Рівняння конічної поверхні другого порядку. Конічні поверхні. Побудова конічних перерізів

Зміст статті

КОНІЧНІ ПЕРЕЧЕННЯ,плоскі криві, що виходять перетином прямого кругового конуса площиною, що не проходить через його вершину (рис. 1). З точки зору аналітичної геометрії конічний перетинє геометричним місцем точок, що задовольняють рівняння другого порядку. За винятком вироджених випадків, що розглядаються в останньому розділі, конічними перерізами є еліпси, гіперболи або параболи.

Конічні перерізи часто зустрічаються у природі та техніці. Наприклад, орбіти планет, що обертаються навколо Сонця, мають форму еліпсів. Окружність є окремий випадок еліпса, у якого велика вісь дорівнює малої. Параболічне дзеркало має ту властивість, що всі падаючі промені, паралельні його осі, сходяться в одній точці (фокусі). Це використовується в більшості телескопів-рефлекторів, де застосовуються параболічні дзеркала, а також в антенах радарів та спеціальних мікрофонах із параболічними відбивачами. Від джерела світла, що міститься у фокусі параболічного відбивача, виходить пучок паралельних променів. Тому у потужних прожекторах та автомобільних фарах використовуються параболічні дзеркала. Гіпербола є графіком багатьох важливих фізичних співвідношень, наприклад, закону Бойля (що зв'язує тиск та обсяг ідеального газу) та закону Ома, що задає електричний струмяк функцію опору при постійній напрузі.

РАННЯ ІСТОРІЯ

Відкривачем конічних перерізів імовірно вважається Менехм (4 ст. до н.е.), учень Платона та вчитель Олександра Македонського. Менехм використовував параболу та рівнобічну гіперболу для вирішення задачі про подвоєння куба.

Трактати про конічні перерізи, написані Аристеєм та Евклідом наприкінці 4 ст. до н.е., були втрачені, але матеріали з них увійшли до знаменитих Конічні перерізиАполлонія Пергського (бл. 260-170 до н.е.), що збереглися до нашого часу. Аполлоній відмовився від вимоги перпендикулярності сіючої площини утворюючої конуса і, варіюючи кут її нахилу, отримав всі конічні перерізи з одного кругового круга, прямого або похилого. Аполонію ми завдячуємо і сучасними назвами кривих – еліпс, парабола та гіпербола.

У своїх побудовах Аполлоній використав двопорожнинний круговий конус (як на рис. 1), тому вперше стало ясно, що гіпербола – крива з двома гілками. З часів Аполлонія конічні перерізи поділяються на три типи залежно від нахилу сіючої площини до конуса, що утворює. Еліпс (рис. 1, а) утворюється, коли січна площина перетинає всі утворюючі конуси в точках однієї його порожнини; парабола (рис. 1, б) – коли січна площина паралельна одній із дотичних площин конуса; гіпербола (рис. 1, в) – коли січна площина перетинає обидві порожнини конуса.

ПОБУДУВАННЯ КОНІЧНИХ ПЕРЕКЛАВ

Вивчаючи конічні перерізи як перетину площин і конусів, давньогрецькі математики розглядали їх як траєкторії точок на площині. Було встановлено, що еліпс можна визначити як геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох заданих точок постійна; параболу – як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки та заданої прямої; гіперболу – як геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох заданих точок постійна.

Ці визначення конічних перерізів як плоских кривих нагадують і спосіб їх побудови за допомогою натягнутої нитки.

Елліпс.

Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені у точках F 1 та F 2 (рис. 2), то крива, що описується вістрям олівця, що ковзає по туго натягнутій нитці, має форму еліпса. Крапки F 1 та F 2 називаються фокусами еліпса, а відрізки V 1 V 2 та v 1 v 2 між точками перетину еліпса з осями координат – більшою та малою осями. Якщо точки F 1 та F 2 збігаються, то еліпс перетворюється на коло.

Гіпербол.

При побудові гіперболи точка P, вістря олівця, фіксується на нитці, яка вільно ковзає по шпеньках, встановлених у точках F 1 та F 2, як показано на рис. 3, а. Відстань підібрані так, що відрізок PF 2 перевершує по довжині відрізок PF 1 на фіксовану величину, меншу за відстань F 1 F 2 . При цьому один кінець нитки проходить під шпеньком F 1 і обидва кінці нитки проходять поверх шпенька F 2 . (Вістря олівця не повинно ковзати по нитці, тому його потрібно закріпити, зробивши на нитці маленьку петлю і просунувши в неї вістря.) Одну гілка гіперболи ( PV 1 Q) ми викреслюємо, стежачи за тим, щоб нитка залишалася весь час натягнутою, і потягуючи обидва кінці нитки вниз за крапку F 2 , а коли точка Pвиявиться нижче відрізка F 1 F 2 , притримуючи нитку за обидва кінці та обережно потравлюючи (тобто відпускаючи) її. Другу гілка гіперболи ( Pў V 2 Qу) ми викреслюємо, попередньо помінявши ролями шпеньки F 1 та F 2 .

Гілки гіперболи наближаються до двох прямих, які перетинаються між гілками. Ці прямі, звані асимптотами гіперболи, будуються, як показано на рис. 3, б. Кутові коефіцієнтицих прямих рівні ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), де v 1 v 2 – відрізок бісектриси кута між асимптотами, перпендикулярним відрізку F 1 F 2; відрізок v 1 v 2 називається сполученою віссю гіперболи, а відрізок V 1 V 2 – її поперечною віссю. Таким чином, асимптоти є діагоналями прямокутника зі сторонами, що проходять через чотири точки. v 1 , v 2 , V 1 , V 2 паралельно осям. Щоб побудувати цей прямокутник, необхідно вказати розташування точок v 1 та v 2 . Вони знаходяться на однаковій відстані, що дорівнює

від точки перетину осей O. Ця формула передбачає побудову прямокутного трикутниказ катетами Ov 1 та V 2 Oта гіпотенузою F 2 O.

Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, гіпербола називається рівнобічної. Дві гіперболи, що мають загальні асимптоти, але з переставленими поперечною та сполученою осями, називаються взаємно сполученими.

Парабола.

Фокуси еліпса і гіперболи були відомі ще Аполлонію, але фокус параболи, мабуть, вперше встановив Папп (2-я пол. 3 ст.), Який визначив цю криву як геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокусу) і заданої прямої, яка називається директрисою. Побудова параболи за допомогою натягнутої нитки, заснована на визначенні Паппа, була запропонована Ісідором Мілетським (6 ст). Розташуємо лінійку так, щоб її край збігся з директрисою LLу (рис. 4), і додамо до цього краю катет ACкреслярського трикутника ABC. Закріпимо один кінець нитки завдовжки ABу вершині Bтрикутника, а інший – у фокусі параболи F. Натягнувши вістрям олівця нитку, притиснімо вістря у змінній точці Pдо вільного катету ABкреслярського трикутника. У міру того, як трикутник буде переміщатися вздовж лінійки, точка Pбуде описувати дугу параболи з фокусом Fта директрисою LLу , так як загальна довжина нитки дорівнює AB, відрізок нитки прилягає до вільного катета трикутника, і тому відрізок нитки, що залишився PFповинен дорівнювати частині катета, що залишилася. AB, тобто. PA. Точка перетину Vпараболи з віссю називається вершиною параболи, пряма, що проходить через Fі V, - віссю параболи. Якщо через фокус провести пряму, перпендикулярну до осі, то відрізок цієї прямої, що відсікається параболою, називається фокальним параметром. Для еліпса та гіперболи фокальний параметр визначається аналогічно.

ВЛАСТИВОСТІ КОНІЧНИХ ПЕРЕКЛАВ

Визначення Паппа.

Встановлення фокусу параболи навело Паппа на думку дати альтернативне визначення конічних перерізів загалом. Нехай F – задана точка(фокус), а L- Задана пряма (директриса), що не проходить через F, і D Fі D L- Відстань від рухомої точки Pдо фокусу Fта директриси Lвідповідно. Тоді, як показав Папп, конічні перерізи визначаються як геометричні місця точок. P, для яких відношення D F/D Lє невід'ємною постійною. Це ставлення називається ексцентриситетом eконічного перерізу. При e e> 1 – гіпербола; при e= 1 – парабола. Якщо Fлежить на L, то геометричні місця мають вигляд прямих (дійсних чи уявних), які є виродженими конічними перерізами.

Симетрія еліпса і гіперболи, що кидається в очі, говорить про те, що у кожної з цих кривих є по дві директриси і по два фокуси, і ця обставина навела Кеплера в 1604 на думку, що і у параболи існує другий фокус і друга директриса - нескінченно видалені точки та пряма. Так само і коло можна розглядати як еліпс, фокуси якого збігаються з центром, а директриси перебувають у нескінченності. Ексцентриситет eу цьому випадку дорівнює нулю.

Конструкція Данделена.

Фокуси та директриси конічного перерізу можна наочно продемонструвати, якщо скористатися сферами, вписаними в конус і званими сферами (кулями) Данделена на честь бельгійського математика та інженера Ж.Данделена (1794-1847), який запропонував наступну конструкцію. Нехай конічний перетин утворений перетином певної площини pз двопорожнинним прямим круговим конусом з вершиною у точці O. Впишемо в цей конус дві сфери S 1 та S 2 , які стосуються площини pу точках F 1 та F 2 відповідно. Якщо конічний перетин – еліпс (рис. 5, а), то обидві сфери знаходяться всередині однієї і тієї ж порожнини: одна сфера розташована над площиною p, А інша - під нею. Кожна утворююча конуса стосується обох сфер, і геометричне місце точок торкання має вигляд двох кіл C 1 та C 2 , розташованих у паралельних площинах p 1 та p 2 . Нехай P- Довільна точка на конічному перерізі. Проведемо прямі PF 1 , PF 2 і продовжимо пряму PO. Ці прямі – дотичні до сфер у точках F 1 , F 2 та R 1 , R 2 . Оскільки всі дотичні, проведені до сфери з однієї точки, рівні, то PF 1 = PR 1 та PF 2 = PR 2 . Отже, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 . Оскільки площині p 1 та p 2 паралельні, відрізок R 1 R 2 має постійну довжину. Таким чином, величина PR 1 + PR 2 одна і та ж для всіх положень точки P, і крапка Pналежить геометричному місцю точок, для яких сума відстаней від Pдо F 1 та F 2 постійна. Отже, точки F 1 та F 2 – фокуси еліптичного перетину. Крім того, можна показати, що прямі, за якими площина pперетинає площини p 1 та p 2, - Директриси побудованого еліпса. Якщо pперетинає обидві порожнини конуса (рис. 5, б), то дві сфери Данделена лежать по один бік від площини p, по одній сфері у кожній порожнині конуса. У цьому випадку різниця між PF 1 та PF 2 постійна, і геометричне місце точок Pмає форму гіперболи з фокусами F 1 та F 2 та прямими – лініями перетину pз p 1 та p 2 – як директрис. Якщо конічний перетин – парабола, як показано на рис. 5, в, то конус можна вписати тільки одну сферу Данделена.

Інші характеристики.

Властивості конічних перерізів воістину невичерпні, і будь-яке з них можна вважати визначальним. Важливе місце у Математичні збориПаппа (бл. 300), ГеометріїДекарта (1637) та ПочаткахНьютона (1687) займає завдання про геометричне місце точок щодо чотирьох прямих. Якщо на площині задані чотири прямі L 1 , L 2 , L 3 та L 4 (дві з яких можуть збігатися) та точка Pтака, що добуток відстаней від Pдо L 1 та L 2 пропорційно до твору відстаней від Pдо L 3 та L 4 , то геометричне місце точок Pє конічним перетином. Помилково вважаючи, що Аполлоній і Папп не зуміли вирішити задачу про геометричне місце точок щодо чотирьох прямих, Декарт, щоб отримати рішення та узагальнити його, створив аналітичну геометрію.

АНАЛІТИЧНИЙ ПІДХІД

Алгебраїчна класифікація.

У алгебраїчних термінах конічні перерізи можна визначити як плоскі криві, координати яких декартовій системікоординат задовольняють рівняння другого ступеня. Інакше кажучи, рівняння всіх конічних перерізів можна записати в загальному виглядіяк

де не всі коефіцієнти A, Bі Cрівні нулю. За допомогою паралельного перенесення та повороту осей рівняння (1) можна привести до вигляду

ax 2 + by 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Перше рівняння виходить з рівняння (1) при B 2 № AC, друге – при B 2 = AC. Конічні перерізи, рівняння яких наводяться до першого виду, називають центральними. Конічні перерізи, задані рівняннями другого виду з q№0, називаються нецентральними. У цих двох категорій існують дев'ять різних типівконічних перерізів залежно від знаків коефіцієнтів.

2831) Якщо коефіцієнти a, bі cмають один і той же знак, то не існує речових точок, координати яких задовольняли б рівняння. Такий конічний перетин називається уявним еліпсом (або уявним колом, якщо a = b).

2) Якщо aі bмають один знак, а c– протилежний, то конічний перетин – еліпс (рис. 1, а); при a = b– коло (рис. 6, б).

3) Якщо aі bмають різні знаки, то конічний перетин – гіпербола (рис. 1, в).

4) Якщо aі bмають різні знаки та c= 0, то конічний перетин складається з двох прямих, що перетинаються (рис. 6, а).

5) Якщо aі bмають один знак і c= 0, то існує тільки одна дійсна точка на кривій, що задовольняє рівняння, і конічний перетин - дві уявні прямі, що перетинаються. У цьому випадку також говорять про стягнуте в точку еліпса або, якщо a = b, стягнутої в точку кола (рис. 6, б).

6) Якщо або a, або bодно нулю, інші коефіцієнти мають різні знаки, то конічний перетин і двох паралельних прямих.

7) Якщо або a, або bодно нулю, інші коефіцієнти мають один знак, то немає жодної дійсної точки, задовольняє рівнянню. У цьому випадку кажуть, що конічний переріз складається з двох уявних паралельних прямих.

8) Якщо c= 0, або a, або bтакож дорівнює нулю, то конічний перетин складається з двох дійсних прямих. (Рівняння не визначає жодного конічного перерізу при a = b= 0, оскільки в цьому випадку вихідне рівняння (1) не другого ступеня.

9) Рівняння другого типу визначають параболи, якщо pі qвідмінні від нуля. Якщо p№ 0, а q= 0, ми отримуємо криву з п. 8. Якщо ж p= 0, то рівняння не визначає жодного конічного перерізу, оскільки вихідне рівняння (1) не другого ступеня.

Виведення рівнянь конічних перерізів.

Будь-яке конічне перетин можна також визначити як криву, якою площина перетинається з квадратичною поверхнею, тобто. з поверхнею, що задається рівнянням другого ступеня f (x, y, z) = 0. Очевидно, конічні перерізи були вперше розпізнані саме в цьому виді, а їх назви ( див. нижче) пов'язані з тим, що вони були отримані при перетині площини з конусом z 2 = x 2 + y 2 . Нехай ABCD- основа прямого кругового конуса (рис. 7) з прямим кутом при вершині V. Нехай площина FDCперетинає утворюючу VBу точці F, основа – по прямій CDі поверхня конуса – по кривій DFPC, де P- Будь-яка точка на кривій. Проведемо через середину відрізка CD– точку E- Пряму EFта діаметр AB. Через точку Pпроведемо площину, паралельну підставі конуса, що перетинає конус по колу RPSта пряму EFу точці Q. Тоді QFі QPможна прийняти, відповідно, за абсцису xта ординату yточки P. Утворена крива буде параболою.

Побудова, представлена на рис. 7 можна використовувати для виведення загальних рівнянь конічних перерізів. Квадрат довжини відрізка перпендикуляра, відновленого з будь-якої точки діаметра до перетину з колом, завжди дорівнює творудовжин відрізків діаметра. Тому

y 2 = RQЧ QS.

Для параболи відрізок RQмає постійну довжину (оскільки за будь-якого положення точки Pвін дорівнює відрізку AE), а довжина відрізка QSпропорційна x(Зі співвідношення QS/EB = QF/FE). Звідси слідує що

де a- Постійний коефіцієнт. Число aвиражає довжину фокального параметра параболи.

Якщо кут при вершині конуса гострий, то відрізок RQне дорівнює відрізку AE; але співвідношення y 2 = RQЧ QSеквівалентно до рівняння виду

де aі b- постійні, або, після зсуву осей, рівняння

що є рівнянням еліпса. Крапки перетину еліпса з віссю x (x = aі x = –a) і точки перетину еліпса з віссю y (y = bі y = –b) визначають відповідно велику та малу осі. Якщо кут при вершині конуса тупий, то крива перетину конуса і площини має вигляд гіперболи, і рівняння набуває наступного вигляду:

або, після перенесення осей,

У цьому випадку точки перетину з віссю x, що задаються співвідношенням x 2 = a 2 визначають поперечну вісь, а точки перетину з віссю y, що задаються співвідношенням y 2 = –b 2 , визначають сполучену вісь. Якщо постійні aі bу рівнянні (4a) рівні, то гіпербола називається рівнобічною. Поворотом осей її рівняння наводиться до вигляду

xy = k.

Тепер із рівнянь (3), (2) і (4) ми можемо зрозуміти зміст назв, даних Аполлонієм трьом основним конічним перерізам. Терміни «еліпс», «парабола» та «гіпербола» походять від грецьких слів, що означають «бракує», «рівний» і «перевершує». З рівнянь (3), (2) та (4) ясно, що для еліпса y 2 b 2 / a) x, для параболи y 2 = (a) xі для гіперболи y 2 > (2b 2 /a) x. У кожному випадку величина, укладена в дужки, дорівнює фокальному параметру кривій.

Сам Аполлоній розглядав лише три загальних типуконічних перерізів (перераховані вище типи 2, 3 та 9), але його підхід допускає узагальнення, що дозволяє розглядати всі дійсні криві другого порядку. Якщо січну площину вибрати паралельною круговій основі конуса, то в перетині вийде коло. Якщо січна площина має лише одну загальну точку з конусом, його вершину, то вийде переріз типу 5; якщо вона містить вершину і дотичну до конуса, ми отримуємо переріз типу 8 (рис. 6, б); якщо січна площина містить два утворюючі конуси, то в перерізі виходить крива типу 4 (рис. 6, а); при перенесенні вершини в нескінченність конус перетворюється на циліндр, і якщо при цьому площина містить дві утворюючі, виходить переріз типу 6.

Якщо на коло дивитися під косим кутом, вона виглядає як еліпс. Взаємозв'язок між колом і еліпсом, відомий ще Архімеду, стає очевидним, якщо коло X 2 + Y 2 = a 2 за допомогою підстановки X = x, Y = (a/b) yперетворити на еліпс, заданий рівнянням (3a). Перетворення X = x, Y = (ai/b) y, де i 2 = –1, дозволяє записати рівняння кола у вигляді (4a). Це показує, що гіперболу можна розглядати як еліпс з уявною малою віссю, або, навпаки, еліпс можна розглядати як гіперболу з уявною сполученою віссю.

Співвідношення між ординатами кола x 2 + y 2 = a 2 та еліпса ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 безпосередньо призводить до формули Архімеда A = p abдля площі еліпсу. Кеплеру була відома наближена формула p(a + b) для периметра еліпса, близького до кола, але точне вираз було отримано лише 18 в. після запровадження еліптичних інтегралів. Як показав Архімед, площа параболічного сегмента становить чотири треті площі вписаного трикутника, але довжину дуги параболи вдалося вирахувати лише після того, як у 17 ст. було винайдено диференціальне обчислення.

ПРОЕКТИВНИЙ ПІДХІД

Проективна геометрія тісно пов'язана із побудовою перспективи. Якщо накреслити коло на прозорому аркуші паперу і помістити під джерелом світла, то це коло проектуватиметься на площину, що знаходиться нижче. При цьому якщо джерело світла розташоване безпосередньо над центром кола, а площина і прозорий лист паралельні, то проекція також буде колом (рис. 8). Положення джерела світла називається точкою сходу. Вона позначена літерою V. Якщо Vрозташована не над центром кола або якщо площина не паралельна аркушу паперу, то проекція кола набуває форми еліпса. При ще більшому нахилі площини велика вісь еліпса (проекції кола) подовжується, і еліпс поступово перетворюється на параболу; на площині, паралельній прямій VP, проекція має вигляд параболи; при ще більшому нахилі проекція набуває вигляду однієї з гілок гіперболи.

Кожній точці на початковому колі відповідає певна точка на проекції. Якщо проекція має вигляд параболи або гіперболи, то кажуть, що точка, яка відповідає точці P, знаходиться в нескінченності або нескінченно видалено.

Як ми бачили, при відповідному виборі точок сходу коло може проектуватися в еліпси різних розмірів і з різними ексцентриситетами, а довжини великих осей не мають прямого відношення до діаметра кола, що проектується. Тому проективна геометрія немає справи з відстанями чи довжинами самими собою, її завдання – вивчення відносини довжин, яке зберігається під час проектування. Це ставлення можна знайти з допомогою наступного побудови. Через будь-яку точку Pплощині проведемо дві дотичні до будь-якого кола і з'єднаємо точки торкання прямої p. Нехай інша пряма, що проходить через точку P, перетинає коло в точках C 1 та C 2 , а пряму p- У точці Q(Рис. 9). У планіметрії доводиться, що PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2 . (Знак мінус виникає через те, що напрямок відрізка QC 1 протилежно напрямкам інших відрізків.) Інакше кажучи, точки Pі Qділять відрізок C 1 C 2 зовнішнім і внутрішнім чином в тому самому відношенні; кажуть також, що гармонійне відношення чотирьох відрізків дорівнює - 1. Якщо коло спроектувати в конічний перетин і зберегти за відповідними точками ті ж позначення, то гармонійне відношення ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) залишиться рівним - 1. Pназивається полюсом прямий pщодо конічного перерізу, а пряма p- Полярної точки Pщодо конічного перерізу.

Коли точка Pнаближається до конічного перетину, поляра прагне зайняти положення дотичної; якщо точка Pлежить на конічному перерізі, то її поляра збігається з дотичною до конічного перетину в точці P. Якщо точка Pрозташована всередині конічного перерізу, побудувати її поляру можна наступним чином. Проведемо через точку Pбудь-яку пряму, що перетинає конічний перетин у двох точках; проведемо дотичні до конічного перетину в точках перетину; припустимо, що ці дотичні перетинаються в точці P 1 . Проведемо через точку Pще одну пряму, яка перетинається з конічним перетином у двох інших точках; припустимо, що дотичні до конічного перетину в цих нових точках перетинаються в точці P 2 (рис. 10). Пряма, що проходить через крапки P 1 та P 2 , і є шукана поляра p. Якщо точка Pнаближається до центру Oцентрального конічного перетину, то поляра pвіддаляється від O. Коли точка Pспівпадає з O, то її поляра стає нескінченно віддаленою, або ідеальною, прямою на площині.

СПЕЦІАЛЬНІ ПОБУДУВАННЯ

Особливий інтерес для астрономів представляє таку просту побудову точок еліпса за допомогою циркуля та лінійки. Нехай довільна пряма, що проходить через точку O(Рис. 11, а), перетинає у точках Qі Rдва концентричні кола з центром у точці Oта радіусами bі a, де b a. Проведемо через точку Qгоризонтальну пряму, а через R– вертикальну пряму, та позначимо їх точку перетину P Pпри обертанні прямої OQRнавколо точки Oбуде еліпс. Кут fміж прямою OQRі великою віссю називається ексцентричним кутом, а побудований еліпс зручно задавати параметричними рівняннями x = a cos f, y = b sin f. Виключаючи їх параметр f, Отримаємо рівняння (3а).

Для гіперболи побудова багато в чому аналогічна. Довільна пряма, що проходить через точку O, перетинає одну з двох кіл у точці R(Рис. 11, б). До точки Rодного кола і до кінцевої точки Sгоризонтального діаметра іншого кола проведемо дотичні, що перетинають OSу точці Tі OR- У точці Q. Нехай вертикальна пряма, що проходить через точку T, і горизонтальна пряма, що проходить через точку Q, перетинаються в точці P. Тоді геометричним місцем точок Pпри обертанні відрізка ORнавколо Oбуде гіпербола, що задається параметричними рівняннями x = a sec f, y = b tg f, де f- Ексцентричний кут. Ці рівняння отримали французьким математиком А.Лежандром (1752–1833). Виключивши параметр f, ми отримаємо рівняння (4a).

Елліпс, як зауважив М.Коперник (1473-1543), можна побудувати за допомогою епіциклічного руху. Якщо коло котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого кола вдвічі більшого діаметра, то кожна точка P, що не лежить на меншому колі, але нерухома щодо неї, опише еліпс. Якщо точка Pзнаходиться на меншому колі, то траєкторія цієї точки є виродженим випадком еліпса – діаметр більшого кола. Ще простішу побудову еліпса було запропоновано Проклом в 5 ст. Якщо кінці Aі Bвідрізка прямий ABзаданої довжини ковзають по двох нерухомих перетинаються прямим (наприклад, по координатних осях), то кожна внутрішня точка Pвідрізка опише еліпс; нідерландський математик Ф. ван Схотен (1615-1660) показав, що будь-яка точка в площині прямих, що перетинаються, нерухома щодо ковзного відрізка, також опише еліпс.

Б.Паскаль (1623-1662) у 16 років сформулював нині знамениту теорему Паскаля, яка гласить: три точки перетину протилежних сторін шестикутника, вписаного в будь-який конічний перетин, лежать на одній прямій. З цієї теореми Паскаль вивів понад 400 наслідків.

Конічною поверхнею називається поверхня, утворена прямими - утворюючими конуса, - що проходять через цю точку- вершину конуса - і такими, що перетинають цю лінію - направляючу конуса. Нехай напрямна конуса має рівняння

а вершина конуса має координати Канонічні рівняння, що утворюють конуса як прямих, що проходять через точку ) і через точку напрямної, будуть;

Виключаючи х, у та z з чотирьох рівнянь (3) і (4), отримаємо шукане рівняння конічної поверхні. Це рівняння має дуже простою властивістю: воно однорідне (тобто всі його члени одного виміру) щодо різниць . Насправді, допустимо спочатку, що вершина конуса знаходиться на початку координат . Нехай X, У та Z - координати будь-якої точки конуса; вони задовольняють, отже, рівняння конуса. Після заміни в рівнянні конуса X, У і Z відповідно через XX, ХУ, XZ, де X - довільний множник, рівняння має задовольнятися, тому що XX, ХУ та XZ суть координати точки прямої, що проходить через початок координат в точку, тобто .утворюючої конуса. Отже, рівняння конуса не зміниться, якщо всі поточні координати помножимо на одне і число X. Звідси випливає, що це рівняння має бути однорідним щодо поточних координат.

У разі, якщо вершина конуса лежить у точці ми перенесемо початок координат у вершину, і за доведеним перетвореним рівнянням конуса буде однорідно щодо ноних координат, тобто відносно

приклад. Скласти рівняння конуса з вершиною на початку координат та напрямною

Канонічні рівняння утворюють, що проходять через вершину (0, 0, С) конуса та точку напрямної, будуть:

Виключимо х, у та з чотирьох даних рівнянь. Замінюючи через с, визначимо і з останніх двох рівнянь.

З тією відмінністю, що замість «плоських» графіків ми розглянемо найпоширеніші просторові поверхні, а також навчимося грамотно будувати їх від руки. Я досить довго підбирав програмні засоби для побудови тривимірних креслень і знайшов пару непоганих програм, але, незважаючи на всю зручність використання, ці програми погано вирішують важливе практичне питання. Справа в тому, що в найближчому історичному майбутньому студенти, як і раніше, будуть озброєні лінійкою з олівцем, і, навіть маючи якісний «машинний» креслення, багато хто не зможе коректно перенести його на картатий папір. Тому в методичці особливу увагу приділено техніці ручної побудови, і значна частина ілюстрацій сторінки є handmade-продуктом.

Чим відрізняється цей довідковий матеріал від аналогів?

Маючи пристойний практичний досвід, я дуже добре знаю, з якими поверхнями найчастіше доводиться мати справу в реальних завданнях. вищої математики, і сподіваюся, що ця стаття допоможе вам у найкоротші терміни поповнити свій багаж відповідними знаннями та прикладними навичками, яких у 90-95% випадків має вистачити.

Що потрібно вміти зараз?

Найпростіше:

По-перше, необхідно вміти правильно будуватипросторову декартову систему координат (Див. початок статті Графіки та властивості функцій) .

Що ви придбаєте після прочитання цієї статті?

Після освоєння матеріалів уроку ви навчитеся швидко визначати тип поверхні за її функцією та/або рівнянням, уявляти, як вона розташована в просторі, і, звичайно ж, виконувати креслення. Нічого страшного, якщо не все впаде в голові з одного прочитання - до будь-якого параграфа при необхідності завжди можна повернутися пізніше.

Інформація під силу кожному – для її освоєння не потрібно якихось надзнань, особливого художнього таланту та просторового зору.

Починаємо!

Насправді просторова поверхня зазвичай задається функцією двох зміннихабо рівнянням виду (Константа правої частини найчастіше дорівнює нулю або одиниці). Перше позначення більше притаманно математичного аналізу, друге – для аналітичної геометрії. Рівняння , по суті, є неявно заданоюфункцією 2 змінних, яку у типових випадках легко привести до вигляду . Нагадую найпростіший приклад з:

–рівняння площинивиду.

- функція площини в явному вигляді .

Давайте з неї і почнемо:

Поширені рівняння площин

Типові варіанти розташування площин у прямокутній системі координат детально розглянуті на початку статті Рівняння площини. Тим не менш, ще раз зупинимося на рівняннях, які мають велике значення для практики.

Перш за все, ви повинні на повному автоматі дізнаватись рівняння площин, які паралельні координатним площинам . Фрагменти площин стандартно зображують прямокутниками, які в останніх двох випадках виглядають як паралелограми. За умовчанням розміри можна вибрати будь-які (в розумних межах, звичайно), при цьому бажано, щоб точка, в якій координатна вісь «протикає» площину, була центром симетрії:

Строго кажучи, координатні осі місцями слід було зобразити пунктиром, але щоб уникнути плутанини нехтуватимемо цим нюансом.

– (лівий креслення)нерівність ставить далеке від нас напівпростір, виключаючи саму площину;

– (Середній креслення)нерівність ставить праве напівпростір, включаючи площину;

– (Правий креслення)подвійне нерівність ставить «шар», розташований між площинами, включаючи обидві площини.

Для самостійної розминки:

Приклад 1

Зобразити тіло, обмежене площинами
Скласти систему нерівностей, що визначають це тіло.

З-під грифеля вашого олівця має вийти старий знайомий прямокутний паралелепіпед . Не забувайте, що невидимі ребра та грані потрібно прокреслити пунктиром. Готовий креслення наприкінці уроку.

Будь ласка, НЕ ЗНЕБЕРАЙТЕ навчальними завданняминавіть якщо вони здаються занадто простими. А то може статися, раз пропустили, два пропустили, а потім витратили биту годину, вимучуючи тривимірне креслення в якому-небудь реальному прикладі. Крім того, механічна робота допоможе набагато ефективніше засвоїти матеріал та розвинути інтелект! Не випадково в дитячому садкуі початковій школідітей завантажують малюванням, ліпленням, конструкторами та іншими завданнями на дрібну моторику пальців. Вибачте за відступ, не пропадати ж двом моїм зошитам по вікової психології =)

Наступну групу площин умовно назвемо "прямими пропорційностями" - це площини, що проходять через координатні осі:

2) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь;

3) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь.

Хоча формальна ознака очевидна (яка змінна відсутня у рівнянні – через ту вісь і проходить площину), завжди корисно розуміти суть подій, що відбуваються:

Приклад 2

Побудувати площину

Як краще здійснити побудову? Пропоную наступний алгоритм:

Спочатку перепишемо рівняння у вигляді , з якого добре видно, що «гравець» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо значення , тобто розглядатимемо координатну площину . Рівняння задають просторову пряму, що лежить у цій координатній площині. Зобразимо цю лінію на кресленні. Пряма проходить через початок координат, для її побудови досить знайти одну точку. Нехай. Відкладаємо крапку та проводимо пряму.

Тепер повертаємось до рівняння площини. Оскільки «гравець» приймає будь-якізначення, то побудована у площині пряма безперервно «тиражується» вліво та вправо. Саме так і утворюється наша площина, що проходить через вісь. Щоб завершити креслення, ліворуч і праворуч від прямої відкладаємо дві паралельні лінії та поперечними горизонтальними відрізками «замикаємо» символічний паралелограм:

Оскільки умова не накладала додаткових обмежень, то фрагмент площини можна було зобразити трохи менших чи більших розмірів.

Ще раз повторимо сенс просторового лінійної нерівностіна прикладі . Як визначити напівпростір, який він ставить? Беремо якусь точку, не належитьплощині, наприклад, точку з ближнього до нас напівпростору і підставляємо її координати в нерівність:

Отримано вірна нерівність, Отже, нерівність ставить нижнє (щодо площині ) напівпростір, у своїй сама площину не входить у рішення.

Приклад 3

Побудувати площини
а);
б).

Це завдання для самостійної побудови, у разі складнощів використовуйте аналогічні міркування. Короткі вказівки та креслення наприкінці уроку.

Насправді особливо поширені площини, паралельні осі. Окремий випадок, коли площина проходить через вісь, щойно був у пункті «бе», і зараз ми розберемо загальне завдання:

Приклад 4

Побудувати площину

Рішення: В рівнянні в явному вигляді не бере участь змінна «зет», а значить, площина паралельна осі аплікат. Застосуємо ту ж техніку, що й у попередніх прикладах.

Перепишемо рівняння площини у вигляді з якого зрозуміло, що «зет» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо і в «рідній» площині накреслимо звичайну «плоську» пряму. Для її побудови зручно взяти опорні точки.

Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудована пряма безперервно «розмножується» вгору і вниз, утворюючи цим шукану площину . Акуратно оформляємо паралелограм розумної величини:

Готово.

Рівняння площини у відрізках

Найважливіший прикладний різновид. Якщо Усекоефіцієнти загального рівняння площини відмінні від нуля, то воно представимо у вигляді , який називається рівнянням площини у відрізках. Очевидно, що площина перетинає координатні осі в точках і велика перевага такого рівняння полягає в легкості побудови креслення:

Приклад 5

Побудувати площину

Рішення: спочатку складемо рівняння площини у відрізках. Перекинемо вільний член праворуч і розділимо обидві частини на 12:

Ні, тут не друкарська помилка і всі справи відбуваються саме в просторі! Досліджуємо запропоновану поверхню тим самим методом, що нещодавно використовували для площин. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і побудуємо у площині еліпс. Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудований еліпс безперервно «тиражується» вгору та вниз. Легко зрозуміти, що поверхня нескінченна:

Ця поверхня називається еліптичним циліндром. Еліпс (на будь-якій висоті) називається спрямовуючоюциліндра, а паралельні прямі, що проходять через кожну точку еліпса, називаються утворюючимициліндра (які у прямому значенні слова його й утворюють). Ось є віссю симетріїповерхні (але не її частиною!).

Координати будь-якої точки, що належить даній поверхні, обов'язково задовольняють рівняння .

Просторовенерівність ставить «начинку» нескінченної «труби», включаючи саму циліндричну поверхню, і, відповідно, протилежна нерівність визначає безліч точок поза циліндром.

У практичних завданнях найбільш популярний окремий випадок, коли спрямовуючоюциліндра є коло:

Приклад 8

Побудувати поверхню, задану рівнянням

Нескінченну «трубу» зобразити неможливо, тому мистецтва обмежуються, зазвичай, «обрізком».

Спочатку зручно побудувати коло радіусу в площині, а потім ще пару кіл зверху і знизу. Отримані кола ( напрямніциліндра) акуратно з'єднуємо чотирма паралельними прямими ( утворюючимициліндра):

Не забуваймо використовувати пунктир для невидимих нам ліній.

Координати будь-якої точки, що належить даному циліндру, задовольняють рівняння . Координати будь-якої точки, що лежить суворо всередині «труби», задовольняють нерівності , а нерівність ставить безліч точок зовнішньої частини. Для кращого розуміння рекомендую розглянути кілька конкретних точок простору та переконатися у цьому самостійно.

Приклад 9

Побудувати поверхню та знайти її проекцію на площину

Перепишемо рівняння у вигляді з якого випливає, що «ікс» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і в площині зобразимо коло- З центром на початку координат, одиничного радіусу. Оскільки «ікс» безперервно приймає Усезначення, то побудоване коло породжує круговий циліндр із віссю симетрії . Малюємо ще одне коло ( спрямовуючуциліндра) і акуратно з'єднуємо їх прямими ( утворюючимициліндра). Місцями вийшли накладки, але що робити, такий нахил:

Цього разу я обмежився шматочком циліндра на проміжку, і це не випадково. Насправді часто й потрібно зобразити лише невеликий фрагмент поверхні.

Тут, до речі, вийшло 6 утворюючих – дві додаткові прямі «закривають» поверхню з лівого верхнього та правого нижнього кутів.

Тепер знаємо проекцію циліндра на площину. Багато читачів розуміють, що таке проекція, проте проведемо чергову фізкульт-п'ятихвилинку. Будь ласка, встаньте і схиліть голову над кресленням так, щоб вістря осі дивилося перпендикулярно вам у чоло. Те, чим з цього ракурсу здається циліндр – і є його проекція на площину. А здається він нескінченною смугою, укладеною між прямими, включаючи самі прямі. Дана проекція – це точно область визначенняфункцій (верхній "жолоб" циліндра), (нижній "жолоб").

Давайте, до речі, прояснимо ситуацію з проекціями на інші координатні площини. Нехай промені сонця світять на циліндр з боку вістря і вздовж осі. Тінню (проекцією) циліндра на площину є аналогічна нескінченна смуга – частина площини, обмежена прямими ( – будь-яке), включаючи самі прямі.

А ось проекція на площину дещо інша. Якщо дивитися на циліндр з вістря осі, то він спроектується в коло одиничного радіусу , з якої ми починали шикування.

Приклад 10

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини

Це завдання для самостійного рішення. Якщо умова не дуже зрозуміла, зведіть обидві частини квадрат і проаналізуйте результат; з'ясуйте, яку саме частину циліндра задає функція . Використовуйте методику побудови, яка неодноразово застосовувалася вище. Коротке рішення, креслення та коментарі в кінці уроку.

Еліптичні та інші циліндричні поверхні можуть бути зміщені щодо координатних осей, наприклад:

(за знайомими мотивами статті про лініях 2-го порядку) - Циліндр одиничного радіусу з лінією симетрії, що проходить через точку паралельно осі. Однак на практиці подібні циліндри трапляються досить рідко, і зовсім неймовірно зустріти «косу» щодо координатних осей циліндричну поверхню.

Параболічні циліндри

Як випливає з назви, спрямовуючоютакого циліндра є парабола.

Приклад 11

Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини.

Не міг утриматись від цього прикладу =)

Рішення: йдемо второваною стежкою Перепишемо рівняння як , з якого випливає, що «зет» може приймати будь-які значення. Зафіксуємо та побудуємо звичайну параболу на площині, попередньо відзначивши тривіальні опорні точки. Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудована парабола безперервно «тиражується» вгору і вниз до безкінечності. Відкладаємо таку ж параболу, скажімо, на висоті (в площині) і акуратно з'єднуємо їх паралельними прямими ( утворюють циліндри):

Нагадую корисний технічний прийомЯкщо спочатку немає впевненості в якості креслення, то лінії спочатку краще прокреслити тонко-тонко олівцем. Потім оцінюємо якість ескізу, з'ясовуємо ділянки, де поверхня прихована від наших очей, і лише потім надаємо натиску грифелю.

Проекції.

1) Проекцією циліндра на площину є парабола. Слід зазначити, що в даному випадку не можна міркувати про області визначення функції двох змінних- З тієї причини, що рівняння циліндра не призводить до функціонального вигляду.

2) Проекція циліндра на площину є напівплощиною, включаючи вісь

3) І, нарешті, проекцією циліндра на площину є вся площина.

Приклад 12

Побудувати параболічні циліндри:

а) обмежитися фрагментом поверхні в ближньому напівпросторі;

б) на проміжку

У разі труднощів не поспішаємо та розмірковуємо за аналогією з попередніми прикладами, благо, технологія досконально відпрацьована. Не критично, якщо поверхні виходитимуть трохи корявими – важливо правильно відобразити принципову картину. Я і сам особливо не морочуся над красою ліній, якщо вийшов стерпний креслення «на трієчку», зазвичай не переробляю. У зразку рішення, до речі, використано ще один прийом, що дозволяє покращити якість креслення;-)

Гіперболічні циліндри

Направляючимитаких циліндрів є гіперболи. Цей тип поверхонь, за моїми спостереженнями, зустрічається значно рідше, ніж попередні види, тому я обмежуся єдиним схематичним кресленням гіперболічного циліндра.

Принцип міркування тут такий самий – звичайна шкільна гіперболаз площини безперервно «розмножується» вгору та вниз до нескінченності.

Розглянуті циліндри відносяться до так званих поверхонь 2-го порядку, і зараз ми продовжимо знайомитись з іншими представниками цієї групи:

Еліпсоід. Сфера та куля

Канонічне рівняння еліпсоїда у прямокутній системі координат має вигляд , де - позитивні числа ( півосіеліпсоїда), які в загальному випадку різні. Еліпсоідом називають як поверхня, так і тіло, обмежена цією поверхнею. Тіло, як багато хто здогадався, задається нерівністю і координати будь-якої внутрішньої точки (а також будь-якої точки поверхні) обов'язково задовольняють цю нерівність. Конструкція симетрична щодо координатних осей та координатних площин:

Походження терміна «еліпсоїд» теж очевидне: якщо поверхню «розрізати» координатними площинами, то в перерізах вийдуть три різні (загалом)

Поверхні другого порядку– це поверхні, які у прямокутній системі координат визначаються алгебраїчними рівняннямидругого ступеня.

1. Еліпсоід.

Еліпсоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням:

Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда.

Встановимо геометричний вигляд еліпсоїда. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині. Окси.Кожна з таких площин визначається рівнянням виду z=h, де h– будь-яке число, а лінія, яка виходить у перерізі, визначається двома рівняннями

(2)

Досліджуємо рівняння (2) при різних значеннях h .

> c(c>0), то і рівняння (2) визначають уявний еліпс, тобто точок перетину площини z=hз цим еліпсоїдом не існує. , то і лінія (2) вироджується у крапки (0; 0; + c) та (0; 0; - c) (Площини стосуються еліпсоїда). , то рівняння (2) можна у вигляді

звідки випливає, що площина z=hперетинає еліпсоїд еліпсом з півосями

та . При зменшенні значення і збільшуються та досягають своїх найбільших значеньпри , тобто в перерізі еліпсоїда координатною площиною Oxyвиходить найбільший еліпс з півосями та .

Аналогічна картина виходить і при перетині даної поверхні площинами, паралельними координатним площинам. Oxzі Oyz.

Таким чином, розглянуті перерізи дозволяють зобразити еліпсоїд як замкнуту овальну поверхню (рис. 156). Величини a, b, cназиваються півосямиеліпсоїда. В разі a=b=cеліпсоїд є сферой.

2. Односмуговий гіперболоїд.

Односмуговим гіперболоїдом називається поверхня, яка у певній прямокутній системі координат визначається рівнянням (3)

Рівняння (3) називається канонічним рівнянням односмугового гіперболоїду.

Встановимо вигляд поверхні (3). Для цього розглянемо перетин координатними площинами Oxy (y=0)іOyx (x = 0).Отримуємо відповідно рівняння

Тепер розглянемо перерізи даного гіперболоїда площинами z=h, паралельними координатній площині. Oxy. Лінія, що утворюється в перерізі, визначається рівняннями

або (4)

з яких випливає, що площина z=h перетинає гіперболоїд еліпсом з півосями

і ,

досягають найменших значень при h=0, тобто. у перерізі даного гіперболоїда координатною віссю Oxy виходить найменший еліпс із півосями a*=a та b*=b. При нескінченному зростанні

величини a* та b* зростають нескінченно.

Таким чином, розглянуті перерізи дозволяють зобразити односмуговий гіперболоїд у вигляді нескінченної трубки, що нескінченно розширюється при віддаленні (по обидва боки) від площини Oxy.

Величини a, b, c називаються півосями односмугового гіперболоїду.

3. Двопорожнинний гіперболоїд.

Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням

Рівняння (5) називається канонічним рівнянням двопорожнинного гіперболоїда.

Встановимо геометричний вигляд поверхні (5). Для цього розглянемо його переріз координатними площинами Oxy та Oyz. Отримуємо відповідно рівняння

у тому числі випливає, що у перерізах виходять гіперболи.

Тепер розглянемо перерізу даного гіперболоїда площинами z = h, паралельними координатній площині Oxy. Лінія, отримана у перерізі, визначається рівняннями

або (6)

з яких випливає, що за

>c (c>0) площину z=h перетинає гіперболоїд по еліпсу з півосями та . У разі збільшення величини a* і b* теж збільшуються. рівнянням (6) задовольняють координати двох точок: (0;0;+с) і (0;0;-с) (площини стосуються даної поверхні). рівняння (6) визначають уявний еліпс, тобто. точок перетину площини z=h з даним гіперболоїдом немає.

Величина a, b і c називаються півосями двопорожнинного гіперболоїда.

4. Еліптичний параболоїд.

Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням

(7)

де p>0 та q>0.

Рівняння (7) називається канонічним рівнянням еліптичного параболоїда.

Розглянемо перерізи даної поверхні координатними площинами Oxy та Oyz. Отримуємо відповідно рівняння

з яких випливає, що в перерізах утворюються параболи, симетричні щодо осі Oz, з вершинами на початку координат. (8)

у тому числі випливає, що з . При збільшенні величини h і b теж збільшуються; при h=0 еліпс вироджується в крапку (площина z=0 стосується цього гіперболоїда). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Таким чином, розглянуті перерізи дозволяють зобразити еліптичний параболоїд як нескінченно опуклої чаші.

Крапка (0; 0; 0) називається вершиною параболоїда; числа p та q – його параметрами.

У разі p=q рівняння (8) визначає коло із центром на осі Oz, тобто. еліптичний параболоїд можна розглядати як поверхню, утворену обертанням параболи навколо її осі (параболоїд обертання).

5. Гіперболічний параболоїд.

Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням

(9)

Основні теоретичні відомості

Циліндричною поверхнеюабо просто циліндромназивається всяка поверхня, яку можна отримати рухом прямий, що переміщається паралельно деякому вектору і весь час перетинає цю лінію, яка носить назву напрямної.Рухаюча пряма називається утворює.

Конічною поверхнеюабо просто конусомназивається поверхня, утворена рухом прямої, що проходить через дану точку, звану вершиною конуса,і ковзає по даній кривій. Рухаюча пряма називається утворює конуса,а крива, якою ковзає твірна, - напрямної.

Повертанням фігури навколо цієї прямої (осі обертання) називається такий рух, при якому кожна точка фігури
описує коло з центром на осі обертання, що у площині, перпендикулярної до осі обертання.

Поверхня, утворена обертанням лінії навколо осі, називається поверхнею обертання.

Канонічні рівняння поверхонь другого порядку

Поверхня другого порядку задається у прямокутних координатах рівнянням другого ступеня

(7.1)

Шляхом перетворення координат (поворотом осей та паралельним перенесенням) рівняння (7.1) наводиться до канонічного вигляду. У разі, коли в рівнянні (7.1) відсутні члени з добутком координат , це рівняння виділенням повних квадратів ,,і паралельним перенесенням осей координат наводиться до канонічного виду подібно до того, як це робилося для ліній другого порядку (див. Дослідження загального рівняння лінії другого порядку). Поверхні другого порядку та його канонічні рівняння представлені у табл. 3.

Форму та розташування поверхонь другого порядку зазвичай вивчають методом паралельних перерізів. Сутність методу у тому, що поверхня перетинається декількома площинами, паралельними координатним площинам. Форма та параметри отриманих перерізів дозволяють з'ясувати форму самої поверхні.

Таблиця 3


Гіперболоїд: однопорожнинний, двопорожнинний,

Параболоїд: еліптичний, гіперболічний,

еліптичний,

гіперболічний,

параболічний,

Приклади розв'язання задач

Завдання 7.1.Скласти рівняння сфери, радіус якої , а центр знаходиться у точці
.

Рішення.Сфера – це безліч точок, що віддалені від центру на тому самому відстані. Отже, позначивши через
координати довільної точки
сфери та висловивши через них рівність
, матимемо

Звівши обидві частини рівності квадрат, отримаємо шукане канонічне рівняння сфери:

Якщо центр сфери помістити на початок координат, то рівняння сфери має більш простий вигляд:

Відповідь.
.

Завдання 7.2.Скласти рівняння конічної поверхні з вершиною на початку координат та напрямною

(7.1)

Рішення.Канонічні рівняння, що утворюють через точку
і точку
напрямної, має вигляд

(7.2)

Виключимо ,,з рівнянь (7.1) та (7.2). Для цього в рівняннях (7.2) замінимо на і визначимо і :

;

Підставивши ці значення і у перше рівняння системи (7.1), матимемо:

або

Отримане рівняння визначає конус другого порядку (див. табл. 3)

Завдання 7.3.

Рішення.Ця поверхня є гіперболічний циліндр з утворюючими, паралельними осі.
Справді, це рівняння не містить , а напрямна циліндра є гіпербола

з центром симетрії у точці
і справжньою віссю, паралельної осі
.

Завдання 7.4.Дослідити та побудувати поверхню, задану рівнянням

Рішення.Перетнемо поверхню площиною
. В результаті маємо

звідки
. Це рівняння параболи у площині

Переріз заданої поверхні площиною
є парабола

Перетин площиною
є пара прямих, що перетинаються:

Перетин площинами, паралельними площині
, є гіперболи:

При
дійсна вісь гіперболи паралельна осі
, при
осі
. Досліджувана поверхня є гіперболічним параболоїдом (за асоціацією з формою, поверхня отримала назву "сідло").

Зауваження.Цікавою властивістю гіперболічного параболоїда є наявність прямих ліній, що лежать усіма своїми точками на його поверхні. Такі прямі називаються прямолінійними утворюючими гіперболічного параболоїда.Через кожну точку гіперболічного параболоїда проходять дві прямолінійні утворюючі.

Завдання 7.5.Яку поверхню визначає рівняння

Рішення.Щоб привести це рівняння до канонічного вигляду, виділимо повні квадрати змінних ,,:

Порівнюючи отримане рівняння з табличними (див. табл. 3), бачимо, що це рівняння однопорожнинного гіперболоїду, центр якого зміщений у крапку
Шляхом паралельного перенесення системи координат за формулами