principa.
Svojstva vjerojatnosti
a) Ako se događaj E ne može dogoditi, tada je P(E) = 0.
b) Ako se događaj E mora dogoditi onda je P(E) = 1.
c) Vjerojatnost da će se dogoditi događaj E je broj između 0 i 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Na primjer, pri bacanju novčića, slučaj da novčić padne na njegov rub ima nultu vjerojatnost. Vjerojatnost da je novčić ili glava ili rep ima vjerojatnost 1.
Primjer 10 Pretpostavimo da su 2 karte izvučene iz špila s 52 karte. Kolika je vjerojatnost da su oboje pikovi?
Riješenje Broj načina n izvlačenja 2 karte iz dobro promiješanog špila od 52 karte je 52 C 2 . Budući da su 13 od 52 karte pikovi, broj m načina za izvlačenje 2 pika je 13 C 2 . Zatim,
P (rastezanje 2 vrha) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.
Primjer 11 Pretpostavimo da su 3 osobe nasumično odabrane iz skupine od 6 muškaraca i 4 žene. Kolika je vjerojatnost da će biti izabran 1 muškarac i 2 žene?
Riješenje Broj načina izbora tri osobe iz grupe od 10 osoba 10 C 3 . Jedan muškarac može biti izabran na 6 C 1 načina, a 2 žene na 4 C 2 načina. Prema temeljnom principu brojanja, broj načina za odabir 1. muškarca i 2 žene je 6 C 1 . 4C2. Tada je vjerojatnost da će biti izabran 1 muškarac i 2 žene
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.
Primjer 12 Bacanje kocke. Kolika je vjerojatnost baciti ukupno 8 na dvije kocke?
Riješenje Postoji 6 mogućih ishoda na svakoj kocki. Ishodi se udvostručuju, odnosno postoji 6,6 ili 36 mogućih načina na koje brojevi na dvije kockice mogu pasti. (Bolje je ako su kocke različite, recimo da je jedna crvena, a druga plava - to će vam pomoći vizualizirati rezultat.) 
Parovi brojeva koji zbrajaju do 8 prikazani su na donjoj slici. Postoji 5 mogućih načina da dobijete zbroj jednak 8, stoga je vjerojatnost 5/36.
Znajući da se vjerojatnost može izmjeriti, pokušajmo je izraziti brojevima. Postoje tri moguća puta.
Riža. 1.1. Mjerenje vjerojatnosti
VJEROJATNOST ODREĐENA SIMETRIJOM
Postoje situacije u kojima su mogući ishodi jednako vjerojatni. Na primjer, pri jednom bacanju novčića, ako je novčić standardan, vjerojatnost dobivanja glave ili repa je ista, t.j. P(glave) = P(repovi). Budući da su moguća samo dva ishoda, onda je P(glave) + P(repovi) = 1, dakle P(glave) = P(repovi) = 0,5.
U eksperimentima u kojima ishodi imaju jednake šanse za nastup, vjerojatnost događaja E, P(E) je:
Primjer 1.1. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerojatnost dvije glave i jednog repa?
Za početak, pronađimo sve moguće ishode: Kako bismo bili sigurni da smo pronašli sve moguće ishode, koristit ćemo dijagram stabla (vidi Poglavlje 1. odjeljak 1.3.1).
Dakle, postoji 8 jednako vjerojatnih ishoda, pa je vjerojatnost za njih 1/8. Događaj E - dva "orla" i "repa" - bila su tri. Zato:
Primjer 1.2. Standardna kocka se baca dvaput. Kolika je vjerojatnost da je zbroj bodova 9 ili više?
Pronađimo sve moguće ishode.
Tablica 1.2. Ukupan broj bodova dobiven dvostrukim bacanjem kocke
Dakle, u 10 od 36 mogućih ishoda, zbroj bodova je 9, odnosno:
EMPIRIJSKI ODREĐENA VJEROJATNOST
Primjer s novčićem iz tablice. 1.1 jasno ilustrira mehanizam za određivanje vjerojatnosti.
Uz ukupan broj pokusa koji su uspješni, vjerojatnost željenog rezultata izračunava se na sljedeći način:
Omjer je relativna učestalost pojavljivanja određenog rezultata u dovoljno dugom eksperimentu. Vjerojatnost se izračunava ili na temelju podataka eksperimenta, na temelju prošlih podataka.
Primjer 1.3. Od petsto testiranih električnih svjetiljki, 415 je radilo više od 1000 sati. Na temelju podataka ovog eksperimenta može se zaključiti da je vjerojatnost normalnog rada svjetiljke ovog tipa više od 1000 sati:
Bilješka. Kontrola je destruktivna, tako da se sve svjetiljke ne mogu testirati. Kada bi se testirala samo jedna lampa, tada bi vjerojatnost bila 1 ili 0 (tj. hoće li moći raditi 1000 sati ili ne). Stoga je potrebno ponoviti eksperiment.
Primjer 1.4. U tablici. 1.3 prikazuje podatke o iskustvu muškaraca koji rade u tvrtki:
Tablica 1.3. Muško radno iskustvo
Kolika je vjerojatnost da će sljedeća osoba koju zaposli tvrtka raditi najmanje dvije godine?
Riješenje.
Tablica pokazuje da je 38 od 100 zaposlenika u tvrtki duže od dvije godine. Empirijska vjerojatnost da će sljedeći zaposlenik ostati u tvrtki dulje od dvije godine je:
Pritom pretpostavljamo da je novi zaposlenik “tipičan, a uvjeti rada nepromijenjeni.
SUBJEKTIVNA PROCJENA VJEROJATNOSTI
U poslovanju se često dešavaju situacije u kojima nema simetrije, a nema ni eksperimentalnih podataka. Stoga je određivanje vjerojatnosti povoljnog ishoda pod utjecajem stajališta i iskustva istraživača subjektivno.
Primjer 1.5.
1. Investicijski stručnjak smatra da je vjerojatnost ostvarivanja dobiti tijekom prve dvije godine 0,6.
2. Prognoza voditelja marketinga: vjerojatnost prodaje 1000 jedinica proizvoda u prvom mjesecu nakon njegovog izlaska na tržište je 0,4.
Vjerojatnost je vrlo laka tema ako se usredotočite na značenje problema, a ne na formule. Ali kako riješiti probleme vjerojatnosti. Prvo, što je vjerojatnost? Ovo je šansa da će se dogoditi neki događaj. Ako kažemo da je vjerojatnost nekog događaja 50%, što to znači? Da će se to ili dogoditi ili neće dogoditi je jedna od dvije stvari. Stoga je izračunavanje vrijednosti vjerojatnosti vrlo jednostavno - trebate uzeti broj opcija koje nam odgovaraju i podijeliti s brojem svih mogućih opcija. Na primjer, šansa da dobijete repove pri bacanju novčića je ½. Kako ćemo dobiti ½? Ukupno imamo dvije moguće opcije (glave i repove), od kojih nam jedna odgovara (repovi), pa dobivamo vjerojatnost ½.
Kao što smo već vidjeli, vjerojatnost se može izraziti i u postocima i u običnim brojevima. Važno: na ispitu ćete morati zapisati odgovor u brojevima, a ne u postocima. Pretpostavlja se da vjerojatnost varira od 0 (nikad se ne događa) do 1 (absolutno će se dogoditi). To također možete reći uvijek
Vjerojatnost pogodnih događaja + vjerojatnost neprikladnih događaja = 1
Sada razumijemo kako točno izračunati vjerojatnost jednog događaja, pa čak i takvi zadaci postoje u FIPI banci, ali jasno je da tu nije kraj. Kako bi život bio zabavniji, u problemima s vjerojatnostima obično postoje najmanje dva događaja, a vjerojatnost morate izračunati uzimajući u obzir svaki od njih.
Izračunavamo vjerojatnost svakog događaja zasebno, a zatim stavljamo znakove između razlomaka:
1. Ako trebate prvi I drugi događaj, onda pomnožite.
2. Ako trebate prvi ILI drugi događaj, zbrojite.
Problemi i rješenja problema o vjerojatnosti
Zadatak 1. Među prirodnim brojevima od 23 do 37 slučajno se bira jedan broj. Nađite vjerojatnost da nije djeljiva s 5.
Riješenje:
Vjerojatnost je omjer povoljnih opcija prema njihovom ukupnom broju.
U ovom intervalu nalazi se 15 brojeva. Od toga su samo 3 djeljiva s 5, pa 12 nije djeljivo.
Vjerojatnost tada: 
Odgovor: 0,8.
Zadatak 2. Dva učenika u razredu su nasumično odabrana da služe u blagovaonici. Kolika je vjerojatnost da će dva dječaka dežurati ako u razredu ima 7 dječaka i 8 djevojčica?
Riješenje: Vjerojatnost je omjer povoljnih opcija prema njihovom ukupnom broju. U razredu od 7 dječaka to su povoljne opcije. A tek 15 učenika.
Vjerojatnost da je prvi dežurni dječak:
Vjerojatnost da je drugi dežurni dječak:
Budući da obojica moraju biti dječaci, množimo vjerojatnosti:
Odgovor: 0,2.
Zadatak 3. U zrakoplovu se nalazi 12 sjedala uz izlaze u slučaju nužde i 18 sjedala iza pregrada koje razdvajaju kabine. Ostala sjedala su nezgodna za visokog putnika. Putnik V. je visok. Pronađite vjerojatnost da će prilikom prijave, uz slučajni odabir sjedala, putnik B. dobiti udobno sjedalo ako u zrakoplovu ima 300 sjedala.
Riješenje: Putniku B. udobno je 30 sjedala (12 + 18 = 30), a u avionu ima 300 mjesta. Stoga je vjerojatnost da će putnik B dobiti udobno sjedalo 30/300, tj. 0,1.
Zadatak 4. U kolekciji ulaznica iz matematike ima samo 25 listića, od kojih 10 sadrži pitanje o nejednakostima.
Pronađite vjerojatnost da student neće dobiti pitanje o nejednakostima u listiću slučajno odabranom na ispitu.
Riješenje: Od 25 listića, 15 ne sadrži pitanje o nejednakostima, pa je vjerojatnost da u slučajno odabranoj listići učenik neće dobiti pitanje o nejednakostima je 15/25, tj. 0,6.
Zadatak 5. U kolekciji karata za kemiju ima samo 35 ulaznica, od kojih 7 sadrži pitanje o kiselinama.
Pronađite vjerojatnost da student neće dobiti pitanje o kiselinama u listiću slučajno odabranom na ispitu.
Riješenje: Od 35 listića, 28 ne sadrži pitanje o kiselinama, pa je vjerojatnost da student ne dobije pitanje o kiselinama u listiću slučajno odabranom na ispitu 28/35, odnosno 0,8.
Zadatak 6. U prosjeku, od 500 prodanih vrtnih pumpi, 2 propuštaju. Pronađite vjerojatnost da jedna nasumično odabrana crpka ne propušta.
Riješenje: Ako od 500 pumpi 2 propuštaju, onda 498 ne curi. Stoga je vjerojatnost odabira dobre pumpe 498/500, tj. 0,996.
Zadatak 7. Vjerojatnost da će novi usisavač biti popravljen u roku od godinu dana je 0,065. U određenom gradu od 1000 prodanih usisavača tijekom godine, u jamstvenu radionicu stiglo je 70 komada.
Koliko se razlikuje učestalost događaja "popravka u jamstvenom roku" od njegove vjerojatnosti u ovom gradu?
Riješenje: Učestalost događaja "popravka jamstva" je 70/1000, tj. 0,07. Razlikuje se od predviđene vjerojatnosti za 0,005 (0,07 - 0,065 = 0,005).
Zadatak 8. Na prvenstvu u gimnastici sudjeluje 50 sportaša: 18 iz Rusije, 14 iz Ukrajine, ostali iz Bjelorusije. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se ždrijebom.
Pronađite vjerojatnost da će sportaš koji prvi nastupi biti iz Bjelorusije.
Riješenje: Na prvenstvu je 50 sudionika, te 18 sportaša iz Bjelorusije (50 - 18 - 14 = 18).
Vjerojatnost da će sportaš iz Bjelorusije prvi nastupiti je 18 od 50, odnosno 18/50, odnosno 0,36.
Zadatak 9. Znanstveni skup se održava u 5 dana. Planirano je ukupno 80 prijava - prva tri dana po 12 prijava, ostatak se ravnomjerno raspoređuje između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvješća utvrđuje se ždrijebom.
Kolika je vjerojatnost da će izvješće profesora M. biti zakazano za zadnji dan konferencije?
Riješenje: Tijekom prva tri dana pročitat će se 36 izvještaja (12 ∙ 3 = 36), a za posljednja dva dana planirana su 44 izvješća. Stoga su za zadnji dan zakazana 22 izvješća (44:2 = 22). To znači da je vjerojatnost da će izvješće profesora M. biti zakazano za zadnji dan konferencije 22/80, odnosno 0,275.
Zadatak 10.
Prije početka prvog kola šahovskog prvenstva sudionici se ždrijebom nasumično dijele u parove. Na prvenstvu sudjeluje ukupno 26 šahista, uključujući 14 sudionika iz Rusije, među kojima je i Yegor Kosov.
Pronađite vjerojatnost da će u prvom kolu Jegor Kosov igrati s bilo kojim šahistom iz Rusije?
Riješenje: U prvom kolu Egor Kosov može igrati s 25 šahista (26 - 1 = 25), od kojih je 13 iz Rusije. To znači da je vjerojatnost da će Egor Kosov u prvom kolu igrati s bilo kojim šahistom iz Rusije 13/25, odnosno 0,52.
Zadatak 11.
Na Svjetskom prvenstvu sudjeluje 16 reprezentacija. Ždrijebom se moraju podijeliti u četiri skupine po četiri tima. U kutiji su pomiješane kartice s grupnim brojevima: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Kapetani momčadi izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerojatnost da će ruska momčad biti u drugoj skupini?
Riješenje: Vjerojatnost da će ruski tim biti u drugoj skupini jednaka je omjeru broja karata s brojem 2 i ukupnog broja karata, odnosno 4/16, odnosno 0,25.
Zadatak 12. U grupi turista je 5 osoba. Uz pomoć ždrijeba biraju dvoje ljudi koji moraju otići u selo po hranu. Turist A. želio bi ići u trgovinu, ali se pokorava parceli. Kolika je vjerojatnost da će A otići u trgovinu?
Riješenje: Odaberite dva turista od pet. Stoga je vjerojatnost odabira 2/5, tj. 0,4.
Zadatak 13. U grupi turista je 30 ljudi. Helikopterom se bacaju u nekoliko koraka u udaljeno područje, 6 ljudi po letu. Redoslijed kojim helikopter prevozi turiste je slučajan. Nađite vjerojatnost da će turist P. krenuti prvim letom helikopterom.
Riješenje: Na prvom letu ima 6 sjedala, ukupno 30. Tada je vjerojatnost da će turist letjeti prvim letom helikoptera 6/30, odnosno 0,2.
Zadatak 14. Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabrani prirodni broj od 10 do 19 djeljiv s 3?
Riješenje: prirodni brojevi ima deset od 10 do 19, od kojih su tri broja djeljiva s 3: 12, 15 i 18. Dakle, željena vjerojatnost je 3/10, tj. 0,3.
Vjerojatnost više događaja
Zadatak 1. Prije početka odbojkaške utakmice, kapetani momčadi izvlače pošteno ždrijeb kako bi odredili koja će momčad započeti utakmicu. Ekipa "Starter" naizmjenično igra s ekipama "Rotor", "Motor" i "Strator". Pronađite vjerojatnost da će "Starter" započeti tek drugu igru.
Riješenje:
Sljedeća opcija će nam odgovarati: Stator ne počinje prvu igru, počinje drugu igru, ne počinje treću igru. Vjerojatnost takvog razvoja događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog od tih događaja. Vjerojatnost svakog od njih je 0,5, dakle: 0,5 0,5 0,5 = 0,125.
Zadatak 2. Za prolaz u sljedeću rundu natjecanja, nogometna momčad mora u dvije utakmice postići najmanje 4 boda. Ako ekipa pobijedi, dobiva 3 boda, u slučaju neriješenog rezultata - 1 bod, ako izgubi - 0 bodova. Pronađite vjerojatnost da će tim uspjeti proći u sljedeći krug natjecanja. Uzmite u obzir da su u svakoj igri vjerojatnosti pobjede i poraza jednake i jednake 0,4.
Riješenje:
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Vjerojatnost nastanka bilo koje od ove 3 opcije jednaka je zbroju vjerojatnosti svake od opcija: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Zadatak 3. U razredu je 21 učenik. Među njima su i dvije prijateljice: Anya i Nina. Razred je nasumično podijeljen u 7 grupa od po 3 osobe. Pronađite vjerojatnost da su Anya i Nina u istoj skupini.
Riješenje:
Vrsta pitanja: Smanjite grupe.
Vjerojatnost da Anya padne u jednu od skupina je 1. Vjerojatnost da Nina padne u istu skupinu je 2 od 20 (2 preostala mjesta u skupini, a 20 ljudi je otišlo). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Zadatak 4. Petya je u džepu imao 4 novčića rublje i 2 novčića od dvije rublje. Petya je, ne gledajući, prebacila neka 3 novčića u drugi džep. Pronađite vjerojatnost da su oba novčića od dvije rublje u istom džepu.
Riješenje:
Metoda broj 1
Vrsta zadatka: smanjenje grupe.
Zamislite da je šest novčića podijeljeno u dvije skupine po tri novčića. Vjerojatnost da će prvi novčić od jedne rublje pasti u jedan od džepova (skupina) = 1.
Vjerojatnost da će dva novčića od dvije rublje pasti u isti džep = broj preostalih mjesta u ovom džepu / broj preostalih mjesta u oba džepa = 2/5 = 0,4.
Metoda broj 2
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Zadatak se izvodi na nekoliko načina:
Ako je Petya prebacio tri od četiri novčića rublje u drugi džep (nije prebacio novčiće od dvije rublje) ili ako je prebacio oba novčića od dvije rublje i jedan novčić rublje u drugi džep na jedan od tri načina: 1, 2, 2 ; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Možete to prikazati u dijagramu (Petar ga stavlja u džep 2, pa ćemo izračunati vjerojatnosti u stupcu "džep 2"):
Zadatak 5. Petya je u džepu imao 2 novčića od 5 rubalja i 4 novčića od 10 rubalja. Petya je, ne gledajući, prebacila neka 3 novčića u drugi džep. Pronađite vjerojatnost da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.
Riješenje:
Vrsta zadatka: smanjenje grupe.
Metoda broj 1
Zamislite da je šest novčića podijeljeno u dvije skupine po tri novčića. Vjerojatnost da će prvi novčić od dvije rublje pasti u jedan od džepova (skupina) = 1. Vjerojatnost da će drugi novčić pasti u drugi džep = broj preostalih mjesta u drugom / broj preostalih mjesta u oba džepovi = 3/5 = 0,6.
Metoda broj 2
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Zadatak se izvodi s nekoliko opcija:
Da bi novčići od pet rubalja završili u različitim džepovima, Petya mora izvaditi iz džepa jedan novčić od pet i dva novčića od deset rubalja. To se može učiniti na tri načina: 5, 10, 10; 10, 5, 10 ili 10, 10, 5. To možete prikazati u dijagramu (Petar ga stavlja u džep 2, pa ćemo izračunati vjerojatnosti u stupcu "džep 2"):
Vjerojatnost pojave bilo koje od ove 4 opcije jednaka je zbroju vjerojatnosti svake od opcija: 
Zadatak 6. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca tri puta. Nađite vjerojatnost da se pojavi točno dvaput.
Riješenje: Vrsta pitanja: pronalaženje željenog i stvarnog \ kombiniranje događaja Zadovoljni smo s tri opcije:
Orao - repovi - orao;
Orao - orao - repovi;
Repovi - orao - orao;
Vjerojatnost svakog slučaja je 1/2, a svake opcije je 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Zadovoljit ćemo se ili prvom, ili drugom, ili trećom opcijom. Stoga zbrajamo njihove vjerojatnosti i dobivamo 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), tj. 0,375.
Zadatak 7. Ako velemajstor A. igra bijelog, tada pobjeđuje velemajstora B. s vjerojatnošću 0,5. Ako A. igra crno, tada A. pobjeđuje B. s vjerojatnošću od 0,34. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, a u drugoj igri mijenjaju boju figura. Nađite vjerojatnost da A. pobijedi oba puta.
Riješenje:
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
U svakom slučaju, A. će igrati i bijeli i crni, pa ćemo se zadovoljiti opcijom kada velemajstor A. pobijedi igrajući bijeli (vjerojatnost 0,5) i također igrajući crni (vjerojatnost 0,34). Stoga je potrebno pomnožiti vjerojatnosti ova dva događaja: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Zadatak 8. Vjerojatnost da je baterija neispravna je 0,02. Kupac u trgovini odabire nasumično paket koji sadrži dvije od ovih baterija. Nađite vjerojatnost da su obje baterije dobre.
Riješenje:
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Vjerojatnost da je baterija dobra je 0,98. Kupcu je potrebna i prva i druga baterija da budu u dobrom stanju: 0,98 0,98 = 0,9604.
Zadatak 9. Na rock festivalu nastupaju grupe - po jedna iz svake od deklariranih zemalja. Redoslijed izvođenja određuje se ždrijebom. Kolika je vjerojatnost da će bend iz SAD-a nastupiti nakon benda iz Kanade i nakon benda iz Kine? Zaokružite rezultat na najbližu stotinu.
Riješenje:
Vrsta pitanja: kombinacija događaja.
Ukupan broj grupa koje nastupaju na festivalu nije bitan za odgovor na pitanje. Bez obzira koliko ih ima, postoji 6 načina za naznačene zemlje relativni položaj među zvučnicima (KIT - Kina, CAN = Kanada):
…SAD, MOŽE, KINA…
…SAD, KINA, MOŽE…
… KIT, SAD, MOŽE…
... MOŽE, SAD, KINA ...
... KAN, KIT, SAD ...
…KIT, LIMENKA, SAD…
SAD je iza Kine i Kanade u posljednja dva slučaja. Stoga je vjerojatnost da će grupe biti nasumično raspoređene na ovaj način jednaka:
Komplementarna vjerojatnost
Zadatak 1.
Automatska linija proizvodi baterije. Vjerojatnost da je gotova baterija neispravna je 0,02. Prije pakiranja svaka baterija prolazi kroz kontrolni sustav. Vjerojatnost da će sustav odbiti lošu bateriju je 0,97. Vjerojatnost da će sustav greškom odbiti dobru bateriju je 0,05.
Pronađite vjerojatnost da će slučajno odabrana baterija biti odbijena.
Riješenje:
Postoje 2 opcije koje nam odgovaraju:
Opcija A: baterija je odbijena, neispravna je;
Opcija B: baterija je odbijena, radi.
Vjerojatnost opcije A: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Vjerojatnost opcije B: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Odgovarat će nam ili prva ili druga opcija: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Zadatak 2. Dvije tvornice proizvode isto staklo za farove automobila. Prva tvornica proizvodi 60% ovih naočala, druga - 40%. Prva tvornica proizvodi 3% neispravnih naočala, a druga - 5%. Pronađite vjerojatnost da će staklo slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno.
Riješenje:
Vjerojatnost da je staklo kupljeno u prvoj tvornici i da je neispravno: 0,6 0,03 = 0,018.
Vjerojatnost da je staklo kupljeno u drugoj tvornici i da je neispravno: 0,4 0,05 = 0,02.
Vjerojatnost da će čaša slučajno kupljena u trgovini biti neispravna je 0,018 + 0,02 = 0,038.
Zadatak 3. U tvornici keramičkog posuđa 10% proizvedenih tanjura je neispravno. Tijekom kontrole kvalitete proizvoda otkrije se 80% neispravnih ploča. Ostale ploče su na prodaju. Pronađite vjerojatnost da ploča slučajno odabrana u trenutku kupnje nema nedostataka. Zaokružite rezultat na tisućinke.
Riješenje:
Pretpostavimo da u početku imamo x ploča (uostalom, stalno imamo posla s postocima, tako da nas ništa ne sprječava da radimo s određenim vrijednostima).
Tada su 0,1x neispravne ploče, a 0,9x normalne, koje će odmah ići u trgovinu. Od neispravnih se uklanja 80%, odnosno 0,08x, a ostaje 0,02x koji će također otići u trgovinu. Dakle, ukupan broj ploča na policama u trgovini će biti: 0,9x + 0,02x = 0,92x. Od toga će 0,9x biti normalno. Sukladno tome, prema formuli, vjerojatnost će biti 0,9x / 0,92x ≈ 0,978.
Zadatak 4. Prema recenzijama kupaca, Igor Igorevich je procijenio pouzdanost dviju internetskih trgovina. Vjerojatnost da će željeni proizvod biti isporučen iz trgovine A je 0,91. Vjerojatnost da će ovaj proizvod biti isporučen iz trgovine B je 0,89. Igor Igorevič naručio je robu odjednom u obje trgovine. Uz pretpostavku da internetske trgovine rade neovisno jedna o drugoj, pronađite vjerojatnost da niti jedna trgovina neće isporučiti robu.
Riješenje. Vjerojatnost da prva trgovina neće isporučiti robu je 1 − 0,91 = 0,09. Vjerojatnost da druga trgovina neće isporučiti robu je 1 − 0,89 = 0,11. Vjerojatnost istodobne pojave ova dva događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog od njih: 0,09 0,11 = 0,0099.
Zadatak 5. Kod proizvodnje ležajeva promjera 70 mm, vjerojatnost da će se promjer razlikovati od navedenog za manje od 0,01 mm je 0,961. Pronađite vjerojatnost da će slučajni ležaj imati promjer manji od 69,99 mm ili veći od 70,01 mm.
Riješenje: Zadana nam je vjerojatnost događaja u kojem će promjer biti između 69,99 mm i 70,01 mm, a ona je jednaka 0,961. Vjerojatnost svih ostalih opcija možemo pronaći koristeći princip komplementarne vjerojatnosti: 1 − 0,961 = 0,039.
Zadatak 6. Vjerojatnost da učenik točno riješi više od 9 zadataka na testu iz povijesti je 0,68. Vjerojatnost da će više od 8 zadataka biti točno riješeno je 0,78. Pronađite vjerojatnost da će točno 9 zadataka biti točno riješeno.
Riješenje: Vjerojatnost da T. točno riješi više od 8 zadataka uključuje vjerojatnost rješavanja točno 9 zadataka. Pritom nam ne odgovaraju događaji u kojima O. rješava više od 9 problema. Dakle, oduzimanjem vjerojatnosti rješavanja više od 8 zadataka od vjerojatnosti rješavanja više od 9 zadataka, naći ćemo vjerojatnost rješavanja samo 9 zadataka: 0,78 - 0,68 = 0,1.
Zadatak 7. Iz okružnog centra do sela svakodnevno vozi autobus. Vjerojatnost da će u ponedjeljak u autobusu biti manje od 21 putnika je 0,88. Vjerojatnost da će biti manje od 12 putnika je 0,66. Nađite vjerojatnost da će broj putnika biti između 12 i 20.
Riješenje. Vjerojatnost da će autobus imati manje od 21 putnika uključuje vjerojatnost da će autobus imati između 12 i 20 putnika. Istodobno, događaji u kojima će biti manje od 12 putnika nam ne odgovaraju. Dakle, oduzimanjem od prve vjerojatnosti (manje od 21) druge vjerojatnosti (manje od 12), naći ćemo vjerojatnost da će biti od 12 do 20 putnika: 0,88 - 0,66 = 0,22.
Zadatak 8. U zemlji bajki postoje dvije vrste vremena: dobro i izvrsno, a vrijeme, nakon što se ustali ujutro, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će s vjerojatnošću od 0,9 vrijeme sutra biti kao danas. Dana 10. travnja vrijeme u Fairylandu je dobro. Pronađite vjerojatnost da će 13. travnja u Magiclandu biti lijepo vrijeme.
Riješenje:
Zadatak se izvodi s nekoliko opcija ("X" - lijepo vrijeme, "O" - odlično vrijeme):
Vjerojatnost nastanka bilo koje od ove 4 opcije jednaka je zbroju vjerojatnosti svake od opcija: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Zadatak 9. U zemlji bajki postoje dvije vrste vremena: dobro i izvrsno, a vrijeme, nakon što se ustali ujutro, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će s vjerojatnošću od 0,8 vrijeme sutra biti kao danas. Danas je 3. srpnja, vrijeme u Fairylandu je dobro. Pronađite vjerojatnost da će 6. srpnja u Magiclandu biti lijepo vrijeme.
Riješenje:
Zadatak se izvodi s nekoliko opcija ("X" - lijepo vrijeme, "O" - odlično vrijeme):
Vjerojatnost nastanka bilo koje od ovih 4 - x opcija jednaka je zbroju vjerojatnosti svake od opcija: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.
