Općenito, jednadžba stupnja većeg od 4 ne može se riješiti u radikalima. Ali ponekad još uvijek možemo pronaći korijene polinoma s lijeve strane u jednadžbi najvišeg stupnja ako ga predstavimo kao umnožak polinoma do stupnja ne većeg od 4. Rješavanje takvih jednadžbi temelji se na rastavljanju polinoma na faktore, pa vam savjetujemo da pregledate ovu temu prije proučavanja ovog članka.
Najčešće imamo posla s jednadžbama više stupnjeve s cjelobrojnim koeficijentima. U tim slučajevima možemo pokušati pronaći racionalne korijene i zatim faktorizirati polinom tako da ga možemo pretvoriti u jednadžbu nižeg stupnja koju je lako riješiti. U ovom materijalu ćemo pogledati upravo takve primjere.
Jednadžbe višeg stupnja s cjelobrojnim koeficijentima
Sve jednadžbe oblika a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0, možemo proizvesti jednadžbu istog stupnja množenjem obje strane s a n n - 1 i promjenom varijable u obliku y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Rezultirajući koeficijenti također će biti cijeli brojevi. Dakle, morat ćemo riješiti reduciranu jednadžbu n-tog stupnja s cjelobrojnim koeficijentima, koji imaju oblik x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.
Izračunavamo cjelobrojne korijene jednadžbe. Ako jednadžba ima cjelobrojne korijene, treba ih tražiti među djeliteljima slobodnog člana a 0 . Zapišimo ih i jednu po jednu zamijenimo u izvornu jednakost, provjeravajući rezultat. Nakon što smo dobili identitet i pronašli jedan od korijena jednadžbe, možemo je napisati u obliku x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Ovdje je x 1 korijen jednadžbe, a P n - 1 (x) je kvocijent od x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 podijeljeno s x - x 1 .
Zamjenjujemo preostale ispisane djelitelje u P n - 1 (x) = 0, počevši s x 1, jer se korijeni mogu ponavljati. Nakon dobivanja identiteta, korijen x 2 se smatra pronađenim, a jednadžba se može napisati u obliku (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Ovdje je P n - 2 (x) bit će kvocijent dijeljenja P n - 1 (x) s x - x 2.
Nastavljamo prebirati po djeliteljima. Pronađimo sve cijele korijene i označimo njihov broj s m. Nakon toga, izvorna jednadžba može se predstaviti kao x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Ovdje je P n - m (x) polinom n - m stupnja. Za izračun je prikladno koristiti Hornerovu shemu.
Ako naša izvorna jednadžba ima cjelobrojne koeficijente, u konačnici ne možemo dobiti frakcijske korijene.
Završili smo s jednadžbom P n - m (x) = 0, čiji se korijeni mogu pronaći na bilo koji prikladan način. Mogu biti iracionalni ili složeni.
Pokažimo na konkretnom primjeru kako se koristi ova shema rješenja.
Primjer 1
Stanje: pronađite rješenje jednadžbe x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.
Riješenje
Počnimo s pronalaženjem cijelih korijena.
Imamo slobodan termin jednak minus tri. Ima djelitelje jednake 1, - 1, 3 i - 3. Zamijenimo ih u izvornu jednadžbu i vidimo koji od njih daju rezultirajuće identitete.
Kada je x jednak jedan, dobivamo 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, što znači da će jedan biti korijen ove jednadžbe.
Sada podijelimo polinom x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 s (x - 1) u stupcu:
Dakle, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.
1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0
Dobili smo identitet, što znači da smo pronašli drugi korijen jednadžbe, jednak - 1.
Polinom x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 podijelite s (x + 1) u stupac:
Shvaćamo to
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Sljedeći djelitelj zamijenimo u jednakost x 2 + x + 3 = 0, počevši od - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Dobivene jednakosti bit će netočne, što znači da jednadžba više nema cjelobrojne korijene.
Preostali korijeni bit će korijeni izraza x 2 + x + 3.
D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0
Iz ovoga slijedi da ovaj kvadratni trinom nema pravih korijena, ali ima kompleksno konjugiranih: x = - 1 2 ± i 11 2.
Pojasnimo da se umjesto dijeljenja u stupac može koristiti Hornerova shema. To se radi ovako: nakon što smo odredili prvi korijen jednadžbe, popunjavamo tablicu.
U tablici koeficijenata odmah vidimo koeficijente kvocijenta dijeljenja polinoma, što znači x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
Nakon pronalaska sljedećeg korijena, koji je - 1, dobivamo sljedeće:
Odgovor: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.
Primjer 2
Stanje: riješite jednadžbu x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.
Riješenje
Slobodni član ima djelitelje 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.
Provjerimo ih redom:
1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0
To znači da će x = 2 biti korijen jednadžbe. Podijelite x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 s x - 2 koristeći Hornerovu shemu:
Kao rezultat, dobivamo x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.
2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0
To znači da će 2 opet biti korijen. Podijelite x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 s x - 2:
Kao rezultat, dobivamo (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.
Provjera preostalih djelitelja nema smisla jer je jednakost x 2 + 3 x + 3 = 0 brže i praktičnije riješiti pomoću diskriminante.
Riješimo kvadratnu jednadžbu:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0
Dobivamo kompleksno konjugirani par korijena: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Odgovor: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Primjer 3
Stanje: Nađite prave korijene za jednadžbu x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.
Riješenje
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Množimo 2 3 na obje strane jednadžbe:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0
Zamijenite varijable y = 2 x:
2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
Kao rezultat, dobili smo standardnu jednadžbu 4. stupnja, koja se može riješiti prema standardnoj shemi. Provjerimo djelitelje, podijelimo i na kraju dobijemo da ima 2 realna korijena y = - 2, y = 3 i dva kompleksna. Ovdje nećemo dati cijelo rješenje. Zbog zamjene, pravi korijeni ove jednadžbe bit će x = y 2 = - 2 2 = - 1 i x = y 2 = 3 2.
Odgovor: x 1 = - 1, x 2 = 3 2
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Klasa: 9
Osnovni ciljevi:
- Učvrstiti koncept cijele racionalne jednadžbe th stupnja.
- Formulirajte osnovne metode rješavanja jednadžbi viših stupnjeva (br > 3).
- Naučiti osnovne metode za rješavanje jednadžbi višeg reda.
- Naučiti kako odrediti najviše učinkovita metoda njegove odluke.
Oblici, metode i pedagoške tehnike koje nastavnik koristi u nastavi:
- Predavačko-seminarski sustav nastave (predavanja - objašnjenje novog gradiva, seminari - rješavanje zadataka).
- Informacijske i komunikacijske tehnologije (frontalna anketa, usmeni rad s razredom).
- Diferencirano učenje, grupni i individualni oblici.
- Korištenje istraživačke metode u nastavi s ciljem razvijanja matematičkog aparata i misaonih sposobnosti svakog pojedinog učenika.
- Tiskani materijal – pojedinačni kratki sažetak lekcije (temeljni pojmovi, formule, tvrdnje, nastavni materijal sažet u obliku dijagrama ili tablica).
Plan učenja:
- Organiziranje vremena.
Svrha pozornice: uključiti učenike u obrazovne aktivnosti, odrediti sadržajni okvir sata. - Obnavljanje znanja učenika.
Svrha pozornice: obnavljanje znanja učenika o prethodno proučavanim srodnim temama - studiranje nova tema(predavanje). Cilj etape: formulirati osnovne metode rješavanja jednadžbi viših stupnjeva (br > 3)
- Sažimajući.
Svrha pozornice: još jednom istaknuti ključne točke u materijalu koji se proučava u lekciji. - Domaća zadaća.
Svrha pozornice: formulirati domaća zadaća za studente.
Sažetak lekcije
1. Organizacijski trenutak.
Formulacija teme lekcije: “Jednadžbe viših potencija. Metode za njihovo rješavanje.”
2. Obnavljanje znanja učenika.
Teorijska anketa – razgovor. Ponavljanje nekih prethodno naučenih informacija iz teorije. Učenici formuliraju osnovne definicije i formuliraju potrebne teoreme. Navedite primjere kako biste pokazali razinu prethodno stečenog znanja.
- Pojam jednadžbe s jednom varijablom.
- Pojam korijena jednadžbe, rješenja jednadžbe.
- Koncept Linearna jednadžba s jednom varijablom, pojam kvadratne jednadžbe s jednom varijablom.
- Pojam ekvivalencije jednadžbi, jednadžbe-posljedice (pojam stranih korijena), prijelaz ne posljedici (slučaj gubitka korijena).
- Pojam cjeline racionalno izražavanje s jednom varijablom.
- Pojam cijele racionalne jednadžbe n ti stupanj. Standardni oblik cijele racionalne jednadžbe. Reducirani cijeli broj racionalna jednadžba.
- Prijelaz na skup jednadžbi nižih stupnjeva faktoriziranjem izvorne jednadžbe.
- Pojam polinoma n stupanj iz x. Bezoutov teorem. Korolari iz Bezoutovog teorema. Korijenski teoremi ( Z-korijenje i Q-korijeni) cijele racionalne jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima (reduciranim i nereduciranim).
- Hornerova shema.
3. Proučavanje nove teme.
Razmotrit ćemo cijelu racionalnu jednadžbu n-ta potencija standardnog oblika s jednom nepoznatom varijablom x:Pn(x)= 0, gdje je P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinom n stupanj iz x, a n ≠ 0. Ako a n = 1 onda se takva jednadžba naziva reducirana cjelobrojna racionalna jednadžba n ti stupanj. Razmotrimo takve jednadžbe za različite vrijednosti n te navesti glavne metode za njihovo rješavanje.
n= 1 – linearna jednadžba.
n= 2 – kvadratna jednadžba. Diskriminantna formula. Formula za izračunavanje korijena. Vietin teorem. Odabir cijelog kvadrata.
n= 3 – kubna jednadžba.
Metoda grupiranja.
Primjer: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.
Recipročna kubna jednadžba oblika sjekira 3 + bx 2 + bx + a= 0. Rješavamo kombiniranjem članova s istim koeficijentima.
Primjer: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.
Odabir Z-korijena na temelju teorema. Hornerova shema. Kod primjene ove metode potrebno je naglasiti da je pretraga u ovom slučaju konačna, a korijene odabiremo određenim algoritmom u skladu s teoremom o Z-korijeni zadane cijele racionalne jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima.
Primjer: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Jednadžba je dana. Zapišimo djelitelje slobodnog člana ( + 1; + 3; + 5; + 15). Primijenimo Hornerovu shemu:
| x 3 | x 2 | x 1 | x 0 | zaključak | |
| 1 | -9 | 23 | -15 | ||
| 1 | 1 | 1 x 1 – 9 = -8 | 1 x (-8) + 23 = 15 | 1 x 15 – 15 = 0 | 1 – korijen |
| x 2 | x 1 | x 0 |
Dobivamo ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.
Jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima. Odabir Q-korijena na temelju teorema. Hornerova shema. Kod primjene ove metode potrebno je naglasiti da je pretraga u ovom slučaju konačna i odabir korijena vršimo pomoću određenog algoritma u skladu s teoremom o Q-korijeni nereducirane cjelobrojne racionalne jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima.
Primjer: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Jednadžba je nereducirana. Zapišimo djelitelje slobodnog člana ( + 1; + 3). Zapišimo djelitelje koeficijenta na najvećoj potenciji nepoznanice. ( + 1; + 3; + 9) Prema tome, tražit ćemo korijene među vrijednostima ( + 1; + ; + ; + 3). Primijenimo Hornerovu shemu:
| x 3 | x 2 | x 1 | x 0 | zaključak | |
| 9 | 27 | -1 | -3 | ||
| 1 | 9 | 1 x 9 + 27 = 36 | 1 x 36 – 1 = 35 | 1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0 | 1 – nije korijen |
| -1 | 9 | -1 x 9 + 27 = 18 | -1 x 18 – 1 = -19 | -1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0 | -1 – nije korijen |
| 9 | x 9 + 27 = 30 | x 30 – 1 = 9 | x 9 – 3 = 0 | korijen | |
| x 2 | x 1 | x 0 |
Dobivamo ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.
Radi lakšeg izračuna pri odabiru Q -korijenje Može biti zgodno napraviti promjenu varijable, ići na zadanu jednadžbu i odabrati Z -korijenje.
- Ako je lažni izraz 1
- Ako možete koristiti zamjenu obrasca y = kx
Cardano formula. Postoji univerzalna metoda za rješavanje kubnih jednadžbi - to je Cardano formula. Ova se formula povezuje s imenima talijanskih matematičara Gerolama Cardana (1501–1576), Nicola Tartaglie (1500–1557) i Scipionea del Ferra (1465–1526). Ova formula je izvan opsega našeg tečaja.
n= 4 – jednadžba četvrtog stupnja.
Metoda grupiranja.
Primjer: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.
Metoda zamjene varijable.
- Bikvadratna jednadžba oblika sjekira 4 + bx 2 + s = 0 .
Primjer: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Zamjena g = x 2. Odavde g 1 = 4, g 2 = -9. Zato x 1,2 = + 2 .
- Recipročna jednadžba četvrtog stupnja oblika sjekira 4 + bx 3+c x 2 + bx + a = 0.
Rješavamo kombiniranjem članova s istim koeficijentima zamjenom oblika
- sjekira 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.
- Generalizirana rekurentna jednadžba četvrtog stupnja oblika sjekira 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.
- Opća zamjena. Neke standardne zamjene.
Primjer 3 . Zamjena općeg pogleda(slijedi iz vrste specifične jednadžbe).
n = 3.
Jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima. Izbor Q-korijena n = 3.
Opća formula. Postoji univerzalna metoda za rješavanje jednadžbi četvrtog stupnja. Ova se formula povezuje s imenom Ludovica Ferrarija (1522–1565). Ova formula je izvan opsega našeg tečaja.
n > 5 – jednadžbe petog i viših stupnjeva.
Jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima. Odabir Z-korijena na temelju teorema. Hornerova shema. Algoritam je sličan onome koji je gore opisan za n = 3.
Jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima. Izbor Q-korijena na temelju teorema. Hornerova shema. Algoritam je sličan onome koji je gore opisan za n = 3.
Simetrične jednadžbe. Svaka recipročna jednadžba nije čak stupanj ima korijen x= -1 i nakon rastavljanja na faktore nalazimo da jedan faktor ima oblik ( x+ 1), a drugi faktor je recipročna jednadžba parnog stupnja (njegov stupanj je za jedan manji od stupnja izvorne jednadžbe). Svaka recipročna jednadžba parnog stupnja zajedno s korijenom oblika x = φ sadrži i korijen vrste. Koristeći ove izjave, rješavamo problem snižavanjem stupnja jednadžbe koja se proučava.
Metoda zamjene varijable. Korištenje homogenosti.
Ne postoji opća formula za rješavanje cijelih jednadžbi petog stupnja (to su pokazali talijanski matematičar Paolo Ruffini (1765–1822) i norveški matematičar Niels Henrik Abel (1802–1829)) i viših stupnjeva (to su pokazali francuski matematičar Evariste Galois (1811–1832) )).
- Podsjetimo još jednom da je u praksi moguće koristiti kombinacije gore navedene metode. Pogodno je prijeći na skup jednadžbi nižih stupnjeva pomoću rastavljanje izvorne jednadžbe na faktore.
- Izvan opsega naše današnje rasprave su oni koji se široko koriste u praksi. grafičke metode rješavanje jednadžbi i metode približnih rješenja jednadžbe viših stupnjeva.
- Postoje situacije kada jednadžba nema R-korijene. Tada se rješenje svodi na dokazivanje da jednadžba nema korijena. Da bismo to dokazali, analiziramo ponašanje razmatranih funkcija na intervalima monotonosti. Primjer: jednadžba x 8 – x 3 + 1 = 0 nema korijena.
- Korištenje svojstva monotonosti funkcija . Postoje situacije kada korištenje različitih svojstava funkcija omogućuje pojednostavljenje zadatka.
Primjer 1: Jednadžba x 5 + 3x– 4 = 0 ima jedan korijen x= 1. Zbog svojstva monotonosti analiziranih funkcija nema drugih korijena.
Primjer 2: Jednadžba x 4 + (x– 1) 4 = 97 ima korijene x 1 = -2 i x 2 = 3. Analizirajući ponašanje odgovarajućih funkcija na intervalima monotonosti, zaključujemo da nema drugih korijena.
4. Sažimanje.
Sažetak: Sada smo savladali osnovne metode rješavanja raznih jednadžbi viših stupnjeva (za br > 3). Naš zadatak je naučiti kako učinkovito koristiti gore navedene algoritme. Ovisno o vrsti jednadžbe morat ćemo naučiti odrediti koja je metoda rješenja u određenom slučaju najučinkovitija, kao i pravilno primijeniti odabranu metodu.
5. Domaća zadaća.
: paragraf 7, str. 164–174, br. 33–36, 39–44, 46.47.
: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.
Moguće teme za izvješća ili sažetke na ovu temu:
- Cardano formula
- Grafička metoda rješavanja jednadžbi. Primjeri rješenja.
- Metode za približno rješavanje jednadžbi.
Analiza učenja studenata i interesa za temu:
Iskustvo pokazuje da se interes učenika prvenstveno pobuđuje mogućnošću odabira Z-korijenje i Q-korijeni jednadžbi koristeći prilično jednostavan algoritam koristeći Hornerovu shemu. Studente zanimaju i razne standardne vrste zamjena varijabli koje mogu znatno pojednostaviti tip problema. Grafičke metode rješenja obično su od posebnog interesa. U tom slučaju možete dodatno analizirati probleme pomoću grafičke metode za rješavanje jednadžbi; raspraviti opći oblik grafa za polinom stupnja 3, 4, 5; analizirati kako je broj korijena jednadžbi od 3, 4, 5 stupnjeva povezan s izgledom odgovarajućeg grafa. Dolje je popis knjiga u kojima možete pronaći dodatne informacije o ovoj temi.
Bibliografija:
- Vilenkin N.Ya. i drugi “Algebra. Udžbenik za učenike 9. razreda s produbljenim proučavanjem matematike” - M., Prosveshchenie, 2007. - 367 str.
- Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Iza stranica udžbenika matematike. Aritmetika. Algebra. 10-11 razred” – M., Obrazovanje, 2008. – 192 str.
- Vygodsky M.Ya.“Matematički priručnik” – M., AST, 2010 – 1055 str.
- Galitsky M.L.“Zbirka zadataka iz algebre. Tutorial za razrede 8-9 s produbljenim proučavanjem matematike” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 str.
- Zvavič L.I. i dr. “Algebra i počeci analize. 8–11 razreda Priručnik za škole i razrede s produbljenim proučavanjem matematike” - M., Drofa, 1999. - 352 str.
- Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“Zadaci iz matematike za pripremu pismenog ispita u 9. razredu” - M., Prosveshchenie, 2007. - 112 str.
- Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tematski testovi za sistematizaciju znanja iz matematike” 1. dio – M., Fizmatkniga, 2006. – 176 str.
- Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tematski testovi za sistematizaciju znanja iz matematike” 2. dio – M., Fizmatkniga, 2006. – 176 str.
- Ivanov A.P.“Testovi i ispitni papiri matematika. Vodič". – M., Fizmatkniga, 2008. – 304 str.
- Leibson K.L.“Zbirka praktičnih zadataka iz matematike. Dio 2–9 razreda” – M., MCNMO, 2009. – 184 str.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebra. Dodatna poglavlja za školski udžbenik za 9. razred. Udžbenik za učenike škola i razreda s produbljenim učenjem matematike.” – M., Obrazovanje, 2006. – 224 str.
- Mordkovich A.G."Algebra. Dubinska studija. 8. razred. Udžbenik” – M., Mnemosyne, 2006. – 296 str.
- Savin A.P. “enciklopedijski rječnik mladi matematičar” – M., Pedagogija, 1985. – 352 str.
- Survillo G.S., Simonov A.S. “Didaktički materijali u algebri za 9. razred s produbljenim proučavanjem matematike” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 str.
- Chulkov P.V.“Jednadžbe i nejednadžbe u školski tečaj matematičar. Predavanja 1–4” – M., 1. rujna 2006. – 88 str.
- Chulkov P.V.“Jednadžbe i nejednadžbe u školskom kolegiju matematike. Predavanja 5–8” – M., 1. rujna 2009. – 84 str.
Razmotrimo rješavanje jednadžbi s jednom varijablom većeg stupnja od druge.
Stupanj jednadžbe P(x) = 0 je stupanj polinoma P(x), tj. najveće potencije njegovih članova s koeficijentom koji nije jednak nuli.
Tako, na primjer, jednadžba (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 ima peti stupanj, jer nakon operacija otvaranja zagrada i dovođenja sličnih dobivamo ekvivalentnu jednadžbu x 5 – 2x 3 + 3 = 0 petog stupnja.
Prisjetimo se pravila koja će biti potrebna za rješavanje jednadžbi stupnja većeg od dva.
Izjave o korijenima polinoma i njegovih djelitelja:
1. Polinom nth stupnjeva ima broj korijena koji ne prelazi n, a korijeni višestrukosti m pojavljuju se točno m puta.
2. Polinom neparnog stupnja ima barem jedan realni korijen.
3. Ako je α korijen od P(x), tada je P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), gdje je Q n – 1 (x) polinom stupnja (n – 1) .
4.
5. Reducirani polinom s cjelobrojnim koeficijentima ne može imati razlomačke racionalne korijene.
6. Za polinom trećeg stupnja
P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d moguća je jedna od dvije stvari: ili se rastavlja na produkt triju binoma
R 3 (x) = a(h – α)(h – β)(h – γ), ili se rastavlja na umnožak binoma i kvadratnog trinoma R 3 (x) = a(h – α)(h 2 + βh + γ ).
7. Svaki polinom četvrtog stupnja može se proširiti u umnožak dvaju kvadratnih trinoma.
8. Polinom f(x) djeljiv je polinomom g(x) bez ostatka ako postoji polinom q(x) takav da je f(x) = g(x) · q(x). Za dijeljenje polinoma koristi se pravilo "podjele kutova".
9. Da bi polinom P(x) bio djeljiv binomom (x – c), potrebno je i dovoljno da broj c bude korijen iz P(x) (Korolar Bezoutovog teorema).
10. Vietin teorem: Ako su x 1, x 2, ..., x n pravi korijeni polinoma
P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, tada vrijede jednakosti:
x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,
x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,
x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .
Rješavanje primjera
Primjer 1.
Odredite ostatak dijeljenja P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 s (x – 1/3).
Riješenje.
Posljedicom Bezoutovog teorema: "Ostatak polinoma podijeljen s binomom (x - c) jednak je vrijednosti polinoma od c." Nađimo P(1/3) = 0. Dakle, ostatak je 0, a broj 1/3 je korijen polinoma.
Odgovor: R = 0.
Primjer 2.
Podijelite "kutom" 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 s (x + 2). Nađi ostatak i nepotpuni kvocijent. 
Riješenje:
2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2
2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Odgovor: R = 3; kvocijent: 2x 2 – x.
Osnovne metode rješavanja jednadžbi višeg stupnja
1. Uvođenje nove varijable
Metoda uvođenja nove varijable već je poznata iz primjera bi kvadratne jednadžbe. Sastoji se u činjenici da se za rješavanje jednadžbe f(x) = 0 uvodi nova varijabla (supstitucija) t = x n ili t = g(x) i f(x) se izražava kroz t, dobivajući novu jednadžbu r (t). Zatim se rješavanjem jednadžbe r(t) nalaze korijeni:
(t 1, t 2, …, t n). Nakon toga se dobije skup od n jednadžbi q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n iz kojih se nalaze korijeni izvorne jednadžbe.
Primjer 1.
(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.
Riješenje:
(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Zamjena (x 2 + x + 1) = t.
t 2 – 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Obrnuta supstitucija:
x 2 + x + 1 = 2 ili x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 ili x 2 + x = 0;
Odgovor: Iz prve jednadžbe: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, iz druge: 0 i -1.
2. Rastavljanje na faktore grupiranjem i skraćenim formulama množenja
Osnova ove metode također nije nova i sastoji se u grupiranju pojmova na način da svaka grupa sadrži zajednički faktor. Da biste to učinili, ponekad je potrebno koristiti neke umjetne tehnike.
Primjer 1.
x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.
Riješenje.
Zamislimo - 3x 2 = -2x 2 – x 2 i grupiramo:
(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.
(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.
(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(x 2 – 1 – x + 2) (x 2 – 1 + x - 2) = 0.
(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.
x 2 – x + 1 = 0 ili x 2 + x – 3 = 0.
Odgovor: U prvoj jednadžbi nema korijena, iz druge: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Faktorizacija metodom neodređenih koeficijenata
Bit metode je da se izvorni polinom faktorizira s nepoznatim koeficijentima. Koristeći svojstvo da su polinomi jednaki ako su im koeficijenti jednaki pri istim potencijama, nalaze se nepoznati koeficijenti proširenja.
Primjer 1.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Riješenje.
Polinom stupnja 3 može se proširiti u umnožak linearnih i kvadratnih faktora.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.
Nakon što je sustav riješen:
(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,
(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, tj.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).
Korijene jednadžbe (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 lako je pronaći.
Odgovor: -1; -2.
4. Metoda odabira korijena pomoću najvišeg i slobodnog koeficijenta
Metoda se temelji na primjeni teorema:
1) Svaki cjelobrojni korijen polinoma s cjelobrojnim koeficijentima je djelitelj slobodnog člana.
2) Da bi nesvodivi razlomak p/q (p je cijeli broj, q je prirodan broj) bio korijen jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima, potrebno je da broj p bude cjelobrojni djelitelj slobodnog člana a 0, i q je prirodni djelitelj vodećeg koeficijenta.
Primjer 1.
6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.
Riješenje:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Prema tome, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Pronašavši jedan korijen, na primjer – 2, ostale korijene pronaći ćemo kutnim dijeljenjem, metodom neodređenih koeficijenata ili Hornerovom shemom.
Odgovor: -2; 1/2; 1/3.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Sudeći prema početku publikacije, koji ćemo ovdje izostaviti, tekst je napisao Jurij Ignatievič. I dobro je napisano, i teme su aktuelne, ali nazovite Rusiju tako, kao što to radi Muhin...
Kako god tko osjećao antinarodnu vlast, Rusija je iznad nje i ne zaslužuje uvrede. Čak i od talentiranog razotkrivača laži iz američke agencije NASA.
*
Apel druže Mukhina Yu.I.
Dragi Yuri Ignatievich! Znam da posjećujete ove stranice. Stoga se obraćam izravno vama.
Svi cijenimo vaš nesebičan rad na polju razotkrivanja laži Zapada, laži Amerike, laži pseudoznanstvenika, laži liberala. Sa zadovoljstvom i dobrobit za sebe i društvo razmišljamo o ozbiljnim temama kojima nas s vremena na vrijeme nabacujete, bilo da se radi o meritokraciji ili metafizici, ljubavi prema nacionalne povijesti ili obnova pravde.
Međutim, vaše definicije naše zajedničke domovine su zbunjujuće i vrlo uznemirujuće.
Ipak, prosudite sami: kako biste okarakterizirali osobu koja je počela vrijeđati majku, koja je bila bolesna i zbog toga je privremeno prestala raditi?
Ali Rusija, ma kako se zvala, i ma koliko dobra ili odvratna bila vlast, Rusija je naša domovina. Domovina. Za nju su naši djedovi krv prolijevali i živote polagali.
Stoga, stavljanje u rang s moći znači spuštanje duhovnog uzvišenog na razinu materijalnog, pa i niskog. Oni. uspoređuješ potpuno različite kategorije. Stvar nedopustiva svakom zdravom čovjeku.
Pitam te dragi druže. Mukhin, ozbiljno razmisli o ovome.
**
...A s jednadžbama (ovo nisam znao) situacija je ovakva. Kako pronaći korijene kvadratne jednadžbe shvatili su još u starom Egiptu. Kako pronaći korijene kubne jednadžbe i jednadžbe četvrtog stupnja otkriveno je u šesnaestom stoljeću, ali nisu mogli pronaći korijene jednadžbe petog stupnja sve do 2016. godine. I nisu samo obični ljudi pokušali.
U šesnaestom stoljeću, utemeljitelj simboličke algebre, François Viète, pokušao je pronaći korijene jednadžbi petog stupnja, u devetnaestom stoljeću, utemeljitelj moderne više algebre, francuski matematičar Evariste Galois, pokušao je pronaći korijene jednadžbe petog stupnja nakon njega je korijene jednadžbi petog stupnja pokušao pronaći norveški matematičar Niels Henrik Abel, koji je na kraju odustao i dokazao nemogućnost rješavanja jednadžbe petog stupnja u opći pogled.
Na Wikipediji čitamo o Abelovim zaslugama: “Abel je dovršio briljantnu studiju drevnog problema:dokazao nemogućnost rješavanja u općem obliku (u radikalima) jednadžbe 5. stupnja...
U algebri, Abel je pronašao nužan uvjet da se korijen jednadžbe izrazi "u radikalima" kroz koeficijente te jednadžbe. Dovoljan uvjet ubrzo je otkrio Galois, čija su se postignuća temeljila na djelu Abela.
Abel je donio konkretni primjeri jednadžbe 5. stupnja, čiji se korijeni ne mogu izraziti u radikalima, i time je uvelike zatvoren drevni problem."
Kao što možete vidjeti, ako su cijelo vrijeme pokušavali dokazati Poincaréov teorem i Perelman se pokazao uspješnijim od ostalih matematičara, onda nakon Abela matematičari nisu preuzimali jednadžbe petog stupnja.
I 2014. godine matematičar iz Tomska Sergej Zaikov, za kojeg se iz fotografije može suditi da je već u godinama, a iz podatka iz članka o njemu da je diplomirao na Fakultetu primijenjene matematike i kibernetike u Tomsku državno sveučilište, tijekom svog rada dobio je jednadžbe petog stupnja. Slijepa ulica? Da, to je slijepa ulica! Ali Sergej Zaikov se obvezao da će ga slomiti.
A 2016. pronašao je načine za rješavanje jednadžbi petog stupnja u općem obliku! Učinio je ono što su matematičari Galois i Abel pokazali nemogućim.
Pokušao sam pronaći informacije o Sergeju Zaikovu na Wikipediji, ali kvragu s tobom! O matematičaru Sergeju Zaikovu i kako je pronašao rješenja jednadžbi petog stupnja nema informacija!
Ono što ovoj stvari daje pikanteriju je da za matematičare postoji analogija Nobelova nagrada -Abelova nagrada(Nobel je zabranio davanje nagrada matematičarima, a sada ih daju za matematički izmet nazivajući ih “fizikom”).
Ova matematička nagrada je u čast istog Abela koji je dokazao nemogućnost onoga što je Zaikov učinio. Međutim, samonominiranje za ovu nagradu nije dopušteno. Ali Zaikov je usamljeni matematičar i ne postoje organizacije koje bi ga mogle predložiti za ovu nagradu.
Istina, imamo Akademiju znanosti, ali akademici tamo ne sjede da bi razvijali matematiku, već da bi "zarađivali novac". Kome tamo treba ovaj Zaikov?
Pa, za novinske agencije Zaikov nije Perelman! Stoga Zaikovljevo otkriće za medije nije senzacija.
Da, Porošenko je dobio kriva vrata! Ovo je prava senzacija!
Tomski matematičar riješio je problem koji nije mogao biti riješen dvjesto godina
S pojavom algebre, njezinom glavnom zadaćom smatralo se rješavanje algebarskih jednadžbi. Rješenje jednadžbe drugog stupnja bilo je poznato još u Babilonu i Drevni Egipt. Prolazimo kroz ovakve jednadžbe u školi. Sjećate se jednadžbe x2 + ax + b = 0 i diskriminante?
Sergey Zaikov s knjigom
Rješenje algebarskih jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja pronađeno je u šesnaestom stoljeću. Ali nije bilo moguće riješiti jednadžbu petog stupnja. Lagrange je pronašao razlog. Pokazao je da je rješavanje jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja postalo moguće jer se one mogu svesti na već riješene jednadžbe. Jednadžba trećeg stupnja može se svesti na jednadžbu drugog stupnja, a jednadžba četvrtog stupnja može se svesti na jednadžbu trećeg stupnja. Ali jednadžba petog stupnja reducira se na jednadžbu šestog stupnja, tj. složeniju, tako da tradicionalne metode rješenja nisu primjenjive.
Pitanje rješavanja jednadžbe petog stupnja krenulo je naprijed tek prije dvjestotinjak godina, kada je Abel dokazao da se sve jednadžbe petog stupnja ne mogu riješiti u radikalima, odnosno kvadratnim, kubičnim i drugim korijenima poznatim nam iz škole . A Galois je ubrzo, tj. prije dvjesto godina, pronašao kriterij koji je omogućio određivanje koje se jednadžbe petog stupnja mogu riješiti u radikalima, a koje ne. Ona leži u činjenici da Galoisova grupa rješiva u radikalima jednadžbe petog stupnja mora biti ili ciklička ili metaciklička. Ali Galois nije pronašao način da u radikalima riješi one jednadžbe petog stupnja koje su rješive u radikalima. Galoisova teorija je vrlo poznata, o njoj su napisane mnoge knjige.
Do sada su pronađena samo parcijalna rješenja za jednadžbe petog stupnja rješive radikalima. A tek ove godine matematičar iz Tomska Sergej Zaikov riješio je problem koji nije mogao biti riješen dvjesto godina. Objavio je knjigu “Kako se algebarske jednadžbe petog stupnja rješavaju u radikalima” u kojoj je naznačio metodu rješenja za sve jednadžbe petog stupnja koje su rješive u radikalima. Zaikov je diplomirao na Fakultetu primijenjene matematike i kibernetike Tomskog državnog sveučilišta. Uspjeli smo ga intervjuirati.
— Sergej, zašto si počeo rješavati ovaj problem?
— Trebalo mi je rješenje jednadžbe petog stupnja za rješavanje problema iz druge grane matematike. Počeo sam smišljati kako to pronaći i saznao da nisu svi razdvojeni u radikalima. Tada sam u znanstvenoj literaturi pokušao pronaći način rješavanja onih jednadžbi koje su rješive u radikalima, ali sam našao samo kriterij po kojem se može odrediti koje su rješive, a koje nisu. Nisam algebraist, ali, naravno, kao apsolvent FPMK-a mogu primijeniti i algebarske metode. Stoga sam 2014. godine ozbiljno počeo tražiti rješenje i sam ga našao.
Metodu sam pronašao prije dvije godine, pripremio sam knjigu u kojoj je opisana ne samo ona, nego i metode rješavanja nekih jednadžbi potencije veće od pet. Ali nisam imao novca da to objavim. Ove sam godine odlučio da bi bilo lakše objaviti samo dio ovog rada, te sam uzeo samo polovicu, posvećenu metodi za rješavanje jednadžbe petog stupnja u radikalima.
Cilj mi je izdati nešto poput priručnika za rješavanje ovog problema, razumljivog matematičarima koji trebaju riješiti određenu jednadžbu. Stoga sam je pojednostavio, uklonio mnoge dugačke formule i značajan dio teorije, skratio je više od pola, ostavljajući samo ono što je bilo potrebno. Stoga sam smislio nešto poput knjige “za glupane” iz koje matematičari koji nisu upoznati s Galoisovom teorijom mogu riješiti jednadžbu koja im treba.
— Za ovo veliko hvala Vladislavu Beresnevu, s kojim se poznajemo dugi niz godina. Sponzorirao je izdavanje knjige.
— Je li moguće da za rješavanje ovog problema dobijete kakvu nagradu iz matematike? Na primjer, spomenuli ste Abela. Ali postoji Abelova nagrada u matematici, koja se smatra analognom Nobelovoj nagradi?
“Ova se mogućnost ne može u potpunosti isključiti.” Ali ni tome se ne treba nadati.
Na primjer, prijave za kandidate za Abelovu nagradu 2019. zaprimaju se do 15. rujna. Štoviše, nije dopušteno samonominiranje. A ja sam usamljeni matematičar. Ne postoje organizacije niti poznati matematičari koji će predložiti moju kandidaturu. Stoga se neće razmatrati neovisno o tome zaslužuje li moj rad ovu nagradu i je li u duhu te nagrade dodijeliti je onima koji nastavljaju Abelovo djelo. Ali ako se i prezentira, sve ovisi i o razini rada ostalih kandidata.
Knjiga je namijenjena onima koji nisu upoznati s Galoisovom teorijom. Osnove Galoisove teorije dane su samo u dijelu u kojem su potrebne za rješavanje jednadžbe, detaljno je opisana metoda rješavanja te su prikazane tehnike koje pojednostavljuju rješenje. Značajan dio knjige posvećen je primjeru rješavanja određene jednadžbe. Recenzenti knjige su dr. tehničke znanosti Genadij Petrovič Agibalov i dr. fiz. mat. znanosti, profesor Petr Andreevich Krylov.
PRIPREMLJEN ANASTAZIJA SKIRNEVSKAJA
U 16. stoljeću matematičari su gotovo slučajno naletjeli na kompleksne brojeve (vidi 11. poglavlje). DO XVIII stoljeće kompleksni brojevi smatrani su proširenjem regije realni brojevi, ali rad s njima i dalje je dovodio do pogreške pariteta, kao što je Leonard E. u velikom djelu o teoriji brojeva, Arithmetical Investigations (1801.), izbjegao korištenje takozvanih “imaginarnih brojeva”. Čini mi se da je najvažniji dio ovog rada prvi dokaz temeljnog teorema algebre. Gauss je shvatio koliko je ovaj teorem važan, dajući nekoliko dodatnih dokaza tijekom sljedećih godina. Godine 1849. preradio je prvu verziju, ovaj put koristeći kompleksne brojeve. Koristeći se modernim terminima, možemo reći da za svaku konačnu polinomsku jednadžbu s realnim ili kompleksni koeficijenti svi će njegovi korijeni biti pravi ili kompleksni brojevi. Time dobivamo negativan odgovor na dugogodišnje pitanje zahtijeva li rješenje polinomskih jednadžbi visokog reda stvaranje brojeva višeg reda od složenih.
Jedan od najtrnovitijih problema u algebri tog vremena bilo je pitanje može li se polinom petog reda, kvinta, riješiti algebarskim metodama, odnosno korištenjem konačnog broja algebarskih koraka. Danas se u školi uči formula za rješavanje kvadratnih jednadžbi, a od 16. stoljeća poznate su slične metode za rješavanje jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja (11. poglavlje). Ali za kvintike nije pronađena niti jedna metoda. Može se činiti da temeljni teorem algebre ima izglede za pozitivan odgovor, ali zapravo jednostavno jamči da rješenja postoje, ne govori ništa o postojanju formula koje daju točna rješenja (približne numeričke i grafičke metode već su postojale do tada ). A onda su se pojavila dva matematička genija tragične sudbine.
Niels Henrik Abel (1802. – 1829.) rođen je u velikoj, siromašnoj obitelji koja je živjela u malom selu u Norveškoj, zemlji razorenoj dugim godinama rata s Engleskom i Švedskom. Učitelj, koji je bio ljubazan prema dječaku, davao mu je privatne satove, ali nakon očeve smrti, u dobi od osamnaest godina, unatoč mladosti i krhkom zdravlju, Abel je bio prisiljen uzdržavati svoju obitelj. Godine 1824. objavio je znanstveni članak u kojem je ustvrdio da kvintika nije rješiva algebarskim putem, kao što je to slučaj s bilo kojim polinomom višeg reda. Abel je vjerovao da će mu ovaj članak poslužiti kao ulaznica u znanstveni svijet i poslao ga je Gaussu na Sveučilište u Göttingenu. Nažalost, Gauss nikada nije stigao rezati stranice nožem (svaki čitatelj je to morao učiniti u to vrijeme) i nije pročitao članak. Godine 1826. norveška je vlada konačno osigurala sredstva za Abelovo putovanje po Europi. Bojeći se da mu osobna komunikacija s Gaussom neće donijeti mnogo radosti, matematičar je odlučio ne posjetiti Göttingen i umjesto toga je otišao u Berlin. Tamo se sprijateljio s Augustom Leopoldom Krelleom (1780. – 1855.), matematičarom, arhitektom i inženjerom koji je savjetovao prusko ministarstvo obrazovanja o pitanjima matematike. Krell je namjeravao osnovati Journal of Pure and Applied Mathematics. Tako je Abel dobio priliku širiti svoj rad te je mnogo objavljivao, posebice u prvim brojevima časopisa, koji se odmah počeo smatrati vrlo prestižnom i autoritativnom znanstvenom publikacijom. Norvežanin je tamo objavio proširenu verziju svog dokaza da je kvintika neodlučiva algebarskim metodama. A onda je otišao u Pariz. Ovo putovanje jako je uznemirilo Abela, jer praktički nije dobio potrebnu potporu francuskih matematičara. Zbližio se s Augustinom Louisom Cauchyjem (1789.–1857.), koji je bio vodeći svjetovnjak toga vremena. matematička analiza, ali je imao vrlo složen karakter. Kao što je sam Abel rekao, "Cauchy je lud i tu se ništa ne može učiniti, iako je trenutno on jedini koji je sposoban za bilo što u matematici." Pokušamo li opravdati ispoljavanje nepoštivanja i zanemarivanja Gaussa i Cauchyja, možemo reći da je kvinta postigla stanovitu slavu i privukla pažnju i uglednih matematičara i originalista. Abel se vratio u Norvešku, gdje je sve više patio od tuberkuloze. Nastavio je slati svoj rad Crelleu, ali je umro 1829., nesvjestan koliko se njegova reputacija etablirala u znanstvenom svijetu. Dva dana nakon njegove smrti, Abel je dobio ponudu da preuzme znanstveno mjesto u Berlinu.
Abel je pokazao da se bilo koji polinom iznad četvrtog reda ne može riješiti pomoću radikala kao što su kvadratni korijeni, kubni korijeni ili oni višeg reda. Međutim, izričiti uvjeti pod kojima posebni slučajevi ti se polinomi mogu riješiti, a metodu za njihovo rješavanje formulirao je Galois. Évariste Galois (1811. – 1832.) živio je kratko i bogato životom. Bio je nevjerojatno nadaren matematičar. Galois je bio neumoljiv prema onima koje je smatrao manje talentiranima od sebe, a istodobno je mrzio društvenu nepravdu. Nije pokazivao nikakve sklonosti matematici sve dok nije pročitao Legendreove Elemente geometrije (objavljene 1794., ova je knjiga bila glavni udžbenik sljedećih sto godina). Zatim je doslovce proždirao ostala djela Legendrea i, kasnije, Abela. Njegov entuzijazam, samouvjerenost i netrpeljivost doveli su do doista strašnih posljedica u njegovim odnosima s nastavnicima i ispitivačima. Galois je sudjelovao na natjecanju za upis na École Polytechnique, kolijevku francuske matematike, ali je pao na ispitu zbog nedostatka pripreme. Neko vrijeme nakon što je upoznao novog učitelja koji je prepoznao njegov talent, uspio je držati svoju narav pod kontrolom. U ožujku 1829. Galois je objavio svoj prvi rad o nastavljenim razlomcima, koji je smatrao svojim najznačajnijim radom. Poslao je poruku o svojim otkrićima Akademiji znanosti, a Cauchy je obećao da će ih predstaviti, ali je zaboravio. Štoviše, jednostavno je izgubio rukopis.
Galoisov drugi neuspjeh da uđe na École Polytechnique postao je dio matematičkog folklora. Bio je toliko naviknut na stalno držanje složenih matematičkih ideja u glavi da su ga bijesnila sitna zanovijetanja ispitivača. Budući da su ispitivači teško razumjeli njegova objašnjenja, jednom je od njih u lice bacio krpu za suho brisanje s ploče. Ubrzo nakon toga, njegov otac je umro, počinivši samoubojstvo kao rezultat crkvenih intriga. Praktički je na njegovom sprovodu izbila pobuna. U veljači 1830. Galois je napisao sljedeća tri rada, poslavši ih Akademiji znanosti za Grand Prix iz matematike. Joseph Fourier, tadašnji tajnik Akademije, umro je ne pročitavši ih, a nakon njegove smrti članci nisu pronađeni među njegovim radovima. Tolika bujica razočaranja bi svladala svakoga. Galois se pobunio protiv moćnika jer je smatrao da mu ne priznaju zasluge i uništili su mu oca. Naglo je uronio u politiku, postavši gorljivi republikanac - što nije bila najmudrija odluka u Francuskoj 1830. godine. U posljednjem pokušaju poslao je znanstveni rad poznatom francuskom fizičaru i matematičaru Simeonu Denisu Poissonu (1781. – 1840.), koji je odgovorio zahtijevajući dodatne dokaze.
Ovo je bila zadnja kap. Godine 1831. Galois je dva puta uhićen – prvo zbog navodnog pozivanja na ubojstvo kralja Louisa Philippea, a onda da bi ga zaštitile – vlasti su se bojale republikanske pobune! Ovog puta osuđen je na šest mjeseci zatvora zbog izmišljene optužbe da je protuzakonito nosio odoru rasformirane topničke bitnice kojoj je pristupio. Pušten na uvjetnu slobodu, prihvatio se zadatka koji mu se gadio kao i sve drugo u životu. U njegovim pismima odanom prijatelju Chevalieru osjeća se njegovo razočaranje. 29. svibnja 1832. prihvatio je izazov na dvoboj, čiji razlozi nisu u potpunosti razjašnjeni. “Postao sam žrtva nepoštene kokete. Moj život je ugašen u bijednoj svađi", piše u "Pismu svim republikancima". Galoisovo najpoznatije djelo skicirano je noć prije kobnog dvoboja. Na marginama su razasute pritužbe: "Nemam više vremena, nemam više vremena." Bio je prisiljen drugima prepustiti detaljno izlaganje međukoraka koji nisu bili bitni za razumijevanje glavne ideje. Morao je staviti na papir osnovu svojih otkrića - podrijetlo onoga što se danas naziva Galoisovim teoremom. Završio je svoju oporuku tražeći od Chevaliera da "apeliraju na Jacobija i Gaussa da daju svoje javno mišljenje, ne o ispravnosti, već o važnosti ovih teorema." Rano ujutro, Galois je otišao u susret svom suparniku. Morali su pucati s udaljenosti od 25 koraka. Galois je ranjen i preminuo je u bolnici sljedećeg jutra. Imao je samo dvadeset godina.
Galois se oslanjao na radove Lagrangea i Cauchyja, ali je razvio općenitiju metodu. To je bilo iznimno važno postignuće u području rješavanja kvinta. Znanstvenik je manje pažnje obraćao na izvorne jednadžbe ili grafičku interpretaciju, a više je razmišljao o prirodi samih korijena. Da pojednostavimo, Galois je razmatrao samo takozvane nesvodljive kvintike, to jest one koje se ne mogu faktorizirati u obliku polinoma nižeg reda (kao što smo rekli, za sve polinomske jednadžbe do četvrtog reda postoje formule za pronalaženje njihovih korijenje). Uopće nesvodljivi polinom s racionalnim koeficijentima je polinom koji se ne može proširiti na jednostavnije polinome s racionalnim koeficijentima. Na primjer, (x 5 - 1) može se faktorizirati (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), dok (x 5 - 2) Nesvodivo. Galoisov cilj bio je odrediti uvjete pod kojima se sva rješenja opće nesvodljive polinomske jednadžbe mogu pronaći u smislu radikala.
Ključ rješenja je da su korijeni svake nesvodive algebarska jednadžba nisu neovisni, mogu se izraziti jedan kroz drugi. Ti su odnosi formalizirani u skupinu svih mogućih permutacija, tzv. korijensku skupinu simetrije - za kvintiku ova skupina sadrži 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemenata. Matematički algoritmi Galoisove teorije vrlo su složeni i, najvjerojatnije, djelomično zbog toga, u početku ih je bilo teško razumjeti. Ali jednom kada mu je razina apstrakcije omogućila da prijeđe s algebarskih rješenja jednadžbi na algebarsku strukturu njihovih pridruženih grupa, Galois je mogao predvidjeti rješivost jednadžbe na temelju svojstava takvih grupa. Štoviše, njegova je teorija također pružila metodu kojom se ti sami korijeni mogu pronaći. Što se tiče kvintike, matematičar Joseph Liouville (1809–1882), koji je 1846. objavio najviše radova Galoisa u njegovom “Časopisu za čistu i primijenjenu matematiku”, primijetio je da je mladi znanstvenik dokazao “prekrasan teorem”, a kako bi “nesvodljiva jednadžba izvornog stupnja bila rješiva u smislu radikala, potrebno je i dovoljno je da su svi njegovi korijeni racionalne funkcije bilo koje dvije od njih." Budući da je to nemoguće za kvintiku, ne može se riješiti pomoću radikala.
U tri godine matematički svijet izgubio je dvije svoje najsjajnije nove zvijezde. Uslijedile su međusobne optužbe i dušebrižništvo, a Abel i Galois dobili su zaslužena priznanja, ali tek posthumno. Carl Jacobi je 1829. preko Legendrea doznao za Abelov "izgubljeni" rukopis, a 1830. izbio je diplomatski skandal kada je norveški konzul u Parizu zahtijevao da se pronađe članak njegova sunarodnjaka. Cauchy je na kraju pronašao članak, samo da bi ga urednici akademije ponovno izgubili! Iste godine, Abel je dobio Grand Prix iz matematike (podijeljen s Jacobijem) - ali je već bio mrtav. Godine 1841. objavljena je njegova biografija. Godine 1846. Liouville je uredio neke od Galoisovih rukopisa za objavljivanje i u uvodu izrazio žaljenje što je akademija isprva odbacila Galoisov rad zbog njegove složenosti - "jasnoća prezentacije je doista neophodna kada autor vodi čitatelja s utabane staze u neistraženu divljinu teritoriji." Nastavlja: “Galoisa više nema! Nemojmo pasti u beskorisne kritike. Ostavimo po strani nedostatke i pogledajmo prednosti! Voće kratkog vijeka Galois stane na samo šezdesetak stranica. Urednik matematičkog časopisa za kandidate za École Normale i École Polytechnique komentirao je slučaj Galois na sljedeći način: “Kandidata visoke inteligencije eliminirao je ispitivač s nižom razinom razmišljanja. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis.”
Prije svega, druga stranica ovog djela nije opterećena imenima, prezimenima, opisima društvenog položaja, titulama i elegijama u čast kakvog škrtog princa, čija će se novčanica otvoriti uz pomoć tih tamjana – uz prijetnju zatvaranja. to kad prestane pohvala. Ovdje nećete vidjeti hvalospjeve s pijetetom, ispisane slovima tri puta većim od samog teksta, upućene onima na visokom položaju u znanosti, nekom mudrom meceni - nešto obavezno (rekao bih neizbježno) za nekoga s dvadeset godina tko želi nešto napisati. Ovdje nikome ne govorim da sam njihovim savjetima i podrškom dužan sve dobro što proizlazi iz mog rada. Ne govorim ovo jer bi to bila laž. Kad bih trebao spomenuti bilo koga od velikana u društvu ili u znanosti (razlika između ove dvije klase ljudi u današnje je vrijeme gotovo neprimjetna), kunem se da to ne bi bio znak zahvalnosti. Njima dugujem što sam prvi od ova dva članka objavio tako kasno, i što sam sve ovo napisao u zatvoru - mjestu koje se teško može smatrati prikladnim za znanstveno promišljanje, i često se čudim svojoj suzdržanosti i sposobnosti da zadržim začepi mi usta u odnosu na glupe i zle zoile. Mislim da mogu upotrijebiti riječ "zoile" bez straha da ću biti optužen za nedoličnost, budući da tako nazivam svoje protivnike. Neću ovdje pisati o tome kako i zašto sam dospio u zatvor, ali moram reći da su se moji rukopisi najčešće jednostavno gubili u dosjeima gospode akademika, iako to, istina, ne mogu ni zamisliti. indiskrecija od strane ljudi koji su odgovorni za Abelovu smrt. Po mom mišljenju, svatko bi se želio uspoređivati s ovim briljantnim matematičarem. Dovoljno je reći da je moj članak o teoriji jednadžbi poslan Akademiji znanosti u veljači 1830., da su izvadci iz njega poslani u veljači 1829., ali ništa od toga nije tiskano, a čak se i rukopis pokazalo nemogućim povratak.
Galois, neobjavljeni predgovor, 1832
