Članak je posvećen analizi zadataka 15 iz profila Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 2017. U ovom zadatku od školaraca se traži rješavanje nejednadžbi, najčešće logaritamskih. Iako može biti indikativnih. Ovaj članak daje analizu primjera logaritamske nejednakosti, uključujući one koji sadrže varijablu na bazi logaritma. Svi primjeri preuzeti su iz otvorene banke zadataka Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil), tako da će se takve nejednakosti vjerojatno naići na ispitu kao zadatak 15. Idealno za one koji žele naučiti kako riješiti zadatak 15 iz drugog dijela Jedinstvenog državnog ispita profila u kratkom roku iz matematike kako biste dobili više bodova na ispitu.
Analiza zadataka 15 iz profila Jedinstveni državni ispit iz matematike
| Primjer 1. Riješite nejednadžbu: |
U zadacima 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil) često se susreću logaritamske nejednakosti. Rješavanje logaritamskih nejednadžbi počinje određivanjem raspona prihvatljivih vrijednosti. U ovom slučaju nema varijable u bazi oba logaritma, postoji samo broj 11, što uvelike pojednostavljuje problem. Dakle, jedino ograničenje koje ovdje imamo je da su oba izraza pod znakom logaritma pozitivna:
Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}
Prva nejednadžba u sustavu je kvadratna nejednadžba. Da bismo to riješili, stvarno bismo željeli faktorizirati lijevu stranu. Mislim da znate da svaki kvadratni trinom oblika 
faktorizira se na sljedeći način:
gdje su i korijeni jednadžbe. U ovom slučaju, koeficijent je 1 (ovo je brojčani koeficijent ispred ). Koeficijent je također jednak 1, a koeficijent je lažni član, jednak je -20. Korijene trinoma najlakše je odrediti pomoću Vietinog teorema. Jednadžba koju smo dali znači da će zbroj korijena biti jednak koeficijentu sa suprotnim predznakom, to jest -1, a umnožak tih korijena bit će jednak koeficijentu, to je -20. Lako je pogoditi da će korijeni biti -5 i 4.
Sada se lijeva strana nejednakosti može faktorizirati: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} x u točkama -5 i 4. To znači da je traženo rješenje nejednadžbe interval . Za one koji ne razumiju što je ovdje napisano, detalje možete pogledati u videu, počevši od ovog trenutka. Tamo ćete naći i detaljno objašnjenje kako se rješava druga nejednadžba sustava. Rješava se. Štoviše, odgovor je potpuno isti kao i za prvu nejednadžbu sustava. Odnosno, gore napisani skup je područje dopuštenih vrijednosti nejednakosti.
Dakle, uzimajući u obzir faktorizaciju, izvorna nejednakost ima oblik:
Koristeći formulu, dodamo 11 na potenciju izraza ispod znaka prvog logaritma, a drugi logaritam pomaknemo na lijevu stranu nejednadžbe, mijenjajući mu predznak u suprotan:
Nakon redukcije dobivamo:
Posljednja nejednadžba, zbog porasta funkcije, ekvivalentna je nejednadžbi 
, čije je rješenje interval 
. Ostaje samo presjeći je s područjem prihvatljivih vrijednosti nejednakosti i to će biti odgovor na cijeli zadatak.
Dakle, traženi odgovor na zadatak izgleda ovako:
Bavili smo se ovim zadatkom, sada prelazimo na sljedeći primjer zadatka 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (profil).
| Primjer 2. Riješite nejednadžbu:
|
Rješenje započinjemo određivanjem raspona prihvatljivih vrijednosti ove nejednakosti. U osnovi svakog logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Svi izrazi pod predznakom logaritma moraju biti pozitivni. Nazivnik razlomka ne smije sadržavati nulu. Zadnji uvjet je ekvivalentan činjenici da , jer samo u suprotnom oba logaritma u nazivniku nestaju. Svi ovi uvjeti određuju raspon dopuštenih vrijednosti ove nejednakosti, dane sljedećim sustavom nejednakosti:
Title="Renderirao QuickLaTeX.com">!}
U rasponu prihvatljivih vrijednosti, možemo koristiti formule za pretvorbu logaritma da pojednostavimo lijevu stranu nejednakosti. Korištenje formule 
riješimo se nazivnika:
Sada imamo samo logaritme s bazom. Ovo je već zgodnije. Zatim koristimo formulu, a također i formulu kako bismo izraz vrijedan slave doveli do sljedećeg oblika:
U izračunima smo koristili ono što je bilo u rasponu prihvatljivih vrijednosti. Zamjenom dolazimo do izraza:
Upotrijebimo još jednu zamjenu: . Kao rezultat dolazimo do sljedećeg rezultata:
Dakle, postupno se vraćamo na izvorne varijable. Prvo do varijable:
Odjeljci: Matematika
Često se kod rješavanja logaritamskih nejednakosti javljaju problemi s promjenjivom bazom logaritma. Dakle, nejednakost oblika
je standardna školska nejednakost. U pravilu se za njegovo rješavanje koristi prijelaz na ekvivalentni skup sustava:
Nedostatak ove metode je potreba za rješavanjem sedam nejednakosti, ne računajući dva sustava i jednu populaciju. Već s ovim kvadratnim funkcijama rješavanje populacije može potrajati dosta vremena.
Moguće je predložiti alternativni, manje dugotrajan način rješavanja ove standardne nejednakosti. Da bismo to učinili, uzimamo u obzir sljedeći teorem.
Teorem 1. Neka na skupu X postoji kontinuirano rastuća funkcija. Tada će se na tom skupu predznak prirasta funkcije podudarati s predznakom prirasta argumenta, tj. , Gdje 
.
Napomena: ako je kontinuirano padajuća funkcija na skupu X, tada .
Vratimo se nejednakosti. Prijeđimo na decimalni logaritam (možete prijeći na bilo koji s konstantnom bazom većom od jedan).
Sada možete koristiti teorem, uočavajući prirast funkcija u brojniku 
a u nazivniku. Dakle, istina je
Kao rezultat toga, broj izračuna koji vode do odgovora približno je prepolovljen, što štedi ne samo vrijeme, već vam također omogućuje potencijalno manje aritmetičkih i nepažljivih pogrešaka.
Primjer 1.
Uspoređujući s (1) nalazimo 
, 
, .
Prelazeći na (2) imat ćemo:
Primjer 2.
Uspoređujući s (1) nalazimo , , .
Prelazeći na (2) imat ćemo:
Primjer 3.
Budući da je lijeva strana nejednadžbe rastuća funkcija kao i 
, onda će odgovor biti mnogo.
Brojni primjeri u kojima se Tema 1 može primijeniti mogu se lako proširiti uzimajući u obzir Temu 2.
Neka na setu x definirane su funkcije , , , te se na tom skupu predznaci i podudaraju, tj. , onda će biti pošteno.
Primjer 4.
Primjer 5.
Kod standardnog pristupa, primjer se rješava prema sljedećoj shemi: umnožak je manji od nule kada su faktori različitih predznaka. Oni. razmatra se skup dvaju sustava nejednakosti u kojima se, kao što je naznačeno na početku, svaka nejednakost rastavlja na još sedam.
Ako uzmemo u obzir teorem 2, tada svaki od faktora, uzimajući u obzir (2), možemo zamijeniti drugom funkcijom koja ima isti predznak u ovom primjeru O.D.Z.
Metoda zamjene inkrementa funkcije s inkrementom argumenta, uzimajući u obzir teorem 2, pokazuje se vrlo zgodnom pri rješavanju tipični zadaci Jedinstveni državni ispit C3.
Primjer 6.
Primjer 7.
. Označimo . Dobivamo
. Imajte na umu da zamjena podrazumijeva: . Vraćajući se na jednadžbu, dobivamo
.
Primjer 8.
U teoremima koje koristimo nema ograničenja na klase funkcija. U ovom članku, kao primjer, teoremi su primijenjeni na rješavanje logaritamskih nejednadžbi. Sljedećih nekoliko primjera će pokazati obećanje metode za rješavanje drugih vrsta nejednakosti.
LOGARITAMSKE NEJEDNAČINE U UPORABI
Sečin Mihail Aleksandrovič
Mala akademija nauka za studente Republike Kazahstan "Iskatel"
MBOU "Sovetskaja srednja škola br. 1", 11. razred, grad. Sovjetski Sovjetski okrug
Gunko Lyudmila Dmitrievna, učiteljica gradske proračunske obrazovne ustanove “Sovetskaja srednja škola br. 1”
Sovjetski okrug
Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje logaritamskih nejednadžbi C3 korištenjem nestandardnih metoda, identificiranje Zanimljivosti logaritam
Predmet proučavanja:
3) Naučite rješavati specifične logaritamske nejednadžbe C3 koristeći nestandardne metode.
Rezultati:
Sadržaj
Uvod…………………………………………………………………………………….4
Poglavlje 1. Povijest problema………………………………………………………...5
Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti …………………………… 7
2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala…………… 7
2.2. Metoda racionalizacije…………………………………………………………………… 15
2.3. Nestandardna zamjena………………............................................ ............ 22
2.4. Zadaci sa zamkama………………………………………………………27
Zaključak………………………………………………………………………………… 30
Književnost……………………………………………………………………. 31
Uvod
Idem u 11. razred i planiram upisati sveučilište gdje je osnovni predmet matematika. Zato puno radim s problemima u dijelu C. U zadatku C3 trebam riješiti nestandardnu nejednadžbu ili sustav nejednadžbi, obično povezan s logaritmima. Pripremajući se za ispit suočila sam se s problemom nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednadžbi ponuđenih u C3. Metode koje se proučavaju u školski plan i program na ovu temu, ne daju temelj za rješavanje C3 zadataka. Profesorica matematike mi je predložila da C3 zadatke radim samostalno pod njezinim vodstvom. Osim toga, zanimalo me pitanje: susrećemo li se u životu s logaritmima?
Imajući to na umu, odabrana je tema:
"Logaritamske nejednakosti na Jedinstvenom državnom ispitu"
Cilj rada: proučavanje mehanizma za rješavanje problema C3 korištenjem nestandardnih metoda, identificiranje zanimljivih činjenica o logaritmu.
Predmet proučavanja:
1) Pronađite potrebne informacije o nestandardnim metodama za rješavanje logaritamskih nejednadžbi.
2) Pronađite dodatne informacije o logaritmima.
3) Naučite rješavati specifične C3 probleme koristeći nestandardne metode.
Rezultati:
Praktični značaj je u proširenju aparature za rješavanje problema C3. Ovaj materijal može se koristiti na pojedinim satovima, za klubove i izbornu nastavu iz matematike.
Proizvod projekta bit će zbirka “C3 Logaritamske nejednakosti s rješenjima.”
Poglavlje 1. Pozadina
Tijekom 16. stoljeća broj približnih izračuna se naglo povećavao, prvenstveno u astronomiji. Poboljšanje instrumenata, proučavanje planetarnih kretanja i drugi poslovi zahtijevali su kolosalne, ponekad višegodišnje proračune. Astronomija je bila u stvarnoj opasnosti da se utopi u neostvarenim proračunima. Poteškoće su se pojavile iu drugim područjima, primjerice, u osiguranju su bile potrebne tablice složenih kamata za različite kamatne stope. Glavna poteškoća bila je množenje i dijeljenje višeznamenkastih brojeva, posebice trigonometrijskih veličina.
Otkriće logaritama temeljilo se na svojstvima progresija koja su bila dobro poznata do kraja 16. stoljeća. Arhimed je govorio o povezanosti članova geometrijske progresije q, q2, q3, ... i aritmetičke progresije njihovih eksponenata 1, 2, 3,... u Psalmu. Drugi preduvjet bilo je proširenje pojma stupnja na negativno i frakcijski pokazatelji. Mnogi su autori istaknuli da množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena u geometrijskoj progresiji odgovaraju u aritmetici – istim redom – zbrajanju, oduzimanju, množenju i dijeljenju.
Ovdje je bila ideja o logaritmu kao eksponentu.
U povijesti razvoja učenja o logaritmima prošlo je nekoliko faza.
1. faza
Logaritme su izumili najkasnije 1594. neovisno škotski barun Napier (1550.-1617.) i deset godina kasnije švicarski mehaničar Bürgi (1552.-1632.). Obojica su željeli pružiti novo, zgodno sredstvo aritmetičkih izračuna, iako su pristupili ovom problemu na različite načine. Napier je kinematički izrazio logaritamsku funkciju i time ušao u novo područje teorije funkcija. Bürgi je ostao na temelju razmatranja diskretnih progresija. Međutim, definicija logaritma za oba nije slična modernoj. Pojam "logaritam" (logaritam) pripada Napieru. Nastala je kombinacijom grčkih riječi: logos - "odnos" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj odnosa". U početku je Napier koristio drugačiji izraz: numeri artificiales - "umjetni brojevi", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".
Godine 1615., u razgovoru s Henryjem Briggsom (1561.-1631.), profesorom matematike na Gresh Collegeu u Londonu, Napier je predložio da se nula uzme kao logaritam od jedan, a 100 kao logaritam od deset, ili ono što je isto stvar, samo 1. Tako su tiskani decimalni logaritmi i Prve logaritamske tablice. Kasnije je Briggsove tablice dopunio nizozemski knjižar i matematički entuzijast Adrian Flaccus (1600.-1667.). Napier i Briggs, iako su do logaritma došli ranije od svih, svoje su tablice objavili kasnije od ostalih - 1620. godine. Znakove log i Log uveo je 1624. I. Kepler. Pojam “prirodni logaritam” uveo je Mengoli 1659. godine, a slijedio ga je N. Mercator 1668. godine, a londonski učitelj John Speidel objavio je tablice prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod nazivom “Novi logaritmi”.
Prve logaritamske tablice objavljene su na ruskom 1703. Ali u svim logaritamskim tablicama bilo je pogrešaka u izračunu. Prve tablice bez grešaka objavljene su 1857. godine u Berlinu, a obradio ih je njemački matematičar K. Bremiker (1804.-1877.).
Faza 2
Daljnji razvoj teorije logaritama povezan je sa širom primjenom analitička geometrija i infinitezimalni račun. Do tada je uspostavljena veza između kvadrature jednakostranične hiperbole i prirodnog logaritma. Teorija logaritama ovog razdoblja povezana je s imenima brojnih matematičara.
Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator u eseju
"Logarithmotechnics" (1668) daje niz koji daje proširenje ln(x+1) u
potencije od x:
Ovaj izraz točno odgovara njegovom toku misli, iako, naravno, nije koristio znakove d, ..., već glomazniju simboliku. Otkrićem logaritamskog niza promijenila se tehnika izračunavanja logaritama: oni su se počeli određivati pomoću beskonačnih nizova. U svojim predavanjima "Elementarna matematika s višeg gledišta", održanim 1907.-1908., F. Klein je predložio korištenje formule kao polazišta za izgradnju teorije logaritama.
Faza 3
Definicija logaritamska funkcija kao inverzna funkcija
eksponencijal, logaritam kao eksponent zadane baze
nije odmah formuliran. Esej Leonharda Eulera (1707.-1783.)
"Uvod u analizu infinitezimala" (1748.) poslužio je za daljnje
razvoj teorije logaritamskih funkcija. Tako,
Prošle su 134 godine otkako su prvi put uvedeni logaritmi
(računajući od 1614), prije nego što su matematičari došli do definicije
koncept logaritma, koji je sada osnova školskog tečaja.
Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednadžbi
2.1. Ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala.
Ekvivalentni prijelazi
, ako je a > 1
, ako je 0 <
а <
1
Metoda generaliziranih intervala
Ova metoda je najuniverzalnija za rješavanje nejednakosti gotovo svih vrsta. Dijagram rješenja izgleda ovako:
1. Nejednadžbu dovesti u oblik gdje je funkcija na lijevoj strani 
, a desno 0.
2. Pronađite domenu funkcije .
3. Pronađite nulte točke funkcije , odnosno riješiti jednadžbu 
(a rješavanje jednadžbe obično je lakše od rješavanja nejednadžbe).
4. Na brojevnom pravcu nacrtajte područje definicije i nulte točke funkcije.
5. Odredi predznake funkcije na dobivenim intervalima.
6. Odaberite intervale u kojima funkcija uzima tražene vrijednosti i zapišite odgovor.
Primjer 1.
Riješenje:
Primijenimo metodu intervala
gdje
Za ove vrijednosti svi izrazi pod logaritamskim predznacima su pozitivni.
Odgovor:
Primjer 2.
Riješenje:
1 put . ADL je određen nejednakošću x> 3. Uzimanje logaritma za takve x u bazi 10, dobivamo
Posljednja nejednakost mogla bi se riješiti primjenom pravila proširenja, tj. uspoređujući faktore s nulom. Međutim, u ovom slučaju lako je odrediti intervale konstantnog predznaka funkcije
stoga se može primijeniti metoda intervala.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ je kontinuirano na x> 3 i nestaje u točkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Time smo odredili intervale konstantnog predznaka funkcije f(x):
Odgovor:
2. metoda . Primijenimo izravno ideje metode intervala na izvornu nejednadžbu.
Da biste to učinili, prisjetite se izraza a b- a c i ( a - 1)(b- 1) imaju jedan znak. Tada je naša nejednakost pri x> 3 je ekvivalent nejednakosti
ili
Posljednja nejednadžba rješava se metodom intervala
Odgovor:
Primjer 3.
Riješenje:
Primijenimo metodu intervala
Odgovor:
Primjer 4.
Riješenje:
Od 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve realne x, To
Za rješavanje druge nejednadžbe koristimo se metodom intervala
U prvoj nejednadžbi vršimo zamjenu
tada dolazimo do nejednakosti 2y 2 - g - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те g, koji zadovoljavaju nejednakost -0.5< g < 1.
Odakle, jer
dobivamo nejednakost
koji se provodi kada x, za koje 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sada, uzimajući u obzir rješenje druge nejednadžbe sustava, konačno dobivamo
Odgovor:
Primjer 5.
Riješenje:
Nejednakost je ekvivalentna skupu sustava
ili
Koristimo se metodom intervala odn
Odgovor:
Primjer 6.
Riješenje:
Nejednakost je jednaka sustavu
Neka
Zatim g > 0,
a prva nejednakost
sustav poprima oblik
ili, odvijanje
kvadratni trinom faktoriziran,
Primjenjujući metodu intervala na posljednju nejednadžbu,
vidimo da njegova rješenja zadovoljavaju uvjet g> 0 će biti sve g > 4.
Dakle, izvorna nejednadžba je ekvivalentna sustavu:
Dakle, rješenja nejednakosti su sva
2.2. Metoda racionalizacije.
Prije se nejednakost nije rješavala metodom racionalizacije, nije bila poznata. Ovo je "nova moderna" učinkovita metoda rješenja eksponencijalnih i logaritamskih nejednakosti" (citat iz knjige S.I. Kolesnikova)
Čak i ako ga je učitelj poznavao, postojao je strah - poznaje li ga stručnjak za jedinstveni državni ispit i zašto ga ne daju u školi? Bilo je situacija kada je učitelj rekao učeniku: "Gdje si to nabavio? Sjedni - 2."
Sada se metoda promovira posvuda. A za stručnjake ima smjernice, povezan s ovom metodom, au "Najpotpunijim izdanjima opcija modela..." rješenje C3 koristi ovu metodu.
PREKRASNA METODA!
"Čarobni stol"
U drugim izvorima
Ako a >1 i b >1, zatim log a b >0 i (a -1)(b -1)>0;
Ako a >1 i 0 ako je 0<a<1 и b
>1, zatim zapišite a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ako je 0<a<1 и 00 i (a -1)(b -1)>0. Provedeno obrazloženje je jednostavno, ali značajno pojednostavljuje rješavanje logaritamskih nejednadžbi. Primjer 4.
log x (x 2 -3)<0
Riješenje:
Primjer 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Riješenje: Primjer 6.
Da bismo riješili ovu nejednadžbu, umjesto nazivnika upisujemo (x-1-1)(x-1), a umjesto brojnika umnožak (x-1)(x-3-9 + x). Primjer 7.
Primjer 8.
2.3. Nestandardna zamjena. Primjer 1.
Primjer 2.
Primjer 3.
Primjer 4.
Primjer 5.
Primjer 6.
Primjer 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Napravimo zamjenu y=3 x -1; tada će ova nejednakost poprimiti oblik Log 4 log 0,25 Jer log 0,25 Napravimo zamjenu t =log 4 y i dobijemo nejednadžbu t 2 -2t +≥0 čije su rješenje intervali - Dakle, da bismo pronašli vrijednosti y imamo skup od dvije jednostavne nejednakosti Stoga je izvorna nejednadžba ekvivalentna skupu dviju eksponencijalnih nejednakosti, Rješenje prve nejednadžbe ovog skupa je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Primjer 8.
Riješenje:
Nejednakost je jednaka sustavu Rješenje druge nejednadžbe koja definira ODZ bit će skup onih x,
za koji x > 0.
Da bismo riješili prvu nejednadžbu, izvršimo zamjenu Tada dobivamo nejednakost ili Skup rješenja posljednje nejednadžbe nalazi se metodom intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dobivamo ili Puno takvih x, koji zadovoljavaju posljednju nejednakost pripada ODZ ( x> 0), dakle, rješenje je sustava, a time i izvorna nejednakost. Odgovor: 2.4. Zadaci sa zamkama. Primjer 1.
Riješenje. ODZ nejednadžbe je sve x koje zadovoljava uvjet 0 Primjer 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Odgovor. (0; 0,5)U.
Odgovor :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada posljednju nejednakost prepisujemo kao 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Rješenje ovog skupa su intervali 0<у≤2 и 8≤у<+.
odnosno agregata 
. Dakle, izvorna nejednakost je zadovoljena za sve vrijednosti x iz intervala 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Dakle, svi x su iz intervala 0
Zaključak
Nije bilo lako pronaći specifične metode za rješavanje problema C3 iz velikog obilja različitih obrazovnih izvora. Tijekom obavljenog rada mogao sam proučavati nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednadžbi. To su: ekvivalentni prijelazi i generalizirana metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , zadaci sa zamkama na ODZ. Ove metode nisu uključene u školski program.
Koristeći različite metode, riješio sam 27 nejednakosti predloženih na Jedinstvenom državnom ispitu u dijelu C, točnije C3. Ove nejednadžbe s rješenjima po metodama činile su osnovu zbirke “C3 Logaritamske nejednakosti s rješenjima” koja je postala projektni produkt mog djelovanja. Potvrđena je hipoteza koju sam postavio na početku projekta: problemi C3 mogu se učinkovito riješiti ako poznajete ove metode.
Osim toga, otkrio sam zanimljive činjenice o logaritmima. Bilo mi je zanimljivo ovo raditi. Moji projektni proizvodi bit će korisni i učenicima i učiteljima.
Zaključci:
Time je cilj projekta postignut i problem riješen. Dobio sam najpotpunije i najrazličitije iskustvo projektnih aktivnosti u svim fazama rada. Tijekom rada na projektu moj glavni razvojni utjecaj bio je na mentalnu kompetenciju, aktivnosti vezane uz logičke mentalne operacije, razvoj kreativne kompetencije, osobne inicijative, odgovornosti, ustrajnosti i aktivnosti.
Jamstvo uspjeha pri izradi istraživačkog projekta za Stekao sam: značajno školsko iskustvo, sposobnost dobivanja informacija iz različitih izvora, provjere njihove pouzdanosti i rangiranja po važnosti.
Osim neposrednog predmetnog znanja iz matematike, proširio sam svoje praktične vještine u području informatike, stekao nova znanja i iskustva iz područja psihologije, uspostavio kontakte s kolegama iz razreda te naučio surađivati s odraslima. Tijekom projektnih aktivnosti razvijale su se organizacijske, intelektualne i komunikativne općeobrazovne vještine.
Književnost
1. Koryanov A. G., Prokofjev A. A. Sustavi nejednadžbi s jednom varijablom (standardni zadaci C3).
2. Malkova A. G. Priprema za jedinstveni državni ispit iz matematike.
3. Samarova S. S. Rješavanje logaritamskih nejednadžbi.
4. Matematika. Zbirka radova za obuku uredio A.L. Semenov i I.V. Jaščenko. -M .: MTsNMO, 2009. - 72 str.-
