Stupanj s racionalnim eksponentom
Skup racionalnih brojeva uključuje cijele i razlomke.
Definicija 1
Potencija broja $a$ s cjelobrojnim eksponentom $n$ je rezultat množenja broja $a$ samim sobom $n$ puta, i: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, za $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, za $n
Definicija 2
Potencija broja $a$ s razlomačkim eksponentom $\frac(m)(n)$ naziva se $n$-ti korijen od $a$ na potenciju od $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, gdje je $a>0 $, $n$ je prirodan broj, $m$ je cijeli broj.
Definicija 3
Potencija nule s razlomačkim eksponentom $\frac(m)(n)$ definira se na sljedeći način: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, gdje je $m$ cijeli broj, $m>0$, $n$ je prirodan broj.
Postoji još jedan pristup određivanju stupnja broja s razlomačkim eksponentom, koji pokazuje mogućnost postojanja stupnja negativnog broja ili negativnog razlomačkog eksponenta.
Na primjer, izrazi $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ ili $\sqrt((-7)^(-10))$ imaju smisla, stoga i izraze $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ i $(-7)^\frac(-10)(6) $ bi trebali imati smisla, dok, prema definiciji stupnja s eksponentom u obliku razlomka s negativnom bazom, oni ne postoje.
Dajmo još jednu definiciju:
Potencija $a$ s razlomačkim eksponentom $\frac(m)(n)$ naziva se $\sqrt[n](a^m)$ u sljedećim slučajevima:
Za bilo koji realni broj $a$, cijeli broj $m>0$ i neparan cijeli broj $n$.
Na primjer, $13,4^\frac(7)(3)=\sqrt(13,4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8 )$.
Za bilo koji realni broj različit od nule $a$, cijeli broj negativan $m$ i neparan $n$.
Na primjer, $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt(( -11) ^(-8))$.
Za bilo koji nenegativan broj $a$, prirodni broj $m$ pa čak i $n$.
Na primjer, $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.
Za bilo koji pozitivan $a$, cijeli broj negativan $m$ pa čak i $n$.
Na primjer, $13,4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13,4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3 ))$ .
Pod drugim uvjetima, stupanj s frakcijskim pokazateljem ne može se odrediti.
Na primjer, $(-13,4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13,4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4) = \sqrt((-11)^5)$.
Osim toga, u primjeni ove definicije važno je da frakcijski pokazatelj$\frac(m)(n)$ bio je nesvodivi razlomak.
Ozbiljnost ove opaske je u tome što će stupanj negativnog broja s razlomačkim reduciranim eksponentom, na primjer, $\frac(10)(14)$ biti pozitivan broj, a stupanj istog broja s već reduciranim eksponentom $\frac(5)(7)$ bit će negativan broj.
Na primjer, $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$ i $(-1)^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.
Dakle, kada se izvrši redukcija razlomka $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$, jednakost $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^ \ frac(5)(7)$.
Napomena 1
Valja napomenuti da se češće koristi prikladnija i jednostavnija prva definicija stupnja s eksponentom u obliku razlomka.
U slučaju pisanja razlomka kao mješovitog razlomka ili decimale potrebno je eksponent pretvoriti u oblik običnog razlomka.
Na primjer, $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.
Stupanj s iracionalnim i realnim eksponentom
DO važeći brojevi uključuju racionalne i iracionalne brojeve.
Analizirajmo koncept stupnja s iracionalnim eksponentom, jer stupanj s racionalnim eksponentom koji smo razmatrali.
Razmotrimo niz aproksimacija broja $\alpha$, koji su racionalni brojevi. Oni. imamo niz racionalnih brojeva $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, koji određuju broj $\alpha$ s bilo kojim stupnjem točnosti. Ako izračunamo potencije s ovim eksponentima $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, tada se ispostavlja da su ti brojevi aproksimacije neki broj $ b$.
Definicija 4
Potencija $a>0$ s iracionalnim eksponentom $\alpha$ je izraz $a^\alpha$ koji ima vrijednost jednaku limitu niza $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, gdje su $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja $\alpha$.
Izrazi, pretvorba izraza
Izrazi potencija (izrazi s potencijama) i njihova transformacija
U ovom ćemo članku govoriti o transformaciji izraza s potencijama. Prvo ćemo se usredotočiti na transformacije koje se izvode s izrazima bilo koje vrste, uključujući izraze snage, kao što su otvaranje zagrada, smanjenje sličnih izraza. Zatim ćemo analizirati transformacije svojstvene izrazima s ovlastima: rad s bazom i eksponentom, korištenje svojstava ovlasti itd.
Navigacija po stranici.
Što su izrazi snage?
Pojam "izrazi snage" praktički se ne nalazi u školskim udžbenicima matematike, ali se često pojavljuje u zbirkama problema, posebno dizajniranih za pripremu za Jedinstveni državni ispit i OGE, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima se zahtijeva izvršavanje bilo kakvih radnji s izrazima za potencije, postaje jasno da se izrazi za potencije podrazumijevaju kao izrazi koji u svojim unosima sadrže stupnjeve. Stoga za sebe možete uzeti sljedeću definiciju:
Definicija.
Izrazi moći su izrazi koji sadrže potencije.
Donesimo primjeri izraza snage. Štoviše, prikazat ćemo ih prema tome kako se odvija razvoj pogleda na stupanj s prirodnim pokazateljem prema stupnju s realnim pokazateljem.
Kao što znate, prvo se upoznajete sa stupnjem broja s prirodnim eksponentom, u ovoj fazi prvi najjednostavniji izrazi stepena tipa 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.
Nešto kasnije proučava se potencija broja s cijelim eksponentom, što dovodi do pojave potencijskih izraza s negativnim cijelim potencijama, poput sljedećih: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 + c 2 .
U višim razredima opet se vraćaju na stupnjeve. Tu se uvodi stupanj s racionalnim eksponentom, što dovodi do pojave odgovarajućih izraza za potenciju: 
, , 
i tako dalje. Konačno, razmatraju se stupnjevi s iracionalnim eksponentima i izrazi koji ih sadrže: , .
Stvar nije ograničena samo na navedene potencije: dalje varijabla prodire u eksponent, a tu su npr. takvi izrazi 2 x 2 +1 ili 
. A nakon upoznavanja počinju se pojavljivati izrazi s potencijama i logaritmima, na primjer, x 2 lgx −5 x lgx.
Dakle, shvatili smo pitanje što su izrazi moći. Zatim ćemo naučiti kako ih transformirati.
Glavne vrste transformacija izraza snage
S izrazima snage možete izvesti bilo koju od osnovnih transformacija identiteta izraza. Na primjer, možete proširiti zagrade, zamijeniti numeričke izraze njihovim vrijednostima, dodati slične pojmove i tako dalje. Naravno, u ovom slučaju potrebno je slijediti prihvaćeni postupak za izvođenje radnji. Navedimo primjere.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza za potenciju 2 3 ·(4 2 −12) .
Riješenje.
Prema redoslijedu radnji prvo izvodimo radnje u zagradi. Tu, prvo, zamjenjujemo stepen 4 2 njegovom vrijednošću 16 (pogledajte ako je potrebno), i drugo, izračunavamo razliku 16−12=4 . Imamo 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.
U dobivenom izrazu potenciju 2 3 zamijenimo njegovom vrijednošću 8 , nakon čega izračunamo umnožak 8·4=32 . Ovo je željena vrijednost.
Tako, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.
Odgovor:
2 3 (4 2 −12)=32 .
Primjer.
Pojednostavite izraze snage 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Riješenje.
Očito, ovaj izraz sadrži slične članove 3 · a 4 · b − 7 i 2 · a 4 · b − 7 , te ih možemo reducirati: .
Odgovor:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Primjer.
Izrazite izraz s moćima kao proizvod.
Riješenje.
Nositi se sa zadatkom omogućuje predstavljanje broja 9 kao potencije 3 2 i naknadno korištenje skraćene formule množenja, razlike kvadrata: 
Odgovor:
Također postoji niz identičnih transformacija svojstvenih izrazima moći. Zatim ćemo ih analizirati.
Rad s bazom i eksponentom
Postoje stupnjevi u čijoj osnovi i / ili indikatoru nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer, napišimo (2+0,3 7) 5−3,7 i (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .
U radu s takvim izrazima moguće je i izraz u bazi stupnja i izraz u indikatoru zamijeniti identično jednakim izrazom na DPV njegovih varijabli. Drugim riječima, prema nama poznatim pravilima, možemo zasebno pretvoriti bazu stupnja, a zasebno - indikator. Jasno je da se kao rezultat ove transformacije dobiva izraz koji je identično jednak izvornom.
Takve nam transformacije omogućuju pojednostavljenje izraza s moćima ili postizanje drugih ciljeva koji su nam potrebni. Na primjer, u izrazu za potenciju (2+0,3 7) 5−3,7 koji je gore spomenut, možete izvoditi operacije s brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti da idete na potenciju od 4,1 1,3. A nakon otvaranja zagrada i dovođenja sličnih članova u bazu stupnja (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dobivamo potencijski izraz jednostavnijeg oblika a 2·(x+1 ) .
Korištenje svojstava snage
Jedan od glavnih alata za transformaciju izraza s potencijama su jednakosti koje odražavaju . Prisjetimo se glavnih. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realni brojevi r i s imaju sljedeća svojstva stupnjeva:
- a r a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a b) r = a r b r;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r s .
Imajte na umu da za prirodne, cijele i pozitivne eksponente ograničenja brojeva a i b možda nisu tako stroga. Na primjer, za prirodne brojeve m i n jednakost a m ·a n =a m+n vrijedi ne samo za pozitivne a , nego i za negativne, te za a=0 .
U školi je glavna pažnja u transformaciji izraza moći usmjerena upravo na sposobnost odabira odgovarajućeg svojstva i njegove pravilne primjene. U ovom slučaju, baze stupnjeva su obično pozitivne, što vam omogućuje korištenje svojstava stupnjeva bez ograničenja. Isto vrijedi i za transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama stupnjeva - raspon prihvatljivih vrijednosti varijabli obično je takav da baze na njemu uzimaju samo pozitivne vrijednosti, što vam omogućuje slobodno korištenje svojstava stupnjeva. Općenito, morate se stalno pitati je li moguće primijeniti neko svojstvo stupnjeva u ovom slučaju, jer netočna uporaba svojstava može dovesti do sužavanja ODZ-a i drugih nevolja. O ovim točkama raspravlja se detaljno i s primjerima u članku transformacija izraza pomoću svojstava stupnjeva. Ovdje ćemo se ograničiti na nekoliko jednostavnih primjera.
Primjer.
Izrazi a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 kao potenciju s bazom a .
Riješenje.
Prvo transformiramo drugi faktor (a 2) −3 pomoću svojstva podizanja potencije na potenciju: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. U ovom slučaju, početni izraz snage će imati oblik a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Očito, preostaje koristiti svojstva množenja i dijeljenja potencija s istom bazom, koju imamo
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Odgovor:
a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.
Svojstva potencije se koriste pri transformaciji izraza potencije i slijeva na desno i s desna na lijevo.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza za potenciju.
Riješenje.
Jednakost (a·b) r =a r ·b r , primijenjena s desna na lijevo, omogućuje vam prijelaz od izvornog izraza do produkta oblika i dalje. A kada se potencije množe s istom bazom, indikatori se zbrajaju: 
.
Bilo je moguće izvršiti transformaciju izvornog izraza na drugi način: 
Odgovor:
.
Primjer.
Zadan je izraz snage a 1,5 −a 0,5 −6 , unesite novu varijablu t=a 0,5 .
Riješenje.
Stupanj a 1,5 može se prikazati kao a 0,5 3 i dalje na temelju svojstva stupnja u stupnju (a r) s =a r s primijenjeno s desna na lijevo pretvoriti u oblik (a 0,5) 3 . Tako, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sada je lako uvesti novu varijablu t=a 0,5 , dobivamo t 3 −t−6 .
Odgovor:
t 3 −t−6 .
Pretvaranje razlomaka koji sadrže potencije
Izrazi potencije mogu sadržavati razlomke s potencijama ili predstavljati takve razlomke. Sve osnovne transformacije razlomaka koje su svojstvene razlomcima bilo koje vrste u potpunosti su primjenjive na takve razlomke. Odnosno, razlomke koji sadrže stupnjeve moguće je reducirati, svesti na novi nazivnik, raditi zasebno s brojnikom i zasebno s nazivnikom itd. Za ilustraciju gornjih riječi, razmotrite rješenja nekoliko primjera.
Primjer.
Pojednostavite Power Expression 
.
Riješenje.
Ovaj izraz snage je razlomak. Radimo s njegovim brojnikom i nazivnikom. U brojniku otvaramo zagrade i tako dobiveni izraz pojednostavljujemo pomoću svojstava potencija, a u nazivniku prikazujemo slične pojmove: 
Također mijenjamo predznak nazivnika stavljanjem minusa ispred razlomka: 
.
Odgovor:
.
Redukcija sadržanih potencija razlomaka na novi nazivnik provodi se slično redukciji na novi nazivnik racionalni razlomci. Istodobno se pronalazi i dodatni faktor i s njim se množe brojnik i nazivnik razlomka. Prilikom izvođenja ove radnje, vrijedi zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja DPV-a. Da se to ne dogodi, potrebno je da dodatni faktor ne nestane ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za izvorni izraz.
Primjer.
Dovedite razlomke na novi nazivnik: a) na nazivnik a, b) 
na nazivnik.
Riješenje.
a) U ovom slučaju vrlo je lako shvatiti koji dodatni faktor pomaže u postizanju željenog rezultata. Ovo je faktor a 0,3 jer je a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Imajte na umu da na rasponu prihvatljivih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva), stupanj a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo pomnožiti brojnik i nazivnik zadanog razlomka ovim dodatnim faktorom: 
b) Promatrajući pomnije nazivnik, nalazimo da 
i množenjem ovog izraza s dat će se zbroj kubova i , odnosno . A ovo je novi nazivnik na koji trebamo dovesti izvorni razlomak.
Tako smo pronašli dodatni faktor. Izraz ne nestaje u rasponu prihvatljivih vrijednosti varijabli x i y, stoga njime možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka: 
Odgovor:
A) 
, b) 
.
Također nema ništa novo u redukciji razlomaka koji sadrže stupnjeve: brojnik i nazivnik su predstavljeni kao određeni broj faktora, a isti faktori brojnika i nazivnika su reducirani.
Primjer.
Smanjite razlomak: a) 
, b).
Riješenje.
a) Prvo, brojnik i nazivnik mogu se smanjiti brojevima 30 i 45, što je jednako 15. Također, očito, možete smanjiti za x 0,5 +1 i za 
. Evo što imamo: 
b) U ovom slučaju isti faktori u brojniku i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morate izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje u rastavljanju nazivnika na faktore prema formuli razlike kvadrata: 
Odgovor:
A) 
b) 
.
Svođenje razlomaka na novi nazivnik i svođenje razlomaka uglavnom se koristi za izvođenje operacija na razlomcima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Pri zbrajanju (oduzimanju) razlomci se svode na zajednički nazivnik, nakon čega se brojnici zbrajaju (oduzimaju), a nazivnik ostaje isti. Rezultat je razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika. Dijeljenje razlomkom je množenje njegovim recipročnim iznosom.
Primjer.
Prati korake 
.
Riješenje.
Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih pod zajednički nazivnik, a to je 
, zatim oduzmite brojnike: 
Sada množimo razlomke: 
Očito je moguće smanjenje za potenciju x 1/2, nakon čega imamo 
.
Također možete pojednostaviti izraz snage u nazivniku pomoću formule razlike kvadrata: 
.
Odgovor:
Primjer.
Pojednostavite Power Expression 
.
Riješenje.
Očito, ovaj razlomak se može smanjiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak 
. Jasno je da još nešto treba učiniti s potencijama x. Da bismo to učinili, pretvaramo dobiveni ulomak u proizvod. To nam daje mogućnost da koristimo svojstvo dijeljenja potencija s istim bazama: 
. I na kraju procesa iz kojeg prolazimo posljednji rad na razlomak.
Odgovor:
.
I dodajemo da je moguće iu mnogim slučajevima poželjno faktore s negativnim eksponentima prenijeti iz brojnika u nazivnik ili iz nazivnika u brojnik promjenom predznaka eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju daljnje radnje. Na primjer, izraz snage može se zamijeniti s .
Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama
Često se u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, uz stupnjeve s razlomačkim eksponentima, nalaze i korijeni. Da bi se takav izraz pretvorio u željeni oblik, u većini slučajeva dovoljno je ići samo na korijene ili samo na potencije. Ali budući da je prikladnije raditi sa stupnjevima, oni se obično kreću od korijena do stupnjeva. Međutim, preporučljivo je izvršiti takav prijelaz kada vam ODZ varijabli za izvorni izraz omogućuje zamjenu korijena stupnjevima bez potrebe za pristupom modulu ili dijeljenjem ODZ u nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u članak, prijelaz s korijena na potencije i obrnuto. Nakon upoznavanja sa stupnjem s racionalnim eksponentom uvodi se stupanj s iracionalnim indikatorom, čime se može govoriti o stupnju s proizvoljnim realnim indikatorom. škola počinje učiti eksponencijalna funkcija, koji je analitički dan stupnjem, u čijoj je osnovi broj, a u pokazatelju - varijabla. Dakle, suočeni smo s potencijskim izrazima koji sadrže brojeve u bazi stupnja, au eksponentu - izraze s varijablama, te se prirodno javlja potreba za izvođenjem transformacija takvih izraza.
Treba reći da se transformacija izraza navedenog tipa obično mora izvršiti prilikom rješavanja eksponencijalne jednadžbe I eksponencijalne nejednakosti, a te su transformacije vrlo jednostavne. U velikoj većini slučajeva oni se temelje na svojstvima stupnja i uglavnom su usmjereni na uvođenje nove varijable u budućnosti. Jednadžba će nam omogućiti da ih demonstriramo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Najprije se eksponenti u čijim se eksponentima nalazi zbroj neke varijable (ili izraza s varijablama) i broja zamjenjuju umnošcima. Ovo se odnosi na prvi i zadnji član izraza na lijevoj strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Zatim se obje strane jednakosti dijele s izrazom 7 2 x , koji uzima samo pozitivne vrijednosti na ODZ varijabli x za izvornu jednadžbu (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ove vrste, ne govorimo o to sada, stoga se usredotočite na naknadne transformacije izraza s ovlastima ): 
Sada se razlomci s potencijama poništavaju, što daje 
.
Na kraju se omjer potencija s istim eksponentima zamjenjuje potencijama omjera, što dovodi do jednadžbe 
, što je ekvivalentno 
. Provedene transformacije omogućuju nam uvođenje nove varijable, koja rješenje izvorne eksponencijalne jednadžbe svodi na rješenje kvadratne jednadžbe
Izraz a n (potencija s cjelobrojnim eksponentom) bit će definiran u svim slučajevima, osim u slučaju kada je a = 0 i n manji ili jednak nuli.
Svojstva stupnja
Glavna svojstva stupnjeva s cjelobrojnim eksponentom:
a m *a n = a (m+n) ;
a m: a n \u003d a (m-n) (sa a nije jednako nuli);
(a m) n = a (m*n) ;
(a*b) n = a n * b n ;
(a/b) n = (a n)/(b n) (za b nije jednako nuli);
a 0 = 1 (kada a nije jednako nuli);
Ova svojstva će vrijediti za sve brojeve a, b i bilo koje cijele brojeve m i n. Također je vrijedno napomenuti sljedeće svojstvo:
Ako je m>n, tada je a m > a n, za a>1 i a m
Moguće je generalizirati koncept stupnja broja na slučajeve u kojima racionalni brojevi djeluju kao eksponenti. Pritom bih volio da su ispunjena sva navedena svojstva ili barem neka od njih.
Na primjer, ako se svojstvo (a m) n = a (m*n) izvrši, sljedeća jednakost bi bila istinita:
(a (m/n)) n = a m .
Ova jednakost znači da broj a (m/n) mora biti n-ti korijen broja a m .
Potencija nekog broja a (većeg od nule) s racionalnim eksponentom r = (m/n), gdje je m neki cijeli broj, n neki prirodni broj veći od jedan, naziva se broj n√(a m). Na temelju definicije: a (m/n) = n√(a m).
Za sve pozitivne r odredit će se potencija nule. Po definiciji, 0 r = 0. Također primjećujemo da za bilo koji cijeli broj, svaki prirodni m i n, i pozitivan A vrijedi sljedeća jednakost: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .
Na primjer: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .
Definicija stupnja s racionalnim eksponentom izravno implicira činjenicu da će za bilo koje pozitivno a i bilo koje racionalno r broj a r biti pozitivan.
Osnovna svojstva stupnja s racionalnim eksponentom
Za sve racionalne brojeve p, q i bilo koje a>0 i b>0 vrijede sljedeće jednakosti:
1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;
2. (a p): (b q) = a (p-q) ;
3. (a p) q = a (p*q) ;
4. (a*b) p = (a p)*(b p);
5. (a/b) p = (a p)/(b p).
Ta svojstva slijede iz svojstava korijena. Sva ova svojstva dokazuju se na sličan način, pa se ograničavamo na dokazivanje samo jednog od njih, npr. prvog (a p)*(a q) = a (p + q) .
Neka je p = m/n i q = k/l, gdje su n, l neki prirodni brojevi, a m, k neki cijeli brojevi. Zatim morate dokazati da:
(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .
Prvo dovodimo razlomke m/n k/l na zajednički nazivnik. Dobivamo razlomke (m*l)/(n*l) i (k*n)/(n*l). Prepisujemo lijevu stranu jednadžbe koristeći ove oznake i dobivamo:
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).
(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .
Video lekcija "Stupanj s racionalnim pokazateljem" sadrži vizualni prikaz obrazovni materijal predavati na ovu temu. Video tutorial sadrži informacije o konceptu stupnja s racionalnim eksponentom, svojstvima takvih stupnjeva, kao i primjere koji opisuju korištenje obrazovnog materijala za rješavanje praktičnih problema. Zadatak ove video lekcije je vizualno i jasno predstaviti obrazovni materijal, olakšati njegovo razvijanje i pamćenje učenicima, formirati sposobnost rješavanja problema koristeći naučene pojmove.
Glavne prednosti video lekcije su mogućnost vizualnih transformacija i izračuna, mogućnost korištenja animacijskih efekata za poboljšanje učinkovitosti učenja. Glasovna pratnja pomaže u razvoju ispravnog matematičkog govora, a također omogućuje zamjenu učiteljevog objašnjenja, oslobađajući ga za individualni rad.
Video vodič počinje predstavljanjem teme. Povezivanje studija nova tema uz prethodno proučeno gradivo, predlaže se podsjetiti da se n √ a inače označava s 1/n za prirodni n i pozitivno a. Ovaj prikaz n-korijena prikazan je na ekranu. Nadalje, predlaže se razmotriti što znači izraz a m / n, u kojem je a pozitivan broj, a m / n neki razlomak. Definicija stupnja istaknutog u okviru dana je s racionalnim eksponentom kao m/n = n √ a m . Napominje se da n može biti prirodni broj, a m je cijeli broj.
Nakon određivanja stupnja s racionalnim eksponentom, njegovo značenje otkrivaju primjeri: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Također je prikazan primjer u kojem stupanj predstavljen sa decimal, pretvara se u obični razlomak koji se predstavlja kao korijen: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i primjer s negativnom vrijednošću eksponenta: 3 -1 / 8 \u003d 8 √3 -1.
Zasebno je naznačeno obilježje određenog slučaja kada je baza stupnja nula. Napominje se da ovaj stupanj ima smisla samo s pozitivnim razlomačkim eksponentom. U ovom slučaju, njegova vrijednost je jednaka nuli: 0 m/n =0.
Napominje se još jedna značajka stupnja s racionalnim eksponentom - da se stupanj s razlomačkim eksponentom ne može smatrati s razlomačkim eksponentom. Navedeni su primjeri netočnog zapisa stupnja: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .
Dalje u video lekciji razmatraju se svojstva stupnja s racionalnim eksponentom. Napominje se da će svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom vrijediti i za stupanj s racionalnim eksponentom. Predlaže se podsjetiti na popis svojstava koja također vrijede u ovom slučaju:
- Pri množenju snaga s istim bazama, njihovi se pokazatelji zbrajaju: a p a q \u003d a p + q.
- Podjela stupnjeva s istim bazama svodi se na stupanj sa zadanom bazom i razlikom eksponenata: a p:a q =a p-q .
- Ako potenciju podignemo na neku potenciju, tada kao rezultat dobivamo potenciju sa zadanom bazom i umnoškom eksponenata: (a p) q =a pq .
Sva ova svojstva vrijede za potencije s racionalnim eksponentima p, q i pozitivnom bazom a>0. Također, transformacije stupnjeva ostaju istinite kada se otvore zagrade:
- (ab) p =a p b p - dizanje umnoška dvaju brojeva na određenu potenciju s racionalnim eksponentom svodi se na umnožak brojeva od kojih je svaki podignut na zadanu potenciju.
- (a/b) p =a p /b p - potenciranje s racionalnim eksponentom razlomka svodi se na razlomak čiji su brojnik i nazivnik podignuti na zadanu potenciju.
Video tutorial govori o rješavanju primjera koji koriste razmatrana svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. U prvom primjeru predlaže se pronalaženje vrijednosti izraza koji sadrži varijable x na razlomačku potenciju: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Unatoč složenosti izraza, korištenjem svojstava stupnjeva, rješava se prilično jednostavno. Rješenje zadatka započinje pojednostavljenjem izraza, pri čemu se koristi pravilo dizanja stupnja s racionalnim eksponentom na potenciju, kao i množenje potencija s istom bazom. Nakon zamjene zadane vrijednosti x=8 u pojednostavljeni izraz x 1/3 +48, lako je dobiti vrijednost - 50.
U drugom primjeru potrebno je reducirati razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže potencije s racionalnim eksponentom. Koristeći svojstva stupnja, odabiremo faktor x 1/3 iz razlike, koji se zatim smanjuje u brojniku i nazivniku, a korištenjem formule razlike kvadrata, brojnik se rastavlja na faktore, što daje više redukcija isti faktori u brojniku i nazivniku. Rezultat takvih transformacija je kratki razlomak x 1/4 +3.
Video lekcija "Stupanj s racionalnim pokazateljem" može se koristiti umjesto nastavnika koji objašnjava novu temu lekcije. Također, ovaj priručnik sadrži dovoljno informacija za samostalno istraživanje student. Materijal može biti koristan u učenju na daljinu.
MBOU "Sidorskaya
sveobuhvatna škola"
Izrada nacrta plana otvorena lekcija
iz algebre u 11. razredu na temu:
Pripremljeno i provedeno
učitelj matematike
Iskhakova E.F.
Nacrt otvorenog sata iz algebre u 11. razredu.
Predmet : "Stupanj s racionalnim eksponentom".
Vrsta lekcije : Učenje novog gradiva
Ciljevi lekcije:
Upoznati studente s pojmom stupnja s racionalnim indikatorom i njegovim glavnim svojstvima, na temelju prethodno proučenog gradiva (stepen s cjelobrojnim indikatorom).
Razviti računalne vještine i sposobnost pretvorbe i usporedbe brojeva s racionalnim eksponentom.
Njegovati matematičku pismenost i interes za matematiku kod učenika.
Oprema : Kartice sa zadacima, prezentacija učenika o stupnju s cjelobrojnim pokazateljem, prezentacija nastavnika o stupnju s racionalnim pokazateljem, prijenosno računalo, multimedijski projektor, ekran.
Tijekom nastave:
Organiziranje vremena.
Provjera usvojenosti teme obuhvaćene pojedinačnim karticama zadataka.
Zadatak broj 1.
=2;
B) = x + 5;
Riješite sustav iracionalne jednadžbe: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
Zadatak broj 2.
Riješite iracionalnu jednadžbu: 
= - 3;
B) = x - 2;
Riješite sustav iracionalnih jednadžbi: 2 + = 8,
3 - 2 = - 2.
Predstavljanje teme i ciljeva lekcije.
Tema naše današnje lekcije Stupanj s racionalnim eksponentom».
Objašnjenje novog gradiva na primjeru prethodno proučenog.
Već ste upoznati s konceptom stupnja s cjelobrojnim eksponentom. Tko mi može pomoći da ih se sjetim?
Ponavljanje s prezentacijom Stupanj s cjelobrojnim eksponentom».
Za sve brojeve a , b i bilo koje cijele brojeve m i n vrijede jednakosti:
a m * a n = a m + n;
a m: a n = a m-n (a ≠ 0);
(am) n = a mn ;
(a b) n = a n * b n;
(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;
a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)
Danas ćemo generalizirati pojam stupnja broja i dati značenje izrazima koji imaju razlomački eksponent. Predstavimo se definicija stupnjevi s racionalnim pokazateljem (Prezentacija "Stupanj s racionalnim pokazateljem"):
Stupanj a > 0 s racionalnim eksponentom r = , Gdje m je cijeli broj, i n - prirodno ( n > 1), nazvao broj m .
Dakle, po definiciji, to dobivamo = m .
Pokušajmo primijeniti ovu definiciju pri izvođenju zadatka.
PRIMJER #1
Izražavam kao korijen broja izraz:
A) B) U) .
Sada pokušajmo primijeniti ovu definiciju obrnuto
II Izrazi izraz kao potencija s racionalnim eksponentom:
A) 2 B) U) 5 .
Potencija 0 definirana je samo za pozitivne eksponente.
0 r= 0 za bilo koju r> 0.
Koristeći ovu definiciju, Kuće ispunit ćete #428 i #429.
Pokažimo sada da gornja definicija stupnja s racionalnim eksponentom zadržava osnovna svojstva stupnjeva koja vrijede za bilo koji eksponent.
Za bilo koje racionalne brojeve r i s i bilo koje pozitivne a i b vrijede jednakosti:
1 0 . a r a s =a r+s ;
PRIMJER: *
20 . a r: a s =a r-s ;
PRIMJER: :
3 0 . (a r) s = a rs;
PRIMJER: ( -2/3
4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .
PRIMJER: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2
PRIMJER korištenja nekoliko svojstava odjednom: * : .
Fizkultminutka.
Stavili smo olovke na stol, ispravili poleđine, a sada pružamo ruku naprijed, želimo dotaknuti ploču. A sada smo se podigli i nagnuli desno, lijevo, naprijed, nazad. Pokazali su mi olovke, a sad mi pokaži kako tvoji prsti mogu plesati.
Rad na materijalu
Napominjemo još dva svojstva potencija s racionalnim eksponentima:
60 . Neka r je racionalan broj i 0< a < b . Тогда
a r < b r na r> 0,
a r < b r na r< 0.
7 0 . Za sve racionalne brojever I s od nejednakosti r> s slijedi to
a r> a r za a > 1,
a r < а r na 0< а < 1.
PRIMJER: Usporedite brojeve:
I ; 2 300 i 3 200 .
Sažetak lekcije:
Danas smo se na satu prisjetili svojstava stupnja s cjelobrojnim eksponentom, naučili definiciju i osnovna svojstva stupnja s racionalnim eksponentom, razmatrali primjenu ovog teorijskog gradiva u praksi prilikom izvođenja vježbi. Želim vam skrenuti pozornost na činjenicu da je tema "Stupanj s racionalnim pokazateljem" obavezna u USE zadaci. U pripremi domaća zadaća ( br. 428 i br. 429
