Системите от уравнения са широко използвани в икономическата индустрия с математическо моделиранеразлични процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистични маршрути (транспортен проблем) или разполагане на оборудване.
Системите от уравнения се използват не само в математиката, но и във физиката, химията и биологията при решаване на задачи за намиране на размера на популацията.
Система линейни уравненияназовава две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намерят общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.
Линейно уравнение
Уравнения от вида ax+by=c се наричат линейни. Означенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнение чрез начертаването му ще изглежда като права линия, всички точки на която са решения на полинома.
Видове системи линейни уравнения
Най-простите примери се считат за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.
Решете система от уравнения - това означава намиране на стойности (x, y), в които системата се превръща истинско равенствоили установете, че не съществуват подходящи стойности за x и y.
Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.
Ако системите имат едно общо решение или не съществува решение, те се наричат еквивалентни.
Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака за равенство има стойност или е изразена чрез функция, такава система е разнородна.
Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.
Когато се сблъскват със системи, учениците приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите; те могат да бъдат колкото желаете.
Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения
Няма общ аналитичен метод за решаване на такива системи; всички методи се основават на числени решения. IN училищен курсМатематиката описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графични и матрични методи, решение по метода на Гаус.
Основната задача при преподаване на методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на използване на конкретен метод
Решаване на примери на системи от линейни уравнения от програмата за 7 клас средно училищедоста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери на системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите години на висшето образование.
Решаване на системи чрез метода на заместване
Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива по отношение на втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата
Нека дадем решение на пример за система от линейни уравнения от клас 7, използвайки метода на заместване:
Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решаването на този пример е лесно и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.
Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, решаването чрез заместване също е неподходящо.
Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:
Решение чрез алгебрично събиране
Когато се търсят решения на системи, използващи метода на добавяне, уравненията се добавят член по член и се умножават по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение в една променлива.
Прилагането на този метод изисква практика и наблюдение. Решаването на система от линейни уравнения чрез метода на добавяне, когато има 3 или повече променливи, не е лесно. Алгебричното събиране е удобно за използване, когато уравненията съдържат дроби и десетични знаци.
Алгоритъм за решение:
- Умножете двете страни на уравнението по определено число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
- Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
- Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.
Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива
Може да се въведе нова променлива, ако системата изисква намиране на решение за не повече от две уравнения; броят на неизвестните също не трябва да бъде повече от две.
Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава за въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.
Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да решите полином, като намерите дискриминанта.
Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта, като се използва добре известната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са факторите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има едно решение: x = -b / 2*a.
Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.
Визуален метод за решаване на системи
Подходящ за 3 системи от уравнения. Методът се състои в построяването на графики на всяко уравнение, включено в системата, върху координатната ос. Координатите на пресечните точки на кривите ще бъдат общото решение на системата.
Графичният метод има редица нюанси. Нека да разгледаме няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.
Както може да се види от примера, за всяка линия са конструирани две точки, стойностите на променливата x са избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x са намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.
Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.
Следният пример изисква намиране на графично решение на система от линейни уравнения: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.
Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при конструирането става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали една система има решение или не; винаги е необходимо да се построи графика.
Матрицата и нейните разновидности
Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата е специален вид таблица, пълна с числа. n*m има n - редове и m - колони.
Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица от една колона с безкраен възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.
Обратната матрица е матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична матрица; такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.
Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица
По отношение на системите от уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като матрични числа; едно уравнение е един ред от матрицата.
За матричен ред се казва, че е ненулев, ако поне един елемент от реда не е нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.
Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.
При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.
Опции за намиране на обратната матрица
Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 - обратна матрицаи |K| е детерминантата на матрицата. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.
Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, просто трябва да умножите диагоналните елементи един по друг. За опцията „три по три“ има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в работата.
Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод
Матричният метод за намиране на решение ви позволява да намалите тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.
В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор x n са променливи, а b n са свободни членове.
Решаване на системи по метода на Гаус
IN висша математикаМетодът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решения на системи се нарича метод на решение на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливи на системи с голям брой линейни уравнения.
Методът на Гаус е много подобен на решения чрез заместване и алгебрично събиране, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението по метода на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да намали системата до формата на обърнат трапец. от алгебрични трансформациии замествания, стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, докато 3 и 4 са съответно с 3 и 4 променливи.
След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.
В училищните учебници за 7 клас е описан пример за решение по метода на Гаус, както следва:
Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения: 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решаването на някое от уравненията ще ви позволи да откриете една от променливите x n.
Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.
Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците гимназия, но е един от най-интересните начини за развиване на изобретателността на децата, записани в програми за напреднали в часовете по математика и физика.
За по-лесно записване изчисленията обикновено се извършват, както следва:
Коефициентите на уравненията и свободните членове са записани под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната. Римските цифри показват номерата на уравненията в системата.
Първо, запишете матрицата, с която ще работите, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и необходимите алгебрични операции продължават до постигане на резултата.
Резултатът трябва да бъде матрица, в която един от диагоналите е равен на 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до единична форма. Не трябва да забравяме да извършваме изчисления с числа от двете страни на уравнението.
Този метод на запис е по-малко тромав и ви позволява да не се разсейвате с изброяване на множество неизвестни.
Безплатното използване на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи са с приложен характер. Някои методи за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват за образователни цели.
Системи линейни уравнения. Лекция 6.
Системи линейни уравнения.
Основни понятия.
Преглед на системата
Наречен система - линейни уравнения с неизвестни.
Извикват се числата , , системни коефициенти.
Извикват се номерата безплатни членове на системата, – системни променливи. Матрица
Наречен основната матрица на системата, и матрицата
– разширена матрична система. Матрици - колони
И съответно матрици от свободни членове и неизвестни на системата. Тогава в матрична форма системата от уравнения може да бъде записана като . Системно решениесе наричат стойностите на променливите, при заместването на които всички уравнения на системата се превръщат в правилни числени равенства. Всяко решение на системата може да бъде представено като матрица-колона. Тогава матричното равенство е вярно.
Системата от уравнения се нарича ставаако има поне едно решение и неставниако няма решение.
Решаването на система от линейни уравнения означава да се установи дали тя е последователна и ако е така, да се намери нейното общо решение.
Системата се нарича хомогененако всички негови свободни членове са равни на нула. Хомогенната система винаги е последователна, тъй като има решение
Теорема на Кронекер–Копели.
Отговорът на въпроса за съществуването на решения на линейни системи и тяхната уникалност ни позволява да получим следния резултат, който може да бъде формулиран под формата на следните твърдения относно система от линейни уравнения с неизвестни
(1)
Теорема 2. Системата от линейни уравнения (1) е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица (.
Теорема 3. Ако рангът на основната матрица на едновременна система от линейни уравнения е равен на броя на неизвестните, тогава системата има уникално решение.
Теорема 4. Ако рангът на основната матрица на съвместна система е по-малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой решения.
Правила за решаване на системи.
3. Намерете израза на главните променливи през свободните и получете общото решение на системата.
4. Чрез присвояване на произволни стойности на свободни променливи се получават всички стойности на основните променливи.
Методи за решаване на системи от линейни уравнения.
Метод на обратната матрица.
и , т.е. системата има уникално решение. Нека напишем системата в матрична форма
Където 
,
,
.
Нека умножим двете страни на матричното уравнение отляво по матрицата
Тъй като , получаваме , от което получаваме равенството за намиране на неизвестните
Пример 27.Решете система от линейни уравнения, като използвате метода на обратната матрица 
Решение. Нека означим с главната матрица на системата
.
Нека, тогава намираме решението, използвайки формулата.
Нека изчислим.
Тъй като , тогава системата има уникално решение. Нека намерим всички алгебрични допълнения
,
,
,
,
,
,
,
,
По този начин
.
Да проверим
.
Обратната матрица е намерена правилно. От тук, използвайки формулата, намираме матрицата на променливите.
.
Сравнявайки стойностите на матриците, получаваме отговора: .
Методът на Крамър.
Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни
и , т.е. системата има уникално решение. Нека напишем решението на системата в матрична форма или
Нека обозначим
. . . . . . . . . . . . . . ,
По този начин получаваме формули за намиране на стойностите на неизвестните, които се наричат Формули на Крамер.
Пример 28.Решете следната система от линейни уравнения, като използвате метода на Крамер 
.
Решение. Нека намерим детерминантата на основната матрица на системата
.
Тъй като , тогава системата има уникално решение.
Нека намерим останалите детерминанти за формулите на Крамър
,
,
.
Използвайки формулите на Cramer, намираме стойностите на променливите
Метод на Гаус.
Методът се състои в последователно елиминиране на променливи.
Нека е дадена система от линейни уравнения с неизвестни.
Процесът на решаване на Гаус се състои от два етапа:
На първия етап разширената матрица на системата се редуцира, като се използват елементарни трансформации, до поетапна форма
,
където , на което системата съответства
След това променливите 
се считат за свободни и се прехвърлят в дясната страна във всяко уравнение.
На втория етап променливата се изразява от последното уравнение и получената стойност се замества в уравнението. От това уравнение
променливата е изразена. Този процес продължава до първото уравнение. Резултатът е израз на главните променливи чрез свободни променливи 
.
Пример 29.Решете следната система, като използвате метода на Гаус
Решение. Нека да напишем разширената матрица на системата и да я приведем в поетапна форма
.
защото 
по-голям от броя на неизвестните, тогава системата е последователна и има безкраен брой решения. Нека напишем системата за стъпковата матрица
Детерминантата на разширената матрица на тази система, съставена от първите три колони, не е равна на нула, затова я считаме за основна. Променливи
Те ще бъдат основни, а променливата ще бъде безплатна. Нека го преместим във всички уравнения наляво
От последното уравнение изразяваме
Замествайки тази стойност в предпоследното второ уравнение, получаваме
където 
. Замествайки стойностите на променливите и в първото уравнение, намираме 
. Нека напишем отговора в следната форма
Много практически проблеми се свеждат до решаване на системи алгебрични уравнения 1-ва степен или, както обикновено се наричат, системи от линейни уравнения. Ще се научим да решаваме такива системи, без дори да изискваме броят на уравненията да съвпада с броя на неизвестните.
Най-общо системата от линейни уравнения се записва по следния начин:
Ето и числата a ij– коефициенти системи, b i – безплатни членове, x i– символи неизвестен . Много е удобно да се въведе матрична нотация: – основен матрица на системата, – матрица–колона от свободни членове, – матрица–колона от неизвестни. Тогава системата може да се напише така: БРАВИЛА=били по-подробно:
Ако от лявата страна на това равенство извършим матрично умножение по обичайните правила и приравним елементите на получената колона с елементите IN, тогава ще стигнем до оригиналния запис на системата.
Пример 14. Нека напишем същата система от линейни уравнения с две различни начини:
Обикновено се нарича система от линейни уравнения става , ако има поне едно решение, и несъвместим, ако няма решения.
В нашия пример системата е последователна, колоната е нейното решение:
Това решение може да се напише без матрици: х=2, г=1 . Ще наречем системата от уравнения несигурен , в случай че има повече от едно решение, и сигурен, ако има само едно решение.
Пример 15. Системата е несигурна. Например, са неговите решения. Читателят може да намери много други решения на тази система.
Нека се научим как да решаваме системи от линейни уравнения първо в конкретен случай. Система от уравнения ОХ=INще се обадим на Крамер , ако основната му матрица А– квадратни и неизродени. С други думи, в системата на Крамер броят на неизвестните съвпада с броя на уравненията и .
Теорема 6. (Правило на Крамър).Системата от линейни уравнения на Крамер има уникално решение, дадено от формулите:
където е детерминантата на основната матрица, е детерминантата, получена от дзамяна i-та колона с колона свободни термини.
Коментирайте.Системите на Cramer могат да бъдат решени по друг начин, като се използва обратна матрица. Нека запишем тази система в матрична форма: БРАВИЛА=IN. Тъй като , тогава има обратна матрица А –1 . Умножете равенството на матрицата по А –1 наляво: А –1 ОХ=А –1 IN. защото А –1 ОХ=EX=х, тогава се намира решението на системата: х= А –1 INЩе наричаме този метод на решение матрица . Нека подчертаем още веднъж, че тя е подходяща само за системи на Cramer - в други случаи обратната матрица не съществува. По-долу читателят ще намери подробни примери за използването на матричния метод и метода на Крамер.
Нека накрая да проучим общия случай - системата млинейни уравнения с ннеизвестен. За да го разрешите, използвайте Метод на Гаус , които ще разгледаме подробно За произволна системауравнения ОХ=INще го изпишем разширена матрица. Това е обичайното име за матрицата, която ще се получи, ако основната матрица Адобавете колона с безплатни членове вдясно IN:
Както при изчисляване на ранга, използвайки елементарни трансформации на редове и пермутации на колони, ще намалим нашата матрица до трапецовидна форма. В този случай, разбира се, системата от уравнения, съответстваща на матрицата, ще се промени, но ще бъде е еквивалентен оригиналният (ᴛ.ᴇ. ще има същите решения). Всъщност пренареждането или добавянето на уравнения няма да промени решенията. Пренареждане на колони - също: уравнения х 1+3x2+7x3=4 И х 1+7x3+3x2=4, разбира се, че са еквивалентни. Трябва само да запишете на кое неизвестно отговаря дадената колона. Ние не пренареждаме колоната със свободни термини - тя обикновено е отделена от останалите в матрицата с пунктирана линия. Нулевите редове, които се появяват в матрицата, не трябва да се записват.
Пример 1. Решете системата от уравнения:
Решение.Нека напишем разширената матрица и я редуцираме до трапецовидна форма. Знак ~ сега ще означава не само съвпадение на рангове, но и еквивалентност на съответните системи от уравнения.
~ . Нека обясним извършените действия.
Действие 1. Първият ред беше добавен към втория ред, умножавайки го по (–2). Първият ред беше добавен към 3-ти и 4-ти ред, умножавайки го по (–3). Целта на тези операции е да се получат нули в първата колона, под главния диагонал.
Действие 2.Тъй като на диагоналното място (2,2) има 0 , трябваше да пренаредя 2-ра и 3-та колона. За да запомним тази пермутация, написахме символите на неизвестните отгоре.
Действие 3.Вторият ред беше добавен към третия ред, умножавайки го по (–2). Към 4-тия ред беше добавен 2-ри ред. Целта е да получите нули във втората колона, под главния диагонал.
Действие 4.Нулевите линии могат да бъдат премахнати.
И така, матрицата се редуцира до трапецовидна форма. Нейният ранг r=2 . Неизвестен х 1, х 3- основен; х 2, х 4- Безплатно. Нека дадем произволни стойности на свободните неизвестни:
х 2= а, х 4= b.
Тук а, бможе да бъде произволно число. Сега от последното уравнение нова система
х 3+х 4= –3
намираме x 3: x 3= –3 –b.Издигане нагоре, от първото уравнение
х 1+3x 3+2x 2+4x 4= 5
намираме x 1: x 1=5 –3(–3 –б)–2а–4б= 14 –2а–b.
Записваме общото решение:
х 1=14 –2а–б, х 2=а, х 3=–3 –б, х 4=b.
Можете да напишете общото решение като матрица-колона:
За конкретни стойности аИ b, можете да получите частен решения. Например, когато а=0, б=1 получаваме: – едно от решенията на системата.
Бележки.В алгоритъма на метода на Гаус, който видяхме (случай 1), че несъвместимостта на системата от уравнения е свързана с несъответствието в ранговете на основната и разширената матрици. Нека представим следната важна теорема без доказателство.
Теорема 7 (Кронекер–Капели). Система от линейни уравнения е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата.
Системи линейни уравнения – понятие и видове. Класификация и особености на категория "Системи от линейни уравнения" 2017, 2018.
Така че неговите редове (или колони) са линейно зависими. Нека е дадена система, съдържаща mлинейни уравнения с неизвестни: 5.1. Нека въведем следната нотация. 5.2., - матрицата на системата - нейната разширена матрица. - колона с безплатни членове. - колона неизвестни. Ако...
нелинейна оптимизация (NLO) и обратно. Постановка на проблема със ЗНО: Намерете (8.1) минимума или максимума в дадена област D. Както помним от Math. анализ, частните производни трябва да бъдат равни на нула. Така ZNO (8.1) беше редуциран до SNL (8.2) (8.2) n нелинейни уравнения. ... .
Лекция 15 Да разгледаме нехомогенна система (16) Ако съответните коефициенти на хомогенна система (7) са равни на съответните коефициенти на нехомогенна система (16), тогава хомогенната система (7) се нарича съответстваща нехомогенна система (16) . Теорема. Ако... [прочетете повече] .
7.1. Хомогенни системи линейни уравнения. Нека е дадена хомогенна система от линейни уравнения (*) Да приемем, че набор от числа е някакъв вид решение на тази система. Тогава наборът от числа също е решение. Това може да се провери чрез директно заместване в уравненията на системата.... .
Таблица 3 Етапи на двигателното развитие на детето Етап Възраст Показатели за двигателно развитие момент от раждането до 4 месеца Формиране на контрол върху положението на главата и възможността за нейната свободна ориентация в пространството 4-6 месеца развитие на началния... .
Определение 1. Система от линейни уравнения от вида (1), където полето се нарича система от m линейни уравнения с n неизвестни над полето, са коефициентите на неизвестните, са свободните членове на системата (1 ). Определение 2. Подредено n (), където, се нарича решение на система от линейни... .
Съдържание на урока
Линейни уравнения с две променливи
Ученик има 200 рубли, за да обядва в училище. Торта струва 25 рубли, а чаша кафе - 10 рубли. Колко торти и чаши кафе можете да купите за 200 рубли?
Нека означим броя на тортите с хи броя чаши кафе г. Тогава цената на тортите ще бъде означена с израза 25 х, а цената на чашите кафе в 10 г .
25х -цена хторти
10y —цена гчаши кафе
Общата сума трябва да бъде 200 рубли. Тогава получаваме уравнение с две променливи хИ г
25х+ 10г= 200
Колко корена има това уравнение?
Всичко зависи от апетита на ученика. Ако той купи 6 торти и 5 чаши кафе, тогава корените на уравнението ще бъдат числата 6 и 5.
Твърди се, че двойката стойности 6 и 5 са корените на уравнение 25 х+ 10г= 200. Записано като (6; 5), като първото число е стойността на променливата х, а втората - стойността на променливата г .
6 и 5 не са единствените корени, които обръщат уравнение 25 х+ 10г= 200 за самоличност. Ако желаете, за същите 200 рубли студент може да купи 4 торти и 10 чаши кафе:
В този случай корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 е двойка стойности (4; 10).
Освен това ученик може изобщо да не купува кафе, но да купува торти за цели 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 ще бъдат стойностите 8 и 0
Или обратното, не купувайте торти, а купете кафе за цели 200 рубли. Тогава корените на уравнение 25 х+ 10г= 200 стойностите ще бъдат 0 и 20
Нека се опитаме да изброим всички възможни корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Нека се съгласим, че ценностите хИ гпринадлежат на множеството от цели числа. И нека тези стойности са по-големи или равни на нула:
х∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Това ще бъде удобно за самия ученик. По-удобно е да купувате цели торти, отколкото например няколко цели торти и половин торта. Също така е по-удобно да вземете кафе в цели чаши, отколкото например няколко цели чаши и половин чаша.
Имайте предвид, че за странно хневъзможно е да се постигне равенство при никакви обстоятелства г. След това стойностите хследващите числа ще бъдат 0, 2, 4, 6, 8. И знаейки хможе лесно да се определи г
Така получихме следните двойки стойности (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Тези двойки са решения или корени на уравнение 25 х+ 10г= 200. Те превръщат това уравнение в тъждество.
Уравнение на формата брадва + от = cНаречен линейно уравнение с две променливи. Решението или корените на това уравнение са двойка стойности ( х; г), което го превръща в идентичност.
Отбележете също, че ако линейно уравнение с две променливи е записано във формата ax + b y = c,тогава казват, че е написано в каноничен(нормална) форма.
Някои линейни уравнения с две променливи могат да бъдат редуцирани до канонична форма.
Например уравнението 2(16х+ 3y − 4) = 2(12 + 8х − г) може да се доведе до ума брадва + от = c. Нека отворим скобите от двете страни на това уравнение и ще получим 32х + 6г − 8 = 24 + 16х − 2г . Групираме членове, съдържащи неизвестни в лявата страна на уравнението, и членове без неизвестни - в дясната. Тогава получаваме 32x− 16х+ 6г+ 2г = 24 + 8 . Представяме подобни членове от двете страни, получаваме уравнение 16 х+ 8г= 32. Това уравнение се свежда до формата брадва + от = cи е каноничен.
Уравнение 25, обсъдено по-рано х+ 10г= 200 също е линейно уравнение с две променливи в канонична форма. В това уравнение параметрите а , bИ ° Сса равни на стойностите съответно 25, 10 и 200.
Всъщност уравнението брадва + от = cима безброй решения. Решаване на уравнението 25х+ 10г= 200, търсихме неговите корени само в множеството от цели числа. В резултат на това получихме няколко двойки стойности, които превърнаха това уравнение в идентичност. Но в набора от рационални числа, уравнение 25 х+ 10г= 200 ще има безкрайно много решения.
За да получите нови двойки стойности, трябва да вземете произволна стойност за х, след това изразете г. Например, нека вземем променливата хстойност 7. След това получаваме уравнение с една променлива 25×7 + 10г= 200 в които човек може да изрази г
Позволявам х= 15. Тогава уравнението 25х+ 10г= 200 става 25 × 15 + 10г= 200. От тук намираме това г = −17,5
Позволявам х= −3 . Тогава уравнението 25х+ 10г= 200 става 25 × (−3) + 10г= 200. От тук намираме това г = −27,5
Система от две линейни уравнения с две променливи
За уравнението брадва + от = cможете да вземете произволни стойности толкова пъти, колкото искате хи намерете стойности за г. Взето отделно, такова уравнение ще има безброй решения.
Но също така се случва, че променливите хИ гсвързани не с едно, а с две уравнения. В този случай те образуват т.нар система от линейни уравнения с две променливи. Такава система от уравнения може да има една двойка стойности (или с други думи: „едно решение“).
Възможно е също така системата да няма никакви решения. Система от линейни уравнения може да има безброй решения в редки и изключителни случаи.
Две линейни уравнения образуват система, когато стойностите хИ гвъведете всяко от тези уравнения.
Нека се върнем към първото уравнение 25 х+ 10г= 200. Една от двойките стойности за това уравнение беше двойката (6; 5). Това е случай, когато за 200 рубли можете да си купите 6 торти и 5 чаши кафе.
Нека формулираме проблема така, че двойката (6; 5) да стане единственото решениеза уравнение 25 х+ 10г= 200. За да направим това, нека създадем друго уравнение, което да свърже същото хторти и гчаши кафе.
Нека формулираме текста на задачата, както следва:
„Ученикът купи няколко торти и няколко чаши кафе за 200 рубли. Торта струва 25 рубли, а чаша кафе - 10 рубли. Колко торти и чаши кафе е купил ученикът, ако се знае, че броят на тортите е с една единица по-голям от броя на чашите кафе?
Вече имаме първото уравнение. Това е уравнение 25 х+ 10г= 200. Сега нека създадем уравнение за условието „броят на тортите е с една единица по-голям от броя на чашите кафе“ .
Броят на тортите е х, а броят на чашите кафе е г. Можете да напишете тази фраза, като използвате уравнението x−y= 1. Това уравнение ще означава, че разликата между сладкиши и кафе е 1.
x = y+ 1 . Това уравнение означава, че броят на тортите е с едно повече от броя на чашите кафе. Следователно, за да се получи равенство, към броя на чашите кафе се добавя единица. Това може лесно да се разбере, ако използваме модела на скалите, който разгледахме при изучаването на най-простите задачи:
Имаме две уравнения: 25 х+ 10г= 200 и x = y+ 1. Тъй като стойностите хИ г, а именно 6 и 5 са включени във всяко от тези уравнения, тогава заедно те образуват система. Нека запишем тази система. Ако уравненията образуват система, тогава те са рамкирани със знака на системата. Системният символ е фигурна скоба:
Нека решим тази система. Това ще ни позволи да видим как стигаме до стойностите 6 и 5. Има много методи за решаване на такива системи. Нека да разгледаме най-популярните от тях.
Метод на заместване
Името на този метод говори само за себе си. Същността му е да замести едно уравнение в друго, като предварително е изразила една от променливите.
В нашата система няма нужда да изразяваме нищо. Във второто уравнение х = г+ 1 променлива хвече изразено. Тази променлива е равна на израза г+ 1 . След това можете да замените този израз в първото уравнение вместо променливата х
След заместване на израза гВместо това + 1 в първото уравнение х, получаваме уравнението 25(г+ 1) + 10г= 200 . Това е линейно уравнение с една променлива. Това уравнение е доста лесно за решаване:
Намерихме стойността на променливата г. Сега нека заместим тази стойност в едно от уравненията и да намерим стойността х. За това е удобно да се използва второто уравнение х = г+ 1 . Нека заместим стойността в него г
Това означава, че двойката (6; 5) е решение на системата от уравнения, както възнамерявахме. Проверяваме и се уверяваме, че двойката (6; 5) удовлетворява системата:
Пример 2
Нека заместим първото уравнение х= 2 + гвъв второто уравнение 3 x− 2г= 9. В първото уравнение променливата хравно на израза 2 + г. Нека вместо това заместим този израз във второто уравнение х
Сега нека намерим стойността х. За да направите това, нека заместим стойността гв първото уравнение х= 2 + г
Това означава, че решението на системата е стойността на двойката (5; 3)
Пример 3. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:
Тук, за разлика от предишните примери, една от променливите не е изразена изрично.
За да замените едно уравнение в друго, първо трябва .
Препоръчително е да изразите променливата с коефициент единица. Променливата има коефициент едно х, който се съдържа в първото уравнение х+ 2г= 11. Нека изразим тази променлива.
След променлив израз х, нашата система ще приеме следната форма:
Сега нека заместим първото уравнение във второто и да намерим стойността г
Да заместим г х
Това означава, че решението на системата е двойка стойности (3; 4)
Разбира се, можете също да изразите променлива г. Корените няма да се променят. Но ако изразите y,Резултатът не е много просто уравнение, чието решаване ще отнеме повече време. Ще изглежда така:
Виждаме, че в този пример изразяваме хмного по-удобно от изразяването г .
Пример 4. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:
Нека изразим в първото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:
г
Да заместим гв първото уравнение и намерете х. Можете да използвате оригиналното уравнение 7 х+ 9г= 8 или използвайте уравнението, в което е изразена променливата х. Ще използваме това уравнение, защото е удобно:
Това означава, че решението на системата е двойка стойности (5; −3)
Метод на добавяне
Методът на добавяне се състои в добавяне на уравненията, включени в системата член по член. Това добавяне води до ново уравнение с една променлива. И решаването на такова уравнение е доста просто.
Нека решим следната система от уравнения:
Нека съберем лявата страна на първото уравнение с лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. Получаваме следното равенство:
Нека разгледаме подобни условия:
В резултат на това получихме най-простото уравнение 3 х= 27, чийто корен е 9. Знаейки стойността хможете да намерите стойността г. Нека заместим стойността хвъв второто уравнение x−y= 3 . Получаваме 9 − г= 3 . Оттук г= 6 .
Това означава, че решението на системата е двойка стойности (9; 6)
Пример 2
Нека съберем лявата страна на първото уравнение с лявата страна на второто уравнение. И дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второто уравнение. В полученото равенство представяме подобни членове:
В резултат на това получихме най-простото уравнение 5 х= 20, чийто корен е 4. Знаейки стойността хможете да намерите стойността г. Нека заместим стойността хв първото уравнение 2 x+y= 11. Да вземем 8+ г= 11. Оттук г= 3 .
Това означава, че решението на системата е двойка стойности (4;3)
Процесът на добавяне не е описан подробно. Трябва да се направи психически. При събиране и двете уравнения трябва да бъдат приведени до канонична форма. Това ще рече ac + от = c .
От разгледаните примери става ясно, че основната цел на добавянето на уравнения е да се отървем от една от променливите. Но не винаги е възможно незабавно да се реши система от уравнения, като се използва методът на добавяне. Най-често системата първо се довежда до форма, в която могат да се добавят уравненията, включени в тази система.
Например системата 
може да се реши веднага чрез добавяне. При добавяне на двете уравнения, членовете гИ −yще изчезнат, защото сборът им е нула. В резултат на това се формира най-простото уравнение 11 х= 22, чийто корен е 2. Тогава ще бъде възможно да се определи гравно на 5.
И системата от уравнения 
Методът на добавяне не може да бъде решен веднага, тъй като това няма да доведе до изчезването на една от променливите. Добавянето ще доведе до уравнение 8 х+ г= 28, което има безкраен брой решения.
Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, равен на нула, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на това. Това правило е вярно и за система от линейни уравнения с две променливи. Едно от уравненията (или и двете уравнения) може да бъде умножено по произволно число. Резултатът ще бъде еквивалентна система, чиито корени ще съвпадат с предишната.
Да се върнем към първата система, която описва колко торти и чаши кафе е купил ученик. Решението на тази система беше двойка стойности (6; 5).
Нека умножим двете уравнения, включени в тази система, с някои числа. Да кажем, че умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3
В резултат на това получихме система 
Решението на тази система все още е двойката стойности (6; 5)
Това означава, че уравненията, включени в системата, могат да бъдат приведени до форма, подходяща за прилагане на метода на добавяне.
Да се върнем към системата , което не можахме да решим с помощта на метода на добавяне.
Умножете първото уравнение по 6, а второто по −2
Тогава получаваме следната система:
Нека съберем уравненията, включени в тази система. Добавяне на компоненти 12 хи −12 хще доведе до 0, добавяне 18 ги 4 гще даде 22 ги добавянето на 108 и −20 дава 88. Тогава получаваме уравнение 22 г= 88, от тук г = 4 .
Ако в началото ви е трудно да добавяте уравнения наум, тогава можете да запишете как лявата страна на първото уравнение се събира с лявата страна на второто уравнение и дясната страна на първото уравнение с дясната страна на второ уравнение:
Знаейки, че стойността на променливата ге равно на 4, можете да намерите стойността х. Да заместим гв едно от уравненията, например в първото уравнение 2 х+ 3г= 18. Тогава получаваме уравнение с една променлива 2 х+ 12 = 18. Нека преместим 12 надясно, променяйки знака, получаваме 2 х= 6, от тук х = 3 .
Пример 4. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Нека умножим второто уравнение по −1. Тогава системата ще приеме следния вид:
Нека съберем и двете уравнения. Добавяне на компоненти хИ −xще доведе до 0, добавяне 5 ги 3 гще даде 8 ги добавянето на 7 и 1 дава 8. Резултатът е уравнение 8 г= 8, чийто корен е 1. Знаейки, че стойността ге равно на 1, можете да намерите стойността х .
Да заместим гв първото уравнение, получаваме х+ 5 = 7, следователно х= 2
Пример 5. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Желателно е термините, съдържащи еднакви променливи, да са разположени един под друг. Следователно във второто уравнение членовете 5 ги −2 хДа си разменим местата. В резултат на това системата ще приеме формата:
Нека умножим второто уравнение по 3. Тогава системата ще приеме формата:
Сега нека съберем и двете уравнения. В резултат на събирането получаваме уравнение 8 г= 16, чийто корен е 2.
Да заместим гв първото уравнение получаваме 6 х− 14 = 40. Нека преместим члена −14 от дясната страна, променяйки знака, и получаваме 6 х= 54 . Оттук х= 9.
Пример 6. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Да се отървем от дробите. Умножете първото уравнение по 36, а второто по 12
В получената система 
първото уравнение може да се умножи по −5, а второто по 8
Нека съберем уравненията в получената система. Тогава получаваме най-простото уравнение −13 г= −156 . Оттук г= 12. Да заместим гв първото уравнение и намерете х
Пример 7. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Нека приведем и двете уравнения в нормална форма. Тук е удобно да се приложи правилото за пропорцията и в двете уравнения. Ако в първото уравнение дясната страна е представена като , а дясната страна на второто уравнение като , тогава системата ще приеме формата:
Имаме пропорция. Нека умножим неговите крайни и средни членове. Тогава системата ще приеме формата:
Нека умножим първото уравнение по −3 и отворим скобите във второто:
Сега нека съберем и двете уравнения. В резултат на добавянето на тези уравнения получаваме равенство с нула от двете страни:
Оказва се, че системата има безброй решения.
Но не можем просто да вземем произволни стойности от небето за хИ г. Можем да посочим една от стойностите, а другата ще се определи в зависимост от стойността, която сме посочили. Например, нека х= 2. Нека заместим тази стойност в системата:
В резултат на решаването на едно от уравненията стойността за г, което ще задоволи и двете уравнения:
Получената двойка стойности (2; −2) ще задоволи системата:
Нека намерим друга двойка стойности. Позволявам х= 4. Нека заместим тази стойност в системата:
Можете да разберете на око, че стойността ге равно на нула. След това получаваме двойка стойности (4; 0), които удовлетворяват нашата система:
Пример 8. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на събиране:
Умножете първото уравнение по 6 и второто по 12
Нека пренапишем това, което е останало:
Нека умножим първото уравнение по −1. Тогава системата ще приеме формата:
Сега нека съберем двете уравнения. В резултат на събирането се образува уравнение 6 b= 48, чийто корен е 8. Заместете bв първото уравнение и намерете а
Система от линейни уравнения с три променливи
Линейно уравнение с три променливи включва три променливи с коефициенти, както и разделителен член. В канонична форма може да се напише по следния начин:
брадва + от + cz = d
Това уравнение има безброй решения. Като дадете на две променливи различни стойности, може да се намери трета стойност. Решението в този случай е тройка от стойности ( х; y; z), което превръща уравнението в идентичност.
Ако променливите x, y, zса свързани помежду си с три уравнения, тогава се образува система от три линейни уравнения с три променливи. За да разрешите такава система, можете да използвате същите методи, които се прилагат за линейни уравнения с две променливи: метод на заместване и метод на добавяне.
Пример 1. Решете следната система от уравнения, като използвате метода на заместване:
Нека изразим в третото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:
Сега нека направим замяната. Променлива хе равно на израза 3 − 2г − 2z . Нека заместим този израз в първото и второто уравнения:
Нека отворим скобите в двете уравнения и представим подобни термини:
Стигнахме до система от линейни уравнения с две променливи. В този случай е удобно да използвате метода на добавяне. В резултат на това променливата гще изчезне и можем да намерим стойността на променливата z
Сега нека намерим стойността г. За да направите това, е удобно да използвате уравнението − г+ z= 4. Заместете стойността в него z
Сега нека намерим стойността х. За да направите това, е удобно да използвате уравнението х= 3 − 2г − 2z . Нека заместим стойностите в него гИ z
По този начин тройката от стойности (3; −2; 2) е решение на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности удовлетворяват системата:
Пример 2. Решете системата чрез метода на събиране
Нека съберем първото уравнение с второто, умножено по −2.
Ако второто уравнение се умножи по −2, то приема формата −6х+ 6y − 4z = −4 . Сега нека го добавим към първото уравнение:
Виждаме, че в резултат на елементарни трансформации се определя стойността на променливата х. То е равно на едно.
Да се върнем към основна система. Нека съберем второто уравнение с третото, умножено по −1. Ако третото уравнение се умножи по −1, то приема формата −4х + 5г − 2z = −1 . Сега нека го добавим към второто уравнение:
Получихме уравнението x− 2г= −1 . Нека заместим стойността в него хкоито открихме по-рано. Тогава можем да определим стойността г
Сега знаем значенията хИ г. Това ви позволява да определите стойността z. Нека използваме едно от уравненията, включени в системата:
По този начин тройната стойност (1; 1; 1) е решението на нашата система. Чрез проверка се уверяваме, че тези стойности удовлетворяват системата:
Задачи за съставяне на системи от линейни уравнения
Задачата за съставяне на системи от уравнения се решава чрез въвеждане на няколко променливи. След това се съставят уравнения въз основа на условията на проблема. От съставените уравнения съставят система и я решават. След решаването на системата е необходимо да се провери дали нейното решение отговаря на условията на проблема.
Проблем 1. Автомобил Волга излязъл от града до колхоза. Тя се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия. Общо колата е изминала 35 км отиване и връщане. Колко километра е дължината на всеки път?
Решение
Позволявам х -дължина на първия път, г- дължина на втория. Ако колата е изминала 35 km отиване и връщане, тогава първото уравнение може да бъде написано като х+ г= 35. Това уравнение описва сумата от дължините на двата пътя.
Говори се, че колата се е върнала по път, който е с 5 км по-къс от първия. Тогава второто уравнение може да бъде написано като х− г= 5. Това уравнение показва, че разликата между дължините на пътя е 5 км.
Или второто уравнение може да бъде написано като х= г+ 5. Ще използваме това уравнение.
Тъй като променливите хИ гв двете уравнения означават едно и също число, тогава можем да формираме система от тях:
Нека решим тази система, като използваме някои от вече изучените методи. В този случай е удобно да се използва методът на заместване, тъй като във второто уравнение променливата хвече изразено.
Заместете второто уравнение в първото и намерете г
Нека заместим намерената стойност гвъв второто уравнение х= г+ 5 и ще намерим х
Дължината на първия път беше определена чрез променливата х. Сега открихме значението му. Променлива хе равно на 20. Това означава, че дължината на първия път е 20 км.
И дължината на втория път беше обозначена с г. Стойността на тази променлива е 15. Това означава, че дължината на втория път е 15 км.
Да проверим. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:
Сега нека проверим дали решението (20; 15) удовлетворява условията на задачата.
Беше казано, че колата е изминала общо 35 км отиване и връщане. Събираме дължините на двата пътя и се уверяваме, че решението (20; 15) удовлетворява това условие: 20 км + 15 км = 35 км
Следното условие: колата се върна обратно по друг път, който беше с 5 км по-къс от първия . Виждаме, че решение (20; 15) също удовлетворява това условие, тъй като 15 km е по-късо от 20 km с 5 km: 20 км − 15 км = 5 км
При съставянето на система е важно променливите да представляват едни и същи числа във всички уравнения, включени в тази система.
Така че нашата система съдържа две уравнения. Тези уравнения от своя страна съдържат променливи хИ г, които представляват едни и същи числа в двете уравнения, а именно дължини на пътя от 20 km и 15 km.
Проблем 2. На платформата бяха натоварени дъбови и чамови траверси, общо 300 бр. Известно е, че всички дъбови траверси са тежали с 1 тон по-малко от всички борови траверси. Определете колко дъбови и борови траверси е имало поотделно, ако всеки дъбов траверс е тежал 46 kg, а всеки чамов траверс е 28 kg.
Решение
Позволявам хдъб и гчамови траверси бяха натоварени на платформата. Ако имаше общо 300 траверси, тогава първото уравнение може да бъде написано като x+y = 300 .
Всички дъбови траверси тежаха 46 хкг, а боровите тежаха 28 гкилограма. Тъй като дъбовите траверси тежаха с 1 тон по-малко от боровите траверси, второто уравнение може да бъде написано като 28y − 46х= 1000 . Това уравнение показва, че разликата в масата между дъбови и борови траверси е 1000 kg.
Тоновете бяха превърнати в килограми, тъй като масата на дъбовите и борови траверси беше измерена в килограми.
В резултат на това получаваме две уравнения, които образуват системата
Нека решим тази система. Нека изразим в първото уравнение х. Тогава системата ще приеме формата:
Заместете първото уравнение във второто и намерете г
Да заместим гв уравнението х= 300 − ги разберете какво е то х
Това означава, че на платформата са натоварени 100 дъбови и 200 чамови траверси.
Нека проверим дали решението (100; 200) удовлетворява условията на задачата. Първо, нека се уверим, че системата е решена правилно:
Говореше се, че имало общо 300 спящи. Събираме броя на дъбовите и борови траверси и се уверяваме, че решението (100; 200) отговаря на това условие: 100 + 200 = 300.
Следното условие: всички дъбови траверси тежаха с 1 тон по-малко от всички борови траверси . Виждаме, че решението (100; 200) също удовлетворява това условие, тъй като 46 × 100 kg дъбови траверси са по-леки от 28 × 200 kg борови траверси: 5600 кг − 4600 кг = 1000 кг.
Проблем 3. Взехме три парчета медно-никелова сплав в съотношения 2: 1, 3: 1 и 5: 1 по тегло. От тях беше слято парче с тегло 12 kg със съотношение на съдържание на мед и никел 4: 1. Намерете масата на всяка оригинална част, ако масата на първата е два пъти по-голяма от масата на втората.
Система от линейни уравнения е обединение от n линейни уравнения, всяко от които съдържа k променливи. Написано е така:
Мнозина, когато се сблъскват с висшата алгебра за първи път, погрешно вярват, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на променливите. В училищната алгебра това обикновено се случва, но за висшата алгебра това обикновено не е вярно.
Решението на система от уравнения е поредица от числа (k 1, k 2, ..., k n), която е решението на всяко уравнение на системата, т.е. при заместване в това уравнение вместо променливите x 1, x 2, ..., x n дава правилното числово равенство.
Съответно решаването на система от уравнения означава намиране на множеството от всички нейни решения или доказване, че това множество е празно. Тъй като броят на уравненията и броят на неизвестните може да не съвпадат, възможни са три случая:
- Системата е непоследователна, т.е. множеството от всички решения е празно. Доста рядък случай, който лесно се открива, без значение какъв метод се използва за решаване на системата.
- Системата е последователна и детерминирана, т.е. има точно едно решение. Класическата версия, добре позната от училище.
- Системата е последователна и недефинирана, т.е. има безкрайно много решения. Това е най-трудният вариант. Не е достатъчно да се посочи, че "системата има безкраен набор от решения" - необходимо е да се опише как е структуриран този набор.
Променлива x i се нарича разрешена, ако е включена само в едно уравнение на системата и с коефициент 1. С други думи, в други уравнения коефициентът на променливата x i трябва да бъде равен на нула.
Ако изберем една разрешена променлива във всяко уравнение, получаваме набор от разрешени променливи за цялата система от уравнения. Самата система, написана в тази форма, също ще се нарича разрешена. Най-общо казано, една и съща оригинална система може да бъде сведена до различни разрешени, но засега това не ни притеснява. Ето примери за разрешени системи:
И двете системи са разрешени по отношение на променливите x 1 , x 3 и x 4 . Със същия успех обаче може да се твърди, че втората система е разрешена по отношение на x 1, x 3 и x 5. Достатъчно е да пренапишете последното уравнение във формата x 5 = x 4.
Сега нека разгледаме един по-общ случай. Нека имаме общо k променливи, от които r са разрешени. Тогава са възможни два случая:
- Броят на разрешените променливи r е равен на общия брой променливи k: r = k. Получаваме система от k уравнения, в която r = k разрешени променливи. Такава система е съвместна и категорична, т.к x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- Броят на разрешените променливи r е по-малък от общия брой на променливите k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
И така, в горните системи променливите x 2, x 5, x 6 (за първата система) и x 2, x 5 (за втората) са свободни. Случаят, когато има свободни променливи, е по-добре формулиран като теорема:
Моля, обърнете внимание: това е много важен момент! В зависимост от начина, по който пишете получената система, една и съща променлива може да бъде разрешена или свободна. Повечето преподаватели по висша математика препоръчват изписване на променливи в лексикографски ред, т.е. възходящ индекс. Вие обаче не сте задължени да следвате този съвет.
Теорема. Ако в система от n уравнения променливите x 1, x 2, ..., x r са разрешени и x r + 1, x r + 2, ..., x k са свободни, тогава:
- Ако зададем стойностите на свободните променливи (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), и след това намерим стойностите x 1, x 2, ..., x r, получаваме едно от решенията.
- Ако в две решения стойностите на свободните променливи съвпадат, тогава стойностите на разрешените променливи също съвпадат, т.е. решенията са равни.
Какъв е смисълът на тази теорема? За да се получат всички решения на разрешена система от уравнения, е достатъчно да се изолират свободните променливи. След това, присвоявайки различни стойности на свободните променливи, ще получим готови решения. Това е всичко - по този начин можете да получите всички решения на системата. Няма други решения.
Заключение: разрешената система от уравнения винаги е последователна. Ако броят на уравненията в една разрешена система е равен на броя на променливите, системата ще бъде определена; ако е по-малко, тя ще бъде неопределена.
И всичко би било наред, но възниква въпросът: как да се получи разрешено от оригиналната система от уравнения? За това има
