Jednadžba stožaste plohe drugog reda. Stožaste plohe. Konstrukcija konusnih presjeka

Sadržaj članka

KONIČNI PRESJECI, ravne krivulje koje se dobivaju presjekom pravog kružnog stošca s ravninom koja ne prolazi njegovim vrhom (slika 1). S gledišta analitička geometrija konusni presjek predstavlja geometrijsko mjesto točaka koje zadovoljavaju jednadžbu drugog reda. Osim degeneriranih slučajeva koji su razmatrani u zadnjem odjeljku, stožasti presjeci su elipse, hiperbole ili parabole.

Konusni presjeci često se nalaze u prirodi i tehnici. Na primjer, putanje planeta koji se okreću oko Sunca imaju oblik elipse. Kružnica je poseban slučaj elipse u kojoj je velika os jednaka maloj. Parabolično zrcalo ima svojstvo da sve upadne zrake paralelne s njegovom osi konvergiraju u jednoj točki (fokusu). Ovo se koristi u većini reflektirajućih teleskopa koji koriste parabolična zrcala, kao iu radarskim antenama i posebnim mikrofonima s paraboličnim reflektorima. Snop paralelnih zraka izlazi iz izvora svjetlosti smještenog u žarištu paraboličnog reflektora. Zato se parabolična zrcala koriste u reflektorima velike snage i prednjim svjetlima automobila. Hiperbola je graf mnogih važnih fizičkih odnosa, kao što je Boyleov zakon (koji povezuje tlak i volumen idealnog plina) i Ohmov zakon, koji definira struja kao funkcija otpora pri konstantnom naponu.

RANA POVIJEST

Otkrivačem stožastih presjeka navodno se smatra Menehmo (4. st. pr. Kr.), Platonov učenik i učitelj Aleksandra Velikog. Menaechmus je koristio parabolu i jednakostraničnu hiperbolu kako bi riješio problem udvostručenja kocke.

Rasprave o stožastim presjecima koje su napisali Aristej i Euklid krajem 4. stoljeća. Kr., izgubljeni su, ali su materijali iz njih uključeni u poznate Konusni presjeci Apolonija iz Perge (oko 260. – 170. pr. Kr.), koji su preživjeli do danas. Apolonije je napustio zahtjev da sekantna ravnina generatrise stošca bude okomita i mijenjanjem kuta njezina nagiba dobio je sve stožaste presjeke iz jednog kružnog stošca, ravnog ili nagnutog. Apoloniju dugujemo i moderne nazive krivulja - elipsa, parabola i hiperbola.

Apolonije je u svojim konstrukcijama koristio dvolisni kružni stožac (kao na slici 1.), pa je prvi put postalo jasno da je hiperbola krivulja s dvije grane. Od Apolonijevog vremena stožasti presjeci se dijele u tri vrste ovisno o nagibu rezne ravnine prema generatrisi stošca. Elipsa (Sl. 1, A) nastaje kada rezna ravnina siječe sve generatrise stošca u točkama jedne njegove šupljine; parabola (sl. 1, b) – kada je rezna ravnina paralelna s jednom od tangentnih ravnina stošca; hiperbola (sl. 1, V) – kada rezna ravnina siječe obje šupljine stošca.

KONSTRUKCIJA KONUŠNIH PRESJEKA

Proučavajući konusne presjeke kao sjecišta ravnina i stožaca, starogrčki matematičari su ih također smatrali putanjama točaka na ravnini. Utvrđeno je da se elipsa može definirati kao geometrijsko mjesto točaka, čiji je zbroj udaljenosti do dviju zadanih točaka konstantan; parabola - kao geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od dane točke i dane prave; hiperbola - kao geometrijsko mjesto točaka, razlika u udaljenosti od koje do dviju zadanih točaka je konstantna.

Ove definicije stožastih presjeka kao ravninskih krivulja također sugeriraju metodu za njihovu konstrukciju pomoću istegnute niti.

Elipsa.

Ako su krajevi niti zadane duljine učvršćeni u točkama F 1 i F 2 (sl. 2), tada krivulja opisana vrhom olovke koja klizi po čvrsto zategnutoj niti ima oblik elipse. Bodovi F 1 i F 2 nazivaju se žarišta elipse, a segmenti V 1 V 2 i v 1 v 2 između točaka sjecišta elipse s koordinatnim osima - velikom i sporednom osi. Ako bodovi F 1 i F 2 podudaraju, tada se elipsa pretvara u krug.

Hiperbola.

Pri konstruiranju hiperbole, točka P, vrh olovke, fiksiran je na konac koji slobodno klizi duž klinova postavljenih na točkama F 1 i F 2, kao što je prikazano na sl. 3, A. Udaljenosti su odabrane tako da segment PF 2 je dulji od segmenta PF 1 za fiksni iznos manji od udaljenosti F 1 F 2. U ovom slučaju, jedan kraj niti prolazi ispod klina F 1 i oba kraja konca prijeđite preko klina F 2. (Vrh olovke ne smije kliziti po niti, pa se mora osigurati tako da se na niti napravi mala petlja i provuče vrh kroz nju.) Jedna grana hiperbole ( PV 1 Q) povlačimo pazeći da konac cijelo vrijeme ostane zategnut i povlačimo oba kraja konca preko vrha F 2 i kada točka P bit će ispod segmenta F 1 F 2, držeći konac na oba kraja i pažljivo ga urezujući (tj. otpuštajući). Druga grana hiperbole ( Pў V 2 Qŭ ) crtamo, prethodno zamijenivši uloge klinova F 1 i F 2 .

Grane hiperbole približavaju se dvjema ravnima koje se sijeku između grana. Ove linije, koje se nazivaju asimptote hiperbole, konstruirane su kao što je prikazano na sl. 3, b. Kutni koeficijenti ove linije su jednake ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), gdje v 1 v 2 – isječak simetrale kuta između asimptota, okomit na isječak F 1 F 2 ; segment linije v 1 v 2 naziva se konjugirana os hiperbole, a segment V 1 V 2 – njegova poprečna os. Dakle, asimptote su dijagonale pravokutnika sa stranicama koje prolaze kroz četiri točke v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralelno s osima. Da biste konstruirali ovaj pravokutnik, morate odrediti mjesto točaka v 1 i v 2. Na istoj su udaljenosti, jednaki

od točke sjecišta osi O. Ova formula pretpostavlja konstrukciju pravokutni trokut s nogama Ov 1 i V 2 O i hipotenuza F 2 O.

Ako su asimptote hiperbole međusobno okomite, tada se hiperbola naziva jednakostranična. Dvije hiperbole koje imaju zajedničke asimptote, ali s preuređenim transverzalnim i konjugiranim osima, nazivaju se međusobno konjugiranima.

Parabola.

Fokusi elipse i hiperbole bili su poznati Apoloniju, ali je fokus parabole očito prvi utvrdio Papus (2. polovica 3. stoljeća), koji je ovu krivulju definirao kao geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od dane točke (žarišta) i zadana ravna linija, koja se naziva direktor. Konstrukciju parabole pomoću rastegnute niti, na temelju definicije Papusa, predložio je Izidor iz Mileta (6. stoljeće). Postavite ravnalo tako da se njegov rub podudara s direktrisom LLŭ (Sl. 4), i nanesite nogu na ovaj rub A.C. crtanje trokuta ABC. Jedan kraj niti pričvrstimo duljinom AB na vrhu B trokut, a drugi u žarištu parabole F. Koristeći vrh olovke za rastezanje niti, pritisnite vrh na varijabilnoj točki P na slobodnu nogu AB crtanje trokuta. Dok se trokut pomiče po ravnalu, točka P opisat će luk parabole s fokusom F i ravnateljica LLŭ , budući da je ukupna duljina niti AB, komad konca je uz slobodni krak trokuta, a time i preostali komad konca PF mora biti jednak preostalom dijelu noge AB, tj. GODIŠNJE. Točka raskrižja V parabola s osi naziva se vrhom parabole kroz koju prolazi pravac F I V, – os parabole. Ako se kroz žarište povuče ravna linija, okomita na os, tada se segment te ravne linije odsječen parabolom naziva žarišni parametar. Za elipsu i hiperbolu žarišni se parametar određuje na sličan način.

SVOJSTVA KONUŠNIH PRESJEKA

Definicije Pappusa.

Uspostavljanje fokusa parabole dalo je Pappusu ideju o davanju alternativne definicije konusnih presjeka općenito. Neka F je dana točka (fokus), i L– zadana pravac (direktrisa) koja ne prolazi F, I D F I D L– udaljenost od pokretne točke P fokusirati se F i ravnateljice L odnosno. Zatim, kao što je Pappus pokazao, stožasti presjeci definirani su kao geometrijsko mjesto točaka P, za koje je odnos D F/D L je nenegativna konstanta. Ovaj omjer naziva se ekscentricitet e stožasti presjek. Na e e > 1 – hiperbola; na e= 1 – parabola. Ako F leži na L, tada geometrijski lokusi imaju oblik ravnih linija (stvarnih ili zamišljenih), koje su degenerirani stožasti presjeci.

Zapanjujuća simetrija elipse i hiperbole sugerira da svaka od ovih krivulja ima dvije direktrise i dva žarišta, a ta je okolnost navela Keplera 1604. godine na ideju da parabola također ima drugo žarište i drugu direktrisu - točku u beskonačnosti i ravnu . Na isti način, krug se može smatrati elipsom, čiji se fokusi podudaraju sa središtem, a direktrise su u beskonačnosti. Ekscentričnost e u ovom slučaju je jednak nuli.

Dandelen dizajn.

Fokusi i direktrise stožastog presjeka mogu se jasno pokazati korištenjem sfera upisanih u stožac i nazvanih Dandelinove sfere (lopte) u čast belgijskog matematičara i inženjera J. Dandelina (1794. – 1847.), koji je predložio sljedeću konstrukciju. Neka je konusni presjek nastao presjekom neke ravnine str s dvošupljim ravnim kružnim stošcem s vrhom u točku O. Upišimo dvije sfere u taj stožac S 1 i S 2 koji dodiruju ravninu str u točkama F 1 i F 2 respektivno. Ako je konusni presjek elipsa (sl. 5, A), tada su obje kugle unutar iste šupljine: jedna kugla se nalazi iznad ravnine str, a drugi je ispod njega. Svaka generatrisa stošca dodiruje obje sfere, a geometrijsko mjesto dodirnih točaka izgleda kao dvije kružnice C 1 i C 2 smještena u paralelnim ravninama str 1 i str 2. Neka P– proizvoljna točka na koniku. Nacrtajmo ravne linije PF 1 , PF 2 i produžite ravnu liniju P.O.. Ove linije dodiruju sfere u točkama F 1 , F 2 i R 1 , R 2. Kako su sve tangente povučene na sferu iz jedne točke jednake, tada PF 1 = PR 1 i PF 2 = PR 2. Stoga, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Od aviona str 1 i str 2 paralelni, segment linije R 1 R 2 ima stalnu duljinu. Dakle, vrijednost PR 1 + PR 2 je isti za sve položaje bodova P, i točka P pripada geometrijskom mjestu točaka za koje je zbroj udaljenosti od P prije F 1 i F 2 je konstanta. Stoga, bodovi F 1 i F 2 – žarišta eliptičnog presjeka. Osim toga, može se pokazati da su pravci po kojima ravnina str siječe ravnine str 1 i str 2 , su direktrise konstruirane elipse. Ako str presijeca obje šupljine stošca (sl. 5, b), tada dvije Dandelinove sfere leže na istoj strani ravnine str, jedna kugla u svakoj šupljini stošca. U ovom slučaju, razlika između PF 1 i PF 2 je konstanta, a geometrijsko mjesto točaka P ima oblik hiperbole sa žarištima F 1 i F 2 i ravne linije - crte presjecišta str S str 1 i str 2 – kao ravnateljice. Ako je konusni presjek parabola, kao što je prikazano na sl. 5, V, tada samo jedna Dandelinova sfera može biti upisana u stožac.

Ostala svojstva.

Svojstva konusnih presjeka doista su neiscrpna i bilo koje od njih može se uzeti kao definirajuće. Važno mjesto u Matematički sastanak Pappa (cca. 300), Geometrija Descartes (1637) i Počeci Newton (1687.) bavio se problemom geometrijskog položaja točaka u odnosu na četiri ravne crte. Ako su na ravnini zadane četiri prave L 1 , L 2 , L 3 i L 4 (od kojih dvije mogu biti iste) i točku P je takav da je umnožak udaljenosti od P prije L 1 i L 2 proporcionalan je umnošku udaljenosti od P prije L 3 i L 4, zatim geometrijsko mjesto točaka P je konusni presjek. Pogrešno vjerujući da Apolonije i Pap nisu mogli riješiti problem geometrijskog mjesta točaka u odnosu na četiri ravne crte, Descartes je stvorio analitičku geometriju kako bi dobio rješenje i generalizirao ga.

ANALITIČKI PRISTUP

Algebarska klasifikacija.

U algebarskom smislu, konusni presjeci mogu se definirati kao ravninske krivulje čije su koordinate u Kartezijanski sustav koordinate zadovoljavaju jednadžbu drugog stupnja. Drugim riječima, može se napisati jednadžba svih konusnih presjeka opći pogled Kako

gdje nisu svi koeficijenti A, B I C jednaki su nuli. Koristeći paralelnu translaciju i rotaciju osi, jednadžba (1) se može svesti na oblik

sjekira 2 + po 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Prva jednadžba se dobiva iz jednadžbe (1) sa B 2 № A.C., drugi – na B 2 = A.C.. Konusni presjeci čije se jednadžbe svode na prvi oblik nazivaju se centralni. Konusni presjeci dani jednadžbama drugog tipa sa q Broj 0 nazivaju se necentralnim. Unutar ove dvije kategorije ima ih devet različite vrste konusni presjeci ovisno o predznacima koeficijenata.

2831) ako su izgledi a, b I c imaju isti predznak, onda nema realnih točaka čije bi koordinate zadovoljile jednadžbu. Takav konusni presjek naziva se zamišljena elipsa (ili zamišljena kružnica, ako a = b).

2) Ako a I b imaju isti znak, i c– suprotno, tada je konusni presjek elipsa (sl. 1, A); na a = b– krug (sl. 6, b).

3) Ako a I b imaju različite predznake, tada je konusni presjek hiperbola (sl. 1, V).

4) Ako a I b imaju različite znakove i c= 0, tada se stožasti presjek sastoji od dvije linije koje se sijeku (sl. 6, A).

5) Ako a I b imaju isti znak i c= 0, tada postoji samo jedna stvarna točka na krivulji koja zadovoljava jednadžbu, a konik su dvije zamišljene crte koje se sijeku. U ovom slučaju također govorimo o elipsi kontrahiranoj u točku ili, ako a = b, skupljen na točku na kružnici (sl. 6, b).

6) Ako bilo koje a, ili b jednaka nuli, a preostali koeficijenti imaju različite predznake, tada se konusni presjek sastoji od dvije paralelne crte.

7) Ako bilo koje a, ili b jednak nuli, a preostali koeficijenti imaju isti predznak, tada ne postoji niti jedna stvarna točka koja zadovoljava jednadžbu. U ovom slučaju kažu da se konusni presjek sastoji od dvije zamišljene paralelne crte.

8) Ako c= 0, i bilo a, ili b također jednak nuli, tada se stožasti presjek sastoji od dva prava koja se podudaraju. (Jednadžba ne definira nikakav konusni presjek na a = b= 0, jer u ovom slučaju izvorna jednadžba (1) nije drugog stupnja.)

9) Jednadžbe drugog tipa definiraju parabole ako str I q razlikuju se od nule. Ako str br. 0, a q= 0, dobivamo krivulju iz koraka 8. Ako str= 0, onda jednadžba ne definira nikakav konusni presjek, jer izvorna jednadžba (1) nije drugog stupnja.

Izvođenje jednadžbi koničnih presjeka.

Svaki konusni presjek također se može definirati kao krivulja po kojoj ravnina siječe kvadratnu plohu, tj. s površinom zadanom jednadžbom drugog stupnja f (x, g, z) = 0. Navodno su konusni presjeci prvi put prepoznati u ovom obliku, a njihovi nazivi ( Pogledaj ispod) su zbog toga što su dobiveni presjekom ravnine sa stošcem z 2 = x 2 + g 2. Neka ABCD– osnovica pravilnog kružnog stošca (sl. 7) s pravim kutom na vrhu V. Neka avion FDC siječe generatrisu VB u točki F, baza – u ravnoj liniji CD a površina stošca – duž krivulje DFPC, Gdje P– bilo koja točka na krivulji. Nacrtajmo kroz sredinu segmenta CD– točka E– ravno E.F. i promjer AB. Kroz točku P nacrtajte ravninu paralelnu s osnovicom stošca koja siječe stožac u kružnici R.P.S. i izravni E.F. u točki Q. Zatim QF I QP može se uzeti, prema tome, kao apscisa x i ordinata g bodova P. Rezultirajuća krivulja bit će parabola.

Konstrukcija prikazana na Sl. 7 može se koristiti za izvođenje općih jednadžbi za koničke presjeke. Kvadrat duljine okomitog segmenta vraćenog od bilo koje točke promjera do sjecišta s krugom uvijek je jednak umnošku duljine segmenata promjera. Zato

g 2 = RQ H QS.

Za parabolu, segment RQ ima stalnu duljinu (budući da u bilo kojem položaju točke P jednaka je segmentu A.E.), i duljina segmenta QS proporcionalan x(iz omjera QS/E.B. = QF/F.E.). Iz toga slijedi da

Gdje a– konstantni koeficijent. Broj a izražava duljinu žarišnog parametra parabole.

Ako je kut na vrhu stošca oštar, tada segment RQ nije jednak segmentu A.E.; ali omjer g 2 = RQ H QS je ekvivalentna jednadžbi oblika

Gdje a I b– konstante, odnosno, nakon pomaka osi, na jednadžbu

što je jednadžba elipse. Sjecište elipse s osi x (x = a I x = –a) i sjecišta elipse s osi g (g = b I g = –b) definiraju veliku i sporednu os. Ako je kut pri vrhu stošca tup, tada krivulja presjeka stošca i ravnine ima oblik hiperbole, a jednadžba ima sljedeći oblik:

ili nakon prijenosa osi,

U ovom slučaju, točke sjecišta s osi x, dano relacijom x 2 = a 2, odredite poprečnu os i točke sjecišta s osi g, dano relacijom g 2 = –b 2, odredite konjugiranu os. Ako je konstantna a I b u jednadžbi (4a) jednaki, tada se hiperbola naziva jednakostranična. Rotacijom osi njegova se jednadžba svodi na oblik

xy = k.

Sada iz jednadžbi (3), (2) i (4) možemo razumjeti značenje naziva koje je Apolonije dao trima glavnim konusnim presjecima. Izrazi "elipsa", "parabola" i "hiperbola" potječu od grčkih riječi koje znače "manjkav", "jednak" i "superiorniji". Iz jednadžbi (3), (2) i (4) jasno je da za elipsu g 2 b 2 / a) x, za parabolu g 2 = (a) x i za hiperbolu g 2 > (2b 2 /a) x. U svakom slučaju, vrijednost u zagradama jednaka je žarišnom parametru krivulje.

Sam Apolonije smatrao je samo tri opći tip stožasti presjeci (gore navedeni tipovi 2, 3 i 9), ali njegov pristup dopušta generalizaciju za razmatranje svih stvarnih krivulja drugog reda. Ako je rezna ravnina odabrana paralelno s kružnom bazom stošca, tada će poprečni presjek rezultirati krugom. Ako rezna ravnina ima samo jednu zajedničku točku sa stošcem, njegov vrh, tada će se dobiti presjek tipa 5; ako sadrži vrh i tangentu na stožac, tada dobivamo presjek tipa 8 (sl. 6, b); ako rezna ravnina sadrži dvije generatrise stošca, tada presjek daje krivulju tipa 4 (sl. 6, A); kada se vrh prenese u beskonačnost, stožac se pretvara u valjak, a ako ravnina sadrži dvije generatrise, tada se dobiva presjek tipa 6.

Ako kružnicu promatrate pod kosim kutom, izgleda kao elipsa. Odnos između kruga i elipse, poznat Arhimedu, postaje očit ako krug x 2 + Y 2 = a 2 koristeći zamjenu x = x, Y = (a/b) g transformirati u elipsu danu jednadžbom (3a). Pretvorba x = x, Y = (ai/b) g, Gdje ja 2 = –1, omogućuje nam da jednadžbu kružnice napišemo u obliku (4a). To pokazuje da se hiperbola može promatrati kao elipsa sa zamišljenom malom osi ili, obrnuto, elipsa se može promatrati kao hiperbola sa zamišljenom konjugiranom osi.

Odnos između ordinata kružnice x 2 + g 2 = a 2 i elipsa ( x 2 /a 2) + (g 2 /b 2) = 1 izravno vodi do Arhimedove formule A = p ab za područje elipse. Kepler je znao približnu formulu str(a + b) za opseg elipse blizak krugu, ali je točan izraz dobiven tek u 18. stoljeću. nakon uvođenja eliptičkih integrala. Kao što je pokazao Arhimed, površina paraboličnog segmenta je četiri trećine površine upisanog trokuta, ali se duljina luka parabole mogla izračunati tek nakon 17. stoljeća. Izumljen je diferencijalni račun.

PROJEKTIVNI PRISTUP

Projektivna geometrija je usko povezana s konstrukcijom perspektive. Ako nacrtate krug na prozirnom listu papira i postavite ga ispod izvora svjetlosti, tada će se ovaj krug projicirati na ravninu ispod. Štoviše, ako se izvor svjetlosti nalazi neposredno iznad središta kruga, a ravnina i prozirna ploča su paralelni, tada će projekcija također biti krug (slika 8). Položaj izvora svjetlosti naziva se točka nestajanja. Označava se slovom V. Ako V se ne nalazi iznad središta kruga ili ako ravnina nije paralelna s listom papira, tada projekcija kruga ima oblik elipse. Još većim nagibom ravnine produljuje se velika os elipse (projekcija kružnice), a elipsa postupno prelazi u parabolu; na ravnini paralelnoj s pravom V.P., projekcija ima oblik parabole; s još većim nagibom projekcija poprima oblik jedne od grana hiperbole.

Svaka točka na izvornoj kružnici odgovara određenoj točki na projekciji. Ako projekcija ima oblik parabole ili hiperbole, tada se kaže da točka odgovara točki P, je u beskonačnosti ili beskonačno udaljen.

Kao što smo vidjeli, uz odgovarajući izbor točaka iščezavanja, krug se može projicirati u elipse različitih veličina i s različitim ekscentricitetima, a duljine velikih osi nisu u izravnoj vezi s promjerom projicirane kružnice. Stoga se projektivna geometrija ne bavi samim udaljenostima ili duljinama, već je njezina zadaća proučavanje omjera duljina koji se očuva tijekom projekcije. Taj se odnos može pronaći pomoću sljedeće konstrukcije. Kroz bilo koju točku P ravninu, povucite dvije tangente na bilo koju kružnicu i spojite tangente ravnom crtom str. Neka drugi pravac prolazi kroz točku P, siječe krug u točkama C 1 i C 2 i ravno str- u točki Q(slika 9). U planimetriji je dokazano da PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Znak minus nastaje zbog činjenice da smjer segmenta QC 1 je suprotan smjerovima ostalih segmenata.) Drugim riječima, točke P I Q podijeliti segment C 1 C 2 izvana i iznutra u istom pogledu; također kažu da je harmonijski omjer četiri segmenta jednak - 1. Ako se krug projicira u konusni presjek i zadrži isti zapis za odgovarajuće točke, tada je harmonijski omjer ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) ostat će jednak - 1. Bod P naziva se linijski stup str u odnosu na konusni presjek, a pravac str– polarna točka P u odnosu na konusni presjek.

Kad je točka P približava se konusnom presjeku, polara teži zauzeti položaj tangente; ako točka P leži na koniku, tada se njegova polara poklapa s tangentom na konik u točki P. Ako je točka P se nalazi unutar koničkog presjeka, tada se njegova polara može konstruirati na sljedeći način. Povucimo kroz točku P bilo koja ravna linija koja siječe stožasti presjek u dvije točke; povući tangente na konusni presjek u točkama presjeka; pretpostavimo da se te tangente sijeku u točki P 1 . Povucimo kroz točku P druga ravna crta koja siječe stožasti presjek u dvije druge točke; pretpostavimo da se tangente na konusni presjek u tim novim točkama sijeku u točki P 2 (slika 10). Pravac koji prolazi kroz točke P 1 i P 2 , a tu je i željena polara str. Ako je točka P približavajući se centru O središnji konusni presjek, zatim polarni str udaljava se od O. Kad je točka P poklapa se s O, tada njegova polara postaje beskonačno udaljena, ili idealna, ravno na ravnini.

POSEBNE GRAĐEVINE

Od posebnog interesa za astronome je sljedeća jednostavna konstrukcija točaka elipse pomoću šestara i ravnala. Neka proizvoljna ravna crta prolazi točkom O(Sl. 11, A), siječe se u točkama Q I R dvije koncentrične kružnice sa središtem u jednoj točki O i radijusi b I a, Gdje b a. Povucimo kroz točku Q horizontalna linija, i kroz R– okomitom crtom, i označavaju njihovu sjecišnu točku P P pri rotaciji ravne linije OQR oko točke O bit će elipsa. Kutak f između ravne linije OQR a velika os se naziva ekscentrični kut, a konstruirana elipsa je prikladno specificirana parametarskim jednadžbama x = a cos f, g = b grijeh f. Isključujući parametar f, dobivamo jednadžbu (3a).

Za hiperbolu, konstrukcija je uglavnom slična. Proizvoljna ravna crta koja prolazi točkom O, siječe jednu od dvije kružnice u točki R(Sl. 11, b). Do točke R jedan krug i do krajnje točke S horizontalni promjer drugog kruga, nacrtajte tangente koje se sijeku OS u točki T I ILI- u točki Q. Neka okomita linija prolazi kroz točku T, i vodoravna linija koja prolazi točkom Q, sijeku se u točki P. Zatim geometrijsko mjesto točaka P prilikom rotacije segmenta ILI oko O bit će hiperbola dana parametarskim jednadžbama x = a sek f, g = b tg f, Gdje f– ekscentrični kut. Te je jednadžbe dobio francuski matematičar A. Legendre (1752–1833). Isključivanjem parametra f, dobivamo jednadžbu (4a).

Elipsa se, kako je primijetio N. Kopernik (1473. – 1543.), može konstruirati pomoću epicikličkog gibanja. Ako se krug kotrlja bez klizanja po unutrašnjosti drugog kruga dvostrukog promjera, tada svaka točka P, koja ne leži na manjoj kružnici, ali je u odnosu na nju nepomična, opisat će elipsu. Ako je točka P nalazi se na manjem krugu, tada je putanja te točke degenerirani slučaj elipse - promjer većeg kruga. Još jednostavniju konstrukciju elipse predložio je Proklo u 5. stoljeću. Ako krajevi A I B segment linije AB zadane duljine klizite duž dviju fiksnih ravnih linija koje se sijeku (na primjer, duž koordinatnih osi), zatim svaka unutarnja točka P segment će opisati elipsu; nizozemski matematičar F. van Schooten (1615–1660) pokazao je da će svaka točka u ravnini linija koje se sijeku, nepomična u odnosu na klizni segment, također opisati elipsu.

B. Pascal (1623–1662) u dobi od 16 godina formulira danas poznati Pascalov teorem koji kaže: tri sjecišta suprotnih stranica šesterokuta upisanog u bilo koji stožasti presjek leže na istoj ravnoj liniji. Pascal je izveo više od 400 korolara iz ovog teorema.

Stožasta ploha je ploha koju čine ravne linije - koje tvore stožac - koje prolaze kroz njih ovu točku- vrh konusa - i presijecanje ove linije - vodilica stošca. Neka vodilica konusa ima jednadžbe

a vrh stošca ima koordinate Kanonske jednadžbe generatora stošca kao ravnih linija koje prolaze kroz točku ) i kroz točku vodilice bit će;

Eliminacijom x, y i z iz četiri jednadžbe (3) i (4) dobivamo željenu jednadžbu stožaste plohe. Ova jednadžba ima vrlo jednostavno svojstvo: homogeno je (to jest, svi njegovi članovi su iste dimenzije) s obzirom na razlike. Zapravo, pretpostavimo prvo da je vrh stošca u ishodištu. Neka su X, Y i Z koordinate bilo koje točke na stošcu; oni stoga zadovoljavaju jednadžbu stošca. Nakon zamjene X, Y i Z u jednadžbi stošca, redom, kroz XX, XY, XZ, gdje je X proizvoljni faktor, jednadžba mora biti zadovoljena, budući da su XX, XY i XZ koordinate točke pravac koji prolazi kroz ishodište koordinata do točke, tj. tvori stožac. Prema tome, jednadžba stošca se neće promijeniti ako sve trenutne koordinate pomnožimo s istim brojem X. Slijedi da ova jednadžba mora biti homogena u odnosu na trenutne koordinate.

Ako vrh stošca leži u točki, prenijet ćemo ishodište koordinata u vrh, a prema dokazanom transformirana jednadžba stošca bit će homogena s obzirom na nove koordinate, tj. do

Primjer. Napiši jednadžbu za stožac s vrhom u ishodištu i smjerom

Kanonske jednadžbe generatora koji prolaze kroz vrh (0, 0, C) stošca i točku vodilice bit će:

Eliminirajmo x, y i iz četiri zadane jednadžbe. Zamjenom kroz c, određujemo i y iz posljednje dvije jednadžbe.

S tom razlikom što ćemo umjesto "ravnih" grafova razmotriti najčešće prostorne površine, a također ćemo naučiti kako ih kompetentno ručno graditi. Proveo sam dosta vremena birajući softverske alate za izradu trodimenzionalnih crteža i pronašao nekoliko dobrih aplikacija, ali unatoč svoj jednostavnosti korištenja, ovi programi ne rješavaju dobro važno praktično pitanje. Činjenica je da će u doglednoj povijesnoj budućnosti učenici i dalje biti naoružani ravnalom i olovkom, a čak i ako imaju visokokvalitetan „strojni“ crtež, mnogi ga neće moći ispravno prenijeti na karirani papir. Stoga je u priručniku posebna pažnja posvećena tehnici ručne gradnje, a značajan dio ilustracija stranice je ručni rad.

Kako se ovaj referentni materijal razlikuje od analoga?

S obzirom na pristojno praktično iskustvo, vrlo dobro znam s kojim površinama najčešće imam posla u stvarnim aplikacijama viša matematika, i nadam se da će vam ovaj članak pomoći da brzo napunite svoju prtljagu relevantnim znanjem i primijenjenim vještinama, što bi trebalo biti dovoljno u 90-95% slučajeva.

Što trebate učiniti u ovom trenutku?

Najosnovnije:

Prvo, morate biti u mogućnosti graditi ispravno prostorni kartezijev koordinatni sustav (vidi početak članka Grafovi i svojstva funkcija) .

Što ćete dobiti nakon čitanja ovog članka?

Boca Nakon savladavanja materijala za nastavu, naučit ćete brzo odrediti vrstu površine prema njezinoj funkciji i/ili jednadžbi, zamisliti kako se nalazi u prostoru i, naravno, izraditi crteže. U redu je ako vam ne padne sve u glavu nakon prvog čitanja - uvijek se kasnije možete vratiti na bilo koji odlomak po potrebi.

Informacija je u moći svakoga - da bi je svladali nije potrebno nikakvo super znanje, poseban umjetnički talent ili prostorna vizija.

Početi!

U praksi se najčešće daje prostorna površina funkcija dviju varijabli ili jednadžba oblika (konstanta s desne strane najčešće je jednaka nuli ili jedinici). Prva oznaka je tipičnija za matematičku analizu, druga - za analitička geometrija. Jednadžba je u biti implicitno dano funkcija 2 varijable, koja se u tipičnim slučajevima lako može svesti na oblik . Dopustite mi da vas podsjetim na najjednostavniji primjer c:

–jednadžba ravnine ljubazan .

– funkcija ravnine u eksplicitno .

Počnimo s njim:

Uobičajene jednadžbe ravnina

Tipične mogućnosti rasporeda ravnina u pravokutnom koordinatnom sustavu detaljno se raspravljaju na samom početku članka. Jednadžba ravnine. Ipak, zadržimo se još jednom na jednadžbama koje su od velike važnosti za praksu.

Prije svega, morate potpuno automatski prepoznati jednadžbe ravnina koje su paralelne s koordinatnim ravninama. Fragmenti ravnina standardno se prikazuju kao pravokutnici, koji u posljednja dva slučaja izgledaju kao paralelogrami. Prema zadanim postavkama možete odabrati bilo koje dimenzije (naravno, unutar razumnih granica), ali poželjno je da točka u kojoj koordinatna os "probija" ravninu bude središte simetrije:


Strogo govoreći, koordinatne osi trebale bi biti prikazane isprekidanim linijama na nekim mjestima, ali kako bismo izbjegli zabunu, zanemarit ćemo ovu nijansu.

– (lijevi crtež) nejednakost specificira poluprostor najudaljeniji od nas, isključujući samu ravninu;

– (srednji crtež) nejednadžba specificira desni poluprostor, uključujući ravninu;

– (desni crtež) dvostruka nejednakost definira "sloj" koji se nalazi između ravnina, uključujući obje ravnine.

Za samozagrijavanje:

Primjer 1

Nacrtaj tijelo omeđeno ravninama
Napravite sustav nejednakosti koje definiraju zadano tijelo.

Ispod olovke vaše olovke trebao bi isplivati ​​stari znanac. kuboidan . Ne zaboravite da nevidljive rubove i lica moraju biti nacrtani isprekidanom linijom. Završio crtanje na kraju lekcije.

Molim, NEMOJTE ZANEMARIVATI ciljevi učenja, čak i ako se čine previše jednostavnima. U suprotnom, može se dogoditi da ste propustili jedan, propustili dva, a zatim proveli sat vremena isprobavajući trodimenzionalni crtež u nekom pravi primjer. Osim toga, mehanički rad pomoći će vam da mnogo učinkovitije naučite gradivo i razvijete svoju inteligenciju! Nije slučajno da Dječji vrtić I osnovna škola Djeca su opterećena priborom za crtanje, modeliranje, konstrukciju i drugim zadacima za finu motoriku prstiju. Oprostite na digresiji, ali nemojte dopustiti da moje dvije bilježnice nestanu razvojna psihologija =)

Sljedeću skupinu ravnina uvjetno ćemo nazvati "izravna proporcionalnost" - to su ravnine koje prolaze kroz koordinatne osi:

2) jednadžba oblika zadaje ravninu koja prolazi kroz os ;

3) jednadžba oblika zadaje ravninu koja prolazi kroz os.

Iako je formalni znak očit (koja varijabla nedostaje u jednadžbi – ravnina prolazi kroz tu os), uvijek je korisno razumjeti bit događaja koji se odvijaju:

Primjer 2

Konstruirajte ravninu

Koji je najbolji način gradnje? Predlažem sljedeći algoritam:

Prvo, prepišimo jednadžbu u obliku , iz kojeg se jasno vidi da "y" može uzeti bilo koji značenja. Popravimo vrijednost, odnosno razmotrit ćemo koordinatnu ravninu. Skup jednadžbi linija prostora, koji leži u datoj koordinatnoj ravnini. Oslikajmo ovu liniju na crtežu. Pravac prolazi kroz ishodište koordinata, pa je za njegovu konstrukciju dovoljno pronaći jednu točku. Neka . Odvojite točku i nacrtajte ravnu liniju.

Sada se vraćamo na jednadžbu ravnine. Budući da "Y" prihvaća bilo koji vrijednosti, tada se ravna crta konstruirana u ravnini kontinuirano "preslikava" lijevo i desno. Upravo tako nastaje naša ravnina koja prolazi kroz os. Da bismo dovršili crtež, položimo dvije paralelne crte lijevo i desno od ravne crte i "zatvorimo" simbolički paralelogram poprečnim vodoravnim segmentima:

Budući da uvjet nije nametao dodatna ograničenja, fragment aviona mogao je biti prikazan u nešto manjim ili nešto većim veličinama.

Ponovimo još jednom značenje prostora linearna nejednakost Na primjer . Kako odrediti poluprostor koji definira? Uzmimo nešto ne pripadajući ravninom, na primjer, točkom iz nama najbližeg poluprostora i zamijenimo njezine koordinate u nejednadžbu:

Primljeno prava nejednakost, što znači da nejednadžba zadaje donji (u odnosu na ravninu) poluprostor, dok sama ravnina nije uključena u rješenje.

Primjer 3

Konstruirajte ravnine
A) ;
b) .

Ovo su zadaci za samostalnu konstrukciju; u slučaju poteškoća upotrijebite slično zaključivanje. Kratke upute i crteži na kraju lekcije.

U praksi su osobito česte ravnine paralelne s osi. O posebnom slučaju kada ravnina prolazi kroz os upravo smo govorili u odlomku “be”, a sada ćemo analizirati općenitiji problem:

Primjer 4

Konstruirajte ravninu

Riješenje: varijabla "z" nije eksplicitno uključena u jednadžbu, što znači da je ravnina paralelna s primijenjenom osi. Koristimo istu tehniku ​​kao u prethodnim primjerima.

Prepišimo jednadžbu ravnine u obliku iz čega je jasno da "zet" može uzeti bilo koji značenja. Popravimo to i nacrtajmo pravilnu "ravnu" ravnu liniju u "nativnoj" ravnini. Da biste ga konstruirali, prikladno je uzeti referentne točke.

Budući da "Z" prihvaća svi vrijednosti, tada se konstruirana ravna crta kontinuirano "množi" gore-dolje, tvoreći tako željenu ravninu . Pažljivo nacrtamo paralelogram razumne veličine:

Spreman.

Jednadžba ravnine u segmentima

Najvažnija primijenjena sorta. Ako svi izgledi opća jednadžba ravnine različit od nule, tada se može prikazati u obliku koji se zove jednadžba ravnine u segmentima. Očito je da ravnina siječe koordinatne osi u točkama , a velika prednost takve jednadžbe je jednostavnost konstruiranja crteža:

Primjer 5

Konstruirajte ravninu

Riješenje: Prvo, napravimo jednadžbu ravnine u segmentima. Bacimo slobodni član udesno i obje strane podijelimo s 12:

Ne, ovdje nema tipfelera i sve se događa u svemiru! Predloženu površinu ispitujemo istom metodom koja je nedavno korištena za ravnine. Prepišimo jednadžbu u obliku , iz čega proizlazi da “zet” uzima bilo koji značenja. Popravimo i konstruirajmo elipsu u ravnini. Pošto "zet" prihvaća svi vrijednosti, tada se konstruirana elipsa kontinuirano "replicira" gore-dolje. Lako je razumjeti da površina beskonačan:

Ova površina se zove eliptični cilindar. Elipsa (na bilo kojoj visini) se zove vodič cilindar, a paralelni pravci koji prolaze kroz svaku točku elipse nazivaju se formiranje cilindar (koji ga doslovno oblikuje). Osovina je osi simetrije površina (ali ne i njezin dio!).

Koordinate bilo koje točke koja pripada danoj površini nužno zadovoljavaju jednadžbu .

Prostorno nejednadžba definira “unutrašnjost” beskonačne “cijevi”, uključujući i samu cilindričnu plohu, i, sukladno tome, suprotna nejednadžba definira skup točaka izvan cilindra.

U praktičnim problemima, najpopularniji poseban slučaj je kada vodič cilindar je krug:

Primjer 8

Izgradite površinu zadan jednadžbom

Nemoguće je prikazati beskonačnu "cijev", pa je umjetnost obično ograničena na "podrezivanje".

Prvo je zgodno konstruirati krug radijusa u ravnini, a zatim još nekoliko krugova iznad i ispod. Dobiveni krugovi ( vodiči cilindar) pažljivo spojite s četiri paralelne ravne linije ( formiranje cilindar):

Ne zaboravite koristiti isprekidane linije za linije koje su nama nevidljive.

Koordinate bilo koje točke koja pripada danom cilindru zadovoljavaju jednadžbu . Koordinate bilo koje točke koja leži strogo unutar "cijevi" zadovoljavaju nejednakost , i nejednakost definira skup točaka vanjskog dijela. Za bolje razumijevanje preporučujem da razmotrite nekoliko specifičnih točaka u prostoru i uvjerite se sami.

Primjer 9

Konstruirajte plohu i pronađite njezinu projekciju na ravninu

Prepišimo jednadžbu u obliku iz čega slijedi da "x" uzima bilo koji značenja. Popravimo i prikažimo u ravnini krug– sa središtem u ishodištu, jedinični polumjer. Budući da "x" kontinuirano prihvaća svi vrijednosti, tada konstruirana kružnica generira kružni cilindar s osi simetrije. Nacrtaj još jedan krug ( vodič cilindar) i pažljivo ih spojite ravnim linijama ( formiranje cilindar). Na nekim mjestima bilo je preklapanja, ali što učiniti, takav nagib:

Ovaj put sam se ograničio na komad cilindra u procjepu, a to nije slučajno. U praksi je često potrebno prikazati samo mali fragment površine.

Ovdje, usput, postoji 6 generatrisa - dvije dodatne ravne linije "prekrivaju" površinu iz gornjeg lijevog i donjeg desnog kuta.

Pogledajmo sada projekciju valjka na ravninu. Mnogi čitatelji razumiju što je projekcija, ali, ipak, izvedimo još jednu petominutnu tjelesnu vježbu. Molimo vas da ustanete i nagnete glavu nad crtežom tako da točka osi bude okomita na vaše čelo. Iz ovog kuta valjak izgleda kao njegova projekcija na ravninu. Ali čini se da je to beskrajna traka, zatvorena između ravnih linija, uključujući i same ravne linije. Ova projekcija je točno domena funkcije (gornji “žlijeb” cilindra), (donji “žlijeb”).

Usput, razjasnimo situaciju s projekcijama na druge koordinatne ravnine. Neka sunčeve zrake obasjavaju cilindar od vrha i duž osi. Sjena (projekcija) cilindra na ravninu je slična beskonačna traka - dio ravnine omeđen ravnim linijama (- bilo kojim), uključujući i same ravne linije.

Ali projekcija na ravninu je nešto drugačija. Ako cilindar gledate s vrha osi, on će biti projiciran u krug jediničnog polumjera , s kojim smo započeli izgradnju.

Primjer 10

Konstruirajte plohu i pronađite njezine projekcije na koordinatne ravnine

Ovo je zadatak za neovisna odluka. Ako uvjet nije baš jasan, kvadrirajte obje strane i analizirajte rezultat; otkriti koji je dio cilindra zadan funkcijom. Upotrijebite tehniku ​​konstrukcije koja se više puta koristi gore. Brzo rješenje, crtež i komentari na kraju lekcije.

Eliptične i druge cilindrične površine mogu biti pomaknute u odnosu na koordinatne osi, na primjer:

(na temelju poznatih motiva članka o Linije 2. reda) – cilindar jediničnog polumjera s linijom simetrije koja prolazi kroz točku paralelnu s osi. Međutim, u praksi se takvi cilindri rijetko susreću i potpuno je nevjerojatno naići na cilindričnu plohu koja je "kosa" u odnosu na koordinatne osi.

Parabolični cilindri

Kao što naziv govori, vodič takav cilindar je parabola.

Primjer 11

Konstruirajte plohu i pronađite njezine projekcije na koordinatne ravnine.

Nisam mogla odoljeti ovom primjeru =)

Riješenje: Idemo utabanom stazom. Prepišimo jednadžbu u obliku iz kojeg slijedi da “zet” može imati bilo koju vrijednost. Popravimo i konstruirajmo običnu parabolu na ravnini, prethodno označivši trivijalne oslonske točke. Budući da "Z" prihvaća svi vrijednosti, tada se konstruirana parabola kontinuirano "replicira" gore-dolje do beskonačnosti. Položimo istu parabolu, recimo, na visini (u ravnini) i pažljivo ih povežemo paralelnim ravnim linijama ( formirajući cilindar):

podsjećam te korisna tehnika: ako u početku niste sigurni u kvalitetu crteža, onda je bolje najprije vrlo tanko nacrtati linije olovkom. Zatim procjenjujemo kvalitetu skice, otkrivamo područja gdje je površina skrivena našim očima, a tek onda vršimo pritisak na olovku.

Projekcije.

1) Projekcija valjka na ravninu je parabola. Treba napomenuti da je u ovom slučaju nemoguće govoriti o domena definiranja funkcije dviju varijabli– iz razloga što se jednadžba cilindra ne može svesti na funkcionalni oblik.

2) Projekcija valjka na ravninu je poluravnina, uključujući i os

3) I konačno, projekcija valjka na ravninu je cijela ravnina.

Primjer 12

Konstruirajte parabolične cilindre:

a) ograničite se na fragment površine u bliskom poluprostoru;

b) u intervalu

U slučaju poteškoća, ne žurimo i razmišljamo po analogiji s prethodnim primjerima; srećom, tehnologija je temeljito razvijena. Nije kritično ako površine ispadnu malo nespretne - važno je ispravno prikazati temeljnu sliku. Ja se osobno ne zamaram ljepotom linija; ako dobijem prolazan crtež s ocjenom C, obično ga ne ponavljam. Usput, ogledno rješenje koristi drugu tehniku ​​za poboljšanje kvalitete crteža ;-)

Hiperbolički cilindri

Vodiči takvi cilindri su hiperbole. Ova vrsta površine, prema mojim zapažanjima, mnogo je rjeđa od prethodnih vrsta, pa ću se ograničiti na jedan shematski crtež hiperboličkog cilindra:

Princip rezoniranja ovdje je potpuno isti - uobičajeni školska hiperbola iz ravnine kontinuirano se "množi" gore-dolje do beskonačnosti.

Razmatrani cilindri pripadaju tzv Površine 2. reda, a sada ćemo se nastaviti upoznavati s ostalim predstavnicima ove skupine:

Elipsoid. Kugla i lopta

Kanonska jednadžba elipsoida u pravokutnom koordinatnom sustavu ima oblik , gdje su pozitivni brojevi ( osovinske osovine elipsoid), što u općem slučaju drugačiji. Elipsoid se naziva površinski, dakle tijelo, ograničen zadanom površinom. Tijelo je, kao što su mnogi nagađali, određeno nejednakošću a koordinate bilo koje unutarnje točke (kao i bilo koje površinske točke) nužno zadovoljavaju ovu nejednakost. Dizajn je simetričan u odnosu na koordinatne osi i koordinatne ravnine:

Podrijetlo pojma "elipsoid" također je očito: ako je površina "presječena" koordinatnim ravninama, tada će presjeci rezultirati s tri različita (u općem slučaju)

Površine drugog reda- to su površine koje su definirane u pravokutnom koordinatnom sustavu algebarske jednadžbe drugi stupanj.

1. Elipsoid.

Elipsoid je površina koja je u određenom pravokutnom koordinatnom sustavu definirana jednadžbom:

Jednadžba (1) naziva se kanonska jednadžba elipsoida.

Odredimo geometrijski oblik elipsoida. Da biste to učinili, razmotrite dijelove ovog elipsoida ravninama paralelnim s ravninom Oxy. Svaka od ovih ravnina određena je jednadžbom oblika z=h, Gdje h– bilo koji broj, a pravac koji se dobije u presjeku određen je dvjema jednadžbama

(2)

Proučimo jednadžbe (2) za različite vrijednosti h .

> c(c>0), tada jednadžbe (2) definiraju zamišljenu elipsu, tj. sjecišne točke ravnine z=h ne postoji s ovim elipsoidom. , To a linija (2) degenerira u točke (0; 0; + c) i (0; 0; - c) (ravnine dodiruju elipsoid). , tada se jednadžbe (2) mogu prikazati kao

odakle slijedi da ravnina z=h siječe elipsoid po elipsi s poluosima

i . Kako se vrijednosti smanjuju, tako rastu i dostižu svoje najviše vrijednosti na , tj. u presjeku elipsoida koordinatnom ravninom Oxy najveća elipsa s poluosima i dobiva se.

Slična slika se dobiva kada se određena površina presječe ravninama paralelnim s koordinatnim ravninama Oxz I Oyz.

Dakle, razmatrani presjeci omogućuju prikaz elipsoida kao zatvorene ovalne površine (slika 156). Količine a, b, c se zovu osovinske osovine elipsoid. Kada a=b=c elipsoid je sferoth.

2. Hiperboloid s jednom trakom.

Jednotračni hiperboloid je površina koja je u nekom pravokutnom koordinatnom sustavu definirana jednadžbom (3)

Jednadžba (3) naziva se kanoničkom jednadžbom jednotračnog hiperboloida.

Postavimo vrstu površine (3). Da biste to učinili, razmotrite presjek njegovih koordinatnih ravnina Oxy (y=0)IOyx (x=0). Dobivamo, prema tome, jednadžbe

I

Sada razmotrite presjeke ovog hiperboloida ravninama z=h paralelnim s koordinatnom ravninom Oxy. Rezultirajuća linija u presjeku određena je jednadžbama

ili (4)

iz čega slijedi da ravnina z=h siječe hiperboloid po elipsi s poluosima

i ,

postizanje svojih najniže vrijednosti pri h=0, tj. u presjeku ovog hiperboloida koordinatna os Oxy daje najmanju elipsu s poluosima a*=a i b*=b. S beskonačnim povećanjem

količine a* i b* beskonačno rastu.

Dakle, razmatrani presjeci omogućuju prikaz hiperboloida s jednom trakom u obliku beskonačne cijevi, koja se beskonačno širi kako se udaljava (s obje strane) od Oxy ravnine.

Veličine a, b, c nazivamo poluosima jednotračnog hiperboloida.

3. Dvolisni hiperboloid.

Dvolisni hiperboloid je ploha koja je u nekom pravokutnom koordinatnom sustavu definirana jednadžbom

Jednadžba (5) naziva se kanoničkom jednadžbom dvolistnog hiperboloida.

Utvrdimo geometrijski izgled plohe (5). Da biste to učinili, razmotrite njegove presjeke koordinatnim ravninama Oxy i Oyz. Dobivamo, prema tome, jednadžbe

I

iz čega proizlazi da se hiperbole dobivaju u presjecima.

Sada razmotrite presjeke ovog hiperboloida ravninama z=h paralelnim s koordinatnom ravninom Oxy. Pravac dobiven u presjeku određen je jednadžbama

ili (6)

iz čega proizlazi da kada

>c (c>0) ravnina z=h siječe hiperboloid po elipsi s poluosima i . Kako se vrijednosti a* i b* povećavaju, one također rastu. jednadžbe (6) zadovoljavaju koordinate samo dvije točke: (0;0;+s) i (0;0;-s) (ravnine dodiruju zadanu plohu). jednadžbe (6) definiraju zamišljenu elipsu, tj. Ne postoje točke presjeka ravnine z=h s ovim hiperboloidom.

Veličine a, b i c nazivamo poluosima dvolisnog hiperboloida.

4. Eliptični paraboloid.

Eliptični paraboloid je površina koja je u nekom pravokutnom koordinatnom sustavu definirana jednadžbom

(7)

gdje je p>0 i q>0.

Jednadžba (7) se naziva kanonska jednadžba eliptičkog paraboloida.

Promotrimo presjeke ove površine koordinatnim ravninama Oxy i Oyz. Dobivamo, prema tome, jednadžbe

I

iz čega slijedi da presjeci daju parabole koje su simetrične oko osi Oz, s vrhovima u ishodištu. (8)

iz čega proizlazi da je kod . Kako se h povećava, vrijednosti a i b također rastu; pri h=0 elipsa degenerira u točku (ravnina z=0 dodiruje zadani hiperboloid). U h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Dakle, razmatrani presjeci omogućuju prikaz eliptičnog paraboloida u obliku beskonačno konveksne zdjele.

Točku (0;0;0) nazivamo vrhom paraboloida; brojevi p i q su njegovi parametri.

U slučaju p=q, jednadžba (8) definira krug sa središtem na osi Oz, tj. eliptični paraboloid možemo smatrati plohom koja nastaje rotacijom parabole oko svoje osi (paraboloid revolucije).

5. Hiperbolički paraboloid.

Hiperbolički paraboloid je površina koja je u nekom pravokutnom koordinatnom sustavu definirana jednadžbom

(9)

Osnovne teorijske informacije

Cilindrična površina ili jednostavno cilindar naziva se svaka ploha koja se može dobiti kretanjem pravca koji se kreće paralelno s nekim vektorom i uvijek siječe taj pravac, a koji se naziva vodič. Pomična pravac naziva se formativni.

Stožasta površina ili jednostavno konus je ploha nastala kretanjem pravca koji prolazi kroz zadanu točku, tzv vrh konusa i klizanje duž ove krivulje. Pomična pravac naziva se formiranje konusa, a krivulja po kojoj klizi generatrisa je vodič.

Rotacija figure oko zadane ravne crte (osi rotacije) je takvo kretanje pri kojem svaka točka figure
opisuje kružnicu sa središtem na osi rotacije, koja leži u ravnini okomitoj na os rotacije.

Ploha nastala rotacijom pravca oko osi naziva se površina rotacije.

Kanonske jednadžbe ploha drugog reda

Ploha drugog reda određena je u pravokutnim koordinatama jednadžbom drugog stupnja

(7.1)

Transformacijom koordinata (rotiranje osi i paralelna translacija) jednadžba (7.1) se svodi na kanonski oblik. U slučaju kada u jednadžbi (7.1) nema članova s ​​umnoškom koordinata, ta se jednadžba odvaja punim kvadratima u ,,a paralelnom translacijom koordinatnih osi dovodi se u kanonski oblik na isti način kao što je to učinjeno za pravce drugog reda (vidi Proučavanje opće jednadžbe pravca drugog reda). Plohe drugog reda i njihove kanonske jednadžbe prikazane su u tablici. 3.

Oblik i položaj površina drugog reda obično se proučava metodom paralelnih presjeka. Bit metode je da se površina presječe s nekoliko ravnina paralelnih s koordinatnim ravninama. Oblik i parametri dobivenih presjeka omogućuju određivanje oblika same površine.

Stol 3

Hiperboloid: jednostruka šupljina, dvostruka šupljina,
Paraboloid: eliptični, hiperbolično,

eliptični, hiperbolično, parabolični,

Primjeri rješavanja problema

Problem 7.1. Napiši jednadžbu za kuglu čiji je polumjer , a središte je u točki
.

Riješenje. Sfera je skup točaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od središta. Stoga, označavajući sa
koordinate proizvoljne točke
sfere i izražavanje jednakosti kroz njih
, imat će

Kvadriranjem obje strane jednakosti dobivamo željenu kanoničku jednadžbu sfere:

Ako se središte sfere nalazi u ishodištu, jednadžba sfere ima jednostavniji oblik:

.

Odgovor.
.

Problem 7.2. Napišite jednadžbu za stožastu plohu s vrhom u ishodištu i smjerom

(7.1)

Riješenje. Kanonske jednadžbe generatora kroz točku
i točka
vodič ima oblik

(7.2)

Isključimo ,,iz jednadžbi (7.1) i (7.2). Da bismo to učinili, u jednadžbama (7.2) zamijenimo na i definirati I :

;

Zamjenom ovih vrijednosti I u prvu jednadžbu sustava (7.1), imat ćemo:

ili

Rezultirajuća jednadžba definira stožac drugog reda (vidi tablicu 3)

Problem 7.3.

Riješenje. Ova površina je hiperbolički cilindar s generatrisama paralelnim s osi
Doista, ova jednadžba ne sadrži , a vodilica valjka je hiperbola

sa središtem simetrije u točki
a realna os paralelna s osi
.

Problem 7.4. Istražite i konstruirajte površinu zadanu jednadžbom

Riješenje. Presjecimo plohu ravninom
. Kao rezultat imamo

gdje
. Ovo je jednadžba parabole u ravnini

Presjek zadane površine ravninom
postoji parabola

Ravninski presjek
postoji par linija koje se sijeku:

Presjek ravninama paralelnim s ravninom
, postoje hiperbole:

Na
realna os hiperbole je paralelna s osi
, na
sjekire
. Proučavana površina je hiperbolički paraboloid (u vezi sa svojim oblikom, površina se naziva "sedlo").

Komentar. Zanimljivo svojstvo hiperboličkog paraboloida je prisutnost ravnih linija koje svim svojim točkama leže na njegovoj površini. Takve linije nazivaju se pravolinijski generatori hiperboličkog paraboloida. Kroz svaku točku hiperboličkog paraboloida prolaze dvije pravocrtne generatorske.

Problem 7.5. Koja je površina određena jednadžbom

Riješenje. Kako bismo ovu jednadžbu doveli u kanonski oblik, odabiremo kompletne kvadrate varijabli ,,:

Uspoređujući dobivenu jednadžbu s tabličnom (vidi tablicu 3), vidimo da se radi o jednadžbi jednolistnog hiperboloida čije je središte pomaknuto u točku
Paralelnim prijenosom koordinatnog sustava prema formulama

Dovedimo jednadžbu u kanonski oblik:

Komentar. Jednolistni hiperboloid, kao i hiperbolički, ima dvije obitelji pravocrtnih generatora.