U geometriji se vektor shvaća kao usmjereni segment, a vektori dobiveni jedan iz drugoga paralelnom translacijom smatraju se jednakima. Svi jednaki vektori se tretiraju kao isti vektor. Početak vektora može se postaviti u bilo koju točku prostora ili ravnine.

Ako su koordinate krajeva vektora zadane u prostoru: A(x 1 , g 1 , z 1), B(x 2 , g 2 , z 2), zatim

= (x 2 – x 1 , g 2 – g 1 , z 2 – z 1). (1)

Slična formula vrijedi i u ravnini. To znači da se vektor može napisati kao koordinatni niz. Operacije na vektorima, - zbrajanje i množenje brojem, na nizovima se izvode komponentu po komponentu. To omogućuje proširenje koncepta vektora, shvaćajući vektor kao bilo koji niz brojeva. Na primjer, sustavno rješenje linearne jednadžbe, kao i bilo koji skup vrijednosti varijabli sustava, može se smatrati vektorom.

Na nizovima iste duljine operacija zbrajanja se izvodi prema pravilu

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Množenje niza brojem izvodi se prema pravilu

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Skup vektora reda zadane duljine n s naznačenim operacijama vektorskog zbrajanja i množenja brojem tvori algebarsku strukturu tzv n-dimenzionalni linearni prostor.

Linearna kombinacija vektora je vektor , gdje je λ 1 , ... , λ m proizvoljni su koeficijenti.

Sustav vektora naziva se linearno ovisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koja ima barem jedan koeficijent različit od nule.

Sustav vektora naziva se linearno neovisnim ako su u bilo kojoj od njegovih linearnih kombinacija jednakih , svi koeficijenti jednaki nuli.

Time se rješenje pitanja linearne ovisnosti sustava vektora svodi na rješenje jednadžbe

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Ako ova jednadžba ima rješenja različita od nule, tada je sustav vektora linearno ovisan. Ako je nulto rješenje jedinstveno, tada je sustav vektora linearno neovisan.

Za rješavanje sustava (4), radi jasnoće, vektori se mogu pisati ne u obliku redaka, već u obliku stupaca.

Zatim, nakon provođenja transformacija na lijevoj strani, dolazimo do sustava linearnih jednadžbi ekvivalentnog jednadžbi (4). Glavnu matricu ovog sustava čine koordinate izvornih vektora raspoređenih u stupce. Stupac slobodnih članova ovdje nije potreban jer je sustav homogen.

Osnova sustava vektora (konačnog ili beskonačnog, posebno cijelog linearnog prostora) je njegov neprazan linearno neovisan podsustav, kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sustava.

Primjer 1.5.2. Odredite bazu sustava vektora = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) a ostale vektore izraziti kroz bazu.

Riješenje. Gradimo matricu u kojoj su koordinate tih vektora raspoređene u stupce. Ovo je matrica sustava x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Dovodimo matricu u stepenasti oblik:

~ ~ ~

Osnovu ovog sustava vektora čine vektori , , , koji odgovaraju vodećim elementima redova označenih kružićima. Da bismo izrazili vektor, rješavamo jednadžbu x 1 + x 2 + x 4 = . Svodi se na sustav linearnih jednadžbi čija se matrica dobiva iz originala preuređivanjem stupca koji odgovara , na mjesto stupca slobodnih članova. Stoga, kada se reducira na stepenasti oblik, iste transformacije će biti napravljene na matrici kao gore. To znači da možemo upotrijebiti dobivenu matricu u stepenastom obliku tako da napravimo potrebne permutacije stupaca u njoj: stupci s kružićima postavljeni su lijevo od okomite trake, a stupac koji odgovara vektoru postavljen je desno bara.

Sukcesivno nalazimo:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Komentar. Ako je potrebno izraziti nekoliko vektora kroz bazu, tada se za svaki od njih konstruira odgovarajući sustav linearnih jednadžbi. Ovi sustavi će se razlikovati samo u stupcima besplatnih članova. U ovom slučaju svaki sustav se rješava neovisno o drugima.

VJEŽBA 1.4. Nađi bazu sustava vektora i izrazi ostatak vektora preko baze:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

U danom sustavu vektora obično se može razlikovati baza različiti putevi, ali će sve baze imati isti broj vektora. Broj vektora u bazi linearnog prostora naziva se dimenzija prostora. Za n-dimenzionalni linearni prostor n je dimenzija prostora, jer ovaj prostor ima standardnu ​​bazu = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Kroz ovu bazu, bilo koji vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) izražava se kako slijedi:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Dakle, komponente u retku vektora = (a 1 , a 2 , … , a n) su njegovi koeficijenti u ekspanziji u smislu standardne baze.

Ravne linije na ravnini

Zadatak analitička geometrija– primjena koordinatne metode na geometrijske probleme. Dakle, problem se prevodi u algebarski oblik i rješava pomoću algebre.

Linearna ovisnost i linearna neovisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sustav

U publici su kolica s čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par - analitičku geometriju s linearnom algebrom. Ovaj će članak obuhvatiti dva odjeljka odjednom. viša matematika, a vidjet ćemo kako će se snaći u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... kvragu, pa svađati se gluposti. Iako je u redu, neću poentirati, na kraju treba imati pozitivan stav prema učenju.

Linearna ovisnost vektora, linearna neovisnost vektora, vektorska osnova i drugi pojmovi nemaju samo geometrijsko tumačenje, nego, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stajališta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravnini ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, za koji sam upravo otišao na Gismeteo: - temperatura i atmosferski tlak, respektivno. Primjer je naravno netočan u pogledu svojstava vektorski prostor, ali ipak nitko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću vas zamarati teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumjeti definicije i teoremi. Novi termini (linearna ovisnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) primjenjivi su na sve vektore s algebarskog gledišta, ali će primjeri biti dani geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Uz probleme analitičke geometrije, razmotrit ćemo i neke tipične zadatke algebre. Da biste svladali gradivo, preporučljivo je upoznati se s lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna ovisnost i neovisnost ravninskih vektora.
Ravninska baza i afini koordinatni sustav

Razmotrite ravninu vašeg računalnog stola (samo stol, noćni ormarić, pod, strop, što god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite ravninsku osnovu. Grubo govoreći, ploča stola ima duljinu i širinu, pa je intuitivno jasno da su za izgradnju baze potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na temelju odabrane osnove postaviti koordinatni sustav(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na stolu.

Nemojte se iznenaditi, u početku će objašnjenja biti na prstima. Štoviše, na vašem. Molim mjesto kažiprst lijeve ruke na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sada mjesto mali prst desne ruke na rubu stola na isti način – tako da bude usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješi se, super izgledaš! Što se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearni, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, dobro, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo množenja vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravninu računalnog stola? Očito ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-natrag unutra sama smjer, dok ravnina ima duljinu i širinu.

Takvi se vektori nazivaju linearno ovisna.

Referenca: Riječi "linearni", "linearni" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama, izrazima nema kvadrata, kubova, drugih potencija, logaritama, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stupanj) izrazi i ovisnosti.

Dva vektora u ravnini linearno ovisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih bude bilo koji kut osim 0 ili 180 stupnjeva. Dva vektora u ravninilinearno Ne ovisni su ako i samo ako nisu kolinearni. Dakle, osnova je primljena. Ne treba vam biti neugodno što je baza ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih duljina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da za njegovu konstrukciju nije pogodan samo kut od 90 stupnjeva, a ne samo jedinični vektori jednake duljine

Bilo koje ravninski vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Brojevi se nazivaju vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Kažu i to vektorpredstavljen u obliku linearna kombinacija bazni vektori. Odnosno, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnova ili linearna kombinacija bazni vektori.

Na primjer, može se reći da je vektor proširen u ortonormalnu bazu ravnine ili se može reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Idemo formulirati definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravninski vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna točka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redoslijedom. baze To su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomaknuti na mjesto malog prsta desne ruke.

Osnovu smo shvatili, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem stolu računala. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju cijelom ravninom. Dakle, kako dodijeliti koordinate tim malim prljavim točkicama na stolu preostalim od divljeg vikenda? Potrebno je polazište. A takva referentna točka je svima poznata točka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sustava:

Počet ću od "školskog" sustava. Već na uvodnom satu Vektori za lutke Naglasio sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sustava i ortonormirane baze. Evo standardne slike:

Kada se govori o pravokutni koordinatni sustav, tada najčešće označavaju ishodište, koordinatne osi i mjerilo po osi. Pokušajte u tražilicu upisati "pravokutni koordinatni sustav" i vidjet ćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osima poznatim iz 5.-6. razreda i o crtanju točaka na ravninu.

S druge strane, stječe se dojam da se pravokutni koordinatni sustav može dobro definirati u terminima ortonormirane baze. I gotovo da jest. Tekst glasi ovako:

podrijetlo, I ortonormalan osnovni skup Kartezijev koordinatni sustav ravnine . Odnosno, pravokutni koordinatni sustav definitivno definirana je jednom točkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima se često (ali daleko ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne osi.

Mislim da svatko razumije da uz pomoć točke (ishodišta) i ortonormirane baze BILO KOJA TOČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravnine mogu se dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, “u avionu se sve može nabrojati”.

Moraju li koordinatni vektori biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu duljinu različitu od nule. Razmotrimo točku i dva ortogonalna vektora proizvoljne duljine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalni. Ishodište koordinata s vektorima definira koordinatna mreža, a svaka točka ravnine, svaki vektor ima svoje koordinate u zadanoj bazi. Na primjer, ili. Očita je neugodnost što koordinatni vektori općenito imaju različite duljine osim jedinice. Ako su duljine jednake jedan, tada se dobiva uobičajena ortonormirana baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i dolje u afinim bazama ravnine i prostora, razmatraju se jedinice duž osi UVJETNA. Na primjer, jedna jedinica na apscisi sadrži 4 cm, a jedna jedinica na ordinati sadrži 2 cm. Ovaj podatak je dovoljan za pretvorbu "nestandardnih" koordinata u "naše uobičajene centimetre", ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - je li kut između baznih vektora nužno jednak 90 stupnjeva? Ne! Kao što kaže definicija, bazni vektori moraju biti samo nekolinearni. Prema tome, kut može biti bilo što osim 0 i 180 stupnjeva.

Točka na ravnini tzv podrijetlo, I nekolinearni vektori, , set afini koordinatni sustav ravnine :

Ponekad se ovaj koordinatni sustav naziva kosi sustav. Točke i vektori prikazani su kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sustav još je manje prikladan, formule za duljine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, u njemu ne rade. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule povezane s skalarni produkt vektora. Ali vrijede pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom smislu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava Kartezijev pravokutni sustav. Stoga se ona, ona sama, najčešće mora vidjeti. ... Ipak, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati kosi (ili neki drugi, npr. polarni) koordinatni sustav. Da, i humanoidi, takvi sustavi mogu se svidjeti =)

Prijeđimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za opći afini slučaj. Ovdje nema ništa komplicirano, sav je materijal dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravninskih vektora?

Tipična stvar. Da bi dva ravninska vektora su kolinearne, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U biti, ovo je koordinata po koordinata preciziranje očitog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Čine li vektori bazu? ?

Riješenje:
a) Pronađi postoji li za vektore koeficijent proporcionalnosti, tako da su ispunjene jednakosti:

Svakako ću vam ispričati o "špak" verziji primjene ovog pravila, koja u praksi prilično dobro funkcionira. Ideja je odmah nacrtati proporciju i vidjeti je li točna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

Skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Odnos se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje se može koristiti činjenica da se kolinearni vektori linearno izražavaju jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova valjanost može se lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravninska vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Provjeravamo kolinearnost vektora . Kreirajmo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da je , iz druge jednadžbe slijedi da je , što znači, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite omjer od odgovarajućih koordinata vektora :
, stoga su ovi vektori linearno neovisni i čine bazu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Kao ovo: . Ili ovako: . Ili ovako: . Kako ovdje proći kroz proporciju? (Stvarno, ne možete dijeliti s nulom). Iz tog sam razloga pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

Odgovor: a), b) oblik.

Mali kreativni primjer za neovisno rješenje:

Primjer 2

Pri kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearni?

U otopini uzorka parametar se nalazi kroz udio.

Postoji elegantan algebarski način provjere kolinearnosti vektora. Sistematizirajmo naše znanje i samo ga dodajmo kao petu točku:

Za dva vektora u ravnini, sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:

2) vektori čine bazu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

Odnosno, sljedeće suprotne tvrdnje su ekvivalentne:
1) vektori su linearno ovisni;
2) vektori ne čine bazu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nula .

Jako, jako se nadam da ste u ovom trenutku već razumjeli sve uvjete i izjave na koje ste naišli.

Pogledajmo pobliže novu, petu točku: dva vektora u ravnini su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu značajku, naravno, morate biti u mogućnosti pronaći odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ti vektori kolinearni.

b) Dva ravninska vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno neovisni i čine bazu.

Odgovor: a), b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelnost segmenata, ravnih linija. Razmotrite nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokažite da je četverokut paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe za izgradnjom crteža u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Naziva se četverokut u kojem su suprotne stranice po parovima paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelnost suprotnih strana i .

Dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor (“po školi” - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očita, ali bolje je odluku donijeti pravilno, uz dogovor. Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ti vektori kolinearni, i .

Zaključak: Nasuprotne stranice četverokuta su po parovima paralelne, pa je on po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i različitih figura:

Primjer 4

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokažite da je četverokut trapez.

Za strožu formulaciju dokaza, bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako izgleda.

Ovo je zadatak za samostalno odlučivanje. Cjelovito rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako preselimo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost prostornih vektora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva prostorna vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Utvrdite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

A) ;
b)
V)

Riješenje:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se izrađuje provjerom omjera. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

Odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su točke za samostalnu odluku. Isprobajte ga na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora i preko determinante trećeg reda, ova metoda je obrađena u članku Umnožak vektora.

Slično kao u slučaju ravnine, razmatrani alati mogu se koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i pravaca.

Dobrodošli u drugi odjeljak:

Linearna ovisnost i neovisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna baza i afini koordinatni sustav

Mnoge pravilnosti koje smo razmatrali na ravnini vrijedit će i za svemir. Nastojao sam da sažetak teorije bude što kraći, jer lavlji udio informacije su već prožvakane. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate. uvodni dio, budući da će se pojavljivati ​​novi termini i pojmovi.

Sada, umjesto ravnine računalnog stola, promotrimo trodimenzionalni prostor. Prvo, stvorimo njegovu osnovu. Netko je sada unutra, netko vani, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, duljine i visine. Stoga su za konstrukciju baze potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, gledaju u različitim smjerovima, imaju različite duljine i imaju različite kutove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Usput, ne morate to demonstrirati učiteljima, bez obzira kako vrtite prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, čine li bilo koja tri vektora bazu trodimenzionalnog prostora? Pritisnite čvrsto s tri prsta na ploču računala. Što se dogodilo? Tri vektora nalaze se u istoj ravnini i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od mjera - visinu. Takvi vektori su komplanarni i, sasvim očito, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravnini, mogu biti u paralelnim ravninama (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali ispao tako =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarni ako postoji ravnina s kojom su paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravnina ne postoji, vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora uvijek su linearno ovisna, odnosno linearno se izražavaju jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, ponovno zamislite da leže u istoj ravnini. Prvo, vektori nisu samo koplanarni, već mogu biti i kolinearni, tada se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako npr. vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odjeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora uvijek su linearno neovisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očito, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti u određenom redoslijedu, dok bilo koji vektor prostora jedini način proširuje u zadanoj bazi , gdje su koordinate vektora u zadanoj bazi

Kao podsjetnik, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija bazni vektori.

Pojam koordinatnog sustava uvodi se na potpuno isti način kao i za ravninski slučaj, dovoljna je jedna točka i bilo koja tri linearno neovisna vektora:

podrijetlo, I nekoplanarni vektori, uzeti u određenom redoslijedu, set afini koordinatni sustav trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, izgrađeni koordinatni sustav omogućuje nam definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, u afinom koordinatnom sustavu prostora neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava, kao što svatko može pogoditi, je pravokutni prostorni koordinatni sustav:

točka u prostoru tzv podrijetlo, I ortonormalan osnovni skup Kartezijev koordinatni sustav prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovno sistematiziramo informacije:

Za tri prostorna vektora, sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori čine bazu;
3) vektori nisu koplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, različita je od nule.

Suprotne izjave, mislim, razumljive su.

Linearna ovisnost/neovisnost prostornih vektora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (točka 5). Preostali praktični zadaci bit će naglašeno algebarskog karaktera. Vrijeme je da objesite geometrijski štap na čavao i zamahnete bejzbolskom palicom linearne algebre:

Tri prostorna vektora su komplanarne ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli: .

Skrećem vam pozornost na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već i u redovima (vrijednost determinante se od toga neće promijeniti - pogledajte svojstva determinanti). Ali puno je bolje u stupcima, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su pomalo zaboravili metode za izračunavanje determinanti, ili su možda uopće slabo orijentirani, preporučujem jednu od svojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite čine li sljedeći vektori bazu trodimenzionalnog prostora:

Riješenje: Zapravo se cijelo rješenje svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno neovisni (nisu koplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovor: ovi vektori čine bazu

b) Ovo je točka za neovisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj će vrijednosti parametra vektori biti komplanarni?

Riješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:

U biti, potrebno je riješiti jednadžbu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti odrednicu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i svodimo stvar na najjednostavniju linearnu jednadžbu:

Odgovor: na

Ovdje je lako provjeriti, za to trebate zamijeniti dobivenu vrijednost u izvornu determinantu i uvjeriti se da ponovnim otvaranjem istog.

Na kraju, razmislite o još jednom tipičan zadatak, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kolegij linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokažite da 3 vektora čine bazu trodimenzionalnog prostora
te nađi koordinate 4. vektora u zadanoj bazi

Primjer 8

Zadani su vektori. Pokažite da vektori čine bazu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Riješenje: Pozabavimo se prvo stanjem. Po uvjetu su zadana četiri vektora koji, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Što je temelj – ne zanima nas. Zanimljiva je sljedeća stvar: tri vektora mogu činiti novu osnovu. I prvi korak je potpuno isti kao rješenje primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori stvarno linearno neovisni:

Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno neovisni i čine bazu trodimenzionalnog prostora.

! Važno : vektorske koordinate Obavezno Zapiši u stupce odrednica, a ne nizovi. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu rješenja.

Linearna kombinacija vektora je vektor
, gdje su λ 1 , ... , λ m proizvoljni koeficijenti.

Vektorski sustav
naziva se linearno zavisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koji ima barem jedan koeficijent različit od nule.

Vektorski sustav
naziva se linearno neovisnim ako je u bilo kojoj od njegovih linearnih kombinacija jednak , svi koeficijenti su nula.

Osnova sustava vektora
naziva se njegov neprazan linearno nezavisan podsustav kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sustava.

Primjer 2. Naći bazu sustava vektora = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) i izrazite preostale vektore preko baze.

Rješenje.Gradimo matricu u kojoj koordinate tih vektora raspoređujemo u stupce. Dovodimo ga u stepenasti oblik.

~
~
~
.

Osnovu ovog sustava čine vektori ,,, koji odgovaraju vodećim elementima redova označenih kružićima. Za vektorski izraz riješi jednadžbu x 1 +x2 +x4 =. Svodi se na sustav linearnih jednadžbi, čija se matrica dobiva iz originala permutiranjem stupca koji odgovara , umjesto stupca slobodnih članova. Stoga, za rješavanje sustava, koristimo dobivenu matricu u stupnjevitom obliku, čineći potrebne permutacije u njoj.

Sukcesivno nalazimo:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Napomena 1. Ako se traži da se kroz bazu izrazi više vektora, tada se za svaki od njih konstruira odgovarajući sustav linearnih jednadžbi. Ovi sustavi će se razlikovati samo u stupcima besplatnih članova. Stoga se za njihovo rješavanje može sastaviti jedna matrica u kojoj će biti nekoliko stupaca slobodnih članova. U ovom slučaju svaki sustav se rješava neovisno o drugima.

Napomena 2. Za izražavanje bilo kojeg vektora dovoljno je koristiti samo bazne vektore sustava koji mu prethode. U ovom slučaju, nema potrebe za preoblikovanjem matrice, dovoljno je staviti okomitu liniju na pravo mjesto.

Vježba 2. Naći bazu sustava vektora i izraziti ostatak vektora kroz bazu:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Temeljni sustav odlučivanja

Sustav linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

Temeljni sustav rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi osnova je skupa njegovih rješenja.

Neka je zadan nehomogen sustav linearnih jednadžbi. Homogeni sustav pridružen zadanom je sustav dobiven iz zadanog zamjenom svih slobodnih članova nulama.

Ako je nehomogeni sustav konzistentan i neodređen, tada njegovo proizvoljno rješenje ima oblik f o1 +  1 f o1 + ... +  k f o k , gdje je f o partikularno rješenje nehomogenog sustava, a f o1 , ... , f o k je temeljna sustavna rješenja pridruženog homogenog sustava.

Primjer 3. Naći partikularno rješenje nehomogenog sustava iz primjera 1 i temeljni sustav rješenja pridruženog homogenog sustava.

Rješenje Rješenje dobiveno u primjeru 1 zapišemo u vektorskom obliku i dobiveni vektor proširimo u zbroj preko slobodnih parametara koje sadrži i fiksnih numeričkih vrijednosti:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Dobivamo f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Komentar. Slično se rješava problem pronalaženja temeljnog sustava rješenja za homogeni sustav.

Vježba 3.1 Nađite temeljni sustav rješenja homogenog sustava:

A)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

VJEŽBA 3.2. Nađite partikularno rješenje nehomogenog sustava i temeljni sustav rješenja pridruženog homogenog sustava:

A)

b)

Pronađite bazu sustava vektora i vektore koji nisu uključeni u bazu, proširite na osnovu:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Riješenje. Promotrimo homogeni sustav linearnih jednadžbi

A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 x 4 + A 5 x 5 = 0

ili proširena .

Ovaj sustav ćemo riješiti Gaussovom metodom, bez zamjene redaka i stupaca, a osim toga odabirom glavnog elementa ne u gornjem lijevom kutu, već kroz cijeli red. Zadatak je da se odabrati dijagonalni dio transformiranog sustava vektora.

~ ~

~ ~ ~ .

Dopušteni sustav vektora, koji je ekvivalentan izvornom, ima oblik

A 1 1 x 1 + A 2 1 x 2 + A 3 1 x 3 + A 4 1 x 4 + A 5 1 x 5 = 0 ,

Gdje A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vektori A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 čine dijagonalni sustav. Stoga vektori A 1 , A 3 , A 4 čine osnovu sustava vektora A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Sada proširujemo vektore A 2 I A 5 u osnovi A 1 , A 3 , A 4 . Da bismo to učinili, prvo proširimo odgovarajuće vektore A 2 1 I A 5 1 dijagonalni sustav A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 , imajući u vidu da su koeficijenti vektorske ekspanzije u dijagonalnom sustavu njegove koordinate x i.

Iz (1) imamo:

A 2 1 = A 3 1 (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 1 A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1+ A 1 1 2 A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vektori A 2 I A 5 proširiti u osnovi A 1 , A 3 , A 4 s istim koeficijentima kao vektori A 2 1 I A 5 1 dijagonalni sustav A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (ti koeficijenti x i). Stoga,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Zadaci. 1.Naći bazu sustava vektora i vektore koji ne ulaze u bazu proširiti prema bazi:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Pronađite sve baze sustava vektora:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Kada smo analizirali koncepte n-dimenzionalnog vektora i uveli operacije na vektorima, saznali smo da skup svih n-dimenzionalnih vektora generira linearni prostor. U ovom ćemo članku govoriti o najvažnijim povezanim pojmovima - o dimenziji i bazi vektorskog prostora. Također razmatramo teorem o ekspanziji proizvoljnog vektora u smislu baze i veze između različitih baza n-dimenzionalnog prostora. Analizirajmo detaljno rješenja tipičnih primjera.

Navigacija po stranici.

Pojam dimenzije i baze vektorskog prostora.

Pojmovi dimenzije i baze vektorskog prostora izravno su povezani s pojmom linearno neovisnog sustava vektora, pa preporučujemo, ako je potrebno, pogledati članak linearna ovisnost sustava vektora, svojstva linearne ovisnosti i neovisnosti.

Definicija.

Dimenzija vektorskog prostora naziva se broj jednak maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora u ovom prostoru.

Definicija.

Osnova vektorskog prostora je uređen skup linearno nezavisnih vektora ovog prostora, čiji je broj jednak dimenziji prostora.

Predstavljamo neke argumente temeljene na ovim definicijama.

Razmotrimo prostor n -dimenzionalnih vektora.

Pokažimo da je dimenzija tog prostora jednaka n .

Uzmimo sustav od n jediničnih vektora oblika

Uzmimo te vektore kao redove matrice A. U ovom slučaju, matrica A će biti n x n identitetska matrica. Rang ove matrice je n (ako je potrebno, pogledajte članak). Stoga sustav vektora je linearno neovisan i niti jedan vektor se ne može dodati ovom sustavu bez narušavanja njegove linearne neovisnosti. Budući da je broj vektora u sustavu onda je jednako n dimenzija prostora n-dimenzionalnih vektora je n, a jediničnih vektora temelj su ovog prostora.

Iz zadnje tvrdnje i definicije osnove možemo zaključiti da bilo koji sustav n-dimenzionalnih vektora čiji je broj vektora manji od n nije baza.

Sada zamijenimo prvi i drugi vektor sustava . Lako je pokazati da dobiveni sustav vektora također je baza n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Sastavimo matricu, uzimajući je kao redove vektora ovog sustava. Ova matrica se može dobiti iz matrice identiteta zamjenom prvog i drugog retka, stoga će njezin rang biti n . Dakle, sustav od n vektora je linearno neovisan i baza je n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Ako zamijenimo ostale vektore sustava , dobivamo drugu osnovu.

Ako uzmemo linearno nezavisan sustav nejediničnih vektora, onda je on također baza n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Tako, vektorski prostor dimenzije n ima onoliko baza koliko ima linearno neovisnih sustava od n n -dimenzionalnih vektora.

Ako govorimo o dvodimenzionalnom vektorskom prostoru (odnosno o ravnini), tada su njegova baza bilo koja dva nekolinearna vektora. Osnova trodimenzionalnog prostora su bilo koja tri nekoplanarna vektora.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer.

Jesu li vektori osnova 3D vektorskog prostora?

Riješenje.

Ispitajmo ovaj sustav vektora za linearnu ovisnost. Da bismo to učinili, sastavit ćemo matricu čiji će redovi biti koordinate vektora i pronaći njezin rang:


Dakle, vektori a , b i c su linearno neovisni i njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora, dakle, oni su baza ovog prostora.

Odgovor:

Da, jesu.

Primjer.

Može li sustav vektora biti baza vektorskog prostora?

Riješenje.

Ovaj sustav vektora je linearno ovisan, budući da je najveći broj linearno neovisnih trodimenzionalnih vektora tri. Stoga ovaj sustav vektora ne može biti baza trodimenzionalnog vektorskog prostora (iako je podsustav izvornog sustava vektora baza).

Odgovor:

Ne, on nemože.

Primjer.

Provjerite vektore

može biti osnova četverodimenzionalnog vektorskog prostora.

Riješenje.

Napravimo matricu, uzimajući je kao redove izvornih vektora:

Pronađimo:

Dakle, sustav vektora a, b, c, d je linearno neovisan i njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora, dakle, a, b, c, d su njegova baza.

Odgovor:

Izvorni vektori doista su osnova četverodimenzionalnog prostora.

Primjer.

Da li vektori čine osnovu 4-dimenzionalnog vektorskog prostora?

Riješenje.

Čak i ako je izvorni sustav vektora linearno neovisan, broj vektora u njemu nije dovoljan da bude baza četverodimenzionalnog prostora (bazicu takvog prostora čine 4 vektora).

Odgovor:

Ne, nije.

Dekompozicija vektora u smislu baze vektorskog prostora.

Neka su proizvoljni vektori osnova su n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Ako im dodamo neki n-dimenzionalni vektor x, tada će rezultirajući sustav vektora biti linearno ovisan. Iz svojstava linearne ovisnosti znamo da je barem jedan vektor linearno ovisnog sustava linearno izražen u odnosu na ostale. Drugim riječima, barem jedan od vektora linearno ovisnog sustava rastavlja se na ostale vektore.

Tako dolazimo do vrlo važnog teorema.

Teorema.

Svaki vektor n-dimenzionalnog vektorskog prostora je jedinstveno dekomponiran u smislu baze.

Dokaz.

Neka - baza n -dimenzionalnog vektorskog prostora. Dodajmo n-dimenzionalni vektor x ovim vektorima. Tada će rezultirajući sustav vektora biti linearno ovisan i vektor x se može linearno izraziti kroz vektore : , gdje su neki brojevi. Dakle, dobili smo proširenje vektora x u smislu baze. Ostaje dokazati da je ova dekompozicija jedinstvena.

Pretpostavimo da postoji još jedna dekompozicija , gdje je - neki brojevi. Od lijevog i desnog dijela posljednje jednakosti oduzmite lijevi i desni dio jednakosti:

Budući da sustav baznih vektora linearno neovisan, tada je, prema definiciji linearne neovisnosti sustava vektora, rezultirajuća jednakost moguća samo kada su svi koeficijenti jednaki nuli. Dakle, , što dokazuje jedinstvenost širenja vektora u smislu baze.

Definicija.

Koeficijenti se nazivaju koordinate vektora x u bazi .

Nakon što smo se upoznali s teoremom o širenju vektora u smislu baze, počinjemo shvaćati bit izraza „dan nam je n-dimenzionalni vektor ". Ovaj izraz znači da razmatramo vektor x n-dimenzionalnog vektorskog prostora čije su koordinate zadane u nekoj bazi. U isto vrijeme, razumijemo da će isti vektor x u drugoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora imati koordinate različite od .

Razmotrite sljedeći problem.

Neka nam je u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora dan sustav od n linearno neovisnih vektora

i vektor . Zatim vektori također su osnova ovog vektorskog prostora.

Trebamo pronaći koordinate vektora x u bazi . Označimo te koordinate kao .

Vektor x u bazi ima ideju. Ovu jednakost zapisujemo u koordinatnom obliku:

Ova jednakost je ekvivalentna sustavu od n linearnih algebarske jednadžbe s n nepoznatih varijabli :

Glavna matrica ovog sustava ima oblik

Označimo to kao A. Stupci matrice A su vektori linearno neovisnog sustava vektora , pa je rang ove matrice n, stoga je njezina determinanta različita od nule. Ova činjenica ukazuje da sustav jednadžbi ima jedina odluka, koji se može pronaći bilo kojom metodom, na primjer, ili .

Tako će se pronaći željene koordinate vektor x u bazi .

Analizirajmo teoriju s primjerima.

Primjer.

U nekoj bazi trodimenzionalnog vektorskog prostora, vektori

Provjerite je li vektorski sustav također baza ovog prostora i pronađite koordinate vektora x u toj bazi.

Riješenje.

Da bi sustav vektora bio osnova trodimenzionalnog vektorskog prostora, mora biti linearno neovisan. Saznajmo to određivanjem ranga matrice A čiji su redovi vektori . Rang nalazimo Gaussovom metodom


dakle, Rank(A) = 3 , što pokazuje linearnu neovisnost sustava vektora .

Dakle, vektori su osnova. Neka vektor x ima koordinate u ovoj bazi. Zatim, kao što smo gore pokazali, odnos koordinata ovog vektora je dan sustavom jednadžbi

Zamjenjujući u njega vrijednosti poznate iz uvjeta, dobivamo

Riješimo to Cramerovom metodom:

Dakle, vektor x u bazi ima koordinate .

Odgovor:

Primjer.

U nekoj osnovi četverodimenzionalni vektorski prostor dobiva linearno nezavisan sustav vektora

Poznato je da . Odredite koordinate vektora x u bazi .

Riješenje.

Budući da sustav vektora linearno neovisan po pretpostavci, onda je baza četverodimenzionalnog prostora. Zatim jednakost znači da vektor x u bazi ima koordinate. Označimo koordinate vektora x u bazi kako .

Sustav jednadžbi koji definira odnos koordinata vektora x u bazama I ima oblik

Zamijenimo poznate vrijednosti u njega i pronađemo željene koordinate:

Odgovor:

.

Komunikacija između baza.

Neka su dana dva linearno neovisna sustava vektora u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora

I

odnosno ujedno su i baze ovog prostora.

Ako - vektorske koordinate u bazi , zatim odnos koordinata I dana je sustavom linearnih jednadžbi (o tome smo govorili u prethodnom odlomku):

, što se u matričnom obliku može napisati kao

Slično, za vektor, možemo pisati

Prethodne matrične jednakosti mogu se spojiti u jednu, koja u biti definira odnos vektora dviju različitih baza

Slično, možemo izraziti sve bazne vektore kroz osnovu :

Definicija.

Matrica nazvao matrica prijelaza iz baze na osnovu , zatim jednakost

Množenje obje strane ove jednadžbe s desne strane s

dobivamo

Pronađimo matricu prijelaza, dok se nećemo zadržavati na pronalaženju inverzne matrice i množenja matrica (vidi, ako je potrebno, članke i):

Preostaje saznati odnos koordinata vektora x u zadanim bazama.

Neka vektor x ima koordinate u bazi, dakle

a u bazi vektor x ima koordinate , tada

Kako su lijevi dijelovi zadnje dvije jednakosti isti, možemo izjednačiti desne dijelove:

Ako pomnožimo obje strane s desne strane s

onda dobivamo


Na drugoj strani

(pronaći inverzna matrica na svoju ruku).
Posljednje dvije jednakosti daju nam željeni odnos koordinata vektora x u bazama i .

Odgovor:

Matrica prijelaza iz baze u bazu ima oblik
;
koordinate vektora x u bazama i povezani su relacijama

ili
.

Razmotrili smo koncepte dimenzije i baze vektorskog prostora, naučili kako dekomponirati vektor prema bazi i otkrili vezu između različitih baza n-dimenzionalnog prostora vektora kroz matricu prijelaza.