Елементарен ъгъл на завъртане, ъглова скорост
Фигура 9. Елементарен ъгъл на въртене ()
Елементарните (безкрайно малки) ротации се разглеждат като вектори. Векторен модул равен на ъгълвъртене, а посоката му съвпада с посоката на транслационното движение на върха на винта, чиято глава се върти в посоката на движение на точката по окръжността, т.е. се подчинява на правилото на десния винт.
Векторът е насочен по оста на въртене според правилото на десния винт, т.е. същото като вектора (виж Фигура 10).
Фигура 10.
Фигура 11
Векторна величина, определена от първата производна на ъгъла на въртене на тялото по отношение на времето.
Комуникация между модули за линейна и ъглова скорост
Фигура 12
Връзка между векторите на линейната и ъгловата скорост
Позицията на разглежданата точка се определя от радиус вектора (начертан от началото 0, лежащо върху оста на въртене). Напречното произведение съвпада по посока с вектора и има модул, равен на
Единицата за ъглова скорост е.
Псевдовекторите (аксиални вектори) са вектори, чиито посоки са свързани с посоката на въртене (например,). Тези вектори нямат конкретни точки на приложение: те могат да бъдат начертани от всяка точка на оста на въртене.
Равномерно движение на материална точка около окръжност
Равномерно движение по окръжност е движение, при което материална точка (тяло) преминава през еднаква по дължина дъга от окръжност за равни интервали от време.
Ъглова скорост
: (-- ъгъл на въртене).
Периодът на въртене T е времето, през което материална точка прави един пълен оборот около окръжност, т.е. завърта се на ъгъл.
Тъй като съответства на периода от време, тогава.
Честотата на въртене е броят на пълните обороти, направени от материална точка по време на нейното равномерно движение около кръг за единица време.
Фигура 13
Характерна особеност на равномерното кръгово движение
Равномерното кръгово движение е частен случай на криволинейно движение. Кръговото движение с постоянна по абсолютна стойност скорост () се ускорява. Това се дължи на факта, че при постоянен модул посоката на скоростта се променя през цялото време.
Ускорение на материална точка, движеща се равномерно в окръжност
Тангенциален компонент на ускорението при равномерно движениеточки по окръжността е равно на нула.
Нормалният компонент на ускорението (центростремително ускорение) е насочен радиално към центъра на кръга (виж Фигура 13). Във всяка точка на окръжността векторът на нормалното ускорение е перпендикулярен на вектора на скоростта. Ускорението на материална точка, движеща се равномерно по окръжност във всяка точка, е центростремително.
Ъглово ускорение. Връзка между линейни и ъглови величини
Ъгловото ускорение е векторна величина, определена от първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето.
Посока на вектора на ъгловото ускорение
При въртене на тялото фиксирана освекторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост.
Когато движението е ускорено, векторът е съпосочен на вектора, когато е бавно, той е противоположен на него. Vector е псевдо-вектор.
Единицата за ъглово ускорение е.
Връзка между линейни и ъглови величини
(- радиус на окръжността; - линейна скорост; - тангенциално ускорение; - нормално ускорение; - ъглова скорост).
Посока количеството изкривен кристален решетки, условни дисклинация: усукване - ъгълът на завъртане на част от кристала спрямо друга; клинова промяна в ъгъла на въртене a при промяна на реда на оста на симетрия. ... Ръководство за технически преводач
Франк вектор- насочената степен на изкривяване на кристалната решетка, дължаща се на дисклинация: усукване, ъгълът на въртене на част от кристала спрямо друга; клинова промяна в ъгъла на въртене a при промяна на реда на оста на симетрия. Виж… … енциклопедичен речникв металургията
Матрица на въртене- Проверете информацията. Необходимо е да се провери точността на фактите и надеждността на информацията, представена в тази статия. Трябва да има обяснение на страницата за разговори... Уикипедия
Контролиран вектор на тягата- Управление на вектора на тягата (TCV) на реактивен двигател - отклонение на реактивната струя на двигателя от посоката, съответстваща на крейсерския режим. В момента управлението на вектора на тягата се осигурява главно чрез завъртане на цялата дюза... ... Wikipedia
ЖИРОСКОП- навигационно устройство, чийто основен елемент е бързо въртящ се ротор, фиксиран така, че оста му на въртене да може да се върти. Три степени на свобода (оси на възможно въртене) на ротора на жироскопа се осигуряват от две рамки... ... Енциклопедия на Collier
ФАРАДЕЙ ЕФЕКТ- един от ефектите на магнитооптиката. Състои се от завъртане на равнината на поляризация на линейно поляризирани поляризатори. светлина, разпространяваща се във ве по дължината на стълба. маг. полета, в които се намира в рум. Открит от М. Фарадей през 1845 г. и е първото доказателство... ... Физическа енциклопедия
Графичен конвейер- Графичен конвейер, хардуерен и софтуерен комплекс за визуализация на триизмерна графика. Съдържание 1 Елементи на триизмерна сцена 1.1 Хардуер 1.2 Софтуерни интерфейси ... Wikipedia
Магнетизъм- Класическа електродинамика ... Wikipedia
GOST 22268-76: Геодезия. Термини и дефиниции- Терминология GOST 22268 76: Геодезия. Термини и определения оригинален документ: 114. Схема на НПР. Kroki D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Outline Field sketch F. Croquis Схематичен чертеж на теренна площ Дефиниции на термина от различни документи ... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация
Система за ориентиране на слънчевия панел- Стилът на тази статия е неенциклопедичен или нарушава нормите на руския език. Статията трябва да бъде коригирана според стилистичните правила на Уикипедия... Уикипедия
ЪГЛОВА СКОРОСТ- векторно количество, характеризиращо скоростта на въртене на твърдо тяло. Когато едно тяло се върти равномерно около фиксирана ос, неговите V.s. w=Dj/Dt, където Dj е нарастването на ъгъла на завъртане j за периода от време Dt, а в общия случай w=dj/dt. Вектор U....... Физическа енциклопедия
С линейни величини.
Ъглово движение- векторна величина, характеризираща промяната на ъгловата координата по време на нейното движение.
Ъглова скорост- вектор физическо количество, характеризираща скоростта на въртене на тялото. Векторът на ъгловата скорост е равен по големина на ъгъла на въртене на тялото за единица време:
a е насочен по протежение на оста на въртене съгласно правилото на гимлет, т.е. в посоката, в която би се завинтил гимлет с дясна резба, ако се върти в същата посока.
Единицата за измерване на ъгловата скорост, приета в системите SI и GHS, е радиани в секунда. (Забележка: радианите, като всяка единица за измерване на ъгъл, са физически безразмерни, така че физическото измерение на ъгловата скорост е просто ). В техниката се използват и обороти в секунда, много по-рядко - градуси в секунда, градуси в секунда. Може би оборотите в минута се използват най-често в технологията - това идва от онези времена, когато скоростта на въртене на парните двигатели с ниска скорост се определяше просто чрез „ръчно“ преброяване на броя обороти за единица време.
Вектор на (моментна) скорост на всяка точка (абсолютна) твърдо, въртяща се с ъглова скорост се определя по формулата:
където е радиус-векторът към дадена точка от началото, разположено върху оста на въртене на тялото, а квадратните скоби показват векторния продукт. Линейната скорост (съвпадаща с големината на вектора на скоростта) на точка на определено разстояние (радиус) r от оста на въртене може да се изчисли по следния начин: v = rω. Ако вместо радиани се използват други единици за ъгли, тогава в последните две формули ще се появи множител, който не е равен на единица.
В случай на въртене на равнината, т.е. когато всички вектори на скоростта на точките на тялото лежат (винаги) в една и съща равнина („равнина на въртене“), ъгловата скорост на тялото винаги е перпендикулярна на тази равнина, и всъщност - ако равнината на въртене е известна - може да се замени със скалар - проекция върху ос, ортогонална на равнината на въртене. В този случай кинематиката на въртене е значително опростена, но в общия случай ъгловата скорост може да промени посоката си в триизмерното пространство с течение на времето и такава опростена картина не работи.
Производната на ъгловата скорост по отношение на времето е ъглово ускорение.
Движението с постоянен вектор на ъгловата скорост се нарича равномерно въртеливо движение (в този случай ъгловото ускорение е нула).
Ъгловата скорост (разглеждана като свободен вектор) е една и съща във всички инерциални референтни системи, но в различните инерциални референтни системи оста или центърът на въртене на едно и също конкретно тяло в един и същи момент от време може да се различава (т.е. „приложна точка“ на ъгловата скорост).
В случай на движение на една единствена точка в триизмерното пространство, можем да напишем израз за ъгловата скорост на тази точка спрямо избраното начало:
Където е радиус-векторът на точка (от началото), е скоростта на тази точка. - векторно произведение, - скаларно произведение на вектори. Тази формула обаче не определя еднозначно ъгловата скорост (в случай на една точка можете да изберете други вектори, които са подходящи по дефиниция, в противен случай - произволно - избирайки посоката на оста на въртене), а за общия случай (когато тялото включва повече от една материална точка) - тази формула не е вярна за ъгловата скорост на цялото тяло (тъй като дава различни за всяка точка, а когато абсолютно твърдо тяло се върти, по дефиниция ъгловата скорост на неговото въртене е единственият вектор). При всичко това в двумерния случай (случая на въртене на равнина) тази формула е напълно достатъчна, недвусмислена и правилна, тъй като в конкретния случай посоката на оста на въртене е ясно еднозначно определена.
В случай на равномерно въртеливо движение (т.е. движение с постоянен вектор на ъгловата скорост) Декартови координатиточки на въртящо се тяло правят хармонични вибрациис ъглова (циклична) честота, равен на модулвектор на ъгловата скорост.
При измерване на ъгловата скорост в обороти в секунда (r/s), величината на ъгловата скорост на равномерно въртеливо движение съвпада с честотата на въртене f, измерена в херци (Hz)
(тоест в такива единици).
В случай на използване на обичайната физическа единица за ъглова скорост - радиани в секунда - модулът на ъгловата скорост е свързан с честотата на въртене, както следва:
И накрая, когато се използват градуси в секунда, връзката със скоростта на въртене ще бъде:
Ъглово ускорение- псевдовекторна физическа величина, характеризираща скоростта на промяна на ъгловата скорост на твърдо тяло.
Когато тялото се върти около фиксирана ос, ъгловото ускорение по големина е равно на:
Векторът на ъгловото ускорение α е насочен по оста на въртене (настрани при ускорено въртене и в обратна посока при бавно въртене).
При въртене наоколо фиксирана точкавекторът на ъгловото ускорение се определя като първата производна на вектора на ъгловата скорост ω по отношение на времето, т.е.
и е насочена тангенциално към векторния ходограф в съответната му точка.
Има връзка между тангенциалните и ъгловите ускорения:
където R е радиусът на кривината на траекторията на точката в даден момент. И така, ъгловото ускорение е равно на втората производна на ъгъла на въртене спрямо времето или първата производна на ъгловата скорост спрямо времето. Ъгловото ускорение се измерва в rad/sec2.
Ъглова скорост и ъглово ускорение
Помислете за твърдо тяло, което се върти около фиксирана ос. Тогава отделни точки на това тяло ще описват окръжности с различни радиуси, центровете на които лежат на оста на въртене. Нека някаква точка се движи по окръжност с радиус Р(фиг. 6). Неговата позиция след интервал от време D Tнека зададем ъгъл D. Елементарните (безкрайно малки) ротации могат да се разглеждат като вектори (означават се с или ) . Големината на вектора е равна на ъгъла на завъртане, а посоката му съвпада с посоката на транслационното движение на върха на винта, чиято глава се върти в посоката на движение на точката по окръжността, т.е. се подчинява правило за десен винт(фиг. 6). Наричат се вектори, чиито посоки са свързани с посоката на въртене псевдовекториили аксиални вектори.Тези вектори нямат конкретни точки на приложение: те могат да бъдат начертани от всяка точка на оста на въртене.
Ъглова скоросте векторна величина, равна на първата производна на ъгъла на въртене на тялото по отношение на времето:
Векторът е насочен по оста на въртене според правилото на десния винт, т.е. същото като вектор (фиг. 7). Размер на ъгловата скорост dim w =T – 1 , и нейната единица е радиан за секунда (rad/s).
Линейна скорост на точка (виж Фиг. 6)
Във векторна форма формулата за линейна скорост може да бъде записана като векторно произведение:
В този случай модулът на векторния продукт по дефиниция е равен на , а посоката съвпада с посоката на транслационното движение на дясното витло, докато се върти от към Р.
Ако ( = const, тогава въртенето е равномерно и може да се характеризира период на въртене T - времето, през което върхът прави един пълен оборот, т.е. се завърта на ъгъл от 2p. Тъй като времевият интервал D T= Tсъответства на = 2p, тогава = 2p/ T, където
Броят на пълните обороти, направени от тялото по време на равномерното му движение в кръг за единица време, се нарича честота на въртене:
Ъгловото ускорение е векторна величина, равна на първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето:
Когато тялото се върти около фиксирана ос, векторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост. При ускорено движение векторът е съпосочен на вектора (фиг. 8), при бавно – срещу него (фиг. 9).
Тангенциален компонент на ускорението
Нормален компонент на ускорението
По този начин връзката между линейна (дължина на пътя спресечена от точка по дъга от окръжност с радиус Р, линейна скорост v,тангенциално ускорение , нормално ускорение) и ъглови величини (ъгъл на завъртане j, ъглова скорост w, ъглово ускорение e) се изразява със следните формули:
В случай на равномерно движение на точка по окръжност (e=const)
където w 0 е началната ъглова скорост.
Законите на Нютон.
Първият закон на Нютон. Тегло. Сила
Динамиката е основният клон на механиката, тя се основава на трите закона на Нютон, формулирани от него през 1687 г. Законите на Нютон играят изключителна роля в механиката и са (както всички физически закони) обобщение на резултатите от огромния човешки опит. Те се разглеждат като система от взаимосвързани законии не всеки отделен закон се подлага на експериментална проверка, а цялата система като цяло.
Първият закон на Нютон: всяка материална точка (тяло) поддържа състояние на покой или еднообразие праволинейно движениедокато влиянието на други тела не я принуди да промени това състояние. Желанието на тялото да поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение се нарича инерция. Следователно, първият закон на Нютон също се нарича закон на инерцията.
Механичното движение е относително и неговият характер зависи от референтната система. Първият закон на Нютон не е изпълнен във всяка отправна система и онези системи, по отношение на които той е изпълнен, се наричат инерциални референтни системи. Инерциална отправна система е отправна система, спрямо която материалната точка, свободен от външни влияния,или в покой, или се движат равномерно и по права линия. Първият закон на Нютон гласи съществуването на инерциални референтни системи.
Експериментално е установено, че хелиоцентричната (звездна) референтна система може да се счита за инерционна (началото на координатите се намира в центъра на Слънцето, а осите са насочени към определени звезди). Референтната система, свързана със Земята, строго погледнато, е неинерционна, но ефектите, дължащи се на нейната неинерционност (Земята се върти около собствената си ос и около Слънцето), са незначителни при решаването на много проблеми и в тези случаи може да се счита за инерционен.
От опит се знае, че при същите въздействия различни телате променят скоростта на движението си неравномерно, т.е., с други думи, те придобиват различни ускорения. Ускорението зависи не само от големината на удара, но и от свойствата на самото тяло (неговата маса).
Теглотяло - физическо количество, което е една от основните характеристики на материята, определяща нейната инерция ( инертна маса) и гравитационни ( гравитационна маса) Имоти. Понастоящем може да се счита за доказано, че инертната и гравитационната маса са равни една на друга (с точност най-малко 10–12 от техните стойности).
За да се опишат влиянията, споменати в първия закон на Нютон, се въвежда понятието сила. Под въздействието на силите телата или променят скоростта на движение, т.е. придобиват ускорение (динамично проявление на силите), или се деформират, т.е. променят формата и размера си (статично проявление на силите). Във всеки момент от време силата се характеризира с числова стойност, посока в пространството и точка на приложение. Така, силае векторна величина, която е мярка за механичното въздействие върху тялото от други тела или полета, в резултат на което тялото придобива ускорение или променя формата и размера си.
Втори закон на Нютон
Вторият закон на Нютон - основният закон на динамиката на транслационното движение -отговаря на въпроса как се променя механичното движение на материална точка (тяло) под въздействието на приложените към нея сили.
Ако разгледаме действието на различни сили върху едно и също тяло, се оказва, че ускорението, придобито от тялото, винаги е право пропорционално на резултата от приложените сили:
a ~ F (t = const). (6.1)
Когато една и съща сила действа върху тела с различна маса, техните ускорения се оказват различни, а именно
а ~ 1 /t (F= const). (6.2)
Използвайки изрази (6.1) и (6.2) и като вземем предвид, че силата и ускорението са векторни величини, можем да запишем
a = kF/m. (6.3)
Съотношението (6.3) изразява втория закон на Нютон: ускорението, придобито от материална точка (тяло), пропорционално на силата, която го причинява, съвпада с нея по посока и е обратно пропорционално на масата на материалната точка (тяло).
В SI коефициент на пропорционалност k= 1. Тогава
(6.4)
Като се има предвид, че масата на материална точка (тяло) в класическата механика е постоянна величина, в израз (6.4) тя може да се въведе под знака на производната:
Векторно количество
числено равно на произведениетомаса на материална точка върху нейната скорост и имаща посока на скоростта се нарича импулс (количество движение)тази материална точка.
Замествайки (6.6) в (6.5), получаваме
Този израз - по-обща формулировка на втория закон на Нютон: скоростта на промяна на импулса на материална точка е равна на силата, действаща върху нея. Извиква се израз (6.7). уравнение на движението на материална точка.
Единицата за сила в SI е нютон(N): 1 N е сила, която придава ускорение от 1 m/s 2 на маса от 1 kg в посоката на силата:
1 N = 1 kg×m/s 2.
Вторият закон на Нютон е валиден само в инерциални отправни системи. Първият закон на Нютон може да бъде извлечен от втория. Наистина, ако резултантните сили са равни на нула (при липса на влияние върху тялото от други тела), ускорението (виж (6.3)) също е нула. въпреки това Първият закон на Нютонразглежда като независимо право(а не като следствие от втория закон), тъй като той е този, който твърди съществуването на инерциални отправни системи, в които е изпълнено само уравнение (6.7).
В механиката е от голямо значение принцип на независимо действие на силите: ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава всяка от тези сили придава ускорение на материалната точка съгласно втория закон на Нютон, сякаш няма други сили. Съгласно този принцип силите и ускоренията могат да бъдат разложени на компоненти, чието използване води до значително опростяване на решаването на проблеми. Например на фиг. 10 ефективна сила F= м a се разлага на два компонента: тангенциална сила F t (насочена допирателна към траекторията) и нормална сила F н(насочено нормално към центъра на кривината). Използвайки изразите и и , можем да напишем:
Ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава, съгласно принципа на независимостта на действието на силите, F във втория закон на Нютон се разбира като резултатна сила.
Третият закон на Нютон
Определя се взаимодействието между материалните точки (тела). Третият закон на Нютон: всяко действие материални точки(тела) едно върху друго има характер на взаимодействие; силите, с които материалните точки действат една върху друга, винаги са равни по големина, противоположно насочени и действат по правата линия, свързваща тези точки:
F 12 = – F 21, (7.1)
където F 12 е силата, действаща върху първата материална точка от втората;
F 21 - сила, действаща върху втората материална точка от първата. Тези сили се прилагат към различенматериални точки (тела), винаги действат по двойкии са сили от същото естество.
Третият закон на Нютон позволява преход от динамика отделноматериална точка към динамика системиматериални точки. Това следва от факта, че за система от материални точки взаимодействието се свежда до силите на двойно взаимодействие между материалните точки.
Ъгли на Ойлер, ъгли на самолет (кораб).
Традиционно ъглите на Ойлер се въвеждат, както следва. Преходът от референтната позиция към действителната се извършва с три завъртания (фиг. 4.3):
1. Завъртете се под ъгъл прецесияВ този случай отива на позиция (c) .
2. Завъртете под ъгъл нутация. При което,. (4.10)
4. Завъртете се под ъгъл собствено (чисто) въртене
За по-добро разбиране Фиг. 4.4 показва върха и ъглите на Ойлер, които го описват
Преходът от референтната позиция към действителната може да се осъществи с три завъртания (завъртете го сами!) (фиг. 4.5):
1. Завъртете се под ъгъл завъртане, при което
2. Завъртете се с ъгъл на наклон, докато (4.12)
3. Завъртете под ъгъл на завъртане
Изразът „може да се постигне” не е случаен; лесно е да се разбере, че са възможни и други опции, например въртене около фиксирани оси
1. Завъртете се под ъгъл ролка(с риск да му счупи крилата)
2. Завъртете под ъгъл стъпка(повдигане на носа) (4.13)
3. Завъртете се под ъгъл завъртане
Идентичността на (4.12) и (4.13) обаче също трябва да бъде доказана.
Нека напишем очевидната векторна формула за позиционния вектор на точка (фиг. 4.6) в матрична форма. Нека намерим координатите на вектора спрямо референтната основа. Нека разширим вектора според действителния базис и въведем „пренесен” вектор, чиито координати в референтния базис са равни на координатите на вектора в действителния; с други думи, векторът се „върти“ заедно с тялото (фиг. 4.6).
| Ориз. 4.6. |
Разширявайки векторите според референтната основа, получаваме
Нека представим ротационната матрица и колони,
Векторна формулав матрична нотация има формата
1. Матрицата на въртене е ортогонална, т.е.
Доказателството за това твърдение е формула (4.9)
Изчислявайки детерминантата на продукта (4.15), получаваме и тъй като в референтната позиция, тогава (ортогонални матрици с детерминанта, равна на (+1) се наричат всъщностортогонални или ротационни матрици). Когато се умножи по вектори, ротационната матрица не променя нито дължините на векторите, нито ъглите между тях, т.е. наистина тях завои.
2. Матрицата на въртене има един собствен (фиксиран) вектор, който определя оста на въртене. С други думи, необходимо е да се покаже, че системата от уравнения където има единствено решение. Нека напишем системата във формата (. Детерминантата на тази хомогенна система равно на нула, защото
следователно системата има ненулево решение. Ако приемем, че има две решения, веднага стигаме до извода, че перпендикулярното на тях също е решение (ъглите между векторите не се променят), което означава, че т.е. няма завой..
| Фиг.4.7 |
Матрица в ортонормална база
има поглед.
2. Диференцирайки (4.15), получаваме или, обозначавайки – матрица спин (на английски: to spin – въртя).По този начин спиновата матрица е косо симетрична: . Умножавайки отдясно по, получаваме формулата на Поасон за ротационната матрица:
Стигнахме до най-трудния момент в рамките на матричното описание - определяне на вектора на ъгловата скорост.
Можете, разбира се, да направите стандартното нещо (вижте например метода и напишете: „ Нека въведем обозначения за елементите на косо-симетричната матрицаС според формулата
Ако направите вектор , тогава резултатът от умножаването на матрица по вектор може да бъде представен като векторно произведение" В горния цитат - векторът на ъгловата скорост.
Диференцирайки (4.14), получаваме матрично представяне на основната формула за кинематиката на твърдо тяло :
Матричният подход, макар и удобен за изчисления, е много неподходящ за анализиране и извеждане на връзки; всяка формула, написана на векторен и тензорен език, може лесно да бъде написана в матрична форма, но можете да получите компактна и изразителна формула за описание на всяка физическо явлениев матрична форма е трудно.
Освен това не бива да забравяме, че елементите на матрицата са координатите (компонентите) на тензора в някакъв базис. Самият тензор не зависи от избора на базис, а неговите компоненти. За запис без грешки в матрична форма е необходимо всички вектори и тензори, включени в израза, да бъдат записани в една основа и това не винаги е удобно, тъй като различните тензори имат „проста“ форма в различни бази, така че трябва за преизчисляване на матриците с помощта на преходни матрици.
В кръг се определя от радиус вектора $ \overrightarrow (r)$, изтеглен от центъра на кръга. Радиус векторен модул равен на радиусакръг R (фиг. 1).
Фигура 1. Радиус вектор, преместване, път и ъгъл на завъртане, когато точка се движи около окръжност
В този случай движението на тялото в кръг може да бъде недвусмислено описано с помощта на такива кинематични характеристики като ъгъл на въртене, ъглова скорост и ъглово ускорение.
За време ∆t тялото, движейки се от точка А до точка В, извършва движение $\триъгълник r$, равен на хорда AB, и изминава път, равен на дължината на дъгата l. Радиус векторът се завърта на ъгъл ∆$ \varphi $.
Ъгълът на въртене може да се характеризира с вектора на ъгловото изместване $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, чиято големина е равна на ъгъла на въртене ∆$ \varphi $, а посоката съвпада с ос на въртене и така че посоката на въртене да съответства на правилото за десния винт според спрямо посоката на вектора $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$.
Векторът $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ се нарича аксиален вектор (или псевдо-вектор), докато векторът на изместване $\triangle \overrightarrow(r)$ е полярен вектор (те включват също скорост и вектори на ускорение). Те се различават по това, че полярният вектор, освен дължина и посока, има точка на приложение (полюс), а аксиалният вектор има само дължина и посока (ос - ос на латински), но няма точка на приложение. Вектори от този тип често се използват във физиката. Те включват, например, всички вектори, които са векторно произведение на два полярни вектора.
Скаларна физическа величина, числено равна на съотношението на ъгъла на завъртане на радиус вектора към периода от време, през който се е случило това завъртане, се нарича средна ъглова скорост: $\left\langle \omega \right\rangle =\ frac(\триъгълник \varphi )(\триъгълник t)$. Единицата SI за ъглова скорост е радиан за секунда $(\frac (rad) (c))$.
Определение
Ъгловата скорост на въртене е вектор, който е числено равен на първата производна на ъгъла на въртене на тялото по отношение на времето и е насочен по оста на въртене според правилото на десния винт:
\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\горна дясна стрелка((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]
При равномерно движение в окръжност ъгловата скорост и големината на линейната скорост са постоянни величини: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.
Като се има предвид, че $\triangle \varphi =\frac(l)(R)$, получаваме формулата за връзката между линейната и ъгловата скорост: $\omega =\frac(l)(R\triangle t)=\frac( v)( R)$. Ъгловата скорост също е свързана с нормалното ускорение: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$
При неравномерно движениепо окръжността векторът на ъгловата скорост е векторна функция на времето $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\left(t\right )t$, където $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ е началната ъглова скорост, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ е ъгловото ускорение. В случай на равномерно променливо движение, $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$ и $\left|\overrightarrow((\mathbf \omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.
Опишете движението на въртящо се твърдо тяло в случаите, когато ъгловата скорост се променя според графики 1 и 2, показани на фиг. 2.
Фигура 2.
Въртенето се извършва в две посоки - по посока на часовниковата стрелка и обратно на часовниковата стрелка. Посоката на въртене е свързана с псевдовектора на ъгъла на въртене и ъгловата скорост. Нека приемем посоката на въртене по часовниковата стрелка за положителна.
За движение 1 ъгловата скорост се увеличава, но ъгловото ускорение $\varepsilon $=d$\omega $/dt (производно) намалява, оставайки положително. Следователно това движение се ускорява по посока на часовниковата стрелка с намаляващо ускорение.
За движение 2 ъгловата скорост намалява, след това достига нула в точката на пресичане с абсцисната ос и след това става отрицателна и нараства по абсолютна стойност. Ъгловото ускорение е отрицателно и намалява по големина. Така отначало точката се движеше бавно по посока на часовниковата стрелка с ъглово ускорение, намаляващо по абсолютна стойност, спря и започна да се върти бързо с ускорение, намаляващо по абсолютна стойност.
Намерете радиуса R на въртящо се колело, ако е известно, че линейната скорост $v_1$ на точка, разположена върху ръба, е 2,5 пъти по-голяма от линейната скорост $v_2$ на точка, разположена на разстояние $r = 5 cm$ по-близо до оста на колелото.
Фигура 3.
$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2.5v_2$$ $$R_1 = ?$$
Точките се движат по концентрични окръжности, векторите на ъгловите им скорости са равни, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\ следователно омега $ може да се запише в скаларна форма:
Отговор: радиус на колелото R = 8,3 cm
