В еднородно електрическо поле силата, действаща върху заредена частица, е постоянна както по големина, така и по посока. Следователно движението на такава частица е напълно аналогично на движението на тяло в полето на земното притегляне, без да се отчита съпротивлението на въздуха. Траекторията на частицата в този случай е плоска, лежи в равнината, съдържаща векторите начална скоростчастици и напрежение електрическо поле
Потенциалът на електростатичното поле. Общ израз, свързващ потенциала с напрежението.
Потенциалът φ във всяка точка на електростатичното поле е физическа величина, определена от потенциалната енергия на един положителен заряд, поставен в тази точка. Потенциалът на полето, създадено от точков заряд Q е
Потенциал - физическа величина, която се определя от работата по преместване на един положителен електрически зарядпри отстраняването му от дадена точка на полето до безкрайност. Тази работа е числено равна на работата, извършена от външни сили (срещу силите на електростатичното поле) при преместването на единица положителен заряд от безкрайност до дадена точкаполета.
Единицата за потенциал е волт (V): 1 V е равен на потенциала на такава точка в полето, в която заряд от 1 C има потенциална енергия от 1 J (1 V = 1 J/C). Като се има предвид размерът на волта, може да се покаже, че единицата за напрегнатост на електростатичното поле, въведена по-рано, наистина е 1 V/m: 1 N/Cl=1 N m/(Cl m)=1 J/(Cl m)=1 V/m.
От формули (3) и (4) следва, че ако полето е създадено от няколко заряда, тогава потенциалът на това поле на системата от заряди е равен на алгебрична сумапотенциали на полетата на всички тези заряди:
Силата във всяка точка на електрическото поле е равна на потенциалния градиент в тази точка, взет с обратен знак. Знакът минус показва, че интензитетът E е насочен в посока на намаляване на потенциала.
E = - град фи = - N фи.
За да се установи връзка между мощностната характеристика на електрическото поле - силата и неговата енергийна характеристика - потенциалът, разгледайте елементарната работа на силите на електрическото поле върху безкрайно малко изместване на точков заряд q: dA = q E dl, същата работа е равна на намаляването на потенциалната енергия на заряда q: dA = - dWп = - q dphi, където d phi е промяната в потенциала на електрическото поле по дължината на движение dl. Приравнявайки правилните части на изразите, получаваме: E dl \u003d -d phi или in Декартова системакоординати
Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi
където Ex, Ey, Ez са проекциите на вектора на интензитета върху осите на координатната система. Тъй като изразът е общ диференциал, тогава за проекциите на вектора на интензитета имаме
Изразът в скоби е градиентът на фи потенциала.
Принципът на суперпозиция като основно свойство на полетата. Общи изрази за силата и потенциала на полето, създадено в точка с радиус вектор от система от точкови заряди, разположени в точки с координати (Виж т. 4)
Ако разгледаме принципа на суперпозицията в най-общ смисъл, тогава според него сумата от въздействието на външните сили, действащи върху частица, ще бъде сумата от индивидуалните стойности на всяка от тях. Този принцип важи за различни линейни системи, т.е. системи, чието поведение може да се опише с линейни отношения. Пример е проста ситуация, когато линейна вълна се разпространява в определена среда, в който случай нейните свойства ще се запазят дори под въздействието на смущения, произтичащи от самата вълна. Тези свойства се определят като специфична сума от ефектите на всеки от хармоничните компоненти.
Принципът на суперпозиция може да приеме и други формулировки, които са напълно еквивалентни на дадената по-горе:
· Взаимодействието между две частици не се променя, когато се въведе трета частица, която също взаимодейства с първите две.
· Енергията на взаимодействие на всички частици в система от много частици е просто сумата от енергиите на двойните взаимодействия между всички възможни двойки частици. В системата няма многочастични взаимодействия.
· Уравненията, описващи поведението на система от много частици, са линейни по отношение на броя на частиците.
6 Циркулацията на вектора на напрежение е работата, която електрическите сили извършват при преместване на единица положителен заряд по затворен път L
Тъй като работата на силите на електростатичното поле в затворен контур е нула (работата на силите на потенциалното поле), следователно, циркулацията на напрегнатостта на електростатичното поле в затворен контур е нула.
Потенциал на полето. Работата на всяко електростатично поле при преместване на заредено тяло в него от една точка в друга също не зависи от формата на траекторията, както и работата на еднородно поле. При затворена траектория работата на електростатичното поле винаги е нула. Полета с това свойство се наричат потенциални полета. По-специално, електростатичното поле на точковия заряд има потенциален характер.
Работата на потенциално поле може да се изрази чрез промяна на потенциалната енергия. Формулата е валидна за всяко електростатично поле.
7-11 Ако силовите линии на еднообразно електрическо поле на напрегнатост проникват през някаква област S, тогава потокът на вектора на интензитета (свикнали сме да наричаме броя на силовите линии през областта) ще се определя по формулата:
където En е произведението на вектора и нормалата към дадената област (фиг. 2.5).
Ориз. 2.5
Общият брой силови линии, преминаващи през повърхността S, се нарича поток на вектора на интензитета FU през тази повърхност.
Във векторна форма можете да запишете - скаларното произведение на два вектора, където векторът .
По този начин векторният поток е скалар, който в зависимост от ъгъла α може да бъде положителен или отрицателен.
Разгледайте примерите, показани на фигури 2.6 и 2.7.
 | |||
| Ориз. 2.6 | Ориз. 2.7 | ||
За фигура 2.6 повърхността A1 е заобиколена от положителен заряд и потокът тук е насочен навън, т.е. Повърхността A2– е заобиколена от отрицателен заряд, като тук той е насочен навътре. Общият поток през повърхност А е нула.
За фигура 2.7, потокът ще бъде различен от нула, ако общият заряд вътре в повърхността е различен от нула. За тази конфигурация потокът през повърхност А е отрицателен (пребройте броя на линиите на полето).
По този начин векторният поток на интензитета зависи от заряда. Това е значението на теоремата на Остроградски-Гаус.
Теорема на Гаус
Експериментално установеният закон на Кулон и принципът на суперпозицията позволяват напълно да се опише електростатичното поле на дадена система от заряди във вакуум. Свойствата на електростатичното поле обаче могат да бъдат изразени в различна, по-обща форма, без да се прибягва до концепцията за полето на Кулон на точков заряд.
Нека представим нов физическо количество, който характеризира електрическото поле - потокът Φ на вектора на напрегнатостта на електрическото поле. Нека някаква достатъчно малка площ ΔS е разположена в пространството, където се създава електрическото поле. Продуктът на векторния модул и площта ΔS и косинуса на ъгъла α между вектора и нормалата към обекта се нарича елементарен поток на вектора на интензитета през обекта ΔS (фиг. 1.3.1):
Нека сега разгледаме произволна затворена повърхност S. Ако разделим тази повърхност на малки области ΔSi, определим елементарните потоци ΔΦi на полето през тези малки области и след това ги сумираме, тогава в резултат получаваме векторния поток Φ през затворената повърхност S (фиг. 1.3.2):
Теоремата на Гаус гласи:
Потокът на вектора на напрегнатост на електростатичното поле през произволна затворена повърхност е равен на алгебричната сума на зарядите, разположени вътре в тази повърхност, разделена на електрическата константа ε0.
където R е радиусът на сферата. Потокът Φ през сферичната повърхност ще бъде е равно на произведението E към областта на сферата 4πR2. следователно
Нека сега оградим точковия заряд с произволна затворена повърхност S и да разгледаме спомагателна сфера с радиус R0 (фиг. 1.3.3).
Да разгледаме конус с малък телесен ъгъл ΔΩ при върха. Този конус избира малка площ ΔS0 върху сферата и област ΔS върху повърхността S. Елементарните потоци ΔΦ0 и ΔΦ през тези области са еднакви. Наистина ли,
По подобен начин може да се покаже, че ако затворената повърхност S не обхваща точков заряд q, тогава потокът Φ = 0. Такъв случай е показан на фиг. 1.3.2. Всички силови линии на електрическото поле на точков заряд проникват през и през затворената повърхност S. Вътре в повърхността S няма заряди, следователно в тази област силовите линии не се прекъсват и не възникват.
Обобщението на теоремата на Гаус за случая на произволно разпределение на зарядите следва от принципа на суперпозицията. Полето на всяко разпределение на заряда може да бъде представено като векторна сума на електрическите полета на точковите заряди. Потокът Φ на система от заряди през произволна затворена повърхност S ще бъде сумата от потоците Φi на електрическите полета на отделните заряди. Ако зарядът qi се оказа вътре в повърхността S, тогава той прави принос към потока, равен на ако този заряд се оказа извън повърхността, тогава приносът на неговото електрическо поле към потока ще бъде равен на нула.
Така теоремата на Гаус е доказана.
Теоремата на Гаус е следствие от закона на Кулон и принципа на суперпозицията. Но ако приемем твърдението, съдържащо се в тази теорема, като изходна аксиома, тогава законът на Кулон ще се окаже нейно следствие. Следователно теоремата на Гаус понякога се нарича алтернативна формулировка на закона на Кулон.
Използвайки теоремата на Гаус, в редица случаи е лесно да се изчисли напрегнатостта на електрическото поле около заредено тяло, ако даденото разпределение на заряда има някакъв вид симетрия и цялостна структураполетата могат да бъдат познати.
Пример е задачата за изчисляване на полето на тънкостенен, кух, равномерно зареден дълъг цилиндър с радиус R. Тази задача има аксиална симетрия. От съображения за симетрия електрическото поле трябва да бъде насочено по радиуса. Следователно, за да се приложи теоремата на Гаус, е препоръчително да се избере затворена повърхност S под формата на коаксиален цилиндър с някакъв радиус r и дължина l, затворен в двата края (фиг. 1.3.4).
За r ≥ R, целият поток на вектора на интензитета ще премине странична повърхностцилиндър, чиято площ е 2πrl, тъй като потокът през двете основи е нула. Прилагането на теоремата на Гаус дава:
Този резултат не зависи от радиуса R на заредения цилиндър, така че е приложим и за полето на дълга равномерно заредена нишка.
За да се определи силата на полето вътре в зареден цилиндър, е необходимо да се изгради затворена повърхност за случая r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
По подобен начин теоремата на Гаус може да се приложи за определяне на електрическото поле в редица други случаи, когато разпределението на заряда има някакъв вид симетрия, например симетрия спрямо центъра, равнината или осите. Във всеки от тези случаи е необходимо да се избере затворена гаусова повърхност с целесъобразна форма. Например в случая централна симетрияудобно е да се избере гаусова повърхност под формата на сфера с център в точка на симетрия. При аксиална симетриятрябва да се избере затворена повърхност под формата на коаксиален цилиндър, затворен от двата края (както в примера, обсъден по-горе). Ако разпределението на зарядите няма никаква симетрия и общата структура на електрическото поле не може да бъде отгатната, прилагането на теоремата на Гаус не може да опрости проблема за определяне на силата на полето.
Помислете за друг пример за симетрично разпределение на зарядите - дефиницията на полето на равномерно заредена равнина (фиг. 1.3.5).
В този случай е препоръчително да изберете гаусовата повърхност S под формата на цилиндър с известна дължина, затворен в двата края. Оста на цилиндъра е насочена перпендикулярно на заредената равнина, а краищата му са разположени на същото разстояние от нея. Поради симетрията, полето на еднакво заредена равнина трябва да бъде насочено навсякъде по нормалата. Прилагането на теоремата на Гаус дава:
|
където σ е повърхностната плътност на заряда, т.е. зарядът на единица площ.
Полученият израз за електрическото поле на еднакво заредена равнина е приложим и в случай на плоски заредени области с краен размер. В този случай разстоянието от точката, в която се определя напрегнатостта на полето, до заредената площ трябва да бъде значително по-малко от размера на зоната.
И графици за 7 - 11
1. Интензитетът на електростатичното поле, създадено от равномерно заредена сферична повърхност.
Нека сферична повърхност с радиус R (фиг. 13.7) носи равномерно разпределен заряд q, т.е. повърхностната плътност на заряда във всяка точка на сферата ще бъде една и съща.
а. Ограждаме нашата сферична повърхност в симетрична повърхност S с радиус r>R. Векторният поток на интензитета през повърхността S ще бъде равен на
Според теоремата на Гаус
Следователно
° С. Нека прекараме през точката B, разположена вътре в заредената сферична повърхност, сферата S с радиус r 2. Електростатично поле на топката. Нека имаме топка с радиус R, равномерно заредена с обемна плътност. Във всяка точка А, лежаща извън топката на разстояние r от нейния център (r> R), нейното поле е подобно на полето на точков заряд, разположен в центъра на топката. След това извън топката и на повърхността му (r=R) В точка B, лежаща вътре в топката на разстояние r от нейния център (r>R), полето се определя само от заряда, затворен вътре в сферата с радиус r. Потокът на вектора на интензитета през тази сфера е равен на от друга страна, според теоремата на Гаус Според теоремата на Гаус От последните два израза определяме силата на полето, създадено от равномерно заредена нишка: Нека равнината има безкрайна дължина и зарядът на единица площ е равен на σ. От законите на симетрията следва, че полето е насочено навсякъде перпендикулярно на равнината и ако няма други външни заряди, тогава полетата от двете страни на равнината трябва да са еднакви. Нека ограничим част от заредената равнина до въображаема цилиндрична кутия, така че кутията да е разрязана наполовина и нейните образуващи да са перпендикулярни, а две основи, всяка с площ S, да са успоредни на заредената равнина (Фигура 1.10). 12. Поле на еднакво заредена сфера. Нека електрическото поле се създава от заряда Q, равномерно разпределени по повърхността на сфера с радиус Р(фиг. 190). За изчисляване на потенциала на полето в произволна точка, разположена на разстояние rот центъра на сферата е необходимо да се изчисли работата, извършена от полето при преместване на единица положителен заряд от дадена точка до безкрайност. По-рано доказахме, че силата на полето на равномерно заредена сфера извън нея е еквивалентна на полето на точков заряд, разположен в центъра на сферата. Следователно извън сферата потенциалът на полето на сферата ще съвпадне с потенциала на полето на точков заряд φ
(r)=Q 4πε
0r . (1) По-специално, на повърхността на сфера, потенциалът е равен на φ
0=Q 4πε
0Р. Вътре в сферата няма електростатично поле, така че работата за преместване на заряд от произволна точка вътре в сферата към нейната повърхност е нула А= 0, следователно потенциалната разлика между тези точки също е равна на нула Δ φ
= -А= 0. Следователно всички точки вътре в сферата имат еднакъв потенциал, който съвпада с потенциала на нейната повърхност φ
0=Q 4πε
0Р . И така, разпределението на потенциала на полето на равномерно заредена сфера има формата (фиг. 191) φ
(r)=⎧⎩⎨Q 4πε
0Р, npu r<RQ 4πε
0r, npu r>Р . (2) Моля, обърнете внимание, че вътре в сферата няма поле и потенциалът е различен от нула! Този пример е ярка илюстрация на факта, че потенциалът се определя от стойността на полето от дадена точка до безкрайност. Пример 1 . Тънка, безкрайно дълга нишка е равномерно заредена с линейна плътност на заряда λ
. Намерете силата на електростатичното поле д(r) на произволно разстояние rот нишката. Да направим чертеж: Анализ: защото нишката носи неточков заряд, приложим е методът DI. Отделяме безкрайно малък елемент от дължината на проводника дл, който ще съдържа заряда dq=dlλ. Нека изчислим силата на полето, създадено от всеки елемент на проводника в произволна точка А, разположена на разстояние от нишката А. Векторът ще бъде насочен по правата линия, свързваща точковия заряд с точката на наблюдение. Полученото поле ще се получи по нормалата към нишката по оста x. Необходимо е да се намери стойността dE x:
dE x =dE cosα. A-приори: Стойност дл, r, се променят последователно, когато позицията на елемента се промени дл. Изразяваме ги чрез α: Където dα- безкрайно малко увеличение на ъгъла α в резултат на въртенето на радиус вектора спрямо точка А при движение по нишката с дл. Тогава dl=r 2 dα/ а. При движение длот точка O, ъгълът варира от 0 0 до π/2. Следователно Проверка на размерите: [E]=V/m=kgm/mfm=KV/Klm=V/m; Отговор: Метод 2. Поради аксиалната симетрия на разпределението на заряда, всички точки, разположени на еднакво разстояние от нишката, са еквивалентни и напрегнатостта на полето в тях е еднаква, т.е. д(r)=const, където r- разстояние от точката на наблюдение до нишката. Посока дв тези точки винаги съвпада с посоката на нормалата към резбата. По теорема на Гаус; Където Q-заряд, покрит от повърхността - S', през която се изчислява потокът, избираме във формата на цилиндър с радиус a и образуваща с резба. Като се има предвид, че е нормално към страничната повърхност на цилиндъра, получаваме за потока: Т. до. д= конст. Сстраничен завой = На 2π
. От друга страна д 2πаН=Q/ε 0 , Където λH=q. Отговор:д=λ
/4πε
0 А. Пример 2. Изчислете интензитета на равномерно заредена безкрайна равнина с повърхностна плътност на заряда σ
. Линиите на опън са перпендикулярни и насочени в двете посоки от равнината. Като затворена повърхност избираме повърхността на цилиндър, чиито основи са успоредни на равнината, а оста на цилиндъра е перпендикулярна на равнината. защото образуващата на цилиндъра е успоредна на линиите на опън (α=0, cos α=1 ),
тогава потокът на вектора на интензитета през страничната повърхност е равен на нула, а общият поток през затворената цилиндрична повърхност е равно на суматапротича през основата му. Зарядът, затворен вътре в затворена повърхност, е равен на σ Сосновен , Тогава: F E \u003d 2 дС main или F E = = , тогава E = = Отговор: E =, не зависи от дължината на цилиндъра и на всяко разстояние от равнината е еднаква по абсолютна стойност. Полето на еднакво заредена равнина е еднородно. Пример 3. Изчислете полето на две безкрайно заредени равнини с повърхностна плътност съответно +σ и –σ. E = E = 0; E = E + + E - = . Отговор:Получената напрегнатост на полето в зоната между равнините е равна на E =, а извън обема, ограничен от равнините, е равна на нула. Пример 4. Изчислете напрегнатостта на полето на еднакво заредена сферична повърхност с повърхностна плътност на заряда + σ на радиуса Р. това, и, ако r< R
, то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0). Отговор:. Пример 5. Изчислете обемното напрежение с обемна плътност ρ
, радиуси на топка Р. Нека вземем една сфера като затворена повърхност. Ако r ≥Р, тогава = 4πr 2 E ; E= ако r< R
, то сфера радиусом r, покрива заряда q "равен на q" \u003d (тъй като зарядите са свързани като обеми, а обемите като кубове радиуси) Тогава според т. Гаус Отговор:; вътре в равномерно заредена сфера, интензитетът нараства линейно с разстоянието rот центъра му, а отвън – намалява обратно пропорционално r 2 . Пример #6. Изчислете силата на полето на безкраен кръгъл цилиндър, зареден с линейна плътност на заряда λ
, радиус Р. Потокът на вектора на опън през краищата на цилиндъра е 0, а през страничната повърхност: защото , или , Тогава ако λ > 0, E > 0, векторът Ē е насочен встрани от цилиндъра, ако λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру. Ако r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0 Отговор:(r > R); E = 0 (R>r). В безкраен, кръгъл цилиндър, равномерно зареден по повърхността, няма поле. Пример 7. Електрическото поле се създава от две безкрайно дълги успоредни равнини с равнини на повърхностен заряд от 2 nC/m 2 и 4 nC/m 2 . Определете напрегнатостта на полето в области I, II, III. Начертайте графика на зависимостта Ē
(r) . Самолетите разделят пространството на 3 области Посоката Ē на полученото поле е по-голяма. В проекция на r: ; «–»; ; «–»; ; «+»; График Ē
(r) Избор на мащаб: д 2 =2 д 1 E 1 = 1; E 2 \u003d 2 Отговор:д I = -345 V/m; дІ I = –172 V/m; дІ II = 345 V/m. Пример #8. Абаносова масивна топка с радиус Р= 5 cm носи заряд, равномерно разпределен с обемна плътност ρ
\u003d 10 nC / m 3. Определете напрегнатостта на електрическото поле в точки: 1) на разстояние r 1 = 3 cm от центъра на сферата; 2) на повърхността на сферата; 3) на разстояние r 2 = 10 см от центъра на сферата. Жидкевич В. И. Електрическото поле на равнината // Физика: Проблеми на оформлението. - 2009. - № 6. - С. 19-23. Задачите в електростатиката могат да бъдат разделени на две групи: задачи за точкови заряди и задачи за заредени тела, чиито размери не могат да бъдат пренебрегнати. Решаването на задачи за изчисляване на електрически полета и взаимодействия на точкови заряди се основава на прилагането на закона на Кулон и не създава особени затруднения. По-трудно е определянето на напрегнатостта на полето и взаимодействието на заредени тела с крайни размери: сфери, цилиндри, равнини. При изчисляване на силата на електростатичните полета с различни конфигурации трябва да се подчертае важността на принципа на суперпозиция и да се използва при разглеждане на полета, създадени не само от точкови заряди, но и от заряди, разпределени по повърхността и обема. Когато разглеждаме действието на полето върху заряд, формулата F=qE в общия случай е валиден за точково заредени тела и само в еднообразно поле е приложим за тела с всякакъв размер и форма, които носят зарядр. Електрическото поле на кондензатор се получава чрез наслагване на двете полета, създадени от всяка пластина. В плосък кондензатор една пластина може да се разглежда като тяло със зарядр 1поставен в електрическо поле със сила E 2, създадена от друга плоча. Нека разгледаме няколко задачи. 1.
Безкрайна равнина, заредена с повърхностна плътност σ
>0. Намерете силата на полето ди потенциал ϕ
от двете страни на самолета, имайки предвид потенциала на самолета нула. Парцели на зависимостта на парцела E(x), ϕ
(Х). ос х е перпендикулярна на равнината, точката x=0 лежи на равнината. Решение. Електрическото поле на безкрайна равнина е еднородно и симетрично по отношение на равнината. Неговатанапрежение Връзка между интензитет и потенциална разлика между две точки на хомогенно електростатично поле се изразява с формулатакъдето x - разстояние между точките, измерено по силовата линия.Тогава ϕ
2 =
ϕ
1 -Пр. При х<0
при х>0 Зависимости Е(х) и ϕ
(x) са показани на фигура 1. 2.
Две плоскопаралелни тънки пластини, разположени на малко разстояниед един от друг, равномерно заредени със заряд с повърхностна плътностσ 1 и σ 2. Намерете напрегнатостта на полето в точките, разположени между плочите и от външната страна. Начертайте зависимостта на напрежението E(x) и потенциал ϕ
(x), броене ϕ
(0)=0. Разгледайте случаите, когато: а)σ 1 \u003d-σ 2; б) σ 1 = σ 2; в) σ 1 \u003d 3 σ 2 - Решение.Тъй като разстоянието между плочите е малко, те могат да се разглеждат като безкрайни равнини. Силата на полето на положително заредена равнина еи насочен от нея; напрегнатостта на полето на отрицателно заредена равнина е насочена към него. Съгласно принципа на суперпозицията, полето във всяка разглеждана точка ще бъде създадено от всеки от зарядите поотделно. а) Полетата на две равнини, заредени с равни и противоположни заряди (плосък кондензатор) се сумират в зоната между равнините и се компенсират взаимно във външните области (фиг. 2,А). При х<0
д=
0,
ϕ
=0; на 0 Ако равнините са с крайни размери, тогава полето между равнините няма да е строго еднородно, а полето извън равнините няма да е точно нула. б) Полета на равнини, заредени с заряди, равни по големина и знак (σ1 = σ2 ), се компенсират взаимно в пространството между равнините и се сумират във външните области (фиг. 3,А). При х<0
при 0 Използване на диаграмата E(x) (Фиг. 3, b), изграждаме графика на качествена зависимост ϕ
(x) (фиг. 3, c). в) Ако σ 1 = σ 2 , тогава, като вземем предвид посоките на полетата и изберем посоката надясно като положителна, намираме: Зависимостта на напрежението E от разстоянието е показана на фигура 4. 3.
На една от плочите на плосък кондензатор с капацитетСЪС има таксар 1=+3р, а от другата q2
=+
р.
Определете потенциалната разлика между плочите на кондензатора. Решение. 1-ви начин. Нека площта на плочата на кондензатораС, и разстоянието между тяхд. Полето вътре в кондензатора е равномерно, така че потенциалната разлика (напрежението) в кондензатора може да се определи по формулата U=E*d, където E е напрегнатостта на полето вътре в кондензатора. където E 1, E 2 - напрегнатост на полето, създадено от пластините на кондензатора. Тогава 2-ри начин. Добавете заряд към всяка плочаСлед това плочите се кондензират satora ще има обвинения +
ри -q. Полетата с еднакви заряди на плочите вътре в кондензатора се компенсират взаимно. Добавените заряди не променят полето между плочите, а оттам и потенциалната разлика откондензатор. U= q/C
.
4.
В пространството между плочите на незареден плосък кондензатор се въвежда тънка метална пластина със заряд +. р. Определете потенциалната разлика между плочите на кондензатора. Решение.Тъй като кондензаторът не е зареден, електрическото поле се създава само от плоча, която има зарядр (фиг. 5). Това поле е равномерно, симетрично по отношение на плочата и нейния интензитетНека потенциалът на металната пластина е ϕ
. След това потенциалите на плочите АИ IN кондензаторите ще бъдат равни ϕ-
ϕ А
=
ϕ
El 1 ; ϕ А
=
ϕ-El 1
;
ϕ-
ϕ Б
=
ϕ-El 2
;
ϕ Б
=
ϕ-El 2
.
Потенциална разлика между пластините на кондензатора 5.
В еднородно електрическо поле със сила E 0 заредена метална плоча е поставена перпендикулярно на силовите линии с плътност на заряда на повърхността на всяка страна на плочата σ
(фиг. 6). Определете силата на полето Е"вътре и извън плочата и повърхностната плътност на зарядаσ 1 и σ 2 , които ще се появят от лявата и дясната страна на табелата. Решение.Полето вътре в плочата е нула и е суперпозиция на три полета: външното поле E 0, полето, създадено от зарядите от лявата страна на плочата и полето, създадено от зарядите от дясната страна на плочата. следователно 6.
В плосък въздушен кондензатор силата на полето е E \u003d 10 4 V / m. Разстояние между плочите d= 2 см. Каква ще бъде потенциалната разлика, ако метален лист с дебелинаd0\u003d 0,5 см (фиг. 7)? Решение.Тъй като електрическото поле между плочите е равномерно, тогава U=Ed, U=200 V. Ако между плочите се маркира метален лист, тогава се получава система от два последователно свързани кондензатора с разстояние между плочитеd1и d2. Капацитетът на тези кондензаториОбщият им капацитет Тъй като кондензаторът е изключен от източника на ток, зарядът на кондензатора не се променя, когато се въведе металният лист: q"=CU=C"U 1; къде е капацитетът sator, преди да поставите метален лист в него. Получаваме: U 1=
150 V. 7.
На чинииА и C, разположени успоредно на разстояние d= 8 см разстояние, поддържани потенциали φ 1= 60 V и φ 2
=-
60 V съответно. Между тях беше поставена заземена плоча. D на разстояние d 1 = 2 cm от плоча A. Колко се е променила напрегнатостта на полето в участъци AD и CD? Парцели на зависимостта на парцела ϕ
(х) и E(x). За изчисляване на полетата, създадени от заряди, които са равномерно разпределени върху сферични, цилиндрични или плоски повърхности, се използва теоремата на Остроградски-Гаус (раздел 2.2). Метод за изчисляване на полета с помощта на теоремата Остроградски - Гаус. 1) Избираме произволна затворена повърхност, обхващаща заредено тяло. 2) Изчисляваме потока на вектора на опън през тази повърхност. 3) Изчисляваме общия заряд, покрит от тази повърхност. 4) Заместваме изчислените величини в теоремата на Гаус и изразяваме силата на електростатичното поле. Поле на равномерно зареден безкраен цилиндър (нишка).
Нека безкраен цилиндър с радиус Р
равномерно заредени с линейна плътност на заряда +
τ
(фиг. 16). От съображения за симетрия следва, че линиите на напрегнатостта на полето във всяка точка ще бъдат насочени по радиални линии, перпендикулярни на оста на цилиндъра. Като затворена повърхност избираме коаксиален цилиндър с даден (с обща ос на симетрия) цилиндър с радиус
r
и височина ℓ
. Изчислете потока на вектора
Където С
основен ,
С
странаса площите на основите и страничната повърхност. Потокът на вектора на напрежението през областите на основите е равен на нула, следователно Общият заряд, покрит от избраната повърхност: Замествайки всичко в теоремата на Гаус, като вземем предвид факта, че ε
= 1, получаваме: Интензитетът на електростатичното поле, създадено от безкрайно дълъг равномерно зареден цилиндър или безкрайно дълга равномерно заредена нишка в точки, разположени извън него: Където r
- разстояние извън оста
цилиндър до дадена точка ( r
≥ Р
); τ
- линейна плътност на заряда .
Ако r
< Р
, тогава разглежданата затворена повърхност не съдържа заряди вътре, следователно в тази област д
= 0, т.е. вътре в цилиндъра, без поле
. Поле на равномерно заредена безкрайна равнина П Като затворена повърхност избираме цилиндър, чиито основи са успоредни на заредената равнина, а оста е перпендикулярна на нея (фиг. 17). Тъй като линиите, образуващи страничната повърхност на цилиндъра, са успоредни на линиите на опън, потокът на вектора на опън през страничната повърхност е нула. Потокът на вектора на опън през две области на основата Общият заряд, покрит от избраната повърхност: Замествайки всичко в теоремата на Гаус, получаваме: Напрегнатост на електростатичното поле на безкрайна равномерно заредена равнина От тази формула следва, че д
не зависи от дължината на цилиндъра, тоест напрегнатостта на полето е еднаква във всички точки. С други думи, полето на еднакво заредена равнина хомогенен.
Поле от два безкрайни паралела противоположно заредени равнини П Според принципа на суперпозицията, От фигурата може да се види, че в зоната между равнините силовите линии са еднопосочни, така че полученото напрежение Извън обема, ограничен от равнините, добавените полета имат противоположни посоки, така че резултантната сила е нула. Така полето се концентрира между равнините. Полученият резултат е приблизително валиден за равнини с крайни размери, ако разстоянието между равнините е много по-малко от тяхната площ (плосък кондензатор). Ако върху равнините са разпределени заряди с еднакъв знак с еднаква повърхностна плътност, тогава полето липсва между плочите, а извън плочите се изчислява по формула (2.7). Сила на полето равномерно заредена сфера Поле, генерирано от сферична повърхност с радиус
Р
, заредени с повърхностна плътност на заряда
σ
, ще бъде централно симетричен, така че линиите на опън са насочени по радиусите на сферата (фиг. 19, а). Като затворена повърхност избираме сфера с радиус r
имащи общ център със заредена сфера. Ако r
>
Р
, тогава целият заряд навлиза на повърхността Q
.
Потокът на вектора на интензитета през повърхността на сферата Замествайки този израз в теоремата на Гаус, получаваме: Силата на електростатичното поле извън еднакво заредена сфера: Където r
- разстояние от центъра
сфери. Това показва, че полето е идентично с полето на точков заряд със същата величина, поставен в центъра на сферата. Ако r
<
Р
, тогава затворената повърхност не съдържа заряди вътре, следователно няма поле вътре в заредената сфера
(Фиг. 19, б). Обемна сила на полето заредена топка П Полето в този случай има централна симетрия. За напрегнатостта на полето извън сферата се получава същият резултат, както в случая на повърхностно заредена сфера (2.8). За точки вътре в топката напрежението ще бъде различно (фиг. 20). Сферичната повърхност покрива заряда Следователно, съгласно теоремата на Гаус Като се има предвид това Интензитетът на електростатичното поле вътре в обемно заредена топка Задача 2.3
. В полето на безкрайно дълга равнина с повърхностна плътност на заряда σ
малка топка от маса, окачена на конец м
, която има заряд със същия знак като равнината. Намерете заряда на топката, ако нишката сключва ъгъл с вертикалата α
Решение.
Нека се върнем към анализа на решението на задача 1.4. Разликата е, че в задача 1.4 силата П Забележка
, че за да се намери силата, действаща върху заряд, поставен в полето на разпределен заряд, е необходимо да се използва формулата а силата на полето, създадено от няколко разпределени заряда, се намира по принципа на суперпозицията. Следователно следващите задачи са посветени на намирането на силата на електростатичното поле на разпределените заряди, използвайки теоремата на Остроградски-Гаус. Задача 2.4.
Изпреварете напрегнатостта на полето вътре и извън равномерно заредена плоча с дебелина д
, обемна плътност на заряда вътре в плочата ρ
. Начертайте графика на зависимостта д
(х
). Решение.
Поставяме началото на координатите в средната равнина на плочата и оста ОХнасочете го перпендикулярно на него (фиг. 22, а). Прилагаме теоремата на Остроградски-Гаус, за да изчислим силата на електростатичното поле на заредена безкрайна равнина, след което От определението за обемна плътност на заряда тогава за напрежение получаваме Това показва, че полето вътре в плочата зависи от х
. Полето извън плочата се изчислява по подобен начин: Това показва, че полето извън плочата е еднородно. Графика на зависимостта на напрежението д
от х
на фиг. 22б. Задача 2.5.
Полето се създава от две безкрайно дълги нишки, заредени с линейна плътност на заряда –
τ
1
и + τ
2
. Нишките са разположени перпендикулярно една на друга (фиг. 23). Намерете силата на полето в точка на разстояние r
1
И r
2
от конци. Р Според принципа на суперпозицията Според Питагоровата теорема Задача 2.6
. Полето се създава от два заредени безкрайно дълги кухи коаксиални цилиндъра с радиуси
Р
1
И Р
2
>
Р
1
. Плътностите на повърхностния заряд са –
σ
1
И +
σ
2
. Намерете силата на електростатичното поле в следните точки: а) точка А
разположени на разстояние д
1
<
Р
1
; б) точка IN
разположени на разстояние Р
1
<
д
2
<
Р
2
; в) точка СЪС
разположени на разстояние д
3
>
Р
1
>
Р
2
. Разстоянията се измерват от оста на цилиндрите. Решение.
Коаксиалните цилиндри са цилиндри, които имат обща ос на симетрия. Нека да направим чертеж и да покажем точки върху него (фиг. 24). д
А
= 0. точка IN
разположено вътре в по-големия цилиндър, така че в този момент полето се създава само от по-малкия цилиндър: Нека изразим линейната плътност на заряда по отношение на повърхностната плътност на заряда. За да направим това, използваме формули (1.4) и (1.5), от които изразяваме заряда: Приравняваме десните страни и получаваме: Където С
1
е площта на първия цилиндър. Имайки предвид факта, че точка СЪС
разположени от външната страна на двата цилиндъра, така че полето се генерира и от двата цилиндъра. Според принципа на суперпозицията: Като вземем предвид указанията и изчисленията, получени по-горе, получаваме: Задача 2.7
. Полето се създава от две заредени безкрайно дълги успоредни равнини. Плътностите на повърхностния заряд са σ
1
И σ
2
> σ
1
. Намерете силата на електростатичното поле в точки, разположени между плочите и извън плочите. Решете задачата за два случая: а) плочите са заредени с едно и също име; б) плочите са противоположно заредени. Решение.
Във векторна форма силата на полученото поле се записва по същия начин във всеки случай. Според принципа на суперпозицията: Векторни модули а) Ако равнините са заредени с едно и също име, тогава между равнините на опън те са насочени в различни посоки (фиг. 26, а). Модул на резултантното напрежение Отвъд равнините на напрежението .
б) Ако равнините са различно заредени, тогава, напротив, между равнините на напрежение те са насочени в една посока (фиг. 26, б), а извън равнините - в различни посоки. 8. Електростатично поле се създава от равномерно заредена безкрайна равнина. Покажете, че това поле е хомогенно. Нека повърхностната плътност на заряда е s. Очевидно е, че векторът E може да бъде перпендикулярен само на заредената равнина. Освен това е очевидно, че в точки, симетрични по отношение на тази равнина, векторът E е еднакъв по абсолютна стойност и противоположен по посока. Тази конфигурация на полето предполага, че прав цилиндър трябва да бъде избран като затворена повърхност, където се приема, че s е по-голямо от нула. Потокът през страничната повърхност на този цилиндър е нула и следователно общият поток през цялата повърхност на цилиндъра ще бъде равен на 2*E*DS, където DS е площта на всеки край. Според теоремата на Гаус където s*DS е зарядът в цилиндъра. По-точно този израз трябва да бъде написан по следния начин: където En е проекцията на вектора E върху нормалата n към заредената равнина, а векторът n е насочен встрани от тази равнина. Фактът, че E не зависи от разстоянието до равнината, означава, че съответното електрично поле е еднородно. 9. От медна тел е направена четвърт окръжност с радиус 56 см. Върху телта е равномерно разпределен заряд с линейна плътност 0,36 nC/m. Намерете потенциала в центъра на кръга. Тъй като зарядът е линейно разпределен по жицата, за да намерим потенциала в центъра, използваме формулата: Където s е линейната плътност на заряда, dL е проводниковият елемент. 10. В електрическо поле, създадено от точков заряд Q, отрицателен заряд -q се движи по силова линия от точка, разположена на разстояние r 1 от заряда Q, до точка, разположена на разстояние r 2 . Намерете увеличението на потенциалната енергия на заряда -q върху това изместване. По дефиниция потенциалът е величина, числено равна на потенциалната енергия на един положителен заряд в дадена точка от полето. Следователно потенциалната енергия на заряда q 2: 11. Два еднакви елемента с е.д.с. 1,2 V и вътрешно съпротивление от 0,5 ома са свързани паралелно. Получената батерия е затворена до външно съпротивление от 3,5 ома. Намерете тока във външната верига. Според закона на Ом за цялата верига силата на тока във външната верига е: Където E` е ЕМП на клетъчната батерия, r` е вътрешното съпротивление на батерията, което е равно на: ЕМП на батерия е равна на сумата от ЕМП на три клетки, свързани последователно: Следователно: Да разгледаме жица с дължина L и диаметър d, направена от материал със съпротивление p. Съпротивлението на проводника R може да се намери по формулата Където s = е площта на напречното сечение на жицата. При сила на тока I за време t количеството топлина Q се отделя в проводника: В този случай спадът на напрежението върху проводника е: Съпротивление на медта: p1=0,017 µOhm*m=1,7*10 -8 Ohm*m съпротивление на стомана: p2=10 -7 Ohm*m тъй като проводниците са свързани последователно, силите на тока в тях са еднакви и за времето t в тях се отделят количествата топлина Q1 и Q2: 12. В еднородно магнитно поле има кръгова намотка с ток. Равнината на намотката е перпендикулярна на силовите линии. Докажете, че резултантната на силите, действащи върху веригата от страната на магнитното поле, е равна на нула. Тъй като кръгла намотка с ток е в еднородно магнитно поле, силата на Ампер действа върху нея. В съответствие с формулата dF=I резултантната амперна сила, действаща върху намотка с ток, се определя от: Когато интегрирането се извършва по дадена верига с ток I. Тъй като магнитното поле е равномерно, векторът B може да бъде изваден от интеграла и проблемът се свежда до изчисляване на векторния интеграл. Този интеграл представлява затворена верига от елементарни вектори dL, така че е равен на нула. Това означава, че F=0, тоест получената сила на Ампер е нула в еднородно магнитно поле. 13. През къса намотка с 90 навивки с диаметър 3 cm протича ток. Интензитетът на магнитното поле, създадено от тока по оста на намотката на разстояние 3 cm от нея, е 40 A/m. Определете тока в намотката. Ако приемем, че магнитната индукция в точка А е суперпозиция на магнитните индукции, създадени от всяко завъртане на намотката поотделно: За да намерим завоя B, използваме закона на Био-Савар-Лаплас. Където dB на бобината е магнитната индукция на полето, създадено от текущия елемент IDL в точката, определена от радиус вектора r. Избираме елемента dL в края и изчертаваме радиус вектора r от него до точка A. Нека насочим вектора dBturn в съответствие с правилото на gimlet. Според принципа на суперпозицията: Където интегрирането се извършва върху всички елементи на dL цикъла. Нека разложим dBturn на два компонента dBturn(II), успоредни на равнината на пръстена и dBturn(I), перпендикулярни на равнината на пръстена. Тогава Забелязвайки това Където dBturn(I) =dBturn*cosb и Тъй като dl е перпендикулярно на r Отменете с 2p и заменете cosb с R/r1 Изразяваме оттук I, като знаем, че R=D/2 съгласно формулата, свързваща магнитната индукция и силата на магнитното поле: тогава според Питагоровата теорема от чертежа: 14. Електрон лети в еднородно магнитно поле в посока, перпендикулярна на силовите линии със скорост 10۰10 6 m / s и се движи по дъга от окръжност с радиус 2,1 см. Намерете индукцията на магнитното поле. Електрон, движещ се в еднородно магнитно поле, ще бъде повлиян от силата на Лоренц, перпендикулярна на скоростта на електрона и следователно насочена към центъра на кръга: Тъй като ъгълът между v и And е 90 0: Тъй като силата Fl е насочена към центъра на кръга и електронът се движи около кръга под действието на тази сила, тогава Изразяваме магнитната индукция: 15. Квадратна рамка със страна 12 cm, изработена от медна жица, се поставя в магнитно поле, чиято магнитна индукция варира според закона B \u003d B 0 Sin (ωt), където B 0 \u003d 0,01 T, ω \u003d 2 π / T и T = 0,02 s. Равнината на рамката е перпендикулярна на посоката на магнитното поле. Намерете най-голямата стойност на ЕДС. индукция, възникваща в рамката. Площ на квадратна рамка S=a 2 . Изменение на магнитния поток dj, когато равнината на рамката е перпендикулярна dj=SdB Определя се едс на индукция E ще бъде максимално при cos(wt)=1
(13.10)
(13.11)
(13.13)
.
.
.
.
(ако r > R )
;
;
.
Ако плочата е на същото разстояние от плочите на кондензатора, тогава потенциалната разлика между плочите е нула.
където σ 1 и σ 2 - повърхностна плътност на заряда от лявата и дясната страна на плочата, която възниква след въвеждането на плочата в полето E 0 . Общият заряд на плочата няма да се промени, така чеσ 1 + σ 2 =2 σ, откъдето σ 1 = σ- ε 0 E 0
, σ 2 = σ + ε 0 E 0
. Полето извън плочата е суперпозиция на полето E 0 и полетата на заредената плоча д. Вляво отчинии Вдясно от чинията
Примери за изчисляване на някои полета
през тази повърхност
,
.
.
, (2.5)
безкрайна равнина е заредена с постоянна повърхностна плътност +
σ
.
.
.
. (2.6)
устието на равнината са равномерно заредени с еднакви повърхностни плътности + σ
И - σ
(фиг. 18).
.
. (2.7)
.
, (2.8)
радиус на топката на устата Р
заредени с постоянна обемна плътност на заряда ρ
.
, получаваме:
(r
≤
Р
). (2.9)
.
се изчислява по закона на Кулон (1.2), а в задача 2.3 - от дефиницията на напрегнатостта на електростатичното поле (2.1) 
. Силата на електростатичното поле на безкрайна равномерно заредена равнина се извежда с помощта на теоремата на Остроградски-Гаус (2.4).
Полето на равнината е еднородно и не зависи от разстоянието до равнината. От фиг. 21:
.
,
.
,
.
решение.
Нека покажем на фигурата силата на полето, създадено от всяка нишка поотделно. вектор 
насочени Да се
първата нишка, тъй като е отрицателно заредена. вектор 
насочени от
втората верига, тъй като е положително заредена. Вектори 
И 
взаимно перпендикулярни, така че резултантният вектор 
ще бъде хипотенузата на правоъгълния триъгълник. Векторни модули 
И 
се определят по формула (2.5).
.
.
,
, най-накрая получаваме:
.
.
.
И 
се изчисляват по формула (2.6).
И 
насочени в една посока. Тъй като полето на безкрайните заредени равнини е хомогенно, т.е. не зависи от разстоянието до равнините, тогава във всяка точка както отляво, така и отдясно на равнините полето ще бъде същото:
12 В електрическа верига медни и стоманени проводници с еднаква дължина и диаметър са свързани последователно. Намерете съотношението на количествата топлина, отделена в тези проводници.
поради съображения за симетрия и че векторите dBcoil(I) са еднопосочни, заместваме векторната интеграция със скаларна:
