Дадени са основните свойства на логаритъма, графиката на логаритъма, областта на дефиниция, набора от стойности, основните формули, нарастването и намаляването. Разглежда се намирането на производната на логаритъма. Както и интегрални, степенни редове разширяване и представяне с помощта на комплексни числа.
СъдържаниеДомейн, набор от стойности, възходящ, низходящ
Логаритъмът е монотонна функция, така че няма екстремуми. Основните свойства на логаритъма са представени в таблицата.
| домейн | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Диапазон от стойности | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Монотонно | нараства монотонно | намалява монотонно |
| Нули, y= 0 | x= 1 | x= 1 |
| Точки на пресичане с оста y, x = 0 | Не | Не |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Частни ценности
Извиква се основният 10 логаритъм десетичен логаритъми се маркира така:
основен логаритъм дНаречен естествен логаритъм:
Основни формули за логаритъм
Свойства на логаритъма, произтичащи от дефиницията на обратната функция:
Основното свойство на логаритмите и последствията от него
Формула за заместване на основата
Логаритъмът е математическата операция за вземане на логаритъм. При вземане на логаритъм произведенията на факторите се преобразуват в суми от членове.
Потенцирането е математическа операция, обратна на логаритъма. При потенциране дадената основа се повишава до степента на израза, върху който се извършва потенцирането. В този случай сумите на термините се превръщат в произведения на факторите.
Доказателство за основните формули за логаритми
Формулите, свързани с логаритмите, следват от формулите за експоненциални функции и от дефиницията на обратна функция.
Помислете за свойството на експоненциалната функция
.
Тогава
.
Приложете свойството на експоненциалната функция
:
.
Нека докажем формулата за промяна на основата.
;
.
Задавайки c = b , имаме:
Обратна функция
Реципрочната стойност на основата а логаритъм е експоненциалната функция с степен а.
Ако, тогава
Ако, тогава
Производна на логаритъма
Производна на логаритъм по модул x:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>
За да се намери производната на логаритъм, тя трябва да бъде намалена до основата д.
;
.
Интегрална
Интегралът на логаритъма се изчислява чрез интегриране по части : .
Така,
Изрази по отношение на комплексни числа
Помислете за функцията на комплексното число z:
.
експресно комплексно число zчрез модул rи аргумент φ
:
.
След това, използвайки свойствата на логаритъма, имаме:
.
Или
Аргументът обаче φ
не е ясно дефиниран. Ако поставим
, където n е цяло число,
тогава ще бъде едно и също число за различни н.
Следователно логаритъмът, като функция на комплексна променлива, не е еднозначна функция.
Разширяване на силовата серия
За , разширяването се извършва:
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Лан, 2009.
Какво е логаритъм?
Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")
Какво е логаритъм? Как се решават логаритми? Тези въпроси объркват много завършили. Традиционно темата за логаритмите се счита за сложна, неразбираема и страшна. Особено - уравнения с логаритми.
Това абсолютно не е вярно. Абсолютно! Не вярвате? Добре. Сега, за около 10 - 20 минути вие:
1. Разберете какво е логаритъм.
2. Научете се да решавате цял клас експоненциални уравнения. Дори и да не сте чували за тях.
3. Научете се да изчислявате прости логаритми.
Освен това, за това ще трябва само да знаете таблицата за умножение и как числото се повишава до степен ...
Чувствам, че се съмняваш... Е, имай време! Отивам!
Първо, решете следното уравнение наум:
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Приемлив диапазон (ODZ) на логаритъма
Сега нека поговорим за ограниченията (ODZ - областта на допустимите стойности на променливите).
Спомняме си, че например квадратният корен не може да се вземе от отрицателни числа; или ако имаме дроб, тогава знаменателят не може да бъде нула. Има подобни ограничения за логаритмите:
Тоест и аргументът, и основата трябва да са по-големи от нула, а основата не може да бъде равна.
Защо така?
Нека започнем просто: да кажем това. Тогава, например, числото не съществува, тъй като независимо каква степен вдигаме, винаги се оказва. Освен това не съществува за никого. Но в същото време той може да бъде равен на всичко (по същата причина - равен на всяка степен). Следователно обектът не представлява интерес и просто е изхвърлен от математиката.
Подобен проблем имаме и в случая: в каквато и да е положителна степен - това, но изобщо не може да се издигне на отрицателна степен, тъй като ще се получи разделение на нула (напомням ви това).
Когато сме изправени пред проблема за повишаване на дробна степен (който е представен като корен:. Например, (тоест), но не съществува.
Следователно негативните причини са по-лесни за изхвърляне, отколкото да се забъркваш с тях.
Е, тъй като основата а е само положителна за нас, то без значение в каква степен я повишим, винаги ще получим строго положително число. Така че аргументът трябва да е положителен. Например, то не съществува, тъй като няма да бъде отрицателно число в каквато и да е степен (и дори нула, следователно и то не съществува).
При задачи с логаритми първата стъпка е да запишете ODZ. ще дам пример:
Нека решим уравнението.
Припомнете си определението: логаритъмът е степента, до която трябва да се повдигне основата, за да се получи аргумент. И според условието тази степен е равна на: .
Получаваме обичайното квадратно уравнение: . Решаваме го с помощта на теоремата на Виета: сумата от корените е равна, а произведението. Лесни за вземане, това са числа и.
Но ако веднага вземете и запишете и двете числа в отговора, можете да получите 0 точки за задачата. Защо? Нека помислим какво се случва, ако поставим тези корени в първоначалното уравнение?
Това е очевидно невярно, тъй като основата не може да бъде отрицателна, тоест коренът е „от трета страна“.
За да избегнете подобни неприятни трикове, трябва да запишете ODZ дори преди да започнете да решавате уравнението:
След това, след като получихме корените и, веднага изхвърляме корена и пишем правилния отговор.
Пример 1(опитайте се да го решите сами) :
Намерете корена на уравнението. Ако има няколко корена, посочете по-малкия в отговора си.
Решение:
Първо, нека напишем ODZ:
Сега си спомняме какво е логаритъм: до каква степен трябва да повишите основата, за да получите аргумент? Във втория. Това е:
Изглежда, че по-малкият корен е равен. Но това не е така: според ODZ коренът е на трета страна, тоест изобщо не е коренът на това уравнение. Следователно уравнението има само един корен: .
Отговор: .
Основна логаритмична идентичност
Припомнете си дефиницията на логаритъм в общи линии:
Заместете във второто равенство вместо логаритъма:
Това равенство се нарича основна логаритмична идентичност. Въпреки че по същество това равенство е просто написано по различен начин определение на логаритъма:
Това е силата, до която трябва да повишите, за да стигнете.
Например:
Решете следните примери:
Пример 2
Намерете стойността на израза.
Решение:
Припомнете си правилото от раздела:, тоест при повишаване на степен на степен показателите се умножават. Нека го приложим:
Пример 3
Докажи това.
Решение:
Свойства на логаритмите
За съжаление задачите не винаги са толкова прости - често първо трябва да опростите израза, да го приведете в обичайната форма и едва след това ще бъде възможно да се изчисли стойността. Най-лесно е да направите това, знаейки свойства на логаритмите. Така че нека научим основните свойства на логаритмите. Ще докажа всеки един от тях, защото всяко правило се запомня по-лесно, ако знаете откъде идва.
Всички тези свойства трябва да се запомнят; без тях повечето проблеми с логаритмите не могат да бъдат решени.
И сега за всички свойства на логаритмите по-подробно.
Свойство 1:
доказателство:
Нека тогава.
Имаме: , h.t.d.
Свойство 2: Сума от логаритми
Сборът от логаритми със същата основа е равен на логаритъма на произведението: .
доказателство:
Нека тогава. Нека тогава.
пример:Намерете стойността на израза: .
Решение: .
Формулата, която току-що научихте, помага да се опрости сумата от логаритмите, а не разликата, така че тези логаритми да не могат да бъдат комбинирани веднага. Но можете да направите обратното - "разбиете" първия логаритъм на две: И ето обещаното опростяване:
.
Защо е необходимо това? Е, например: какво значение има?
Сега е очевидно, че.
Сега улесни го за себе си:
задачи:
Отговори:
Свойство 3: Разлика на логаритмите:
доказателство:
Всичко е точно както в параграф 2:
Нека тогава.
Нека тогава. Ние имаме:
Примерът от последната точка вече е още по-прост:
По-сложен пример: . Познайте сами как да решите?
Тук трябва да се отбележи, че нямаме нито една формула за логаритмите на квадрат. Това е нещо подобно на израз - това не може да бъде опростено веднага.
Затова нека се отклоним от формулите за логаритмите и да помислим какви формули обикновено използваме в математиката най-често? Още от 7 клас!
То - . Трябва да свикнеш с факта, че те са навсякъде! И в експоненциални, и в тригонометрични, и в ирационални задачи, те се намират. Следователно те трябва да бъдат запомнени.
Ако се вгледате внимателно в първите два термина, става ясно, че това е така разлика на квадратите:
Отговорете за проверка:
Опростете се.
Примери
Отговори.
Свойство 4: Извличане на експонента от аргумента на логаритъма:
доказателство:И тук използваме и определението на логаритъма: нека, тогава. Имаме: , h.t.d.
Можете да разберете това правило по следния начин:
Тоест степента на аргумента се взема напред от логаритъма като коефициент.
пример:Намерете стойността на израза.
Решение: .
Решете сами:
Примери:
Отговори:
Свойство 5: Извличане на степента от основата на логаритъма:
доказателство:Нека тогава.
Имаме: , h.t.d.
Запомнете: от основаниястепен се представя като обратенномер, за разлика от предишния случай!
Свойство 6: Извличане на експонента от основата и аргумента на логаритъма:
Или ако градусите са еднакви: .
Свойство 7: Преход към нова база:
доказателство:Нека тогава.
Имаме: , h.t.d.
Свойство 8: Размяна на основата и аргумента на логаритъма:
доказателство:Това е специален случай на формула 7: ако заменим, получаваме: , p.t.d.
Нека разгледаме още няколко примера.
Пример 4
Намерете стойността на израза.
Използваме свойството на логаритми No2 - сборът от логаритми със същата основа е равен на логаритъма на произведението:
Пример 5
Намерете стойността на израза.
Решение:
Използваме свойството на логаритми № 3 и № 4:
Пример 6
Намерете стойността на израза.
Решение:
Използвайки имот номер 7 - отидете на база 2:
Пример 7
Намерете стойността на израза.
Решение:
Как ви харесва статията?
Ако четете тези редове, значи сте прочели цялата статия.
И е готино!
А сега ни кажете как ви харесва статията?
Научихте ли се да решавате логаритми? Ако не, какъв е проблемът?
Пишете ни в коментарите по-долу.
И да, успех с изпитите.
На Единния държавен изпит и ОГЕ и изобщо в живота
Логаритъм на b (b > 0) до основа a (a > 0, a ≠ 1)е степента, до която трябва да повишите числото a, за да получите b.
Основният 10 логаритъм на b може да бъде записан като дневник(b), и логаритъмът към основата e (естествен логаритъм) - ln(b).
Често се използва при решаване на задачи с логаритми:
Свойства на логаритмите
Има четири основни свойства на логаритмите.
Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.
Свойство 1. Логаритъм на произведението
Логаритъм на произведението е равно на суматалогаритми:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Свойство 2. Логаритъм на частното
Логаритъм на частнотое равно на разликата на логаритмите:
log a (x / y) = log a x – log a y
Свойство 3. Логаритъм на степента
Градусен логаритъм е равно на продуктаградуси на логаритъм:
Ако основата на логаритъма е в експонента, тогава се прилага друга формула:
Свойство 4. Логаритъм на корена
Това свойство може да се получи от свойството на логаритъма на степента, тъй като коренът от n-та степен е равен на степента на 1/n:
Формулата за преминаване от логаритъм в една основа към логаритъм в друга основа
Тази формула също често се използва при решаване на различни задачи за логаритми:
Специален случай:
Сравнение на логаритми (неравенства)
Да предположим, че имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми със същите основи и между тях има знак за неравенство:
За да ги сравните, първо трябва да погледнете основата на логаритмите a:
- Ако a > 0, тогава f(x) > g(x) > 0
- Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Как да решаваме задачи с логаритми: примери
Задачи с логаритмивключени в ЕГПО по математика за 11 клас в задача 5 и задача 7, можете да намерите задачи с решения на нашия уебсайт в съответните раздели. Също така задачи с логаритми се намират в банката от задачи по математика. Можете да намерите всички примери, като потърсите в сайта.
Какво е логаритъм
Логаритмите винаги са се смятали за трудна тема училищен курсматематика. Има много различни дефиниции на логаритъма, но по някаква причина повечето учебници използват най-сложните и лоши от тях.
Ще дефинираме логаритъма просто и ясно. Нека създадем таблица за това:
И така, имаме правомощия по две.
Логаритми - свойства, формули, как се решават
Ако вземете числото от долния ред, тогава лесно можете да намерите степента, до която трябва да вдигнете двойка, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повишите две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да вдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.
И сега - всъщност дефиницията на логаритъма:
база a на аргумента x е степента, до която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото x.
Нотация: log a x \u003d b, където a е основата, x е аргументът, b всъщност е равен на логаритъма.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (основният 2 логаритъм на 8 е три, защото 2 3 = 8). Може също да се регистрира 2 64 = 6, защото 2 6 = 64.
Операцията за намиране на логаритъм на число спрямо дадена основа се нарича. Така че нека добавим нов ред към нашата таблица:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
За съжаление, не всички логаритми се разглеждат толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъмът ще лежи някъде в сегмента. Защото 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такива числа се наричат ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват за неопределено време и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (база и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде е аргументът. Да избегна нещастни недоразуменияпросто погледнете снимката:
Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъма. Помня: логаритъмът е степента, към което трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента. Именно основата е издигната до степен - на снимката е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е отдолу! Казвам това прекрасно правило на моите ученици още на първия урок - и няма объркване.
Как да броим логаритмите
Разбрахме дефиницията - остава да се научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:
- Аргументът и основата трябва винаги да са по-големи от нула. Това следва от определението на степента рационален индикатор, до което се свежда определението на логаритъма.
- Основата трябва да е различна от единица, тъй като единица за всяка степен все още е единица. Поради това въпросът „до каква степен трябва да се издигне човек, за да се получат две“ е безсмислен. Няма такава степен!
Такива ограничения се наричат валиден диапазон(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма) не се налага. Например, логаритъмът може да бъде отрицателен: log 2 0,5 = −1, тъй като 0,5 = 2 −1 .
Сега обаче разглеждаме само числови изрази, при които не се изисква да се знае ODZ на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от съставителите на проблемите. Но когато влязат в действие логаритмичните уравнения и неравенствата, изискванията на DHS ще станат задължителни. Всъщност в основата и аргумента може да има много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.
Сега помислете обща схемалогаритмни изчисления. Състои се от три стъпки:
- Изразете основата a и аргумента x като степен с най-малката възможна основа, по-голяма от единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;
- Решете уравнението за променливата b: x = a b ;
- Полученото число b ще бъде отговорът.
Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването основата да е по-голяма от единица е много актуално: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Подобен на десетични знаци: ако веднага ги преведете в обикновени, ще има много пъти по-малко грешки.
Нека да видим как работи тази схема на конкретни примери:
Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25
- Нека представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Получих отговор: 2.
Нека направим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Задача. Изчислете логаритъма:
Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64
- Нека представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Нека направим и решим уравнението:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Получих отговор: 3.
Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1
- Нека представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Нека направим и решим уравнението:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Получен отговор: 0.
Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14
- Нека представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не е представено като степен на седем, защото 7 1< 14 < 7 2 ;
- От предходния параграф следва, че логаритъмът не се взема предвид;
- Отговорът е без промяна: дневник 7 14.
Малка забележка за последния пример. Как да се уверите, че едно число не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разложете на прости фактори. Ако има поне два различни фактора в разширението, числото не е точна степен.
Задача. Разберете дали точните степени на числото са: 8; 48; 81; 35; четиринадесет.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - точната степен, т.к. има само един множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна степен, защото има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 = 3 4 - точна степен;
35 = 7 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 2 - отново не точна степен;
Отбелязваме също, че ние прости числавинаги са точни сили за себе си.
Десетичен логаритъм
Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.
на аргумента x е логаритъмът с основа 10, т.е. степента, до която трябва да се повиши 10, за да се получи x. Обозначение: lgx.
Например log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.
Оттук нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намери lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичният логаритъм. Ако обаче не сте свикнали с такова обозначение, винаги можете да го пренапишете:
log x = log 10 x
Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните.
естествен логаритъм
Има и друг логаритъм, който има собствено обозначение. В известен смисъл тя е дори по-важна от десетичната. Това е естественият логаритъм.
на аргумента x е логаритъмът към основата e, т.е. степента, до която трябва да се повиши числото e, за да се получи числото x. Обозначение: lnx.
Мнозина ще попитат: какво е числото е? Това е ирационално число, точната му стойност не може да се намери и запише. Ето само първите числа:
e = 2,718281828459...
Няма да задълбаваме какво представлява този номер и защо е необходим. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x
Така ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. По принцип естественият логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, единица: ln 1 = 0.
За естествените логаритми са валидни всички правила, които са верни за обикновените логаритми.
Вижте също:
Логаритъм. Свойства на логаритъма (мощност на логаритъма).
Как да представим число като логаритъм?
Използваме определението за логаритъм.
Логаритъмът е индикатор за степента, до която трябва да се повдигне основата, за да се получи числото под знака на логаритъма.
По този начин, за да представим определено число c като логаритъм към основата a, е необходимо да поставим степен под знака на логаритъма със същата основа като основата на логаритъма и да запишем това число c в степента :
Под формата на логаритъм можете да представите абсолютно всяко число - положително, отрицателно, цяло число, дробно, рационално, ирационално:
За да не бъркате a и c в стресови условия на тест или изпит, можете да използвате следното правило, за да запомните:
това, което е отдолу, слиза надолу, което е отгоре, се изкачва.
Например, искате да представите числото 2 като логаритъм на база 3.
Имаме две числа - 2 и 3. Тези числа са основата и степента, които ще запишем под знака на логаритъма. Остава да се определи кое от тези числа трябва да бъде записано в основата на степента и кое - нагоре, в степента.
Основата 3 в записа на логаритъма е отдолу, което означава, че когато представим двойката като логаритъм към основата на 3, ние също ще запишем 3 надолу към основата.
2 е по-високо от 3. И в обозначението на степента пишем двете над трите, тоест в степента:
Логаритми. Първо ниво.
Логаритми
логаритъмположително число бпо разум а, където a > 0, a ≠ 1, е степента, до която трябва да се повиши числото. а, Придобивам б.
Определение на логаритъмможе да се напише накратко така:
Това равенство е валидно за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Обикновено се нарича логаритмична идентичност.
Действието за намиране на логаритъм на число се нарича логаритъм.
Свойства на логаритмите:
Логаритъмът на произведението:
Логаритъм на частното от деление:
Замяна на основата на логаритъма:
Градусен логаритъм:
коренен логаритъм:
Логаритъм с основа на степента:
Десетични и естествени логаритми.
Десетичен логаритъмчислата извикват основния 10 логаритъм на това число и пишат lg б
естествен логаритъмчислата извикват логаритъма на това число към основата д, където де ирационално число, приблизително равно на 2,7. В същото време те пишат ln б.
Други бележки по алгебра и геометрия
Основни свойства на логаритмите
Основни свойства на логаритмите
Логаритмите, като всяко число, могат да се добавят, изваждат и преобразуват по всякакъв възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.
Трябва да знаете тези правила - нито един сериозен логаритмичен проблем не може да бъде решен без тях. Освен това те са много малко – всичко може да се научи за един ден. Така че нека започваме.
Събиране и изваждане на логаритми
Да разгледаме два логаритъма с една и съща основа: log a x и log a y. След това те могат да се добавят и изваждат и:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
И така, сборът от логаритмите е равен на логаритъма на произведението, а разликата е логаритъмът на частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако основите са различни, тези правила не работят!
Тези формули ще помогнат за изчисляване на логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:
log 6 4 + log 6 9.
Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сума:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.
Основите са еднакви, използваме формулата за разлика:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.
Отново, основите са едни и същи, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформации се оказват съвсем нормални числа. Въз основа на този факт мн тестови работи. Да, контрол - подобни изрази с пълна сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.
Премахване на степента от логаритъма
Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава степента на тази степен може да бъде извадена от знака на логаритъма съгласно следните правила:
Лесно е да се види, че последното правило следва първите им две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.
Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъмът на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм.
Как се решават логаритми
Това е, което най-често се изисква.
Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .
Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Намерете стойността на израза:
Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ние имаме:
Мисля, че последният пример се нуждае от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на стоящия там логаритъм под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.
Сега нека разгледаме главната дроб. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дроба - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четирите могат да бъдат прехвърлени в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.
Преход към нова основа
Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?
На помощ идват формули за преминаване към нова база. Формулираме ги под формата на теорема:
Нека е даден логаритъм log a x. Тогава за всяко число c такова, че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:
По-специално, ако поставим c = x, получаваме:
От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но целият израз се „преобръща“, т.е. логаритъмът е в знаменателя.
Тези формули рядко се срещат в обикновените числови изрази. Възможно е да се оцени колко удобни са те само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.
Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:
Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.
Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни експоненти. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Сега нека обърнем втория логаритъм:
Тъй като продуктът не се променя от пермутация на фактори, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.
Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:
Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като се преместим на нова основа:
Основна логаритмична идентичност
Често в процеса на решаване се изисква числото да се представи като логаритъм към дадена основа.
В този случай формулите ще ни помогнат:
В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото това е само стойността на логаритъма.
Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:
Наистина, какво ще се случи, ако числото b се повиши до такава степен, че числото b в тази степен да даде числото a? Точно така: това е същото число а. Прочетете внимателно този абзац отново - много хора се „окачват“ на него.
Подобно на новите формули за основно преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.
Задача. Намерете стойността на израза:
Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто извадих квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени със същата основа, получаваме:
Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂
Логаритмична единица и логаритмична нула
В заключение ще дам две идентичности, които трудно могат да се нарекат свойства – по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се срещат в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за "напреднали" ученици.
- log a a = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът към всяка основа a от самата основа е равен на единица.
- log a 1 = 0 е. Основата а може да бъде всичко, но ако аргументът е единица, логаритъмът е нула! Тъй като 0 = 1 е пряко следствие от дефиницията.
Това са всички имоти. Не забравяйте да практикувате прилагането им! Изтеглете листа за мами в началото на урока, разпечатайте го и решете проблемите.
