Дадени са основните свойства на логаритъма, графика на логаритъм, област на дефиниране, набор от стойности, основни формули, нарастване и намаляване. Разглежда се намирането на производната на логаритъм. Както и интеграл, разширение на степенни редове и представяне с помощта на комплексни числа.
СъдържаниеОбласт, набор от стойности, нарастване, намаляване
Логаритъмът е монотонна функция, така че няма екстремуми. Основните свойства на логаритъма са представени в таблицата.
| Домейн | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Диапазон от стойности | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Монотонен | монотонно нараства | монотонно намалява |
| Нули, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Пресечете точки с ординатната ос, x = 0 | Не | Не |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Частни ценности
Извиква се логаритъм с основа 10 десетичен логаритъми се обозначава по следния начин:
Логаритъм към основа дНаречен натурален логаритъм:
Основни формули за логаритми
Свойства на логаритъма, произтичащи от дефиницията на обратната функция:
Основното свойство на логаритмите и последствията от него
Формула за заместване на основата
Логаритъмът е математическа операция за вземане на логаритъм. Когато се вземат логаритми, продуктите от фактори се преобразуват в суми от членове.
Потенцирането е математическата операция, обратна на логаритъма. По време на потенцирането дадена основа се повишава до степента на изразяване, върху която се извършва потенцирането. В този случай сумите на членовете се трансформират в произведения на фактори.
Доказателство на основни формули за логаритми
Формулите, свързани с логаритмите, следват от формули за експоненциални функции и от дефиницията на обратна функция.
Разгледайте свойството на експоненциалната функция
.
Тогава
.
Нека приложим свойството на експоненциалната функция
:
.
Нека докажем формулата за заместване на основата.
;
.
Ако приемем c = b, имаме:
Обратна функция
Обратното на логаритъма при основа а е експоненциална функцияс показател а.
Ако, тогава
Ако, тогава
Производна на логаритъм
Производна на логаритъма на модул x:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>
За да се намери производната на логаритъм, тя трябва да бъде намалена до основата д.
;
.
Интеграл
Интегралът на логаритъма се изчислява чрез интегриране по части: .
Така,
Изрази с комплексни числа
Разгледайте функцията за комплексно число z:
.
Да изразим комплексно число zчрез модул rи аргумент φ
:
.
Тогава, използвайки свойствата на логаритъма, имаме:
.
Или
Въпреки това аргументът φ
не е еднозначно дефиниран. Ако поставите
, където n е цяло число,
тогава ще бъде едно и също число за различни н.
Следователно логаритъмът, като функция на комплексна променлива, не е еднозначна функция.
Разширение на степенни редове
Когато се извършва разширяването:
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Какво е логаритъм?
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Какво е логаритъм? Как се решават логаритми? Тези въпроси объркват много абсолвенти. Традиционно темата за логаритмите се смята за сложна, неразбираема и страшна. Особено уравнения с логаритми.
Това абсолютно не е вярно. Абсолютно! не ми вярваш Глоба. Сега, само за 10-20 минути вие:
1. Разберете какво е логаритъм.
2. Научете се да решавате цял клас експоненциални уравнения. Дори и да не сте чували нищо за тях.
3. Научете се да изчислявате прости логаритми.
Освен това, за това ще трябва само да знаете таблицата за умножение и как да повдигнете число на степен...
Имам чувството, че имаш съмнения... Е, добре, отбелязвай си времето! Отивам!
Първо, решете това уравнение наум:
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
Диапазон от приемливи стойности (APV) на логаритъма
Сега нека поговорим за ограниченията (ODZ - диапазонът от допустими стойности на променливите).
Спомняме си, че например квадратният корен не може да се извади от отрицателни числа; или ако имаме дроб, тогава знаменателят не може да бъде равно на нула. Логаритмите имат подобни ограничения:
Тоест и аргументът, и основата трябва да са по-големи от нула, но основата все още не може да бъде равна.
Защо така?
Нека започнем с едно просто нещо: да кажем това. Тогава, например, числото не съществува, тъй като на каквато и степен да повдигнем, винаги се получава. Още повече, че не съществува за никого. Но в същото време може да бъде равно на всичко (по същата причина - равно на всяка степен). Следователно обектът не представлява интерес и просто е изхвърлен от математиката.
Имаме подобен проблем в случая: на произволна положителна степен е, но изобщо не може да бъде повдигнат на отрицателна степен, тъй като това ще доведе до деление на нула (нека ви напомня това).
Когато сме изправени пред проблема с издигането на дробна степен (което е представено като корен: . Например, (тоест), но не съществува.
Следователно е по-лесно да изхвърлите негативните причини, отколкото да се забърквате с тях.
Е, тъй като нашата основа а може да бъде само положителна, тогава без значение на каква степен я повдигнем, винаги ще получим строго положително число. Така че аргументът трябва да е положителен. Например, не съществува, тъй като няма да бъде отрицателно число в никаква степен (или дори нула, следователно също не съществува).
При задачи с логаритми първото нещо, което трябва да направите, е да запишете ODZ. Нека ви дам един пример:
Да решим уравнението.
Нека си спомним дефиницията: логаритъм е степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи аргумент. И според условието тази степен е равна на: .
Получаваме обичайното квадратно уравнение: . Нека го решим с помощта на теоремата на Виета: сумата от корените е равна и произведението. Лесни за взимане, това са числа и.
Но ако веднага вземете и напишете и двете числа в отговора, можете да получите 0 точки за проблема. Защо? Нека помислим какво се случва, ако заместим тези корени в първоначалното уравнение?
Това очевидно е неправилно, тъй като основата не може да бъде отрицателна, тоест коренът е „трета страна“.
За да избегнете такива неприятни капани, трябва да запишете ODZ дори преди да започнете да решавате уравнението:
След това, след като получихме корените и, веднага изхвърляме корена и пишем правилния отговор.
Пример 1(опитайте се да го решите сами) :
Намерете корена на уравнението. Ако има няколко корена, посочете най-малкия от тях в отговора си.
Решение:
Първо, нека напишем ODZ:
Сега нека си спомним какво е логаритъм: на каква степен трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента? Към второто. Това е:
Изглежда, че по-малкият корен е равен. Но това не е така: според ODZ коренът е външен, тоест изобщо не е коренът на това уравнение. Така уравнението има само един корен: .
Отговор: .
Основно логаритмично тъждество
Нека си припомним дефиницията на логаритъм в общ вид:
Нека заместим логаритъма във второто равенство:
Това равенство се нарича основно логаритмично тъждество. Въпреки че по същество това е равенство - просто написано по различен начин определение на логаритъм:
Това е силата, до която трябва да се издигнете, за да стигнете.
Например:
Решете следните примери:
Пример 2.
Намерете значението на израза.
Решение:
Нека си припомним правилото от раздела:, тоест при повишаване на степен степенните показатели се умножават. Да го приложим:
Пример 3.
Докажи това.
Решение:
Свойства на логаритмите
За съжаление, задачите не винаги са толкова прости - често първо трябва да опростите израза, да го приведете в обичайната му форма и едва тогава ще бъде възможно да изчислите стойността. Това е най-лесно да направите, ако знаете свойства на логаритмите. И така, нека научим основните свойства на логаритмите. Ще докажа всяко от тях, защото всяко правило се помни по-лесно, ако знаете откъде идва.
Всички тези свойства трябва да се запомнят; без тях повечето задачи с логаритми не могат да бъдат решени.
А сега за всички свойства на логаритмите по-подробно.
Свойство 1:
Доказателство:
Нека бъде тогава.
Имаме: и т.н.
Свойство 2: Сума от логаритми
Сборът от логаритми с еднакви основи е равен на логаритъма на произведението: .
Доказателство:
Нека бъде тогава. Нека бъде тогава.
Пример:Намерете значението на израза: .
Решение: .
Формулата, която току-що научихте, помага да се опрости сумата от логаритми, а не разликата, така че тези логаритми не могат да бъдат комбинирани веднага. Но можете да направите обратното - да "разделите" първия логаритъм на две: И ето обещаното опростяване:
.
Защо е необходимо това? Е, например: на какво се равнява?
Сега това е очевидно.
Сега опростете го сами:
Задачи:
Отговори:
Свойство 3: Разлика на логаритми:
Доказателство:
Всичко е точно както в точка 2:
Нека бъде тогава.
Нека бъде тогава. Ние имаме:
Примерът от предишния параграф сега става още по-прост:
По-сложен пример: . Можете ли да разберете как да го разрешите сами?
Тук трябва да се отбележи, че нямаме нито една формула за логаритмите на квадрат. Това е нещо като израз - не може да се опрости веднага.
Затова нека си починем от формулите за логаритмите и да помислим какви формули най-често използваме в математиката? От 7 клас!
Това - . Трябва да свикнете с факта, че те са навсякъде! Те се срещат в експоненциални, тригонометрични и ирационални проблеми. Следователно те трябва да бъдат запомнени.
Ако се вгледате внимателно в първите два термина, става ясно, че това разлика на квадратите:
Отговор за проверка:
Опростете го сами.
Примери
Отговори.
Свойство 4: Изваждане на експонентата от аргумента логаритъм:
Доказателство:И тук също използваме определението за логаритъм: нека, тогава. Имаме: и т.н.
Това правило може да се разбира по следния начин:
Тоест, степента на аргумента се премества пред логаритъма като коефициент.
Пример:Намерете значението на израза.
Решение: .
Решете сами:
Примери:
Отговори:
Свойство 5: Вземане на степента от основата на логаритъма:
Доказателство:Нека бъде тогава.
Имаме: и т.н.
Запомнете: от основаниястепента се изразява като обратнотономер, за разлика от предишния случай!
Свойство 6: Премахване на експонентата от основата и аргумента на логаритъма:
Или ако градусите са еднакви: .
Свойство 7: Преход към нова база:
Доказателство:Нека бъде тогава.
Имаме: и т.н.
Свойство 8: Разменете основата и аргумента на логаритъма:
Доказателство:Това е специален случай на формула 7: ако заместим, получаваме: и т.н.
Нека да разгледаме още няколко примера.
Пример 4.
Намерете значението на израза.
Използваме свойство на логаритмите № 2 - сумата от логаритми с еднаква основа е равна на логаритъма от произведението:
Пример 5.
Намерете значението на израза.
Решение:
Използваме свойството на логаритмите № 3 и № 4:
Пример 6.
Намерете значението на израза.
Решение:
Нека използваме свойство № 7 - преминете към база 2:
Пример 7.
Намерете значението на израза.
Решение:
Как ви харесва статията?
Ако четете тези редове, значи сте прочели цялата статия.
И това е яко!
Сега ни кажете как ви харесва статията?
Научихте ли как да решавате логаритми? Ако не, какъв е проблемът?
Пишете ни в коментарите по-долу.
И да, успех на изпитите.
На Единния държавен изпит и Единния държавен изпит и в живота като цяло
Логаритъм на числото b (b > 0) при основа a (a > 0, a ≠ 1)– показател, до който трябва да се повдигне числото a, за да се получи b.
Логаритъмът с основа 10 на b може да бъде записан като дневник (б), а логаритъма при основа e (натурален логаритъм) е ln(b).
Често се използва при решаване на задачи с логаритми:
Свойства на логаритмите
Има четири основни свойства на логаритмите.
Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.
Свойство 1. Логаритъм на произведението
Логаритъм на произведението равно на суматалогаритми:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Свойство 2. Логаритъм на частното
Логаритъм на частноторавно на разликата на логаритмите:
log a (x / y) = log a x – log a y
Свойство 3. Логаритъм на степен
Логаритъм от степен равно на произведениетостепени на логаритъм:
Ако основата на логаритъма е в степента, тогава се прилага друга формула:
Свойство 4. Логаритъм на корена
Това свойство може да се получи от свойството на логаритъм на степен, тъй като n-тият корен на степента е равен на степента на 1/n:
Формула за преобразуване от логаритъм по една основа в логаритъм по друга основа
Тази формула също често се използва при решаване на различни задачи върху логаритми:
Специален случай:
Сравняване на логаритми (неравенства)
Нека имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми с еднакви основи и между тях има знак за неравенство:
За да ги сравните, първо трябва да погледнете основата на логаритмите a:
- Ако a > 0, тогава f(x) > g(x) > 0
- Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Как да решаваме задачи с логаритми: примери
Задачи с логаритмивключени в Единния държавен изпит по математика за 11 клас в задача 5 и задача 7, можете да намерите задачи с решения на нашия уебсайт в съответните раздели. Освен това задачите с логаритми се намират в банката със задачи по математика. Можете да намерите всички примери, като потърсите в сайта.
Какво е логаритъм
Логаритмите винаги са били смятани за трудна тема училищен курсматематика. Има много различни дефиниции на логаритъм, но по някаква причина повечето учебници използват най-сложните и неуспешни от тях.
Ще дефинираме логаритъма просто и ясно. За да направите това, нека създадем таблица:
И така, имаме степени на две.
Логаритми - свойства, формули, как се решават
Ако вземете числото от долния ред, можете лесно да намерите степента, до която ще трябва да повишите две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.
А сега - всъщност дефиницията на логаритъма:
основата a на аргумента x е степента, на която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото x.
Обозначение: log a x = b, където a е основата, x е аргументът, b е действително равен на логаритъма.
Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Със същия успех, регистрирайте 2 64 = 6, тъй като 2 6 = 64.
Операцията за намиране на логаритъм на число по дадена основа се нарича. И така, нека добавим нов ред към нашата таблица:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
За съжаление, не всички логаритми се изчисляват толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъма ще лежи някъде в интервала. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такива числа се наричат ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват безкрайно и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде аргументът. Да избегна досадни недоразумения, просто погледнете снимката:
Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъм. Помня: логаритъмът е степен, в който трябва да се вгради базата, за да се получи аргумент. Това е основата, която е повдигната на степен - тя е подчертана в червено на снимката. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам на моите ученици това прекрасно правило още на първия урок - и не възниква объркване.
Как да броим логаритми
Разбрахме определението - остава само да се научим да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:
- Аргументът и основата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от дефиницията на степента рационален показател, до което се свежда определението за логаритъм.
- Базата трябва да е различна от едно, тъй като едното във всяка степен си остава едно. Поради това въпросът „до каква сила трябва да бъде издигнат, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!
Такива ограничения се наричат диапазон от приемливи стойности(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма). Например логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 = −1, защото 0,5 = 2 −1.
Сега обаче разглеждаме само числови изрази, където не се изисква да знаем VA на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от авторите на проблемите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенства влязат в действие, изискванията за DL ще станат задължителни. В крайна сметка основата и аргументът може да съдържат много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.
Сега нека помислим обща схемаизчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:
- Изразете основата a и аргумента x като степен с минималната възможна основа, по-голяма от единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните знаци;
- Решете уравнението за променлива b: x = a b ;
- Полученото число b ще бъде отговорът.
Това е всичко! Ако логаритъма се окаже ирационален, това ще се види още в първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много важно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Същото с десетични знаци: ако веднага ги конвертирате в обикновени, ще има много по-малко грешки.
Нека видим как работи тази схема, използвайки конкретни примери:
Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25
- Нека си представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Получихме отговор: 2.
Нека съставим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Задача. Изчислете логаритъма:
Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64
- Нека си представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Нека съставим и решим уравнението:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Получихме отговор: 3.
Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1
- Нека си представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Нека съставим и решим уравнението:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Получихме отговор: 0.
Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14
- Нека си представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не може да бъде представено като степен на седем, тъй като 7 1< 14 < 7 2 ;
- От предходния параграф следва, че логаритъма не се брои;
- Отговорът е без промяна: log 7 14.
Малка забележка към последния пример. Как можете да сте сигурни, че едно число не е точна степен на друго число? Много е просто - просто го разбийте на основни фактори. Ако разширението има поне два различни фактора, числото не е точна степен.
Задача. Разберете дали числата са точни степени: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точна степен, т.к има само един множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна степен, тъй като има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точна степен;
35 = 7 · 5 - отново не е точна степен;
14 = 7 · 2 - отново не е точна степен;
Забележете също, че самите прости числа винаги са точни степени на себе си.
Десетичен логаритъм
Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и символ.
на аргумента x е логаритъма при основа 10, т.е. Степента, на която трябва да се повдигне числото 10, за да се получи числото x. Обозначение: lg x.
Например, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.
Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намери lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичен логаритъм. Ако обаче не сте запознати с тази нотация, винаги можете да я пренапишете:
log x = log 10 x
Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните логаритми.
Натурален логаритъм
Има още един логаритъм, който има свое собствено обозначение. В някои отношения това е дори по-важно от десетичната запетая. Говорим за натурален логаритъм.
на аргумента x е логаритъма по основа e, т.е. степента, на която трябва да се повдигне числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x.
Много хора ще попитат: какво е числото e? Това е ирационално число, точната му стойност не може да бъде намерена и записана. Ще дам само първите цифри:
e = 2,718281828459…
Няма да навлизаме в подробности какво представлява този номер и защо е необходим. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x
Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. По принцип естественият логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, за единица: ln 1 = 0.
За естествените логаритми са валидни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.
Вижте също:
Логаритъм. Свойства на логаритъма (степен на логаритъма).
Как да представим число като логаритъм?
Използваме определението за логаритъм.
Логаритъмът е показател, към който трябва да се повдигне основата, за да се получи числото под знака на логаритъма.
По този начин, за да представите определено число c като логаритъм при основа a, трябва да поставите степен със същата основа като основата на логаритъма под знака на логаритъма и да запишете това число c като експонента:
Като логаритъм може да се представи абсолютно всяко число - положително, отрицателно, цяло число, дробно, рационално, ирационално:
За да не объркате a и c при стресови условия на тест или изпит, можете да използвате следното правило за запаметяване:
това, което е отдолу, отива надолу, това, което е отгоре, се изкачва.
Например, трябва да представите числото 2 като логаритъм при основа 3.
Имаме две числа - 2 и 3. Тези числа са основата и степента, които ще запишем под знака на логаритъма. Остава да определим кое от тези числа трябва да се запише надолу, към основата на степента, и кое – нагоре, към експонентата.
Основата 3 в записа на логаритъм е най-отдолу, което означава, че когато представяме две като логаритъм при основа 3, ние също ще запишем 3 надолу при основата.
2 е по-високо от три. И в нотация на степен две пишем над трите, тоест като експонент:
Логаритми. Първо ниво.
Логаритми
Логаритъмположително число bбазиран на а, Където a > 0, a ≠ 1, се нарича степента, до която трябва да се повдигне числото а, Придобивам b.
Дефиниция на логаритъмможе да се напише накратко така:
Това равенство е валидно за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Обикновено се нарича логаритмично тъждество.
Действието намиране на логаритъм на число се нарича чрез логаритъм.
Свойства на логаритмите:
Логаритъм на произведението:
Логаритъм на частното:
Замяна на основата на логаритъма:
Логаритъм от степен:
Логаритъм на корена:
Логаритъм със степенна основа:
Десетични и естествени логаритми.
Десетичен логаритъмчисла наричат логаритъм на това число при основа 10 и пишат lg b
Натурален логаритъмчислата се наричат логаритъм на това число спрямо основата д, Където д- ирационално число приблизително равно на 2,7. В същото време те пишат ln b.
Други бележки по алгебра и геометрия
Основни свойства на логаритмите
Основни свойства на логаритмите
Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.
Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.
Събиране и изваждане на логаритми
Помислете за два логаритма с еднакви основи: log a x и log a y. След това те могат да се събират и изваждат и:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x − log a y = log a (x: y).
И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!
Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се броят (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:
Log 6 4 + log 6 9.
Тъй като логаритмите имат еднакви основи, използваме формулата за сумиране:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.
Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.
Отново основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много от тях са изградени върху този факт тестови работи. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.
Извличане на показателя от логаритъма
Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:
Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.
Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм.
Как се решават логаритми
Това е, което най-често се изисква.
Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .
Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Задача. Намерете значението на израза:
Забележете, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:
Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.
Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.
Преход към нова основа
Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с едни и същи основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?
Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:
Нека е даден логаритъм log a x. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:
По-специално, ако зададем c = x, получаваме:
От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.
Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.
Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:
Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.
Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Сега нека "обърнем" втория логаритъм:
Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.
Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.
Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:
Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:
Основно логаритмично тъждество
Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа.
В този случай ще ни помогнат следните формули:
В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.
Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .
Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.
Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.
Задача. Намерете значението на израза:
Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:
Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)
Логаритмична единица и логаритмична нула
В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.
- log a a = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
- log a 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като 0 = 1 е пряко следствие от определението.
Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.
