Последната теорема на Ферма Синг Саймън

„Доказана ли е последната теорема на Ферма?“

Това беше само първата стъпка към доказване на хипотезата на Танияма-Шимура, но стратегията на Уайлс беше брилянтен математически пробив, резултат, който заслужаваше да бъде публикуван. Но поради самоналожената от Уайлс клетва за мълчание, той не можеше да каже на останалия свят за резултата си и нямаше представа кой друг може да направи също толкова значим пробив.

Уайлс си спомня своето философско отношение към всеки потенциален претендент: „Никой не иска да прекарва години в доказване на нещо и да открие, че някой друг е успял да намери доказателството няколко седмици по-рано. Но колкото и да е странно, тъй като се опитвах да реша проблем, който по същество се смяташе за неразрешим, не се страхувах много от съперници. Просто не очаквах, че аз или някой друг ще излезе с идея, която ще доведе до доказателство.

На 8 март 1988 г. Уайлс е шокиран да види заглавия с едър шрифт на първите страници на вестниците, които гласят: „Последната теорема на Ферма е доказана“. Washington Post и New York Times съобщиха, че тридесет и осем годишният Йоичи Мияока от Токийския столичен университет е решил най-трудната математическа задача в света. Мияока все още не е публикувал своето доказателство, но очерта напредъка му на семинар в Математическия институт Макс Планк в Бон. Дон Цагир, който присъства на речта на Мияока, изрази оптимизма на математическата общност в следните думи: „Доказателството, представено от Мияока, е изключително интересно и някои математици смятат, че има голяма вероятност то да е правилно. Все още не сме напълно сигурни, но засега доказателствата изглеждат много обнадеждаващи.“

Говорейки на семинар в Бон, Мияока говори за своя подход към решаването на проблема, който разглежда от съвсем различна, алгебро-геометрична гледна точка. През последните десетилетия геометрите са постигнали дълбоко и фино разбиране на математическите обекти, по-специално на свойствата на повърхностите. През 70-те години руският математик С. Аракелов се опитва да установи паралели между проблемите на алгебричната геометрия и проблемите на теорията на числата. Това беше едно от направленията на програмата на Лангландс и математиците се надяваха, че нерешените проблеми в теорията на числата могат да бъдат решени чрез изучаване на съответните проблеми в геометрията, които също остават нерешени. Тази програма беше известна като философията на паралелизма. Тези алгебрични геометри, които се опитаха да решат проблеми в теорията на числата, бяха наречени „аритметични алгебрични геометри“. През 1983 г. те обявиха първата си значителна победа, когато Герд Фалтингс от Принстънския институт за напреднали изследвания направи значителен принос за разбирането на теоремата на Ферма. Припомнете си, че според Ферма уравнението

при нпо-голямо от 2 няма решения в цели числа. Фалтингс решава, че е постигнал напредък в доказването на последната теорема на Ферма чрез изучаване геометрични повърхностисвързани с различни значения н. Повърхнини, свързани с уравненията на Ферма за различни стойности н, се различават един от друг, но имат едно обща собственост- всички те имат проходни дупки или, просто казано, дупки. Тези повърхности са четириизмерни, точно като графиките на модулните форми. Двумерни разрези на две повърхности са показани на фиг. 23. Повърхностите, свързани с уравнението на Ферма, изглеждат подобни. Колкото по-висока е стойността нв уравнението, толкова повече дупки има в съответната повърхност.

Ориз. 23. Тези две повърхности са получени с помощта на компютърната програма Mathematica. Всяка от тях представлява геометричното място на точките, удовлетворяващи уравнението x n + y n = z n(за повърхността отляво н=3, за повърхността отдясно н=5). Променливи хИ гтук се считат за сложни

Фалтингс успя да докаже, че тъй като такива повърхности винаги имат няколко дупки, свързаното уравнение на Ферма може да има само краен набор от цели числа. Броят на решенията може да бъде всякакъв - от нула, както предположи Ферма, до милион или милиард. Така Фалтингс не доказва последната теорема на Ферма, но поне успява да отхвърли възможността уравнението на Ферма да има безкрайно много решения.

Пет години по-късно Мияока съобщи, че е направил една крачка напред. Тогава той беше в началото на двайсетте. Мияока формулира хипотеза относно някакво неравенство. Стана ясно, че доказването на неговата геометрична хипотеза би означавало да се докаже, че броят на решенията на уравнението на Ферма не е просто краен, а равен на нула. Подходът на Мияока беше подобен на този на Уайлс, тъй като и двамата се опитаха да докажат последната теорема на Ферма, като я свързаха с фундаментална хипотеза в друг клон на математиката. За Мияока това беше алгебрична геометрия; за Уайлс пътят към доказателството лежеше през елиптични криви и модулни форми. За голямо огорчение на Уайлс, той все още се бореше да докаже хипотезата на Танияма-Шимура, когато Мияока заяви, че разполага с пълно доказателство за собствената си хипотеза и, следователно, за последната теорема на Ферма.

Две седмици след речта си в Бон Мияока публикува пет страници с изчисления, които формират същността на неговото доказателство, и започва задълбочено изследване. Теоретиците на числата и специалистите по алгебрична геометрия по целия свят изучаваха, ред по ред, публикуваха изчисления. Няколко дни по-късно математиците откриха едно противоречие в доказателството, което не можеше да не предизвика безпокойство. Една част от работата на Мияока доведе до твърдение от теорията на числата, което, преведено на езика на алгебричната геометрия, създаде твърдение, което противоречи на резултата, получен няколко години по-рано. Въпреки че това не обезсилва непременно цялото доказателство на Мияока, откритото противоречие не се вписва във философията на паралелизма между теорията на числата и геометрията.

Още две седмици по-късно Герд Фалтингс, който беше проправил пътя за Мияоке, обяви, че е открил точната причина за очевидното нарушение на паралелизма - празнина в разсъжденията. Японският математик беше геометрич и не беше съвсем строг, когато преведе идеите си в по-малко познатата територия на теорията на числата. Армия от теоретици на числата положи неистови усилия да запуши дупката в доказателството на Мияока, но напразно. Два месеца след като Мияока заяви, че разполага с пълно доказателство на последната теорема на Ферма, математическата общност стигна до единодушно заключение: доказателството на Мияока беше обречено на провал.

Както при предишни неуспешни доказателства, Мияока успя да получи много интересни резултати. Някои фрагменти от неговото доказателство бяха забележителни като много гениални приложения на геометрията към теорията на числата и в следващите години други математици ги използваха, за да докажат някои теореми, но никой не успя да докаже последната теорема на Ферма по този начин.

Фурорът около Последната теорема на Ферма скоро утихна и вестниците публикуваха кратки съобщения, че тристагодишният пъзел все още остава неразгадан. Следният надпис се появи на стената на метростанция Eighth Street в Ню Йорк, несъмнено вдъхновен от отразяването в пресата на последната теорема на Ферма: „Eq. xn + ун = знняма решения. Намерих наистина невероятно доказателство за този факт, но не мога да го запиша тук, защото влакът ми пристигна.

Глава десета КРОКОДИЛСКА ФЕРМА Те се движеха по живописен път в колата на стария Джон, седнал на задните седалки. Зад волана беше чернокож шофьор в ярка риза със странно подстригана глава. Върху обръснатия му череп се издигаха храсти черна коса, твърда като тел, логично

Подготовка за състезанието. Аляска, фермата Iditarod на Linda Pletner е ежегодно състезание с кучета с шейни в Аляска. Дължината на маршрута е 1150 мили (1800 км). Това е най-дългото състезание с впрегнати кучета в света. Старт (церемониален) – 4 март 2000 г. от Анкоридж. Започнете

Козеферма През лятото в селото има много работа. Когато посетихме село Хомутец, там се прибираше сено и ухаещите вълни от прясно окосени билки сякаш обливаха всичко наоколо.Билките трябва да се косят навреме, за да не презреят, тогава ще се запази всичко ценно и питателно в тях. Това

Лятна ферма Сламка, като ръчна мълния, стъкло в тревата; Друг, след като се подписа на оградата, запали огън от зелена чаша вода в конско корито. В синия здрач Девет патици блуждаят, люлеейки се, по коловоз в духа на успоредни линии. Тук пилето се взира в нищото само

Разрушена ферма Спокойното слънце, като тъмночервено цвете, Потъна в земята, израствайки в залеза, Но завесата на нощта в празна сила Привлече света, обезпокоен от погледа. Тишина цари във фермата без покрив, Сякаш някой й е откъснал косите, За кактуса се карат

Ферма или чифлик? На 13 февруари 1958 г. всички централни московски и след това регионални вестници публикуват решението на ЦК на Комунистическата партия на Украйна „За грешка при закупуването на крави от колхозниците в Запорожка област“. Дори не говорихме за целия регион, а за два от неговите области: Приморски

Проблемът на Ферма През 1963 г., когато е само на десет години, Андрю Уайлс вече е очарован от математиката. „В училище обичах да решавам проблеми, носех ги вкъщи и създавах нови от всеки проблем. Но най-добрият проблем, който някога съм срещал, беше в местен

От Питагоровата теорема до последната теорема на Ферма Питагоровата теорема и безкрайният брой Питагорови тройки бяха обсъдени в книгата на E.T. Bella "Great Problem" - същата библиотечна книга, което привлече вниманието на Андрю Уайлс. И въпреки че питагорейците са постигнали почти пълно

Математиката след доказателството на последната теорема на Ферма Колкото и да е странно, самият Уайлс имаше смесени чувства относно доклада си: „Поводът за речта беше избран много добре, но самата лекция ми предизвика смесени чувства. Работя върху доказателството

Глава 63 Фермата на стария Макленън Около месец и половина след завръщането си в Ню Йорк, една ноемврийска вечер телефонът иззвъня в апартамента на семейство Ленън. Йоко вдигна телефона. Мъжки глас с пуерторикански акцент попита Йоко Оно. Преструвайки се

Теоремата на Понтрягин По същото време като консерваторията, баща ми учи в Московския държавен университет, изучавайки механика и математика. Завършва с успех и дори известно време се колебае в избора на професия. Музикологията спечели, в резултат на което се възползва от неговия математически ум.Един от съучениците на баща ми

Теорема Теоремата за правото на религиозно сдружение да избира свещеник се нуждае от доказателство. Той гласи така: „Православната общност се създава... под духовното ръководство на свещеник, избран от общността и получил благословението на епархийския епископ“.

I. Ферма („Ето, от кокоши изпражнения...”) Ето, от кокоши изпражнения Едно спасение е метлата. Любов - коя? - Тя ме заведе в кокошарника. Кълват зърна, кокошките кудкудякат, петлите пристъпват важно. И без размери и цензура Стихотворенията се съчиняват в ума. За един провансалски следобед

ИСТОРИЯ НА Последната теорема на FERmat
Голяма афера

Веднъж в новогодишен бюлетин за това как се правят тостове, небрежно споменах, че в края на двадесети век се е случило едно велико събитие, което мнозина не са забелязали - така наречената последна теорема на Ферма най-накрая е доказана. Във връзка с това сред писмата, които получих, намерих два отговора от момичета (едно от тях, доколкото си спомням, беше деветокласничката Вика от Зеленоград), които бяха изненадани от този факт.

И бях изненадан от това колко силно се интересуваха момичетата от проблемите на съвременната математика. Затова смятам, че не само момичета, но и момчета от всички възрасти - от гимназисти до пенсионери, също ще се интересуват от историята на Великата теорема.

Доказателството на теоремата на Ферма е голямо събитие. И защото Не е обичайно да се шегуваме с думата „страхотно“, но ми се струва, че всеки уважаващ себе си оратор (а ние всички сме оратори, когато говорим) е просто длъжен да знае историята на теоремата.

Ако се случи така, че не обичате математиката толкова, колкото аз я обичам, тогава прегледайте някои от подробностите. Осъзнавайки, че не всички читатели на нашия бюлетин се интересуват от скитане в математическата джунгла, се опитах да не давам никакви формули (с изключение на уравнението на теоремата на Ферма и двойка хипотези) и да опростя отразяването на някои специфични въпроси, колкото възможен.

Как Ферма направи бъркотията

Френският адвокат и велик математик от 17 век Пиер Ферма (1601-1665) излага едно интересно твърдение от областта на теорията на числата, което по-късно става известно като Великата (или Голямата) теорема на Ферма. Това е един от най-известните и феноменални математически теореми. Вероятно вълнението около него не би било толкова силно, ако в книгата на Диофант от Александрия (III в. сл. Хр.) „Аритметика“, която Ферма често изучаваше, правейки бележки в широките й полета, и която синът му Самуил любезно запази за потомството , приблизително следният запис на великия математик не е открит:

„Имам някои много стряскащи доказателства, но те са твърде големи, за да се поберат в полетата.“

Именно този запис е причината за последвалия колосален шум около теоремата.

И така, известният учен обяви, че е доказал своята теорема. Нека се запитаме: наистина ли го доказа или просто излъга? Или има други версии, които обясняват появата на онази бележка в полетата, която не позволи на много математици от следващите поколения да спят спокойно?

Историята на Великата теорема е завладяваща като приключение във времето. През 1636 г. Ферма заявява, че уравнение от формата x n +y n =z nняма решения в цели числа с показател n>2. Това всъщност е последната теорема на Ферма. В тази на пръв поглед проста математическа формула Вселената е прикрила невероятна сложност. Роденият в Шотландия американски математик Ерик Темпъл Бел дори предположи в книгата си „The Final Problem“ (1961), че може би човечеството ще престане да съществува, преди да успее да докаже последната теорема на Ферма.

Донякъде е странно, че по някаква причина теоремата закъсня с появата си, тъй като ситуацията беше назрявала дълго време, тъй като специалният й случай с n = 2 - друга известна математическа формула - теоремата на Питагор, възникна двадесет и два века по-рано. За разлика от теоремата на Ферма, Питагоровата теорема има безкраен брой цели решения, например следните Питагорови триъгълници: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112 384 400) … (4232, 7935, 8993) …

Синдром на великата теорема

Кой не се е опитвал да докаже теоремата на Ферма? Всеки прохождащ студент смяташе за свой дълг да се приложи към Великата теорема, но никой не успя да го докаже. Отначало не работи в продължение на сто години. После още сто. И по-нататък. Сред математиците започна да се развива масов синдром: "Как може това? Ферма го доказа, но аз не мога да го направя или какво?" - и някои от тях полудяха на тази база в пълния смисъл на думата.

Колкото и пъти да е била проверявана теоремата, тя винаги се е оказвала вярна. Познавах един енергичен програмист, който беше обсебен от идеята да опровергае Великата теорема, като се опита да намери поне едно решение (контрапример) чрез изброяване на цели числа с помощта на високоскоростен компютър (по това време по-често наричан мейнфрейм). Той вярваше в успеха на своето предприятие и обичаше да казва: „Още малко - и ще избухне сензация!“ Мисля, че на различни места на нашата планета имаше значителен брой от този тип смели търсачи. Той, разбира се, не намери нито едно решение. И никакви компютри, дори и с невероятна скорост, никога не биха могли да проверят теоремата, защото всички променливи на това уравнение (включително експонентите) могат да нарастват до безкрайност.

Теоремата изисква доказателство

Математиците знаят, че ако една теорема не е доказана, от нея може да следва всичко (и вярно, и невярно), както беше при някои други хипотези. Например в едно от писмата си Пиер Ферма предполага, че числата от формата 2 n +1 (така наречените числа на Ферма) са непременно прости (т.е. нямат цели делители и се делят без остатък само на себе си и с едно), ако n е степен на две (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т.н.). Тази хипотеза на Ферма живее повече от сто години - докато през 1732 г. Леонхард Ойлер показва, че

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

След това, почти 150 години по-късно (1880 г.), Форчън Ландри факторизира следното число на Ферма:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Как са успели да намерят делителите на тези големи числа без помощта на компютри - само Господ знае. На свой ред Ойлер изказва хипотезата, че уравнението x 4 +y 4 +z 4 =u 4 няма решения в цели числа. Въпреки това, приблизително 250 години по-късно, през 1988 г., Наум Елкис от Харвард успява да открие (с помощта на компютърна програма), че

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Следователно Последната теорема на Ферма изисква доказателство, в противен случай това е просто хипотеза и може да се окаже, че някъде там в безкрайните полета от числа решението на уравнението на Великата теорема е изгубено.

Най-виртуозният и плодовит математик на 18-ти век, Леонард Ойлер, чийто архив от записи човечеството претърсва почти цял век, доказва теоремата на Ферма за степени 3 и 4 (или по-скоро той повтаря изгубените доказателства на самия Пиер Ферма) ; неговият последовател в теорията на числата Лежандр (а също и независимо от него Дирихле) - за степен 5; Куцо - за степен 7. Но в общ изгледтеоремата остана недоказана.

На 1 март 1847 г. на среща на Парижката академия на науките двама изключителни математици - Габриел Ламе и Огюстен Коши - обявиха, че са стигнали до края на доказателството на Великата теорема и започнаха надпревара, публикувайки своите доказателства в части. Двубоят между тях обаче е прекъснат, тъй като в техните доказателства е открита същата грешка, която е посочена от немския математик Ернст Кумер.

В началото на 20-ти век (1908 г.) богат германски предприемач, филантроп и учен Пол Волфскел завещава сто хиляди марки на този, който представи пълно доказателство на теоремата на Ферма. Още в първата година след публикуването на завещанието на Wolfskehl от Академията на науките в Гьотинген, то беше залято с хиляди доказателства от любители на математиката и този поток не спря десетилетия, но всички те, както се досещате, съдържаха грешки . Казват, че академията е подготвила формуляри с приблизително следното съдържание:

Уважаеми __________________________!
Във вашето доказателство на теоремата на Ферма на ____ страница в ____ ред най-горе
беше открита следната грешка във формулата:__________________________:,

Които бяха изпратени на нещастни кандидати за награди.

По това време сред математиците се появи полупрезрителен прякор - земеделски производител. Така се наричаше всеки самоуверен новостарт, на когото му липсваха познания, но имаше повече от достатъчно амбиция да направи набързо всичко възможно, за да докаже Великата теорема, а след това, без да забелязва собствените си грешки, гордо се удряше по гърдите, заявявайки на висок глас : „Аз бях първият, който доказа теоремата на Ферма!“ Всеки фермер, дори да беше десетхилядник, се смяташе за първи - това беше смешно. просто външен видГолямата теорема напомни на фермистите толкова много за лесна плячка, че те изобщо не се смутиха, че дори Ойлер и Гаус не можаха да се справят с нея.

(Ферматистите, колкото и да е странно, съществуват и до днес. Въпреки че един от тях не смяташе, че е доказал теоремата, подобно на класически ферматист, той правеше опити доскоро - отказа да ми повярва, когато му казах, че теоремата на Ферма вече е била доказано).

Може би най-могъщите математици в тишината на кабинетите си също се опитаха да подходят предпазливо към тази невъзможна щанга, но не говореха за нея на глас, за да не бъдат заклеймени като фермери и по този начин да не накърнят високия си авторитет .

По това време се появи доказателство на теоремата за показателя n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Странна хипотеза

До средата на двадесети век не е имало голям напредък в историята на Великата теорема. Но скоро в математическия живот се случи едно интересно събитие. През 1955 г. 28-годишният японски математик Ютака Танияма излага твърдение от съвсем различна област на математиката, наречено хипотезата на Танияма (известна също като хипотезата на Танияма-Шимура-Вейл), която, за разлика от закъснялата теорема на Ферма, е по-напред. на своето време.

Хипотезата на Танияма гласи: "всяка елиптична крива съответства на определена модулна форма." Това твърдение звучи толкова абсурдно за математиците от онова време, колкото за нас звучи твърдението: „всяко дърво съответства на определен метал“. Не е трудно да се отгатне как нормалният човек може да реагира на подобно твърдение - той просто няма да го приеме на сериозно, което се случи: математиците единодушно пренебрегнаха хипотезата.

Малко уточнение. Елиптичните криви, известни отдавна, имат двуизмерен вид (разположени в равнина). Модулните функции, открити през 19 век, имат четириизмерна форма, така че дори не можем да си ги представим с нашите триизмерни мозъци, но можем да ги опишем математически; освен това, модулните форми са невероятни с това, че притежават възможно най-голяма симетрия - те могат да бъдат транслирани (изместени) във всяка посока, огледални, фрагменти разменени, завъртани по безкрайно много начини - и въпреки това външният им вид не се променя. Както можете да видите, елиптичните криви и модулните форми имат малко общо. Хипотезата на Танияма гласи, че описателните уравнения на два съответстващи напълно различни математически обекта могат да бъдат разширени в една и съща математическа серия.

Хипотезата на Танияма беше твърде парадоксална: тя съчетаваше напълно различни концепции - по-скоро прости плоски криви и невъобразими четириизмерни форми. Това никога не е хрумвало на никого. Когато на международен математически симпозиум в Токио през септември 1955 г. Танияма демонстрира няколко съответствия на елиптични криви с модулни форми, всички видяха това като нищо повече от забавни съвпадения. На скромния въпрос на Танияма: възможно ли е да се намери съответната модулна функция за всяка елиптична крива, уважаемият французин Андре Вейл, който по онова време беше един от най-добрите световни специалисти по теория на числата, даде напълно дипломатичен отговор, че, според тях, ако любознателният Танияма не остави ентусиазъм, тогава може би ще има късмет и невероятната му хипотеза ще бъде потвърдена, но това вероятно няма да се случи скоро. Като цяло, подобно на много други изключителни открития, първоначално хипотезата на Танияма остана незабелязана, защото хората все още не бяха узрели достатъчно, за да я разберат - почти никой не я разбра. Само колегата на Танияма, Горо Шимура, познавайки добре своя изключително надарен приятел, интуитивно почувства, че хипотезата му е правилна.

Три години по-късно (1958) Ютака Танияма се самоубива (самурайските традиции обаче са силни в Япония). От гледна точка на здравия разум това е неразбираема постъпка, особено като се има предвид, че много скоро той щеше да се жени. Лидерът на младите японски математици започна самоубийствената си бележка така: "Вчера не мислех за самоубийство. Напоследък често чувам от другите, че съм уморен психически и физически. Всъщност все още не разбирам защо" m doing this...” и така нататък на три листа. Жалко, разбира се, че това беше съдбата на интересен човек, но всички гении са малко странни - затова са гении (по някаква причина се сетих думите на Артур Шопенхауер: „в обикновения живот гений е полезен като телескоп в театъра”). Хипотезата е осиротяла. Никой не знаеше как да го докаже.

В продължение на около десет години те почти не си спомняха хипотезата на Танияма. Но в началото на 70-те години той става популярен - редовно се тества от всеки, който може да го разбере - и винаги се потвърждава (както всъщност теоремата на Ферма), но, както и преди, никой не може да го докаже.

Изненадваща връзка между две хипотези

Минаха още около 15 години. През 1984 г. се случи едно ключово събитие в живота на математиката, което комбинира екстравагантната японска хипотеза с последната теорема на Ферма. Германецът Герхард Фрей изложи интересно твърдение, подобно на теоремата: „Ако хипотезата на Танияма бъде доказана, тогава последната теорема на Ферма също ще бъде доказана.“ С други думи, теоремата на Ферма е следствие от хипотезата на Танияма. (Фрей, използвайки умни математически трансформации, намали уравнението на Ферма до формата на уравнение на елиптична крива (същото, което се появява в хипотезата на Танияма), повече или по-малко обоснова своето предположение, но не можа да го докаже). И само година и половина по-късно (1986 г.) професорът от Калифорнийския университет Кенет Рибет ясно доказва теоремата на Фрей.

Какво стана сега? Сега се оказва, че тъй като теоремата на Ферма вече е следствие от хипотезата на Танияма, трябва само да се докаже последното, за да се спечелят лаврите на покорителя на легендарната теорема на Ферма. Но хипотезата се оказа трудна. Освен това математиците през вековете са станали алергични към теоремата на Ферма и много от тях са решили, че би било почти невъзможно да се справят с хипотезата на Танияма.

Смъртта на хипотезата на Ферма. Раждането на теоремата

Минаха още 8 години. Един прогресивен английски професор по математика от Принстънския университет (Ню Джърси, САЩ), Андрю Уайлс, смята, че е намерил доказателство за хипотезата на Танияма. Ако един гений не е плешив, тогава, като правило, той е разрошен. Уайлс е разрошен и затова изглежда като гений. Влизането в историята, разбира се, беше изкушаващо и аз наистина исках, но Уайлс, като истински учен, не се заблуждаваше, осъзнавайки, че хиляди фермери преди него също виждаха призрачни доказателства. Ето защо, преди да представи своето доказателство на света, той внимателно го провери сам, но осъзнавайки, че може да има субективно пристрастие, той също включи други в проверките, например под прикритието на обикновени математически задачи, той понякога хвърляше различни фрагменти на неговото доказателство за интелигентни студенти. Уайлс по-късно призна, че никой освен съпругата му не е знаел, че той работи върху доказателство на Великата теорема.

И след много изпитания и болезнени размисли, Уайлс най-накрая събра смелост или може би, както му се струваше, арогантност и на 23 юни 1993 г. на математическа конференция по теория на числата в Кеймбридж той обяви голямото си постижение.

Това, разбира се, беше сензация. Никой не очакваше такава ловкост от малко известен математик. Пресата веднага се появи. Всички бяха измъчвани от изгарящ интерес. Стройни формули, като щрихи от красива картина, изникнаха пред любопитните погледи на събралите се. Истинските математици, те са такива, гледат всякакви уравнения и виждат в тях не числа, константи и променливи, а чуват музика, както Моцарт гледа тоягата. Точно както когато четем книга, гледаме буквите, но сякаш не ги забелязваме, а веднага долавяме смисъла на текста.

Представянето на доказателството изглеждаше добре - в него не бяха открити грешки - никой не чу нито една фалшива нотка (въпреки че повечето математици просто се взираха в него като първокласници в интеграл и нищо не разбраха). Всички решиха, че се е случило мащабно събитие: хипотезата на Танияма беше доказана и следователно последната теорема на Ферма. Но около два месеца по-късно, няколко дни преди ръкописът на доказателството на Уайлс да бъде публикуван, в него беше открито несъответствие (Кац, колега на Уайлс, забеляза, че един фрагмент от разсъжденията се основава на „системата на Ойлер“, но че построена от Wiles, не беше такава система), въпреки че като цяло техниките на Wiles бяха смятани за интересни, елегантни и новаторски.

Уайлс анализира ситуацията и реши, че е загубил. Човек може да си представи как е усещал с цялото си същество какво означава „една крачка от великото към смешното“. „Исках да вляза в историята, но вместо това станах част от екип от клоуни и комици - арогантни фермери” - това са мислите, които го изтощават в този труден период от живота му. За него, сериозен математик, това беше трагедия и той хвърли доказателството си в забрава.

Но малко повече от година по-късно, през септември 1994 г., докато размишляваше за това пречка в доказателството заедно с колегата си Тейлър от Оксфорд, последният внезапно беше поразен от идеята, че „системата на Ойлер“ може да бъде заменена от теорията на Ивасава (а клон на теорията на числата). Тогава те се опитаха да използват теорията на Ивасава, без „системата на Ойлер“ и всичко им се получи. Коригираният вариант на доказателството беше предоставен за проверка и година по-късно беше обявено, че всичко в него е абсолютно ясно, без нито една грешка. През лятото на 1995 г. в едно от водещите математически списания - "Annals of Mathematics" - беше публикувано пълно доказателство на хипотезата на Танияма (следователно Голямата теорема на Ферма), което зае целия брой - над сто страници. Доказателството е толкова сложно, че само няколко десетки души по света биха могли да го разберат в неговата цялост.

Така в края на двадесети век целият свят призна, че на 360-ата година от живота си Последната теорема на Ферма, която всъщност през цялото това време е била хипотеза, най-накрая се е превърнала в доказана теорема. Андрю Уайлс доказва Голямата теорема на Ферма и остава в историята.

Само си помислете, те доказаха някаква теорема...

Щастието на откривателя винаги е при един човек - той е този, който с последния удар на чука счупва твърдия орех на знанието. Но не можем да пренебрегнем многото предишни удари, които в продължение на векове образуваха пукнатина във Великата теорема: Ойлер и Гаус (кралете на математиката на своето време), Еварист Галоа (който успя да създаде теориите за групите и полетата в своите кратки 21- година от живота, чиято работа е призната за гениална едва след смъртта му), Анри Поанкаре (основателят не само на причудливи модулни форми, но и на конвенционализма - философско движение), Дейвид Гилбърт (един от най-силните математици на ХХ век) , Ютака Танияма, Горо Шимура, Мордел, Фалтингс, Ернст Кумер, Бари Мазур, Герхард Фрей, Кен Рибет, Ричард Тейлър и др. истински учени(Не ме е страх от тези думи).

Доказателството на последната теорема на Ферма може да се постави наравно с такива постижения на двадесети век като изобретяването на компютъра, ядрената бомба и космическите полети. Въпреки че не е толкова широко известно, защото не нахлува в зоната на нашите непосредствени интереси, като телевизор или електрическа крушка, това беше експлозия на свръхнова, която, както всички неизменни истини, винаги ще свети за човечеството.

Можете да кажете: „само си помислете, те доказаха някаква теорема, кому е нужно?". Справедлив въпрос. Отговорът на Дейвид Гилбърт се вписва точно тук. На въпроса: „Коя задача е най-важна за науката сега?", Той отговори: „Хванете муха на обратната страна на Луната", той беше разумно попитан: „ И кому е нужно?“, той отговори: „Никой няма нужда от това. Но помислете колко важни, сложни проблеми трябва да бъдат решени, за да се постигне това." Помислете колко проблеми е успяло да разреши човечеството за 360 години, преди да докаже теоремата на Ферма. Почти половината от съвременната математика е открита в търсене на нейната доказателство , Също така е необходимо да се вземе предвид, че математиката е авангардът на науката (и, между другото, единствената наука, която е изградена без нито една грешка) и всякакви научни постижения и изобретения започват тук. Както отбеляза Леонардо да Винчи, „само това учение може да бъде признато за наука, което е потвърдено математически“.

* * *

Сега да се върнем към началото на нашата история, да си спомним бележката на Пиер Ферма в полетата на учебника на Диофант и отново да си зададем въпроса: наистина ли Ферма е доказал своята теорема? Ние, разбира се, не можем да знаем това със сигурност и както във всеки случай тук възникват различни версии:

Версия 1:Ферма доказа своята теорема. (Когато го попитаха: „Имал ли е Ферма точно същото доказателство за своята теорема?“, Андрю Уайлс отбеляза: „Ферма не би могъл да има като тозидоказателство. Това е доказателството за 20-ти век." Вие и аз разбираме, че през 17-ти век математиката, разбира се, не е била същата като в края на 20-ти век - в онази епоха Артанян, кралицата на науките, все още не имат тези открития (модулни форми, теоремите на Танияма, Фрея и т.н.), които сами по себе си направиха възможно доказването на последната теорема на Ферма. Разбира се, човек може да предположи: какво, по дяволите, е това - ами ако Ферма го е разбрал по различен начин ? Тази версия, макар и вероятна, според оценките на повечето математици е практически невъзможна);
Версия 2:Пиер Ферма смяташе, че е доказал своята теорема, но в доказателството му имаше грешки. (Тоест самият Ферма също е първият фермер);
Версия 3:Ферма не доказа своята теорема, а просто излъга в полетата.

Ако една от последните две версии е вярна, което е най-вероятно, тогава можем да направим просто заключение: страхотни хора, въпреки че са страхотни, те също могат да грешат или понякога не са склонни да лъжат(най-вече това заключение ще бъде полезно за тези, които са склонни напълно да се доверят на своите идоли и други владетели на мислите). Ето защо, когато четете произведенията на авторитетни синове на човечеството или слушате техните патетични речи, имате пълното право да се съмнявате в техните твърдения. (Моля, имайте предвид, че съмнението не означава отхвърляне).

Възпроизвеждането на материалите на статията е възможно само със задължителни връзки към сайта (в Интернет - хипервръзка) и на автора

През 17-ти век във Франция живее адвокат и математик на непълно работно време Пиер Ферма, който посвещава дълги часове свободно време на хобито си. Една зимна вечер, седнал до камината, той изложи едно много любопитно твърдение от областта на теорията на числата - именно това по-късно беше наречено Голямата теорема на Ферма. Може би вълнението нямаше да бъде толкова голямо в математическите среди, ако не се беше случило едно събитие. Математикът често прекарваше вечерите си в изучаване на любимата си книга „Аритметика“ от Диофант от Александрия (3 век), докато записваше важни мисли в полетата й - тази рядкост беше внимателно запазена за потомството от неговия син. И така, върху широките полета на тази книга ръката на Ферма остави следния надпис: „Имам доста поразително доказателство, но то е твърде голямо, за да бъде поставено в полетата.“ Именно този запис предизвика зашеметяващото вълнение около теоремата. Математиците не се съмняваха, че великият учен заяви, че е доказал собствената си теорема. Сигурно си задавате въпроса: „Наистина ли го е доказал, или е банална лъжа, или може би има и други версии защо тази бележка, която не позволява на математиците от следващите поколения да спят спокойно, се озовава в полетата на книгата?"

Същността на Великата теорема

Доста добре известната теорема на Ферма е проста по своята същност и се крие във факта, че при условие, че n е по-голямо от две, положително число, уравнението X n + Y n = Z n няма да има решения от нулев тип в рамката на естествените числа. Тази на пръв поглед проста формула маскира невероятна сложност и доказването й се бори в продължение на три века. Има едно странно нещо - теоремата закъсня с раждането си, тъй като нейният частен случай с n = 2 се появи преди 2200 години - това е не по-малко известната Питагорова теорема.

Трябва да се отбележи, че историята за известната теорема на Ферма е много поучителна и забавна, и то не само за математиците. Най-интересното е, че науката не била работа за учения, а обикновено хоби, което от своя страна доставяло голямо удоволствие на Фермера. Той също така постоянно поддържаше връзка с математик, а също и с приятел, и споделяше идеи, но колкото и да е странно, не се стремеше да публикува собствените си произведения.

Трудове на математика Фермер

Що се отнася до самите творби на Фермера, те са открити именно под формата на обикновени букви. На места липсваха цели страници и оцеляха само фрагменти от кореспонденцията. По-интересен е фактът, че в продължение на три века учените са търсили теоремата, открита в трудовете на Фармър.

Но без значение кой се осмели да го докаже, опитите бяха сведени до „нула“. Известният математик Декарт дори обвини учения в самохвалство, но всичко се свежда до най-обикновена завист. Освен че го създаде, Фермерът доказа и собствената си теорема. Вярно е, че решението беше намерено за случая, когато n=4. Що се отнася до случая за n=3, той е открит от математика Ойлер.

Как се опитаха да докажат теоремата на Фармър

В самото начало на 19 век тази теорема продължава да съществува. Математиците намериха много доказателства на теореми, които бяха ограничени до естествени числа в рамките на двеста.

И през 1909 г. беше заложена доста голяма сума, равна на сто хиляди марки с немски произход - и всичко това само за да разреши въпроса, свързан с тази теорема. Самият награден фонд беше оставен от богат любител на математиката Пол Волфскел, родом от Германия; между другото, той искаше да се „убие“, но благодарение на такова участие в теоремата на Фермер искаше да живее. Възникналото вълнение породи тонове „доказателства“, които изпълниха германските университети, а сред математиците се роди прозвището „фермерист“, което се използваше полупрезрително, за да опише всеки амбициозен новопостъпил, който не беше в състояние да предостави ясни доказателства.

Предположение на японския математик Ютака Танияма

Промени в историята на Великата теорема не се наблюдават до средата на 20-ти век, но се случи едно интересно събитие. През 1955 г. японският математик Ютака Танияма, който е на 28 години, показва на света твърдение от съвсем различна математическа област - неговата хипотеза, за разлика от тази на Ферма, изпреварва времето си. Там се казва: „Всяка елиптична крива съответства на определена модулна форма.“ Изглежда абсурдно за всеки математик, като идеята, че едно дърво се състои от определен метал! Парадоксалната хипотеза, както повечето други зашеметяващи и гениални открития, не беше приета, тъй като те просто още не бяха дорасли до нея. А Ютака Танияма се самоуби три години по-късно – необясним акт, но вероятно честта за един истински самурайски гений беше над всичко.

Хипотезата не беше запомнена цяло десетилетие, но през седемдесетте години тя достигна върха на популярността си - беше потвърдена от всички, които можеха да я разберат, но, подобно на теоремата на Ферма, остана недоказана.

Как са свързани хипотезата на Танияма и теоремата на Ферма?

15 години по-късно се случва ключово събитие в математиката, което обединява хипотезата на известния японски и теоремата на Ферма. Герхард Грей заяви, че когато хипотезата на Танияма бъде доказана, тогава ще има доказателство за теоремата на Ферма. Тоест, последното е следствие от хипотезата на Танияма и в рамките на година и половина теоремата на Ферма е доказана от професора от Калифорнийския университет Кенет Рибет.

С течение на времето регресията беше заменена от прогрес и науката бързо напредна, особено в областта на компютърните технологии. Така стойността на n започва да нараства все повече и повече.

В самия край на 20-ти век най-мощните компютри бяха разположени във военни лаборатории; беше извършено програмиране, за да се изведе решение на добре познатия проблем на Ферма. Като следствие от всички опити беше разкрито, че тази теорема е правилна за много стойности на n, x, y. Но, за съжаление, това не стана окончателно доказателство, тъй като нямаше специфики като такива.

Джон Уайлс доказва великата теорема на Ферма

И накрая, едва в края на 1994 г. математикът от Англия, Джон Уайлс, намери и демонстрира точно доказателство на противоречивата теорема на Фермер. Тогава, след много модификации, дискусиите по този въпрос стигнаха до своя логичен завършек.

Опровержението е публикувано на повече от сто страници на едно списание! Освен това теоремата беше доказана с помощта на по-модерен апарат на висшата математика. И това, което е изненадващо е, че по времето, когато Фермерът е написал своя труд, такова устройство не е съществувало в природата. С една дума, човекът беше признат за гений в тази област, с който никой не можеше да спори. Въпреки всичко, което се случи, днес можем да сме сигурни, че представената теорема на великия учен Фармър е оправдана и доказана и нито един математик със здрав разум няма да започне дебат по тази тема, с което са съгласни дори най-закоравелите скептици на цялото човечество с.

Пълното име на човека, на когото е представена теоремата, се казва Пиер дьо Фермер. Той направи принос в голямо разнообразие от области на математиката. Но, за съжаление, повечето от неговите произведения са публикувани едва след смъртта му.

НОВИНИ В НАУКАТА И ТЕХНОЛОГИИТЕ

UDC 51:37;517.958

А.В. Коновко, д.ф.н.

Академия на Държавната противопожарна служба към Министерството на извънредните ситуации на Русия ГОЛЯМАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА Е ДОКАЗАНА. ИЛИ НЕ?

В продължение на няколко века не беше възможно да се докаже, че уравнението xn+yn=zn за n>2 е неразрешимо в рационални числа и следователно в цели числа. Този проблем е роден под авторството на френския адвокат Пиер Ферма, който в същото време се занимава професионално с математика. Решението й се приписва на американския учител по математика Андрю Уайлс. Това признание продължава от 1993 до 1995 г.

ГОЛЯМАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА Е ДОКАЗАНА. ИЛИ НЕ?

Разглежда се драматичната история на последното доказване на теоремата на Ферма. Отне почти четиристотин години. Пиер Ферма пише малко. Той пише в компресиран стил. Освен това не публикува изследванията си. Твърдението, че уравнението xn+yn=zn е неразрешимо върху набори от рационални числа и цели числа, ако n>2 беше придружено от коментара на Ферма, че той наистина е намерил забележително доказателство на това твърдение. Потомците не бяха достигнати от това доказване. По-късно това твърдение беше наречено последната теорема на Ферма. Най-добрите математици в света се бориха за тази теорема без резултат. През седемдесетте години френският математик, член на Парижката академия на науките Андре Вейл, изложи нови подходи към решението. На 23 юни, през 1993 г., на конференцията по теория на числата в Кеймбридж, математикът от Принстънския университет Андрю Уилз обяви, че последното доказване на теоремата на Ферма е завършено. Все пак беше рано за триумф.

През 1621 г. френският писател и любител на математиката Клод Гаспар Баше дьо Мезириак публикува гръцкия трактат "Аритметика" на Диофант с латински превод и коментар. Луксозната „Аритметика“ с необичайно широки полета попадна в ръцете на двадесетгодишния Ферма и стана негов справочник за много години. В полетата той оставя 48 бележки, съдържащи фактите, които е открил за свойствата на числата. Тук, в полетата на „Аритметика“, е формулирана великата теорема на Ферма: „Невъзможно е да се разложи куб на два куба или биквадрат на два биквадрата, или като цяло степен, по-голяма от две, на две степени с еднакъв показател; Намерих едно наистина прекрасно доказателство за това, което поради липса на място не може да се побере в тези полета." Между другото, на латински изглежда така: „Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“

Големият френски математик Пиер Ферма (1601-1665) разработва метод за определяне на площи и обеми и създава нов метод на тангентите и екстремумите. Заедно с Декарт той става творец аналитична геометрия, заедно с Паскал, стои в началото на теорията на вероятностите, в областта на безкрайно малкия метод той дава общото правило за диференциране и доказва като цяло правилото за интегриране степенна функция... Но най-важното е, че това име е свързано с една от най-мистериозните и драматични истории, които някога са шокирали математиката - историята за доказателството на великата теорема на Ферма. Сега тази теорема е изразена под формата на просто твърдение: уравнението xn + yn = zn за n>2 е неразрешимо в рационални числа и следователно в цели числа. Между другото, за случая n = 3 средноазиатският математик Ал-Ходжанди се опита да докаже тази теорема през 10 век, но доказателството му не оцеля.

Родом от южна Франция, Пиер Ферма получава юридическо образование и от 1631 г. служи като съветник в парламента на град Тулуза (т.е. най-висшата съдебна инстанция). След работен ден в стените на парламента той се зае с математика и веднага се потопи в съвсем различен свят. Пари, престиж, обществено признание – нищо от това нямаше значение за него. Науката никога не се превърна в препитание за него, не се превърна в занаят, винаги оставайки само една вълнуваща игра на ума, разбираема само за малцина. Той продължи кореспонденцията си с тях.

Farm никога не е писал научни трудовев нашето обичайно разбиране. И в кореспонденцията му с приятели винаги има някакво предизвикателство, дори вид провокация, а в никакъв случай академично представяне на проблема и неговото решение. Ето защо много от писмата му впоследствие бяха наречени предизвикателство.

Може би точно затова той никога не е реализирал намерението си да напише специално есе по теория на числата. Междувременно това беше любимата му област на математиката. Именно на нея Ферма посвещава най-вдъхновените редове от писмата си. "Аритметиката", пише той, "има своя собствена област, теорията на целите числа. Тази теория е само леко засегната от Евклид и не е достатъчно развита от неговите последователи (освен ако не се съдържа в тези произведения на Диофант, които опустошенията на времето ни лиши от). Следователно аритметиците трябва да го развиват и обновяват."

Защо самият Ферма не се страхуваше от разрушителните ефекти на времето? Пишеше малко и винаги много стегнато. Но най-важното е, че той не публикува работата си. Приживе те се разпространяват само в ръкописи. Следователно не е изненадващо, че резултатите на Ферма по теория на числата са достигнали до нас в разпръсната форма. Но Булгаков вероятно е бил прав: великите ръкописи не горят! Работата на Ферма остава. Те останаха в писмата му до приятели: лионският учител по математика Жак дьо Били, служителят на монетния двор Бернар Френикел дьо Беси, Марцени, Декарт, Блез Паскал... Остана „Аритметика“ на Диофант с негови коментари в полетата, които след Смъртта на Ферма е включена заедно с коментарите на Баше в новото издание на Диофант, публикувано от най-големия му син Самуел през 1670 г. Само самите доказателства не са оцелели.

Две години преди смъртта си Ферма изпраща на приятеля си Каркави завещателно писмо, което влиза в историята на математиката под заглавието „Обобщение на новите резултати в науката за числата“. В това писмо Ферма доказва известното си твърдение за случай n = 4. Но тогава той най-вероятно не се интересуваше от самото твърдение, а от метода на доказателство, който откри, който самият Ферма нарече безкраен или неопределен низход.

Ръкописите не горят. Но ако не беше отдадеността на Самуел, който след смъртта на баща си събра всичките му математически скици и малки трактати и след това ги публикува през 1679 г. под заглавието „Разни математически произведения“, учените математици трябваше да открият и преоткрият много . Но дори и след тяхното публикуване проблемите, поставени от великия математик, стоят неподвижни повече от седемдесет години. И това не е изненадващо. Във формата, в която се появиха в печат, теоретико-числовите резултати на П. Ферма се появиха пред специалистите под формата на сериозни проблеми, които не винаги бяха ясни на съвременниците, почти без доказателства и индикации за вътрешни логически връзки между тях. Може би в липсата на последователна, добре обмислена теория се крие отговорът на въпроса защо самият Ферма никога не е решил да публикува книга по теория на числата. Седемдесет години по-късно Л. Ойлер се интересува от тези произведения и това наистина е второто им раждане...

Математиката плати скъпо за особения начин на Ферма да представя резултатите си, сякаш умишлено пропускаше техните доказателства. Но ако Ферма твърди, че е доказал тази или онази теорема, тогава тази теорема впоследствие е доказана. Имаше обаче проблем с великата теорема.

Една мистерия винаги вълнува въображението. Цели континенти бяха покорени от мистериозната усмивка на Джоконда; теорията на относителността, като ключ към мистерията на пространствено-времевите връзки, стана най-популярна физическа теориявек. И можем спокойно да кажем, че няма друга математическа задача, която да е толкова популярна, колкото беше ___93

Научни и образователни проблемигражданска защита

Какво представлява теоремата на Ферма? Опитите да се докаже доведоха до създаването на обширен клон на математиката - теорията на алгебричните числа, но (уви!) самата теорема остана недоказана. През 1908 г. немският математик Волфскел завещава 100 000 марки на всеки, който може да докаже теоремата на Ферма. Това беше огромна сума за онези времена! В един момент можете да станете не само известни, но и да забогатеете баснословно! Следователно не е изненадващо, че гимназисти дори в Русия, далеч от Германия, надпреварвайки се помежду си, се втурнаха да доказват великата теорема. Какво да кажем за професионалните математици! Но напразно! След Първата световна война парите стават безполезни и потокът от писма с псевдодоказателства започва да пресъхва, въпреки че, разбира се, никога не спира. Казват, че известният немски математик Едмунд Ландау подготвил печатни формуляри, за да ги изпрати на авторите на доказателствата на теоремата на Ферма: „Има грешка на страница ..., в ред ....“ (Асистентът беше натоварен със задачата да открие грешката.) Имаше толкова много странности и анекдоти, свързани с доказателството на тази теорема, че човек можеше да състави книга от тях. Последният анекдот е детективската история на А. Маринина „Съвпадение на обстоятелствата“, заснета и показана на телевизионните екрани на страната през януари 2000 г. В него сънародникът ни доказва недоказана от всички негови велики предшественици теорема и твърди за нея Нобелова награда. Както е известно, изобретателят на динамита пренебрегна математиците в завещанието си, така че авторът на доказателството можеше да претендира само за Златния медал на Фийлдс, най-високото международно отличие, одобрено от самите математици през 1936 г.

В класическия труд на изключителния руски математик А.Я. Хинчин, посветен на великата теорема на Ферма, предоставя информация за историята на този проблем и обръща внимание на метода, който Ферма би могъл да използва, за да докаже своята теорема. Дадено е доказателство за случая n = 4 и кратък прегледдруги важни резултати.

Но по времето, когато детективът беше написан и още повече по времето, когато беше заснет, общото доказателство на теоремата вече беше намерено. На 23 юни 1993 г. на конференция по теория на числата в Кеймбридж математикът от Принстън Андрю Уайлс обяви, че последната теорема на Ферма е доказана. Но съвсем не както самият Ферма „обеща“. Пътят, по който пое Андрю Уайлс, не се основаваше на методите на елементарната математика. Изучава така наречената теория на елиптичните криви.

За да получите представа за елиптичните криви, трябва да разгледате равнинна крива, дефинирана от уравнение от трета степен

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)

Всички такива криви са разделени на два класа. Първият клас включва онези криви, които имат точки на заточване (като полукубичната парабола y2 = a2-X с точка на заточване (0; 0)), точки на самопресичане (като декартов лист x3+y3-3axy = 0 , в точката (0; 0)), както и криви, за които полиномът Dx,y) е представен във формата

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

където ^(x,y) и ^(x,y) са полиноми от по-ниски степени. Криви от този клас се наричат ​​изродени криви от трета степен. Вторият клас криви се формира от неизродени криви; ще ги наричаме елиптични. Те могат да включват, например, Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Ако коефициентите на полинома (1) са рационални числа, тогава елиптичната крива може да се преобразува в така наречената канонична форма

y2= x3 + ax + b. (2)

През 1955 г. японският математик Ю. Танияма (1927-1958) в рамките на теорията на елиптичните криви успя да формулира хипотеза, която отвори пътя за доказателството на теоремата на Ферма. Но нито самият Танияма, нито колегите му са подозирали това тогава. В продължение на почти двадесет години тази хипотеза не привлече сериозно внимание и стана популярна едва в средата на 70-те години. Според хипотезата на Танияма всяка елиптична

крива с рационални коефициенти е модулна. Засега обаче формулировката на хипотезата казва малко на внимателния читател. Следователно са необходими някои определения.

Всяка елиптична крива може да бъде свързана с важна числена характеристика- неговият дискриминант. За крива, дадена в каноничната форма (2), дискриминантът A се определя по формулата

A = -(4a + 27b2).

Нека E е елиптична крива, дадено от уравнението(2), където a и b са цели числа.

За просто число p, разгледайте сравнението

y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)

където a и b са остатъците от деленето на целите числа a и b на p и нека означим с np броя на решенията на това сравнение. Числата pr са много полезни при изучаването на въпроса за разрешимостта на уравнения от вида (2) в цели числа: ако някое pr е равно на нула, тогава уравнение (2) няма цели числа. Въпреки това е възможно да се изчислят числа само в най-редките случаи. (В същото време е известно, че р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

Нека разгледаме онези прости числа p, които разделят дискриминанта A на елиптичната крива (2). Може да се докаже, че за такова p полиномът x3 + ax + b може да бъде записан по един от двата начина:

x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),

където a, ß, y са някои остатъци от делене на p. Ако за всички прости числа p, разделящи дискриминанта на кривата, се реализира първата от двете посочени възможности, то елиптичната крива се нарича полустабилна.

Простите числа, разделящи дискриминанта, могат да бъдат комбинирани в това, което се нарича елиптична крива. Ако E е полустабилна крива, тогава нейният проводник N се дава от формулата

където за всички прости числа p > 5, разделящо A, експонентата eP е равна на 1. Индикаторите 82 и 83 се изчисляват с помощта на специален алгоритъм.

По същество това е всичко, което е необходимо, за да разберем същността на доказателството. Хипотезата на Танияма обаче съдържа сложна и в нашия случай ключова концепция за модулност. Затова нека забравим за елиптичните криви за момент и да разгледаме аналитичната функция f (тоест функцията, която може да бъде представена чрез степенен ред) на комплексния аргумент z, даден в горната полуравнина.

Означаваме с H горната комплексна полуравнина. Нека N е естествено число и k е цяло число. Модулна параболична форма на тегло k от ниво N е аналитична функция f(z), дефинирана в горната полуравнина и удовлетворяваща отношението

f = (cz + d)kf (z) (5)

за всякакви цели числа a, b, c, d, такива че ae - bc = 1 и c се дели на N. Освен това се приема, че

lim f (r + it) = 0,

където r е рационално число и това

Пространството на модулни параболични форми с тегло k от ниво N се означава със Sk(N). Може да се покаже, че има крайна размерност.

По-нататък ще се интересуваме специално от модулни параболични форми на тегло 2. За малки N размерността на пространството S2(N) е представена в табл. 1. По-специално,

Размери на пространството S2(N)

маса 1

н<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

От условие (5) следва, че % + 1) = за всяка форма f e S2(N). Следователно f е периодична функция. Такава функция може да бъде представена като

Нека наречем модулна параболична форма A^) в S2(N) собствена, ако нейните коефициенти са цели числа, удовлетворяващи отношенията:

a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c Г_1 за просто p, което не дели числото N; (8)

(ap) за просто p, делящо числото N;

atn = at an, ако (t,n) = 1.

Нека сега формулираме определение, което играе ключова роля в доказателството на теоремата на Ферма. Елиптична крива с рационални коефициенти и проводник N се нарича модулна, ако има такава собствена форма

f (z) = ^anq" g S2(N),

че ap = p - pr за почти всички прости числа p. Тук n е броят на решенията за сравнение (3).

Трудно е да се повярва в съществуването дори на една такава крива. Доста трудно е да си представим, че ще има функция A(r), която удовлетворява изброените строги ограничения (5) и (8), която ще бъде разширена в серия (7), коефициентите на която ще бъдат свързани с практически неизчислими числа Пр. Но смелата хипотеза на Танияма изобщо не постави под съмнение факта на тяхното съществуване и натрупаният с времето емпиричен материал блестящо потвърди нейната валидност. След две десетилетия на почти пълна забрава, хипотезата на Танияма получи своеобразен втори вятър в трудовете на френския математик, член на Парижката академия на науките Андре Вейл.

Роден през 1906 г., А. Вейл в крайна сметка става един от основателите на група математици, които действат под псевдонима Н. Бурбаки. От 1958 г. А. Уейл става професор в Принстънския институт за напреднали изследвания. И появата на неговия интерес към абстрактната алгебрична геометрия датира от същия този период. През седемдесетте години той се обърна към елиптични функции и предположения на Танияма. Монографията за елиптични функции е преведена тук, в Русия. Той не е сам в хобито си. През 1985 г. немският математик Герхард Фрей предложи, че ако теоремата на Ферма е невярна, т.е. ако има тройка от цели числа a, b, c, така че a" + bn = c" (n > 3), тогава елиптичната крива

y2 = x (x - a")-(x - cn)

не може да бъде модулен, което противоречи на хипотезата на Танияма. Самият Фрей не успя да докаже това твърдение, но скоро доказателството беше получено от американския математик Кенет Рибет. С други думи, Рибет показа, че теоремата на Ферма е следствие от хипотезата на Танияма.

Той формулира и доказва следната теорема:

Теорема 1 (Ribet). Нека E е елиптична крива с рационални коефициенти и дискриминант

и диригент

Нека приемем, че E е модулно и нека

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

е съответната правилна форма на ниво N. Фиксираме просто число £, и

р:еР =1;- " 8 р

Тогава има такава параболична форма

/(g) = 2 dnqn e N)

с цели коефициенти, така че разликите an - dn се делят на I за всички 1< п<ад.

Ясно е, че ако тази теорема е доказана за определен показател, тогава тя е доказана за всички показатели, делими на n. Тъй като всяко цяло число n > 2 се дели или на 4, или на нечетно просто число, следователно можем да се ограничим до случаят, когато показателят е или 4, или нечетно просто число. За n = 4 елементарно доказателство на теоремата на Ферма е получено първо от самия Ферма, а след това от Ойлер. По този начин е достатъчно да се проучи уравнението

a1 + b1 = c1, (12)

в която показателят I е нечетно просто число.

Сега теоремата на Ферма може да бъде получена чрез прости изчисления (2).

Теорема 2. Последната теорема на Ферма следва от хипотезата на Танияма за полустабилни елиптични криви.

Доказателство. Нека приемем, че теоремата на Ферма е невярна и нека има съответен контрапример (както по-горе, тук I е странно просто число). Нека приложим теорема 1 към елиптичната крива

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Простите изчисления показват, че проводникът на тази крива е даден от формулата

Сравнявайки формули (11) и (13), виждаме, че N = 2. Следователно, съгласно теорема 1 има параболична форма

лежащ в пространството 82(2). Но по силата на съотношението (6) това пространство е нула. Следователно dn = 0 за всички n. В същото време a^ = 1. Следователно разликата ag - dl = 1 не се дели на I и стигаме до противоречие. Така теоремата е доказана.

Тази теорема предостави ключа към доказателството на последната теорема на Ферма. И въпреки това самата хипотеза все още остава недоказана.

След като обяви на 23 юни 1993 г. доказателството на хипотезата на Танияма за полустабилни елиптични криви, които включват криви от вида (8), Андрю Уайлс бързаше. За математиците беше твърде рано да празнуват победата си.

Топлото лято бързо свърши, дъждовната есен беше изоставена и дойде зимата. Уайлс написва и пренаписва окончателната версия на своето доказателство, но педантични колеги откриват все повече и повече неточности в работата му. И така, в началото на декември 1993 г., няколко дни преди ръкописът на Уайлс да отиде за печат, отново бяха открити сериозни пропуски в неговите доказателства. И тогава Уайлс осъзна, че не може да поправи нищо за ден или два. Това изискваше сериозно подобрение. Публикуването на произведението трябваше да бъде отложено. Уайлс се обърна към Тейлър за помощ. „Работата върху грешките“ отне повече от година. Окончателната версия на доказателството на хипотезата на Танияма, написано от Уайлс в сътрудничество с Тейлър, е публикувана едва през лятото на 1995 г.

За разлика от героя А. Маринина, Уайлс не кандидатства за Нобелова награда, но все пак... трябваше да получи някаква награда. Но кое? Уайлс вече беше на петдесет години по това време и златните медали на Фийлдс се присъждат строго до четиридесетгодишна възраст, когато пикът на творческата активност все още не е преминал. И тогава те решиха да създадат специална награда за Wiles - сребърната значка на Fields Committee. Тази значка му беше връчена на следващия конгрес по математика в Берлин.

От всички проблеми, които могат с по-голяма или по-малка вероятност да заемат мястото на последната теорема на Ферма, проблемът за най-близкото опаковане на топките има най-голям шанс. Проблемът с най-плътното опаковане на топките може да се формулира като проблемът как най-икономично да се сгънат портокали в пирамида. Младите математици са наследили тази задача от Йоханес Кеплер. Проблемът възниква през 1611 г., когато Кеплер написва кратко есе „За шестоъгълните снежинки“. Интересът на Кеплер към подреждането и самоорганизацията на частиците на материята го накара да обсъди друг въпрос - най-плътното опаковане на частиците, при което те заемат най-малък обем. Ако приемем, че частиците имат формата на топки, то е ясно, че както и да са разположени в пространството, между тях неизбежно ще останат празнини, а въпросът е обемът на празнините да се намали до минимум. В работата например се посочва (но не е доказано), че такава форма е тетраедър, координатните оси вътре в който определят основния ъгъл на ортогоналност 109°28", а не 90°. Този проблем е от голямо значение за физика на елементарните частици, кристалография и други клонове на природните науки.

Литература

1. Weil A. Елиптични функции според Айзенщайн и Кронекер. - М., 1978.

2. Соловьов Ю.П. Хипотезата на Танияма и последната теорема на Ферма // Образователно списание на Сорос. - № 2. - 1998. - С. 78-95.

3. Последната теорема на Сингх С. Ферма. Историята на една мистерия, която занимава най-добрите умове на света в продължение на 358 години / Прев. от английски Ю.А. Данилова. М.: МЦНМО. 2000. - 260 с.

4. Мирмович Е.Г., Усачева Т.В. Кватернионна алгебра и триизмерни ротации // Това списание № 1 (1), 2008. - С. 75-80.

Няма много хора в света, които никога не са чували за последната теорема на Ферма - може би това е единственият математически проблем, който е станал толкова широко известен и се е превърнал в истинска легенда. Споменава се в много книги и филми, а основният контекст на почти всички споменавания е невъзможността да се докаже теоремата.

Да, тази теорема е много известна и в известен смисъл се е превърнала в „идол“, боготворен от любители и професионални математици, но малко хора знаят, че нейното доказателство е намерено и това се случи през 1995 г. Но на първо място.

И така, последната теорема на Ферма (често наричана последната теорема на Ферма), формулирана през 1637 г. от брилянтния френски математик Пиер Ферма, е много проста по същество и разбираема за всеки със средно образование. Той казва, че формулата a на степен n + b на степен n = c на степен n няма естествени (т.е. не дробни) решения за n > 2. Всичко изглежда просто и ясно, но най-добрите математици и обикновените аматьори са се борили с търсенето на решение повече от три века и половина.

Защо е толкова известна? Сега ще разберем...

Има ли много доказани, недоказани и все още недоказани теореми? Въпросът тук е, че последната теорема на Ферма представлява най-големият контраст между простотата на формулировката и сложността на доказателството. Последната теорема на Ферма е невероятно трудна задача и въпреки това нейната формулировка може да бъде разбрана от всеки с ниво 5-ти клас. гимназия, но доказателството дори не е за всеки професионален математик. Нито във физиката, нито в химията, нито в биологията, нито в математиката няма нито един проблем, който да може да бъде формулиран толкова просто, но да остане нерешен толкова дълго. 2. От какво се състои?

Да започнем с Питагоровите панталони.Формулировката е наистина проста - на пръв поглед. Както знаем от детството, „Питагоровите панталони са еднакви от всички страни“. Проблемът изглежда толкова прост, защото се основаваше на математическо твърдение, което всички знаят - Питагоровата теорема: във всеки правоъгълен триъгълникквадрат, построен върху хипотенузата, равно на суматаквадрати, построени на крака.

През 5 век пр.н.е. Питагор основал Питагорейското братство. Питагорейците, наред с други неща, изучават цели тройки, които отговарят на равенството x²+y²=z². Те доказаха, че има безкрайно много Питагорови тройки и получиха общи формулида ги намериш. Вероятно са се опитали да търсят тройки или повече високи градуси. Убедени, че това не работи, питагорейците изоставят безполезните си опити. Членовете на братството бяха повече философи и естети, отколкото математици.

Тоест, лесно е да се избере набор от числа, които напълно отговарят на равенството x²+y²=z²

Започвайки от 3, 4, 5 - наистина младши ученик разбира, че 9 + 16 = 25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Страхотно.

И така, оказва се, че НЕ са. Тук започва уловката. Простотата е привидна, защото е трудно да се докаже не наличието на нещо, а напротив, липсата му. Когато трябва да докажете, че има решение, можете и трябва просто да представите това решение.

Доказването на липсата е по-трудно: например някой казва: такова и такова уравнение няма решения. Да го сложим в локва? лесно: бам - и ето го, решението! (дайте решение). И това е, противникът е победен. Как да докажа отсъствието?

Кажете: „Не намерих такива решения“? Или може би не изглеждаше добре? Ами ако съществуват, само много големи, много големи, такива, че дори супермощен компютър все още няма достатъчно сила? Ето това е трудното.

Това може да се покаже визуално по следния начин: ако вземете два квадрата с подходящи размери и ги разглобите на единични квадрати, тогава от тази група единични квадрати ще получите трети квадрат (фиг. 2):


Но нека направим същото с третото измерение (фиг. 3) - не работи. Няма достатъчно кубчета или са останали допълнителни:

Но математикът от 17-ти век, французинът Пиер дьо Ферма, ентусиазирано изследва общо уравнение x n +y n =z n. И накрая заключих: за n>2 няма цели решения. Доказателството на Ферма е безвъзвратно загубено. Горят ръкописи! Всичко, което остава, е неговата забележка в Аритметиката на Диофант: „Намерих наистина удивително доказателство за това твърдение, но полетата тук са твърде тесни, за да го поберат.“

Всъщност теорема без доказателство се нарича хипотеза. Но Ферма има репутацията на човек, който никога не прави грешки. Дори и да не е оставил доказателства за изявление, то впоследствие е потвърдено. Освен това Ферма доказва своята теза за n=4. Така хипотезата на френския математик влезе в историята като последната теорема на Ферма.

След Ферма такива велики умове като Леонхард Ойлер работят върху търсенето на доказателство (през 1770 г. той предлага решение за n = 3),

Адриен Лежандр и Йохан Дирихле (тези учени заедно намериха доказателството за n = 5 през 1825 г.), Габриел Ламе (който намери доказателството за n = 7) и много други. Към средата на 80-те години на миналия век стана ясно, че научният свят е на път към окончателното решение на последната теорема на Ферма, но едва през 1993 г. математиците прозряха и повярваха, че тривековната епопея на търсене на доказателство за Последната теорема на Ферма на практика беше приключила.

Лесно се показва, че е достатъчно да се докаже теоремата на Ферма само за просто n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... За съставно n доказателството остава валидно. Но има безкрайно много прости числа...

През 1825 г., използвайки метода на Софи Жермен, жените математици, Дирихле и Лежандр независимо доказват теоремата за n=5. През 1839 г., използвайки същия метод, французинът Габриел Ламе показа истинността на теоремата за n=7. Постепенно теоремата беше доказана за почти всички n по-малко от сто.

И накрая, немският математик Ернст Кумер в едно блестящо изследване показа, че теоремата като цяло не може да бъде доказана с помощта на методите на математиката от 19 век. Наградата на Френската академия на науките, учредена през 1847 г. за доказателството на теоремата на Ферма, остава неприсъдена.

През 1907 г. богатият немски индустриалец Пол Волфскел решава да посегне на живота си заради несподелена любов. Като истински германец той определи датата и часа на самоубийството: точно в полунощ. В последния ден направил завещание и написал писма до приятели и роднини. Нещата приключиха преди полунощ. Трябва да се каже, че Пол се интересуваше от математика. Тъй като нямаше какво друго да прави, той отиде в библиотеката и започна да чете известната статия на Kummer. Изведнъж му се стори, че Кумер е направил грешка в разсъжденията си. Волфскел започна да анализира тази част от статията с молив в ръце. Мина полунощ, дойде утрото. Празнината в доказателството е запълнена. И самата причина за самоубийството сега изглеждаше напълно смешна. Павел скъса прощалните си писма и пренаписа завещанието си.

Скоро той умира от естествена смърт. Наследниците бяха доста изненадани: 100 000 марки (повече от 1 000 000 сегашни лири стерлинги) бяха преведени по сметката на Кралското научно дружество в Гьотинген, което през същата година обяви конкурс за наградата Wolfskehl. 100 000 марки получи този, който докаже теоремата на Ферма. Нито пфениг не беше присъден за опровергаване на теоремата...

Повечето професионални математици смятат търсенето на доказателство на последната теорема на Ферма за безнадеждна задача и решително отказват да губят време за такова безполезно упражнение. Но аматьорите се забавляваха. Няколко седмици след съобщението, лавина от „доказателства“ удари университета в Гьотинген. Професор Е. М. Ландау, чиято отговорност беше да анализира изпратените доказателства, раздаде карти на своите студенти:

скъпи . . . . . . .

Благодаря ви, че ми изпратихте ръкописа с доказателството на последната теорема на Ферма. Първата грешка е на страница ... в ред... . Поради това цялото доказателство губи своята валидност.
Професор Е. М. Ландау

През 1963 г. Пол Коен, разчитайки на откритията на Гьодел, доказва неразрешимостта на един от двадесет и трите проблема на Хилберт – хипотезата за континуума. Ами ако последната теорема на Ферма също е неразрешима?! Но истинските фанатици на Великата теорема изобщо не бяха разочаровани. Появата на компютрите внезапно даде на математиците нов метод за доказване. След Втората световна война екипи от програмисти и математици доказаха последната теорема на Ферма за всички стойности на n до 500, след това до 1000 и по-късно до 10 000.

През 80-те години на миналия век Самюел Уагстаф вдигна границата до 25 000, а през 90-те години математиците обявиха, че последната теорема на Ферма е вярна за всички стойности на n до 4 милиона. Но ако извадите дори трилион трилиона от безкрайността, той няма да стане по-малък. Математиците не са убедени от статистиката. Да се ​​докаже Великата теорема означаваше да се докаже за ВСИЧКИ n, отиващи до безкрайност.

През 1954 г. двама млади японски приятели математици започват да изследват модулни форми. Тези форми генерират серии от числа, всяка със собствена серия. Случайно Танияма сравнява тези серии с серии, генерирани от елиптични уравнения. Съвпадаха! Но модулните форми са геометрични обекти, а елиптичните уравнения са алгебрични. Никога не е открита връзка между толкова различни обекти.

Въпреки това, след внимателно тестване, приятели изложиха хипотеза: всяко елиптично уравнение има близнак - модулна форма и обратно. Именно тази хипотеза стана основата на цяло направление в математиката, но докато не се докаже хипотезата на Танияма-Шимура, цялата сграда можеше да рухне всеки момент.

През 1984 г. Герхард Фрей показа, че решение на уравнението на Ферма, ако съществува, може да бъде включено в някакво елиптично уравнение. Две години по-късно професор Кен Рибет доказа, че това хипотетично уравнение не може да има аналог в модулния свят. Отсега нататък последната теорема на Ферма беше неразривно свързана с хипотезата на Танияма-Шимура. След като доказахме, че всяка елиптична крива е модулна, заключаваме, че няма елиптично уравнение с решение на уравнението на Ферма и последната теорема на Ферма ще бъде незабавно доказана. Но в продължение на тридесет години не беше възможно да се докаже хипотезата на Танияма-Шимура и оставаше все по-малко надежда за успех.

През 1963 г., когато е само на десет години, Андрю Уайлс вече е очарован от математиката. Когато научил за Великата теорема, той осъзнал, че не може да се откаже от нея. Като ученик, студент и аспирант той се подготвя за тази задача.

След като научил за откритията на Кен Рибет, Уайлс се впуснал с глава в доказването на хипотезата на Танияма-Шимура. Той реши да работи в пълна изолация и секретност. „Разбрах, че всичко, което има нещо общо с последната теорема на Ферма, предизвиква твърде голям интерес... Твърде много зрители очевидно пречат на постигането на целта.“ Седемте години упорит труд се отплатиха, Уайлс най-накрая завърши доказателството на предположението на Танияма-Шимура.

През 1993 г. английският математик Андрю Уайлс представи на света своето доказателство за последната теорема на Ферма (Уайлс прочете сензационната си статия на конференция в Института сър Исак Нютон в Кеймбридж.), Работата по която продължи повече от седем години.

Докато шумът продължава в пресата, започва сериозна работа за проверка на доказателствата. Всяко доказателство трябва да бъде внимателно проучено, преди да може да се счита за строго и точно. Уайлс прекара неспокойно лято в очакване на обратна връзка от рецензенти, надявайки се, че ще успее да спечели тяхното одобрение. В края на август експертите намериха присъдата за недостатъчно мотивирана.

Оказа се, че това решение съдържа груба грешка, въпреки че като цяло е правилно. Уайлс не се отказал, потърсил помощта на известния специалист по теория на числата Ричард Тейлър и още през 1994 г. публикували коригирано и разширено доказателство на теоремата. Най-удивителното е, че тази работа заема цели 130 (!) страници в математическото списание „Annals of Mathematics“. Но историята не свърши и дотук - крайната точка беше достигната едва през следващата 1995 г., когато беше публикувана окончателната и „идеална“, от математическа гледна точка, версия на доказателството.

„... половин минута след началото на празничната вечеря по случай нейния рожден ден, представих на Надя ръкописа на пълното доказателство“ (Андрю Уелс). Нали вече казах, че математиците са странни хора?

Този път нямаше съмнение относно доказателствата. Две статии бяха подложени на най-внимателен анализ и бяха публикувани през май 1995 г. в Annals of Mathematics.

От този момент мина много време, но в обществото все още има мнение, че последната теорема на Ферма е неразрешима. Но дори тези, които знаят за намереното доказателство, продължават да работят в тази посока – малцина са доволни, че Великата теорема изисква решение от 130 страници!

Ето защо сега усилията на много математици (предимно аматьори, а не професионални учени) са хвърлени в търсене на просто и кратко доказателство, но този път най-вероятно няма да доведе до никъде...

източник