Broj 376 je paran i ima tri znamenke.

Broj je djeljiv s 3 ako i samo ako je zbroj znamenki tog broja djeljiv s 3

Simbol F x , g , z F F ? 1)

2)

3)

4)

x

Y

Z

F

Samostalni rad

opcija 2

Neka P Q

1)

2)

3)

4)

U sljedećim tvrdnjama označite jednostavne, označavajući svaku od njih slovom; svaku složenu tvrdnju zapišite slovima i znakovima logičkih operacija.

1. Zimi djeca idu na klizanje ili skijanje.

   Ako je zbroj znamenki prirodnog broja djeljiv s 3, tada je broj djeljiv s 3.

Simbol F naznačen je jedan od sljedećih logičkih izraza iz tri argumenta:x , g , z . Dat je fragment tablice istinitosti izrazaF . Koji izraz odgovaraF ? 1)

2)

3)

4)

x

Y

Z

F

Samostalni rad

Opcija 3

Neka P = (Anya voli satove matematike), iQ = (Anya voli lekcije iz kemije). Izrazite sljedeće formule u prirodni jezik:

1)

2)

3)

4)

U sljedećim tvrdnjama označite jednostavne, označavajući svaku od njih slovom; svaku složenu tvrdnju zapišite slovima i znakovima logičkih operacija.

1. Nije istina da se Sunce kreće oko Zemlje.

   Ako je jučer bila nedjelja, onda Dima jučer nije bio u školi i cijeli je dan hodao.

Simbol F naznačen je jedan od sljedećih logičkih izraza iz tri argumenta:x , g , z . Dat je fragment tablice istinitosti izrazaF . Koji izraz odgovaraF ? 1)

2)

3)

4)

x

Y

Z

F

Samostalni rad

Opcija 4

Neka P = (Anya voli satove matematike), iQ = (Anya voli lekcije iz kemije). Izrazite sljedeće formule prirodnim jezikom:

1)

2)

3)

4)

U sljedećim tvrdnjama označite jednostavne, označavajući svaku od njih slovom; svaku složenu tvrdnju zapišite slovima i znakovima logičkih operacija.

1. Na satu matematike srednjoškolci su odgovarali na pitanja nastavnika, a pisali su i samostalne radove.

Simbol F naznačen je jedan od sljedećih logičkih izraza iz tri argumenta:x , g , z . Dat je fragment tablice istinitosti izrazaF . Koji izraz odgovaraF ? 1)

2)

3)

4)

x

Y

Z

F

| § 1.3. Elementi algebarske logike

Lekcije 8 - 12
§ 1.3. Elementi algebarske logike

Ključne riječi:

• algebra logike
• izjava
• logična operacija
• veznik
• disjunkcija
• negacija
• logički izraz
• tablica istine
• zakoni logike

1.3.1. Izjava

Algebra u u širem smislu ove riječi je znanost o općim operacijama, sličnim zbrajanju i množenju, koje se mogu izvesti na različitim matematičkim objektima. Proučavate mnoge matematičke objekte (cijele i racionalne brojeve, polinome, vektore, skupove) u školski tečaj algebra, gdje se upoznajete s granama matematike kao što su algebra brojeva, algebra polinoma, algebra skupova itd.

Za informatiku je važna grana matematike koja se zove logička algebra; objekti algebre logike su izjave.

Iskaz je rečenica u bilo kojem jeziku za čiji se sadržaj nedvosmisleno može utvrditi da li je istinit ili lažan.

Na primjer, za rečenice “Veliki ruski znanstvenik M.V. Lomonosov rođen je 1711. godine” i “Dva plus šest je osam” sa sigurnošću možemo reći da su istinite. Rečenica "Vrapci spavaju zimski san zimi" je lažna. Stoga su ove rečenice iskazi.

U ruskom se iskazi izražavaju izjavnim rečenicama. Ali ne sve deklarativna rečenica je izjava.

Na primjer, rečenica "Ova je rečenica netočna" nije izjava, budući da se o njoj ne može reći je li istinita ili netočna bez dobivanja kontradikcije. Doista, ako prihvatimo da je rečenica istinita, onda je to proturječno onome što je rečeno. Ako prihvatimo da je rečenica lažna, onda slijedi da je istinita.

Što se tiče rečenice “Računalna grafika je najzanimljivija tema u školskom kolegiju informatike,” također je nemoguće jednoznačno reći je li točna ili netočna. Razmislite sami zašto.

Poticajne i upitne rečenice nisu iskazi.

Na primjer, rečenice poput: “Zapiši domaća zadaća", "Kako do knjižnice?", "Tko nam je došao?"

Iskazi se mogu konstruirati pomoću znakova raznih formalni jezici- matematika, fizika, kemija itd.

Primjeri izjava mogu biti:

1. “Na je metal” (točna izjava);
2. “Drugi Newtonov zakon izražen je formulom F=m a” (točna tvrdnja);
3. “Opseg pravokutnika sa stranicama duljina a i b jednak je a b” (netočna tvrdnja).

Brojevni izrazi nisu tvrdnje, ali iz dva brojevna izraza možete sastaviti tvrdnju tako da ih povežete znakovima jednakosti ili nejednakosti. Na primjer:

1. “3 + 5 = 2 4” (točna tvrdnja);
2. “II + VI > VIII” (lažna izjava).

Jednakosti i nejednakosti koje sadrže varijable također nisu izjave. Na primjer, rečenica "X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

O opravdanosti istinitosti ili lažnosti iskaza odlučuju znanosti kojima oni pripadaju. Algebra logike je apstrahirana od semantičkog sadržaja izjava. Zanima je samo je li data tvrdnja istinita ili lažna. U logičkoj algebri iskazi se označavaju slovima i nazivaju se logičkim varijablama. Štoviše, ako je izjava istinita, tada se vrijednost odgovarajuće logičke varijable označava s jedinicom (A = 1), a ako je netočna - s nulom (B = 0). 0 i 1 koji označavaju vrijednosti Booleovih varijabli nazivaju se Boolean vrijednostima.

Logička algebra definira pravila za pisanje, izračunavanje vrijednosti, pojednostavljenje i transformaciju izjava.

Radeći s logičkim varijablama, koje mogu biti jednake samo 0 ili 1, algebra logike vam omogućuje smanjenje obrade informacija na operacije s binarnim podacima. To je aparat logičke algebre koji čini osnovu računalnih uređaja za pohranu i obradu informacija. Elemente logičke algebre susrest ćete u mnogim drugim područjima računalne znanosti.

1.3.2. Logičke operacije

Iskazi mogu biti jednostavni i složeni. Iskaz se naziva jednostavnim ako niti jedan njegov dio nije iskaz. Složeni (složeni) iskazi konstruiraju se od jednostavnih pomoću logičkih operacija.

Razmotrimo osnovne logičke operacije definirane na izjavama. Svi oni odgovaraju konektivima koji se koriste u prirodnom jeziku.

Konjunkcija

Razmotrimo dvije tvrdnje: A = "Utemeljitelj algebre logike je George Boole", B = "Istraživanje Claudea Shannona omogućilo je primjenu algebre logike u računalnoj tehnologiji." Očito je da je nova tvrdnja “Utemeljitelj algebre logike George Boole, a istraživanje Claudea Shannona omogućila je primjenu algebre logike u računalnoj tehnologiji” istinita samo ako su obje izvorne tvrdnje istinite u isto vrijeme.

Konjunkcija je logička operacija koja povezuje svaka dva iskaza s novim iskazom, koji je istinit ako i samo ako su oba izvorna iskaza istinita.

Za pisanje veznika koriste se sljedeći znakovi: ∧, , I, &. Na primjer: A ∧ B, A B, A I B, A & B.

Konjunkcija se može opisati u obliku tablice koja se naziva tablica istinitosti:

Tablica istinitosti navodi sve moguće vrijednosti izvornih iskaza (stupci A i B), a odgovarajući binarni brojevi obično su poredani uzlaznim redoslijedom: 00, 01, 10, 11. Posljednji stupac bilježi rezultat logičke operacije za odgovarajuće operande.

Inače se konjunkcija naziva logičko množenje. Razmisli zašto.

Disjunkcija

Razmotrite dvije izjave: A = "Ideja o korištenju matematičke simbolike u logici pripada Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu," B = "Leibniz je utemeljitelj binarne aritmetike." Očito, nova izjava "Ideja o korištenju matematičke simbolike u logici pripada Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu ili Leibniz je utemeljitelj binarne aritmetike" je lažna samo ako su obje originalne izjave lažne u isto vrijeme.

Samostalno utvrdite istinitost ili netočnost triju razmatranih tvrdnji.

Disjunkcija je logička operacija koja povezuje svaka dva iskaza s novim iskazom, koji je lažan ako i samo ako su oba izvorna iskaza lažna.

Za pisanje disjunkcije koriste se sljedeći znakovi: ∨, |, ILI, +. Na primjer: A∨B, A|B, A ILI B, A+B.

Disjunkcija je definirana sljedećom tablicom istine:

Inače se disjunkcija naziva logičko sabiranje. Razmisli zašto.

Inverzija

Inverzija je logička operacija koja svakom iskazu pridružuje novi iskaz čije je značenje suprotno od izvornog.

Za pisanje inverzije koriste se sljedeći znakovi: NE, ¬, ‾. Na primjer: NE A, ¬A, .

Inverzija je određena sljedećom tablicom istine:

Inverzija se inače naziva logička negacija.

Negacija izjave "Imam računalo kod kuće" bit će izjava "Nije istina da imam računalo kod kuće" ili, što je isto na ruskom, "Nemam računalo kod kuće". Negiranje izjave "Ne znam" kineski” bit će izjava “Nije istina da ne znam kineski” ili, što je isto na ruskom, “znam kineski”. Negacija tvrdnje „Svi dječaci 9. razreda su odlični učenici“ je tvrdnja „Nije istina da su svi dječaci 9. razreda odlični učenici“, drugim riječima „Nisu svi dječaci 9. razreda odlični“. studenti.”

Dakle, kada se konstruira negacija na jednostavnu izjavu, ili se koristi izraz "nije istina da..." ili se negacija konstruira na predikat, a zatim se čestica "ne" dodaje odgovarajućem glagolu.

Svaki složeni iskaz može se napisati kao logički izraz - izraz koji sadrži logičke varijable, znakove logičkog operatora i zagrade. Logičke operacije u logičkom izrazu izvode se sljedećim redom: inverzija, konjunkcija, disjunkcija. Redoslijed operacija možete promijeniti pomoću zagrada.

Logičke operacije imaju sljedeći prioritet: inverzija, konjunkcija, disjunkcija.

Primjer 1 . Neka A = "Riječ "krstarica" ​​se pojavljuje na web stranici," B = "Riječ "bojni brod" pojavljuje se na web stranici." Razmatramo određeni segment interneta koji sadrži 5.000.000 web stranica. U njemu je izjava A istinita za 4800 stranica, izjava B je istinita za 4500 stranica, a izjava A v B je istinita za 7000 stranica. Za koliko će web stranica sljedeći izrazi i tvrdnje biti istiniti u ovom slučaju?

a) NE (A ILI B);

c) Riječ "krstarica" ​​pojavljuje se na web stranici, ali se ne pojavljuje riječ "bojni brod".

Riješenje . Oslikajmo skup svih web stranica internetskog sektora koji se razmatra kao krug, unutar kojeg ćemo postaviti dva kruga: jedan od njih odgovara skupu web stranica na kojima je izjava A istinita, drugi - gdje je izjava B istinita. istina (slika 1.3).

Riža. 1.3.
Grafička slika više web stranica

Grafički prikažimo skupove web stranica za koje su izrazi i izjave a) - c) točni (Sl. 1.4)

Riža. 1.4.
Grafički prikaz skupova web stranica za koje su izrazi i tvrdnje a) - c) istiniti

Konstruirani dijagrami pomoći će nam odgovoriti na pitanja sadržana u zadatku.

Izraz A ILI B vrijedi za 7 000 web stranica, a ukupno ih ima 5 000 000. Stoga je izraz A ILI B netočan za 4 993 000 web stranica. Drugim riječima, za 4.993.000 web stranica, izraz NE (A ILI B) je istinit.

Izraz A ∨ B je istinit za one web stranice gdje je A (4800) istinit, kao i one web stranice gdje je B (4500) istinit. Kad bi sve web stranice bile različite, tada bi izraz A v B bio istinit za 9300 (4800 + 4500) web stranica. Ali, prema uvjetu, takvih web stranica ima samo 7000. To znači da se na 2300 (9300 - 7000) web stranica obje riječi pojavljuju istovremeno. Stoga je izraz A & B istinit za 2300 web stranica.

Da biste saznali za koliko je web stranica izjava A istinita, a istovremeno izjava B netočna, oduzmite 2300 od 4800. Dakle, izjava “Riječ “krstarica” pojavljuje se na web stranici, a riječ “bojni brod” ne pojaviti” vrijedi na 2500 web stranica.

Zapiši logički izraz koji odgovara razmatranoj tvrdnji.

Web stranica Saveznog centra za informacijske i obrazovne resurse (http://fcoir.edu.ru/) sadrži informacijski modul „Izjava. Jednostavne i složene izjave. Osnovne logičke operacije“. Upoznavanje s ovim resursom omogućit će vam da proširite svoje razumijevanje teme koju proučavate.

1.3.3. Konstrukcija tablica istine za logičke izraze

Za logički izraz, možete izgraditi tablicu istinitosti koja pokazuje koje vrijednosti izraz uzima za sve skupove vrijednosti varijabli uključenih u njega. Za izradu tablice istine trebate:

1. count n - broj varijabli u izrazu;
2. brojati ukupan broj logičkih operacija u izrazu;
3. uspostaviti slijed logičkih operacija, uzimajući u obzir zagrade i prioritete;
4. odrediti broj stupaca u tablici: broj varijabli + broj operacija;
5. ispunite zaglavlje tablice, uključujući varijable i operacije u skladu s redoslijedom utvrđenim u stavku 3.;
6. odrediti broj redaka u tablici (ne računajući zaglavlje tablice) m = 2n;
7. zapisati skupove ulaznih varijabli, vodeći računa o tome da one predstavljaju cijeli niz n-bitnih binarnih brojeva od 0 do 2 n - 1;
8. ispunite tablicu stupac po stupac, izvodeći logičke operacije u skladu s utvrđenim redoslijedom.

Izgradimo tablicu istinitosti za logički izraz A ∨ A & B. Sadrži dvije varijable, dvije operacije, a prvo se izvodi konjunkcija, a zatim disjunkcija. Tablica će imati ukupno četiri stupca:

Skupovi ulaznih varijabli su cijeli brojevi od O do 3, predstavljeni dvoznamenkastim binarnim kodom: 00, 01, 10, 11. Ispunjena tablica istinitosti izgleda ovako:

Imajte na umu da je posljednji stupac (rezultat) isti kao i stupac A. U ovom slučaju se kaže da je logički izraz A ∨ A & B ekvivalentan logičkom izrazu A.

1.3.4. Svojstva logičkih operacija

Razmotrimo osnovna svojstva (zakone) algebre logike.

1. Komutativni (komutativni) zakon

• za logičko množenje:

A & B = B & A;

• za logično zbrajanje:

A ∨ B = B ∨ A.

Kombinativno (asocijativno) pravo

• za logičko množenje:

(A & B) & C = A & (B & C);

• za logično zbrajanje:

(A ∨ B) ∨ C = A ∨(B ∨ C).

Ako su predznaci operacija isti, zagrade se mogu staviti proizvoljno ili se u potpunosti izostaviti.

Distributivni (distributivni) zakon

• za logičko množenje:

A & (B ∨ C) = (A & B) ∨ (A & C);

• za logično zbrajanje:

A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C).

Zakon dvostruke negacije

Zakon isključenja sredine

Od dvije kontradiktorne izjave o istoj temi, jedna je uvijek istinita, druga je lažna, a treće nema.

Zakon ponavljanja

• za logičko množenje:
• za logično zbrajanje:

Zakoni rada s 0 i 1

• za logičko množenje:

A & 0 = 0; A & 1 = A;

• za logično zbrajanje:

A ∨ O = A; A ∨ l = l.

Zakoni opće inverzije

Zakoni logičke algebre mogu se dokazati pomoću tablica istinitosti.

Dokažimo zakon distribucije za logično zbrajanje:

A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C).

Podudarnost stupaca koji odgovaraju logičkim izrazima na lijevoj i desnoj strani jednakosti dokazuje valjanost zakona distribucije za logičko zbrajanje.

Primjer 2 . Pronađimo vrijednost logičkog izraza za broj X = 0.

Riješenje . Kada je X = 0 dobivamo sljedeći logički izraz: . Pošto su logički izrazi 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Rješavanje logičkih problema

Pogledajmo nekoliko načina rješavanja logičkih problema.

Problem 1 . Kolja, Vasja i Serjoža ljeti su bili u posjeti svojoj baki. Jednog dana jedan od dječaka slučajno je razbio bakinu omiljenu vazu. Na pitanje tko je razbio vazu, odgovorili su sljedeće:

Seryozha: 1) Nisam ga slomio. 2) Vasya ga nije slomio.

Vasja: 3) Serjoža ga nije slomio. 4) Kolja je razbio vazu.

Kolya: 5) Nisam ga slomio. 6) Serjoža je razbio vazu.

Znala je baka da je jedan od njezinih unuka, nazovimo ga istinoljubiv, oba puta rekao istinu; drugi, nazovimo ga šaljivdžija, oba puta je slagao; treći, nazovimo ga lukavi, jednom je rekao istinu, a drugi put – laž. Navedite istinoljubivog, šaljivdžiju i lukavog. Koji je unuk razbio vazu?

Riješenje. Neka K = "Kolja je razbio vazu", B = "Vasja je razbio vazu", C = "Serjoža je razbio vazu". Napravimo tablicu istinitosti kojom ćemo prikazati iskaze svakog dječaka 1 .

1 Uzimajući u obzir činjenicu da je vazu razbio jedan unuk, bilo je moguće izraditi ne cijelu tablicu, već samo njen fragment koji sadrži sljedeće skupove ulaznih varijabli: 001, 010, 100.

Na temelju onoga što baka zna o svojim unucima, trebali biste potražiti retke u tablici koji sadrže, nekim redoslijedom, tri kombinacije vrijednosti: 00, 11, 01 (ili 10). U tablici su bila dva takva retka (označeni su kvačicama). Prema drugom od njih, vazu su razbili Kolja i Vasja, što je u suprotnosti sa stanjem. Prema prvom od pronađenih redaka, Serjoža je razbio vazu, a pokazalo se da je bio lukav. Pokazalo se da je Vasja šaljivdžija. Ime istinitog unuka je Kolja.

Problem 2 . Alla, Valya, Sima i Dasha sudjeluju u gimnastičkim natjecanjima. Obožavatelji su dali prijedloge o mogućim dobitnicima:

1. Sima će biti prvi, Valya će biti drugi;
2. Sima će biti drugi, Daša će biti treći;
3. Alla će biti druga, Dasha će biti četvrta.

Na kraju natjecanja pokazalo se da je u svakoj od pretpostavki samo jedna tvrdnja točna, a druga netočna. Koje je mjesto zauzela svaka od djevojaka u natjecanju ako su sve završile na različitim mjestima?

Riješenje . Pogledajmo neke jednostavne izjave:

C 1 = “Sima zauzeo prvo mjesto”;

B 2 = "Valya je zauzela drugo mjesto";

C 2 = “Sima zauzeo drugo mjesto”;

D 3 = “Daša je zauzela treće mjesto”;

A 2 = "Alla je zauzela drugo mjesto";

D 4 = "Daša je zauzela četvrto mjesto."

Budući da je u svakoj od tri pretpostavke jedna od izjava istinita, a druga netočna, možemo zaključiti sljedeće:

1. C1 + B2 = 1, C1 B2 = 0;
2. C2 + D3 = 1, C2D3 = 0;
3. A 2 + D 4 = 1, A 2 D 4 = 0.

Logički produkt istinitih izjava bit će istinit:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Na temelju zakona distribucije transformiramo lijevu stranu ovog izraza:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Tvrdnja C 1 C 2 znači da je Sima zauzeo i prvo i drugo mjesto. Prema uvjetima problema, ova tvrdnja je netočna. Tvrdnja B 2 C 2 također je netočna. Uzimajući u obzir zakon operacija s konstantom 0, pišemo:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Daljnjom transformacijom lijeve strane te jednakosti i isključivanjem očito lažnih izjava dobiva se:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

Iz posljednje jednakosti slijedi da je C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. To znači da je Sima zauzela prvo mjesto, Alla je zauzela drugo, Dasha je zauzela treće mjesto. Shodno tome, Valya je zauzela četvrto mjesto.

Možete se upoznati s drugim načinima rješavanja logičkih zadataka, kao i sudjelovati u internetskim olimpijadama i natjecanjima za njihovo rješavanje na web stranici “Matematika za školarce” (http://www.kenqyry.com/).

Na web stranici http://www.kaser.com/ možete preuzeti demo verziju vrlo korisne Sherlock logičke slagalice koja razvija logiku i vještine zaključivanja.

1.3.6. Logički elementi

Logička algebra je grana matematike koja igra važnu ulogu u dizajnu automatskih uređaja i razvoju hardvera i softvera za informacijske i komunikacijske tehnologije.

Već znate da se svaka informacija može prikazati u diskretnom obliku - kao fiksni skup pojedinačnih vrijednosti. Uređaji koji obrađuju takve vrijednosti (signale) nazivaju se diskretni. Diskretni pretvarač koji nakon obrade binarnih signala proizvodi vrijednost jedne od logičkih operacija naziva se logički element.

Na sl. 1.5 su dati simboli(sklopovi) logičkih elemenata koji provode logičko množenje, logičko zbrajanje i inverziju.

Slika 1.5.
Logički elementi

Logički element AND (konjunktor) implementira operaciju logičkog množenja (slika 1.5, a). Jedinica na izlazu ovog elementa pojavit će se samo ako postoje jedinice na svim ulazima.

Logički element ILI (disjunctor) implementira operaciju logičkog zbrajanja (slika 1.5, b). Ako je barem jedan ulaz jedan, tada će i izlaz elementa biti jedan.

NOT logički element (inverter) provodi operaciju negacije (slika 1.5, c). Ako je ulaz elementa O, tada je izlaz 1 i obrnuto.

Računalni uređaji koji izvode operacije nad binarnim brojevima i ćelije koje pohranjuju podatke su elektronički sklopovi koji se sastoje od pojedinačnih logičkih elemenata. Ova će pitanja biti detaljnije obrađena u kolegiju informatike za 10.-11.

Primjer 3. Analizirajmo elektronički sklop, odnosno saznajmo koji bi signal trebao biti na izlazu za svaki mogući skup signala na ulazima.

Riješenje. Sve moguće kombinacije signala na ulazima A do B unijet ćemo u tablicu istine. Pratimo transformaciju svakog para signala dok prolaze kroz logičke elemente i zapišimo rezultat u tablicu. Ispunjena tablica istinitosti u potpunosti opisuje elektronički sklop koji se razmatra.

Tablica istinitosti također se može konstruirati pomoću logičkog izraza koji odgovara elektroničkom sklopu. Posljednji logički element u krugu koji se razmatra je konjunktor. Prima signale s ulaza L i iz pretvarača. Zauzvrat, pretvarač prima signal s ulaza B. Dakle,

Rad s logičkim simulatorom (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) pomoći će vam da dobijete potpunije razumijevanje logičkih elemenata i elektroničkih sklopova.

Najvažniji

Izjava- je rečenica na bilo kojem jeziku, čiji se sadržaj može nedvosmisleno odrediti kao istinit ili netočan.

Osnovne logičke operacije definirane na izjavama: inverzija, konjunkcija, disjunkcija.

Tablice istinitosti za osnovne logičke operacije:

Pri procjeni Booleovih izraza, prvi se izvode koraci u zagradama. Prioritet izvršavanja logičkih operacija:

Pitanja i zadaci

1. Objasnite zašto sljedeće rečenice nisu tvrdnje.
1. Koje je boje ova kuća?
2. Broj X nije veći od jedinice.
3. 4X + 3.
4. Pogledaj kroz prozor.
5. Pijte sok od rajčice!
6. Ova tema je dosadna.
7. Ricky Martin je najpopularniji pjevač.
8. Jeste li bili u kazalištu?
2. Navedite po jedan primjer točnih i netočnih tvrdnji iz biologije, geografije, informatike, povijesti, matematike, književnosti.
3. U sljedećim tvrdnjama označite jednostavne tvrdnje, označavajući svaku od njih slovom; svaku složenu tvrdnju zapišite slovima i znakovima logičkih operacija.
1. Broj 376 je paran i ima tri znamenke.
2. Zimi djeca idu na klizanje ili skijanje.
3. Proslavit ćemo Novu godinu u dači ili na Crvenom trgu.
4. Nije istina da se Sunce kreće oko Zemlje.
5. Zemlja ima oblik lopte koja iz svemira izgleda plava.
6. Na satu matematike srednjoškolci su odgovarali na pitanja nastavnika, a pisali su i samostalne radove.
4. Konstruirajte negaciju sljedećih iskaza.
1. Danas se u kazalištu izvodi opera “Evgenije Onjegin”.
2. Svaki lovac želi znati gdje fazan sjedi.
3. Broj 1 je prost broj.
4. Cijeli brojevi koji završavaju na 0 nisu prosti brojevi.
5. Nije istina da broj 3 nije djelitelj broja 198.
6. Kolja je riješio sve zadatke testa.
7. U svakoj školi neki su učenici zainteresirani za sport.
8. Neki sisavci ne žive na kopnu.
5. Neka je A = "Anya voli lekcije iz matematike" i B = "Anya voli lekcije iz kemije." Izrazite sljedeće formule običnim jezikom:



6. Razmotrite električne krugove prikazane na slici:



Na njima je prikazan paralelni i serijski spoj prekidača koji su vam poznati iz kolegija fizike. U prvom slučaju oba prekidača moraju biti uključena da bi svjetlo zasvijetlilo. U drugom slučaju dovoljno je da je jedan od prekidača uključen. Pokušajte sami povući analogiju između elemenata električnih krugova i objekata i operacija logičke algebre:



7. Neki segment interneta sastoji se od 1000 stranica. Poslužitelj za pretraživanje automatski je sastavio tablicu ključnih riječi za stranice u ovom segmentu. Evo njegovog fragmenta:






Upit som i gupi pronašao je 0 lokacija, upit som i mačevar pronašao je 20 lokacija, a upit mače rep i gupi pronašao je 10 lokacija.

Koliko će stranica biti pronađeno za upit catfish | mačevi | guppy?

Za koliko je stranica u segmentu koji se razmatra izjava "Somovi su ključna riječ stranice ILI mačevi repovi ključna riječ stranice ILI gupiji ključna riječ stranice" netočna?

8. Konstruirajte tablice istine za sljedeće logičke izraze:



9. Provedite dokaz logičkih zakona o kojima se govori u paragrafu pomoću tablica istinitosti.
10. Dana su tri broja u decimalnom brojevnom sustavu: A = 23, B = 19, C = 26. Pretvorite A, B i C u binarni brojevni sustav i izvedite logičke operacije po bitovima (A ∨ B) & C. Dajte odgovor u decimalni brojevni sustav.
11. Pronađite značenja izraza:



12. Pronađite vrijednost Booleovog izraza za navedene vrijednosti broja X:

1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4

13. Neka A = "Prvo slovo imena je samoglasnik", B = "Četvrto slovo imena je suglasnik." Pronađite vrijednost Booleovog izraza za sljedeća imena:



4) FEDOR


14. Slučaj Johna, Browna i Smitha se ispituje. Zna se da je jedan od njih pronašao i sakrio blago. U istrazi je svaki od osumnjičenih dao po dvije izjave:



Smith: “Nisam to učinio. Brown je to uspio."

John: Brown nije kriv. Smith je to uspio."

Brown: “Nisam to učinio. John to nije učinio."

Sud je utvrdio da je jedan od njih dva puta lagao, drugi dva puta rekao istinu, treći jednom lagao i jednom rekao istinu. Kojeg osumnjičenika treba osloboditi?


15. Aljoša, Borja i Griša pronašli su drevnu posudu u zemlji. Ispitujući nevjerojatno otkriće, svaki je napravio dvije pretpostavke:
    
    
    1. Aljoša: "Ovo je grčka posuda i napravljena je u 5. stoljeću."
    2. Borya: "Ovo je fenička posuda i napravljena je u 3. stoljeću."
    3. Grisha: "Ova posuda nije grčka i napravljena je u 4. stoljeću."
       Profesor povijesti rekao je djeci da je svako od njih u pravu samo u jednoj od dvije pretpostavke. Gdje je i u kojem stoljeću napravljena posuda?
    
    
16. Saznajte koji bi signal trebao biti izlaz elektronički sklop za svaki mogući skup ulaznih signala. Napravite tablicu rada kruga. Koji logički izraz opisuje sklop?

“Prosudba kao oblik mišljenja” - Djelomično negativno Neki ne... Prosudba kao oblik mišljenja. Kupusni leptiri su bijeli ili žuti. Kompleks. Ako se bojiš vuka, onda nećeš ići u šumu. Djelomično potvrdno Neki... Niti jedan učenik ne želi biti neuspješan. Grade se veznicima “I” “ILI” “AKO..., ONDA...” “NIJE TOČNO DA...”. Vrste jednostavnih sudova.

"Frame analysis" - Metoda taksonomije. Majka. Jezična slika svijeta. Okvir. Aleksandar Rodčenko. Znak. Staza. Putu nema kraja. Riječ može imati nekoliko razina prototipske strukture. Je li kalendarski ciklus od sedam dana isti? Okvirni sustavi. Prototip. Knjige Anne Wierzbicke. Narativni okvir. Glagol RAZUMIJETI.

"Zaključivanje" - Paradoks. Zaključivanje je oblik mišljenja. Vrste zaključivanja. Istinite presude. Sofizam. Indukcija je prijelaz s posebnog na opće. Temeljni princip formalne logike. Ako je nešto metalno, onda vodi struja. Dedukcija je prijelaz s općeg na posebno. Izravno zaključivanje (izvedeno iz jedne premise).

"Razmišljanje u psihologiji" - Istraživačke aktivnosti psiholog. Poteškoće u proučavanju metakognitivnih procesa. Provođenje testiranja hipoteza. Tumačenje rezultata ispitivanja. Međuodnos istraživačkih modela. Pogledi S.L. Rubinshteina, M.K. Mamardashvili, G.V.F. Hegel. Znanje o znanju. Predlaganje hipoteze. A. Brown i G. Wellman su u procesu proučavanja metamišljenja došli do identificiranja njegovih glavnih funkcija.

“Memorija” - 1. Eksperimentalna kritika: predsjednici 2. Analiza metakognicija (Flavell). von Restorffov eksperiment. KP: Strategije pretraživanja. Pristup odozdo prema gore. Tulving Epizodno pamćenje. Kratkotrajno pamćenje. Problem dualnosti memorije Eksperimentalne činjenice Procesi pohrane i upravljanja. Atkinson, Shifrin, 1967.

“Trening razmišljanja” - Bertrand Russell. Kritičko razmišljanje. Definicija kritičkog mišljenja. I umiru prije nego što uopće počnu. Mnogi bi ljudi radije umrli nego razmišljali. Materijali za trening “Kritičko mišljenje i suradnja”. Potrebne vještine kritičkog mišljenja. Odluke koje donosimo utjecat će na živote budućih generacija.

Ukupno je 15 prezentacija

U prirodnom jeziku
		veznik
		disjunkcija
Nije istina da...		negacija
		veznik
Ako i samo ako...		jednakovrijednost
		veznik
		veznik
		implikacija
Međutim...		veznik
Tada i samo kada...		jednakovrijednost
	Ili...	stroga disjunkcija
Potrebno i dovoljno...		jednakovrijednost
	treba...	implikacija
Privlači...		implikacija
Ekvivalent...		jednakovrijednost
Neophodno...		implikacija
	Dovoljno...	obrnuta implikacija

Zadatak 4. Konstruirajte negacije sljedećeg

izreke:

a) Danas se u kazalištu izvodi opera “Evgenije Onjegin”. b) Svaki lovac želi znati gdje fazan sjedi. c) Broj 1 je prost broj.

d) Broj 1 je složen.

e) Prirodni brojevi koji završavaju slovom O su prosti brojevi.

f) Nije točno da broj 3 nije djelitelj broja 198.

g) Kolja je riješio sve zadatke testa.

h) Nije točno da je svaki broj koji završava na 4 djeljiv s 4.

i) U svakoj školi neki su učenici zainteresirani za sport.

j) Neki sisavci ne žive na kopnu.

Odgovori.

a) Danas se opera “Evgenije Onjegin” ne izvodi u kazalištu.

b) Ne želi svaki lovac znati gdje fazan sjedi (neki lovci ne žele znati gdje fazan sjedi).

c) Broj 1 nije prost broj (nije prost broj).

d) Broj 1 nije složen.

e) Prirodni brojevi koji završavaju na 0 nisu prosti brojevi.

f) Broj 3 nije djelitelj broja 198.

g) Nije točno da je Kolja riješio sve zadatke iz testa (Kolja nije riješio neke zadatke iz testa).

h) Svaki broj koji završava na 4 djeljiv je s 4. i) U nekim školama svi učenici nisu zainteresirani za sport.

j) Svi sisavci žive na kopnu.

Zadatak 5. Jesu li sljedeće rečenice jedna drugoj negacije?

a) On je moj prijatelj. On je moj neprijatelj.

b) Velika kuća. Mala kuća.

c) Velika kuća. Mala kuća.

d) X > 2. X< 2.

Odgovori.

Negacijom se bavimo samo u drugom slučaju. Zaista, neka je A = (On je moj prijatelj).

Tada nije A = (Nije istina da mi je prijatelj).

Ali samo zato što vam neka osoba nije prijatelj ne znači da vam je neprijatelj.

Razmotrimo točku c).

Neka je A = (Ovo je velika kuća), tada Not A = (Ovo je mala kuća).

Za stavku d) negacija prve izjave za bilo koji x bit će x< 2.

Zadatak 6. Neka p = Anya voli satove matematike, a q = Anya voli satove kemije.

Izrazite sljedeće formule običnim jezikom:

Odgovori.

a) Anya voli satove matematike i kemije.

b) Anya ne voli satove matematike, ali voli satove kemije.

c) Anya voli satove matematike, ali ne voli satove kemije.

d) Anya voli satove matematike ili kemije.

e) Anya voli satove matematike ili ne voli satove kemije.

f) Anya ne voli satove matematike ili kemije.

g) Nije istina da Anya voli satove matematike i kemije. h) Nije istina da Anya voli satove matematike ili kemije.

i) Nije istina da Anya voli satove matematike, a ne voli satove kemije.

j) Ako Anya voli satove matematike, onda voli i satove kemije.

k) Ako Anya voli satove matematike, onda ne voli satove kemije.

m) Nije točno da ako Anya voli satove matematike, onda voli i satove kemije.

Zadaci za individualni rad

opcija 1

1. Date su dvije izjave:

A = (Broj 5 je prost), B = (Mjesec je Venerin satelit).

Očito, A = 1, B = 0.