kuboidan
Kvadrat je pravi kvadar u kojem su sve plohe pravokutnici.
Dovoljno je pogledati oko sebe i vidjet ćemo da predmeti oko nas imaju oblik sličan paralelopipedu. Mogu se razlikovati u boji, imati puno dodatnih detalja, ali ako se te suptilnosti odbace, onda možemo reći da, na primjer, ormar, kutija, itd., Imaju približno isti oblik.
S konceptom kuboidan vidimo se skoro svaki dan! Pogledaj okolo i reci mi gdje vidiš pravokutne kutije? Pogledajte knjigu, jer ona je upravo takvog oblika! Cigle imaju isti oblik, Kutija šibica, blok drveta, pa čak i sada ste unutar kvadra, jer je učionica najsvjetlija interpretacija ovoga geometrijski lik.
Vježba: Koje primjere paralelopipeda možete navesti?
Pogledajmo pobliže kvadar. I što vidimo?
Prvo, vidimo da je ovaj lik formiran od šest pravokutnika, koji su lica kvadra;
Drugo, kvadar ima osam vrhova i dvanaest bridova. Bridovi kvadra su stranice njegovih ploha, a vrhovi kvadra su vrhovi ploha.
Vježba:
1. Kako se zove svaka od ploha pravokutnog paralelopipeda? 2. Zahvaljujući kojim parametrima se može mjeriti paralelogram? 3. Definirajte suprotna lica.
Vrste paralelopipeda
Ali paralelopipedi nisu samo pravokutni, nego mogu biti i ravni i nagnuti, a ravne se dijele na pravokutne, nepravokutne i kocke.
Zadatak: Pogledaj sliku i reci koji su paralelopipedi prikazani na njoj. Po čemu se kvadar razlikuje od kocke?
Svojstva kvadra
Pravokutni paralelopiped ima niz važnih svojstava:
Prvo, kvadrat dijagonale ove geometrijske figure jednak je zbroju kvadrata njezina tri glavna parametra: visine, širine i duljine.
Drugo, sve njegove četiri dijagonale su potpuno identične.
Treće, ako su sva tri parametra paralelopipeda jednaka, odnosno duljina, širina i visina jednake, tada se takav paralelopiped naziva kocka, a sva njegova lica bit će jednaka istom kvadratu.
Vježbajte
1. Ima li pravokutni paralelopiped jednake stranice? Ako postoje, pokažite ih na slici. 2. Od kojih se geometrijskih oblika sastoje plohe pravokutnog paralelopipeda? 3. Kakav je raspored jednakih ploha u međusobnom odnosu? 4. Imenuj broj pari jednakih stranica ove figure. 5. Pronađite bridove u kvadru koji označavaju njegovu duljinu, širinu, visinu. Koliko ste ih izbrojali?
Zadatak
Kako bi lijepo uredila rođendanski poklon za svoju majku, Tanya je uzela kutiju u obliku pravokutnog paralelopipeda. Veličina ove kutije je 25cm*35cm*45cm. Kako bi ovaj paket bio lijep, Tanya ga je odlučila oblijepiti prekrasnim papirom, čija je cijena 3 grivne po 1 dm2. Koliko novca trebate potrošiti na papir za zamatanje?
Jeste li znali da je slavni iluzionist David Blaine, u sklopu eksperimenta, proveo 44 dana u staklenoj kutiji obješenoj nad Temzu. Ova 44 dana nije jeo, već samo pio vodu. David je u dobrovoljnu kaznionicu ponio samo pribor za pisanje, jastuk i madrac te rupčiće.
U ovoj lekciji svatko će moći proučavati temu "Pravokutna kutija". Na početku lekcije ponovit ćemo što su proizvoljni i ravni paralelopiped, prisjetiti se svojstava njihovih suprotnih stranica i dijagonala paralelopipeda. Zatim ćemo razmotriti što je kvadar i razgovarati o njegovim glavnim svojstvima.
Tema: Okomitost pravca i ravnine
Lekcija: Kvadar
Ploha sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelopiped(Sl. 1).
Riža. 1 paralelopiped
Odnosno: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), leže u paralelnim ravninama tako da su bočni bridovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelni. Tako se ploha sastavljena od paralelograma naziva paralelopiped.
Dakle, površina paralelopipeda je zbroj svih paralelograma koji čine paralelopiped.
1. Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.
(figure su jednake, odnosno mogu se spajati preklapanjem)
Na primjer:
ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),
AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (jer su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotna lica paralelopipeda),
AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (budući da su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne strane paralelopipeda).
2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i tu točku raspolavljaju.
Dijagonale paralelopipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sijeku se u jednoj točki O, a svaka se dijagonala tom točkom dijeli na pola (slika 2).
Riža. 2 Dijagonale paralelopipeda sijeku i raspolavljaju sjecište.
3. Tri su četvorke jednakih i paralelnih bridova paralelopipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definicija. Paralelepiped se naziva ravnim ako su mu bočni bridovi okomiti na baze.
Neka bočni brid AA 1 bude okomit na podnožje (sl. 3). To znači da je pravac AA 1 okomit na pravce AD i AB koji leže u ravnini baze. I, prema tome, pravokutnici leže u bočnim stranama. A baze su proizvoljni paralelogrami. Označimo, ∠BAD = φ, kut φ može biti bilo koji.
Riža. 3 Desna kutija
Dakle, prava kutija je kutija u kojoj su bočni rubovi okomiti na osnovice kutije.
Definicija. Paralelepiped se naziva pravokutnik, ako su mu bočni bridovi okomiti na osnovicu. Osnove su pravokutnici.
Paralelepiped AVSDA 1 V 1 S 1 D 1 je pravokutan (slika 4) ako je:
1. AA 1 ⊥ ABCD (bočni brid je okomit na ravninu baze, odnosno ravni paralelopiped).
2. ∠BAD = 90°, tj. baza je pravokutnik.
Riža. 4 Kuboid
Pravokutni okvir ima sva svojstva proizvoljnog okvira. Ali postoje dodatna svojstva koja su izvedena iz definicije kvadra.
Tako, kuboidan je paralelopiped čiji su bočni rubovi okomiti na osnovicu. Osnovica kvadra je pravokutnik.
1. U kvadru su svih šest stranica pravokutnici.
ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su po definiciji pravokutnici.
2. Bočna rebra su okomita na bazu. To znači da su sve bočne strane kvadra pravokutnici.
3. svi diedralni kutovi pravokutni paralelopiped ravne linije.
Promotrimo, na primjer, diedarski kut pravokutnog paralelopipeda s bridom AB, tj. diedarski kut između ravnina ABB 1 i ABC.
AB je brid, točka A 1 leži u jednoj ravnini - u ravnini ABB 1, a točka D u drugoj - u ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedarski kut može označiti i ovako: ∠A 1 AVD.
Uzmite točku A na rubu AB. AA 1 je okomit na brid AB u ravnini ABB-1, AD je okomit na brid AB u ravnini ABC. Dakle, ∠A 1 AD je linearni kut danog diedralnog kuta. ∠A 1 AD \u003d 90 °, što znači da je diedarski kut na rubu AB 90 °.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Slično se dokazuje da su svi diedarski kutovi pravokutnog paralelopipeda pravi.
Kvadrat dijagonale kvadra jednak je zbroju kvadrati svoje tri dimenzije.
Bilješka. Duljine triju bridova koji izlaze iz istog vrha kvadra mjere su kvadra. Ponekad se nazivaju duljina, širina, visina.
Zadano je: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokutni paralelopiped (sl. 5).
Dokaži: .
Riža. 5 Kuboid
Dokaz:
Pravac CC 1 okomit je na ravninu ABC, a time i na pravac AC. Dakle, trokut CC 1 A je pravokutni trokut. Prema Pitagorinoj teoremi:
Promotrimo pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:
Ali BC i AD su suprotne strane pravokutnika. Dakle, BC = AD. Zatim:
Jer , A , To. Budući da je CC 1 = AA 1, ono što je trebalo dokazati.
Dijagonale pravokutnog paralelopipeda su jednake.
Označimo dimenzije paralelopipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada je AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Postoji nekoliko vrsta paralelopipeda:
· kuboidan je paralelepiped sa svim stranama - pravokutnici;
Ravni paralelopiped je paralelopiped s 4 bočne strane – paralelograma;
· Kosi kut je kut čije bočne plohe nisu okomite na osnovice.
Bitni elementi
Dva lica paralelopipeda koja nemaju zajednički brid nazivaju se suprotnim, a ona koja imaju zajednički brid susjednim. Dva vrha paralelopipeda koja ne pripadaju istoj plohi nazivamo suprotnim. segment linije, povezivanje suprotnih vrhova naziva se dijagonala paralelopiped. Duljine triju bridova kvadra koji imaju zajednički vrh nazivaju se mjerenja.
Svojstva
· Paralelepiped je simetričan u odnosu na središte svoje dijagonale.
Svaki segment čiji krajevi pripadaju površini paralelopipeda i prolaze kroz sredinu njegove dijagonale podijeljen je njime na pola; konkretno, sve dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i raspolavljaju ga.
Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.
Kvadrat duljine dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije
Osnovne formule
Pravi paralelopiped
· Bočna površina S b \u003d R o * h, gdje je R o opseg baze, h je visina
· Ukupna površina S p \u003d S b + 2S o, gdje je S o površina baze
· Volumen V=S o *h
kuboidan
· Bočna površina S b \u003d 2c (a + b), gdje su a, b stranice baze, c je bočni rub pravokutnog paralelopipeda
· Ukupna površina S p \u003d 2 (ab + bc + ac)
· Volumen V=abc, gdje su a, b, c dimenzije kvadra.
· Bočna površina S=6*h 2 , gdje je h visina ruba kocke
34. Tetraedar je pravilan poliedar, ima 4 lica koja su pravilni trokuti. Vrhovi na tetraedru 4 , konvergira svakom vrhu 3 rebra, ali totalna rebra 6 . Tetraedar je također piramida.
Trokuti koji čine tetraedar nazivaju se lica (AOC, OSV, ACB, AOB), njihove strane --- rubovi (AO, OC, OB), a vrhovi --- vrhovi (A, B, C, O) tetraedar. Dva brida tetraedra koji nemaju zajedničke vrhove nazivaju se suprotan... Ponekad se jedno od lica tetraedra izdvoji i nazove osnova, i još tri --- bočna lica.
Tetraedar se zove pravo ako su mu sva lica jednakostranični trokuti. U isto vrijeme, pravilni tetraedar i pravilna trokutasta piramida nisu ista stvar.
Na pravilni tetraedar svi kutovi diedra pri bridovima i svi kutovi trokuta pri vrhovima su jednaki.
35. Ispravna prizma
Prizma je poliedar u kojem dvije plohe (baze) leže u paralelnim ravninama, a svi bridovi izvan tih ploha su međusobno paralelni. Lica osim baza nazivaju se bočnim plohama, a njihovi bridovi nazivaju se bočnim bridovima. Svi bočni bridovi su međusobno jednaki kao paralelni segmenti omeđeni dvjema paralelnim ravninama. Sve bočne strane prizme su paralelogrami. Odgovarajuće stranice baza prizme su jednake i paralelne. Zove se ravna prizma u kojoj je bočni rub okomit na ravninu baze, ostale prizme nazivaju se nagnute. Osnovica pravilne prizme je pravilan mnogokut. U takvoj prizmi sve su plohe jednaki pravokutnici.
Ploha prizme sastoji se od dvije baze i bočne plohe. Visina prizme je isječak koji je zajednička okomica na ravnine u kojima leže osnovice prizme. Visina prizme je udaljenost H između osnovnih ravnina.
Površina bočne površine S b prizma naziva se zbroj površina njezinih bočnih stranica. Puna površina S n prizme naziva se zbroj površina svih njezinih lica. S n = S b + 2 S,Gdje S je osnovno područje prizme, S b – bočna površina.
36. Poliedar koji ima jedno lice, tzv osnova, je poligon,
a ostale su plohe trokuti sa zajedničkim vrhom, naziva se piramida
.
Lica osim baze nazivaju se strana.
Zajednički vrh bočnih ploha naziva se vrh piramide.
Bridovi koji spajaju vrh piramide s vrhom baze nazivaju se strana.
Visina piramide
zove se okomica povučena od vrha piramide do njezine baze.
Piramida se zove točno, ako mu je osnovica pravilan mnogokut i ako mu visina prolazi središtem baze.
apotema bočno lice pravilne piramide naziva se visina ovog lica, povučeno iz vrha piramide.
Ravnina paralelna s bazom piramide siječe je u sličnu piramidu i krnja piramida.
Svojstva pravilnih piramida
- Bočni bridovi pravilne piramide su jednaki.
- Bočne strane pravilne piramide - ravnopravan prijatelj ostali jednakokračni trokuti.
Ako su svi bočni rubovi jednaki, onda
Visina se projicira na središte opisane kružnice;
bočna rebra tvore jednake kutove s ravninom baze.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod jednim kutom, tada
Visina se projicira na središte upisane kružnice;
visine bočnih strana su jednake;
Površina bočne plohe jednaka je polovici umnoška opsega baze i visine bočne plohe
37. Funkcija y=f(x), gdje x pripada skupu prirodni brojevi, naziva se funkcija prirodnog argumenta ili numeričkog niza. Označite ga y=f(n) ili (y n)
Nizovi se mogu specificirati na razne načine, verbalno, tako se specificira niz primarni brojevi:
2, 3, 5, 7, 11 itd
Smatra se da je niz analitički zadan ako je dana formula njegovog n-tog člana:
1, 4, 9, 16, …, n2, …
2) y n = C. Takav niz nazivamo konstantnim ili stacionarnim. Na primjer:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) y n \u003d 2 n. Na primjer,
2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2n , …
Za niz se kaže da je ograničen odozgo ako su svi njegovi članovi najviše neki broj. Drugim riječima, niz se može nazvati ograničenim ako postoji takav broj M da je nejednakost y n manja ili jednaka M. Broj M se naziva gornja granica niza. Na primjer, niz: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; ograničeno odozgo.
Slično, za niz se može reći da je ograničen odozdo ako su svi njegovi članovi veći od nekog broja. Ako je niz omeđen i gore i dole, kaže se da je ograničen.
Za niz se kaže da raste ako je svaki sljedeći član veći od prethodnog.
Niz se naziva padajućim ako je svaki sljedeći član manji od prethodnog. Rastući i padajući nizovi definirani su jednim pojmom – monotoni nizovi.
Razmotrite dva niza:
1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …
Ako članove ovog niza prikažemo na realnom pravcu, uočit ćemo da se u drugom slučaju članovi niza kondenziraju oko jedne točke, au prvom slučaju to nije slučaj. U takvim slučajevima kažemo da niz y n divergira, a niz x n konvergira.
Broj b naziva se limitom niza y n ako bilo koja unaprijed odabrana okolina točke b sadrži sve članove niza, počevši od nekog broja.
U ovom slučaju možemo napisati:
Ako je modulo kvocijent progresije manji od jedan, tada je granica ovog niza, dok x teži beskonačnosti, jednaka nuli.
Ako niz konvergira, onda samo do jedne granice
Ako niz konvergira, onda je ograničen.
Weierstrassov teorem: Ako niz monotono konvergira, tada je ograničen.
Limit stacionarnog niza jednak je bilo kojem članu niza.
Svojstva:
1) Limit zbroja jednak je zbroju limita
2) Ograničenje proizvoda jednak je proizvodu granice
3) Limit kvocijenta jednak je kvocijentu limita
4) Konstantni faktor se može izvući iz predznaka granice
Pitanje 38
zbroj beskonačne geometrijske progresije
Geometrijska progresija- niz brojeva b 1 , b 2 , b 3 ,.. (članovi progresije), u kojem se svaki sljedeći broj, počevši od drugog, dobiva iz prethodnog množenjem s određenim brojem q ( nazivnik progresije), gdje je b 1 ≠0, q ≠0.
Zbroj beskonačne geometrijske progresije je granični broj kojem progresijski niz konvergira.
Drugim riječima, koliko god geometrijska progresija bila dugačka, zbroj njenih članova nije veći od određenog broja i praktički je jednak tom broju. Naziva se zbroj geometrijske progresije.
Nema svaka geometrijska progresija takav granični zbroj. Može biti samo u takvoj progresiji čiji je nazivnik razlomak manji od 1.
Učenici često ogorčeno pitaju: "Kako će mi ovo koristiti u životu?". Na bilo koju temu svakog predmeta. Tema o volumenu paralelopipeda nije iznimka. I ovdje je jednostavno moguće reći: "Dobro će vam doći."
Kako, na primjer, saznati hoće li paket stati u poštanski sandučić? Naravno, metodom pokušaja i pogreške možete odabrati onaj pravi. Što ako ne postoji takva mogućnost? Tada će izračuni doći u pomoć. Znajući kapacitet kutije, možete izračunati volumen paketa (bar približno) i odgovoriti na pitanje.
Paralelepiped i njegove vrste
Ako doslovno prevedemo njegovo ime sa starogrčkog, ispada da je to lik koji se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje takve ekvivalentne definicije paralelopipeda:
- prizma s bazom u obliku paralelograma;
- poliedra, čija je svaka strana paralelogram.
Njegove se vrste razlikuju ovisno o tome koja figura leži u njegovoj osnovi i kako su usmjerena bočna rebra. Općenito, govori se o kosi paralelopipedčija su osnovica i sve plohe paralelogrami. Ako bočne strane prethodnog prikaza postanu pravokutnici, tada će se već morati pozvati direktno. I kod pravokutan a baza također ima kutove od 90º.
Štoviše, u geometriji pokušavaju prikazati potonje na takav način da je vidljivo da su svi rubovi paralelni. Ovdje se, usput, uočava glavna razlika između matematičara i umjetnika. Za potonje je važno prenijeti tijelo u skladu sa zakonom perspektive. I u ovom slučaju, paralelnost rubova je potpuno nevidljiva.
O uvedenoj notaciji
U formulama u nastavku vrijede oznake navedene u tablici.
Formule za kosi okvir
Prvi i drugi za područja:
Treći je za izračun volumena kutije:
Budući da je baza paralelogram, da biste izračunali njegovu površinu, morat ćete koristiti odgovarajuće izraze.
Formule za kvadar
Slično prvom odlomku - dvije formule za površine:
I još jedan za volumen:
Prvi zadatak
Stanje. Zadan je pravokutni paralelopiped čiji volumen treba pronaći. Poznata je dijagonala - 18 cm - i činjenica da s ravninom bočne plohe i bočnog ruba čini kut od 30, odnosno 45 stupnjeva.
Riješenje. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate saznati sve strane u tri pravokutna trokuta. Oni će dati potrebne rubne vrijednosti za koje trebate izračunati volumen.
Prvo morate odrediti gdje je kut od 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha iz kojeg je nacrtana glavna dijagonala paralelograma. Kut između njih će biti ono što vam je potrebno.
Prvi trokut, koji će dati jednu od strana baze, bit će sljedeći. Sadrži željenu stranicu i nacrtane dvije dijagonale. Pravokutnog je oblika. Sada morate upotrijebiti omjer suprotne noge (stranice baze) i hipotenuze (dijagonala). Jednak je sinusu od 30º. To jest, nepoznata strana baze bit će određena kao dijagonala pomnožena sa sinusom od 30º ili ½. Neka bude označeno slovom "a".
Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i rub s kojim čini 45º. Također je pravokutan, a opet možete koristiti omjer katete i hipotenuze. Drugim riječima, bočni rub prema dijagonali. Jednak je kosinusu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao umnožak dijagonale i kosinusa od 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
U istom trokutu morate pronaći drugu nogu. To je potrebno kako bi se zatim izračunala treća nepoznanica - "in". Neka bude označeno slovom "x". Lako je izračunati pomoću Pitagorine teoreme:
x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).
Sada trebamo razmotriti još jedan pravokutni trokut. Već sadrži poznate zabave"s", "x" i onaj koji treba prebrojati, "in":
c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).
Sve tri količine su poznate. Možete koristiti formulu za volumen i izračunati ga:
V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).
Odgovor: obujam paralelopipeda je 729√2 cm 3 .
Drugi zadatak
Stanje. Nađi obujam paralelopipeda. Poznaje stranice paralelograma koji leži na bazi, 3 i 6 cm, kao i njegov oštar kut - 45º. Bočno rebro ima nagib prema bazi od 30º i jednako je 4 cm.
Riješenje. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelopipeda. Ali obje su količine u njemu nepoznate.
Područje baze, odnosno paralelograma, odredit će se formulom u kojoj morate pomnožiti poznate strane i sinus oštrog kuta između njih.
S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).
Druga nepoznanica je visina. Može se povući iz bilo kojeg od četiri vrha iznad baze. Može se pronaći iz pravokutnog trokuta, u kojem je visina noga, a bočni rub hipotenuza. U ovom slučaju, kut od 30º leži nasuprot nepoznate visine. Dakle, možete koristiti omjer katete i hipotenuze.
n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.
Sada su sve vrijednosti poznate i možete izračunati volumen:
V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).
Odgovor: obujam je 18 √2 cm 3 .
Treći zadatak
Stanje. Odredi obujam paralelopipeda ako je poznato da je pravac. Stranice njegove baze čine paralelogram i jednake su 2 i 3 cm. Oštar kut između njih 60º. Manja dijagonala paralelopipeda jednaka je većoj dijagonali baze.
Riješenje. Da bismo saznali volumen paralelopipeda, koristimo se formulom s osnovicom i visinom. Obje su veličine nepoznate, ali ih je lako izračunati. Prvi je visina.
Budući da je manja dijagonala paralelopipeda iste veličine kao i veća baza, mogu se označiti istim slovom d. Najveći kut paralelograma je 120º, budući da s šiljastim kutom čini 180º. Neka je druga dijagonala baze označena slovom "x". Sada, za dvije dijagonale baze, kosinusni teoremi se mogu napisati:
d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,
x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º.
Pronalaženje vrijednosti bez kvadrata nema smisla, jer će tada ponovno biti podignute na drugu snagu. Nakon zamjene podataka ispada:
d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,
x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.
Sada će visina, koja je ujedno i bočni rub paralelepipeda, biti krak u trokutu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijela, a druga kateta će biti "x". Možete napisati Pitagorin teorem:
n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
Dakle: n = √12 = 2√3 (cm).
Sada je druga nepoznata veličina površina baze. Može se izračunati pomoću formule spomenute u drugom problemu.
S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).
Kombinirajući sve u formulu volumena, dobivamo:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Odgovor: V \u003d 18 cm 3.
Četvrti zadatak
Stanje. Potrebno je saznati obujam paralelopipeda koji ispunjava sljedeće uvjete: baza je kvadrat sa stranicom 5 cm; bočne strane su rombovi; jedan od vrhova iznad baze je jednako udaljen od svih vrhova koji leže na bazi.
Riješenje. Prvo se morate pozabaviti stanjem. Nema pitanja s prvim odlomkom o trgu. Drugi, o rombovima, jasno pokazuje da je paralelopiped nagnut. Štoviše, svi su njegovi rubovi jednaki 5 cm, budući da su strane romba iste. A iz trećeg postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dva koja leže na bočnim stranama, a posljednji je unutar paralelopipeda. I te su dijagonale jednake rubu, odnosno također imaju duljinu od 5 cm.
Za određivanje volumena trebat će vam formula napisana za nagnuti paralelopiped. Opet, u njemu nema poznatih količina. Međutim, područje baze je lako izračunati jer je to kvadrat.
S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).
Malo je teži slučaj s visinom. To će biti u tri figure: paralelopiped, četverokutna piramida i jednakokračni trokut. Treba iskoristiti posljednju okolnost.
Budući da je visina, to je krak u pravokutnom trokutu. Hipotenuza u njemu bit će poznati rub, a druga noga jednaka je polovici dijagonale kvadrata (visina je također medijan). A dijagonalu baze lako je pronaći:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
Visina će se morati izračunati kao razlika drugog stupnja ruba i kvadrata polovice dijagonale i ne zaboravite izvući kvadratni korijen:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).
Odgovor: 62,5 √2 (cm 3).
U ovoj lekciji ćemo definirati kutiju, razgovarati o njenoj strukturi i elementima (dijagonale kutije, stranice kutije i njihova svojstva). Također razmotrite svojstva lica i dijagonala paralelograma. Dalje ćemo riješiti tipičan zadatak konstruirati presjek u paralelopipedu.
Tema: Paralelnost pravaca i ravnina
Lekcija: Paralelepiped. Svojstva ploha i dijagonala kutije
U ovoj lekciji dat ćemo definiciju paralelepipeda, razgovarati o njegovoj strukturi, svojstvima i njegovim elementima (stranice, dijagonale).
Paralelepiped je sastavljen od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 koji su u paralelnim ravninama. Oznaka: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ili AD 1 (slika 1.).
2. Festival pedagoških ideja "Otvoreni sat" ()
1. Geometrija. Razred 10-11: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova (osnovni i razine profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i dopunjeno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 str.: ilustr.
Zadaci 10, 11, 12 stranica 50
2. Konstruiraj presjek pravokutnog paralelopipeda ABCDA1B1C1D1 ravnina koja prolazi kroz točke
a) A, C, B1
b) B1, D1 a sredina rebra AA1.
3. Brid kocke jednak je a. Konstruirajte presjek kocke ravninom koja prolazi središtima triju bridova koji izlaze iz istog vrha te izračunajte njezin opseg i površinu.
4. Koje se figure mogu dobiti kao rezultat presjeka paralelopipeda s ravninom?
