Fermatov posljednji teorem Singh Simon

"Je li Fermatov posljednji teorem dokazan?"

Bio je to samo prvi korak prema dokazivanju Taniyama-Shimura pretpostavke, ali Wilesova strategija bila je briljantan matematički pomak, rezultat koji je zaslužio biti objavljen. Ali zbog Wilesovog samonametnutog zavjeta šutnje, nije mogao reći ostatku svijeta o svom rezultatu i nije imao pojma tko bi drugi mogao napraviti jednako značajan iskorak.

Wiles se prisjeća svog filozofskog stava prema svakom potencijalnom izazivaču: “Nitko ne želi potrošiti godine dokazujući nešto i otkriti da je netko drugi uspio pronaći dokaz nekoliko tjedana ranije. Ali, začudo, budući da sam pokušavao riješiti problem koji se u biti smatrao nerješivim, nisam se previše bojao suparnika. Samo nisam očekivao da ću ja ili bilo tko drugi doći na ideju koja bi dovela do dokaza.”

Dana 8. ožujka 1988. Wiles je bio šokiran kada je na naslovnicama novina vidio naslove ispisane velikim slovima koji su glasili: "Dokazan Fermatov posljednji teorem." Washington Post i New York Times objavili su da je tridesetosmogodišnji Yoichi Miyaoka sa sveučilišta Tokyo Metropolitan riješio najteži matematički problem na svijetu. Miyaoka još nije objavio svoj dokaz, ali je iznio njegov napredak na seminaru na Institutu za matematiku Max Planck u Bonnu. Don Tsagir, koji je bio prisutan na Miyaokinom govoru, izrazio je optimizam matematičke zajednice u sljedeće riječi: “Dokaz koji je iznio Miyaoka iznimno je zanimljiv, a neki matematičari smatraju da postoji velika vjerojatnost da je točan. Još nismo potpuno sigurni, ali zasad dokazi izgledaju vrlo ohrabrujuće.”

Govoreći na seminaru u Bonnu, Miyaoka je govorio o svom pristupu rješavanju problema koji je razmatrao s potpuno drugačijeg, algebarsko-geometrijskog stajališta. Tijekom proteklih desetljeća geometri su postigli duboko i suptilno razumijevanje matematičkih objekata, posebice svojstava površina. Ruski matematičar S. Arakelov 70-ih godina pokušao je uspostaviti paralele između problema algebarske geometrije i problema teorije brojeva. To je bio jedan od smjerova Langlandsova programa i matematičari su se nadali da bi se neriješeni problemi u teoriji brojeva mogli riješiti proučavanjem odgovarajućih problema u geometriji, koji su također ostali neriješeni. Ovaj program bio je poznat kao filozofija paralelizma. Oni algebarski geometri koji su pokušavali riješiti probleme u teoriji brojeva nazvani su "aritmetički algebarski geometri". Godine 1983. najavili su svoju prvu značajnu pobjedu kada je Gerd Faltings s Princetonskog instituta za napredne studije dao značajan doprinos razumijevanju Fermatovog teorema. Podsjetimo se da je, prema Fermatu, jednadžba

na n veći od 2 nema rješenja u cijelim brojevima. Faltings je odlučio da je napredovao u dokazivanju Fermatovog posljednjeg teorema proučavanjem geometrijske površine povezana s različitim značenjima n. Površine povezane s Fermatovim jednadžbama za različite vrijednosti n, međusobno se razlikuju, ali imaju jedno zajedničko vlasništvo- svi imaju prolazne rupe, ili, jednostavno rečeno, rupe. Te su plohe četverodimenzionalne, baš kao i grafovi modularnih oblika. Dvodimenzionalni presjeci dviju površina prikazani su na sl. 23. Površine povezane s Fermatovom jednadžbom izgledaju slično. Što je vrijednost veća n u jednadžbi, što je više rupa na odgovarajućoj površini.

Riža. 23. Ove dvije površine dobivene su pomoću računalnog programa Mathematica. Svaka od njih predstavlja geometrijsko mjesto točaka koje zadovoljavaju jednadžbu x n + y n = z n(za površinu s lijeve strane n=3, za površinu s desne strane n=5). Varijable x I g ovdje se smatraju složenima

Faltings je uspio dokazati da, budući da takve površine uvijek imaju nekoliko rupa, povezana Fermatova jednadžba može imati samo konačan skup cjelobrojnih rješenja. Broj rješenja može biti bilo koji - od nule, kako je pretpostavio Fermat, do milijun ili milijardu. Dakle, Faltings nije dokazao posljednji Fermatov teorem, ali je barem uspio odbaciti mogućnost da Fermatova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja.

Pet godina kasnije, Miyaoka je izvijestio da je otišao korak dalje. Bio je tada u ranim dvadesetima. Miyaoka je formulirao hipotezu o nekoj nejednakosti. Postalo je jasno da bi dokazivanje njegove geometrijske pretpostavke značilo dokazivanje da broj rješenja Fermatove jednadžbe nije samo konačan, već jednak nuli. Miyaokin pristup bio je sličan Wilesovom po tome što su obojica pokušali dokazati Fermatov posljednji teorem povezujući ga s temeljnom hipotezom u drugoj grani matematike. Za Miyaoku je to bila algebarska geometrija; za Wilesa je put do dokaza ležao kroz eliptične krivulje i modularne forme. Na veliku Wilesovu žalost, on se još uvijek borio da dokaže Taniyama-Shimura pretpostavku kada je Miyaoka tvrdio da ima potpuni dokaz svoje vlastite pretpostavke i, prema tome, Fermatovog posljednjeg teorema.

Dva tjedna nakon svog govora u Bonnu, Miyaoka je objavio pet stranica izračuna koji su činili srž njegovog dokaza, te je počelo temeljito ispitivanje. Teoretičari brojeva i stručnjaci za algebarsku geometriju diljem svijeta proučavali su, red po red, objavljivali izračune. Nekoliko dana kasnije, matematičari su otkrili jednu kontradikciju u dokazu koja nije mogla ne izazvati zabrinutost. Jedan dio Miyaokina rada doveo je do izjave iz teorije brojeva, koja je, prevedena na jezik algebarske geometrije, proizvela izjavu koja je proturječila rezultatu dobivenom nekoliko godina ranije. Iako to nije nužno poništilo cijeli Miyaokin dokaz, proturječje koje je otkriveno nije se uklapalo u filozofiju paralelizma između teorije brojeva i geometrije.

Još dva tjedna kasnije, Gerd Faltings, koji je otvorio put Miyaokeu, objavio je da je otkrio točan uzrok očitog kršenja paralelizma - prazninu u razmišljanju. Japanski matematičar bio je geometar i nije bio posve rigorozan kada je svoje ideje preveo na manje poznato područje teorije brojeva. Vojska teoretičara brojeva bjesomučno se trudila začepiti rupu u Miyaokinom dokazu, ali uzalud. Dva mjeseca nakon što je Miyaoka tvrdio da ima potpuni dokaz Fermatovog posljednjeg teorema, matematička zajednica je došla do jednoglasnog zaključka: Miyaokin dokaz je osuđen na neuspjeh.

Kao i kod prethodnih neuspjelih dokaza, Miyaoka je uspio dobiti mnoge zanimljive rezultate. Neki fragmenti njegovog dokaza bili su vrijedni pažnje kao vrlo domišljate primjene geometrije na teoriju brojeva, au narednim su ih godinama drugi matematičari koristili za dokazivanje nekih teorema, ali nitko nije uspio dokazati Fermatov posljednji teorem na ovaj način.

Bjes oko Fermatovog posljednjeg teorema ubrzo je utihnuo, a novine su objavile kratke obavijesti da je tristo godina stara zagonetka još uvijek neriješena. Sljedeći natpis pojavio se na zidu postaje podzemne željeznice u Osmoj ulici u New Yorku, bez sumnje inspiriran medijskim izvještavanjem o Fermatovom posljednjem teoremu: "Eq. xn + god = zn nema rješenja. Pronašao sam zaista nevjerojatan dokaz ove činjenice, ali ne mogu ga ovdje zapisati jer je moj vlak stigao.”

Deseto poglavlje FARMA KROKODILA Vozili su se slikovitom cestom u starom Johnovom autu, sjedeći na stražnjim sjedalima. Za volanom je bio crni vozač u svijetloj košulji s bizarno ošišanom glavom. Na njegovoj obrijanoj lubanji stajali su grmovi crne kose tvrde kao žica, logika

Pripreme za utrku. Alaska, Linda Pletner's Iditarod Farm je godišnja utrka pasa zaprega na Aljasci. Dužina rute je 1150 milja (1800 km). Ovo je najduža utrka pasa na svijetu. Start (ceremonijalni) - 4. ožujka 2000. iz Anchoragea. Početak

Farma koza Ljeti ima puno posla na selu. Kada smo posjetili selo Khomutets, tamo se kosilo sijeno i činilo se da mirisni valovi svježe pokošenog bilja prožimaju sve oko sebe.Bilje treba kositi na vrijeme da ne prezre, tada će se sačuvati sve vrijedno i hranjivo u njima. Ovaj

Ljetna farma Slamka, poput munje iz ruke, staklo u travu; Drugi je, potpisavši se na ogradi, zapalio vatru zelene čaše vode u koritu za konje. U modri suton Devet pataka lutaju, njišući se, kolotečinom u duhu paralelnih linija. Ovdje kokoš bulji u ništa sama

Srušena farma Mirno sunce, kao tamnocrveni cvijet, K zemlji se spustilo, u zalasku raslo, Ali zastor noći u besposlenoj snazi ​​Navukao je svijet, uznemiren pogledom. Na farmi bez krova vladala je tišina, Kao da joj je netko počupao kosu, Svađali se oko kaktusa.

Farma ili farma? Dana 13. veljače 1958. sve središnje moskovske, a potom i regionalne novine objavile su odluku Centralnog komiteta Komunističke partije Ukrajine „O pogrešci pri kupnji krava od poljoprivrednika u regiji Zaporožje“. Nismo čak ni govorili o cijeloj regiji, već o dva njezina okruga: Primorskom

Fermatov problem Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. “U školi sam volio rješavati zadatke, nosio sam ih kući i iz svakog problema smišljao nove. Ali najveći problem s kojim sam se ikad susreo bio je u lokalu

Od Pitagorinog teorema do Fermatovog posljednjeg teorema O Pitagorinom teoremu i beskonačnom broju Pitagorinih trojki raspravljalo se u knjizi E.T. Bella "Great Problem" - isti onaj knjiga knjižnice, što je privuklo pažnju Andrewa Wilesa. I premda su pitagorejci postigli gotovo potpunu

Matematika nakon dokaza Fermatovog posljednjeg teorema Čudno je da je i sam Wiles imao pomiješane osjećaje o svom izvješću: “Povod za govor odabran je jako dobro, ali samo predavanje izazvalo je pomiješane osjećaje. Rad na dokazu

Poglavlje 63 Farma starog McLennona Otprilike mjesec i pol nakon povratka u New York, jedne studene večeri, zazvonio je telefon u stanu Lennonovih. Yoko se javila na telefon. Muški glas s portorikanskim naglaskom upitao je Yoko Ono. Pretvarajući se

Pontrjaginov teorem U isto vrijeme kada je pohađao konzervatorij, moj otac je studirao na Moskovskom državnom sveučilištu, studirajući mehaniku i matematiku. Diplomirao je s uspjehom i čak se neko vrijeme dvoumio oko izbora zanimanja. Muzikologija je pobijedila, zahvaljujući njegovom matematičkom načinu razmišljanja. Jedan od očevih kolega iz razreda

Teorem Teorem o pravu vjerske zajednice na izbor svećenika treba dokazati. Ona glasi ovako: “Pravoslavna zajednica se stvara... pod duhovnim vodstvom svećenika kojeg bira zajednica i blagoslovi eparhijski episkop.”

I. Farma (“Evo, od kokošjeg izmeta...”) Evo, od kokošjeg izmeta Jedan je spas metla. Ljubav - koja? - Odvela me u kokošinjac. Kljuckaju zrno, kokoši kokodaču, pijetlovi važno koračaju. I bez veličine i cenzure Pjesme se slažu u mislima. O provansalskom poslijepodnevu

POVIJEST FERmatovog posljednjeg teorema
Velika afera

Jednom sam u novogodišnjem biltenu o tome kako se prave zdravice usputno spomenuo da se krajem dvadesetog stoljeća dogodio jedan veliki događaj koji mnogi nisu primijetili - konačno je dokazan takozvani Fermatov posljednji teorem. U vezi s tim, među pismima koje sam primio, našao sam dva odgovora djevojaka (jedna od njih je, koliko se sjećam, bila učenica devetog razreda Vika iz Zelenograda), koje su bile iznenađene ovom činjenicom.

I bila sam iznenađena koliko su djevojke bile zainteresirane za probleme moderne matematike. Stoga mislim da će povijest Velikog teorema biti zainteresirana ne samo za djevojčice, već i za dječake svih uzrasta – od srednjoškolaca do umirovljenika.

Dokaz Fermatovog teorema je veliki događaj. I zato što Nije uobičajeno šaliti se s riječju "sjajno", ali čini mi se da je svaki govornik koji poštuje sebe (a svi smo govornici kad govorimo) jednostavno dužan znati povijest teorema.

Ako se dogodi da ne volite matematiku kao što je ja volim, proletite kroz neke detalje. Uvidjevši da nisu svi čitatelji našeg biltena zainteresirani za lutanje u matematičkoj džungli, nastojao sam ne navoditi nikakve formule (osim jednadžbe Fermatovog teorema i par hipoteza) i maksimalno pojednostaviti pokrivanje nekih specifičnih pitanja. moguće.

Kako je Fermat napravio nered

Francuski pravnik i honorarno veliki matematičar 17. stoljeća Pierre Fermat (1601.-1665.) iznio je jednu zanimljivu tvrdnju iz područja teorije brojeva, koja je kasnije postala poznata kao Fermatov veliki (ili veliki) teorem. Ovo je jedan od najpoznatijih i najfenomenalnijih matematički teoremi. Vjerojatno uzbuđenje oko toga ne bi bilo tako veliko da je u knjizi Diofanta Aleksandrijskog (III. stoljeće nove ere) “Aritmetika”, koju je Fermat često proučavao, bilježeći na širokim marginama, a koju je njegov sin Samuel ljubazno sačuvao za potomstvo. , otprilike sljedeći zapis velikog matematičara nije otkriven:

"Imam neke vrlo zapanjujuće dokaze, ali su preveliki da bi stali na margine."

Upravo je ta snimka bila povod kasnijoj kolosalnoj halabuci oko teorema.

Dakle, slavni znanstvenik je izjavio da je dokazao svoj teorem. Zapitajmo se: je li to doista dokazao ili je jednostavno lagao? Ili postoje druge verzije koje objašnjavaju pojavu te bilješke na marginama, koja mnogim matematičarima sljedećih generacija nije dala miran san?

Priča o Velikom teoremu fascinantna je poput pustolovine kroz vrijeme. Godine 1636. Fermat je izjavio da jednadžba oblika x n + y n = z n nema rješenja u cijelim brojevima s eksponentom n>2. Ovo je zapravo Fermatov posljednji teorem. U ovoj naizgled jednostavnoj matematičkoj formuli Svemir je prikrio nevjerojatnu složenost. Američki matematičar škotskog podrijetla Eric Temple Bell čak je u svojoj knjizi "The Final Problem" (1961.) čak sugerirao da će čovječanstvo možda prestati postojati prije nego što uspije dokazati Fermatov posljednji teorem.

Pomalo je čudno da je iz nekog razloga teorem kasnio u svom pojavljivanju, budući da se situacija dugo kuhala, jer je njegov poseban slučaj s n = 2 - još jedna poznata matematička formula - Pitagorin teorem, nastao dvadeset i dva stoljeća ranije. Za razliku od Fermatovog teorema, Pitagorin teorem ima beskonačan broj cjelobrojnih rješenja, na primjer, sljedeće Pitagorine trokute: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Sindrom velikog teorema

Tko nije pokušao dokazati Fermatov teorem? Svaki početni student smatrao je svojom dužnošću primijeniti se Velikog teorema, ali nitko to nije mogao dokazati. Isprva nije funkcioniralo stotinu godina. Zatim još stotinu. I dalje. Među matematičarima se počeo razvijati masovni sindrom: "Kako to može biti? Fermat je to dokazao, ali ja to ne mogu ili što?" - a neki su na toj osnovi i poludjeli u punom smislu te riječi.

Bez obzira koliko puta je teorem testiran, uvijek se pokazao točnim. Poznavao sam jednog energičnog programera koji je bio opsjednut idejom opovrgavanja Velikog teorema pokušavajući pronaći barem jedno rješenje (protuprimjer) nabrajanjem cijelih brojeva pomoću brzog računala (u to vrijeme češće zvanog mainframe). Vjerovao je u uspjeh svog pothvata i volio je reći: "Još malo - i izbit će senzacija!" Mislim da je na različitim mjestima na našem planetu postojao znatan broj ove vrste hrabrih tragača. On, naravno, nije našao niti jedno rješenje. I nikakva računala, čak ni uz nevjerojatnu brzinu, nikada ne bi mogla potvrditi teorem, jer sve varijable ove jednadžbe (uključujući eksponente) mogu rasti do beskonačnosti.

Teorem zahtijeva dokaz

Matematičari znaju da ako teorem nije dokazan, iz njega može proizići bilo što (i točno i netočno), kao što je bio slučaj s nekim drugim hipotezama. Na primjer, u jednom od svojih pisama Pierre Fermat je sugerirao da su brojevi oblika 2 n +1 (tzv. Fermatovi brojevi) nužno jednostavni (tj. nemaju cjelobrojne djelitelje i djeljivi su bez ostatka samo sami sa sobom i za jedan), ako je n stepen dvojke (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, itd.). Ova Fermatova hipoteza živjela je više od sto godina - sve dok 1732. Leonhard Euler nije pokazao da

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

Zatim, gotovo 150 godina kasnije (1880.), Fortune Landry faktorizirao je sljedeći Fermatov broj:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

Kako su uspjeli pronaći djelitelje tih velikih brojeva bez pomoći računala - samo Bog zna. Zauzvrat, Euler je pretpostavio da jednadžba x 4 +y 4 +z 4 =u 4 nema rješenja u cijelim brojevima. Međutim, otprilike 250 godina kasnije, 1988. godine, Nahum Elkis s Harvarda uspio je (pomoću računalnog programa) otkriti da

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

Stoga je Fermatov posljednji teorem zahtijevao dokaz, inače je to bila samo hipoteza, a moglo bi biti da je negdje tamo u beskrajnim poljima brojeva izgubljeno rješenje jednadžbe Velikog teorema.

Najvirtuozniji i najplodniji matematičar 18. stoljeća, Leonard Euler, po čijoj je arhivi zapisa čovječanstvo preturalo gotovo cijelo stoljeće, dokazao je Fermatov teorem za potencije 3 i 4 (točnije, ponovio je izgubljene dokaze samog Pierrea Fermata) ; njegov sljedbenik u teoriji brojeva, Legendre (i također neovisno o njemu Dirichlet) - za stupanj 5; Lame – za stupanj 7. Ali u opći pogled teorem je ostao nedokazan.

Dana 1. ožujka 1847., na sastanku Pariške akademije znanosti, dva izvanredna matematičara - Gabriel Lamé i Augustin Cauchy - objavila su da su došli do kraja dokaza Velikog teorema i započeli utrku, objavivši svoje dokaze u dijelovi. No, dvoboj između njih prekinut je jer je u njihovim dokazima otkrivena ista greška na koju je ukazao njemački matematičar Ernst Kummer.

Početkom 20. stoljeća (1908.) bogati njemački poduzetnik, filantrop i znanstvenik Paul Wolfskehl oporučno je ostavio sto tisuća maraka onome tko iznese potpuni dokaz Fermatova teorema. Već u prvoj godini nakon objave Wolfskehlove oporuke od strane Göttingenske akademije znanosti, ona je bila preplavljena tisućama dokaza amatera matematike, a taj tok nije prestao desetljećima, ali svi su, kao što pogađate, sadržavali pogreške . Kažu da je akademija pripremila formulare približno ovakvog sadržaja:

Poštovani __________________________!
U vašem dokazu Fermatovog teorema na ____ stranici u ____ retku na vrhu
sljedeća pogreška otkrivena je u formuli:__________________________:,

Koje su poslane nesretnim kandidatima za nagradu.

U to se vrijeme među matematičarima pojavio poluprezriv nadimak - seljak. Tako se zvao svaki samopouzdani skorojević kojemu je nedostajalo znanja, ali je imao više nego dovoljno ambicije da žurno da sve od sebe kako bi dokazao Veliki teorem, a zatim se, ne primjećujući vlastite pogreške, ponosno udarao po prsima, glasno izjavljujući : "Prvi sam dokazao Fermatov teorem!" Svaki farmer, makar bio i desettisućiti, sebe je smatrao prvim - ovo je bilo smiješno. Jednostavan izgled Veliki teorem toliko je podsjećao fermiste na lak plijen da im nije bilo nimalo neugodno što se čak ni Euler i Gauss nisu mogli nositi s njim.

(Fermatisti, začudo, postoje i danas. Iako jedan od njih nije mislio da je dokazao teorem, poput klasičnog fermatista pokušavao je donedavno - odbio mi je vjerovati kad sam mu rekao da je Fermatov teorem već bio poznat dokazano).

I najmoćniji matematičari, možda, u tišini svojih ureda, pokušali su oprezno pristupiti ovoj nemogućoj utegu, ali nisu o njoj govorili naglas, kako ne bi bili žigosani kao zemljoradnici i time ne naškodili svom visokom autoritetu. .

Do tada se pojavio dokaz teorema za eksponent n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

Čudna hipoteza

Sve do sredine dvadesetog stoljeća nije bilo većeg napretka u povijesti Velikog teorema. Ali ubrzo se dogodio jedan zanimljiv događaj u matematičkom životu. Godine 1955., 28-godišnji japanski matematičar Yutaka Taniyama iznio je izjavu iz potpuno drugog područja matematike, nazvanu Taniyamina pretpostavka (također poznata kao Taniyama-Shimura-Weilova pretpostavka), koja je, za razliku od Fermatovog zakašnjelog teorema, bila ispred svog vremena.

Taniyamina pretpostavka kaže: "svaka eliptična krivulja odgovara određenom modularnom obliku." Ta je izjava tadašnjim matematičarima zvučala jednako apsurdno kao što nama zvuči izjava: „svako stablo odgovara određenom metalu“. Nije teško pogoditi kako bi normalna osoba mogla reagirati na takvu izjavu - jednostavno je neće shvatiti ozbiljno, što se i dogodilo: matematičari su jednoglasno ignorirali hipotezu.

Malo pojašnjenje. Eliptičke krivulje, poznate već duže vrijeme, imaju dvodimenzionalni izgled (nalaze se na ravnini). Modularne funkcije, otkrivene u 19. stoljeću, imaju četverodimenzionalni oblik, pa ih svojim trodimenzionalnim mozgom ne možemo niti zamisliti, ali ih možemo matematički opisati; osim toga, modularni oblici su nevjerojatni po tome što imaju najveću moguću simetriju - mogu se prevesti (pomaknuti) u bilo kojem smjeru, zrcaliti, zamjenjivati ​​fragmente, rotirati na beskonačno mnogo načina - a ipak se njihov izgled ne mijenja. Kao što vidite, eliptične krivulje i modularni oblici imaju malo toga zajedničkog. Taniyamina hipoteza kaže da se deskriptivne jednadžbe dvaju odgovarajućih potpuno različitih matematičkih objekata mogu proširiti u isti matematički niz.

Taniyamina hipoteza bila je previše paradoksalna: kombinirala je potpuno različite koncepte - prilično jednostavne ravne krivulje i nezamislive četverodimenzionalne oblike. Ovo nikome nije palo na pamet. Kad je na međunarodnom matematičkom simpoziju u Tokiju u rujnu 1955. Taniyama demonstrirao nekoliko podudarnosti eliptičkih krivulja s modularnim oblicima, svi su to vidjeli samo kao zabavne slučajnosti. Na Taniyamino skromno pitanje: je li moguće pronaći odgovarajuću modularnu funkciju za svaku eliptičku krivulju, časni Francuz Andre Weil, koji je u to vrijeme bio jedan od najboljih svjetskih stručnjaka za teoriju brojeva, dao je posve diplomatski odgovor koji je, kažu, ako radoznalog Taniyamu ne napusti entuzijazam, možda će mu se posrećiti pa će se njegova nevjerojatna hipoteza potvrditi, ali to se vjerojatno neće dogoditi skoro. Općenito, kao i mnoga druga izvanredna otkrića, u početku je Taniyamina hipoteza ostala nezapažena, jer ljudi još nisu bili dovoljno sazreli da je razumiju - gotovo je nitko nije razumio. Samo je Taniyamin kolega, Goro Shimura, koji je dobro poznavao svog izuzetno nadarenog prijatelja, intuitivno osjetio da je njegova hipoteza točna.

Tri godine kasnije (1958.), Yutaka Taniyama počinio je samoubojstvo (međutim, samurajske tradicije su jake u Japanu). Sa stajališta zdravog razuma, to je neshvatljiv čin, pogotovo ako se uzme u obzir da se uskoro trebao oženiti. Vođa mladih japanskih matematičara ovako je započeo svoju oproštajnu poruku: "Još jučer nisam razmišljao o samoubojstvu. U posljednje vrijeme često od drugih čujem da sam psihički i fizički umoran. Zapravo, još uvijek ne razumijem zašto" m doing this...” i tako dalje na tri lista. Šteta je, naravno, što je to bila sudbina zanimljive osobe, ali svi genijalci su pomalo čudni - zato su genijalci (iz nekog razloga su mi pale na pamet riječi Arthura Schopenhauera: "u običnom životu, genij koristan je kao teleskop u kazalištu”) . Hipoteza je siroče. Nitko to nije znao dokazati.

Oko deset godina jedva da su se sjećali Taniyamine hipoteze. Ali početkom 70-ih postao je popularan - redovito su ga testirali svi koji su ga mogli razumjeti - i uvijek je bio potvrđen (kao, zapravo, Fermatov teorem), ali ga, kao i prije, nitko nije mogao dokazati.

Iznenađujuća veza između dviju hipoteza

Prošlo je još oko 15 godina. Godine 1984. dogodio se jedan ključni događaj u životu matematike, koji je spojio ekstravagantnu japansku hipotezu s Fermatovim posljednjim teoremom. Nijemac Gerhard Frey iznio je zanimljivu tvrdnju sličnu teoremu: "Ako je dokazana Taniyamina hipoteza, onda će Fermatov posljednji teorem također biti dokazan." Drugim riječima, Fermatov teorem je posljedica Taniyamine pretpostavke. (Frey je, koristeći pametne matematičke transformacije, reducirao Fermatovu jednadžbu na oblik jednadžbe eliptične krivulje (iste one koja se pojavljuje u Taniyaminoj hipotezi), koliko-toliko potkrijepio svoju pretpostavku, ali je nije mogao dokazati). A samo godinu i pol kasnije (1986.), profesor Kenneth Ribet sa sveučilišta u Kaliforniji jasno je dokazao Freyev teorem.

Što se sada dogodilo? Sada se ispostavlja da, budući da je Fermatov teorem već korolar Taniyamine pretpostavke, treba samo dokazati potonju da bi se osvojili lovorike osvajača legendarnog Fermatova teorema. No pokazalo se da je hipoteza teška. Osim toga, matematičari su tijekom stoljeća postali alergični na Fermatov teorem, a mnogi od njih zaključili su da bi bilo gotovo nemoguće nositi se i s Taniyaminom pretpostavkom.

Smrt Fermaove hipoteze. Rođenje teoreme

Prošlo je još 8 godina. Jedan napredni engleski profesor matematike sa Sveučilišta Princeton (New Jersey, SAD), Andrew Wiles, smatrao je da je pronašao dokaz Taniyamine pretpostavke. Ako genij nije ćelav, onda je, u pravilu, razbarušen. Wiles je razbarušen i stoga izgleda kao genij. Ulazak u povijest je, naravno, bio primamljiv i jako sam to želio, ali Wiles se, kao pravi znanstvenik, nije zavaravao, shvativši da su tisuće farmera prije njega također vidjele sablasne dokaze. Stoga je svoj dokaz, prije nego što je predstavio svijetu, sam pomno provjerio, no uvidjevši da bi mogao imati subjektivnu pristranost, uključio je i druge u provjere, na primjer, pod krinkom običnih matematičkih zadataka, ponekad je bacao razne fragmente njegovog dokaza pametnim diplomiranim studentima. Wiles je kasnije priznao da nitko osim njegove supruge nije znao da on radi na dokazu Velikog teorema.

I nakon mnogo testiranja i bolnog razmišljanja, Wiles je konačno smogao hrabrosti, ili možda, kako mu se činilo, arogancije, te je 23. lipnja 1993. na matematičkoj konferenciji o teoriji brojeva u Cambridgeu objavio svoje veliko postignuće.

Ovo je, naravno, bila senzacija. Nitko nije očekivao takvu agilnost malo poznatog matematičara. Odmah se pojavio tisak. Sve je mučio gorući interes. Vitke formule, poput poteza prekrasne slike, izranjale su pred radoznale poglede okupljenih. Pravi matematičari, takvi su, gledaju svakakve jednadžbe i u njima ne vide brojeve, konstante i varijable, nego čuju glazbu, kao Mozart kad gleda u štap. Baš kao kad čitamo knjigu, gledamo u slova, ali kao da ih ne primjećujemo, već odmah uočavamo značenje teksta.

Činilo se da je prezentacija dokaza dobro prošla - u njoj nisu pronađene greške - nitko nije čuo nijednu lažnu notu (iako je većina matematičara jednostavno buljila u nju kao prvašići u integral i ništa nije razumjela). Svi su zaključili da se dogodio događaj velikih razmjera: Taniyamina hipoteza je dokazana, a time i Fermatov posljednji teorem. Ali otprilike dva mjeseca kasnije, nekoliko dana prije nego što je rukopis Wilesova dokaza trebao biti objavljen, u njemu je otkrivena nedosljednost (Katz, Wilesov kolega, primijetio je da se jedan fragment rezoniranja oslanja na "Eulerov sustav", ali da koju je izgradio Wiles, nije bio takav sustav), iako su općenito Wilesove tehnike smatrane zanimljivima, elegantnima i inovativnima.

Wiles je analizirao situaciju i zaključio da je izgubio. Može se zamisliti kako je cijelim svojim bićem osjećao što znači “jedan korak od velikog do smiješnog”. “Htio sam ući u povijest, ali umjesto toga postao sam dio ekipe klaunova i komičara – bahatih farmera” – bile su to misli koje su ga iscrpljivale u tom teškom životnom razdoblju. Za njega, ozbiljnog matematičara, to je bila tragedija, a svoj je dokaz bacio u zaborav.

Ali nešto više od godinu dana kasnije, u rujnu 1994., dok je zajedno sa svojim kolegom Taylorom s Oxforda razmišljao o tom uskom grlu u dokazu, potonjemu je iznenada sinula ideja da bi se “Eulerov sustav” mogao zamijeniti Iwasawinom teorijom (a grana teorije brojeva). Zatim su pokušali upotrijebiti Iwasawinu teoriju, bez "Eulerovog sustava", i sve im je uspjelo. Ispravljena verzija dokaza predana je na provjeru, a godinu dana kasnije objavljeno je da je u njoj sve apsolutno jasno, bez ijedne greške. U ljeto 1995. godine u jednom od vodećih matematičkih časopisa - "Annals of Mathematics" - objavljen je potpuni dokaz Taniyamine pretpostavke (dakle, Fermatovog velikog teorema), koji je zauzeo cijeli broj - preko stotinu stranica. Dokaz je toliko složen da ga samo nekoliko desetaka ljudi diljem svijeta može razumjeti u cijelosti.

Tako je krajem dvadesetog stoljeća cijeli svijet prepoznao da je u 360. godini svog života Fermatov posljednji teorem, koji je cijelo to vrijeme zapravo bio hipoteza, konačno postao dokazani teorem. Andrew Wiles dokazao je Fermatov veliki teorem i ušao u povijest.

Zamislite samo, dokazali su neki teorem...

Sreća pronalazača uvijek pripada jednome - on je taj koji posljednjim udarcem čekića razbija tvrd orah znanja. Ali ne možemo zanemariti mnoge prethodne udarce koji su stoljećima stvarali pukotinu u Velikom teoremu: Euler i Gauss (kraljevi matematike svog vremena), Evariste Galois (koji je uspio utemeljiti teorije grupa i polja u svojim kratkim 21- godine života, čije je djelo priznato kao genijalno tek nakon njegove smrti), Henri Poincaré (utemeljitelj ne samo bizarnih modularnih formi, već i konvencionalizma – filozofskog pokreta), David Gilbert (jedan od najjačih matematičara dvadesetog stoljeća) , Yutaka Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbett, Richard Taylor i drugi pravi znanstvenici(Ne bojim se ovih riječi).

Dokaz Fermatovog posljednjeg teorema može se staviti u rang s takvim dostignućima dvadesetog stoljeća kao što su izum računala, nuklearna bomba i svemirski let. Iako nije toliko poznata, jer ne zadire u zonu naših neposrednih interesa, poput televizora ili električne žarulje, bila je to eksplozija supernove, koja će, kao i sve nepromjenjive istine, uvijek svijetliti čovječanstvu.

Možete reći: "samo pomislite, dokazali su neki teorem, kome treba". Pošteno pitanje. Odgovor Davida Gilberta pristaje upravo ovdje. Na pitanje: "Koji je zadatak sada najvažniji za znanost?", odgovorio je: "Uhvatiti muhu na suprotnoj strani Mjeseca", razumno su ga pitali: " I kome treba“, odgovorio je: „Ovo nikome ne treba. Ali razmislite o tome koliko važnih, složenih problema treba riješiti da bi se to postiglo." Razmislite o tome koliko je problema čovječanstvo uspjelo riješiti u 360 godina prije nego što je dokazalo Fermatov teorem. Gotovo polovica moderne matematike otkrivena je u potrazi za svojim dokaz. Također je potrebno uzeti u obzir da je matematika avangarda znanosti (i, usput rečeno, jedina znanost koja je izgrađena bez ijedne greške), a sva znanstvena dostignuća i izumi počinju ovdje. Kao što je primijetio Leonardo da Vinci, „Samo se ono učenje može priznati kao znanost koja je matematički potvrđena“.

* * *

Vratimo se sada na početak naše priče, prisjetimo se bilješke Pierrea Fermata na marginama Diofantovog udžbenika i još jednom postavimo pitanje: je li Fermat doista dokazao svoj teorem? To, naravno, ne možemo sa sigurnošću znati, a kao i u svakom slučaju, ovdje se pojavljuju različite verzije:

Verzija 1: Fermat je dokazao svoj teorem. (Na pitanje: "Je li Fermat imao potpuno isti dokaz svog teorema?", Andrew Wiles je primijetio: "Fermat nije mogao imati kao ovo dokaz. Ovo je dokaz 20. stoljeća." Vi i ja razumijemo da u 17. stoljeću matematika, naravno, nije bila ista kao na kraju 20. stoljeća - u to doba, Artagnan, kraljica znanosti, još nije imaju ta otkrića (modularne forme, Taniyamini teoremi, Freya, itd.), koja su jedina omogućila dokaz Fermatova posljednjeg teorema. Naravno, može se pretpostaviti: koji je to vrag - što ako je Fermat to shvatio na drugačiji način Ova je verzija, iako vjerojatna, prema procjenama većine matematičara praktički nemoguća);
Verzija 2: Pierre Fermat je mislio da je dokazao svoj teorem, ali je u njegovom dokazu bilo pogrešaka. (Odnosno, sam Fermat je također bio prvi farmer);
Verzija 3: Fermat nije dokazao svoj teorem, već je jednostavno lagao na marginama.

Ako je jedna od zadnje dvije verzije točna, što je najvjerojatnije, onda možemo izvući jednostavan zaključak: sjajni ljudi, iako su sjajni, mogu i pogriješiti ili ponekad nisu neskloni lagati(uglavnom će ovaj zaključak biti koristan za one koji su skloni potpuno vjerovati svojim idolima i drugim vladarima misli). Stoga, čitajući djela autoritativnih sinova čovječanstva ili slušajući njihove patetične govore, imate puno pravo sumnjati u njihove izjave. (Imajte na umu da sumnjati ne znači odbaciti).

Reprodukcija materijala članka moguća je samo uz obavezne veze na web mjesto (na internetu - hiperlink) i autoru

U 17. stoljeću u Francuskoj je živio odvjetnik i honorarni matematičar Pierre Fermat, koji je svom hobiju posvećivao duge sate slobodnog vremena. Jedne zimske večeri, sjedeći uz kamin, iznio je jednu vrlo zanimljivu tvrdnju iz područja teorije brojeva - upravo je ona kasnije nazvana Fermatov veliki teorem. Možda uzbuđenje ne bi bilo tako značajno u matematičkim krugovima da se nije dogodio jedan događaj. Matematičar je često provodio večeri proučavajući svoju omiljenu knjigu "Aritmetika" Diofanta Aleksandrijskog (3. stoljeće), dok je na njezinim marginama zapisivao važne misli - ovaj je raritet njegov sin pažljivo sačuvao za potomstvo. Tako je na širokim marginama ove knjige Fermatova ruka ostavila sljedeći natpis: "Imam prilično upečatljiv dokaz, ali je prevelik da bi ga se stavilo na margine." Upravo je ta snimka izazvala nevjerojatno uzbuđenje oko teorema. Matematičari nisu sumnjali da je veliki znanstvenik izjavio da je dokazao vlastiti teorem. Vjerojatno postavljate pitanje: Je li on to doista dokazao, ili je to bila banalna laž ili možda postoje druge verzije zašto je ovaj zapis, koji matematičarima sljedećih generacija nije dao mirno spavati, završio na marginama knjiga?"

Bit Velikog teoreme

Fermatov prilično dobro poznati teorem jednostavan je u svojoj biti i leži u činjenici da, pod uvjetom da je n veći od dva, pozitivnog broja, jednadžba X n + Y n = Z n neće imati rješenja tipa nula unutar okvira prirodnih brojeva. Ta naizgled jednostavna formula prikrivala je nevjerojatnu složenost, a oko njezina se dokaza borilo tri stoljeća. Postoji jedna čudna stvar - teorem je kasnio u svom rođenju, budući da se njegov poseban slučaj s n = 2 pojavio prije 2200 godina - to je ne manje poznati Pitagorin teorem.

Valja napomenuti da je priča o poznatom Fermatovom teoremu vrlo poučna i zabavna, i to ne samo za matematičare. Ono što je najzanimljivije je da znanost nije bila posao za znanstvenika, već običan hobi, što je pak Farmeru pričinjavalo veliko zadovoljstvo. Također je stalno bio u kontaktu s matematičarem, a također i prijateljem, i razmjenjivao ideje, ali čudno, nije težio objavljivanju vlastitih radova.

Radovi matematičara Farmera

Što se tiče samih Farmerovih djela, ona su otkrivena upravo u obliku običnih slova. Na nekim mjestima nedostajale su cijele stranice, a sačuvani su samo fragmenti korespondencije. Zanimljivija je činjenica da su znanstvenici tri stoljeća tražili teorem koji je otkriven u Farmerovim djelima.

Ali bez obzira tko se to usudio dokazati, pokušaji su svedeni na “nulu”. Slavni matematičar Descartes čak je optužio znanstvenika za hvalisanje, no sve se svelo samo na najobičniju zavist. Osim što ga je stvorio, Farmer je dokazao i vlastiti teorem. Istina, rješenje je nađeno za slučaj kada je n=4. Što se tiče slučaja za n=3, to je otkrio matematičar Euler.

Kako su pokušali dokazati Farmerov teorem

Na samom početku 19. stoljeća ovaj je teorem nastavio postojati. Matematičari su pronašli mnoge dokaze teorema koji su bili ograničeni na prirodne brojeve unutar dvije stotine.

A 1909. godine stavljena je na kocku prilično velika svota, jednaka sto tisuća maraka njemačkog podrijetla - i sve to samo kako bi se riješio problem vezan uz ovaj teorem. Sam nagradni fond ostavio je imućni zaljubljenik u matematiku Paul Wolfskehl, porijeklom iz Njemačke, koji se, inače, želio “ubiti”, ali je zahvaljujući takvom angažmanu u Fermerovom teoremu želio živjeti. Uzbuđenje koje je proizašlo iznjedrilo je tone “dokaza” koji su preplavili njemačka sveučilišta, a među matematičarima se rodio nadimak “farmist” koji se napola prezirno koristio za opis svakog ambicioznog skorojevića koji nije bio u stanju pružiti jasne dokaze.

Pretpostavka japanskog matematičara Yutake Taniyame

Pomaci u povijesti Velikog teorema nisu primijećeni sve do sredine 20. stoljeća, ali se dogodio jedan zanimljiv događaj. Godine 1955. japanski matematičar Yutaka Taniyama, koji je imao 28 godina, svijetu je pokazao tvrdnju iz sasvim drugog matematičkog područja - njegova je hipoteza, za razliku od Fermatove, bila ispred svog vremena. Kaže: "Svaka eliptična krivulja odgovara određenom modularnom obliku." Čini se apsurdnim za svakog matematičara, poput ideje da se drvo sastoji od određenog metala! Paradoksalna hipoteza, kao i većina drugih zapanjujućih i genijalnih otkrića, nije prihvaćena, jer joj jednostavno još nisu bili dorasli. A Yutaka Taniyama tri godine kasnije počinio je samoubojstvo - neobjašnjiv čin, no vjerojatno je pravom samurajskom geniju čast bila iznad svega.

Hipoteza nije ostala zapamćena cijelo desetljeće, ali je sedamdesetih godina dosegla vrhunac popularnosti - potvrdili su je svi koji su je razumjeli, ali je, kao i Fermatov teorem, ostala nedokazana.

Kako su Taniyamina pretpostavka i Fermatov teorem povezani?

15 godina kasnije dogodio se ključni događaj u matematici, a ujedinio je hipotezu slavnog Japanca i Fermatov teorem. Gerhard Gray je izjavio da će, kada se Taniyamina pretpostavka dokaže, biti dokazan Fermatov teorem. Odnosno, potonje je posljedica Taniyamine pretpostavke, a u roku od godinu i pol Fermatov teorem dokazao je profesor Kenneth Ribet sa Sveučilišta u Kaliforniji.

Kako je vrijeme prolazilo, nazadovanje je zamijenio napredak, a znanost je ubrzano krenula naprijed, posebice u području računalne tehnologije. Tako je vrijednost n počela sve više rasti.

Na samom kraju 20. stoljeća najmoćnija računala nalazila su se u vojnim laboratorijima, programiranjem se radilo na izlazu rješenja poznatog Fermatovog problema. Kao posljedica svih pokušaja, otkriveno je da je ovaj teorem točan za mnoge vrijednosti n, x, y. Ali, nažalost, to nije postao konačni dokaz, jer nije bilo specifičnosti kao takve.

John Wiles dokazao je veliki Fermatov teorem

I konačno, tek krajem 1994. godine, matematičar iz Engleske, John Wiles, pronašao je i demonstrirao egzaktan dokaz kontroverznog Fermerovog teorema. Zatim su, nakon mnogih izmjena, rasprave o ovom pitanju došle do svog logičnog završetka.

Demanti je objavljen na više od stotinu stranica jednog časopisa! Štoviše, teorem je dokazan korištenjem modernijeg aparata više matematike. I ono što je iznenađujuće je da u vrijeme kada je Farmer napisao svoje djelo, takav uređaj nije postojao u prirodi. Jednom riječju, čovjek je prepoznat kao genij u ovoj oblasti, s kojim se nitko nije mogao raspravljati. Unatoč svemu što se dogodilo, danas možemo biti sigurni da je izneseni teorem velikog znanstvenika Farmera opravdan i dokazan, te niti jedan zdravorazumski matematičar neće pokrenuti raspravu na tu temu, s čime se slažu i najokorjeliji skeptici cijelog čovječanstva. s.

Puno ime čovjeka po kojem je teorem predstavljen bilo je Pierre de Fermer. Dao je doprinos širokom spektru područja matematike. No, nažalost, većina njegovih djela objavljena je tek nakon njegove smrti.

VIJESTI IZ ZNANOSTI I TEHNOLOGIJE

UDK 51:37;517.958

A.V. Konovko, dr. sc.

Akademija državne vatrogasne službe Ministarstva za izvanredne situacije Rusije DOKAZAN JE FERMIN VELIK TEOREM. ILI NE?

Nekoliko stoljeća nije bilo moguće dokazati da je jednadžba xn+yn=zn za n>2 nerješiva ​​u racionalnim brojevima, a time i u cijelim brojevima. Ovaj problem nastao je pod autorstvom francuskog pravnika Pierrea Fermata, koji se u isto vrijeme profesionalno bavio matematikom. Za njezinu odluku zaslužan je američki učitelj matematike Andrew Wiles. Ovo priznanje je trajalo od 1993. do 1995. godine.

VELIKI FERMIN TEOREM JE DOKAZAN. ILI NE?

Razmatra se dramatična povijest Fermatovog posljednjeg dokazivanja teorema. Bilo je potrebno gotovo četiri stotine godina. Pierre Fermat je napisao malo. Pisao je komprimiranim stilom. Osim toga, nije objavio svoja istraživanja. Izjava da je jednadžba xn+yn=zn nerješiva o skupovima racionalnih brojeva i cijelih brojeva ako je n>2 pratio je Fermatov komentar da je našao doista izvanredan dokaz ove izjave. Do potomaka ovim dokazivanjem nije došlo. Kasnije je ova izjava nazvana Fermatov posljednji teorem. Najbolji svjetski matematičari bezuspješno su se prepirali oko ovog teorema. Sedamdesetih godina francuski matematičar, član Pariške akademije znanosti Andre Veil iznio je nove pristupe rješenju. 23. lipnja 1993. godine, na konferenciji o teoriji brojeva u Cambridgeu, matematičar sa Sveučilišta Princeton Andrew Whiles objavio je da je Fermatovo posljednje dokazivanje teorema završeno. Ipak, bilo je rano za trijumf.

Godine 1621. francuski književnik i zaljubljenik u matematiku Claude Gaspard Bachet de Meziriak objavio je Diofantovu grčku raspravu "Aritmetika" s latinskim prijevodom i komentarom. Luksuzna “Aritmetika”, neobično širokih margina, pala je u ruke dvadesetogodišnjeg Fermata i postala njegova dugogodišnja referentna knjiga. Na marginama je ostavio 48 bilješki koje sadrže činjenice koje je otkrio o svojstvima brojeva. Ovdje, na marginama “Aritmetike,” formuliran je veliki Fermatov teorem: “Nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke ili bikvadrat na dva bikvadrata, ili općenito potenciju veću od dva na dvije potencije s istim eksponentom; Za to sam pronašao zaista prekrasan dokaz koji zbog nedostatka prostora ne može stati u ova polja." Inače, na latinskom to izgleda ovako: “Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

Veliki francuski matematičar Pierre Fermat (1601.-1665.) razvio je metodu za određivanje površina i volumena te stvorio novu metodu tangenti i ekstrema. Uz Descartesa postao je stvaratelj analitička geometrija, zajedno s Pascalom, stajao je u podrijetlu teorije vjerojatnosti, na području metode infinitezimala dao je opće pravilo diferencijacije i općenito dokazao pravilo integracije funkcija snage... Ali, što je najvažnije, ovo ime povezuje se s jednom od najmisterioznijih i najdramatičnijih priča koje su ikad šokirale matematiku - priča o dokazu velikog Fermatovog teorema. Sada je ovaj teorem izražen u obliku jednostavne izjave: jednadžba xn + yn = zn za n>2 je nerješiva ​​u racionalnim brojevima, a time i u cijelim brojevima. Inače, za slučaj n = 3, srednjoazijski matematičar Al-Khojandi pokušao je dokazati ovaj teorem u 10. stoljeću, ali njegov dokaz nije preživio.

Rodom iz južne Francuske, Pierre Fermat stekao je pravno obrazovanje i od 1631. služio je kao savjetnik parlamenta grada Toulousea (tj. najvišeg suda). Nakon radnog dana unutar saborskih zidova, uhvatio se matematike i odmah uronio u jedan sasvim drugačiji svijet. Novac, prestiž, javno priznanje - ništa mu od toga nije bilo važno. Znanost mu nikada nije postala sredstvo za život, nije se pretvorila u zanat, uvijek je ostala tek uzbudljiva igra uma, razumljiva samo rijetkima. Nastavio je dopisivati ​​se s njima.

Farma nikad nije napisala znanstveni radovi u našem uobičajenom shvaćanju. I u njegovom dopisivanju s prijateljima uvijek ima ponekog izazova, čak i svojevrsne provokacije, a nikako akademskog prikaza problema i njegovog rješenja. Zato su mnoga njegova pisma kasnije prozvana izazovom.

Možda baš zato nikada nije ostvario svoju namjeru da napiše poseban esej o teoriji brojeva. U međuvremenu, ovo je bilo njegovo omiljeno područje matematike. Njoj je Fermat posvetio najnadahnutije retke svojih pisama. "Aritmetika", napisao je, "ima svoje vlastito područje, teoriju cijelih brojeva. Ovu teoriju Euklid je samo neznatno dotaknuo, a njegovi sljedbenici je nisu dovoljno razvili (osim ako je sadržana u onim Diofantovim djelima, koja su opustošena vrijeme nas je lišilo). Aritmetičari ga stoga moraju razvijati i obnavljati."

Zašto se sam Fermat nije bojao razornog djelovanja vremena? Pisao je malo i uvijek vrlo sažeto. Ali, što je najvažnije, nije objavio svoj rad. Tijekom njegova života kružile su samo u rukopisima. Stoga ne čudi da su Fermatovi rezultati o teoriji brojeva stigli do nas u raspršenom obliku. Ali Bulgakov je vjerojatno bio u pravu: veliki rukopisi ne gore! Fermatovo djelo ostaje. Ostali su u njegovim pismima prijateljima: lyonskom učitelju matematike Jacquesu de Billyju, zaposleniku kovnice novca Bernardu Freniquelu de Bessyju, Marcennyju, Descartesu, Blaiseu Pascalu... Ostala je Diofantova "Aritmetika" s njegovim komentarima na marginama, koja je nakon Fermatova smrt uključena je zajedno s Bachetovim komentarima u novo izdanje Diofanta, koje je objavio njegov najstariji sin Samuel 1670. Samo sami dokazi nisu preživjeli.

Dvije godine prije smrti Fermat je svom prijatelju Carcaviju poslao oporučno pismo koje je ušlo u povijest matematike pod naslovom “Sažetak novih rezultata u znanosti o brojevima”. U ovom pismu Fermat je dokazao svoju poznatu tvrdnju za slučaj n = 4. Ali tada ga najvjerojatnije nije zanimala sama tvrdnja, već metoda dokazivanja koju je otkrio, a koju je sam Fermat nazvao beskonačnim ili neodređenim spuštanjem.

Rukopisi ne gore. No, da nije bilo posvećenosti Samuela, koji je nakon očeve smrti sakupio sve njegove matematičke crtice i male rasprave, a potom ih objavio 1679. pod naslovom “Razna matematička djela”, učeni matematičari morali bi otkriti i ponovno otkriti mnogo toga . Ali čak i nakon njihova objavljivanja, problemi koje je postavio veliki matematičar nepomični su ležali više od sedamdeset godina. I to ne čudi. U obliku u kojem su se pojavili u tisku, teorijski rezultati P. Fermata pojavili su se pred stručnjacima u obliku ozbiljnih problema koji nisu uvijek bili jasni suvremenicima, gotovo bez dokaza i naznaka unutarnjih logičkih veza među njima. Možda upravo u nedostatku koherentne, dobro promišljene teorije leži odgovor na pitanje zašto sam Fermat nikada nije odlučio objaviti knjigu o teoriji brojeva. Sedamdesetak godina kasnije za ova se djela zainteresirao L. Euler, i to je doista bilo njihovo drugo rođenje...

Matematika je skupo platila Fermatov neobičan način prezentiranja svojih rezultata, kao da namjerno izostavlja njihove dokaze. Ali, ako je Fermat tvrdio da je dokazao ovaj ili onaj teorem, onda je taj teorem naknadno dokazan. Međutim, došlo je do problema s velikim teoremom.

Misterij uvijek uzbuđuje maštu. Čitave kontinente osvojio je tajanstveni Giocondin osmijeh; teorija relativnosti, kao ključ misterija prostorno-vremenskih veza, postala je najpopularnija fizikalna teorija stoljeća. I sa sigurnošću možemo reći da nije bilo drugog matematičkog problema koji je bio toliko popularan kao što je bio ___93

Znanstveni i obrazovni problemi civilna zaštita

Što je Fermatov teorem? Pokušaji da se to dokaže doveli su do stvaranja opsežne grane matematike - teorije algebarskih brojeva, ali (na žalost!) sam teorem ostao je nedokazan. Godine 1908. njemački matematičar Wolfskehl oporučno je ostavio 100.000 maraka svakome tko može dokazati Fermatov teorem. Bio je to ogroman iznos za ono vrijeme! U jednom trenutku možete postati ne samo slavni, već i nevjerojatno bogati! Stoga ne čudi da su srednjoškolci čak iu Rusiji, daleko od Njemačke, natječući se jedni s drugima, požurili dokazati veliki teorem. Što tek reći o profesionalnim matematičarima! Ali...uzalud! Nakon Prvog svjetskog rata novac je postao bezvrijedan, a protok pisama s pseudodokazima počeo je presušivati, iako, naravno, nikada nije prestao. Kažu da je slavni njemački matematičar Edmund Landau pripremio tiskane obrasce za slanje autorima dokaza Fermatova teorema: “Postoji pogreška na stranici ..., u redu ....” (Docent je dobio zadatak pronaći grešku.) Bilo je toliko neobičnosti i anegdota vezanih uz dokaz ovog teorema da bi se od njih mogla sastaviti knjiga. Najnovija anegdota je detektivska priča A. Marinine "Slučajnost okolnosti", snimljena i prikazana na televizijskim ekranima zemlje u siječnju 2000. U njoj naš sunarodnjak dokazuje teorem koji nisu dokazali svi njegovi veliki prethodnici i tvrdi za njega Nobelova nagrada. Kao što je poznato, izumitelj dinamita je u svojoj oporuci zanemario matematičare, pa je autor dokaza mogao tražiti samo Fieldsovu zlatnu medalju, najveću međunarodnu nagradu koju su 1936. odobrili sami matematičari.

U klasičnom djelu izvanrednog ruskog matematičara A.Ya. Khinchin, posvećen velikom Fermatovom teoremu, pruža informacije o povijesti ovog problema i obraća pažnju na metodu koju je Fermat mogao koristiti da dokaže svoj teorem. Dan je dokaz za slučaj n = 4 i kratki osvrt druge važne rezultate.

Ali u vrijeme kad je detektivska priča napisana, a još više u vrijeme kad je snimljena, opći dokaz teorema već je bio pronađen. Dana 23. lipnja 1993., na konferenciji o teoriji brojeva u Cambridgeu, matematičar s Princetona Andrew Wiles objavio je da je Fermatov posljednji teorem dokazan. Ali nikako kako je sam Fermat “obećao”. Put kojim je išao Andrew Wiles nije se temeljio na metodama elementarne matematike. Proučavao je tzv. teoriju eliptičkih krivulja.

Da biste dobili predodžbu o eliptičnim krivuljama, morate razmotriti ravninsku krivulju definiranu jednadžbom trećeg stupnja

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)

Sve takve krivulje dijele se u dvije klase. Prva klasa uključuje one krivulje koje imaju točke zaoštravanja (kao što je polukubična parabola y2 = a2-X s točkom zaoštravanja (0; 0)), točke samosjecišta (kao što je kartezijanski list x3+y3-3axy = 0 , u točki (0; 0)), kao i krivulje za koje je polinom Dx,y) predstavljen u obliku

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

gdje su ^(x,y) i ^(x,y) polinomi nižih stupnjeva. Krivulje ove klase nazivaju se degenerirane krivulje trećeg stupnja. Drugu klasu krivulja čine nedegenerirane krivulje; nazvat ćemo ih eliptičnima. To može uključivati, na primjer, Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Ako su koeficijenti polinoma (1) racionalni brojevi, tada se eliptička krivulja može transformirati u tzv. kanonski oblik.

y2= x3 + sjekira + b. (2)

Godine 1955. japanski matematičar Y. Taniyama (1927.-1958.) u okviru teorije eliptičkih krivulja uspio je formulirati hipotezu koja je otvorila put dokazu Fermatova teorema. Ali ni sam Taniyama ni njegovi kolege u to tada nisu sumnjali. Gotovo dvadeset godina ova hipoteza nije privukla ozbiljnu pozornost i postala je popularna tek sredinom 70-ih. Prema Taniyaminoj pretpostavci, svaka eliptika

krivulja s racionalnim koeficijentima je modularna. Međutim, do sada formulacija hipoteze malo govori pedantnom čitatelju. Stoga su potrebne neke definicije.

Svaka eliptična krivulja može se povezati s važnom numerička karakteristika- njegova diskriminacija. Za krivulju danu u kanonskom obliku (2), diskriminant A je određen formulom

A = -(4a + 27b2).

Neka je E neka eliptična krivulja, zadan jednadžbom(2), gdje su a i b cijeli brojevi.

Za prosti broj p, razmotrite usporedbu

y2 = x3 + ax + b(mod p), (3)

gdje su a i b ostaci od dijeljenja cijelih brojeva a i b s p, a s np označimo broj rješenja ove usporedbe. Brojevi pr vrlo su korisni u proučavanju pitanja rješivosti jednadžbi oblika (2) u cijelim brojevima: ako je neki pr jednak nuli, tada jednadžba (2) nema cjelobrojnih rješenja. Međutim, moguće je izračunati brojeve samo u najrjeđim slučajevima. (Ujedno je poznato da je r-p|< 2Vp (теоремаХассе)).

Promotrimo one proste brojeve p koji dijele diskriminantu A eliptične krivulje (2). Može se dokazati da se za takvo p polinom x3 + ax + b može napisati na jedan od dva načina:

x3 + ax + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p),

gdje su a, ß, y neki ostaci od dijeljenja s p. Ako se za sve proste brojeve p koji dijele diskriminantu krivulje ostvari prva od dvije navedene mogućnosti, tada se eliptička krivulja naziva polustabilnom.

Prosti brojevi koji dijele diskriminant mogu se kombinirati u ono što se naziva eliptična krivulja. Ako je E polustabilna krivulja, tada je njen vodič N dan formulom

gdje za sve primarni brojevi p > 5 koji dijeli A, eksponent eP je jednak 1. Indikatori 82 i 83 izračunavaju se pomoću posebnog algoritma.

U biti, to je sve što je potrebno da se shvati bit dokaza. Međutim, Taniyamina hipoteza sadrži složen i, u našem slučaju, ključni koncept modularnosti. Stoga, zaboravimo na trenutak eliptičke krivulje i razmotrimo analitičku funkciju f (to jest, funkciju koja se može prikazati nizom potencije) složenog argumenta z, dana u gornjoj poluravnini.

S H označavamo gornju kompleksnu poluravninu. Neka je N prirodan broj i k cijeli broj. Modularni parabolički oblik težine k razine N je analitička funkcija f(z) definirana u gornjoj poluravnini i koja zadovoljava relaciju

f = (cz + d)kf (z) (5)

za bilo koje cijele brojeve a, b, c, d tako da je ae - bc = 1 i c je djeljiv s N. Osim toga, pretpostavlja se da

lim f (r + it) = 0,

gdje je r racionalan broj, i to

Prostor modularnih paraboličkih formi težine k razine N označen je sa Sk(N). Može se pokazati da ima konačnu dimenziju.

U nastavku će nas posebno zanimati modularni parabolični oblici težine 2. Za male N dimenzija prostora S2(N) prikazana je u tablici. 1. Konkretno,

Dimenzije prostora S2(N)

stol 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Iz uvjeta (5) slijedi da je % + 1) = za svaki oblik f e S2(N). Prema tome, f je periodička funkcija. Takva se funkcija može prikazati kao

Nazovimo modularni parabolični oblik A^) u S2(N) pravim ako su njegovi koeficijenti cijeli brojevi koji zadovoljavaju relacije:

a g ■ a = a g+1 ■ p ■ c G_1 za jednostavno p koje ne dijeli broj N; (8)

(ap) za prosti broj p koji dijeli broj N;

atn = at an, ako je (t,n) = 1.

Formulirajmo sada definiciju koja igra ključnu ulogu u dokazu Fermatova teorema. Eliptična krivulja s racionalnim koeficijentima i vodičem N naziva se modularnom ako postoji takav svojstveni oblik

f (z) = ^anq" g S2(N),

da je ap = p - pr za gotovo sve proste brojeve p. Ovdje je n broj usporednih rješenja (3).

Teško je povjerovati u postojanje i jedne takve krivulje. Prilično je teško zamisliti da bi postojala funkcija A(r) koja zadovoljava navedena stroga ograničenja (5) i (8), koja bi se proširila u niz (7), čiji bi koeficijenti bili povezani s praktički neizračunljivim brojevi Pr. Ali Taniyamina hrabra hipoteza uopće nije dovela u sumnju činjenicu njihovog postojanja, a empirijski materijal nakupljen tijekom vremena sjajno je potvrdio njezinu valjanost. Nakon dva desetljeća gotovo potpunog zaborava, Taniyamina hipoteza dobila je svojevrstan drugi vjetar u radovima francuskog matematičara, člana Pariške akademije znanosti Andre Weila.

Rođen 1906. godine, A. Weil je s vremenom postao jedan od osnivača grupe matematičara koji su djelovali pod pseudonimom N. Bourbaki. Od 1958. A. Weil postaje profesor na Institutu za napredne studije Princeton. A pojava njegovog interesa za apstraktnu algebarsku geometriju datira iz tog istog razdoblja. U sedamdesetima se okrenuo eliptičkim funkcijama i Taniyaminoj pretpostavci. Monografija o eliptičkim funkcijama prevedena je ovdje u Rusiji. U svom hobiju nije sam. Godine 1985. njemački matematičar Gerhard Frey predložio je da ako je Fermatov teorem netočan, to jest ako postoji trojka cijelih brojeva a, b, c takva da je a" + bn = c" (n > 3), tada eliptična krivulja

y2 = x (x - a")-(x - cn)

ne može biti modularan, što je u suprotnosti s Taniyaminom pretpostavkom. Sam Frey nije uspio dokazati ovu tvrdnju, no ubrzo je dokaz dobio američki matematičar Kenneth Ribet. Drugim riječima, Ribet je pokazao da je Fermatov teorem posljedica Taniyamine pretpostavke.

Formulirao je i dokazao sljedeći teorem:

Teorem 1 (Ribet). Neka je E eliptična krivulja s racionalnim koeficijentima i diskriminantom

i dirigent

Pretpostavimo da je E modularan i neka

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

je odgovarajući ispravni oblik razine N. Fiksiramo prosti broj £, i

r:eR =1;- " 8 r

Zatim postoji takav parabolični oblik

/(g) = 2 dnqn e N)

s cijelim koeficijentima tako da su razlike an - dn djeljive s I za sve 1< п<ад.

Jasno je da ako je ovaj teorem dokazan za određeni eksponent, onda je time dokazan za sve eksponente djeljive s n. Budući da je svaki cijeli broj n > 2 djeljiv ili s 4 ili s neparnim prostim brojem, možemo se stoga ograničiti na slučaj kada je eksponent ili 4 ili neparan prost broj. Za n = 4 elementarni dokaz Fermatova teorema dobio je prvo sam Fermat, a zatim Euler. Dakle, dovoljno je proučiti jednadžbu

a1 + b1 = c1, (12)

u kojem je eksponent I neparan prost broj.

Sada se Fermatov teorem može dobiti jednostavnim izračunima (2).

Teorem 2. Posljednji Fermatov teorem slijedi iz Taniyamine pretpostavke za polustabilne eliptične krivulje.

Dokaz. Pretpostavimo da je Fermatov teorem netočan i neka postoji odgovarajući protuprimjer (kao gore, ovdje je I neparan prost broj). Primijenimo teorem 1 na eliptičku krivulju

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Jednostavni proračuni pokazuju da je vodič ove krivulje dan formulom

Uspoređujući formule (11) i (13), vidimo da je N = 2. Dakle, prema teoremu 1 postoji parabolični oblik

ležeći u prostoru 82(2). Ali na temelju relacije (6), ovaj prostor je nula. Dakle, dn = 0 za sve n. Istovremeno je a^ = 1. Dakle, razlika ag - dl = 1 nije djeljiva s I i dolazimo do kontradikcije. Dakle, teorem je dokazan.

Ovaj je teorem dao ključ za dokaz Fermatovog posljednjeg teorema. Pa ipak, sama je hipoteza još uvijek nedokazana.

Objavivši 23. lipnja 1993. dokaz Taniyamine pretpostavke za polustabilne eliptične krivulje, koje uključuju krivulje oblika (8), Andrew Wiles je požurio. Bilo je prerano da matematičari slave svoju pobjedu.

Toplo ljeto je brzo završilo, kišna jesen je ostala iza, a došla je i zima. Wiles je napisao i prepisao konačnu verziju svog dokaza, ali su pedantni kolege pronalazili sve više netočnosti u njegovom radu. I tako, početkom prosinca 1993., nekoliko dana prije nego što je Wilesov rukopis trebao ići u tisak, ponovno su otkrivene ozbiljne praznine u njegovim dokazima. A onda je Wiles shvatio da ne može ništa popraviti u dan ili dva. To je zahtijevalo ozbiljno poboljšanje. Objavljivanje djela moralo se odgoditi. Wiles se obratio Tayloru za pomoć. “Rad na pogreškama” trajao je više od godinu dana. Konačna verzija dokaza Taniyamine pretpostavke, koju je napisao Wiles u suradnji s Taylorom, objavljena je tek u ljeto 1995. godine.

Za razliku od junaka A. Marinina, Wiles se nije prijavio za Nobelovu nagradu, ali ipak... trebalo mu je dodijeliti nekakvu nagradu. Ali koji? Wiles je tada već bio u pedesetima, a Fieldsove zlatne medalje dodjeljuju se striktno do četrdesete godine, kada još nije prošao vrhunac kreativne aktivnosti. A onda su odlučili uspostaviti posebnu nagradu za Wilesa - srebrnu značku Fieldsova odbora. Ova mu je značka uručena na sljedećem matematičkom kongresu u Berlinu.

Od svih problema koji s većom ili manjom vjerojatnošću mogu zamijeniti posljednji Fermatov teorem, najveću šansu ima problem najbližeg pakiranja kuglica. Problem najgušćeg pakiranja kuglica može se formulirati kao problem kako najekonomičnije složiti naranče u piramidu. Mladi matematičari taj su zadatak naslijedili od Johannesa Keplera. Problem je nastao 1611. godine, kada je Kepler napisao kratki esej “O šesterokutnim snježnim pahuljama”. Keplerov interes za raspored i samoorganizaciju čestica materije doveo ga je do rasprave o drugom pitanju - najgušćem pakiranju čestica, u kojem one zauzimaju najmanji volumen. Ako pretpostavimo da čestice imaju oblik kuglica, onda je jasno da bez obzira na to kako se nalaze u prostoru, neizbježno će ostati praznine između njih, a pitanje je svesti volumen praznina na najmanju moguću mjeru. U radu se, primjerice, navodi (ali nije dokazano) da je takav oblik tetraedar, čije koordinatne osi unutar njega određuju osnovni kut ortogonalnosti od 109°28", a ne 90°. Ovaj problem je od velike važnosti. za fiziku čestica, kristalografiju i druge grane prirodnih znanosti.

Književnost

1. Weil A. Eliptičke funkcije prema Eisensteinu i Kroneckeru. - M., 1978.

2. Solovjev Yu.P. Taniyamina pretpostavka i Fermatov posljednji teorem // Soroseducation journal. - br. 2. - 1998. - str. 78-95.

3. Singh S. Fermatov posljednji teorem. Priča o misteriju koji već 358 godina zaokuplja najbolje umove svijeta / Trans. s engleskog Yu.A. Danilova. M.: MTsNMO. 2000. - 260 str.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Kvaternionska algebra i trodimenzionalne rotacije // Ovaj časopis br. 1(1), 2008. - str. 75-80.

Malo je ljudi na svijetu koji nikada nisu čuli za Fermatov posljednji teorem - možda je to jedini matematički problem koji je postao toliko poznat i postao prava legenda. Spominje se u mnogim knjigama i filmovima, a glavni kontekst gotovo svih spominjanja je nemogućnost dokazivanja teorema.

Da, ovaj je teorem jako dobro poznat i u neku ruku je postao “idol” kojeg obožavaju matematičari i profesionalni matematičari, ali malo ljudi zna da je njegov dokaz pronađen, a to se dogodilo davne 1995. godine. Ali prvo o svemu.

Dakle, Fermatov posljednji teorem (često zvan Fermatov posljednji teorem), koji je 1637. formulirao briljantni francuski matematičar Pierre Fermat, u biti je vrlo jednostavan i razumljiv svakome tko ima srednje obrazovanje. Kaže da formula a na n + b na n = c na n nema prirodna (tj. ne razlomljena) rješenja za n > 2. Sve se čini jednostavno i jasno, ali najbolji matematičari i obični amateri borili su se s traženjem rješenja više od tri i pol stoljeća.

Zašto je tako poznata? Sada ćemo saznati...

Ima li mnogo dokazanih, nedokazanih i još nedokazanih teorema? Ovdje se radi o tome da Fermatov posljednji teorem predstavlja najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Fermatov posljednji teorem je nevjerojatno težak zadatak, a ipak njegovu formulaciju može razumjeti svatko tko ima peti razred. Srednja škola, ali dokaz nije ni za svakog profesionalnog matematičara. Ni u fizici, ni u kemiji, ni u biologiji, ni u matematici ne postoji niti jedan problem koji bi se tako jednostavno formulirao, ali je tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?

Počnimo s Pitagorinim hlačama. Tekst je doista jednostavan – na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "Pitagorine hlače su jednake sa svih strana." Problem izgleda tako jednostavno jer se temeljio na matematičkoj tvrdnji koju svi znaju - Pitagorinom teoremu: u bilo kojem pravokutni trokut kvadrat izgrađen na hipotenuzi, jednak zbroju kvadrati izgrađeni na nogama.

U 5. stoljeću pr. Pitagora je osnovao Pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali cjelobrojne trojke koje zadovoljavaju jednakost x²+y²=z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo Pitagorinih trojki i dobili opće formule pronaći ih. Vjerojatno su pokušali tražiti trojke ili više visoki stupnjevi. Uvjereni da to nije uspjelo, pitagorejci su odustali od svojih beskorisnih pokušaja. Članovi bratovštine bili su više filozofi i esteti nego matematičari.

To jest, lako je odabrati skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x²+y²=z²

Počevši od 3, 4, 5 - doista, mlađi učenik razumije da je 9 + 16 = 25.

Ili 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Sjajno.

Dakle, ispada da NISU. Ovdje počinje trik. Jednostavnost je prividna, jer je teško dokazati ne prisutnost nečega, već, naprotiv, njegovu odsutnost. Kada trebate dokazati da postoji rješenje, možete i trebate jednostavno predstaviti to rješenje.

Dokazivanje odsutnosti je teže: na primjer, netko kaže: ta i takva jednadžba nema rješenja. Staviti ga u lokvu? jednostavno: bam - i evo ga, rješenje! (daj rješenje). I to je to, protivnik je poražen. Kako dokazati odsutnost?

Recite: "Nisam našao takva rješenja"? Ili možda niste dobro izgledali? Što ako postoje, samo jako velike, jako velike, takve da ni super-moćno računalo još uvijek nema dovoljno snage? To je ono što je teško.

Vizualno se to može prikazati ovako: ako uzmete dva kvadrata odgovarajuće veličine i rastavite ih na jedinične kvadrate, tada ćete iz ove gomile jediničnih kvadrata dobiti treći kvadrat (slika 2):


Ali učinimo isto s trećom dimenzijom (slika 3) - ne radi. Nema dovoljno kockica ili su ostale viška:

Ali matematičar iz 17. stoljeća Francuz Pierre de Fermat s entuzijazmom je istraživao opća jednadžba x n +y n =z n . I na kraju sam zaključio: za n>2 ne postoje cjelobrojna rješenja. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi gore! Ostaje samo njegova primjedba u Diofantovoj Aritmetici: "Pronašao sam doista nevjerojatan dokaz ove tvrdnje, ali margine su ovdje preuske da bi ih obuhvatile."

Zapravo, teorem bez dokaza naziva se hipoteza. Ali Fermat ima reputaciju da nikada ne griješi. Čak i ako nije ostavio dokaz izjave, ona je naknadno potvrđena. Štoviše, Fermat je dokazao svoju tezu za n=4. Tako je hipoteza francuskog matematičara ušla u povijest kao Fermatov posljednji teorem.

Nakon Fermata, veliki umovi poput Leonharda Eulera radili su na potrazi za dokazom (1770. predložio je rješenje za n = 3),

Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi su znanstvenici zajedno pronašli dokaz za n = 5 1825.), Gabriel Lamé (koji je pronašao dokaz za n = 7) i mnogi drugi. Sredinom 80-ih godina prošlog stoljeća postalo je jasno da je znanstveni svijet na putu konačnog rješenja Fermatovog posljednjeg teorema, ali tek 1993. matematičari su uvidjeli i povjerovali da je trostoljetna epopeja potrage za dokazom Posljednji Fermatov teorem bio je praktički gotov.

Lako se pokazuje da je Fermatov teorem dovoljno dokazati samo za jednostavni n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za složeni n, dokaz ostaje valjan. Ali ima beskonačno mnogo prostih brojeva...

Godine 1825., koristeći metodu Sophie Germain, matematičarke, Dirichlet i Legendre neovisno su dokazale teorem za n=5. Godine 1839., koristeći istu metodu, Francuz Gabriel Lame pokazao je istinitost teorema za n=7. Postupno je teorem dokazan za gotovo svih n manje od sto.

Naposljetku, njemački matematičar Ernst Kummer u briljantnoj je studiji pokazao da se teorem općenito ne može dokazati metodama matematike 19. stoljeća. Nagrada Francuske akademije znanosti, ustanovljena 1847. za dokaz Fermatova teorema, ostala je nedodijeljena.

Godine 1907. bogati njemački industrijalac Paul Wolfskehl odlučio si je oduzeti život zbog neuzvraćene ljubavi. Kao pravi Nijemac odredio je datum i vrijeme samoubojstva: točno u ponoć. Posljednjeg dana napravio je oporuku i napisao pisma prijateljima i rodbini. Stvari su završile prije ponoći. Mora se reći da je Paula zanimala matematika. Kako nije imao što drugo raditi, otišao je u knjižnicu i počeo čitati poznati Kummerov članak. Odjednom mu se učini da je Kummer pogriješio u svom razmišljanju. Wolfskel je s olovkom u rukama počeo analizirati ovaj dio članka. Ponoć je prošla, jutro je došlo. Praznina u dokazu je popunjena. A sam razlog samoubojstva sada je izgledao potpuno smiješan. Paul je poderao svoja oproštajna pisma i ponovno napisao oporuku.

Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili nemalo iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 sadašnjih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevskog znanstvenog društva iz Göttingena, koje je iste godine raspisalo natječaj za nagradu Wolfskehl. 100.000 maraka dobio je onaj tko je dokazao Fermatov teorem. Za pobijanje teorema nije dodijeljen ni pfening...

Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatovog posljednjeg teorema beznadnim zadatkom i odlučno su odbijali gubiti vrijeme na tako beskorisnu vježbu. Ali amateri su se oduševili. Nekoliko tjedana nakon objave, lavina "dokaza" pogodila je Sveučilište u Göttingenu. Profesor E.M. Landau, čija je odgovornost bila analiza poslanih dokaza, podijelio je kartice svojim studentima:

dragi . . . . . . .

Hvala vam što ste mi poslali rukopis s dokazom Fermatovog posljednjeg teorema. Prva greška je na stranici ... u redu... . Zbog toga cijeli dokaz gubi valjanost.
Profesor E. M. Landau

Paul Cohen je 1963. godine, oslanjajući se na Gödelova otkrića, dokazao nerješivost jednog od Hilbertova dvadeset i tri problema – hipotezu o kontinuumu. Što ako je Fermatov posljednji teorem također neodlučiv?! Ali istinski fanatici Velikog teorema nisu bili nimalo razočarani. Pojava računala iznenada je matematičarima dala novu metodu dokazivanja. Nakon Drugog svjetskog rata, timovi programera i matematičara dokazali su Fermatov posljednji teorem za sve vrijednosti n do 500, zatim do 1000, a kasnije i do 10000.

U 1980-ima Samuel Wagstaff je podigao granicu na 25 000, a u 1990-ima matematičari su proglasili da je Fermatov posljednji teorem istinit za sve vrijednosti n do 4 milijuna. Ali ako od beskonačnosti oduzmete čak trilijun bilijuna, neće postati manji. Statistika ne uvjerava matematičare. Dokazati Veliki teorem značilo je dokazati ga za SVE n idući u beskonačnost.

Godine 1954. dva mlada japanska prijatelja matematičara počela su istraživati ​​modularne forme. Ovi oblici generiraju nizove brojeva, svaki sa svojim nizom. Taniyama je slučajno usporedio te nizove s nizovima generiranim eliptičnim jednadžbama. Poklopili su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, a eliptičke jednadžbe su algebarske. Nikada nije pronađena veza između tako različitih objekata.

Međutim, nakon pažljivog testiranja, prijatelji su iznijeli hipotezu: svaka eliptična jednadžba ima dvojnik - modularni oblik, i obrnuto. Upravo je ta hipoteza postala temelj čitavog smjera u matematici, ali dok se hipoteza Taniyama-Shimura ne dokaže, cijela se zgrada svakog trenutka mogla srušiti.

Godine 1984. Gerhard Frey pokazao je da se rješenje Fermatove jednadžbe, ako postoji, može uključiti u neku eliptičku jednadžbu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet dokazao je da ova hipotetska jednadžba ne može imati pandan u modularnom svijetu. Od sada je Fermatov posljednji teorem bio neraskidivo povezan s Taniyama-Shimura pretpostavkom. Nakon što smo dokazali da je svaka eliptična krivulja modularna, zaključujemo da ne postoji eliptična jednadžba s rješenjem Fermatove jednadžbe, a Fermatov posljednji teorem bi odmah bio dokazan. Ali trideset godina nije bilo moguće dokazati hipotezu Taniyama-Shimura, a nade za uspjeh bilo je sve manje.

Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles već je bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliki teorem, shvatio je da ne može odustati od njega. Kao školarac, student i apsolvent pripremao se za taj zadatak.

Saznavši za otkrića Kena Ribeta, Wiles je bezglavo zaronio u dokazivanje hipoteze Taniyama-Shimura. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. “Shvatio sam da sve što ima bilo kakve veze s Fermatovim posljednjim teoremom izaziva previše interesa... Previše gledatelja očito ometa postizanje cilja.” Sedam godina napornog rada isplatilo se, Wiles je konačno dovršio dokaz Taniyama-Shimurine pretpostavke.

Godine 1993. engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je svijetu svoj dokaz Fermatovog posljednjeg teorema (Wiles je svoj senzacionalni rad pročitao na konferenciji na Institutu Sir Isaac Newton u Cambridgeu.), na kojem se radilo više od sedam godina.

Dok se pompa nastavljala u tisku, počeo je ozbiljan rad na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan prije nego što se dokaz može smatrati rigoroznim i točnim. Wiles je proveo nemirno ljeto čekajući povratne informacije od recenzenata, nadajući se da će uspjeti dobiti njihovo odobravanje. Krajem kolovoza vještaci su presudu ocijenili nedovoljno obrazloženom.

Pokazalo se da ova odluka sadrži grubu pogrešku, iako je u načelu ispravna. Wiles nije odustajao, pozvao je u pomoć slavnog stručnjaka za teoriju brojeva Richarda Taylora, te su već 1994. objavili ispravljeni i prošireni dokaz teorema. Najnevjerojatnije je da je ovaj rad zauzeo čak 130 (!) stranica u matematičkom časopisu “Annals of Mathematics”. No, ni tu priča nije završila – konačna točka dosegnuta je tek sljedeće, 1995. godine, kada je objavljena konačna i “idealna”, s matematičke strane gledano, verzija dokaza.

“... pola minute nakon početka svečane večere povodom njezina rođendana, Nadyi sam predao rukopis cjelovitog dokaza” (Andrew Wales). Nisam li već rekao da su matematičari čudni ljudi?

Ovaj put nije bilo sumnje u dokaze. Dva su članka podvrgnuta najpažljivijoj analizi i objavljena u svibnju 1995. u Annals of Mathematics.

Prošlo je dosta vremena od tog trenutka, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje da je Fermatov posljednji teorem nerješiv. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju raditi u tom smjeru - malo tko je zadovoljan što Veliki teorem zahtijeva rješenje od 130 stranica!

Stoga su sada napori mnogih matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih znanstvenika) bačeni u potragu za jednostavnim i sažetim dokazom, ali taj put, najvjerojatnije, neće voditi nikamo...

izvor