KUTOVI NA RAVNINI I NJIHOVO MJERENJE. Lik na ravnini koji čine dvije zrake koje izlaze iz jedne točke O, naziva se kut . zrake O.A. I O.B. nazivaju se stranice kuta, a točka O vrh. Kut sa stranicama O.A. I O.B. označen sa P AOB.
Kutovi se uspoređuju, zbrajaju, mjere. Jednaki su ako se mogu spojiti pomicanjem. Dva kuta nazivamo susjednim (slika 1), ako imaju zajednički vrh i jednu stranicu, a druge dvije tvore ravnu liniju. Općenito, kutovi koji imaju zajednički vrh i jednu zajedničku stranicu nazivaju se susjednim (slika 2). Kutovi se nazivaju okomitima (slika 3) ako su stranice jednog produžeci izvan vrha stranica drugog. Vertikalni kutovi su međusobno jednaki. Kut čije stranice čine ravnu crtu nazivamo rasklopljenim (slika 4). Kut jednak svom susjednom zove se pravi kut. Kut manji od pravog kuta je oštar, kut veći od pravog kuta, ali manji od ravnog kuta je tup.
Kada se dvije ravne crte koje leže u istoj ravnini sijeku s trećom pravcom, nastaju kutovi (slika 5). 1 i 5, 2 i 6, 4 i 8, 3 i 7 nazivaju se odgovarajućim; 2 i 5, 3 i 8 – unutarnji jednostrani; 1 i 6, 4 i 7 – vanjski jednostrani; 3 i 5, 2 i 8 – iznutra leže poprečno; 1 i 7, 4 i 6 – poprečno leže s vanjske strane.
Ako greda O.C. ulazi u kut AOB(sl. 6), tada se po definiciji smatra da je kut AOC, poput kuta KLIP, manje od kuta AOB i taj kut AOB jednak zbroju kutovi AOC I KLIP. Uzimajući bilo koji određeni kut kao mjernu jedinicu, određuje se veličina bilo kojeg kuta, tj. pronađite koliko puta zadani jedinični kut stane u njega. Pri mjerenju kuta polazimo od dva njegova svojstva, koja su slična svojstvima duljine segmenta: 1) veličine jednakih kutova su jednake, 2) veličina zbroja dvaju kutova jednaka je zbroj njihovih veličina.
Promatramo li kutove čiji je vrh središte kružnice, a stranice polumjeri, možemo primijetiti da jednaki kutovi urezan na krug jednaki lukovi, a zbroj kutova odgovarat će zbroju lukova koje oni spajaju. Stoga je veličina kuta proporcionalna duljini luka koji siječe, a mjerne jedinice mogu se odrediti tako da se naznači koji dio kružnice čini odgovarajući luk.
Obično se koriste dva sustava mjerenja kuta: stupanj I radijan.
U sustavu stupnjeva, mjerna jedinica je luk koji mjeri 1/360 kruga (označava se °). Stupanj je podijeljen na 60 minuta (označeno s "), minuta na 60 sekundi (označeno s ""). Šezdesetina mjerenja podsjeća na Babilon, ali postojao je još jedan stupanj u povijesti. Tijekom velikog Francuska revolucija(1793.) u Francuskoj je uz decimalni (metrički) sustav mjera uveden i centezimalni (centezimalni) sustav mjerenja kutova. U njemu je pravi kut podijeljen na 100 stupnjeva ("grads"), stupanj na 100 minuta, minuta na 100 sekundi. Ovaj sustav se najčešće koristi u geodetskim mjerenjima.
Matematičari radije koriste radijansku mjeru - mjerna jedinica je kut pod kojim je njezin luk vidljiv iz središta kruga, jednak radijusu. Veličina ovog kuta je radijan . Ne ovisi o polumjeru kružnice i položaju luka na kružnici. Jer iz središta se vidi polukrug pod kutom od 180°, a duljina mu je 241 radijusi, zatim radijani in 241 puta manji od kuta 180°, tj. jedan radijan je jednak 180° / 241 :
1 radijan » 57.2958° » 57° 17"45""
I u sustavu radijana i stupnjeva, kut se mjeri jedinicom kuta. Činjenica da je naziv naznačen u jednom slučaju (za diplomu), a impliciran u drugom (za radijan) ne igra nikakvu ulogu.
Radijanska mjera, izražena kao omjer duljine luka opisanog proizvoljnim polumjerom iz središta i zatvorenog između stranica kuta, prema polumjeru tog luka, ne ovisi o izboru jedinice duljine. Mjera stupnja također ne ovisi, jer to je također omjer dviju duljina, naime duljine luka opisanog iz vrha kuta i zatvorenog između njegovih stranica, prema duljini luka koja je jednaka 1/360 kružnice istog polumjera.
Dakle, nema temeljne razlike između stupnja i radijanske mjere kuta, međutim, uvođenje radijanske mjere omogućuje da se mnogim formulama da jednostavniji oblik.
Odnos između stupnjeva i radijskih mjera najčešćih kutova dan je u sljedećoj tablici
Ravno kut sadrži 90° ili 241 /2 radijana Akutni se nalazi u rasponu od 0 do 90° ili od 0 do 241 /2 radijana, glupo – od 90 do 180° ili od 241 /2 do 241 . Ravne linije koje tvore pravi kut nazivaju se okomite jedna na drugu.
Često je važno naznačiti u kojem smjeru se kut mjeri. Ako rotaciju oko vrha smatramo mjerom kuta OKO, prevođenje zraka O.A. na poziciju O.B. tada se mjera kuta smatra pozitivnom ako se rotacija odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, inače se kut smatra negativnim m. Dakle, kut može biti bilo koje veličine pravi broj. U trigonometriji takvo razmatranje omogućuje proučavanje trigonometrijskih funkcija za bilo koje vrijednosti argumenta.
Kut između dviju krivulja koje polaze iz zajedničke točke u kojoj svaka krivulja ima određenu tangentu je kut koji čine te tangente. Pojam kuta generalizira se na različite objekte u prostoru (diedarski, puni i poliedarski kutovi).
Kutak: ° π rad =
Pretvori u: radijane stupnjeve 0 - 360° 0 - 2π pozitivno negativno Izračunaj
Kada se linije sijeku, postoje četiri različita područja u odnosu na točku sjecišta.
Ta nova područja nazivaju se kutovi.
Na slici su prikazana 4 različita kuta nastala sjecištem pravaca AB i CD
Kutovi se obično mjere u stupnjevima, što se označava kao °. Kada objekt napravi potpuni krug, to jest kreće se od točke D kroz B, C, A i zatim natrag do D, tada se kaže da se okrenuo za 360 stupnjeva (360°). Dakle, stupanj je $\frac(1)(360)$ kruga.
Kutovi veći od 360 stupnjeva
Razgovarali smo o tome kako kada objekt napravi puni krug oko točke, on ide za 360 stupnjeva, međutim, kada objekt napravi više od jednog kruga, on čini kut veći od 360 stupnjeva. To je uobičajena pojava u svakodnevnom životu. Kotač za vrijeme kretanja automobila obilazi više krugova, odnosno zaklapa kut veći od 360°.
Da bismo saznali broj ciklusa (dovršenih krugova) prilikom rotacije objekta, brojimo koliko puta trebamo dodati 360 njemu da bismo dobili broj jednak ili manji od zadanog kuta. Na isti način nalazimo broj koji množimo s 360 da bismo dobili broj koji je manji, ali najbliži zadanom kutu.
Primjer 2
1. Odredite broj krugova opisanih predmetom koji tvori kut
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Riješenje
a) 380 = (1 × 360) + 20
Objekt je opisao jedan krug i 20°
Budući da je $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ krug
Objekt je opisao $1\frac(1)(18)$ krugova.
B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Objekt je opisao dva kruga i 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ krug
Predmet je opisao $2\frac(5)(36)$ kruga
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ krugova
Objekt je opisao $2\frac(7)(9)$ krugova
Kada se predmet okreće u smjeru kazaljke na satu, formira negativan kut rotacije, a kada se okreće suprotno od kazaljke na satu, formira pozitivan kut. Do ove točke razmatrali smo samo pozitivne kutove.
U obliku dijagrama, negativni kut može se prikazati kao što je prikazano u nastavku. 
Na donjoj slici prikazan je predznak kuta koji se mjeri od zajedničke ravne linije, osi 0 (os x - os x) 
To znači da ako postoji negativan kut, možemo dobiti odgovarajući pozitivni kut.
Na primjer, dno okomite crte je 270°. Kada se mjeri u negativnom smjeru, dobivamo -90°. Jednostavno oduzmemo 270 od 360. S obzirom na negativan kut, dodamo 360 da dobijemo odgovarajući pozitivni kut.
Kada je kut -360°, to znači da je objekt napravio više od jednog kruga u smjeru kazaljke na satu.
Primjer 3
1. Nađite odgovarajući pozitivni kut
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°
2. Odredite odgovarajući negativni kut od 80°, 167°, 330° i 1300°.
Riješenje
1. Kako bismo pronašli odgovarajući pozitivni kut, dodamo 360 vrijednosti kuta.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
To znači jedan krug u smjeru kazaljke na satu (360)
360 + (-310) = 50°
Kut je 360 + 50 = 410°
2. Da bismo dobili odgovarajući negativni kut, oduzimamo 360 od vrijednosti kuta.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (jedan krug završen)
940 - 360 = 580 (drugi krug završen)
580 - 360 = 220 (treći krug završen)
220 - 360 = -140°
Kut je -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Dakle, 1300° = -1220°
Radijan
Radijan je kut iz središta kružnice koji zatvara luk čija je duljina jednaka polumjeru kružnice. Ovo je mjerna jedinica za kutnu veličinu. Ovaj kut je približno 57,3°.
U većini slučajeva to se označava kao radostan.
Dakle, $1 rad \približno 57,3^(\circ)$ 
Polumjer = r = OA = OB = AB
Kut BOA jednak je jednom radijanu
Budući da je opseg zadan kao $2\pi r$, tada u krugu ima $2\pi$ polumjera, pa stoga u cijelom krugu ima $2\pi$ radijana.
Radijani se obično izražavaju u $\pi$ kako bi se izbjegle decimale u izračunima. U većini knjiga, skraćenica radostan ne pojavljuje, ali čitatelj treba znati da je kut u pitanju $\pi$, a mjerne jedinice automatski postaju radijani.
360$^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$
Primjer 4
1. Pretvorite 240°, 45°, 270°, 750° i 390° u radijane pomoću $\pi$.
Riješenje
Pomnožimo kutove s $\frac(\pi)(180)$.
$240^(\circ) = 240 \times \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \times \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \times \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$
2. Pretvorite sljedeće kutove u stupnjeve.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) 3,12$\pi$
c) 2,4 radijana
Riješenje
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) 3,12 $\pi = 3,12 \puta 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
2,4 USD = \frac(2,4 \puta 57,3)(1) = 137,52 USD
Negativni kutovi i kutovi veći od $2\pi$ radijana
Da bismo negativni kut pretvorili u pozitivni, dodamo ga $2\pi$.
Da bismo pozitivni kut pretvorili u negativni, od njega oduzimamo $2\pi$.
Primjer 5
1. Pretvorite $-\frac(3)(4)\pi$ i $-\frac(5)(7)\pi$ u pozitivne kutove u radijanima.
Riješenje
Dodajte $2\pi$ kutu
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$
$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$
Kada se objekt rotira za kut veći od $2\pi$;, napravi više od jednog kruga.
Da bismo odredili broj okretaja (krugova ili ciklusa) u takvom kutu, nalazimo broj, množimo ga s $2\pi$, rezultat je jednak ili manji, ali što je moguće bliže ovom broju.
Primjer 6
1. Odredite broj krugova koje je predmet priješao pod zadanim kutovima
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$
Riješenje
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ implicira jedan ciklus u smjeru kazaljke na satu, to znači da
objekt je napravio 5 ciklusa u smjeru kazaljke na satu.
b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ pola ciklusa
objekt je napravio četiri i pol ciklusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu
c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ jednako je tri četvrtine ciklusa $(\frac(1.5\ pi)(2 \pi)=\frac(3)(4))$
objekt je prošao jednu i tri četvrtine ciklusa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu
Bilješka: vidi također tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija drugi kutovi.
Sinus, kosinus, tangens kuta od 45 stupnjeva (sin 45, cos 45, tg 45)
Vrijednosti u tablici sinusa 45, kosinusa 45 i tangensa 45 stupnjeva naznačeno . U nastavku je objašnjenje metode i ispravnosti izračuna ovih vrijednosti za proizvoljne pravokutni trokut.
45 stupnjeva je π/4 radijana. Formule za vrijednosti kosinusa, sinusa i tangensa pi/4 radijana dane su u nastavku (iako su identične).
To je npr. tan π/4 = tan 45 stupnjeva
VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA NA α=45°
Kako samostalno izračunati vrijednosti sin cos tg 45 stupnjeva?
Konstruirajmo i razmotrimo pravokutni trokut ABC čiji kut ∠ B = 45°. Na temelju omjera njegovih stranica izračunavamo vrijednosti trigonometrijskih funkcija u pravokutnom trokutu za kut od 45 stupnjeva. Budući da je trokut pravokutan, vrijednosti funkcija sinusa, kosinusa i tangensa bit će jednake omjeru njegovih odgovarajućih stranica.
Budući da vrijednost funkcija sinusa, kosinusa i tangensa ovisi isključivo o stupanjska mjera kut (ili vrijednost izražena u radijanima), tada će omjeri koje smo pronašli biti vrijednosti funkcije sinusa 45, kosinusa 45 i tangensa 45 stupnjeva.
Prema svojstvima pravokutnog trokuta kut C je prav i jednak 90 stupnjeva. U početku smo konstruirali kut B sa stupnjevitom mjerom od 45 stupnjeva. Nađimo vrijednost kuta A. Budući da je zbroj kutova trokuta 180 stupnjeva, onda
∠
A+ ∠
B + ∠
C = 180°
Kut C je prav i jednak je 90 stupnjeva, kut B smo u početku definirali kao 45 stupnjeva, dakle:
∠
A = 180° - ∠
SA - ∠
B = 180° - 90° - 45° = 45°
Kako ovaj trokut ima dva međusobno jednaka kuta, to je trokut ABC pravokutan i, ujedno, jednakokračan, u kojem su obje noge jednake jedna drugoj: AC = BC.
Pretpostavimo da je duljina stranica jednaka određenom broju AC = BC = a. Znajući duljine nogu, izračunavamo duljinu hipotenuze.
Prema Pitagorinoj teoremi: AB 2 = AC 2 + BC 2
Zamijenimo dužine AC i BC varijablom a, tada dobivamo:
AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2,
tada je AB=a √ 2.
Kao rezultat izrazili smo duljine svih stranica pravokutni trokut s kutom od 45 stupnjeva kroz varijablu a.
Prema svojstvima trigonometrijskih funkcija u pravokutnom trokutu omjer pripadnih stranica trokuta bit će jednak vrijednosti pripadnih funkcija. Dakle, za kut α = 45 stupnjeva:
sin α = BC / AB(prema definiciji sinusa za pravokutni trokut, ovo je omjer suprotne katete i hipotenuze, BC - kateta, AB - hipotenuza)
cos α = AC / AB(prema definiciji kosinusa, ovo je omjer susjedne katete i hipotenuze, AC je kateta, AB je hipotenuza)
tg α = BC / AC(slično tome, tangenta za kut α bit će jednaka omjeru suprotne stranice u odnosu na susjednu)
Umjesto označavanja stranica, vrijednosti njihovih duljina zamjenjujemo kroz varijablu a.
Na temelju toga (vidi tablicu vrijednosti grijeh 45, cos 45, tg 45) dobivamo:
Tablične vrijednosti grijeh 45, cos 45, tg 45(odnosno vrijednost sinus 45, kosinus 45 i tangens 45 stupnjeva može se izračunati kao omjer odgovarajućih stranica danog trokuta), zamijenimo vrijednosti duljina stranica izračunatih iznad u formule i dobijemo rezultat na slici ispod.
Tablične vrijednosti: sinus 45, kosinus 45 i tangens 45 stupnjeva
Tako:
- tangens od 45 stupnjeva jednak je jedan
- sinus od 45 stupnjeva jednak je kosinusu od 45 stupnjeva i jednak je korijenu iz dva popola (isto kao jedan podijeljen s korijenom iz dva)
Kao što se može vidjeti iz gore navedenih izračuna, izračunati vrijednosti odgovarajućih trigonometrijska funkcija Nisu važne duljine stranica trokuta, već njihov omjer koji je uvijek isti za iste kutove, bez obzira na veličinu pojedinog trokuta.
Sinus, kosinus i tangens π/4 radijana
U zadacima predloženim za rješavanje u srednjoj školi i na eksternom obrazovnom testu / Jedinstvenom državnom ispitu, umjesto stupnjeve mjere kuta, često se susreće oznaka njegove veličine, mjerena u radijanima. Mjera kuta, izražena u radijanima, temelji se na broju pi, koji izražava ovisnost opsega kruga o njegovom promjeru.
Radi lakšeg razumijevanja, preporučam zapamtiti jednostavan princip za pretvaranje stupnjeva u radijane. Promjer kruga pokriva luk od 180 stupnjeva. Stoga će pi radijan biti jednak 180 stupnjeva. Odatle je lako pretvoriti bilo koju mjeru stupnja kuta u radijane i obrnuto.
Uzmimo to u obzir Kut od 45 stupnjeva izražen u radijanima, jednako je (180 / 45 = 4) π/4 (pi puta četiri). Stoga su vrijednosti koje smo pronašli točne za istu mjeru stupnja kuta, izraženu u radijanima:
- tangenta π/4(pi kroz četiri) jednako je jedan
- sinus π/4(pi puta četiri) stupnjeva jednako je kosinus π/4 stupnjeva i jednak je korijenu iz dva popola
