NASTAVNI RAD

na temu:

"Praktična primjena svojstava izvanrednih krivulja"

Uvod

Relevantnost teme je pokazati primjenu matematičkog znanja u praktičnim ljudskim aktivnostima. U toku sa studijom analitička geometrija razmatranje svojstava izvanrednih krivulja koje se široko koriste u životu nije predviđeno.

Hipoteza : Korištenje ovog materijala proširuje vidike učenika o krivuljama i njihovim svojstvima te pokazuje njihovu praktičnu primjenu u ljudskom životu.

Svrha ovog rada : Prikupiti materijal za korištenje tijekom samostalno istraživanje divne obline.

Zadaci : Za pomoć učeniku. Koristeći minimalno vrijeme, donesite maksimalnu korist.

Praktični značaj rada: Vjerujem da će moj rad biti koristan učenicima za razumijevanje gradiva na pristupačan i jasan način. Pokazat će praktičnu primjenu svojstava izvanrednih krivulja, naučiti kako graditi krivulje.

Odabir teme

Na moderna razina U razvoju tehničke misli javlja se potreba za znanjem o izvanrednim krivuljama. Nisu tako rijetke u prirodi, imaju praktičnu primjenu u ljudskom životu. Znanje o njihovim izvanrednim svojstvima koristi se u raznim mehanizmima koje ljudi koriste u životu.

Odabrao sam ovu temu jer smatram da je zanimljiva i sadržajna, razvija spoznajni interes za analitičku geometriju, otvara praktičnu primjenu geometrije u životu. Korištenje ovog materijala na predavanjima geometrije proširuje horizonte učenika o krivuljama koje se proučavaju u programu. U različitim granama matematike i različite faze Pri proučavanju susrećemo krivulje i trećeg i drugog reda. Ali nigdje se ne govori o izvanrednim svojstvima tih krivulja, a još manje o njihovoj praktičnoj primjeni. Vjerujem da je vrlo važno za učenike da znaju prekrasna svojstva ovih krivulja, koje se naširoko koriste u životu. Proučavajući, pa čak i samo upoznavajući se s tim svojstvima, učenici vide istinski praktične primjene geometrije.

Da bih to učinio, upoznao sam se s materijalima o prekrasnim krivuljama i njihovim svojstvima u raznim udžbenicima i enciklopedijama matematike.

1. Iz povijesti razvoja učenja o linijama

Pojam linije nastao je u ljudskoj svijesti u prapovijesti. Putanja bačenog kamena, obrisi cvijeća i lišća biljaka, vijugava linija riječne obale i drugi prirodni fenomeni već dugo privlače pažnju ljudi. Višestruko promatrane poslužile su kao osnova za postupno uspostavljanje pojma linije. Ali trebalo je dosta vremena da naši preci počnu međusobno uspoređivati oblike zakrivljenih linija. Prvi crteži na zidovima špilja, primitivni ukrasi na kućnom posuđu pokazuju da su ljudi bili u stanju ne samo razlikovati ravnu liniju od krivulje, već i razlikovati pojedinačne krivulje. Spomenici iz davnih vremena pokazuju da su svi narodi, u nekom stupnju svog razvoja, imali pojmove o pravoj crti i njenom krugu. Za izradu ovih linija korišteni su jednostavni alati.

Međutim, tek s pojavom matematičkih teorija počinje se razvijati proučavanje linija. Grčki znanstvenici stvorili su teoriju linija drugog reda. Te su se linije smatrale presjekom stošca ravninom, zbog čega su se u davna vremena nazivale stožastim presjecima. Stožaste presjeke prvi je razmatrao Menaechmus, koji je živio u 4. st. pr. Kr.. Prvi sustavni prikaz teorije ovih pravaca dao je Apolonije iz Perge (III.-II. st. pr. Kr.) u svom djelu “Koničke presjeke”, koje je gotovo u cijelosti . stigao do nas. U potrazi za rješenjima raznih problema grčki su znanstvenici razmatrali i neke transcendentalne linije.

Tijekom srednjeg vijeka važna postignuća grčkih znanstvenika bila su zaboravljena. Matematička se znanost ponovno okrenula proučavanju krivulja tek u 7. stoljeću. Za proučavanje linija od iznimne je važnosti Descartesovo i Fermatovo otkriće koordinatne metode, koja je pridonijela nastanku infinitezimalnog računa. Metoda koordinata, u kombinaciji s analizom infinitezimala, omogućila je prelazak na proučavanje linija na opći način. Razni problemi mehanike, astronomije, geodezije, optike, koji su nastali u 7.-8. stoljeću, doveli su do otkrića mnogih novih linija i proučavanja njihovih geometrijskih mehaničkih svojstava. Najveći matematičari tog doba - Descartes, Huygens, Leibniz i braća Bernoulli - bavili su se tim pitanjima s velikim entuzijazmom.

Sljedeći važan korak u proučavanju linija napravio je Newton, koji je započeo s razvojem teorije krivulja trećeg reda. Nakon toga postavljeni su sljedeći zadaci: proučiti krivulje četvrtog i viših reda, stvoriti opću teoriju algebarskih krivulja na ravnini, započeti sustavno proučavanje algebarskih ploha, počevši od ploha drugog reda. U rješavanju posljednjeg problema veliki je doprinos dao slavni matematičar VIII Leonard Euler, akademik Peterburške akademije znanosti. Opisao je prvi priručnik iz analitičke geometrije, koji je u glavnim crtama dao teoriju linija i površina drugog reda.

. Izvanredne linije trećeg reda

Sve ravne linije i krivulje drugog reda (kružnice, elipse, parabole, hiperbole) posebni su slučajevi krivulja trećeg reda.

Općenito, jednadžba zakrivljene linije trećeg reda može se napisati na sljedeći način: x 3 +a 1 y 3 +3a 2 x 2 y+3a 3 xy 2 +3a 4 x 2 +3a 5 y 2 +3a 6 xy+3a 7 x+3a 8 y+a 9 =0.

Pretpostavlja se da koeficijenti ne ispadaju istodobno (inače bi rezultat bio jednadžba drugog stupnja). Ako se sve neopadajuće linije drugog reda iscrpe kružnicom, elipsom, hiperbolom, parabolom, tada skup redaka trećeg reda je bogatiji – sadrži. Preko 70 vrsta ovih linija. Ovdje se raspravlja o samo nekoliko njih, izvanrednih po svojim svojstvima i primjeni.

kartezijanski list

. Značajke obrasca. kartezijanski list je krivulja 3. reda čija jednadžba u pravokutnom sustavu ima oblik

Ponekad je zgodno koristiti parametarske Kartezijeve jednadžbe, koje se mogu dobiti postavljanjem g= tx, dodajući jednakost (1) ovoj jednakosti i rješavajući dobiveni sustav u odnosu na x I y, kao rezultat ćemo imati:

odakle slijedi da je kartezijev list racionalna krivulja.

Također primijetite da polarna jednadžba Kartezijevog lista ima oblik

(3)

Koordinate x I na unesite Kartezijevu jednadžbu simetrično, što znači da krivulja je simetrična oko simetrale y=x. Rutinsko istraživanje na singularne točke dovodi do zaključka da je ishodište čvorna točka kartezijevog lista. Jednadžbe tangenti na algebarsku krivulju u njezinoj singularnoj točki koja se podudara s ishodištem koordinata mogu se dobiti, kao što je poznato, izjednačavanjem s nulom skupine članova najnižeg stupnja iz jednadžbe te krivulje. U našem slučaju imamo Z ahu = 0, odakle dobivamo x = 0 i y = 0 - tražene jednadžbe za tangente u čvornoj točki. Te tangente koincidiraju s koordinatnim osima i stoga se u ishodištu krivulja siječe pod pravim kutom. Lako je vidjeti da na prvom koordinatnom kutu krivulja čini petlju koja se siječe s ravnom linijom y = x u točki

Točke ove petlje u kojima su tangente paralelne s koordinatnim osima imaju koordinate

I (vidi sliku 1)

Da bismo konačno zaključili o obliku krivulje, moramo pronaći i asimptotu. Zamjenom y u jednadžbi krivulje izjednačujemo s nulom u dobivenoj jednadžbi koeficijente dvaju članova s većim potencijama X. Dobivamo

i b = - a. Dakle, kartezijev list ima asimptotu

y = - x - a; dakle u 2. i 4. koordinatnom kutu grane kartezijevog lista idu u beskonačnost.

Riža. 1

Često se razmatra krivulja zakrenuta za 135 stupnjeva. Njezine jednadžbe izgledaju ovako. U pravokutnom sustavu: , Gdje

Parametarski:

Derivacija jednadžbi rotirane krivulje:

Koordinatni sustav XOY pretvara se u koordinatni sustav UOV, koji se dobiva zakretanjem osi OX i OY u smjeru kazaljke na satu za kut i preusmjeravanjem osi OX u suprotnom smjeru:

Izražavanje starih XY koordinata u smislu novih UV izgleda ovako:

Nakon zamjene izraza starih koordinata novima, Kartezijanska jednadžba se transformira u sljedeći pogled: .

Uvodimo parametar, posljednja jednadžba će se prepisati na sljedeći način:

Ili .

Varijable u i v zamijenimo uobičajenim x i y i dobijemo Kartezijevu jednadžbu u novom koordinatnom sustavu:

Zamjenom prethodne u jednadžbu dobivamo jednadžbu kartezijanskog lista u polarnom koordinatnom sustavu:

Rješavajući ovaj izraz za ρ, dobivamo:

2. Svojstva. Prema Maclaurinovom teoremu, ako se tangente na ovu krivulju povuku u tri točke algebarske krivulje 3. reda koje leže na istoj pravoj liniji, tada će njihove točke sjecišta s krivuljom također ležati na ravnoj liniji. U odnosu na kartezijanski list, ovaj se teorem jednostavno dokazuje. U tu svrhu izvodimo preliminarni uvjet za prisutnost tri točke kartezijevog lista koje odgovaraju vrijednostima t 1 , t 2 I t 3 parametar, na jednoj ravnoj liniji. Ako jednadžba pravca ima oblik g= kx+ b, tada vrijednosti parametara koje odgovaraju točkama sjecišta ove linije s krivuljom moraju zadovoljiti sustav

Ovaj sustav dovodi do jednadžbe

čiji će korijeni biti željene vrijednosti t 1 , t 2 I t 3 parametar, što znači da

Ova jednakost je uvjet za prisutnost tri točke M 1 (t 1) , M 2 (t 2 ), M 3 (t 3) Kartezijev list na jednoj ravnoj liniji.

S obzirom na ovaj uvjet, pokazat ćemo valjanost Maclaurinova teorema za Kartezijev list. Doista, tangenta u točki M 1 (t 1 ) može se smatrati ravnom linijom koja siječe kartezijev list u dvije točke koje se podudaraju jedna s drugom, za koje t 2 = t 1 , iu trećoj točki, za koju je odgovarajuća vrijednost parametra označena s T 1 . Uvjet (4) će imati oblik t 1 2 T 1 = - 1. Za tangente u točkama M 2 I M 3 dobivamo slične relacije t 2 2 T 2 = -1 i t 3 2 T 3 = -1 . Množenjem ove tri jednakosti, imamo

(t 1 t 2 t 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . odakle na temelju (4) zaključujemo da T 1 T 2 T 3 = -1, oni. bodova N 1 (T 1 ), N 2 (T 2) i N 3 (T 3) leže na istoj ravnici.

Određivanjem površine ograničene petljom kartezijevog lista dobivamo:

. Način gradnje. Prvo primijetimo da ako se os simetrije Kartezijevog lista uzme kao os apscise, tada će njegova jednadžba imati oblik

(5)

Neka sada postoji krug polumjera r i središte u točki

i ravno x= -h. Uzmimo proizvoljnu točku Q te kružnice i nacrtajmo ravnu liniju QA i izravni QN, okomito na os apscisa (slika 2). Od točke raskrižja R ravno QA s ravnom linijom x= - h provodimo izravnu R.O. dok se ne presječe u točki Q 1 s ravnom linijom QN. Dakle, točka Q krugu će biti dodijeljena točka P 1. Geografsko mjesto točaka Q 1 je Kartezijev list.

Da bismo to dokazali, primijetimo da su koordinate točke Q može se napisati u obliku

kut koji čini polumjer kružnice nacrtan na točku Q, s pozitivnim smjerom x-osi. U skladu s tim jednadžba pravca QA može se napisati kao

Pretpostavljajući u ovoj jednadžbi x= -h, nađi ordinatu

bodova R. Slijedi da jednadžba pravca RQ 1 bit će zapisano u obrascu

(6)

Istodobno, jednadžba ravne linije Q 1 N izgleda kao

(7)

Isključujući parametar iz jednadžbi (6) i (7) w, nalazimo jednadžbu geometrijskog mjesta točaka Q 1 u obliku

Uspoređujući je s jednadžbom (5), zaključujemo da je pronađeno geometrijsko mjesto točaka Kartezijev list.

Transformacija točaka kruga u točke kartezijevog lista, koja se provodi tijekom njegove konstrukcije na ovaj način, naziva se Maclaurin transformacija.

4. Povijesna pozadina. Po prvi put u povijesti matematike, krivulja, kasnije nazvana Kartezijev list, definirana je u pismu Descartesa Fermatu 1638. kao krivulja za koju je zbroj volumena kocki konstruiranih na apscisi i ordinati svake točka jednaka je obujmu paralelopipeda konstruiranog na apscisi, ordinati i nekoj konstanti . Oblik krivulje je prvi ustanovio Roberval, koji je pronašao čvornu točku krivulje, ali u njegovom prikazu krivulja se sastoji samo od petlje. Ponavljajući ovu petlju u četiri kvadranta, dobiva figuru koja ga podsjeća na cvijet s četiri latice. Poetski naziv krivulje "latica jasmina", međutim, nije se zaživio. Puni oblik krivulje s prisutnošću asimptote odredili su kasnije (1692.) Huygens i I. Bernoulli. Naziv "kartezijanski list" čvrsto se ustalio tek od početka 18. stoljeća.

Cissoid Diocles

1. Značajke obrasca. Među brojnim načinima obrazovanja cisoidi - krivulje, koju su otkrili stari u potrazi za rješenjem poznatog problema udvostručenja kocke, prvo ćemo se usredotočiti na najjednostavniju. Uzmimo krug (tzv proizvodnja) s promjerom OA=2a i tangentom AB Njoj. Kroz točku O povučemo polupravu OB i na njoj iscrtamo dužinu OM=VS. Ovako konstruirana točka M pripada cisoidi. Okretanje grede 0V do određenog kuta i dovršivši naznačenu konstrukciju, pronaći ćemo drugu točku cisoide itd. (slika 3).

Ako točku O uzmemo kao pol, odakle onda dobiti polarnu jednadžbu cisoida

Pomoću formula za prijelaz s polarnih na kartezijeve koordinate nalazimo jednadžbu cisoida u pravokutnom sustavu:

(2)

Parametarske jednadžbe cisoide mogu se dobiti pretpostavkom x=ty, tada na temelju jednadžbe (2) dolazimo do sustava

Riža. 3

Jednadžba (2) pokazuje da je cisoid algebarska krivulja 3. reda, a iz jednadžbi (3) slijedi da je to racionalna krivulja.

Cissoid je simetričan oko x-osi i ima beskrajne grane; tangenta na generirajuću kružnicu, tj. ravno x = 2a mu služi kao asimptota; ishodište koordinata je točka vrha 1. vrste.

2. Svojstva. Kinematički se cisoida može dobiti kao putanja sredine M noga Sunce trokut ABC, krećući se u ravnini crteža tako da njegov vrh U klizi po ordinatnoj osi, a druga noga AC uvijek prolazi kroz fiksnu točku E na apscisnoj osi. (Sl. 4)

Doista, odredivši sredinu segmenta OE kroz D, primjećujemo da od BC=EO,ê SVE=ê VEO, gdje /_ VEO = /_ SVE, i stoga ê NBE - jednakokračan, a budući da ED=EO/2=BC/2=VM, zatim segment DM paralelno sa segmentom BITI. Neka, dalje, točka DO postoji točka presjeka s nastavkom segmenta DM pravac koji prolazi točkom U paralelno s x-osi. Opišimo kružnicu sa središtem u ishodištu i polumjerom jednakim OD , i povucite tangentu na nju u drugoj točki presjeka s pravcem EO. Očito će proći kroz točku DO. Označavanje točke presjeka linije DMK s krugom kroz F, primijetite da trokuti DOF I MVK su međusobno jednaki. Iz njihove jednakosti proizlazi da DF= MK, i stoga DM= FK. Posljednja jednakost pokazuje da je geometrijsko mjesto točaka M bit će cisoid.

Drugi načini formiranja cisoida temelje se na njegovim odnosima s parabolom. Pokažimo prvo to Cissoid je podera parabole u odnosu na njezin vrh.

Jednadžba ove parabole. Jednadžba tangente u proizvoljnoj točki M(x, h ) ova se parabola može napisati u obliku jednadžba okomice spuštene iz ishodišta na ovu tangentu bit će koordinate točke N njegovo sjecište s tangentom odredit ćemo formulama

(4)

Eliminiranjem parametra h iz ovih jednakosti dobivamo jednadžbu

Izražavanje cisoida.

Nadalje primijetimo da su koordinate točke simetrične ishodištu u odnosu na tangentu na parabolu u 2 = 2 px, dobit će se ako se desne strane formula (4) udvostruče, te stoga određuju formule

Isključivanjem parametra h iz ovih jednakosti ponovno dobivamo cisoidu s jednadžbom.Slijedi da je cisoida geometrijsko mjesto točaka simetričnih vrhu parabole s obzirom na njezine tangente.

Treba napomenuti da se geometrijsko mjesto točaka simetričnih ishodištu u odnosu na tangentu na parabolu može smatrati putanjom vrha druge parabole, identične ovoj, koja se kotrlja duž te parabole. Tako nastaje nova metoda kinematičkog oblikovanja cisoida poput putanje vrha parabole, koja se kotrlja duž druge slične parabole bez klizanja.

Strophoid

Strophoid (od grčkog stróphos - upletena vrpca i éidos - pogled)

Neka postoji fiksna ravna crta AB i točka C izvan nje na udaljenosti CO = A; pravac koji siječe AB u promjenjivoj točki N rotira oko C. Ako iz točke N nacrtamo segmente NM = NM" = NO s obje strane pravca AB, tada je geometrijsko mjesto točaka M i M" za sve položaje rotirajuća zraka CN je strofida. Jednadžba u pravokutnim koordinatama: ; u polarnim koordinatama: r = - a cos 2j/cosj. Strophoida je prvi proučavao E. Torricelli (1645), a naziv je uveden sredinom 19. stoljeća. Riža. 6

Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi ( ponekad Agnesijev uvojak) je ravna krivulja, geometrijsko mjesto točaka M za koje je zadovoljena relacija, gdje je OA promjer kružnice, BC je polutetiva te kružnice okomita na OA. Versière Agnesi je dobila ime u čast talijanske matematičarke Marije Gaetane Agnesi, koja je proučavala ovu krivulju.

Jednadžbe

O = (0,0), A = (0, a)

U pravokutnom koordinatnom sustavu:

Koordinate točke M koja leži na versièreu su x = BM, y = OB. OA = a i po definiciji konstruiramo proporciju

Odavde

S druge strane, BC se može pronaći iz jednadžbe kruga:

Znamo da je y = OB, pa izražavamo:

Izjednačavamo oba izraza za BC:

Kvadratiramo, prevodimo i izbacujemo iz zagrada:

Izražavamo y (y=0 nije prikladan po definiciji):

, gdje je kut između OA i OC.

Svojstva:

1. Verzière - krivulja trećeg reda.

Promjer OA jedina je os simetrije krivulje.

Krivulja ima jedan maksimum - A (0; a) i dvije točke infleksije -

U blizini vrha A, verzière se približava krugu promjera OA. U točki A postoji kontakt i krivulja se poklapa s kružnicom. To pokazuje vrijednost polumjera zakrivljenosti u točki A: .

Površina ispod grafa S = πa2. Izračunava se integracijom jednadžbe nad svim.

Volumen rotacijskog tijela versière oko svoje asimptote (OX osi).

Anhé Zee Maria Gaetana(Agnesi Maria Gaetana), rođ. 16.05.1718., Milano – um. 01.09.1799., ibid. Talijanski matematičar, profesor na Sveučilištu u Bologni (od 1750). Agnesijevo djelo “Osnove analize za korištenje talijanske mladeži” (“Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana”, v. 1-2, Mil., 1748.) sadrži prikaz analitičke geometrije, posebno razmatra treću krivulja reda nazvana "Agnesi curl" (ili verzier), čija je jednadžba y=a 3 / (x 2 +a 2).

Da biste konstruirali ovu liniju, trebate nacrtati kružnicu polumjera a sa središtem u točki (0, a). Zatim se iz ishodišta povuku ravne linije i obilježe dvije točke. Točka A (x1, y1) je točka presjeka pravca i kružnice, točka B (x2,2a) je točka presjeka pravca i gornje vodoravne tangente na kružnicu. Zatim se iscrtava točka krivulje (x2, y1).

Engleski matematičar John Colson preuzeo je na sebe prevođenje “Principija analize” s talijanskog. No, njemu, Europljaninu iz 18. stoljeća, nije bilo lako uočiti da je autorica knjige žena, te da se za nju, za autoricu, oblina može povezati s frizurom. Kao rezultat toga, u literaturi na engleskom jeziku krivulja je nazvana vještica Agnesi. - nešto iz oblasti letenja na Ćelu planinu...

3. Izvanredne linije četvrtog i viših reda

Linija (krivulja) četvrtog reda naziva definirana linija algebarska jednadžbačetvrta potencija u odnosu na kartezijeve pravokutne koordinate. Slično se određuju linije (krivulje) petog, šestog i ostalih reda.

Skup linija (krivulja) četvrtog reda više ne sadrži desetke, već tisuće linija određene vrste. Još su raznolikiji skupovi linija petog i šestog reda. Ovdje razmatramo određene vrste vodova četvrtog i viših reda, koji imaju zanimljiva svojstva i praktičnu primjenu.

Bernoullijeva Lemniskata

Pogledajmo krivulju koju opisuje točka M na ravnini na način da umnožak p udaljenosti te točke do dviju specifičnih točaka F 1 i F 2 iste ravnine ostane nepromijenjen. Takva se krivulja naziva lemniskata (lemniskata na grčkom znači "vrpca"). Ako je duljina segmenta F 1 F 2 c, tada su udaljenosti od sredine O segmenta F 1 F 2 do F1 i F2 jednake c/2, a umnožak tih udaljenosti jednak je c 2 /4. . Najprije zahtijevajmo da vrijednost p nepromijenjenog umnoška bude jednaka točno c 2/4; Zatim

točka O ležat će na lemniskati, a sama lemniskata će izgledati kao “ležeća osmica” (sl. 8). Nastavimo li dužinu F 1 F 2 u oba smjera dok se ne presječe s lemniskatom, dobit ćemo dvije točke A 1 i A 2. Izrazimo udaljenost između A 1 A 2 = x kroz poznatu udaljenost c:

Fokusi lemniskate su F1 (− c; 0) i F2 (c; 0). Uzmimo proizvoljnu točku M (x; y). Umnožak udaljenosti od žarišta do točke M je

I po definiciji je jednak c2:

Kvadriramo obje strane jednakosti:

Proširite zagrade na lijevoj strani:

Otvorite zagrade i presavijte novi kvadrat zbroja:

Izuzimamo zajednički faktor i prenosimo ga:

U ovom slučaju, a je radijus kružnice koja opisuje lemniskatu. Izvođenjem jednostavnih transformacija možemo dobiti eksplicitnu jednadžbu:

Kvadratiramo i otvaramo zagrade:

Prisjetimo se toga

Ovaj kvadratna jednadžba u odnosu na y". Riješivši ga, dobivamo

Uzimajući korijen i odbacujući opciju s negativnim drugim članom, dobivamo:

gdje pozitivna opcija definira gornju polovicu lemniskate, negativna - donju.

Ako vrijednost konstantnog produkta p nije jednaka c 2/4, tada će lemniskata promijeniti svoj izgled. A kada je p manji od c 2 /4, lemniskata se sastoji od dva ovala, od kojih svaki sadrži točke F 1 odnosno F 2 (slika 9).

Da. Postavljanjem različitih uvjeta za p i c 2 /4 dobit ćemo lemniskate raznih vrsta (slika 10).

Riža. 10

Uzmimo sada bilo koji broj točaka na ravnini. F 1, F 2,…, F n i pomakni točku M tako da za nju umnožak udaljenosti do svake od uzetih točaka ostane nepromijenjen. Dobit ćemo krivulju čiji će oblik ovisiti o tome kako se točke F 1, F 2,..., F n nalaze jedna u odnosu na drugu i kolika je vrijednost konstantnog umnoška. Ova se krivulja naziva lemniskata s n žarišta.

Gore smo razmatrali lemniskate s dva žarišta. Uzimanjem različitog broja žarišta, raspoređivanjem na različite načine i pripisivanjem jedne ili druge vrijednosti produktu udaljenosti, mogu se dobiti lemniskate najbizarnijih oblika. Povući ćemo vrh olovke iz određene točke A, ne dižući je s papira, tako da se na kraju vrati u početnu točku A. Zatim će opisati određenu krivulju; samo zahtijevamo da se ova krivulja nigdje ne siječe

sami. Očito se na taj način mogu dobiti krivulje koje imaju, na primjer, obris ljudske glave ili ptice (slika 11). Ispada da, imajući takvu proizvoljnu krivulju, možemo odabrati broj n i položaj žarišta ovako:

F 1, F 2,…, F n

i dodijeliti takvu vrijednost za konstantni umnožak udaljenosti

MF 1 MF 2 … MF n = str

da se odgovarajuća lemniskata okom neće razlikovati od ove krivulje. Drugim riječima, moguća odstupanja točke M, koja opisuje lemniskatu, od nacrtane krivulje neće prelaziti širinu poteza olovke (olovka se može unaprijed po želji oštriti tako da će potez biti vrlo uzak). Ova izvanredna činjenica, koja govori o iznimnoj raznolikosti i bogatstvu lemniskatnih oblika s mnogim trikovima, dokazuje se vrlo strogo, ali vrlo teško, uz pomoć više matematike.

Pascalov puž

Geometrijsko mjesto točaka M i M" koje se nalazi na ravnim linijama grede (čije središte O leži na kružnici polumjera R) na udaljenosti a s obje strane točke P sjecišta ravnih linija s krug; tj. PM = PM" = A. jednadžba u pravokutnim koordinatama: ( x 2 + y 2 - 2Rx)2 - a 2(x 2 + y 2) = 0, u polarnim koordinatama: r = 2 R cos j + A. Na a = 2R petlja se skuplja do točke, u ovom slučaju Pascalova pužnica pretvara se u kardioidu. Ime je dobio po francuskom znanstveniku B. Pascalu (1588-1651), koji ga je prvi proučavao.

Cikloidne krivulje

Zamislimo da se određena krivulja kotrlja bez klizanja duž druge krivulje; bilo koja točka uvijek povezana s prvom krivuljom opisat će novu krivulju. Dakle, možete zamisliti elipsu koja se kotrlja po drugoj elipsi i ispitati liniju duž koje će se kretati njezino središte ili odrediti putanju fokusa parabole koja se kotrlja po ravnoj liniji itd.

Među krivuljama formiranim ovom metodom postoje krivulje koje su putanje točke uvijek povezane kružnicom koja se kotrlja bez klizanja po drugoj kružnici. Rezultirajuće linije nazivaju se cikloidni.

Kada se formiraju cikloidne krivulje, točka crtanja se nalazi na određenoj udaljenosti od središta generirajuće (pokretne) kružnice. U konkretnom slučaju nalazi se na obodu generirajuće kružnice. Pod ovim uvjetom, dobivene krivulje se dijele na epicikloide i hipocikloide, ovisno o tome nalazi li se generirajuća kružnica s vanjske ili unutarnje strane stacionarne kružnice.

Algebarske krivulje uključuju tako dobro poznate krivulje kao kardioida i astroida; razmotrimo te krivulje.

Kardioida

1. Jednadžba. Kardioida se može definirati kao putanja točke koja leži na obodu kružnice polumjera r, koja se kotrlja po obodu stacionarne kružnice istog polumjera. Stoga će predstavljati epicikloidu s modulom m jednakim 1.

Ova nam okolnost omogućuje da odmah zapišemo parametarske jednadžbe kardioide, zamjenjujući modul m s jednim u prethodno danim parametarskim jednadžbama epicikloide. Imat će:

(1)

Za dobivanje polarne jednadžbe kardioida zgodno je uzeti točku A kao pol (slika 13), a polarnu os usmjeriti duž apscisne osi. Kako će četverokut AOO 1 M biti jednakokračan trapez, tada će polarni kut j točke M biti jednaka kutu rotacija generirajućeg kruga, tj. parametar t. Uzimajući u obzir tu okolnost, zamijenimo y u drugoj jednadžbi sustava (1) s r sin t. Smanjujući tako dobivenu jednakost za sin t, dobivamo polarnu jednadžbu kardioida

Prema obliku ove jednadžbe

možemo zaključiti da je kardioida jedan od Pascalovih puževa. Stoga se može definirati kao konhoida kruga.

Iz ove jednadžbe slijedi da je kardioida algebarska krivulja 4. reda.

2. Svojstva. Prije svega, budući da je kardioida epicikloida s m=1, na nju se mogu prenijeti sva svojstva epicikloide koja smo razmatrali u prethodnom paragrafu.

To su svojstva i karakteristike.

Tangenta u proizvoljnoj točki kardioida prolazi kroz točku kruga generirajućeg kruga, dijametralno suprotno od kontaktne točke krugova, a normala - kroz točku njihovog kontakta.

Kut m koji čini tangenta na kardioidu s radijus vektorom tangentne točke je jednako pola kut koji taj radijus vektor čini s polarnom osi. Stvarno

Iz ovog odnosa izravno slijedi da je kut koji tangenta na kardioidu zatvara s osi apscise jednak (kao vanjski kut trokut AMN Sl. 14). Pomoću formule možemo dokazati da su tangente na kardioidu povučene na krajevima tetive koja prolazi kroz pol međusobno okomite.

Doista, budući da

Riža. 14

Napomenimo također da je geometrijsko mjesto sjecišta ovih tangenti kružnica. Doista, jednadžba prve tangente na temelju jednadžbi (1) kardioide imat će oblik

I druga tangenta Eliminiranjem parametra iz ovih jednadžbi dobivamo jednadžbu naznačene kružnice.

Polumjer zakrivljenosti u proizvoljnoj točki kardioide određuje se formulom

Također se može pokazati da je polumjer zakrivljenosti jednak 2/3 polarne normale N u danoj točki.

Doista, odakle, na temelju (4), dobivamo ovu relaciju možemo koristiti za konstruiranje središta zakrivljenosti kardioide.

Evoluta kardioide, prema općem svojstvu epicikloidnih evoluta, također će biti kardioida slična zadanoj, s koeficijentom sličnosti jednakim 1/3, i zakrenuta u odnosu na zadanu za kut od 180°.

Duljina luka kardioide od točke A do proizvoljne točke M određena je formulom

Ako se duljina luka mjeri od točke A 1, dijametralno suprotno od točke A, tada se formula za određivanje duljine luka može napisati u obliku

(6)

Prirodna jednadžba kardioide dobiva se ako se parametar eliminira iz jednakosti (4) i (6). Izgledat će kao

(7)

Područje ograničeno kardioidom određeno je formulom

i, kao što se može vidjeti, jednaka je šesterostrukoj površini generirajućeg kruga.

Duljina cijele kardioide određena je formulom

i, kao što se vidi, jednaka je osam promjera tvorne kružnice. Volumen tijela dobivenog rotacijom kardioide oko svoje osi jednak je

Površina tijela dobivena rotacijom kardioide oko svoje osi jednaka je

Vidjeli smo da je kardioida organski povezana s krugom. Ona je konhoida kruga i epicikloida. Ima drugačiji odnos s krugom - kardioida je subera kruga u odnosu na točku koja pripada tom krugu.

Doista, neka je OM okomica spuštena na tangentu kružnice polumjera jednakog 2r povučenu u točki N.

Kako je OM = OB + BM, odnosno r == 2r cos j + 2r, tada će geometrijsko mjesto točaka M biti kardioida s jednadžbom r = 2r (1 + cos j)

Napomenimo u zaključku da kardioida također pripada obitelji sinusoidnih spirala, a njegova pojedinačna svojstva ponavljaju opća svojstva ovih krivulja. Iz ovih svojstava slijedi, posebice, da inverzija kardioide u odnosu na točku vrha daje parabolu.

Astroid

1. Svojstva. Astroida je poseban slučaj hipocikloide, odnosno hipocikloide s modulom m jednakim 1/4. Predstavlja, dakle, putanju točke koja leži na obodu kružnice polumjera r, koja se kotrlja po unutrašnjosti druge, nepokretne kružnice, čiji je polumjer R četiri puta veći.

Parametarske jednadžbe za astroide mogu se dobiti pretpostavkom hipocikloide u jednadžbama, m=1/4. Ovo su jednadžbe:

gdje je t, kao i prije, kut rotacije generirajućeg kruga (slika 16)

Isključujući parametar t iz jednadžbi (1), dobivamo:

Iz jednadžbe (2) proizlazi da je astroid algebarska krivulja 6. reda.

Parametarske jednadžbe (1) astroida mogu se svesti na oblik

(3)

Eliminiranjem parametra t iz ovih jednadžbi dobivamo često korišteni oblik jednadžbe astroida

(4)

Pretpostavljajući u prethodno izvedenim općim relacijama za cikloidne krivulje modul

m = -1/4, dobivamo odgovarajuće relacije za astroid:

) radijus zakrivljenosti u proizvoljnoj točki na astroidu određuje se formulom

(5)

) duljina astroidnog luka od točke A do proizvoljne točke M(t) određena je formulom

duljina jedne grane jednaka je, a duljina cijele krivulje 6R;

) da bismo dobili prirodnu jednadžbu astroida, prvo primijetimo da ako se ishodište duljine luka ne uzme u točku A, za koju je t = 0, već u točku za koju je t = p, tada je duljina luka određuje se formulom

isključivanjem parametra t iz jednadžbi (5) i (6) dobivamo prirodnu jednadžbu astroida

) evoluta astroida je također astroid sličan zadanom, s koeficijentom sličnosti jednakim 2, zakrenut u odnosu na zadani za kut p/4 (slika 16.)

) površina ograničena cijelim astroidom jednaka je volumenu tijela dobivenog rotacijom astroida, jednakom 32/105p R 3

površina tijela nastala rotacijom astroida jednaka je

Prijeđimo sada na razmatranje nekih posebnih svojstava astroida.

Astroida je ovojnica segmenta konstantne duljine, krajevi. koji je klizio po dvjema međusobno okomitim ravnim crtama.

Ove ravne crte uzimamo kao koordinatne osi i, označavajući kut nagiba kliznog segmenta ND=R kroz a (slika 4), imat ćemo jednadžbu ravne crte ND u obliku

Diferencirajući ovu jednadžbu s obzirom na parametar a, dobivamo:

U praksi se pomicanje ND segmenta može postići pomoću tzv. kardanskih krugova. Jedna od tih kružnica polumjera R miruje, a druga, polumjera r, upola manjeg, kotrlja se po unutarnjoj strani kružnice mirovanja. Bilo koje dvije dijametralno suprotne točke N i D kružnice koja se kotrlja gibat će se duž dva međusobno okomita promjera Ox i Oy kružnice koja miruje. Jasno je da će ovojnica promjera kružnice koja se kotrlja biti astroid.

Riža. 17

Riža. 18

Razmatrani način formiranja astroida također se može protumačiti na sljedeći način. Pravokutnik ODCN, čije dvije stranice leže na dva međusobno okomita pravca, deformira se tako da njegova dijagonala zadrži duljinu jednaku R, ovojnica dijagonale bit će astroid. Kako u ovom slučaju okomica spuštena iz vrha C na dijagonalu DN služi kao normala na ovojnicu, astroid je geometrijsko mjesto osnovica okomica spuštenih s vrha C pravokutnika na njegovu dijagonalu.

Kada ove jednadžbe izraze prethodno razmatranu ravnu astroidu.

. Neke transcendentalne linije

Transcendentalno su pravci čije jednadžbe u pravokutnim Kartezijevim koordinatama nisu algebarske. Najjednostavniji primjeri transcendentnih pravaca su grafovi funkcija y=, y= i drugih trigonometrijskih funkcija. Pogledajmo neke druge transcendentalne linije.

Arhimedova spirala

Zamislimo beskonačno dugu sekundnu kazaljku duž koje, počevši od središta brojčanika, neumorno juri malena buba konstantnom brzinom v cm/s. Za minutu buba će biti na udaljenosti od 60v cm od centra, za dvije minute - 120v, itd. Općenito, t sekundi nakon početka trčanja, udaljenost kukca od središta bit će jednaka vt cm. Tijekom tog vremena strelica će se okrenuti za kut koji sadrži 6 t° (uostalom, u jednoj sekundi uspije okrenuti za kut od 360°: 60 = 6°). Stoga se položaj bubice na ravnini brojčanika nakon bilo kojeg broja t sekundi nakon početka kretanja nalazi ovako. Potrebno je od početnog položaja strelice u smjeru njezine rotacije odvojiti kut a koji sadrži 6t°, a duž novog položaja strelice od središta izmjeriti udaljenost r = vt cm. Ovdje ćemo prestići kukac (slika 21).

Riža. 21.

Očito, odnos između kuta rotacije a strelice (u stupnjevima) i prijeđene udaljenosti r (u centimetrima) bit će sljedeći:

Drugim riječima, r je izravno proporcionalan s a, s koeficijentom proporcionalnosti k = v/6.

Pričvrstimo malu, ali neiscrpnu teglicu crne boje na naš trkač i pretpostavimo da boja, istječući kroz sićušnu rupicu, ostavlja trag na papiru od bube odnesene zajedno sa strelicom. Tada će se krivulja koju je prvi proučavao Arhimed (287. - 212. pr. Kr.) postupno pojaviti na papiru. Njemu u čast nazvana je Arhimedova spirala. Treba samo reći da Arhimed nije govorio ni o drugoj kazaljki (u to vrijeme nije bilo satova s oprugom: izumljeni su tek u 17. stoljeću) ni o bubi. Uključili smo ih ovdje radi jasnoće.

Riža. 22 sl. 23.

Arhimedova spirala sastoji se od beskonačno mnogo zavoja. Počinje u središtu brojčanika i sve se više udaljava od njega kako se broj okretaja povećava. Na sl. 22 prikazuje prvi zavoj i dio drugog.

Vjerojatno ste čuli da je korištenjem šestara i ravnala nemoguće nasumično uzeti kut podijeliti na tri jednaka dijela (u posebnim slučajevima, kada kut sadrži npr. 180°, 135° ili 90°, ovaj problem lako se rješava). Ali ako koristite pažljivo nacrtanu Arhimedovu spiralu, tada se svaki kut može podijeliti na bilo koji broj jednake dijelove.

Podijelimo npr. kut AOB na tri jednaka dijela (slika 23). Ako pretpostavimo da se strelica okrenula točno na ovaj kut, tada će se kukac nalaziti u točki N na strani kuta. Ali kada je kut rotacije bio tri puta manji, tada je buba bila tri puta bliže središtu O. Da biste pronašli ovaj položaj, prvo podijelite segment ON na tri jednaka dijela. To se može učiniti pomoću šestara i ravnala. Dobivamo segment ON 1 čija je duljina tri puta manja od ON. Da biste bubu vratili u spiralu, trebate napraviti zarez na ovoj krivulji s radijusom ON 1 (opet kompas!). Dobivamo točku M. Kut AOM bit će tri puta manji od kuta AON.

Cikloida

Prislonimo ravnalo na donji rub ploče i po njemu zarolajmo obruč ili krug (kartonski ili drveni) pritišćući ga uz ravnalo i ploču. Ako komad krede pričvrstite na obruč ili krug (na mjestu kontakta s ravnalom), kreda će nacrtati krivulju (Sl. 24), nazvanu cikloida (što na grčkom znači "kružna"). Jedan okretaj obruča odgovara jednom “luku” cikloide MM"M""N", ako se obruč kotrlja dalje, tada će se dobiti sve više i više lukova iste cikloide.

Riža. 24.

Da bismo na papiru konstruirali približno jedan luk cikloide, opisan kotrljanjem obruča promjera jednakog, na primjer, tri centimetra, nacrtajmo ga na ravnom segmentu koji iznosi 3x3,14 = 9,42 cm.

Dobijemo segment čija je duljina jednaka duljini ruba obruča, tj. duljina kruga promjera tri centimetra. Podijelimo dalje ovaj segment na određeni broj jednakih dijelova, na primjer 6, i za svaku točku dijeljenja prikazat ćemo naš obruč u njegovom položaju kada se oslanja na tu određenu točku (slika 24), numerirajući te položaje brojevima :

Oh, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Da bi se pomaknuo iz jedne pozicije u drugu, obruč se mora okrenuti za jednu šestinu punog kruga (budući da je udaljenost između susjednih točaka podjele jednaka jednoj šestini kruga). Dakle, ako je u položaju 0 kreda u točki M 0, tada će u položaju 1 ležati u točki M 1 - na jednoj šestini kruga od točke dodira, u položaju 2 - u točki M 2 - dvije šestine od točke dodira. mjesto kontakta itd. .d. Da biste dobili točke M 1, M 2, M 3 itd., trebate samo napraviti zareze odgovarajućeg kruga, počevši od dodirne točke, s polumjerom jednakim

Riža. 25.

5 cm, au poziciji 1 potreban je jedan urez, u poziciji 2 - dva ureza napravljena jedan za drugim, u poziciji 3 - tri ureza itd. Sada za crtanje cikloide preostaje samo spojiti točke

M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6

glatka krivulja (na oko).

Najkraća krivulja spuštanja

Među brojnim izvanrednim svojstvima cikloide, bilježimo jedno, zbog kojeg je zaslužila zvučno, sofisticirano ime: "brahistokrona". Ovo ime se sastoji od dvije grčke riječi koje znače "najkraće" i "vrijeme".

Razmotrite ovo pitanje: kakav oblik treba dati dobro ulaštenom metalnom oluku koji povezuje dvoje zadanih bodova A i B (slika 26.), tako da se polirana metalna kugla otkotrlja niz ovaj žlijeb od točke A do točke B u najkraćem mogućem vremenu? Na prvi pogled čini se da se trebate zaustaviti na ravnom žlijebu, jer će samo po njemu kuglica proći najkraći put od A do B. No, ne govorimo o najkraćem putu, već o najkraćem vremenu; vrijeme ne ovisi samo o duljini staze, već io brzini kojom lopta trči. Ako je padobran savijen prema dolje, tada će se njegov dio, počevši od točke A, spuštati strmije nego u slučaju ravnog padobrana, a lopta će, padajući duž njega, dobiti veću brzinu nego u dijelu iste duljine. ravnog žlijeba. Ali ako to učinite početni dio vrlo strm i relativno dugačak, tada će dio uz točku B biti vrlo ravan i također relativno dugačak; Lopta će prvi dio proći brzo, drugi vrlo sporo i lopta bi mogla kasniti u dolasku u točku B. Dakle, padobranu, očito, treba dati konkavan oblik, ali zavoj ne bi trebao biti previše značajan

Riža. 26.

Riža. 27.

Talijanski fizičar i astronom Galileo (1564-1642) smatrao je da rov najkraćeg vremena treba savijati duž kružnog luka. No švicarski matematičari braća Bernoulli prije tristotinjak godina preciznim su proračunima dokazali da to nije tako i da rov treba savijati duž luka cikloide (prevrnutog prema dolje, sl. 27.). Od tada je cikloida dobila nadimak brahistokrona, a Bernoullijevi dokazi poslužili su kao početak nove grane matematike - varijacijskog računa. Potonji se bavi pronalaženjem vrste krivulja za koje jedna ili druga veličina koja nas zanima doseže svoju minimalnu (au nekim slučajevima i najveću) vrijednost.

Logaritamska spirala

Ova bi se krivulja mogla nazvati po Descartesu, jer je prvi put spomenuta u jednom od njegovih pisama (1638). Međutim, detaljnu studiju njegovih svojstava proveo je tek pola stoljeća kasnije Jacob Bernoulli. Ova su svojstva ostavila snažan dojam na matematičare njegova vremena. Kamena ploča postavljena na grobu ovog poznatog matematičara prikazuje zavoje logaritamske spirale.

Arhimedovu spiralu opisuje točka koja se kreće duž zrake ("beskonačna strelica") tako da se udaljenost od početka zrake povećava proporcionalno kutu njezine rotacije: r = ka. Logaritamsku spiralu ćemo dobiti ako zahtijevamo da se ne sama udaljenost, već njen logaritam povećava upravno proporcionalno kutu zakreta. Obično se jednadžba logaritamske spirale piše korištenjem ne-pera broja e kao baze sustava logaritama (odjeljak 25). Ovaj logaritam broja r zove se prirodni logaritam i označava se u r. Dakle, logaritamska spiralna jednadžba se piše kao ln r = ka

Naravno, kut rotacije a još uvijek se može mjeriti u stupnjevima. Ali matematičari ga više vole mjeriti u radijanima, tj. uzmite kao mjeru kuta omjer duljine kružnog luka između stranica središnjeg kuta i polumjera tog kruga. Tada će se zaokret strelice kroz pravi kut mjeriti brojem l 1,57, zaokret za iznos rasklopljenog kuta mjerit će se brojem l 3,14, a potpuni zaokret, mjeren u stupnjevima, brojem 360, mjerit će se u radijanima brojem 2 l 6.28.

Riža. 28.

Od mnogih svojstava logaritamske spirale, bilježimo jedno: svaka zraka koja izlazi od početka siječe bilo koji zavoj spirale pod istim kutom. Veličina ovog kuta ovisi samo o broju k u jednadžbi spirale. U ovom slučaju, kut između zrake i spirale razumijeva se kao kut između ove zrake i tangente na spiralu povučene u sjecištu (slika 28).

Zaključak

Pri razmatranju krivulja trećeg i četvrtog reda

upoznali smo se s nekim doista izvanrednim oblinama koje obitavaju nevjerojatan svijet analitičke geometrije, koji se u našim životima pojavljuju mnogo češće nego što se čini. Ispitali smo njihovu praktičnu primjenu u životu čovjeka, značaj njihovih izvanrednih svojstava u raznim mehanizmima kojima se čovjek služi u životu. U ovom smo radu prikupili materijal s fokusom na praktičnu konstrukciju krivulja.

Dakle, zadani cilj je postignut i zadaci identificirani prema cilju su riješeni.

Književnost

line order transcendentalna spirala

1. Markushevich A.I. Divne obline. - M.: Krasnoproletarskaya, 1951. -23 str.; 1978., - 48 str. sa ilustr.

Povijest matematike od antičkih vremena do početkom XIX stoljeća / Ed. A.P. Juškevič. - M.: Nauka, 1970, svezak 1. - 352 str.; 1970, vol. 2. - 300 str.; 1972, svezak 3 - 496 str.

Nikiforovski V.A., Freiman L.S. Rođenje nove matematike. - M.: Nauka, 1976. - 198 str.

Savelov A.A. Ravne krivulje. - M.: Fizmatgiz, 1960. - 294 str.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija. - M.: Nauka, 1971. - 232 str.

Tyshkevich R.I., Fedenko A.S. Linearna algebra i analitička geometrija. - 2. izd. - Minsk: Vyš. škola, 1976.544 str.

Krivulja ili linija je geometrijski koncept koji se različito definira u različitim dijelovima.

KRIVULJA (crta), trag koji ostavlja pokretna točka ili tijelo. Obično se krivulja predstavlja samo kao glatko zakrivljena linija, poput parabole ili kruga. Ali matematički koncept krivulje pokriva i ravnu liniju i figure sastavljene od ravnih segmenata, na primjer, trokut ili kvadrat.

Krivulje se mogu podijeliti na ravninske i prostorne. Ravna krivulja, kao što je parabola ili ravna crta, nastaje presjekom dviju ravnina ili ravnine i tijela i stoga u potpunosti leži u jednoj ravnini. Prostorna krivulja, npr. zavojnica u obliku zavojne opruge, ne može se dobiti kao sjecište neke plohe ili tijela s ravninom i ne leži u istoj ravnini. Krivulje se također mogu podijeliti na zatvorene i otvorene. Zatvorena krivulja, poput kvadrata ili kruga, nema krajeva, tj. pokretna točka koja stvara takvu krivulju periodički ponavlja svoju putanju.

Krivulja je geometrijsko mjesto ili skup točaka koje zadovoljavaju neki matematički uvjet ili jednadžbu.

Na primjer, krug je geometrijsko mjesto točaka na ravnini koje su jednako udaljene od dane točke. Krivulje definirane algebarskim jednadžbama nazivaju se algebarske krivulje.

Na primjer, jednadžba pravca y = mx + b, gdje je m – nagib, a b je segment odsječen na y-osi, algebarski.

Krivulje čije jednadžbe sadrže transcendentne funkcije, kao što su logaritmi ili trigonometrijske funkcije, nazivaju se transcendentalne krivulje.

Na primjer, y = log x i y = tan x su jednadžbe transcendentalnih krivulja.

Oblik algebarske krivulje može se odrediti stupnjem njezine jednadžbe, koji se podudara s najvišim stupnjem članova jednadžbe.

Ako je jednadžba prvog stupnja, npr. Ax + By + C = 0, tada krivulja ima oblik ravne linije.

Ako je jednadžba drugog stupnja npr.

Ax 2 + By + C = 0 ili Ax 2 + By 2 + C = 0, tada je krivulja kvadratna, tj. predstavlja jedan od konusnih presjeka; Ove krivulje uključuju parabole, hiperbole, elipse i krugove.

Nabrojimo opće oblike jednadžbi konusnih presjeka:

x 2 + y 2 = r 2 - krug,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - elipsa,

y = sjekira 2 - parabola,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - hiperbola.

Krivulje koje odgovaraju jednadžbama treće, četvrte, pete, šeste itd. stupnjevi nazivaju se krivulje treće, četvrte, pete, šeste itd. narudžba. Općenito, što je viši stupanj jednadžbe, to će otvorena krivulja imati više zavoja.

Mnoge složene krivulje dobile su posebna imena.

Cikloida je ravna krivulja opisana fiksnom točkom na kružnici koja se kotrlja po ravnoj liniji koja se naziva generator cikloide; cikloida se sastoji od niza lukova koji se ponavljaju.

Epicikloida je ravna krivulja opisana fiksnom točkom na kružnici koja se kotrlja po drugoj fiksnoj kružnici izvan nje.

Hipocikloida je ravna krivulja opisana fiksnom točkom na kružnici koja se kotrlja iznutra po fiksnoj kružnici.

Spirala je ravna krivulja koja se odmotava, zavoj po zavoj, iz fiksna točka(ili vijke na njega).

Matematičari proučavaju svojstva krivulja od davnina, a imena mnogih neobičnih krivulja povezana su s imenima onih koji su ih prvi proučavali. To su npr. Arhimedova spirala, Agnesijev uvojak, Dioklejeva cisoida, Nikomedova kohoida i Bernulijeva lemniskata.

U okviru elementarne geometrije, pojam krivulje ne dobiva jasnu formulaciju i ponekad se definira kao "duljina bez širine" ili kao "granica figure". U osnovi, u elementarnoj geometriji, proučavanje krivulja se svodi na razmatranje primjera (, , , i tako dalje.). U nedostatku općih metoda, elementarna je geometrija dosta duboko prodrla u proučavanje svojstava specifičnih krivulja (, nekiI također), koristeći posebne tehnike u svakom slučaju.

Najčešće se krivulja definira kao kontinuirano preslikavanje iz segmenta u:

Istodobno, krivulje mogu biti različite, čak i ako jesupodudarati se. Takve krivulje nazivaju separametrizirane krivuljeili ako[ a , b ] = , načine.

Ponekad je krivulja određena do , tj. do minimalne relacije ekvivalencije tako da parametarske krivulje

su ekvivalentni ako postoji kontinuirani (ponekad neopadajući) h iz segmenta [ a 1 ,b 1 ] po segmentu [ a 2 ,b 2 ], tako da

One definirane ovim odnosom jednostavno se nazivaju krivulje.

Analitičke definicije

U tečajevima analitičke geometrije dokazano je da među linijama napisanim u kartezijevim pravokutnim (ili čak općim afinim) koordinatama opća jednadžba drugi stupanj

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(gdje je barem jedan od koeficijenata A, B, C različit od nule) nalazi se samo sljedećih osam vrsta linija:

a) elipsa;

b) hiperbola;

c) parabola (nedegenerirane krivulje drugog reda);

d) par linija koje se sijeku;

e) par paralelnih pravaca;

f) par podudarnih pravaca (jedna ravna linija);

g) jedna točka (degenerirane linije drugog reda);

h) "pravac" koji uopće ne sadrži točke.

Obrnuto, bilo koja linija svake od osam naznačenih vrsta zapisana je u kartezijevim pravokutnim koordinatama nekom jednadžbom drugog reda. (Na tečajevima analitičke geometrije obično se govori o devet (a ne osam) vrsta konusnih presjeka, jer razlikuju "zamišljenu elipsu" i "par zamišljenih paralelnih pravaca" - geometrijski te su "pravci" isti, budući da obje rade ne sadrže niti jednu točku, ali su analitički zapisani različitim jednadžbama.) Prema tome (degenerirane i nedegenerirane) konusni presjeci također se mogu definirati kao linije drugog reda.

Ukrivulja na ravnini je definirana kao skup točaka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbuF ( x , g ) = 0 . Istovremeno, za funkcijuF nameću se ograničenja koja jamče da ova jednadžba ima beskonačan broj divergentnih rješenja i

ovaj skup rješenja ne ispunjava “komad ravnine”.

Algebarske krivulje

Važna klasa krivulja su one za koje funkcijaF ( x , g ) Tamo jeiz dvije varijable. U ovom slučaju, krivulja definirana jednadžbomF ( x , g ) = 0 , nazvao.

Algebarske krivulje definirane jednadžbom 1. stupnja su .

Jednadžba 2. stupnja, koja ima beskonačan broj rješenja, određuje , odnosno degenerirana i nedegenerirana.

Primjeri krivulja definiranih jednadžbama 3. stupnja: , .

Primjeri krivulja 4. stupnja: i.

Primjer krivulje 6. stupnja: .

Primjer krivulje definirane jednadžbom čak stupanj: (multifokalno).

Algebarske krivulje definirane jednadžbama više stupnjeve, raspravlja se u . Istodobno, njihova teorija postaje skladnija ako se razmatranje nastavi dalje. U ovom slučaju algebarska krivulja određena je jednadžbom oblika

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Gdje F- polinom od tri varijable koje su točke.

Vrste krivulja

Ravninska krivulja je krivulja u kojoj sve točke leže u istoj ravnini.

(jednostavna linija ili Jordanov luk, također kontura) - skup točaka ravnine ili prostora koje su u međusobnoj i međusobnoj neprekidnoj korespondenciji s segmentima linije.

Put je segment u .

analitičke krivulje koje nisu algebarske. Točnije, krivulje koje se mogu definirati kroz liniju razine analitičke funkcije (ili, u višedimenzionalnom slučaju, sustava funkcija).

Sinusni val,

Cikloida,

Arhimedova spirala,

Traktor,

lančana linija,

Hiperbolička spirala itd.

Metode za definiranje krivulja:

analitički – krivulja je dana matematičkom jednadžbom;

grafički – krivulja je vizualno određena na grafičkom nosaču informacija;

tablični – krivulja je određena koordinatama sekvencijalnog niza točaka.

parametarski (najčešći način određivanja jednadžbe krivulje):

Gdje - glatke funkcije parametarat, i

(x") 2 + (g") 2 + (z") 2 > 0 (uvjet regularnosti).

Često je zgodno koristiti invarijantnu i kompaktnu reprezentaciju jednadžbe krivulje koristeći:

gdje se na lijevoj strani nalaze točke krivulje, a desna strana određuje njezinu ovisnost o nekom parametru t. Proširujući ovaj unos u koordinate, dobivamo formulu (1).

Cikloida.

Povijest proučavanja cikloide povezana je s imenima velikih znanstvenika, filozofa, matematičara i fizičara kao što su Aristotel, Ptolomej, Galileo, Huygens, Torricelli i drugi.

Cikloida(izκυκλοειδής - okrugli) -, koji se može definirati kao putanja točke koja leži na granici kružnice koja se kotrlja bez klizanja po ravnoj liniji. Ovaj krug se naziva generirajući.

Jedna od najstarijih metoda oblikovanja krivulja je kinematička metoda, u kojoj se krivulja dobiva kao putanja točke. Krivulja koja se dobije kao putanja točke fiksirane na kružnici koja se kotrlja bez klizanja po ravnoj liniji, po kružnici ili drugoj krivulji naziva se cikloidna, što se prevodi sa grčki jezik znači kružno, podsjeća na krug.

Razmotrimo prvo slučaj kada se kružnica kotrlja po ravnoj liniji. Krivulja opisana točkom fiksiranom na kružnici koja se kotrlja bez klizanja po ravnoj liniji naziva se cikloida.

Neka se kružnica polumjera R kotrlja po ravnoj liniji a. C je točka fiksirana na kružnici, u početnom trenutku vremena koja se nalazi u poziciji A (slika 1). Nacrtajmo na pravac a dužinu AB jednaku duljini kruga, tj. AB = 2 π R. Točkama A1, A2, ..., A8 = B podijelite ovaj segment na 8 jednakih dijelova.

Jasno je da kada kružnica, kotrljajući se po ravnoj liniji a, napravi jedan krug, tj. rotira za 360, tada će zauzeti položaj (8), a točka C će se pomaknuti iz položaja A u položaj B.

Ako krug napravi pola punog kruga, tj. okrene se za 180, tada će zauzeti položaj (4), a točka C će se pomaknuti u najviši položaj C4.

Ako kružnica rotira za kut od 45, kružnica će se pomaknuti u poziciju (1), a točka C će se pomaknuti u poziciju C1.

Slika 1 također prikazuje druge točke cikloide koje odgovaraju preostalim kutovima rotacije kružnice, višekratnicima od 45.

Spajanjem konstruiranih točaka glatkom krivuljom dobivamo presjek cikloide koji odgovara jednom punom okretaju kružnice. Kod sljedećih okretaja dobit će se isti presjeci, tj. Cikloida će se sastojati od dijela koji se periodički ponavlja i naziva se luk cikloide.

Obratimo pozornost na položaj tangente na cikloidu (slika 2). Ako biciklist vozi po mokroj cesti, tada će kapljice koje silaze s kotača letjeti tangencijalno na cikloidu i, u nedostatku štitnika, mogu poprskati leđa biciklista.

Prva osoba koja je proučavala cikloidu bio je Galileo Galilei (1564. – 1642.). Smislio je i njegovo ime.

Svojstva cikloide:

Cikloid ima niz izvanrednih svojstava. Spomenimo neke od njih.

Svojstvo 1. (Ledena planina.) Godine 1696. I. Bernoulli postavio je problem pronalaženja krivulje najstrmijeg spusta, ili, drugim riječima, problem kakav bi trebao biti oblik ledenog tobogana da bi se otkotrljao niz njega i napravio putovanje od početne točke A do krajnje točke B u najkraćem vremenu (slika 3, a). Željena krivulja je nazvana "brachistochrone", tj. krivulja najkraćeg vremena.

Jasno je da je najkraći put od točke A do točke B segment AB. Međutim, s ovim ravno kretanje brzina se polako povećava, a vrijeme utrošeno na spuštanje ispada da je veliko (slika 3, b).

Što je nizbrdica strmija, brzina se brže povećava. Međutim, kod strmog nizbrdice, staza duž zavoja se produljuje, a time i vrijeme koje je potrebno da se završi.

Među matematičarima koji su riješili ovaj problem bili su: G. Leibniz, I. Newton, G. L'Hopital i J. Bernoulli. Dokazali su da je željena krivulja obrnuta cikloida (slika 3, a). Metode koje su ti znanstvenici razvili u rješavanju problema brahistokrone postavile su temelje za novi smjer u matematici - varijacijski račun.

Svojstvo 2. (Sat s njihalom.) Sat s običnim njihalom ne može točno raditi, jer period titranja njihala ovisi o njegovoj amplitudi: što je amplituda veća, to je period veći. Nizozemski znanstvenik Christiaan Huygens (1629. – 1695.) pitao se kakvu krivulju treba slijediti kuglica na niti njihala da period njezinih oscilacija ne ovisi o amplitudi. Imajte na umu da je kod običnog njihala krivulja po kojoj se giba kuglica kružnica (slika 4).

Pokazalo se da je krivulja koju smo tražili obrnuta cikloida. Ako se npr. napravi jarak u obliku obrnute cikloide i po njemu se lansira lopta, tada period gibanja lopte pod utjecajem gravitacije neće ovisiti o njenom početnom položaju i amplitudi (sl. 5. ). Zbog ovog svojstva, cikloida se također naziva "tautokrona" - krivulja jednakih vremena.

Huygens je napravio dvije drvene daske s rubovima u obliku cikloide, ograničavajući kretanje niti s lijeve i desne strane (slika 6). U tom slučaju, sama lopta će se kretati duž obrnute cikloide i, stoga, period njezinih oscilacija neće ovisiti o amplitudi.

Iz ovog svojstva cikloide, naime, proizlazi da bez obzira s kojeg mjesta na ledenom toboganu u obliku obrnute cikloide započnemo spuštanje, do krajnje točke ćemo provesti isto vrijeme.

Cikloidna jednadžba

1. Prikladno je jednadžbu cikloide napisati u smislu α - kuta rotacije kruga, izraženog u radijanima; imajte na umu da je α također jednak putanji koju prijeđe generirajuća kružnica u ravnoj liniji.

x=rα– r grijeh α

y=r – r cos α

2. Uzmimo horizontalnu koordinatnu os kao ravnu liniju duž koje se kotrlja generirajuća kružnica polumjera r.

Cikloida se opisuje parametarskim jednadžbama

x = rt – r grijeh t,

g = r – r cos t.

Jednadžba u:

Cikloida se može dobiti rješavanjem diferencijalne jednadžbe:

Iz priče o cikloidi

Prvi znanstvenik koji je obratio pažnju na cikloiduV, ali ozbiljno istraživanje ove krivulje počelo je tek godine.

Prva osoba koja je proučavala cikloidu bio je Galileo Galilei (1564-1642), slavni talijanski astronom, fizičar i pedagog. Također je smislio naziv "cikloid", što znači "podsjeća na krug". Sam Galileo nije ništa napisao o cikloidi, ali njegov rad u tom pravcu spominju Galilejevi učenici i sljedbenici: Viviani, Toricelli i drugi. Toricelli, poznati fizičar i izumitelj barometra, mnogo je vremena posvetio matematici. Tijekom renesanse nije bilo znanstvenika uskih specijalista. Talentirani čovjek studirao je filozofiju, fiziku i matematiku i posvuda je dobivao zanimljive rezultate i dolazio do velikih otkrića. Nešto kasnije od Talijana, Francuzi su preuzeli cikloidu, nazvavši je "rulet" ili "trohoid". Godine 1634. Roberval - izumitelj poznatog sustava ljestvica - izračunao je površinu omeđenu lukom cikloide i njezinom bazom. Značajnu studiju cikloide proveo je Galilejev suvremenik. Među , odnosno krivulje čija se jednadžba ne može napisati u obliku x , g, cikloida je prva od proučavanih.

Pisao o cikloidi:

Rulet je linija koja je toliko uobičajena da nakon ravne linije i kruga ne postoji linija koja se češće susreće; toliko se često ocrtava pred svačijim očima da čovjek mora biti iznenađen što ga stari nisu uzeli u obzir... jer to nije ništa više od staze opisane u zraku čavlom kotača.

Nova krivulja brzo je stekla popularnost i podvrgnuta je dubinskoj analizi, koja je uključivala, , Newton,, braća Bernoulli i druge svjetiljke znanosti 17.-18. stoljeća. Na cikloidu su se metode koje su se pojavile tih godina aktivno brusile. Činjenica da se analitičko proučavanje cikloide pokazalo jednako uspješnim kao i analiza algebarskih krivulja ostavila je veliki dojam i postala važan argument u korist “jednakog prava” algebarskih i transcendentalnih krivulja. Epicikloid

Neke vrste cikloida

Epicikloid - putanja točke A, koja leži na kružnici promjera D, koja se kotrlja bez klizanja duž kružnice vodilice polumjera R (vanjski kontakt).

Konstrukcija epicikloide izvodi se u sljedećem nizu:

Iz središta 0 povucite pomoćni luk polumjera jednakog 000=R+r;

Iz točaka 01, 02, ...012, kao iz središta, povući kružnice radijusa r dok se ne sijeku s pomoćnim lukovima u točkama A1, A2, ... A12, koje pripadaju epicikloidi.

hipocikloida

Hipocikloida je putanja točke A koja leži na kružnici promjera D, koja se bez klizanja kotrlja po kružnici vodeći polumjera R (unutarnja tangencija).

Konstrukcija hipocikloide izvodi se u sljedećem nizu:

Generatorna kružnica polumjera r i usmjeravajuća kružnica polumjera R nacrtane su tako da se dodiruju u točki A;

Generirajuća kružnica se podijeli na 12 jednakih dijelova, dobiju se točke 1, 2, ... 12;

Iz središta 0 povucite pomoćni luk polumjera jednakog 000=R-r;

Središnji kut a određuje se formulom a =360r/R.

Podijelite luk vodeće kružnice, ograničen kutom a, na 12 jednakih dijelova, dobivajući točke 11, 21, ...121;

Iz središta 0 povlače se ravne linije kroz točke 11, 21, ...121 dok se ne sijeku s pomoćnim lukom u točkama 01, 02, ...012;

Iz središta 0 povlače se pomoćni lukovi kroz razdjelne točke 1, 2, ... 12 generirajuće kružnice;

Iz točaka 01, 02, ...012, kao iz središta, povucite kružnice polumjera r dok se ne sijeku s pomoćnim lukovima u točkama A1, A2, ... A12, koje pripadaju hipociklodi.

Kardioida.

Kardioida ( καρδία - srce, Kardioida je poseban slučaj. Termin "kardioida" uveo je Castillon 1741. godine.

Ako za pol uzmemo kružnicu i točku na njoj, tada ćemo dobiti kardioidu samo ako ucrtamo segmente jednake promjeru kružnice. Za druge veličine deponiranih segmenata, konhoidi će biti izduženi ili skraćeni kardioidi. Ove izdužene i skraćene kardioide inače se nazivaju Pascalove pužnice.

Kardioid ima različite primjene u tehnologiji. Kardioidni oblici se koriste za izradu ekscentra i brega za automobile. Ponekad se koristi pri crtanju zupčanika. Osim toga, koristi se u optičkoj tehnici.

Svojstva kardioide

kardioid -B M na pokretnoj kružnici opisat će zatvorenu putanju. Ova ravna krivulja naziva se kardioida.

2) Kardioida se može dobiti i na drugi način. Označite točku na kružnici OKO a iz njega povucimo gredu. Ako iz točke A sjecište ove zrake s kružnicom, nacrtajte segment ujutro, duljina jednaka promjeru kružnice, a zraka se okreće oko točke OKO, zatim točka M kretat će se duž kardioide.

3) Kardioida se također može prikazati kao krivulja tangenta na sve kružnice čiji su centri u danoj kružnici i prolaze kroz njezinu fiksnu točku. Kada se konstruira nekoliko krugova, čini se da je kardioida konstruirana sama od sebe.

4) Postoji također jednako elegantan i neočekivan način da se vidi kardioida. Na slici možete vidjeti točkasti izvor svjetlosti na kružnici. Nakon što se svjetlosne zrake prvi put reflektiraju od kružnice, putuju tangentno na kardioidu. Zamislite sada da je krug rubovi šalice; jaka žarulja se reflektira u jednoj točki. Crna kava se ulijeva u šalicu, omogućujući vam da vidite svijetle reflektirane zrake. Kao rezultat toga, kardioida je istaknuta zrakama svjetlosti.

Astroid.

Astroid (od grčkog astron - zvijezda i eidos - pogled), ravna krivulja opisana točkom na kružnici koja iznutra dodiruje fiksnu kružnicu četverostrukog polumjera i kotrlja se po njoj bez klizanja. Spada u hipocikloide. Astroida je algebarska krivulja 6. reda.

Astroid.

Duljina cijelog astroida jednaka je šest polumjera nepomične kružnice, a njime ograničena površina iznosi tri osmine nepomične kružnice.

Segment tangente na astroidu, zatvoren između dva međusobno okomita radijusa fiksne kružnice nacrtane u točkama astroida, jednak radijusu fiksni krug, bez obzira na to kako je točka odabrana.

Svojstva astroida

Postoje četirikaspa .

Duljina luka od točke 0 do ovojnice

obitelji segmenata konstantne duljine, čiji se krajevi nalaze na dvije međusobno okomite linije.

Astroid je 6. reda.

Astroidne jednadžbe

Jednadžba u kartezijevim pravokutnim koordinatama:| x | 2 / 3 + | y | 2/3 = R 2/3parametarska jednadžba:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Metoda konstruiranja astroida

Nacrtamo dvije međusobno okomite ravne crte i nacrtamo niz dužinskih odsječakaR , čiji krajevi leže na ovim linijama. Slika prikazuje 12 takvih segmenata (uključujući segmente samih međusobno okomitih ravnih linija). Što više segmenata nacrtamo, točniju ćemo krivulju dobiti. Konstruirajmo sada ovojnicu svih ovih segmenata. Ova omotnica će biti astroid.

Zaključak

U radu su navedeni primjeri problema s različitim tipovima krivulja, definiranih različitim jednadžbama ili zadovoljavanjem nekog matematičkog uvjeta. Konkretno, cikloidne krivulje, metode njihova definiranja, različite metode konstrukcije, svojstva tih krivulja.

Svojstva cikloidnih krivulja vrlo se često koriste u mehanici kod prijenosnika, što značajno povećava čvrstoću dijelova u mehanizmima.

- (od grčkog astron star i eidos view) ravna krivulja opisana točkom na kružnici koja dodiruje iznutra fiksnu kružnicu četiri puta većeg radijusa i kotrlja se po njoj bez klizanja. Spada u hipocikloide. Algebarski astroid... ... Velik enciklopedijski rječnik

Imenica, broj sinonima: 1 krivulja (56) Rječnik sinonima ASIS. V.N. Trishin. 2013… Rječnik sinonima

- (od grčkog ástron zvijezda i éidos pogled), ravna krivulja opisana točkom na kružnici koja iznutra dodiruje fiksnu kružnicu četiri puta većeg radijusa i kotrlja se po njoj bez klizanja. Spada u hipocikloide. Astroid...... enciklopedijski rječnik

- (astro... grč. eidos pogled) mat. ravna krivulja opisana točkom na kružnici koja se kotrlja bez klizanja po unutrašnjosti druge, stacionarne kružnice s radijusom četiri puta većim od polumjera prve; izgleda kao četverokraka zvijezda. Novi rječnik … Rječnik stranih riječi ruskog jezika

Ravna algebarska krivulja ti ro reda, do ruba, opisana je točkom kružnice polumjera r, koja se kotrlja po unutarnjoj strani kružnice polumjera R = 4r; hipocikloida s modulom r=4. Jednadžba u kartezijevim pravokutnim koordinatama: parametarska. jednadžbe... Matematička enciklopedija

Zašto je naš svijet lijep? Jer oblici i boje žive prirode uvelike slijede opće zakone harmonije, otkrivene strogom matematičkom analizom. Proučavajući prirodu, u njoj nalazimo sve više estetskih značajki, koje se u pravilu ne otkrivaju odmah, već nakon detaljne matematičke analize.

Osoba razlikuje predmete oko sebe po obliku. Zanimanje za oblik predmeta može biti diktirano životnom potrebom ili može biti uzrokovano ljepotom oblika. Forma čija se konstrukcija temelji na spoju simetrije i zlatnog reza pridonosi najboljoj vizualnoj percepciji i pojavi osjećaja ljepote i sklada.

Cjelina se uvijek sastoji od dijelova, dijelovi različitih veličina su u određenom međusobnom odnosu i prema cjelini. Načelo zlatnog reza najviša je manifestacija strukturalne i funkcionalne savršenosti cjeline i njezinih dijelova u umjetnosti, znanosti, tehnici i prirodi.

Pri korištenju zakona prirodne geometrije u novoj situaciji, za proučavanje kolegija iz predmeta povezanih s geometrijske konstrukcije, promišljamo ono što smo naučili geometrijski zakoni, razvijamo geometrijsku intuiciju.

U procesu izvođenja kreativnih zadataka različitih sadržaja upoznali smo se s mogućim područjima primjene geometrijsko znanje(umjetnici, arhitekti, dizajneri itd.).

Grafička sredstva prikazivanja informacija koriste se u svim sferama društva. Imaju cjelovitu sliku, karakteriziraju ih simbolizam, kompaktnost i relativna lakoća čitanja. Upravo te kvalitete grafičkih slika određuju njihovu proširenu upotrebu. U bliskoj budućnosti više od polovice prezentiranih informacija bit će prikazano grafički. Razvoj teorijske osnove nacrtna geometrija, inženjerska grafika i druge srodne znanosti proširile su metode dobivanja grafičkih slika. Uz ručne metode generiranja grafičkih slika i izrade projektne dokumentacije sve više se koriste računalne metode. Korištenje novih informacijskih tehnologija osigurava stvaranje, uređivanje, pohranu i replikaciju grafičkih slika pomoću različitih programskih alata.

I. Osnove algebarskih krivulja

1. Astroida

Astroida (od grčkog >-zvijezda) je krivulja opisana točkom na pokretnoj kružnici koja iznutra dodiruje nepomičnu kružnicu četverostrukog radijusa i kotrlja se po njoj bez klizanja. Područje ograničeno astroidom je jedna osmina površine fiksnog kruga, a ukupna duljina astroida jednaka je šesterostrukom radijusu ovog kruga.

Jednadžba astroida u kartezijevim pravokutnim koordinatama:

x + y = R.

Astroidni graf konstruiran je na > sljedeći način:

:: Konstruiran graf funkcije za y > 0 (polumjer R = 5);

:: Konstruirao graf funkcije.

2. Kardioida

Kardioida (od grčkog >-srce i eidos-pogled) je ravna krivulja opisana fiksnom točkom na kružnici, koja s vanjske strane dodiruje nepokretnu kružnicu istog polumjera i kotrlja se po njoj bez klizanja. Krivulja je dobila ime zbog svoje sličnosti sa srcem.

Konstrukcija kardioidnih grafova također je izvedena u >.

3. Nefroid

Nefroid (od grčkog hephros-bubreg, eidos-vrsta) je krivulja koja je opisana fiksnom točkom kružnice koja se kotrlja izvana po dvostruko većoj kružnici. Svojstva nefroida prvi je proučavao u 17. stoljeću saski plemić E. V. Tschirnhaus. Nefroid se sastoji od dvije kardioide.

4. Pascalov puž.

Pascalov puž je ravna algebarska krivulja. Ime je dobio po Etienneu Pascalu (ocu Blaisea Pascala), koji ga je prvi ispitao. Jednadžba u polarnim koordinatama. Kada je l = 2a, dobije se kardioida.

II. Primjena matematičko modeliranje.

1. Povijest stvaranja string grafike

Grafika niti (ili izonit) su grafička slika, izrađen na poseban način s nitima na kartonu ili drugoj čvrstoj podlozi. Grafika niti ponekad se naziva i izografijom ili vezom na kartonu.

Izraz > (grafika niti ili izonit) koristi se u Rusiji, u zemljama engleskog govornog područja koristi se izraz - vez na papiru, u zemljama njemačkog govornog područja - izraz.

Nitasta grafika, kao vrsta dekorativne i primijenjene umjetnosti, prvi put se pojavila u Engleskoj u 17. stoljeću. Engleski tkalci smislili su poseban način tkanja niti. Zabijali su čavle u daske i navlačili konce na njih određenim redoslijedom. Rezultat su bili proizvodi od ažurne čipke koji su korišteni za ukrašavanje doma. (Pojavila se verzija da su ti radovi bili neka vrsta skica za uzorke na tkanini). Moderni potrošni materijali omogućuju dobivanje vrlo impresivnih proizvoda.

Uz izvornu tehniku niti grafike, postoji još jedan smjer dizajna niti - vez na kartonu (izokonac) istim tehnikama (tehnika popunjavanja kutova i krugova).

Zanimanje za filamentnu grafiku se pojavilo pa nestalo. Jedan od vrhunaca popularnosti bio je krajem 19. stoljeća. Objavljene su knjige o ručnom radu koje su opisivale neobičan način vezenja na papiru, jednostavan i lak, dostupan djeci. U radu su korištene perforirane kartice ( gotove šablone) i tehnika popunjavanja kuta, uboda >, > (za vez krivulja). Uz minimalna sredstva, svatko (a što je najvažnije djeca) mogao je napraviti otmjene suvenire za blagdane.

Sada se ova umjetnost prakticira u mnogim zemljama svijeta.

U našoj zemlji postoji malo informacija o izokoncima, uglavnom u informativne svrhe: pojedinačne objave u časopisima > Godine 1995. objavljena je knjiga profesora iz Minska G. A. Branitskog > i knjiga M. I. Nagibina > s malim poglavljem o izokoncima. .

Nakon analize dostupnih informacija, uspjeli smo saznati da su mnoge knjige objavljene o ovoj vrsti ručnog rada u obliku korak-po-korak uputa i albuma ideja, u kojima se posvuda koristi samo reproduktivna metoda rada.

Prednost izonit je što se brzo radi i možete smisliti mnogo zanimljivih uzoraka. Ova vrsta kreativnosti razvija maštu, oko, fine motoričke sposobnosti prstiju, umjetničke sposobnosti i estetski ukus. Tehnikom grafike niti možete izraditi ne samo ukrasne panoe, već i čestitke, naslovnice za suvenire i oznake.

Izonit (grafika niti ili dizajn niti) može imati nekoliko smjerova:

1) reproduktivna metoda: rad prema predlošku, upute korak po korak, distribucija gotovih uzoraka i pribora za vezenje

2) djelomično pretraživanje (projekt): učenje računanja na kartonu (tj. stvaranje vlastitih remek-djela), traženje vlastitih tehnika i kombinacija, "igranje" s pozadinom, nitima - s materijalom izvedbe

3) kombinirano - kada sve počinje s "ABC", radimo s gotovim dijagramima, ali mijenjamo vrstu materijala (boju) i dolazimo do "remek-djela".

2. Osnovne tehnike string grafike

Konacna grafika poznata je i pod drugim nazivima: izonit (tj. slika s koncem), grafički vez. Za svladavanje tehnike dovoljno je znati kako se ispunjavaju kut, krug i luk.

Tehnika 1. Ispunjavanje kuta.

Na poleđini kartona nacrtajte kut i svaku stranicu podijelite na jednak broj dijelova. Točke probušimo iglom ili tankim šilom, uvučemo konac u iglu i ispunimo prema shemi.

Tehnika 2. Ispunjavanje kruga.

Nacrtajmo krug šestarom. Podijelimo ga na 12 jednakih dijelova i ispunimo prema dijagramu.

Tehnika 3. Ispunjavanje luka.

Nacrtajmo luk, podijelimo ga na jednake dijelove i napravimo bušilice na mjestima podjele. Uvucite konac u iglu i ispunite prema dijagramu

III. Istraživački rad.

Konstrukcije u programu >.

Zadatak 1. Dijeljenje segmenta na n jednakih dijelova.

Rješenje 1. Podjela na 2, 4, 8, 16 itd. dijelova izvedena je u > konstruiranjem središta isječka.

Rješenje 2. Također smo izvršili podjelu segmenta na proizvoljan broj dijelova pomoću Thalesovog teorema.

Zadatak 2. Dijeljenje kruga na 6, 12, 24 dijela.

Rješenje 1. Tražili smo različite načine da krug podijelimo na dijelove. U programu > nacrtali smo kružnicu, postavili točke nasumičnim redoslijedom, izmjerili dobivene kutove, a zatim > pomicali točke po kružnici dok se ne dobije željena vrijednost. Bio je to monoton i nezanimljiv posao. Pogreška prve podjele na 12 dijelova bila je + 0,15 cm u duljini tetiva. Počeli smo analizirati situaciju i tražiti optimalne načine rješavanja problema. Kao rezultat toga, pronašli smo nekoliko rješenja za podjelu kruga na 6, 12, 24 dijela.

Rješenje 2. Na kružnici označite 6 točaka, izmjerite sve kutove, poravnajte točke tako da svaki kut bude jednak 60 [o]. Zatim smo pomoću programa nacrtali simetrale svakog kuta. Rezultat je bila podjela na 12 dijelova. A da bismo podijelili na 24 dijela, ponovno smo nacrtali simetrale dobivenih kutova. Ispostavilo se da je pogreška ove konstrukcije +0,01 stupanj.

Rješenje 3. Pomoću programa izgradili smo 3 kruga istog radijusa (koristeći kopiranje), spojili ih kao što je prikazano na slici. Označite sjecišta kružnica. Izmjerili smo dobivene kutove, pokazalo se da su jednaki 60 [o]. Zatim smo konstruirali simetrale kutova za dijeljenje na 12 i 24 dijela. Greška takvog rješenja je nula.

Zadatak 3. Dijeljenje kruga na 9, 18, 36 dijelova.

Pronašavši optimalan način rješavanja prethodnog problema, na sličan smo način počeli tražiti načine da krug podijelimo na 9, 18 i 36 dijelova. Podjela na 18 i 36 dijelova može se izvršiti tek nakon konstruiranja 9 točaka, koristeći konstrukciju simetrala.

Riješenje. 360 [o] : 9 = 40 [o]. Polukrug smo > podijelili na 4 luka od približno 40 [o] i luk od 20 [o]. Pomoću programa izvršili smo sva potrebna mjerenja kutova pomicanjem točaka. Zatim smo odabrali konstruirane točke i pomoću naredbe > reflektirali točke za 180 stupnjeva u odnosu na središte kruga na drugi polukrug. Pogreška ove konstrukcije bila je + 0,04 stupnja.

Zadatak 4. Konstrukcija algebarskih krivulja

Astroid

Rješenje 1. Astroid je konstruiran na koordinatnoj ravnini pomoću sljedećeg algoritma:

:: Potrebno je spojiti točke osi ordinata s točkama osi apscisa tako da zbroj razdjelnih brojeva daje 10 (na primjer: 1 i 9, 2 i 8, 3 i 7 itd.).

:: Spojite točke u istom nizu u preostalim četvrtinama koordinatne ravnine.

Rješenje 2. Nacrtajte kružnicu, konstruirajte okomite promjere i svaki polumjer podijelite na paran broj dijelova. Točke smo spojili segmentima prema prethodnom algoritmu.

Rješenje 3. Savladavši optimalnu tehniku podjele kruga na 6 dijelova, konstruirali smo astroid sa 6 zvijezda.

Rješenje 4. Konstrukcija astroida od 8 zvijezda provedena je konstruiranjem simetrala pravih kutova.

Kardioida

Riješenje. Za konstruiranje kardioida, baza će biti krug. Kardioida je izgrađena prema sljedećem planu:

:: nacrtao krug i podijelio ga na 36 dijelova (po 10 stupnjeva);

:: vanjske točke označene brojevima od 1 do 36 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu;

:: unutarnje točke su numerirane prema dijagramu 1;

:: spojene točke s istim unutarnjim i vanjskim brojevima;

:: ovojnica će biti kardioida.

Shema 1 Shema 2

IV. Naša kreativnost.

Svladavši osnovne tehnike dizajna i modeliranja u >, pokušali smo se realizirati kao dizajneri i umjetnici. Razvili smo i uveli u praksu sljedeće radove:

Zaključak, zaključci

>,” primijetio je Aristotel prije 2500 godina. Naš suvremenik Suhomlinski vjerovao je da >. A matematika je prekrasan predmet za iznenađenje.

Nakon što smo detaljno proučili dostupni materijal, upoznali smo se s novom metodom konstruiranja krivulja - matematičkim vezom, koristeći poznate tehnike gradnje. geometrijski oblici(konstruiranje kuta, podjela isječka na jednake dijelove, povezivanje točaka u određenom nizu, podjela kružnice na jednake dijelove u programu >). Pronašli smo nevjerojatnu sličnost između matematičkog veza i odavno poznate vrste dekorativne i primijenjene umjetnosti - izokonca.

Na internetu i specijaliziranoj literaturi postoji mnogo fotografija s izonitnim vezom, ali uz njih nema priloženih dijagrama. Došli smo do zaključka da je matematički vez kreativan proces. Poznavanjem osnova matematičkog modeliranja, koje su izložene u našem radu, kreativnim razmišljanjem, logikom i strpljenjem možete izraditi individualnu > primijenjenu umjetnost.

Matematički vez zainteresirao je ne samo nas, već i mnoge učenike (djevojčice i dječake). Vjerujemo da moderno informacijska tehnologija omogućit će vam kombiniranje matematike i umjetnosti.

Linija (krivulja) četvrtog reda zove pravac definiran algebarskom jednadžbom četvrtog stupnja s obzirom na kartezijeve pravokutne koordinate. Slično se određuju linije (krivulje) petog, šestog i ostalih reda.

Bernoullijeva Lemniskata

line order transcendentalna spirala

Riža. 8

Fokusi lemniskate su F1 (? c; 0) i F2 (c; 0). Uzmimo proizvoljnu točku M (x; y). Umnožak udaljenosti od žarišta do točke M je

I po definiciji je jednak c2:

Kvadriramo obje strane jednakosti:

Proširite zagrade na lijevoj strani:

Otvorite zagrade i presavijte novi kvadrat zbroja:

Izuzimamo zajednički faktor i prenosimo ga:

U ovom slučaju, a je radijus kružnice koja opisuje lemniskatu. Izvođenjem jednostavnih transformacija možemo dobiti eksplicitnu jednadžbu:

Kvadratiramo i otvaramo zagrade:

Prisjetimo se toga

Ovo je kvadratna jednadžba za y." Rješavajući je, dobivamo

Uzimajući korijen i odbacujući opciju s negativnim drugim članom, dobivamo:

gdje pozitivna opcija definira gornju polovicu lemniskate, negativna - donju.

Riža. 9

Da. Postavljanjem različitih uvjeta za p i c 2 /4 dobit ćemo lemniskate raznih vrsta (slika 10).

Riža. 10

Riža. 11

F 1, F 2,…, F n

i dodijeliti takvu vrijednost za konstantni umnožak udaljenosti

MF 1 MF 2 … MF n = str

Pascalov puž

Geometrijsko mjesto točaka M i M" koje se nalaze na ravnim linijama grede (čije središte O leži na kružnici polumjera R) na udaljenosti a s obje strane točke P sjecišta ravnih linija s krug; tj., PM = PM" = a. jednadžba u pravokutnim koordinatama: (x2 + y2 - 2Rx)2 - a2(x2 + y2) = 0, u polarnim koordinatama: r = 2R cos j + a. Pri a = 2R petlja se skuplja do točke, u ovom slučaju Pascalova pužnica pretvara se u kardioidu. Ime je dobio po francuskom znanstveniku B. Pascalu (1588-1651), koji ga je prvi proučavao.

Cikloidne krivulje

Algebarske krivulje uključuju tako dobro poznate krivulje kao kardioida i astroida; razmotrimo te krivulje.

Kardioida

Ova nam okolnost omogućuje da odmah zapišemo parametarske jednadžbe kardioide, zamjenjujući modul m s jednim u prethodno danim parametarskim jednadžbama epicikloide. Imat će:

Za dobivanje polarne jednadžbe kardioida zgodno je uzeti točku A kao pol (slika 13), a polarnu os usmjeriti duž apscisne osi. Kako će četverokut AOO 1 M biti jednakokračan trapez, polarni kut točke M bit će jednak kutu rotacije tvorne kružnice, tj. parametar t. Uzimajući u obzir tu okolnost, zamijenimo y u drugoj jednadžbi sustava (1) sa sin t. Smanjujući tako dobivenu jednakost za sin t, dobivamo polarnu jednadžbu kardioida

Riža. 13

Prema obliku ove jednadžbe

možemo zaključiti da je kardioida jedan od Pascalovih puževa. Stoga se može definirati kao konhoida kruga.

Prevođenjem jednadžbe (2) u pravokutni koordinatni sustav dobivamo:

Iz ove jednadžbe slijedi da je kardioida algebarska krivulja 4. reda.

2. Svojstva. Prije svega, budući da je kardioida epicikloida s m=1, na nju se mogu prenijeti sva svojstva epicikloide koja smo razmatrali u prethodnom paragrafu.

To su svojstva i karakteristike.

1. Tangenta u proizvoljnoj točki kardioida prolazi kroz točku kruga generirajućeg kruga, dijametralno suprotno od kontaktne točke krugova, a normalna - kroz točku njihovog kontakta.

2. Kut koji zatvara tangenta na kardioidu s radijus vektorom tangentne točke jednak je polovici kuta koji taj radijus vektor čini s polarnom osi. Stvarno

Iz ovog odnosa izravno slijedi da je kut koji tangenta na kardioidu zatvara s osi apscisa jednak (kao vanjski kut trokuta AMN sl. 14). Pomoću formule možemo dokazati da su tangente na kardioidu povučene na krajevima tetive koja prolazi kroz pol međusobno okomite.

Doista, budući da

Riža. 14

Napomenimo također da je geometrijsko mjesto sjecišta ovih tangenti kružnica. Doista, jednadžba prve tangente na temelju jednadžbi (1) kardioide imat će oblik

a druga tangenta.eliminiranjem parametra iz ovih jednadžbi dobivamo jednadžbu naznačene kružnice.

3. Polumjer zakrivljenosti u proizvoljnoj točki kardioide određen je formulom

Također se može pokazati da je polumjer zakrivljenosti jednak 2/3 polarne normale N u danoj točki.

Doista, odakle, na temelju (4), dobivamo ovu relaciju možemo koristiti za konstruiranje središta zakrivljenosti kardioide.

4. Evoluta kardioide, prema općem svojstvu epicikloidnih evoluta, također će biti kardioida slična zadanoj, s koeficijentom sličnosti jednakim 1/3, i zakrenuta u odnosu na zadanu za kut od 180 °.

5. Duljina luka kardioide od točke A do proizvoljne točke M određena je formulom

Ako se duljina luka mjeri od točke A 1, dijametralno suprotno od točke A, tada se formula za određivanje duljine luka može napisati u obliku

6. Prirodna jednadžba kardioide se dobije ako se parametar eliminira iz jednakosti (4) i (6). Izgledat će kao

7. Površina ograničena kardioidom određena je formulom

i, kao što se može vidjeti, jednaka je šesterostrukoj površini generirajućeg kruga.

Duljina cijele kardioide određena je formulom

i, kao što se vidi, jednaka je osam promjera tvorne kružnice. Volumen tijela dobivenog rotacijom kardioide oko svoje osi jednak je

Površina tijela dobivena rotacijom kardioide oko svoje osi jednaka je

Vidjeli smo da je kardioida organski povezana s krugom. Ona je konhoida kruga i epicikloida. Ima drugačiji odnos s krugom - kardioida je subera kruga u odnosu na točku koja pripada tom krugu.

Riža. 15

Doista, neka je OM okomica spuštena na tangentu kružnice polumjera jednakog 2r povučenu u točki N.

Budući da je OM = OB + BM, ili == 2r cos + 2r, tada će geometrijsko mjesto točaka M biti kardioida s jednadžbom = 2r (1 + cos)

Napomenimo u zaključku da kardioida također pripada obitelji sinusoidnih spirala, a njezina pojedinačna svojstva ponavljaju opća svojstva ove krivulje. Iz ovih svojstava slijedi, posebice, da inverzija kardioide u odnosu na točku vrha daje parabolu.

Astroid