да решавам математика. Намерете бързо решаване на математическо уравнениев режим на линия. Уебсайтът www.site позволява реши уравнениетопочти всяко дадено алгебричен, тригонометриченили трансцендентно уравнение онлайн. Когато изучавате почти всеки клон на математиката в различни етапитрябва да реша уравнения онлайн. За да получите незабавен отговор и най-важното точен отговор, имате нужда от ресурс, който ви позволява да направите това. Благодарение на сайта www.site решавайте уравнения онлайнще отнеме няколко минути. Основното предимство на www.site при решаване на математически уравнения онлайн- това е скоростта и точността на предоставения отговор. Сайтът е в състояние да реши всеки алгебрични уравнения онлайн, тригонометрични уравнения онлайн, трансцендентални уравнения онлайн, и уравненияс неизвестни параметри в режим на линия. Уравненияслужат като мощен математически апарат решенияпрактически проблеми. С помощта на математически уравнениявъзможно е да се изразят факти и отношения, които на пръв поглед изглеждат объркващи и сложни. Неизвестни количества уравненияможе да се намери чрез формулиране на проблема в математическиезик във формата уравненияИ решиполучена задача в режим на линияна уебсайта www.site. Всякакви алгебрично уравнение, тригонометрично уравнениеили уравнениясъдържащи трансценденталенфункции, които можете лесно решионлайн и получете точния отговор. Когато изучавате природни науки, вие неизбежно се сблъсквате с необходимостта решаване на уравнения. В този случай отговорът трябва да е точен и да се получи веднага в режим на линия. Следователно за решаване на математически уравнения онлайнпрепоръчваме сайта www.site, който ще стане вашият незаменим калкулатор за решаване на алгебрични уравнения онлайн, тригонометрични уравненияна линия, и трансцендентални уравнения онлайнили уравненияс неизвестни параметри. За практически задачи за намиране на корените на различни математически уравненияресурс www.. Решаване уравнения онлайнсами, е полезно да проверите получения отговор с помощта на онлайн решаване на уравненияна уебсайта www.site. Трябва да напишете уравнението правилно и незабавно да получите онлайн решение, след което всичко, което остава, е да сравните отговора с вашето решение на уравнението. Проверката на отговора ще отнеме не повече от минута, това е достатъчно решаване на уравнение онлайни сравнете отговорите. Това ще ви помогне да избегнете грешки в решениеи коригирайте отговора навреме решаване на уравнения онлайнили алгебричен, тригонометричен, трансценденталенили уравнениетос неизвестни параметри.
Нека си припомним основните свойства на степените. Нека a > 0, b > 0, n, m са произволни реални числа. Тогава
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1, ако a > 1, n > 0
8) a n 1, n
9) a n > a m, ако 0
На практика често се използват функции от вида y = a x, където a е дадено положително число, x е променлива. Такива функции се наричат показателен. Това име се обяснява с факта, че аргументът на експоненциалната функция е показателят, а основата на показателя е даденото число.
Определение.Експоненциалната функция е функция от формата y = a x, където a е дадено число, a > 0, \(a \neq 1\)
Експоненциална функцияима следните свойства
1) Областта на дефиниране на експоненциалната функция е множеството от всички реални числа.
Това свойство следва от факта, че степента a x, където a > 0, е дефинирана за всички реални числа x.
2) Наборът от стойности на експоненциалната функция е наборът от всички положителни числа.
За да проверите това, трябва да покажете, че уравнението a x = b, където a > 0, \(a \neq 1\), няма корени, ако \(b \leq 0\), и има корен за всяко b > 0 .
3) Експоненциалната функция y = a x е нарастваща върху множеството от всички реални числа, ако a > 1, и намалява, ако е 0. Това следва от свойствата на степен (8) и (9)
Нека изградим графики на експоненциални функции y = a x за a > 0 и за 0. Използвайки разгледаните свойства, отбелязваме, че графиката на функцията y = a x за a > 0 минава през точката (0; 1) и се намира над оста Окс.
Ако x 0.
Ако x > 0 и |x| увеличава, графиката бързо се покачва.
Графика на функцията y = a x при 0 Ако x > 0 и нараства, тогава графиката бързо се доближава до оста Ox (без да я пресича). Така оста Ox е хоризонталната асимптота на графиката.
Ако x
Експоненциални уравнения
Нека да разгледаме няколко примера експоненциални уравнения, т.е. уравнения, в които неизвестното се съдържа в степента. Решаването на експоненциални уравнения често се свежда до решаването на уравнението a x = a b, където a > 0, \(a \neq 1\), x е неизвестно. Това уравнение се решава с помощта на свойството степен: степени с една и съща основа a > 0, \(a \neq 1\) са равни тогава и само ако техните показатели са равни.
Решете уравнение 2 3x 3 x = 576
Тъй като 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, уравнението може да се запише като 8 x 3 x = 24 2 или като 24 x = 24 2, от което x = 2.
Отговор x = 2
Решете уравнението 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Изваждайки общия множител 3 x - 2 извън скобите от лявата страна, получаваме 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
откъдето 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Отговор x = 2
Решете уравнението 3 x = 7 x
Тъй като \(7^x \neq 0 \) , уравнението може да бъде написано във формата \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), от което \(\left(\frac(3 )( 7) \right) ^x = 1 \), x = 0
Отговор x = 0
Решете уравнението 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Чрез замяна на 3 x = t, това уравнение се свежда до квадратното уравнение t 2 - 4t - 45 = 0. Решавайки това уравнение, намираме неговите корени: t 1 = 9, t 2 = -5, от което 3 x = 9 , 3 x = -5 .
Уравнението 3 x = 9 има корен x = 2, а уравнението 3 x = -5 няма корени, тъй като експоненциалната функция не може да приема отрицателни стойности.
Отговор x = 2
Решете уравнение 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Нека напишем уравнението във формата
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, откъдето
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
х - 2 = 0
Отговор x = 2
Решете уравнение 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Тъй като 3 > 0, \(3 \neq 1\), тогава първоначалното уравнение е еквивалентно на уравнението |x-1| = |x+3|
Чрез повдигане на квадрат на това уравнение, получаваме неговото следствие (x - 1) 2 = (x + 3) 2, от което
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Проверката показва, че x = -1 е коренът на оригиналното уравнение.
Отговор x = -1
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Първо трябва да намерите един корен, като използвате метода за избор. Обикновено това е делител на свободния член. В този случай делителите на числото 12 са ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.Нека започнем да ги заместваме един по един:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не е корен на полином
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 е коренът на полинома
Намерихме 1 от корените на полинома. Коренът на полинома е 2, което означава, че оригиналният полином трябва да се дели на х - 2. За да извършим разделянето на полиноми, използваме схемата на Хорнер:
2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
2 |
Коефициентите на оригиналния полином се показват в горния ред. Коренът, който намерихме, се поставя в първата клетка на втория ред 2. Вторият ред съдържа коефициентите на полинома, получен от деленето. Те се броят така:
|
Във втората клетка на втория ред записваме числото 2, просто като го преместите от съответната клетка на първия ред. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Последното число е остатъкът от делението. Ако е равно на 0, значи сме изчислили всичко правилно.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Но това не е краят. Можете да опитате да разширите полинома по същия начин 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Отново търсим корен сред делителите на свободния член. Делители на числа -6 са ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не е корен на полином
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не е корен на полином
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не е корен на полином
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 е коренът на полинома
Нека запишем намерения корен в нашата схема на Horner и започнем да попълваме празните клетки:
|
Във втората клетка на третия ред записваме числото 2, просто като го преместите от съответната клетка на втория ред. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Така разложихме оригиналния полином:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Полином 2x 2 + 5x - 3може също да се факторизира. За да направите това, можете да решите квадратното уравнение чрез дискриминанта или можете да потърсите корена сред делителите на числото -3. По един или друг начин ще стигнем до извода, че коренът на този полином е числото -3
|
Във втората клетка на четвъртия ред записваме числото 2, просто като го преместите от съответната клетка на третия ред. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Така разложихме оригиналния полином на линейни множители:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
И корените на уравнението са.
Цели:
- Систематизират и обобщават знанията и уменията по темата: Решения на уравнения от трета и четвърта степен.
- Задълбочете знанията си, като изпълните редица задачи, някои от които са непознати нито по вид, нито по начин на решаване.
- Формиране на интерес към математиката чрез изучаване на нови глави от математиката, образование графична културачрез графични уравнения.
Тип урок: комбиниран.
Оборудване:графичен проектор.
Видимост:таблица "Теорема на Виете".
По време на часовете
1. Устно броене
а) Какъв е остатъкът от делението на многочлена p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 на бинома x-a?
б) Колко корена може да има едно кубично уравнение?
в) Как решаваме уравнения от трета и четвърта степен?
г) Ако b е четно число в квадратно уравнение, тогава каква е стойността на D и x x 1;
2. Самостоятелна работа(в групи)
Напишете уравнение, ако корените са известни (кодирани са отговорите на задачите) Използва се „Теорема на Виета“
1 група
Корени: x 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6
Съставете уравнение:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(това уравнение след това се решава от група 2 на дъската)
Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Числото 1 удовлетворява уравнението, следователно =1 е коренът на уравнението. По схемата на Хорнер
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
p 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 = -3, x 4 =6
Отговор: 1;-2;-3;6 сбор от корени 2 (P)
2-ра група
Корени: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; х 4 =5
Съставете уравнение:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (група 3 решава това уравнение на дъската)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; х 2 =5
Отговор: -1;2;2;5 сбор от корени 8(P)
3 група
Корени: x 1 = -1; х 2 =1; х 3 = -2; х 4 =3
Съставете уравнение:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
х 4 - х 3- 7x 2 + x + 6 = 0(група 4 решава това уравнение по-късно на дъската)
Решение. Търсим цели корени сред делителите на числото 6.
р = ±1;±2;±3;±6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; х 2 =3
Отговор: -1;1;-2;3 Сума от корени 1(O)
4 група
Корени: x 1 = -2; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = -3
Съставете уравнение:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
х 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(това уравнение след това се решава от група 5 на дъската)
Решение. Търсим цели корени сред делителите на числото -36
р = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Отговор: -2; -2; -3; 3 Сума от корени-4 (F)
5 група
Корени: x 1 = -1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = -4
Напишете уравнение
х 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(това уравнение след това се решава от група 6 на дъската)
Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото 24.
р = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x + 12 = 0
Отговор: -1;-2;-3;-4 сума-10 (I)
6 група
Корени: x 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8
Напишете уравнение
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43х - 24 = 0 (това уравнение след това се решава от група 1 на дъската)
Решение . Търсим цели корени сред делителите на числото -24.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Отговор: 1;1;-3;8 сума 7 (L)
3. Решаване на уравнения с параметър
1. Решете уравнението x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; ако един от корените е равен на (-1)
Напишете отговора във възходящ ред
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
По условие x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Отговор: - 1; 3
Във възходящ ред: -5;-1;3. (b N S)
2. Намерете всички корени на многочлена x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, ако остатъците от разделянето му на биноми x-1 и x +2 са равни.
Решение: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
Произведението на два фактора е равно на нула тогава и само ако поне един от тези фактори равен на нула, а другото има смисъл.
2-ра група. Корени: -3; -2; 1; 2;3 група. Корени: -1; 2; 6; 10;
4 група. Корени: -3; 2; 2; 5;
5 група. Корени: -5; -2; 2; 4;
6 група. Корени: -8; -2; 6; 7.