Под формата на приложение вече можем да се заемем с решението на един популярен математически проблем, който вече беше засегнат, а именно проблема за разделянето на всеки ъгъл на равни части, по-специално за проблема с трисекцията на ъгъл. Проблемът е да се намери точна конструкция с помощта на пергел и линейка, която да даде разделянето на всеки ъгъл на три равни части. За редица специални стойности на ъгъла могат лесно да се намерят такива конструкции. Искам да ви запозная с хода на мисълта за доказване на невъзможността да се раздели на три ъгъла в посочения смисъл; в същото време ви моля да си припомните доказателството за невъзможността да се построи правилен седемоъгълник с пергел и линейка. Както в това доказателство, ние ще сведем проблема до несводимо кубично уравнение и след това ще покажем, че не може да бъде решен само чрез вземане на квадратен корен. Но едва сега уравнението ще включва параметър - ъгъла - докато преди коефициентите бяха цели числа; в съответствие с това сега вместо числова трябва да има функционална несводимост.

За да получите уравнение, което пише нашия проблем, представете си това върху положителната полуос реални числае построен ъгъл (фиг. 41); тогава другата му страна ще пресича окръжността с радиус 1 в точката

Нашата задача е да намерим такава конструкция, независима от големината на ъгъла, състояща се от краен брой операции с пергел и линийка, която всеки път да дава точката на пресичане на тази окръжност със страната на ъгъла, т.е. точката

Тази z стойност удовлетворява уравнението

а аналитичният еквивалент на нашата геометрична задача е да решим това уравнение, като вземем краен брой квадратни корени от рационални функции от за това са координатите на точката w, от която трябва да започнем в нашата конструкция.

Преди всичко трябва да се уверим, че уравнение (3) е неприводимо от гледна точка на теорията на функциите. Вярно е, че това уравнение не отговаря съвсем на типа уравнения, които имахме предвид в предишните общи разсъждения: вместо рационално възникващия комплексен параметър w тук рационално влизат две функции - косинусът и синусът - на реалния параметър. наричаме полинома редуцируем тук при условие, че той се разлага на полиноми по отношение на , чиито коефициенти също са рационални функции на Можем да дадем критерий за редуцируемост, разбиран в този смисъл, който е доста подобен на предишния. А именно, ако в равенство (3) преминава през всички реални стойности, то в същото време преминава през окръжността с радиус 1 в равнината w, която поради стереографската проекция съответства на екватора върху сферата w. Линията, лежаща над тази окръжност на римановата повърхност на уравнението и едновременно преминаваща през всичките три листа, се преобразува едно към едно с помощта на (3) върху окръжност с радиус 1 на сферата и следователно може да бъде извикана на някои степен на неговия „едноизмерен риманов образ“. Ясно е, че по подобен начин е възможно да се конструира такъв риманов образ за всяко уравнение от вида; за да направите това, трябва да вземете толкова окръжности с радиус 1 и дължина на дъгата, колкото корени има уравнението, и да ги закрепите според връзката на корените.

Освен това, ние заключаваме, точно както предишното, че уравнението би могло да бъде редуцирано само ако неговото едномерно риманово изображение беше разделено на отделни части, но в този случай това не е така и следователно несводимостта на нашето уравнение (3 ) е доказано.

Предишното доказателство, че всяко кубично уравнение с рационални числови коефициенти, разрешимо чрез поредица от извличания на квадратен корен, е редуцирано, може да се пренесе дословно до настоящия случай на уравнение (3), което е функционално несводимо; струва си само да казваме вместо думите „рационални числа“ всеки път, когато казваме „рационални функции от След това нашето твърдение, че е невъзможно да се извърши разделяне на три части от произволен ъгъл с помощта на краен брой операции (с пергел и линийка) по такъв начин, че всички усилия на хората, участващи в трисекцията на ъгъла, са обречени на вечна безполезност!

Сега да преминем към малко по-сложен пример.

Проблемите за изграждането на пергел и линийка днес се считат за много интересни от математика. Това е традиционен материал от повече от сто години. училищен курсгеометрия. Един от най-ценните аспекти на подобни задачи е, че те развиват умения за търсене за решаване на практически задачи, въвеждат ги в самостоятелно изследване и допринасят за разработването на специфични геометрични изображения. Конструктивните задачи предизвикват интерес, допринасят за активирането на умствената и познавателната дейност. При решаването им се използват активно знанията за свойствата на фигурите, подобряват се уменията за геометрични конструкции. В резултат на това се развиват конструктивни способности, което е една от целите на изучаването на геометрията.

Обхватът на проблемите, разглеждани в геометрията, е много широк. Сред тях особено място заемат задачите за конструиране, които допринасят за развитието на сигурност, последователност и валидност на мисленето. На тези задачи човек може да научи такива методи на познание като анализ и синтез.

Тема на урока:Разделяне на ъгъл с пергел и линийка.

клас: 7 (задълбочено проучване)

Тип урок:урок за изучаване на нов материал. Методи и техники на урока:

• фронтална работа с класа;
• затвърждаване: работа на учениците по двойки върху карти.

Цели на урока:

Урок: осигуряват усвояването на нов материал, като проверяват знанията на учениците за фактическия материал по темата „Задачи за изграждане с пергел и линийка“; способността на студентите да прилагат самостоятелно знания в променени нестандартни условия.

Разработване: Да развива мисленето на учениците при решаване на проблеми, които излизат извън обхвата на училищния курс; развиват способността да анализират, сравняват, правят заключения; развива паметта на учениците.

Образователни: възпитание у учениците на интерес към предмета, добронамереност, способност за работа в екип и по двойки.

Оборудване:

• интерактивна бяла дъска или проектор;
• работна карта за всеки ученик (Приложение);
• презентация Разделяне на ъгъл с пергел и линийка.

Цели на урока:

1. повторете основните конструкции с пергел и линийка;
2. помислете за разделяне на ъгъла на равни ъгли;
3. развиват умението за конструиране на ъглополовяща на ъгъл, равностранен триъгълник.

По време на занятията

I. Организационен момент

II. Поставяне на цели и задачи за урока.

Момчетата трябва

знам: стандартни конструкции с пергел и линийка,

да умеят: 1) да построят ъглополовяща, равностранен триъгълник; 2) прилага стандартни конструкции при решаване на задачи за разделяне на ъгъл с пергел и линийка.

III. Актуализиране на основни знания

Слайдовете се появяват на екрана с последователност от стъпки. Учениците трябва да определят какъв вид строителна задача описва дадената последователност от стъпки.

Упражнение 1:

1. AB е права линия.
2. Да начертаем обкръжение (A; AB) C - пресечната точка на окръжността и правата AB.
3. Нека начертаем окръжности (C; R) и кръгове (B; R) P - пресечната точка на окръжностите.
4. Да направим SR.

Отговор: изграждане на прав ъгъл

Задача 2:

1. AB е сегмент.
2. Да начертаем okr.(А;R) и окръг.(B;R) Р, Н – пресечни точки на окръжности.
3. Нека начертаем pH, получаваме точка O на AB.

Отговор: построяване на перпендикулярната ъглополовяща PH спрямо AB

Задача 3:

1. Да начертаем обкръжение (A; R) P, H - пресечните точки на окръжността и страните на ъгъла.
2. Да начертаем обкръжение (P; RN) и обкръжение (N; RN) K - пресечната точка на окръжностите.
3. Да направим АК.

Отговор: построяване на сисектриса на ъгъл

Задача 4:

1. AB е сегмент.
2. Да начертаем окр.(А;АВ) и окр.(В;АВ)С - пресечната точка на окръжностите.
3. Ще проведем AC и BC

Отговор: построете равностранен триъгълник

IV. Изучаване на нов материал

учител: Днес трябва да определим дали „Разделянето на даден ъгъл на равни ъгли“ винаги е възможно.

учител: Каква стандартна конструкция според вас ще ни позволи да разделим ъгъл на 2, 4, 8, 16, ... равни ъгли?

Отговор: Конструкцията на бисектриса на ъгъла ви позволява да разделите всеки ъгъл на 2, 4, 8, ... 2n равни ъгли. Във всеки случай задачата се свежда до конструиране на ъглополовящите на получените ъгли, което винаги може да се направи с пергел и линийка. Например, разделете ъгъл ABC на 4 равни ъгъла. Изграждаме ъглополовящата VC на ъгъла ABC, получаваме ъгъл ABK \u003d ъгъл SVK \u003d ъгъл ABC: 2. Изграждаме ъглите BP и VM съответно на ъглите ABK и CDR. Получаваме: ъгли ABP = RVC = MVK = SVM = AVC: 2 = ABC: 4.

учител: Възможно ли е да разделим произволен ъгъл на 3 равни ъгъла?

Справка по история.Можете да дадете задачата на учениците да изготвят кратък доклад по темата за трисекция на ъгъл. Ъгъл трисекция. Изкуството да се конструират геометрични фигури с пергел и линийка беше в висока степенразработен в Древна Гърция. Проблемът за трисекцията на ъгъла (разделянето на ъгъла на три равни части с помощта на пергел и линейка) е известен в древността. Всеки ъгъл не може да бъде разделен на три равни части, като се използва само пергел и линейка. Още през V век се правят опити за решаване на проблема с помощта на инструменти и средства. пр.н.е. Френският математик П. Ванзел през 1837г. беше първият, който строго доказа, че е невъзможно да се извърши трисекция с пергел и линейка.

Проблемът за трисекцията на ъгъла става разрешим в общия случай, ако не се ограничи в геометричните конструкции само до класически инструменти, пергел и линийка. Така, например, Хипиас от Елида, известният софист, живял около 420 г. пр. н. е., използвал квадратриса, за да раздели ъгъл на трисеци. Александрийският математик Никомед (2 век пр. н. е.) решава проблема за трисекцията на ъгъл с помощта на една крива, наречена конхоида на Никомед, и дава описание на устройството за изчертаване на тази крива. Интересно решение на проблема с трисекцията на ъгъл дава Архимед в книгата му Леми.

Проблемът с трисекцията на ъгъла се оказва разрешим за някои други конкретни стойности на ъгъла: 90, 45, 135 (в градуси). Питагорейците са знаели как да разделят прав ъгъл на три равни части, въз основа на факта, че в равностранен триъгълник всеки ъгъл е 60 градуса.

учител: Решението на проблема е показано на интерактивната дъска.

1. Помислете за решение на този проблем.
2. Определете основните структури.
3. Докажете, че тези стъпки ще доведат до желания резултат.

Задача 1:Трисекция на прав ъгъл.

Нека се изисква да разделим правия ъгъл MAN на три равни части. Отделяме произволен отсечка AK на лъча AN, върху който изграждаме равностранен триъгълник AKB. Тъй като ъгъл KAB е 60 градуса, ъгъл MAB = 30 градуса. Изграждаме ъглополовящата на ъгъла KAB, получаваме желаното деление на правия ъгъл MAN на три равни ъгъла.

Отговори:

2. Построяване на равностранен триъгълник, построяване на ъглополовяща.

3. Доказателство: Ъгъл MAN=90 градуса. Триъгълник AKB е равностранен, ъгъл KAB = 60 градуса. Значи ъгъл MAB = ъгъл MAN - ъгъл KAB = 30 градуса. AR е ъглополовящата на ъгъла CAB, така че ъгъл CAR = ъгъл RAB = 30 градуса. Получаваме, че ъгълът CAR = ъгъл RAB = ъгъл MAB = 30 градуса, т.е. желаното разделяне на прав ъгъл MAN на три равни ъгъла.

учител: AT работна книгазавършете изграждането на трисекция на прав ъгъл, описвайки всички етапи на "Строителство". Не забравяйте да напишете "Доказателство".

учител: Какви ъгли винаги могат да се начертаят с пергел и линейка?

Отговор: ъгли: 60 градуса - ъгъл в равностранен триъгълник, 30 градуса - симетраса на ъгъл в равностранен триъгълник, 45 градуса - ъглополовяща на прав ъгъл, 15 градуса - ъглополовяща на ъгъл от 30 градуса, 90 градуса - перпендикуляр на права линия, 180 градуса - точка на права линия.

учител: Възможно ли е да разделим произволен ъгъл на 5, 7, 11, ... равни ъгли?

учител: Този проблем се оказва разрешим за някои конкретни стойности на ъгъла. Например: с помощта на пергел и линийка можете да изпълните следната конструкция (при условие, че дадените ъгли вече са изградени и тяхната стойност е известна):

Задача 2:Разделете ъгъла от 66 градуса на 11 равни части (при условие, че този ъгъл е изграден и неговата стойност е известна).

решение:Защото 66 градуса: 11 \u003d 6 градуса, след което за решаване на този проблем отново ще използваме ъгъла от 60 градуса - равностранен триъгълник. При конструиране на равностранен триъгълник получаваме 66 градуса - 60 градуса = 6 градуса, изграждаме два пъти по ъгъл от 6 градуса (60 - 6 - 6 = 48 градуса), след което разделяме ъгъла от 48 градуса на 8 равни ъгли (т.е. чертаем ъглополовящи). В този случай получаваме 11 ъгъла от 6 градуса.

Когато разглежда този проблем, учителят задава насочващи въпроси и води децата да решат проблема. Решението на задачата се записва в работната тетрадка.

V. Физическо възпитаниеУчителят провежда упражнения с учениците за отпускане на очите.

V. Затвърдяване на изучавания материал - самостоятелна работапо двойки

учител: Всеки ученик получава карта със задачи (Приложение). Учениците, седнали на една и съща маса, имат една и съща версия на задачите. Учениците изпълняват работата по двойки, но всеки рисува решение на картата си.

Оценка за работата по картата (учителят обявява преди започване на работа):

"5" - за 3 правилно изпълнени и формализирани задачи.

"4" - за 2 правилно изпълнени и проектирани задачи или за 3 задачи с недостатъци в дизайна.

"3" - за 1 правилно изпълнена и формализирана задача или за 2 задачи с недостатъци в дизайна.

Решаване на проблеми на самостоятелна работа:

Задача 1:Трисекция под ъгъл от 45 градуса.

РешениеТози проблем се свежда до изграждането на равностранен триъгълник. Нека се изисква ъгълът MAN=45 градуса да се раздели на три равни части. Отделяме произволен отсечка AK върху лъча AN, върху който изграждаме равностранен триъгълник AKB в същата полуравнина с точка M спрямо правата AK. Построяваме ъглополовящата AR на ъгъла KAV, след това ъглополовящата AC на ъгъла RAK и получаваме желаното разделение на ъгъла MAN на три равни ъгъла MAP=PAC=SAK=15 градуса.

доказателство:Защото триъгълник AKB е равностранен, тогава ъгъл AKB = 60 градуса. AR е ъглополовящата на ъгъла CAB, така че ъглите BAR = PAK = 30 градуса и ъгъл MAP = ъгъл MAK - ъгъл PAK = 45 градуса - 30 градуса = 15 градуса. AC е ъглополовящата на ъгъла RAK, така че ъглите PAC = SAK = 15 градуса. И така, ъглите MAR=RAS=SAK=15 градуса.

Задача 2 (1 опция):Разделете ъгъл от 50 градуса на 10 равни ъгъла.

решение:Защото 50: 5=10, тогава за решаване на тази задача ще използваме ъгъл от 60 градуса - равностранен триъгълник. Получаваме 1) 60–50 \u003d 10, 2) 50–10 \u003d 40, 3) 40: 4 \u003d 10 (в градуси).

Задача 2 (Вариант 2):Разделете ъгъл 720 на 6 равни ъгъла.

решение:Защото 72: 6=12, тогава за решаване на тази задача ще използваме ъгъла 60 - равностранен триъгълник. Получаваме 1) 72–60 = 12, 2) 60–12= 48, 3) 48: 4=12 (в градуси).

Задача 3:Разделете ъгъла на 4 равни ъгъла.

решение:Разделете ъгъла ABC на 4 равни ъгъла. Изграждаме ъглополовящата VC на ъгъла ABC, получаваме ъглите ABK \u003d SVK \u003d ъгъл ABC: 2. Изграждаме ъглите BP и VM съответно на ъглите ABK и CDR. Получаваме: ъгли АВР=РВК=МВК=СВМ= ъгъл АВК:2= ъгъл АВС:4.

VI. Домашна работа

Къщи. Решавам проблеми:

1. Трисекция на ъгъл от 135 градуса.

2. Конструирайте ъгъл от 53 градуса, ако е построен ъгъл от 104 градуса.

VII. Резюме на урока

Отговори на въпросите:

1. Винаги ли е осъществимо трисекцията на ъгъл?

Само в някои специални случаи: 450, 900.

2. Какво ново научихте в урока?

Винаги можете да строите с пергел и линийка:

1) ъгълът е n пъти по-голям от дадения ъгъл.

2) разделете всеки ъгъл на 2, 4, 8, ... 2n равни ъгли.

3) ъгли: 60, 30, 45, 15, 90, 180 (в градуси).

4) можете да разделите някои дадени ъгли на определен брой равни ъгли или да построите ъгъл с необходимия размер.

3. Възможно ли е да разделим произволен ъгъл на 5, 7, 11, ... равни ъгли?

Не. Само в някои специални случаи.

Домашна работа:

Задача 1:Трисекция на ъгъл от 135 градуса.

Нека се изисква ъгълът MAN=135 градуса да се раздели на три равни части. Защото 135:3 = 45, след което от точка А изграждаме перпендикуляр AK към правата AM. След това построяваме ъглополовящата AP на ъгъла KAM. В този случай получаваме необходимото разделяне на ъгъла MAN на три равни ъгъла, ъгли KAN=KAR=PAM=45 градуса.

доказателство:Защото AK е перпендикуляр на правата AM, тогава ъгълът KAM = 90 градуса, ъгълът NAK = 135 градуса - 90 градуса = 45 градуса. AR е ъглополовящата на ъгъла KAM, така че ъгъл BAR = ъгъл RAK = 45 градуса. И така, ъглите MAP=RAS=SAK=45 градуса.

Задача 2:Конструирайте ъгъл от 53 градуса, ако е конструиран ъгъл от 104 градуса.

При решаването използваме конструкцията на прав ъгъл, ъглополовяща и ъгъл от 60 градуса.

Конструкция: 1) 104 градуса - 90 градуса = 14 градуса, 2) 14 градуса: 2 = 7 градуса, 3) изграждаме 60 градуса и 60 градуса -7 градуса = 53 градуса.

Приложение:

Библиография:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Образование, 2005. - 335 с.
2. Далингер В.А. Планиметрични задачи за конструиране. Омск: Издателство на OGPI, 1999. - 78 с.
3. Илина Н.И. Геометрични конструкциина повърхността. М.: Училище - преса, 1997. - 172 с.
4. Манин И.Ю. За разрешимостта на строителни задачи с помощта на пергел и линейка // Енциклопедия по елементарна математика. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. с. 205-227.
5. Погорелов A.V. Геометрия, 7–11. М.: Просвещение, 1992
6. Прасолов В.В. Три класически строителни проблема. М.: Наука, 1992. 80 с.
7. Енциклопедия за деца. Т. 11. Математика / Изд. колегия: М. Аксенова, В. Володин и др. - М.: Аванта +, 2005.

Появата на проблема за трисекция на ъгъл (т.е. разделяне на ъгъл на три равни части) е обусловена от необходимостта от решаване на задачата за конструиране на правилни многоъгълници. Изграждането на правилен петоъгълник с пергел и линийка трябваше да направи голямо впечатление на питагорейците, тъй като правилната петолъчна звезда беше техният идентификационен знак (символизира здравето). Известна е следната легенда.

Един питагореец умираше в чужда земя и не можеше да плати на човека, който се грижеше за него. Преди смъртта си той му заповядва да изобрази петолъчна звезда на жилището си: ако някога мине питагореец, той определено ще попита за това. И наистина, няколко години по-късно, питагореец видя този знак и награди собственика на къщата.

Произходът на проблема с трисекцията на ъгъла също е свързан с практически дейности, по-специално беше необходимо да може да се раздели кръг на равни части при производството на колело със спици, разделящо ъгъл или дъга на кръгът на няколко равни части е бил необходим и в архитектурата, при създаването на орнаменти, в строителната техника и в астрономията.

С помощта на пергел и линейка за n=6 и 8 могат да се конструират правилни n-ъгълници, но за n=7 и 9 това е невъзможно. Изграждането на правилен хептагон е интересен проблем: той може да бъде решен с помощта на метода "вмъкване". Изграждането на правилен хептагон е предложено от Архимед. Но опитите за конструиране на правилен неъгълник просто трябваше да доведат до проблема с трисекция на ъгъла, тъй като за изграждането на правилен неъгълник беше необходимо да се построи ъгъл от 360 ° / 9 \u003d 120/3, т.е. да се раздели ъгълът от 120 ° на три равни части.

Защо гърците предпочитат пергела и владетеля пред други инструменти?

Учените не могат да отговорят на този въпрос недвусмислено и достатъчно убедително. Дали защото пергелът и линейката са най-простите инструменти? Може би така. Въпреки това, много други инструменти могат да бъдат посочени, толкова прости като компас и линейки, или почти толкова прости. С помощта на някои от тях се решават и формулираните задачи.

В съответната литература могат да се намерят опити да се обясни такава необичайна симпатия на гърците специално към компаса и владетеля. Всякакви геометрична фигурасе състои от два вида линии - прави или извити. И всяка крива се състои от части от кръгове с различни диаметри. В този случай правата линия и окръжността са единствените линии с постоянна кривина в равнината.

Разделяне на прав ъгъл на три равни части.

В някои специални случаи е лесно да се извърши разделянето на ъгъла. И така, питагорейците са успели да разделят прав ъгъл на три равни части, въз основа на факта, че в равностранен триъгълник всеки ъгъл е равен на 60º.

Нека се изисква да се раздели на три равни части от правата линия (MAN.

Отделяме произволен отсечка AC върху лъча AN, върху който изграждаме равностранен триъгълник ASV. Тъй като (CAB е равно на 60º, тогава (BAM е равно на 30º. Построяваме бисектрисата AD на ъгъла CAB, получаваме необходимото деление на правата линия (MAN на три равни ъгъла: (NAD, (DAB, (BAM .

Проблемът с трисекцията на ъгъла се оказва разрешим за някои други конкретни стойности на ъгъла (например за ъгли от 90o / 2n, където n е естествено число). Фактът, че нито един ъгъл не може да бъде разделен на три равни части с помощта само на пергел и линейка, е доказано едва през първата половина на 19 век.

Решаване по метода на "вмъквания"

Някои от методите за ъглова трисекция, разглеждани от гърците, използваха така наречения метод на вмъкване. Състои се в намиране на позицията на права линия, минаваща през нея дадена точка O, на която две дадени прави (или права и окръжност) биха отрязали сегмент с дадена дължина a. Такава конструкция може да се извърши с помощта на пергел и линийка с две деления, разстоянието между които е равно на a.

С помощта на "вложки" е много лесно да разделите ъгъла на три равни части. Вземете произволна точка A от страната на ъгъла с връх B и пуснете перпендикуляра AC от нея на другата страна.

Начертайте през точка A лъч, съпосочен с лъч BC. Нека сега вмъкнем отсечка DE с дължина 2AB между лъчите AC и l, така че неговото продължение да минава през точка B. Тогава (EBC = (ABC / 3. Наистина, нека G е средата на отсечката DE. Точка A лежи върху окръжност с диаметър DE, следователно AG = GE = DE/2 = AB. Триъгълниците BAG и AGE са равнобедрени, следователно (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

Пап от Александрия показа, че проблемът за "вмъкване" на отсечка между дадени перпендикулярни прави l1 и l2 се свежда до конструиране на пресечна точка на окръжност и хипербола. Да разгледаме правоъгълник ABCD, чиито разширения на страните BC и CD са дадени прави, а върхът A е дадена точка, през която трябва да се начертае права, която пресича правите l1 и l2 в такива точки E и F, че отсечката EF има дадена дължина.

Завършваме триъгълника DEF до паралелограма DEFG. За да построите желаната права, достатъчно е да построите точката G и след това през точката А да начертаете права, успоредна на правата DG. Точка G се отстранява от точка D на дадено разстояние DG = EF, така че точка G лежи върху окръжност, която може да бъде конструирана.

От друга страна, от сходството на триъгълници ABF и EDA получаваме AB: ED = BF: AD, т.е. ED*BF=AB*AD. Следователно, FG*BF=AB*AD = SABCD, т.е. точка G лежи върху хиперболата (ако насочите осите Ox и Oy по лъчите BF и BA, тогава тази хипербола се дава от уравнението xy = SABCD)

Решение с помощта на квадритрикса

„Граматическите“ проблеми включват проблема с разделянето на ъгъл във всяко отношение. Първата крива за решаване на такъв проблем е изобретена от Хипиас от Елида. По-късно (започвайки с Динострат) тази крива също е използвана за решаване на квадратурата на окръжността. Лайбниц нарече тази крива квадритриса.

Получава се по следния начин. Нека в квадрата ABCD краищата на отсечката B′C′ се движат равномерно по страните, съответно BA и CD, а отсечката AN се върти равномерно около точка A. Отсечката B′C′ в началния момент съвпада с отсечка BC, а отсечката AN съвпада с отсечката AB ; двата сегмента едновременно достигат крайната си позиция AD. Квадритриса е крива, която се описва от пресечната точка на сегментите B′C′ и AN.

За да се раздели острия ъгъл φ в някакво съотношение, е необходимо да се отдели ъгълът DAL = φ в горния чертеж, където L лежи върху квадратната. Нека пуснем перпендикуляра LH на сегмент AD. Нека разделим този перпендикуляр на правилно отношениеточка P. Начертайте през P отсечка, успоредна на AD, докато се пресече с квадритрисата в точка Q; лъчът AQ разделя ъгъла LAD в необходимото съотношение, тъй като според дефиницията на квадрата (LAQ: (QAD = (LP: (LH.

Практическа работа по изграждане на трисектори на ъгъл

Методът на вмъкване

С помощта на квадритриса

Решение с помощта на теоремата на Морли

Тъй като всеки ъгъл не може да бъде разделен на три равни части, можем да решим проблема с трисекцията на ъгъл в обратен ред, използвайки теоремата на Морли.

Теорема. Нека най-близките до страната BC трисектриси на ъгли B и C се пресичат в точка A1; точки B1 и C1 се дефинират по подобен начин. Тогава триъгълникът A1B1C1 е равностранен, а отсечката C1C е перпендикулярна на основата на правилен триъгълник.

Нека решим следната задача: ще построим триъгълник, от всички ъгли на който са изтеглени трисектори.

Строителен план.

1) Конструирайте два произволни ъгъла (BAC1 и (ABC1), едната страна на които е обща.

Построените ъгли трябва да отговарят на неравенството:

2) Нека лъчът AC1 е оста на симетрия. Отразете (BAC1 около оста AC1. По същия начин, отразете около оста BC1 (ABC1.

3) Нека лъчът AC2 е оста на симетрия. Отразете (C1AC2 около оста AC2. По същия начин, отразете около оста BC2 (C1BC2.

4) Свържете пресечните точки на трисектори C1 и C2 със сегмент C1C2.

5) Теоремата на Морли гласи, че когато трисектрите на триъгълник се пресичат, се получава правилен триъгълник, а отсечката C1C2 е перпендикулярна на основата на правилния триъгълник и минава през върха на този триъгълник. За да се построи правилен триъгълник, знаейки неговата височина, е необходимо: а) да се построят лъчи, излизащи от точка C1 под ъгъл от 30º спрямо отсечката C1C2; б) маркирайте пресечните точки на построените лъчи с трисектори с буквите B1 и A1; в) свържете точки A1, B1, C1. Получаваме равностранен триъгълник A1B1C1.

6) Да начертаем лъчи от точка C, минаващи през върховете на правилния триъгълник B1 и A1.

Нека оставим отсечките на трисектрите на триъгълника на фигурата.

Построили сме триъгълник ABC, от всички ъгли на който са начертани трисектриси.

Неразрешимост на трисекцията на ъгъл с помощта на пергел и линейка

За да се докаже невъзможността да се раздели всеки ъгъл на три равни части с помощта на пергел и линейка, е достатъчно да се докаже, че е невъзможно да се раздели определен ъгъл по този начин. Ще докажем, че не е възможно да се раздели ъгъл от 30° с помощта на пергел и линейка. Нека представим координатната система Oxy, като изберем върха на дадения ъгъл AOB за начало на координатите и насочим оста Ox по страната на OA. Можем да приемем, че точки A и B са на разстояние 1 от точка O. Тогава в задачата за трисечение на ъгъл се изисква да се построи точка (cosφ, sinφ) от точка с координати (cos Зφ, sin Зφ). В случай, когато φ=10°, началната точка има координати. И двете му координати са изразени в квадратни радикали. Следователно е достатъчно да се докаже, че числото sin 10° не се изразява в квадратни радикали.

Тъй като sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =

Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =

Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =

Sinφ(3 - 4sin2φ) =

3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, тогава числото x = sin 10° удовлетворява кубичното уравнение

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

Достатъчно е да се докаже, че това уравнение няма рационални корени. Да предположим, че 2x=p/q, където p и q са цели числа без общи делители. Тогава p3 – 3pq2 + q3 = 0, т.е. q3=p(3q2-p2). Следователно числото q се дели на p и следователно p=±1. Следователно, ±13q2 + q3 =0, т.е. q2(q±3)= ±1. Числото 1 се дели на q, така че q=±1. В резултат на това получаваме, че x = ± 1/2. Лесно е да се провери дали стойностите ±1/2 не са корени на уравнението. Получава се противоречие, така че уравнението няма рационални корени, което означава, че числото sin10 ° не се изразява в квадратни радикали.

Приложение

Трисекцията на ъгъл е необходима при конструиране на правилни многоъгълници. Ще разгледаме процеса на изграждане, като използваме примера на правилен неъгълник, вписан в кръг.

Ние строим правоъгълен триъгълник ABC. Изграждаме трисектори BC1 и BC2. Ъглите са 30º. Разделяме един от образуваните ъгли на две ъглови 15º. Да се прав ъгъл„добавете“ 15º от всяка страна. Отново изграждаме трисекторите на получения ъгъл DBE. Повтаряме това още два пъти, като завъртаме триъгълника в точка B, така че DB да съвпада с предишната позиция BE. Свързваме получените точки.

Успяхме да построим правилен нонагон, използвайки конструкцията на трисектори.

трисектор

Проблемът с трисекцията на ъгъл по принцип не е разрешим с пергел и линейка, но това изобщо не означава, че този проблем не може да бъде решен с други спомагателни средства.

За постигане на тази цел са изобретени много механични устройства, които се наричат ​​трисектори. Най-простият трисектор е лесно да се направи от дебела хартия, картон или тънък калай. Той ще служи като помощен инструмент за рисуване.

Трисектор и схема на неговото приложение.

Ивицата AB, съседна на полукръг, е равна по дължина на радиуса на полукръг. Ръбът на лентата BD образува прав ъгъл с правата линия AC; докосва полукръг в точка B; дължината на тази лента е произволна. Същата фигура показва приложението на трисектора. Нека например се изисква ъгълът KSM да се раздели на три равни части

Трисекторът е поставен така, че върхът на ъгъла S е на правата BD, едната страна на ъгъла минава през точка A, а другата страна докосва полукръг. След това се начертават прави линии SB и SO и разделянето на този ъгъл на три равни части е завършено. За да докажем това, нека свържем центъра на полукръг O с допирателната точка N с прав сегмент. Лесно е да се види, че триъгълникът ASB е равен на триъгълника SBO, а триъгълникът SBO е равен на триъгълника OSN. От равенството на тези три триъгълника следва, че ъглите ASB, BS0 и 0SN са равни един на друг, което трябваше да се докаже.

Този начин на трисекция на ъгъл не е чисто геометричен; може да се нарече механичен.

Трисекторен часовник

(инструкция за употреба)

Оборудване: компаси, линийка, часовник със стрелки, молив, прозрачна хартия.

работен процес:

Прехвърлете фигурата на този ъгъл върху прозрачна хартия и в момента, когато двете стрелки на часовника се комбинират, поставете чертежа върху циферблата, така че горната част на ъгъла да съвпада с центъра на въртене на стрелките и едната страна на ъгъла върви покрай ръцете.

В момента, когато минутната стрелка на часовника се движи, за да съвпадне с посоката на втората страна на този ъгъл, начертайте лъч от върха на ъгъла по посока на часовниковата стрелка. Образува се ъгъл, равен на ъгъла на завъртане на часовата стрелка. Сега с помощта на пергел и линийка удвоете този ъгъл и удвоете удвоения ъгъл отново. Ъгълът, получен по този начин, ще бъде ⅓ от този.

Всъщност всеки път, когато стрелката за минути описва определен ъгъл, часовата стрелка през това време се придвижва до ъгъл, който е 12 пъти по-малък и след увеличаване на този ъгъл с 4 пъти, ъгълът (a / 12) * 4 = ⅓ a е получени.

Заключение

По този начин нерешимите строителни проблеми са изиграли специална роля в историята на математиката. В крайна сметка беше доказано, че тези проблеми не могат да бъдат решени само с компас и линейка. Но самата формулировка на проблема – „да се докаже неразрешимост“ – беше смела крачка напред.

Въпреки това са предложени много решения с помощта на нетрадиционни инструменти. Всичко това доведе до появата и развитието на напълно нови идеи в геометрията и алгебрата.

След като попълните и прегледате вашите изследователска работаСтигнах до следните изводи:

✓ появата на подобни проблеми се дължи на практическата им значимост (по-специално изграждането на правилни многоъгълници);

✓ подобни проблеми предизвикват разработването на нови методи и теории (метод на „вмъквания”, поява на квадрат, теореми на Морли);

✓ нерешимите проблеми привличат повече внимание към науките: намирането на решение или доказването на невъзможността е голяма чест.

И също така разбрах:

✓ за математиците, изучавали този проблем;

✓ нови понятия, термини (трисекция, трисектор, квадраттриса) и теореми (Морли) и научени:

✓ ефективно намиране и избор на необходимия материал;

✓ да систематизират придобитите знания;

✓ правилно съставете изследователска работа.

Разделяне на ъгъл на три равни части с помощта на пергел и линийка (ъглова трисекция).

Жарков Вячеслав Сергеевич

Отсъства

интернет

анотация:

Предлага се общ подход за решаване на задачи за разделяне на ъгъл на равни части с помощта на компас и линейка. Като пример е показано разделянето на ъгъл на три равни части (Angle trisection).

Предлага се общият подход за решаване на проблеми да се раздели ъгъл на равни части с помощта на пергел и линийка. Като пример, ъгълът показва разделянето на три равни части (Трисечение на ъгъла).

Ключови думи:

инжекция; разделяне на ъгъла; ъглова трисекция.

ъгъл; разделителен ъгъл; трисекция на ъгъл.

УДК 51

Въведение.

Трисекция на ъгъл е проблемът за разделяне на даден ъгъл на три равни части чрез конструиране на пергел и линийка. С други думи, необходимо е да се построят трисектриите на ъгъла - лъчите, разделящи ъгъла на три равни части. Наред с проблемите за квадратура на окръжност и удвояване на куб, това е един от класическите нерешими строителни проблеми, познати още от древна Гърция.

целТази статия е доказателство за погрешността на горното твърдение за неразрешимостта, поне по отношение на проблема за трисекцията на ъгъла.

Предложеното решение не изисква сложни конструкции, почти универсален и ви позволява да разделяте ъглите на произволен брой равни части, което от своя страна ви позволява да изграждате всякакви правилни многоъгълници.

Уводна част.

Да начертаем права линия аи конструирайте ∆CDE върху него. Условно ще го наречем „основен” (фиг. 1).

Да избираме по линията апроизволна точка F и начертайте друга права линия бпрез точка F и върха D на триъгълника. На линия бвземете две произволни точки G и H и ги свържете с точки C и E, както е показано на фиг.1. Анализът на фигурата ни позволява да запишем следните очевидни връзки между ъглите:

1. α 1 -α 3 \u003d y 1; α3-α5 =y3; α 1 -α 5 \u003d y 1 + y 3;

2. α 2 -α 4 \u003d y 2; a4-a6 =y4; α 2 -α 6 \u003d y 2 + y 4;

3. y 1 / y 2 \u003d y 3 / y 4;

Обяснение1.към т. 3: Нека ъглите - ∟° С,∟ д,∟ Еса ъглите при съответните върхове на основния триъгълник ∆CDE. След това можете да напишете:

∟ ° С+∟ д+∟ Е=180 0 - сума от ъгли ∆CDE;

∟ ° С+ г 2 +∟ д-(г 2 + г 1 )+∟ Е+ г 1 =180 0 - сума от ъгли ∆CGE;

Нека бъдег 1 / г 2 = нилиг 1 = н* г 2 , тогава,

∟ ° С+ г 2 +∟ д-(г 2 + г 1 )+∟ Е+ н* г 2 =180 0

Сума от ъгли ∆CH:

∟ ° С+(г 2 + г 4 )+∟ д-(г 2 + г 4 + г 1 + г 3 )+∟ Е+ н*(г 2 + г 4 )=180 0 , откъдето

г 1 + г 3 = н*(г 2 + г 4 ) илиг 1 + г 3 = н* г 2 + н* г 4 , и тъй катог 1 = н* г 2 ,тогава

г 3 = н* г 4 и следователно y 1 / y 2 = y 3 / y 4 = n.

След това вземете две произволни точки на линията а- N и M и начертайте две линии през тях ° Си дкакто е показано на фиг.2. Очевидно, включително и от казаното по-рано, че съотношението на промените в съответните ъгли на линиите c и d е постоянна стойност, т.е.: (β 1 -β 3) / (β 3 -β 5) = (β 2 -β 4) / (β 4 -β 6) \u003d y 1 / y 3 \u003d y 2 / y 4;

Разделете ъгъла на три равни части.

Върху окръжност с център в точка A начертаваме ъгъла E 1 AE 2 =β (виж фиг. 3.1). От противоположната страна на окръжността начертаваме симетрично три ъгъла - CAC 1 , C 1 AC 2 , C 2 AC 3 всеки е равен на β. Разделете ъгъла E 1 AE 2 в точки K 1 ,K 3 на три равни ъгъла - ∟E 1 AK 1 , ∟K 1 AK 3 , ∟K 3 AE 2 равни на β/3. Начертайте прави линии през точките на окръжността, както е показано на фиг. 3.1. Свържете се с прави линии точки C, E 1 и C2,E. (Виж фиг. 3.2)

През точка K - пресечни точки на линии, и точка K 1 начертайте права линия. Избираме произволна точка K 2 на тази права и правим две прави линии от точки C и C 2 през нея.

Не е трудно да се види, че фиг. 3.2, ако премахнете кръговата линия, е почти идентична с фиг. 2. (добавена пунктирана линия CC 2 за по-голяма яснота). Това означава, че всички отношения, споменати по-горе, са приложими и тук, а именно за ъглите, които трябва да бъдат разделени на три равни части, е валидно отношението y 1 / y 2 = y 3 / y 4 = 1/2 (виж обяснението 1. в уводните части). От фигура 3.2 става ясно как да разделим ъгъла на три равни части.

Да разгледаме като пример разделянето на три равни части на ъгъла β=50 0 .

Опция 1.

Върху кръг с център A излагаме с компас симетрично един спрямо друг и диаметър CB (виж фиг. 4.1) дъги C 1 C 2 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 1 B 4 равно на β \u003d 50 0 - спрямо центъра на кръга. Разделяме половината от дъгата C 1 C 2 - CC 1 наполовина (точка D). Начертаваме прави линии през точки B 1 и D и точки B 3 и C. Свързваме точки B 1 и C, B 3 и C 1. Свързваме пресечните точки - F и E, предварително начертани линии, една с друга. Полученият ъгъл α=C 1 AG, ​​където G е пресечната точка на правата FE с окръжността, е равен на β/3.

Вариант 2.

Върху кръг с център A излагаме с компас симетрично един спрямо друг и диаметър CB (виж фиг. 4.2) дъги C 1 C 2 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 1 B 4 \u003d β \u003d 50 0 - спрямо центъра на кръга. Свързваме точки B 1 и C, B 3 и C 1. Отделете ъглите y 2 =2y 1 (виж фиг. 4.2) от линиите B 1 C и B 3 C 1 и начертайте прави, съответстващи на тези ъгли. Свързваме пресечните точки - F и E, предварително начертани линии, една с друга. Полученият ъгъл α=C 1 AG≈16.67 0 , където G е пресечната точка на правата FE с окръжността, е равен на β/3.

Пълната конструкция на разделянето на ъгъла на три равни части (например ъгъл β=50 0) е показана на фиг.5

Разделяне на ъгъл на нечетен брой (>3) равни ъгли.

Като пример разгледайте разделянето на ъгъла β=35 0 на пет равни ъгъла.

Метод номер 1.

На кръг с център A излагаме с компас симетрично един спрямо друг и диаметър CB ъглите C 2 AC 1 = B 1 AB 2 = B 2 AB 3 = B 3 AB 4 = B 4 AB 5 = B 5 AB 6 = β = 35 0. (Виж Фиг.6)

Разделяне на ъгъла C 2 AC наполовинаъгъл C 2 AC 1 наполовина в точка E. Свържете точките

E, C 2 , B 1 , B 2 , B 3 помежду си, както е показано на фигура 6. След това, за да разделите ъгъла, използвайте Вариант 2 от дадения по-горе пример, тъй като Вариант 1 за разделяне на ъгли на нечетно число > 3 - x равни ъгли очевидно не е приложимо. От линиите B 3 E и B 1 C 2 в точките B 3 и B 1, съответно, отделяме ъглите y 1 и y 2 в съотношение 1:4. От точки B 3 и B 1 правим прави, съответстващи на тези ъгли, докато се пресичат в точка N. Ъгълът C 2 AK=α=7 0 ще бъде желаният.

Метод номер 2.

Този метод (виж фиг. 7) е подобен на първия с единствената разлика, че за конструкции се използва ¼ от ъгъла C2AC1 - ъгълът EAC, съседен на средната линия на окръжността BC. Предимството на този метод е, че улеснява разделянето на ъгъла на голям брой ъгли - 7, 9, 11 и т.н.

Изграждане на правилен хептагон.

Да приемем, че n е броят на дяловете (броя на секторите, на които е разделен ъгълът).

Тогава ако н-1=2 к(1), където к- всяко цяло число, тогава ъгълът се разделя на една стъпка, което беше показано по-рано. Ако н-1 ≠ 2 к(2) - тогава ъгълът се разделя на два етапа, първо на н-1 , и след това нататък н. Във всички случаи се наблюдава връзката: г 1 / г 2 = 1/ н-1 (3).

Нека обясним това с примера за конструиране на правилен хептагон.

За да построите седмоъгълник, трябва да намерите 1/7 от ъгъла 60 0, да го умножите по шест и да отделите получения ъгъл седем пъти около кръга (това е една от възможните опции). Тъй като 7-1=6, тогава, в съответствие с формула (2), ще разделим ъгъла 60 0 на два етапа. На първия етап делим на шест, а след това, на втория етап, на седем. За тази цел ще разделим ъгъла 30 0 на три равни сектора по 10 0 всеки (виж фиг. 8), като използваме като най-простия вариант 1, описан в началото на статията. Полученият ъгъл ECL=10 0 ще бъде отделен от средната линия на окръжността (виж фиг.9). Ще приемем, че ъгълът ECL принадлежи на ъгъла 60 0, симетрично разположен спрямо средната линия.

Освен това, за да намерим 1/7-та част от ъгъла 60 0, използваме метод № 2, описан по-рано. За целта нека отделим ъгъла D 1 CD 2 =60 0 симетрично към средната линия и ъгъла D 2 CD 3 =60 0 до него. В точки D 1 и D 3 конструираме ъгли y 1 и y 2 спрямо линиите D 1 E и D 3 L, съответно, като спазваме пропорциите в съответствие с формула (3) - тоест от 1 до 6.

Нека начертаем прави линии под ъгли y 1 и y 2 . Свържете пресечните точки G и F на съответните линии. Ъгъл LCH=60 0 /7. Нека отложим този ъгъл шест пъти от точка L до точка B. Нека отложим получения ъгъл BCL още шест пъти и в резултат получаваме седмоъгълника LBKFMNA.

Заключение.

Методът за разделяне на ъгъла на равни части, предложен в тази статия, има ограничение - невъзможността да се приложи директно за ъгли > 60 0 , което обаче не е толкова важно от гледна точка на фундаменталната разрешимост на проблем.

Библиографски списък:

1. Метелски Н. В. Математика. добре гимназияза кандидати в университети и техникуми. Изд. 3-то, стереотип. Мн., „Вишейш. Училище”, 1975, 688 с. от болен.

Отзиви:

20.03.2016, 14:39 Назарова Олга Петровна
Преглед: Интересни изчисления, препоръчва се за печат

22.03.2016, 11:09 Мирмович-Тихомиров Едуард Григориевич
Преглед: Интересно, информативно, кратко. Видим инженерен подход. Но този материал не трябва да се публикува тук, а във всяко образователно списание. Ако вече е публикувано от автора в друго издание, още повече. Освен това тази платформа е много неудобна с формулите. Рецензентът не би искал да вижда никакви образователни, дидактически и учебни материали. Но няма да споря с уважаваната Олга Петровна. Може би редакторите сами ще решат нещо!?. Трудно е да се даде ясна препоръка да или не.

22.03.2016 16:16 Отговор на рецензията на автора Жарков Вячеслав Сергеевич:
Горното решение, което е очевидно, не предполага приблизително решение на проблема!!!. Невярно е само в един случай, което също е съвсем очевидно, ако сумата от ъглите на триъгълника върху равнината е ≠1800. Което е глупост. Някои основи, включително в математиката, понякога изискват корекции. И дидактиката няма нищо общо с това.